Cálculo eficiente de las energîas de formación de escalones dobles en materiales BCC

Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía www.else ie .es/ imni Cálculo e icien e de las ene gías de o mación de escalones dobles en ma e iales BCC E. Tellechea, O. Sab i y M.P. A iza∗ Uni e sidad de Se illa, Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Camino de los descub imien os, s.n., 41092 Se illa, Espa˜ na in o mación del a ículo His o ia del a ículo: Recibido el 21 de agos o de 2011 Acep ado el 10 de ene o de 2012 On-line el 31 de julio de 2013 Palab as cla e: Dislocaciones Plas icidad Escalones dobles Me ales BCC e s u m e n En ma e iales con es uc u a c is alina BCC el mo imien o de dislocaciones de ipo o nillo a baja em- pe a u a es á asociado con la o mación y el c ecimien o de escalones en la línea de la dislocación. Pa a en ende la mo ilidad de dislocaciones de ipo o nillo en es os ma e iales es muy impo an e la co ec a p edicción de las ene gías de nucleación de es os escalones. El cálculo a ni el a omís ico de la mecánica de dislocaciones cons i uye un p oblema complicado desde el pun o de is a an o numé ico como com- pu acional. Es e abajo se cen a en el cálculo de las ene gías de o mación de dis in as con igu aciones de escalones dobles en c is ales BCC y en ausencia de ca gas ex e io es. En nues o modelo, basado en la eo ía disc e a de dislocaciones desa ollada po A iza y O iz, la ene gía almacenada se calcula de o ma e icien e median e un algo i mo de p og amación basado en NVIDIA Compu e Uni ied De ice A chi ec- u e (CUDA). Los esul ados ob enidos p esen an un buen acue do con los calculados u ilizando p ime os p incipios y po enciales a omís icos, y los co espondien es a la eo ía elás ica de dislocaciones. © 2011 CIMNE (Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya). Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados. E icien calcula ion o o ma ion ene gies o kink-pai s in BCC c ys als Keywo ds: Disloca ions Plas ici y Double-kinks BCC me als a b s a c Mo ion o sc ew disloca ions in BCC ma e ials a low empe a u e is belie ed o be ela ed o he o ma ion o mobile kinks on he disloca ion line. The e o e, he accu a e p edic ion o kink nuclea ion ene gies is equi ed o ully desc ibe mobili y o sc ew disloca ions in hese ma e ials. S udies o undamen al disloca ion p ocesses a a omic leng h scale a e nume ically and compu a ionally in ensi e p oblems. This wo k s udies he calcula ion o ze o-s ess o ma ion ene gies o kink-pai con igu a ions o BCC c ys als. Ou model o s o ed ene gy associa ed o a disloca ion line con igu a ion is based on he heo y o disc e e disloca ions o A iza and O iz. I s alue is compu ed e icien ly using an algo i hm de eloped on he NVIDIA Compu e Uni ied De ice A chi ec u e (CUDA). Resul s con i m hose ob ained using a omis ic po en ials and i s p inciples calcula ions, and hose based on he con inuum heo y o disloca ions. © 2011 CIMNE (Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya). Published by Else ie España, S.L. All igh s ese ed. 1. In oducción Du an e la úl ima década, la modelización mul iescala de ma e- iales desde el ni el a ómico has a el ni el mac oscópico, pa a consegui desc ibi mecanismos de de o mación ales como la plas icidad en c is ales, ha a aído la a ención de nume osos in es- igado es. El conocimien o p o undo de p ocesos de de o mación y de de ec os en la escala de longi ud a ómica cons i uye el pun o de ∗Au o pa a co espondencia. Co eo elec ónico: [email p o ec ed] (M.P. A iza). pa ida básico pa a el es udio idimensional de la dinámica de dis- locaciones a mic oescala [1] y o as simulaciones a mayo es escalas de longi ud [2]. Es o equie e modelos p ecisos de la es uc u a a omís ica, del mo imien o e in e acción de pun os ele an es y de los de ec os, incluyendo acan es, huecos in e s iciales, impu- ezas, dislocaciones y lími es de g ano. Pa a ello es p eciso no solo en ende los mecanismos cuali a i os subyacen es que con olan la de o mación plás ica, sino ambién se capaces de de e mina los pa áme os cuan i a i os que pe mi an una desc ipción p edic i a de las p opiedades plás icas y esis en es en ma e iales eales bajo dis in as condiciones de se icio. Los modelos disc e os de dislocaciones se u ilizan ampliamen e como mé odo compu acional pa a es udia el compo amien o 0213-1315/$ – see on ma e © 2011 CIMNE (Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya). Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados. h p://dx.doi.o g/10.1016/j. imni.2013.06.002 136 E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 mecánico de ma e iales con es uc u a c is alina. La mayo ía de es os mé odos se basan en la eo ía elás ica lineal de dislocaciones [3]. A pesa de su sencillez se ha conseguido conoce bas an e sob e los mecanismos de de o mación y endu ecimien o en c is ales g a- cias a es os mé odos. Los modelos disc e os de dislocaciones son capaces de conside a aspec os que son inaccesibles an o pa a la eo ía plás ica de medios con inuos aplicable a escalas de longi ud mayo es, como pa a los cálculos a omís icos, debido a las limi acio- nes de cálculo. En gene al, algunas de las limi aciones que p esen an es os modelos se deben p incipalmen e a que es án basados en la eo ía elás ica lineal de dislocaciones [4–7]. La eo ía desa ollada po A iza y O iz [8], en la que se basa es e abajo, p e ende en g an pa e co egi algunas de dichas limi aciones. Tene en cuen a desde el p incipio el ca ác e disc e o de las edes es un p ime paso pa a do a a es a eo ía de algunas ca ac e ís icas deseables. El modelo iene de mane a na u al esolución a omís ica, que elimina de o ma au omá ica las di e gencias asociadas con los adios de co e en los núcleos de las dislocaciones y po lo an o la necesidad de in oduci pa áme os sin signi icado ísico. La elas icidad de las edes se incluye en la eo ía disc e a u ilizando po enciales empí i- cos, que a˜ naden una impo an e mejo a espec o a la eo ía elás ica isó opa y p ese an el ca ác e anisó opo del ma e ial. En nues- o modelo, cada línea de dislocación posee su p opia es uc u a del núcleo, que depende del po encial in e a ómico, y las ansiciones opológicas apa ecen de o ma na u al sin necesidad de es able- ce eglas de in e acción de mane a explíci a. Los aspec os eó icos ela i os a la mecánica disc e a de edes c is alinas pueden e se en de alle en A iza y O iz [8]. O o elemen o impo an e en nues- o modelo es el uso de la eo ía de au ode o maciones de Mu a [9] pa a calcula la ene gía almacenada en el c is al, dado un con- jun o de dislocaciones. La ap oximación disc e a en combinación con el o malismo de la ans o mada de Fou ie nos ha pe mi ido el cálculo a g an escala de una dis ibución de deslizamien os en un c is al de o ma e icien e [10]. Pa a ma e iales con es uc u a BCC, el mo imien o de dislocaciones de ipo o nillo a baja empe- a u a es á con olado po la nucleación y dinámica de escalones y escalones dobles. Dadas las es icciones c is alog á icas del ma e- ial, y g acias al complejo de ed de inido en el modelo disc e o, la geome ía de los de ec os de ipo escalón puede de ini se de o ma cla a y sencilla. Con independencia del modelo empleado, el cálculo a ni el a o- mís ico de la mecánica de dislocaciones cons i uye un p oblema complicado desde el pun o de is a an o numé ico como compu a- cional. En elación con es e úl imo aspec o, una o ma de agiliza los cálculos y gana al mismo iempo capacidad de cálculo compu acio- nal es median e la pa alelización en a qui ec u as mul ip ocesado en unidades de p ocesado g á ico (G aphical P ocessing Uni s, GPU). Los bene icios del uso de GPU pa a acele a algo i mos en pa alelo se han aplicado a a iedad de á eas, desde la química y la biología compu acional, has a los ideo-acele ado es. El desa ollo de apli- caciones en GPU equie e el uso de lenguajes de p og amación de al o ni el. En es e abajo hemos u ilizado el en o no de abajo CUDA (Compu e Uni ied De ice A chi ec u e), in oducido po NVIDIA en 2006 [11,12]. Se han ob enido las ene gías de o mación de escalo- nes dobles en dislocaciones de ipo o nillo y las co espondien es al c ecimien o de es os escalones en ma e iales BCC. Es os cálculos nos han pe mi ido es ablece las longi udes c í icas en las que la ene gía de in e acción en e escalones de inidos sob e la misma línea de dislocación iende a ce o. En el apa ado 2 se desc ibe b e emen e el complejo simplicial pa a ma e iales BCC, y en el apa ado 3, algunos elemen os de la eo ía disc e a de edes nece- sa ios pa a ilus a el modelo de cálculo. Po úl imo, en el apa a- do 4 hemos ob enido de o ma e ec i a las ene gías asociadas a la nucleación y c ecimien o de escalones dobles y las hemos compa- ado con esul ados p e ios, an o los basados en la eo ía elás ica lineal de dislocaciones [3], como los ob enidos median e simula- ciones a omís icas [13]. 2. Complejos de edes pa a c is ales cúbicos cen ados en el cue po (BCC) En es e apa ado p esen amos de o ma esumida el complejo de ed pa a ma e iales con es uc u a cúbica cen ada en las ca as (BCC) que hemos publicado an e io men e [8,10] y que nos a a pe mi i in oduci con mayo cla idad la ed dual co espondien e a es a es uc u a c is alina. Los mecanismos de dislocaciones en edes c is alinas pueden exp esa se en é minos de campos de i- nidos en la p opia ed (es o es, el campo de desplazamien os y la densidad de ene gía) y campos que se de inen en edes auxilia es, como los de au ode o maciones que desc iben las dislocaciones y los campos de densidad de dislocaciones, que son una medida del g ado de las au ode o maciones. La ed de B a ais pa a un c is al con es uc u a BCC se gene a a pa i de la base (-a/2,a/2,a/2), (a/2,-a/2,a/2), (a/2,a/2,-a/2). En nues- o modelo, conside amos la ed BCC como una colección de celdas C de dis in as dimensiones, do adas con ope ado es di e enciales disc e os y una in eg al disc e a. El complejo simplicial CW pa a es a ed ( igs. 1-3) cons a de: á omos o celdas-0, enlaces a ómicos o celdas-1, ca as elemen ales o celdas-2 y olúmenes elemen a- les o celdas-3. Todas las celdas deben ene una o ien ación que nos pe mi a de ini los ope ado es di e enciales disc e os de la ed. Supongamos que ω es una o ma-0 de inida en los á omos de la ed y eab es un enlace a ómico de inido en e los á omos a y b ( ig. 4). Además, supongamos que eab es á o ien ado desde a has a b. De es a o ma, el di e encial dω(eab) de ω en eab es: dω(eab) = ω(ea) − ω(eb). (1) Supongamos ambién que ω es una o ma-1 de inida en los enlaces a ómicos y eabc una celda iangula con los enlaces a ómicos eab, ebc, eca a lo la go de su con o no ( ig. 4). En onces, el di e encial dω(eab) de ω en eabc es: dω(eabc) = ω(eab) + ω(ebc) + ω(eca) (2) Po úl imo, si ω es una o ma-2 de inida en las celdas iangula es, en onces su di e encial es el ec o : dω = e2∈E2(C) ω(e2) (3) Po lo an o, el ope ado di e encial ex iende: o mas-0, de ini- das en los á omos, a o mas-1, de inidas en los enlaces a ómicos; o mas-1, de inidas en los enlaces a ómicos, a o mas-2, de inidas en las celdas iangula es; y o mas-2, de inidas en las celdas ian- gula es, a ec o es. Los ope ado es di e enciales disc e os pueden en ende se como los equi alen es disc e os del g ad, o y di del cálculo ec o ial. En conc e o, el di e encial de o mas-0 es el equi- alen e disc e o del ope ado g ad, el di e encial de o mas-1 es el equi alen e disc e o del ope ado o y el di e encial de o mas-2 es el equi alen e disc e o del ope ado di del cálculo ec o ial. Puede comp oba se a pa i de la de inición de los ope ado es disc e os [14] que: d2= 0 (4) que ep esen a el equi alen e disc e o de las iden idades o ◦ g ad = 0 y di ◦ o = 0. Ag upando po ipos las celdas C de la ed BCC, podemos e que den o de un mismo ipo las celdas son aslaciones unas de o as y ienen los mismos ecinos, po lo an o o man edes de B a ais simples [8]. Los ma e iales BCC ienen un ipo de á omos y 7 ipos de enlaces a ómicos ( ig. 1), 12 ipos de celdas iangula es ( ig. 2) y 6 ipos de celdas e aéd icas ( ig. 3), siendo 1= (1, 0, 0), 2= (0, 1, 0), 3= (0, 0, 1), 4= (1, 1, 1), E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 137 l l+ 1 l+ 2 l+ 3 l+ 7 l- 1 l- 2 l- 3 l- 7 l+ 4 l- 4 l+ 6 l- 6 l+ 5 l- 5 l (l,1) (l- 4,4) (l,6) (l- 6,6) (l- 5 ,5) (l- 1,1) (l,7) (l- 7 ,7) (l,5) (l,2) (l- 2 ,2) (l,4) (l,3) (l- 3 ,3) (b)(a) Figu a 1. Rep esen ación del complejo de ed cúbica cen ada en el cue po. a) Vé ices. b) G upo de a is as elemen ales. 32 416 7 5 810 11 12 9 (a) (b) (c) Figu a 2. Rep esen ación del complejo de ed cúbica cen ada en el cue po. G upo de á eas elemen ales. 5= (0, 1, 1), 6= (1, 0, 1) y 7= (1, 1, 0). Consecuen emen e, es posible aplica al es udio de las o mas disc e as que hemos des- c i o an e io men e la ans o mada disc e a de Fou ie (TDF) y sus p opiedades, que incluyen la iden idad de Pa se al disc e a y un eo ema de con olución disc e o ( éanse pa a más de alles [8,15]). La es uc u a di e encial pa a la ed BCC de inida en las ecuaciones (1) y (2) puede e se en de alle en Ramasub amaniam e al. [10]. El complejo se escoge de o ma que con iene las di ecciones de deslizamien o 1 2111 y los planos de deslizamien o {110}. Como e e encia, en la abla 1 se p esen an los p incipales sis emas de deslizamien o de las edes BCC. Puede e se ácilmen e que los Tabla 1 Sis emas de deslizamien o en c is ales BCC en no ación de Schmid y Boas. m es la no mal uni a ia al plano de deslizamien o y s el ec o uni a io en la di ección del ec o Bu ge s. Nó ese que los ec o es se exp esan en coo denadas ca esianas y no en la base del c is al S. D. A2 A3 A6 B2 B4 B5 √3s [111] [111] [111] [111] [111] [111] √2m (011) (101) (110) (011) (101) (110) S. D. C1 C3 C5 D1 D4 D6 S. D. C1 C3 C5 D1 D4 D6 √3s [111] [111] [111] [111] [111] [111] √2m (011) (101) (110) (011) (101) (110) conjun os elemen ales de a is as y ca as ienen en cuen a es os sis emas. 2.1. Red dual de edes BCC p ima ias La geome ía de las dislocaciones se comp ende con más cla i- dad cuando de inimos el conjun o dual de nues o g upo de celdas p ima ias C [14]. Dado un complejo idimensional, el dual de cada celda-3 de C a a se su ba icen o, es deci , elemen os de o den-0. El conjun o dual de las celdas-2 de C a a es a o mado po segmen os o elemen os de o den-1 y consis e, pa a cada celda iangula , en un pa de segmen os que unen el ba icen o de la ca a elemen al con los ba icen os de los e aed os que ienen en común ( igs. 5 y 6). El conjun o dual de las celdas-1 de C a a se en gene al una supe - icie en su conjun o no plana y de con o no ec o. Nues o in e és ecae en el segundo de es os conjun os, ya que nos a a pe mi i de ini las líneas de dislocación a ni el a omís ico con o al p eci- sión, conca enando segmen os duales elemen ales. Es os pa es de segmen os duales o man ambién edes de B a ais simples. Hay 12 ipos en o al. 3. Ene gía almacenada en dislocaciones disc e as Vamos a comenza es e apa ado exponiendo algunos elemen- os de la eo ía disc e a [8] que necesi a emos pa a ob ene más adelan e la exp esión de la ene gía de o mación de de ec os ipo 138 E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 Figu a 3. Rep esen ación del complejo de ed cúbica cen ada en el cue po. G upo de olúmenes elemen ales. ba c ba Figu a 4. Diag ama pa a la de inición de los ope ado es di e enciales disc e os en a is as y ca as del complejo de ed. escalón en una línea de dislocación. Discu i emos b e emen e la ob ención del modelo de cons an es de ue za a pa i de po en- ciales in e a ómicos [16,17] y, po úl imo, p esen a emos algunos de alles de la implemen ación del cálculo de la ene gía en CUDA. En el con ex o de los ope ado es disc e os y dada la in a iancia de la ene gía de un c is al en e a aslaciones, la ene gía de una ed pe ec a puede esc ibi se desde el pun o de is a del di e encial del campo de desplazamien os du y unas cons an es de ue za en e enlaces a ómicos B, en luga de la ep esen ación clásica en é mi- nos del campo de desplazamien os u y unas cons an es de ue zas en e á omos A. De es a o ma enemos: E(u) = e1∈E1 e′ 1∈E1 1 2Bij(e1, e′ 1)dui(e1)duj(e′ 1) ≡1 2Bdu, du (5) Figu a 5. Pa de segmen os elemen ales duales a la celda-2 ipo 4 del complejo p ima io BCC. Figu a 6. Rep esen ación de segmen os elemen ales de la ed dual pa a algunas celdas de o den 2. E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 139 donde Bij(e1, e′ 1) ep esen a la ene gía de in e acción dado un di e- encial de desplazamien o unidad en la di ección de la coo denada j en el enlace e′ 1y un di e encial de desplazamien o unidad en la di ección de la coo denada i en el enlace e1. Dado que el ope ado di e encial es lineal, la ene gía (5) puede esc ibi se al e na i a- men e como: E(u) = e0∈E0 e′ 0∈E0 1 2Aij(e0, e′ 0)ui(e0)uj(e′ 0) ≡1 2Au, u (6) donde Aij(e0, e′ 0) ep esen a la ene gía de in e acción dado un des- plazamien o unidad en la di ección de la coo denada j en el á omo e′ 0y un desplazamien o unidad en la di ección de la coo denada i en el á omo e0. Además, po la in a iancia an e aslaciones de la ed, podemos esc ibi Bdu y Au en o ma de con olució y as aplica la inden i- dad de Pa se al podemos ob ene la ep esen ación de la TDF de la ene gía a mónica como: E(u) =1 (2)2[−,]2 1 2ˆ () du(), du∗() d2 (7a) E(u) =1 (2)2[−,]2 1 2ˆ ˚()ˆ u(),ˆ u∗() d2 (7b) Las ep esen aciones an e io es indican que los campos de cons an- es de ue zas en e enlaces a ómicos,  , y en e á omos, ˚, es án elacionados po : ˆ ij = QT 1ˆ ijQ∗ 1(8) donde Q1 ep esen a el ope ado di e encial en e celdas-0 y celdas- 1 exp esado en el dominio de Fou ie [10]. En es e pun o, es ácil dispone de la ene gía de un c is al con dislocaciones solo con inclui en la exp esión (5) las au ode o maciones co espondien es a deslizamien os en el c is al [9]. Dada una de o mación homogénea in a ian e de la ed de la o ma: F = I + db ⊗ m (9) donde m es la no mal uni a ia al plano de deslizamien o, b el ec- o de Bu ge s, d la dis ancia en e planos y  ∈ Z la magni ud del deslizamien o, las au ode o maciones ˇ son: ˇ = (F − I)dx(e1) = (dx(e1) · m) db. (10) El p oduc o (dx(e1) · m) es ce o cuando la a is a co espondien e es á con enida en el plano de deslizamien o y es igual a la dis ancia en e planos d en caso con a io. Podemos supone que las au ode- o maciones exac as o compa ibles de es e ipo no cues an ene gía al c is al. Po lo an o, la ene gía elás ica puede esc ibi se como: E(u, ) =1 2B(du − ˇ), du − ˇ (11) que sus i uye la ecuación (5) cuando exis e deslizamien o c is alo- g á ico. Suponiendo una dis ibución de ue zas : E0→ Rnac uando sob e el c is al, la ene gía po encial o al de la ed iene dada po : F(u, ) = E(u, ) −  , u (12) Minimizando F(u, ) con espec o a u, ob enemos la ecuación de equilib io: Au = + ıBˇ (13) donde ıB␤ puede conside a se la dis ibución de au o ue zas co espondien e a la au ode o mación ˇ. La ene gía almacenada en el c is al en é mino del campo de deslizamien o se esc ibe como: E() =1 2H,  (14) donde el ope ado H se de ine po H,  = Bˇ, ˇ − A−1ıBˇ, ıBˇ (15) en la que ˇ y  se elacionan median e ˇ = M  s=1 e1∈E1(ms) s(e1)bse1. (16) Po in a iancia en e a aslaciones debemos ene H =  ∗  (17) pa a un módulo de endu ecimien o disc e o  , el cual queda o al- men e de inido a pa i de las cons an es de ue za del ma e ial. En la eo ía elás ica de dislocaciones [9] se demues a que la ene gía (14) puede exp esa se en unción de la densidad de dis- locaciones ˛ y que dicha ene gía, E(˛), es independien e de la dis ibución de dislocaciones u ilizada pa a induci ˛. Po lo an o, 2 dis ibuciones que di ie en de o ma exac a y que, en con- secuencia, ep esen an la misma densidad de dislocaciones son ene gé icamen e iguales. El análogo disc e o se puede ob ene usando la descomposición de Hodge-Helmhol z pa a edes pe ec- as: ˇ = d + ı−1˛ (18) donde = −1ıˇ. Sus i uyendo es a exp esión po (11) y minimi- zando la ene gía po encial F(u, ˛) con espec o a u, se ob iene: F(˛) = E(˛) − Bı−1˛, dA−1  −1 2 , A−1  (19) Po lo an o, de o ma análoga a la eo ía con inua, hemos de i ado la exp esión de la ene gía almacenada en é minos de densidad de dislocaciones a pa i de la ene gía co espondien e a una dis ibu- ción de dislocaciones. Vemos a con inuación la o ma de allada de la ene gía almacenada E(˛). 3.1. Ene gía asociada a la nucleación y mo imien o de escalones En la mayo ía de los ma e iales con es uc u a c is alina no exis en las dislocaciones ec as. En gene al, las dislocaciones con- ienen escalones y quieb os; los segmen os co espondien es a los p ime os es án con enidos en el plano de deslizamien o de la dis- locación mad e, mien as que los segmen os co espondien es a los segundos son pe pendicula es a es e plano de deslizamien o. Los escalones son bas an e mó iles en compa ación con los quie- b os, que son incapaces de desliza en los planos c is alog á icos del ma e ial y equie en pa a mo e se la di usión de de ec os en la ed, ales como acan es o á omos in e s iciales. Aquí nos cen amos en la de e minación de las ene gías asocia- das a la nucleación y al c ecimien o de escalones en dislocaciones de ipo o nillo. A baja empe a u a, cuando la densidad de dis- locaciones es baja y puede po an o cali ica se como diluida, el compo amien o plás ico de ma e iales BCC es unción de la mo i- lidad de es os escalones. Hay 2 ipos de escalones: los aislados, o escalones geomé icos, y los escalones dobles. Es os úl imos ienen una ene gía de o mación ela i amen e baja, se o man y desa- pa ecen espon áneamen e si hay ene gía é mica su icien e y su concen ación esponde a una dis ibución de Bol zmann. Una ez o mado el doble escalón, cada escalón puede aleja se del o o 140 E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 dando luga a una nue a línea de dislocación y 2 escalones ais- lados. La epe ición del p oceso desc i o no es sino el mo imien o de dislocaciones de ipo o nillo. En i ud de la descomposición disc e a de Hodge-Helmhol z pa a edes pe ec as [8], la ene gía almacenada en unción de la densidad de dislocaciones ˛ se esc ibe como: E(˛)=1 2Bı−1˛, ı−1˛ −1 2A−1ıBı−1˛, ıBı−1˛ ≡1 2 ∗ ˛, ˛ (20) donde  ep esen a la ene gía de in e acción en e 2 segmen os de dislocación uni a ios. En las aplicaciones que amos a e en es e abajo u iliza emos la ep esen ación de la TDF pa a la exp esión an e io : E(˛) =1 (2)3[−,]3 1 2ˆ Ŵ()ˆ ˛(),ˆ ˛∗()d1d2d3(21) donde ˆ Ŵ =ˆ −T 2Q∗ 2(ˆ  −ˆ Q∗ 1ˆ −1QT 1ˆ )QT 2ˆ −1 2(22) y 2 ep esen a el ope ado laplaciano disc e o y se ob iene a pa i de los ope ado es di e enciales Qi[8]. Vamos a es udia las siguien es con igu aciones ( ig. 7): •Caso A: nucleación de un escalón doble en un pun o a bi a io sob e una línea de dislocación in ini a y pos e io sepa ación de los escalones en la di ección de la línea in ini a. •Caso B: nucleación de un escalón doble en un pun o a bi a io sob e una línea in ini a en la que exis e un escalón doble a una dis ancia LB. •Caso C: nucleación de un escalón doble en un pun o a bi a io sob e una línea in ini a en la que exis e un escalón aislado a una dis ancia LC. En odos los casos, el inc emen o de ene gía asociado al cambio de con igu ación iene dado po E = Ek+1− Ek =1 (2)3[−,]3 1 2ˆ Ŵ() ˆ˛k+1(), ˆ˛∗ k+1()d1d2d3 −1 (2)3[−,]3 1 2ˆ Ŵ() ˆ˛k(), ˆ˛∗ k()d1d2d3 =1 (2)3[−,]3ˆ Ŵ() ˆ˛k(),  ˆ˛∗()d1d2d3 +1 (2)3[−,]3 1 2ˆ Ŵ() ˆ˛(),  ˆ˛∗()d1d2d3 (23) y puede esc ibi se ambién como E = Ein e acción+ Ebucle (24) Caso A Caso A LA LB LC Caso B Caso C Figu a 7. Esquema de las 3 con igu aciones que es udiamos en es e abajo. siendo ˛ = ˛k+1− ˛k(25) la di e encia de la densidad de dislocación de las con igu aciones k + 1 y k. En pa icula , la mínima di e encia en e 2 con igu aciones consis e en aplica un deslizamien o  en una a is a elemen al. Cada deslizamien o uni a io en una a is a da luga a una densidad de dis- locación uni a ia en las ca as que ienen esa a is a en común y se co esponde en la ed dual con un g upo de segmen os elemen ales ( ig. 6) que o man bucles elemen ales o líneas de dislocación ele- men ales. Cuando la a is a elemen al es de ipo ca esiano, el bucle es á o mado po cua o pa es de segmen os elemen ales ( ig. 8a), mien as que si el bucle es de ipo diagonal, el bucle es á o mado po 6 pa es de segmen os elemen ales ( ig. 8b). Los deslizamien os  en a is as con iguas o iginan líneas de dis- locación que se o man po supe posición de bucles de dislocación elemen ales. En la igu a 9 puede e se un ejemplo co espondien e a la línea de dislocación pa a un deslizamien o uni a io en 2 a is as con iguas, una ca esiana y o a diagonal. En nues o modelo disc e o podemos de ini una línea de dis- locación in ini a a pa i de segmen os de dislocación elemen ales, solo con elegi adecuadamen e las ca as o celdas-2 que ienen un campo de densidad de dislocación ˛ dis in o de ce o. A modo de ejemplo, la línea de dislocación in ini a en la di ección (111) que se mues a en la igu a 10 ep esen a densidades de dislocación dis- in as de ce o en la ca as e2(i, l) que siguen la secuencia {e2(6, l), e2(12, l), e2(2, l)} (u ilizamos la nume ación de las ca as mos ada (a) (b) Figu a 8. Bucles de dislocación elemen ales en ma e iales BCC. a) Bucle ipo ca e- siano. b) Bucle ipo diagonal. Figu a 9. Línea de dislocación pa a un deslizamien o uni a io en 2 a is as con iguas. E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 141 Figu a 10. Geome ía de una línea de dislocación in ini a en la que se nuclea y c ece un escalón doble. en la ig. 2), siendo l el índice de la ed de B a ais [8]. Su de inición en el espacio eal iene dada po ˛(e2(2, l)) = ı(x − a3), −∞ ≤  ≤ +∞ ˛(e2(6, l)) = ı(x − a3− a1− a2), −∞ ≤  ≤ +∞ ˛(e2(12, l)) = −ı(x − a3− a1), −∞ ≤  ≤ +∞ (26) y aplicando la TDF [18], los ˆ˛() se de inen de la siguien e o ma ˆ˛(2, ) = 2ı( − ) ˆ˛(6, ) = 2ı( − )e−i1e−i2 ˆ˛(12, ) = −2ı( − )e−i1 (27) Cuando sob e es a línea se nuclea un escalón doble y es e aumen a su longi ud inicial, se gene a una nue a línea de disloca- ción de longi ud ini a y pa alela a la línea in ini a o iginal ( ig. 10). Podemos ob ene ácilmen e los nue os alo es de ˆ˛() pa a los 2 escalones, las 2 líneas semi-in ini as y la línea ini a. Po ejemplo, pa a el nue o segmen o que sigue la secuencia de celdas elemen- ales {e2(4, l), e2(8, l), e2(10, l)}, ob enemos ˆ˛(4, ) = e−i(21+2) N  k=1 e−ik3 ˆ˛(8, ) = e−i1 N  k=1 e−ik3 ˆ˛(10, ) = −e−i(1+2) N  k=1 e−ik3 (28) Dado el ca ác e oscila o io de los in eg andos en la ecuación (23) y las unciones ı que apa ecen en  ˆ˛(), el cálculo de los inc emen os de ene gía E iene un cos e compu acional ele ado. 3.2. Po enciales in e a ómicos La modelización a ni el a omís ico de de ec os en ma e iales no malmen e implica el uso de po enciales empí icos o semiempí- icos. Exis e una g an a iedad de dichos po enciales, po ejemplo, en e pa es de á omos como el clásico de Lenna d-Jones, o po en- ciales que hacen uso de unciones de inidas en e á omos como el mé odo de los á omos embebidos (EAM) pa a me ales FCC, el mé odo de los á omos embebidos modi icados (MEAM) pa a me a- les BCC, el po encial de Finnis-Sinclai (FS) [16] o el más ecien e po encial de Finnis-Sinclai ex endido [17] pa a ma e iales de an- sición. Es e úl imo, basado en el po encial de Finnis-Sinclai , pe o incluyendo polinomios de mayo g ado, e alúa más adecuada- men e la ene gía del c is al en condiciones lejanas al equilib io pa a ma e iales BCC y ex iende el po encial a ma e iales con es uc u a FCC. La ene gía de un c is al, según el po encial de Finnis-Sinclai , puede exp esa se como E =1 2 i,j Vij( ij) + i Fi(i) (29)  = j ij( ij) donde ij son las dis ancias in e a ómicas, V y  los po enciales en e pa es de á omos,  la densidad elec ónica y F la unción de embebido. El po encial ex endido de Finnis-Sinclai [17] se di e en- cia del clásico [16] en el é mino V( ), que incluye un polinomio de sex o g ado, es o es V( ) =( − c)2(c0+ c1 + c2 2+ c3 3+ c4 4) , ≤ c 0 , > c donde c es el pa áme o de co e conside ado en e segundos y e ce os ecinos. Los pa áme os c0, c1, c2, c3y c4se ajus an pa a cada ma e ial. Además, es e po encial ex endido a˜ nade un segundo é mino en la unción de densidad elec ónica , que oma un alo nulo pa a es uc u as c is alinas ipo BCC. Adap ando es e po encial a nues o modelo disc e o de edes, la ene gía puede esc ibi se como E =1 2E1 V(|dx(e1)|) +E0 F() (30)  =E1S (e0) (|dx(e1)|) Si se linealiza la ene gía, las cons an es de ue za en e a is as se ob ienen como B(e1, e1) = PI + Qdx(e1) ⊗ dx(e1) |dx(e1)|2 B(e1, e′ 1) = Rdx(e1) ⊗ dx(e′ 1) |dx(e1)||dx(e′ 1)| (31) si {e1, e′ 1} ienen un é ice en común B(e1, e′ 1) = 0 o o caso donde P, Q y R son combinaciones de las de i adas de V, F y . Pa a compa a las di e encias, al usa los po enciales de Finnis- Sinclai y Finnis-Sinclai ex endido en nues o modelo disc e o se han calculado las cons an es elás icas, c11, c12 y c44, a pa i de dichos po enciales median e la ma iz dinámica de la ed cijkl + cilkj =ı2Dik ıkjıkl (0) (32) donde Dik es la ma iz dinámica ob enida a pa i de las cons an es de ue za in e a ómicas (31). El alo de las cons an es elás icas pa a di e en es ma e iales, calculadas a pa i de ambos po enciales y su alo expe imen al, puede e se en la abla 2. 3.3. Implemen ación en CUDA En es e apa ado desc ibimos b e emen e cómo hemos u ili- zado la ecnología CUDA de NVIDIA pa a in eg a el modelo de 142 E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 Tabla 2 Cons an es elás icas (Mba ) pa a dis in os ma e iales Expe imen al Finnis-Sinclai Finnis-Sinclai ex endido c11 c12 c44 c11 c12 c44 c11 c12 c44 Mo 4,637 1,578 1,092 4,641 1,613 1,088 - - - Ta 2,663 1,582 0,874 2,656 1,610 0,823 2,522 1,629 0,857 V 2,29 1,21 0,444 2,276 1,185 0,425 2,240 1,177 0,446 W 5,32 2,049 1,631 5,218 2,044 1,602 5,301 2,056 1,624 p og amación GPGPU en el cálculo de las in eg ales en la ecua- ción (23). Es a ecnología se basa en ap o echa la pa alelización en la ejecución de los p ocesos en la GPU y, además, se bene icia del hecho de que las a je as g á icas, usadas como disposi i os de cálculo, son a su ez compa ibles con equipos in o má icos con- encionales. Pa a calcula el inc emen o de ene gía (23) hemos codi icado en lenguaje C el mé odo de Simpson pa a la in eg ación numé ica. El dominio de in eg ación es en gene al idimensional, po lo an o enemos un bucle iple anidado que, codi icado en C, adop a la o ma básica: o (i = 0; i < pun os; i + +) o (j = 0; j < pun os; j + +) o (k = 0; k < pun os; k + +) (33) La mani ies a pa alelización de es e código hace que su adap ación a CUDA C sea muy in ui i a y po consiguien e inmedia a. Se obse a que si omamos como índice p incipal i, las ope aciones es an es que se ealizan median e el bucle doble son independien es en e sí. Es o pe mi e aslada el p oblema de una ejecución secuencial en CPU a una ejecución en pa alelo en la GPU, es ableciendo una co espondencia en e los é minos del índice i y los hilos de eje- cución. De es a o ma, se log an lanza en pa alelo an os bucles dobles en la GPU como sean necesa ios. La en aja que o ece es e algo i mo es su inmedia a adap a- ción a CUDA, que esul a muy in ui i a y po consiguien e sencilla. Sin emba go, no debe ol ida se la limi ación de la capacidad de almacenamien o del disposi i o. En el caso que hemos analizado, las es uc u as de memo ia oluminosas se han c eado y almace- nado en la memo ia global, asignando a cada hilo unas posiciones pa a almacena los esul ados ese adas a p io i. Con ello hemos e i ado posibles p oblemas de colisión en e hilos. Una ez con- cluido el p oceso de e aluación y e minada la ejecución de odos los hilos, se han sumado los esul ados en la CPU, de mane a ápida y e icien e. O o aspec o di e enciado en e ambos algo i mos que con iene des aca es la es uc u a de almacenamien o de da os. En gene al, en el algo i mo o iginal los da os es án almacenados en enso es de o den n, mien as que en su e sión en CUDA se alma- cenan en o ma de ec o es ubicados an o en la memo ia global de la GPU, pa a los da os de en ada, como en los egis os, pa a los da os auxilia es p opios de los hilos que no compa en in o mación en e ellos. El código CUDA C emplea p ecisión loa sencilla. Sin emba go, es impo an e ene p esen e que los é minos de los in eg andos son complejos y, po an o, cada da o ocupa 8 By es de memo ia en o al. Los cálculos se han ealizado en un equipo con encional In el Quadco e @2.33 GHz con 4 GB de memo ia RAM. El disposi i o GPU es una a je a NVIDIA 265GTX con 1 GB de memo ia global, 16 kB de memo ia local, 64 kB de memo ia compa ida y 96 núcleos. Hemos u ilizado las biblio ecas y los pilo os pa a el sis ema ope- a i o OpenSuse 10.4 y el compilado n cc que inco po a NVIDIA. Pa a la compilación del código en CUDA, hemos usado las bande as n cc − lcublas ∗ .cu − o ile (34) La ejecución del código implica la de inición de 2 pa áme os, es o es, el núme o de bloques y el núme o de hilos po bloque. Hemos podido comp oba que la elocidad de ejecución en GPU es sensible al núme o de bloques Nb, y que se ob ienen las máximas elocidades cuando se u iliza un núme o de bloques múl iplo de 64. Es e hecho es independien e del núme o de hilos Nhque de i- namos en cada bloque y de la u ilización comple a o no del o al de hilos que esul a del p oduc o Nb× Nh. En segundo luga , hemos pues o a pun o la he amien a de cálculo median e un es udio de sensibilidad espec o del núme o de pun os de in eg ación nece- sa ios pa a alcanza una con e gencia acep able en los esul ados pa a el p oblema que que emos abo da . En la abla 3 incluimos los iempos de ejecución y alo es de ene gía pa a una con igu ación conc e a ( ig. 11), en unción del núme o de pun os de in eg ación en cada dimensión, N, y del en o no de ejecución: GPU, CPU sis- ema ope a i o Windows y CPU sis ema ope a i o Linux. Dado que la mejo a alcanzable en los iempos de ejecución en la CPU es una cues ión ex ensamen e es udiada pa a algo i mos an sencillos en su es uc u a como el u ilizado en es e abajo, haciendo o no uso de lib e ías OpenMP y MPI, nues o obje i o ha sido compa a los iempos de ejecución en CPU, sin ges ión e icien e de los mic o- p ocesado es, y en GPU. Los iempos de ejecución en GPU ienen un compo amien o del ipo N2, consis en e con la u ilización de un bucle doble en luga del bucle iple anidado inicial, g acias a la pa alelización de uno de los bucles anidados. A la is a de los esul ados p esen ados en la abla 3 podemos conclui que pa a N = 100 se alcanza la máxima con e gencia. Sin emba go, la u ilización de 64 pun os de in eg ación implica una educción de iempo conside able, con una di e encia en el alo de la ene gía o almen e acep able. Po o o lado, es in e esan e des aca que, cuando el núme o de pun os de in eg ación N eque- ido pa a alcanza la con e gencia es mayo de 100, el iempo de cálculo en CPU se dispa a, mien as que pa a alo es mayo es de 200 esul a simplemen e inabo dable. 4. Resul ados numé icos Como hemos desc i o en el apa ado 3, es amos in e esados en el cálculo de la ene gía de o mación de de ec os en 3 si uaciones dis in as ( ig. 7), que se co esponden con algunos de los mecanis- mos de mo imien o de dislocaciones de ipo o nillo en ma e iales BCC a baja empe a u a. En pa icula , amos a ob ene es as ene - gías pa a 3 ma e iales: molibdeno (Mo), wol amio (W) y án alo (Ta), g acias al modelo de cons an es de ue za ob enido median e la linealización del po encial ipo Finnis-Sinclai [17], alidado en el apa ado 3.2. 4.1. Caso A Pa a calcula la ene gía de nucleación de un escalón doble, pa - imos de una con igu ación con un de ec o de inido po ˛k, es o es, una línea de dislocación in ini a, y a˜ nadimos un de ec o de inido po ˛, el meno bucle de dislocación que se pueda gene a espon á- neamen e sob e la dislocación inicial. La al u a del escalón doble de meno ama˜ no es la dis ancia en e dos mínimos del po encial de Peie ls [3] y se co esponde con el módulo del ec o de Bu ge s del ma e ial. En nues o modelo, es e bucle, que denomina emos en adelan e bucle básico, esul a de la supe posición de 4 bucles elemen ales: dos de ipo ca esiano y 2 de ipo diagonal ( ig. 11). E. Tellechea e al / Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing. 2013;29(3):135–145 143 Tabla 3 Compa ación de los alo es de la ene gía de in e acción pa a el caso 0 cuando LA= 20a, pa a dis in o núme o de pun os de in eg ación N. La columnas CPU/GPU ep esen an la acele ación del iempo de ejecución GPU espec o CPU. GPU CPUwindows CPU/GPU CPUlinux CPU/GPU N Tiempo (s) Ene gía (eV) Tiempo (s) Ene gía (eV) Tiempo (s) Ene gía (eV) 20 111 −6.236E+00 140 −6.236E+00 1,26 100 −6.236E+00 0,90 50 703 −8.052E-01 3100 −8.052E-01 4,41 1250 −8.052E-01 1,78 60 1026 −8.059E-01 5340 −8.059E-01 5,20 2160 −8.059E-01 2,10 64 1175 −8.060E-01 6463 −8.060E-01 5,49 3008 −8.060E-01 2,56 100 2905 −8.061E-01 16400 −8.061E-01 5,64 11400 −8.061E-01 3,92 200 12180 −8.061E-01 130800 −8.061E-01 10,73 103400 −8.061E-01 8,48 300 30170 −8.061E-01 – – – – – – 400 61690 −8.061E-01 – – – – – – Hemos conside ado una línea de dislocación in ini a inicial ( ig. 11) con ac i idad en el sis ema de deslizamien o C5 ( abla 1) y de inida po la secuencia {e2(4, l), e2(8, l), e2(10, l)}, con ec o de Bu ge s 1 2a0111. En el espacio de Fou ie ˆ˛() se de ine como ˆ˛(8, ) = 2ı( − )ei2 ˆ˛(4, ) = −2ı( − )e−i1 ˆ˛(10, ) = 2ı( − ) (35) Mien as que  ˆ˛() pa a el bucle básico iene dado po ˆ˛(3, ) = e−i(1+3)− e−i(1+23) ˆ˛(4, ) = e−i(21+2+23)− e−i(1+3) ˆ˛(5, ) = e−i1− e−i(1+3) (36) ˆ˛(8, ) = e−i(1+3)− ei2 ˆ˛(10, ) = e−i(1+2+3)− e−i3 (37) La ene gía de o mación de un escalón doble de longi ud LA, según la eo ía clásica de dislocaciones [3], puede exp esa se como E o = 2E o + Ein (38) donde E o es la au oene gía asociada a un escalón aislado y el é - mino Ein co esponde a la ene gía de in e acción en e escalones. Dado que es e é mino es in e samen e p opo cional a la longi- ud de sepa ación en e escalones LA, su alo iende a ce o cuando los escalones es án su icien emen e alejados. Cuando es o sucede, podemos deci que es amos en la condición de escalones simples aislados. Los esul ados ob enidos pa a los 3 ma e iales es udia- dos se han ep esen ado en la igu a 12 jun o con los alo es de la ene gía de o mación co espondien es a la eo ía elás ica lineal de dislocaciones. La compa ación es buena, pe o dado que la ene gía (38) se exp esa en é minos de un pa áme o  sin signi icado ísico, Figu a 11. Geome ía de un bucle de dislocación básico nucleado en una línea de dislocación in ini a de di ección (111). su alidez es más cuali a i a que cuan i a i a. Nues os esul ados pa a la ene gía de o mación de un escalón aislado en Ta concue dan con los ob enidos po Mo ia y e al. [13] pa a 16 posibles con igu- aciones de escalones. En la igu a 12 puede e se que pa a án alo ob enemos una ene gía po escalón de ap oximadamen e 0.9 eV, mien as que los alo es calculados en Mo ia y e al. [13] oscilan en e 0.67 y 1.84 eV, dependiendo de la con igu ación. La ene gía de nucleación del escalón doble se co esponde con el p ime alo en las cu as (LA= b) en la igu a 12. 4.2. Caso B Que emos de e mina en es e caso la posición en la que la ene gía de nucleación de un escalón doble es independien e de la exis encia de o o escalón doble en la línea de dislocación in ini a ( ig. 13). Pa a án alo, hemos ob enido que la dis ancia LAen e el escalón doble inicial y el nue o es ap oximadamen e 10a, siendo a el pa áme o de ed del ma e ial. El inc emen o de ene gía nece- sa io pa a nuclea el doble escalón a dis ancias mayo es es igual al calculado en el caso an e io ( ig. 14). 4.3. Caso C Po úl imo, hemos de e minado la dis ancia LCen la que la nucleación de un nue o escalón doble en una línea de dislocación en la que exis e inicialmen e un escalón aislado ( ig. 15) pod ía ase- meja se al caso 0, es o es, a la nucleación de un escalón doble en una línea de dislocación ec a in ini a. Los esul ados ob enidos indican ( ig. 16) que cuando la dis ancia de sepa ación LCen án alo es ≈10a, el inc emen o de ene gía necesa io pa a nuclea un doble escalón en una línea de dislocación in ini a con un escalón aislado iende a 0.8 eV, el mismo que ob u imos en el caso 0 pa a es e ma e ial. A Figu a 12. Ene gía de o mación co espondien e al c ecimien o de un escalón doble pa a di e sos ma e iales BCC.