i
F
P oyec o Fin de Ca e a
G ado de Ingenie ía Ae oespacial
El iempo de la mecánica cuán ica
Au o : Ne ea Adame Pas o
Tu o : José Ma ínez Ga cía
Dep. Física Aplicada III
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2017
In oducción
iii
P oyec o Fin de G ado
G ado de Ingenie ía Ae oespacial
El iempo de la mecánica cuán ica
Au o :
Ne ea Adame Pas o
Tu o :
José Ma ínez Ga cía
P o eso i ula
Dep. Física Aplicada III
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2017
In oducción
P oyec o Fin de Ca e a: El iempo de la mecánica cuán ica
Au o :
Ne ea Adame Pas o
Tu o :
José Ma ínez Ga cía
El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es
miemb os:
P esiden e:
Vocales:
Sec e a io:
Acue dan o o ga le la cali icación de:
Se illa, 2017
El Sec e a io del T ibunal

In oducción
ii
Resumen
l obje i o de es e abajo de in de g ado es apo a una isión gene al de cómo el
papel del iempo ha supues o desde un p ime momen o una incógni a in ínseca a
odo sis ema cuán ico conside ado.
Pa a ello se conside an los hi os más ele an es que o man pa e de la e olución de es e
concep o, que se p esen an a lo la go de odo el abajo de o ma c onológica.
Se pa e desde p incipios del siglo XX, cuando su gen los p ime os es udios de sis emas
cuán icos, que empiezan a cob a ele ancia en el ma co de la ciencia, y con los que nacen las
p ime as incógni as en cuan o al a amien o del iempo en es e ámbi o.
Así se p ocede has a llega a la ac ualidad, donde aún se encuen an p oblemas a la ho a de
conside a la in e ención del iempo en de e minados expe imen os.
Finalmen e se mues a un b e e esumen donde se p esen an las e ien es más impo an es
que han ido su giendo según la e olución de los undamen os de la cuán ica, así como las
conclusiones ob enidas as la ecopilación de dichos hi os.
E
In oducción
ix
Índice
Resumen ii
Índice ix
1 In oducción 1
2 An eceden es 3
3 Teo ema de Pauli 7
4 Posi i e ope a o - alued measu e (POVM) 11
4.1 Ope ado es p oyección 12
4.2 Ope ado es densidad 12
4.3 Expe imen os de medida 13
4.4 Aplicación a un obse able 14
4.5 Concep o de POVM 15
4.6 Obse able iempo y POVM 16
4.6.1 Caso cinemá ico 17
4.6.2 Analogía empo al 18
4.6.3 Medidas de
con POVM no o ogonales 19
5 Dis ibución de Kijowski 23
5.1 Dis ibuciones de p obabilidad 24
5.1.1 Caso cuán ico 25
5.2 Cálculo del iempo medio y la des iación media 26
5.3 Ope ado iempo 28
5.4 Conclusión 29
6 P incipios de Ince idumb e: Ope ado de Aha ono -Bohm 31
6.1 In e p e ación de Mandels amm-Tamm 32
6.2 In e p e ación de Landau-Peie ls 33

7
3 TEOREMA DE PAULI
o i ado po los hallazgos de la época en la ma e ia, en 1933, W. Pauli con ibuye a
lo que puede conside a se uno de los g andes hi os, con su segunda publicación
enciclopédica, donde, a pie de página apa ece b e emen e desa ollado, no como
eo ema si no más bien como una ano ación, lo que hoy día se denomina Teo ema de Pauli
[4]. Es o supone un pun o de in lexión en cuan o a cómo abo da y en ende el p oblema.
Su análisis oma como e e encia el abajo an e io men e ealizado po M. Bo n, quien en
1925, es ableció las elaciones de conmu ación exis en e en e obse ables canónicamen e
conjugados. En pa icula , Bo n se cen ó en el es udio de la elación en e los obse ables
posición y momen o,
ˆ
Xx
y
ˆ
P i x  
, espec i amen e. Dicha elación se co esponde
con la conocida exp esión:
ˆˆ
[X,P] i
(3.1)
Pa a abaja de o ma análoga al caso cinemá ico desa ollado Bo n, es con enien e ene en
cuen a un ope ado que pe mi e ob ene un esul ado in e esan e pa a el caso de los
obse ables posición y momen o. Es e ope ado se de ine como:
ˆ
ˆexp k
iPx





(3.2)
de o ma que median e el uso del mismo se consigue una aslación al que
k
x x x
1
,
y ob eniéndose po consiguien e el esul ado:
1
Ve Anexo A
M
Teo ema de Pauli
8
 
ˆˆˆ
k
X x x x x


(3.3)
Como puede obse a se, el uso del ope ado aslación espacial ans o ma el sis ema hacia
un nue o es ado que es á ca ac e izado po el au o alo
 
k
xx
y el au o ec o
ˆx

. El
hecho de que los pa áme os
k
x
puedan oma cualquie alo en , de e mina el ca ác e
con inuo del espec o de
x
en el ango
[ , ] 
.
Pa iendo de es e esul ado, Pauli ob iene lo que se puede conside a el análogo a los
obse ables posición y momen o. Pa a ello, es necesa io es ablece una se ie de p emisas que
se exponen a con inuación.
Teo ema 3.1 (Teo ema de Pauli)
Sean dos ope ado es, co espondien es a la ene gía del sis ema y al iempo. En p ime luga ,
Pauli p esupone la exis encia de un ope ado au oadjun o asociado al iempo
ˆ
T
, de al modo
que median e un análisis in e so, comp oba á la ac ibilidad del mismo.
Po o o lado, se de ine el ope ado
ˆ
H
, denominado Hamil oniano del sis ema, que es el
ope ado au oadjun o asociado a la ene gía. Pa a es e úl imo se ienen además, sus
co espondien es au o alo es y au o ec o es:
k
E
y
k
E
, que de e minan los alo es
posibles de la ene gía del sis ema, y que cumplen, po an o:
ˆk k k
H E E E
(3.4)
Una ez es ablecidos los cimien os del p oblema, cab ía espe a que el compo amien o uese
análogo al caso de los obse ables posición y momen o. Pa a ob ene un esul ado de las
mismas ca ac e ís icas, usando un p ocedimien o idén ico a (3.3), se de ine en es e caso el
ope ado e olución ene gía
ˆe
U
, uni a io pa a odo , como
ˆ
ˆexp
e
iET
U



(3.5)
De nue o en analogía con el abajo ealizado po Bo n, se halla la siguien e exp esión:
 
ˆ ˆ ˆ
e k k e k
HU E E E U E
(3.6)
Teo ema de Pauli
9
Es e esul ado implica una de las mayo es incong uencias encon adas has a el momen o, y
que has a hoy día sigue aca eando p oblemas a la ho a de a a el iempo como obse able.
El hecho de que el ope ado e olución empo al gene e un nue o es ado del sis ema
conside ado, de inido po el au o alo
 
k
EE
, implica que la ene gía de dicho sis ema se
ca ac e iza po ene un ango con ínuo que se ex iende desde
 
, 
, debido a que
k
E
puede oma cualquie alo en ℝ. Es deci , en pa icula , el espec o de la ene gía no es á
aco ado in e io men e.
Es e hecho desca a po comple o la p ime a suposición de Pauli: la exis encia de un ope ado
au oadjun o
ˆ
T
canónicamen e conjugado con el Hamil oniano del sis ema. Po an o es
necesa io abandona la idea de la ep esen ación median e un obse able y e mina
asumiendo que és e sólo puede p esen a se como un pa áme o, o mando pa e de la
ecuación de Sch ödinge .
El eo ema de Pauli se puede conside a como el p ime obs áculo encon ado espec o al
es udio del iempo en mecánica cuán ica. El a án de encon a in e p e aciones nue as y
dis in as pa a encon a una al e na i a a es a deducción ha sido p incipalmen e mo i ado po
el eo ema explicado con an e io idad.
En pa icula , es des acable la p opues a de E. A. Galapon [5], que consis ió en modi ica
lige amen e algunas de las p emisas del Teo ema de Pauli, p ocu ando mejo a algunos
aspec os de su o mulación. A con inuación se exponen b e emen e los pun os p incipales
que según Galapon deben da se pa a llega a una o mulación álida del ope ado iempo.
Teo ema 2.2 (Teo ema de Galapon)
Si se conside a el ope ado hamil oniano
ˆ
H
au oadjun o, que cumple las siguien es
p opiedades:
 Tiene un espec o disc e o aco ado in e io men e:
12
...EE  
 Su degene ación es ini a:
1m 
, es deci , un au o alo
k
E
iene asociado más
de un au o ec o .
 Posee au o alo es que cumplen la p opiedad
2
k
k
E


 Sus au o ec o es gene al el espacio comple o de Hilbe
en onces exis e un ope ado iempo au oadjun o, canónicamen e conjugado con
ˆ
H
en un
subespacio denso de
H
.
Teo ema de Pauli
10
En cualquie caso, la imposición de un ope ado au oadjun o pa a de ini el iempo es algo
que se log a ía demos a más adelan e que no es imp escindible, siendo posible ob ene
esul ados expe imen ales ob iando dicho a i icio ma emá ico. Es o se debía a la posibilidad
de asocia obse ables con los "Posi i e Ope a o - alued Measu e" (POVMs).
11
4 POSITIVE OPERATOR-VALUED
MEASURE (POVM)
uando se examina el p oblema hallado po Pauli conce nien e a la asignación del
ope ado co espondien e, su ge de inmedia o la siguien e cues ión: ¿es posible
encon a una al e na i a al ope ado au oadjun o? La espues a es sí, g acias al
desa ollo del concep o de Posi i e Ope a o -Valued Measu e.
Un Posi i e Ope a o -Valued Measu e, en adelan e POVM, es una he amien a usada en la
eo ía de medida que pe mi e ob ene esul ados en expe imen os de medida en un sis ema,
sin necesidad de usa explíci amen e un ope ado asociado al obse able en cues ión.
Es o es pa icula men e in e esan e en el caso de medidas de ca ac e ís icas elacionadas con
el iempo y po ello los POVM suponen un impo an e a ance a la ho a de abaja con és e y,
como se e á a con inuación, pe mi e esqui a el incon enien e encon ado po Pauli
mencionado con an e io idad.
En cuan o al el es udio de los POVM pa a la ob ención de medidas empo ales, las
apo aciones de A. Hole o ecogidas en sus nume osas publicaciones [6], que se án de suma
ele ancia, pues o que se puede encon a un es udio exhaus i o de la eo ía de medidas y la
aplicación de los POVM. Así mismo, el es udio que se lle a a cabo en publicaciones como las
de Busch [7] o Hels om [8] deben se enidas en cuen a.
De acue do con Hole o, los expe imen os de medida se igen po la p obabilidad, es deci , los
esul ados ob enidos es án desc i os eó icamen e po p obabilidades co espondien es a cada
posible esul ado ob enido. De es e modo, es a ca ac e ís ica es in ínseca al hecho de medi
una p opiedad del sis ema, y se p oduce debido a cie as " a iables ocul as" que escapan del
alcance del expe imen o pe o cuya exis encia p oduce es as luc uaciones en los esul ados.
C

Posi i e ope a o - alued measu e (POVM)
12
An es de p ocede con el es udio de los POVM pa a la ob ención de medidas empo ales, es
necesa io p esen a unas nociones básicas de eo ía de medidas, con las que se desc iba an o
el p ocedimien o, como las a iables más impo an es que in e ienen en el expe imen o.
4.1 Ope ado es p oyección
Un concep o cla e que con o ma la base del concep o de POVM son los ope ado es
p oyección. Pa a ello se de ine un subespacio lineal
'H
con enido en el espacio de Hilbe
H
, de modo que se cumple que
'HH
.
Po o o lado se de inen
'

como la p oyección de los ec o es

en el subespacio
'H
.
Dichos ec o es cumplen que:
'jj
j
ee


donde
 
j
e
es un se o ono mal del subespacio
'H
.
Po úl imo, se de ine el ope ado p oyección, según su ep esen ación espec al, como:
ˆˆ
j j j j j
jj
P p P p e e

Debido al obje o de es udio, que en es e caso es la medida de obse ables, los ope ado es
p oyección
ˆj
P
son denominados gene almen e como
ˆk
M
.
4.2 Ope ado es densidad
Los ope ado es densidad
ˆ
S
pe mi en desc ibi en su o alidad el es ado en el que se encuen a
un sis ema en un ins an e de e minado. Es os ope ado es con o man un conjun o denominado
()GH
, que engloba odas las ma ices de densidad posibles. Además, cumplen las siguien es
p opiedades
 
ˆˆ
0, T 1SS
Asimismo, los ope ado es densidad se pueden o mula en unción de su ep esen ación
espec al
Posi i e ope a o - alued measu e (POVM)
13
ˆj j j
k
S s e e
Es os ope ado es de e minan el es ado del sis ema, más p ecisamen e denominado es ado
mix o, en unción de es ados los es ados pu os,
12
, ... n
e e e
espec i amen e.
4.3 Expe imen os de medida
Pa iendo de un sis ema p epa ado un es ado inicial, ep esen ado po un ope ado densidad
ˆ
S
, al que
 
ˆ
S G H
, siendo
()GH
el conjun o de odos los es ados iniciales posibles.
Debido al hecho de medi una ca ac e ís ica del sis ema, es e se e al e ado po la in e acción
p oducida en e el apa a o de medida y el p opio sis ema, es deci , se p oduce un colapso de
la unción de onda, es ando el sis ema ya medido ca ac e izado po un es ado dis in o. En
cuan o a es e nue o es ado, se de ine el conjun o de esul ados posibles
U
y el

-álgeb a
 
AU
, un conjun o o mado po ope aciones booleanas en e subconjun os de
U
. Den o
del dominio o mado po
U
y
 
AU
, se dis inguen subespacios
 
B A U
denominados
espacios medibles, donde ecaen los esul ados de una medida especí ica
u
.
En base a los concep os an e io es, se de ine la dis ibución de p obabilidad
 
 
 
ˆˆ
P | , ,
SB u S u B B A U

  
(4.1)
que ep esen a cómo es án dis ibuídas las p obabilidades de que se den cualquie a de los
esul ados posibles
uB
, pa a un sis ema con un es ado inicial
ˆ
S
. Po o o lado, es a
dis ibución o al se puede descompone en sumandos pa a cada uno de los esul ados:
   
ˆˆ
SS
uB
Bu



Es as p obabilidades sa is acen las siguien es condiciones
   
ˆˆ
0, 1
SS
uU
uu




Medida cuán ica: Se conoce como medida cuán ica la ans o mación de densidad de una
p obabilidad
 
ˆ
S G H
en una dis ibución de p obabilidad
ˆ
S

en el espacio
U
.
Posi i e ope a o - alued measu e (POVM)
14
 
ˆ
ˆS
Su


4.4 Aplicación a un obse able
Considé ese un ope ado cualquie a
ˆ
A
con ep esen ación espec al
ˆk k k
k
A a a a
. Es
posible ede ini es e ope ado según sus p oyec o es de la o ma
ˆˆ
jj
A a M
Una ez que se iene la exp esión an e io del ope ado
ˆ
A
, así como los concep os de
ope ado p oyección y densidad, es in e esan e ob ene pa áme os asociados a la medida de
dicho obse able. Pa a ello, de inimos la p obabilidad y el alo espe ado, cuyas exp esiones
son
 
 
 
 
 
††
††
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
k k k k k k k k
k k k k k k k k
kk
p a M M a T S a M M
A p a a T SM M T S a M M

  

Las ma ices
ˆk
M
se denominan esolución de la iden idad pues o que cumplen las siguien es
p opiedades:
†
ˆ ˆ ˆ
kk
k
M M I

(4.2)
con
ˆ ˆ ˆ
0,
kk
k
M M I

(4.3)
Si bien el esul ado an e io es álido pa a cualquie obse able, es in e esan e conside a el
caso pa icula de los ope ado es au oadjun os. En es e caso, se cumplen una se ie de
p opiedades adicionales. Pa a ello se conside a el obse able
B
, ca ac e izado po el
ope ado au oadjun o
ˆ
B
. Su ep esen ación espec al iene dada po
ˆk k k
k
B b b b
.
Pa a es e ipo conc e o de ope ado es se suele denomina a los p oyec o es con una
e minología especí ica, siendo
ˆˆ
kk
ME
. Es o es debido a que los p oyec o es en es e caso
cumplen, además, las condiciones siguien es
Posi i e ope a o - alued measu e (POVM)
15
†2
ˆ ˆ ˆ ˆ
,
k k k k
E E E E
(4.4)
Sabiendo es o,
ˆ
B
se puede esc ibi en unción de sus p oyec o es como
ˆˆ
jj
B b E
De o ma análoga, se ob ienen las exp esiones co espondien es a la p obabilidad y el alo
espe ado
 
 
 
 
 
†
†
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
k k k k k k k k k k
k k k k k k k
kk
p b E E b b E b T S b E
B p b b T SE E T S b E
  
  

Aho a las ma ices
ˆk
E
se denominan esolución de la iden idad o ogonal, cumpliendo la
siguien e p opiedad:
†
ˆ ˆ ˆ ˆ
k k k
kk
E E E I

(4.5)
Se puede conside a que la ob ención de las ma ices
ˆk
M
de e minan una o ma de hace
medidas de un obse able sin necesidad de usa un ope ado que lo de ina.
Po an o, el incon enien e encon ado en el eo ema de Pauli puede se e adido, ealizando
medidas y ob eniendo esul ados ac ibles a a és de POVMs en luga de un ope ado
asociado.
4.5 Concep o de POVM
Las esoluciones de la iden idad si en de unión en e el expe imen o de medida y el
obse able. Si el conjun o
U
de odos los esul ados posibles de medida es ini o, y además
ˆk
M
es un conjun o de ope ado es he mí icos en
H
que cumplen (4.3), en onces un Posi i e
Ope a o -Valued Measu e (POVM) iene dado po :
ˆˆ
( ) , con ( )
u
uB
M B M B A U



(4.6)
Posi i e ope a o - alued measu e (POVM)
22

23
5 DISTRIBUCIÓN DE KIJOWSKI
a na u aleza p opia de la ciencia equie e que los aspec os eó icos puedan se pues os
en p ác ica de o ma e icaz pa a la ob ención de esul ados expe imen ales. Es po ello
que an e la nega i a ob enida en los nume osos in en os de desci a el concep o del
iempo, los es udios comenza ían a cen a se en cie os casos p ác icos pa a los que se pod ían
es ablece cie as condiciones y/o eque imien os especí icos que pe mi i ían esol e los. En
e ec o, uno de los casos en el que el iempo esul a especialmen e in e esan e es el del iempo
de llegada. Es e concep o esul a indispensable en los a ances log ados en el campo de la
mecánica cuán ica.
El abajo apo ado po J. Kijowski es u o p incipalmen e en ocado en el iempo de llegada, a
a és de nume osas publicaciones [8], [9], [10]. El p incipal obje i o de Kijowski es e i a
los ya conocidos inco enien es encon ados po Pauli, así como pos e io men e la idea de que
no exis ía un concep o ideal de iempo de llegada, deducida po Allcock.
Kijowski conside a que la única o ma de a a al iempo como una a iable dinámica sin
cae en incohe encias, es median e la de inición del iempo según a a és del siguien e
expe imen o:
Considé ese una supe icie
Q
en es dimensiones. Escogiendo con enien emen e es
coo denadas, es posible de e mina el pun o en el que una pa ícula
P
a a iesa es a
supe icie. Si las coo denadas escogidas en
Q
son de ipo espacial,
( , , )x y z
, en onces se
end á el pun o espacial de dicha pa ícula. Sin emba go en es e caso es in e esan e plan ea se
unas coo denadas que con engan dos de las a iables espaciales, con una e ce a componen e
L
Dis ibución de Kijowski
24
e e en e a un iempo, éase
( , , ) x y
, y con ello pod á de e mina se el pun o espacio-
empo al de paso po
Q
, es deci , el iempo
en el que la pa ícula se encuen a en
( , )xy
.
Con es a p oposición, conside a que exis e un ope ado empo al asociado al iempo en el que
la pa ícula
P
a a iesa la supe icie
Q
, que denomina
ˆQ
. Es impo an e sin emba go ene
en cuen a que no cualquie pa ícula que a a iesa la supe icie es álida; po la necesidad de
simpli ica el p oblema, sólo se oman en cuen a la pa ículas que pasan po
Q
en un único
sen ido.
5.1 Dis ibuciones de p obabilidad
Median e es e expe imen o, Kijowski abo da el p oblema de o ma axiomá ica. En p ime
luga se cen a en la búsqueda de la densidad de p obabilidad
ˆ()S
de pasa a a és de la
supe icie
Q
en el ins an e
. Pa a ello, se comienza de iniendo el iempo medio y la
des iación media
 
ˆ
medio
S d 
(5.1)
   
2
2ˆ
medio
S d   

(5.2)
La densidad de p obabilidad
ˆ()S
es á di ec amen e elacionada con el es ado

, que
con iene la in o mación del sis ema. Además,
ˆ()S
debe cumpli las siguien es ca ac e ís icas
 
ˆ0S 
(5.3)
 
ˆ1S d 

(5.4)
En cuan o a la supe icie
Q
, la condición (5.4) implica que el es ado

con iene momen o
ans e sales a
Q
, es deci
 
3
ˆ0; 0pp


(5.5)
Con es os dos aspec os, se ob iene la siguien e densidad de p obabilidad, siendo
Q
el plano
0z
   
3
1 2 3 1 2 3
ˆ, ,0; , , ; p
S x y p p p dxdydp dp dp
m

(5.6)
Dis ibución de Kijowski
25
5.1.1 Caso cuán ico
El cumplimien o de la condición (5.5) sugie e ene en cuen a un espacio en el que se
conside en aquellas unciones de onda que son no nulas. De es a o ma, se de ine el espacio
1 2 3
{ , , 0}
Q
P p p p
.
Una aslación empo al en la unción de onda que ep esen a el es ado del sis ema se ía
     
ˆˆ
ˆˆ
exp
iH p
pp






omando el caso de una pa ícula lib e con
12
ˆˆ
(2 )H m p


, en onces
   
2
ˆ
ˆˆ
exp 2
ip
pp m





(5.7)
No malmen e, en mecánica cuán ica la densidad de p obabilidad es á elacionada
di ec amen e con la unción de onda median e una unción bilineal, en adelan e
F
. De es e
modo
   
ˆˆ
S F


(5.8)
donde
 
 
ˆ,
F
FT
  

(5.9)
y
F
T
es una dis ibución en
QQ
PP
. Es in e esan e conside a una unción
F
en pa icula ,
que se á u ilizada pos e io men e, y que esponde a la exp esión
       
0 1 2 1 2 1 2
4
ˆˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
, , , ,
2
pq
F p p p p p p dp dp dpdq
m
  



(5.10)
El conjun o de odas las unciones bilineales se denomina
Q

. Pa a que
ˆ
S
cumpla las
condiciones (5.3) y (5.4), las unciones bilineales an e io es deben esponde a las siguien es
ca ac e ís icas:

 
ˆ0F



 
ˆ1
F d



si la unción de onda es á no malizada.
 La des iación media debe se ini a,
 
2ˆ
F



Dis ibución de Kijowski
26
Teniendo es o en cuen a, en base a (5.1) y (5.2), se pueden de ini el iempo medio de paso
po la supe icie
Q
, así como la des iación media
   
ˆ
,,
medio
Q F F d


(5.11)
   
2
2ˆ
medio
F d

  

(5.12)
Haciendo uso de odas las conside aciones an e io es, se deduce el siguien e eo ema
Teo ema 5.1
Pa a cualquie
ˆ Q
F 
,
   
0
ˆˆ
, , , ,
medio medio
Q F Q F


(5.13)
   
22
0
ˆˆ
, , , , Q F Q F

  
(5.14)
Pues o que exis e un alo
0
ˆˆ
FF
pa a el que (5.14) se iguala, en onces se puede conclui
que
0
F
ep esen a la dis ibución de p obabilidad asociada a
ˆ
S
que p o oca una des iación
media mínima.
Es po ello azonable oma el alo de la densidad de p obabilidad como
0
ˆˆ
( ) ( )S F


.
5.2 Cálculo del iempo medio y la des iación media
Has a el momen o se ha log ado ob ene los alo es de
medio
y
2

como unción de
dis ibuciones de p obabilidad, pues o que
0
ˆˆˆ
()S F F
.
Po o o lado,
00
ˆˆ
()FF


y a su ez
ˆ
()p


. Es deci , se es á abajando en la
ep esen ación momen o. Ya se comen aba en la in oducción del capí ulo, que debido a las
ca ac e ís icas del expe imen o, in e esaba abaja en la ep esen ación espacio- empo al
o mada po
12
( , , )x x
, que pe mi i ía ob ene el ins an e
po el que la pa ícula alcanza ía
el pun o
12
( , )xx
.
Pa a ealiza es e cambio, es necesa io oma una unción de onda
Q
P


en la
ep esen ación
12
( , , )p p E
. Se debe ene p esen e que aho a la aslación empo al de la
Dis ibución de Kijowski
27
unción de onda (5.7) oma la siguien e o ma
   
1 2 1 2
ˆ
, , , , exp
iH
p p E p p E





en onces
       
1
0 1 2 1 2
4
21 2 1 2
1
ˆ, , exp , ,
2
exp
i E
F p p E p p E
m
i E dp dp dE dE
  








(5.15)
Po úl imo, se de ine la siguien e unción de onda en la ep esen ación espacio- empo al que
se buscaba
     
 
ˆ1 2 1 2
3
1 1 2 2 12
1
, , , ,
2
exp
Qx x p p E
m
i x p x p E dp dp dE








(5.16)
que se puede eesc ibi como
 
 
2
ˆˆ
0 1 2 1 2
ˆ,,
QQ
F x x dx dx


(5.17)
donde
12
| ( , , )|
Qx x

ep esen a la densidad de p obabilidad de paso a a és de Q en el
pun o
12
( , )xx
, en el ins an e
.
Una ez se ha log ado ob ene
0
ˆ
F
en la ep esen ación espacio- empo al, se ienen las
exp esiones del iempo medio y la dispe sión media según (5.11) y (5.12), espec i amen e
2
ˆ ˆ ˆ
1 2 1 2medio Q Q Q
dx dx d dx dx d
  


(5.18)
2 2 2
ˆˆ
12 medio
QQ
dx dx d

  

(5.19)
Po la p opiedad del p oduc o escala de unciones de onda, se deduce
ˆ ˆ ˆ
ˆ
|
medio Q Q Q


(5.20)
ˆ
2 2 2
ˆˆ
ˆ
| Qmedio
QQ

  
(5.21)

Dis ibución de Kijowski
28
Las exp esiones del iempo medio y de la des iación media quedan en base a lo que esul a
se un ope ado empo al
ˆQ
, cuyas ca ac e ís icas se expond án pos e io men e.
5.3 Ope ado iempo
El esul ado an e io sugie e la de inición de un ope ado empo al
ˆQ

, de inido en el dominio
1 2 3
{ , , 0}
Q
P p p p

, que se co esponde con las pa ículas que a a iesan
Q
de izquie da
a de echa, y que cumple la p opiedad
   
ˆ ˆ ˆ
1 2 1 2
ˆ, , , ,
Q Q Q
x x x x


(5.22)
y que además, conside ando la ep esen ación de
12
( , , )p p E

, se exp esa como
   
12
ˆ12
,p ,
ˆ,p ,
Q
pE
p E i E



 
(5.23)
El ope ado asociado a pa ículas a a esando
Q
de de echa a izquie da es análogo, con
dominio de de inición
1 2 3
{ , , 0}
Q
P p p p

y esc i o como
ˆQ

.
Po mo i os ope acionales, así como pa a simpli ica los cálculos, pa ece lógico ag upa
ambos ipos de pa ículas en un solo caso, así se de ine un ope ado empo al global en el
dominio
Q Q Q
P P P


ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆˆˆ
Q
Q Q Q Q Q
Q
T



   






(5.24)
Es e ope ado pa ece que posee, en p ime a ins ancia, odas las ca ac e ís icas necesa ias pa a
se álido como ope ado empo al. Cumple el p incipio de ince idumb e de Heisenbe g
ˆˆ
[ , ]
Q
H T i
, sin emba go, es un ope ado no au oadjun o. Es a ca ac e ís ica obliga a
desca a lo como ope ado , pe o a pesa de ello, aún pueden ob ene se o as conclusiones
g acias a él. Kijowski decide en onces in e i el signo de una de las componen es,
ˆ ˆ ˆ
( , )
Q Q Q


. Po an o
Dis ibución de Kijowski
29
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆˆˆ
'Q
Q Q Q Q Q
Q
T



   






(5.25)
Pa a es e o o caso, se iene un esul ado di e en e. Aho a la elación de ince idumb e de
Heisenbe g no es canónica
ˆˆ
,i pa ículasdeizquie daade echa
HT i pa ículasdede echaaizquie da







(5.26)
Sin emba go, ealizando es e cambio, sí que se ob iene un ope ado au oadjun o. Los
au o ec o es co espondien es son las dis ibuciones
     
0 1 10 2 20
x x x x
  
  
(5.27)
Se pod ía pensa en la posibilidad de abo da el p oblema pa iendo de la suposición del
ope ado empo al. Kijowski acla a que es e p ocedimien o ca ece de lógica, pues o que no es
i ial supone desde un p incipio las elaciones (5.26).
5.4 Conclusión
Con los esul ados ob enidos an o po Pauli como Kijowski, se dis inguen dos posibilidades
que pueden ocu i en cuan o a las ca ac e ís icas de un ope ado empo al.
Po una pa e, si
ˆ
H
y
ˆ
T
gua dan una elación canónica, en onces el ope ado iempo no
puede se au oadjun o. Po el con a io, es posible ob ene un ope ado que sea au oadjun o,
pe o a cambio la elación en e los ope ado es debe se no canónica, como la que esul a del
es udio de Kijowski.
Pa a el p ime o de los casos, po an o, la opción inmedia a es el uso de POVMs, que como se
io an e io men e pe mi en ealiza medidas cuando se iene un ope ado no au oadjun o. Pa a
el o o caso, es e iden e que oma el mé odo de Kijowski, pa iendo de la densidad de
p obabilidad del obse able iempo, es la opción más con enien e.
Dis ibución de Kijowski
30
31
6 PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE:
OPERADOR DE AHARONOV-BOHM
as elaciones de ince idumb e, si bien o man pa e de las p incipales ca ac e ís icas
de los obse ables en la mecánica cuán ica, son una he amien a que de i a en
incohe encias cuando se a a del pa ene gía- iempo. El desa ollo de W. Heisenbe g
de la mecánica cuán ica ma icial le pe mi i ía, en 1927 [2], es ablece un esul ado e elado
espues a a Pauli. En ella, desc ibía la imposibilidad de conoce con exac i ud y al mismo
iempo la posición y el momen o de un sis ema, debido a una ince idumb e in ínseca al
sis ema cuán ico,
/2qp  
. Es e hecho cambia ía comple amen e la in e p e ación del
compo amien o cuán ico acep ado has a el momen o.
La aplicación del esul ado de Heisenbe g a los obse ables ene gía y iempo no es una
excepción; ambién se o igina una ince idumb e en e ambos, pe o en es e caso la o ma de
in e p e a el p incipio de ince idumb e se ía dis in a al caso de o os obse ables. De hecho,
exis i ía más de una in e p e ación álida, debido a las dis in as o mas posibles de desc ibi el
iempo.
En cuan o a la elación di ec a en e el ope ado iempo y el p incipio de ince idumb e,
exis en dos o mulaciones impo an es de mano de Mandels amm-Tamm y de Aha ono -
Bohm, ambas cons i uyendo dis in as in e p e aciones del mismo.
L
Apo aciones de Allcock
38
espacial queda educido solo a la pa e pos e io a la uen e, y más impo an e aún, el espec o
de la ene gía cub e an o alo es posi i os como nega i os.
Allcock conside a pa a es e es udio un sis ema simple, compues o po una pa ícula con un
mo imien o espacial monodimensional. Dicha pa ícula eme ge de una uen e, si uada en
0
xx
con
00x
. Se de ine uen e como una egión espacio- empo al en la que la ecuación
de Sch ödinge no se cumple. En un p incipio, Allcock es ablece que la uen e es á lo
su icien emen e lejos como pa a no se necesa io ene en cuen a su apo ación a los
esul ados, po an o el es udio de la uen e y sus ca ac e ís icas no son po aho a ele an es.
Po o a pa e, el sis ema incluye un de ec o si uado en
0x
.
El ins an e en el que la pa ícula del sis ema pasa po el pun o
x
queda de e minado po
()x

, de modo que si se conside a el ins an e en el que su paso queda egis ado po el
de ec o , se iene
(0)

, en adelan e denominado simplemen e

, que se denomina el iempo
de llegada. Allcock conside a una simpli icación en cuan o al aspec o cuán ico del sis ema, y
es que los paque es de ondas cuán icos sólo ienen componen es desde alo es nega i os de
x
a alo es posi i os.
Las unciones de onda

que son ele an es pa a el expe imen o son aquellas que eme gen
en la uen e si uada en
0
xx
hacia
0
xx
. En p ime luga las ondas

se anula án en
algún ins an e
0
, donde
( , ) 0 x


, de modo que
   
00
, 0 , : x con x x x

   
(7.1)
además, la unción de onda debe cumpli la ecuación de Sch ödinge ,
     
2
0
2
,,
10 , :
2
x x
i con x x x
x


  

(7.2)
que como puede comp oba se, se co esponde con la ecuación impe u bada.
Es o se debe a que se buscan p obabilidades ideales y po an o es ac ible conside a que el
apa a o de medida no in e ie e con el sis ema, pues o que se puede demos a que con la
ecuación impe u bada se pueden ob ene odos los da os necesa ios y ele an es pa a el
es udio. A pesa de ello, en la ealidad la in e acción con el apa a o p oduce una al e ación
ine i able.

Apo aciones de Allcock
39
El p oblema en adelan e consis e en ealiza un es udio de la dependencia espacio- empo al de

, pa iendo de (7.1) y (7.2). La o ma más di ec a de ob ene una solución es median e el
uso de las unciones de G een
( , )
n
G x
, de inidas po
   
 
22
2
2
1,
2n
i G x x
x









con la condición de con o no
 
, 0,
n
G x   
Pa iendo de es as conside aciones, se ob iene la exp esión de las unciones de onda que
cumplen las condiciones (7.1) y (7.2)
   
 
 
01/4
, exp 2
22
xx
E dE
x i Ex iE
E






(7.3)
donde el é mino
()E

es la ampli ud de la unción de onda, que iene de e minada po la
uen e, y que pe mi e a dicha ampli ud oma cualquie alo a bi a io. Así, se conside a que
el espec o de la ene gía se ex iende en
[ , ] 
, y po an o
()E

se puede asocia con un
mo imien o unidi eccional de la pa ícula.
7.1 Tiempo de llegada en p oblemas con uen es
Debido a la exis encia del apa a o de medida, la onda (7.3) se e ine i ablemen e al e ada.
Debido a es e hecho, ambién se án pe u badas cie as p obabilidades asociadas al iempo de
llegada que se iene conside ando pa a es e sis ema.
En e ellas, el a io de llegada
()P

y la p obabilidad o al
()P
de que una pa ícula haya
sido de ec ada cuando

, que se ob iene po in eg ación de la p ime a de ellas. Pa a
es a p obabilidad o al se pueden ob ene la exp esión ideal y la exp esión que iene en cuen a
la pe u bación del apa a o.
En p ime luga se ob iene la exp esión ideal de la p obabilidad o al
()P
, eniendo en
cuen a que exis e un alo
a
de dis ancia ini a al que
0
ax
, así como de las siguien es
p opiedades de la unción de onda (7.3)
Apo aciones de Allcock
40
   
0
22
lim , lim , 0
a
xa
x dx x dx


 


(7.4)
 
0
2
lim ,
a
x
x dx

 
(7.5)
   
22
0
lim ,
a
x dx E dE


 

(7.6)
que se cumpli án pa a alo es de la ampli ud ales que
2
| ( )| 0E dE


 

, pe ec amen e
compa ibles con las ampli udes que pueden log a se con uen es usadas en la p ác ica. De
es as p opiedades puede deduci se que pa a

,
( ) ( )PP


.
La p obabilidad
()P
puede se medida ealizando un escaneo en
0x
a pa i de un
de e minado ins an e de iempo. Se puede demos a que la p obabilidad ob enida no depende
del ins an e en el que se comienza a escanea . Po ello, se deduce que
   
2
0
P E dE




(7.7)
es a ó mula ep esen a la p obabilidad o al ideal de de ección de la pa ícula.
La p obabilidad o al de llegada
()P
es un alo que debe cumpli se aún en p esencia de un
apa a o de medida. De no se así, és e da ía luga a una pe u bación y po an o a ec a ía a la
llegada p opia de la pa ícula al de ec o , hecho que no es ac ible debido a que se a a de una
p obabilidad o al ideal.
A con inuación se busca á la p obabilidad ideal de es e nue o sis ema que incluye al apa a o,
y se comp oba á si el esul ado concue da con (7.7).
Considé ese aho a la unción de onda
( , , ) x


, que ep esen a al sis ema compues o an o
po la pa ícula con mo imien o unidimensional, como el apa a o de medida, y siendo

la
coo denada espacial del mismo. Debido a que la p obabilidad ideal que se busca no debe
depende del apa a o, si no de la uen e, la in luencia de la uen e en el apa a o debe á
p oduci se a a és de la pa ícula misma. Po an o los e ec os que p o oca la uen e se án
ansmi idos a a és de la ampli ud
()E

. Pa a ello se conside a el siguien e pos ulado.
Apo aciones de Allcock
41
Pos ulado 7.1
La unción de onda
( , , ) x


depende de la ampli ud
()E

, que pe mi e elaciona la con
las ca ac e ís icas de la uen e.
Sea un sis ema egido po la unción de onda
( , , ) x


de modo que se pueda descompone
en los é minos:
   
, , ,x, x d Z

  
   

donde el p ime é mino comp ende oda la in o mación ela i a al iempo de llegada de la
pa ícula, y
Z
incluye los casos en los que el egis o de llegada de la pa ícula no ocu e.
Además
     
, , , , , x Y x E E dE
  




(7.8)
siendo
( , , , )Y x E

un é mino que depende del apa a o y que en p incipio es un alo
conocido.
Tomando un in e alo de iempo de llegada
[ , ]
ii


, se puede deduci que
   
2
, , , , ,
i
i
i
P x d dxd



    

  

(7.9)
que se co esponde con la p obabilidad de que se de ec e la pa ícula en el in e alo an e io .
Pos ulado 7.2
Una aslación empo al en la onda inciden e p oduce o a aslación idén ica en las
p obabilidades egis adas po el apa a o as la de ección.
La aslación de la onda inciden e implica que
   
 
ˆ
expE E iTE


y sabiendo que si el apa a o de medida es á co ec amen e diseñado, la misma aslación se
p oduci á en los egis os de $ au$ del apa a o y las p obabilidades end án dadas po
 
 
 
ˆ
, , , , exp
ii
P P T iTE
   
   
(7.10)
Apo aciones de Allcock
42
Po an o la exp esión de la p obabilidad iene dada po
       
2
, , lim , , , exp
i
P Y x E E iET dEd dxd
     



  

(7.11)
A pa i de es e esul ado, es posible calcula la p obabilidad o al
()P
, y se ob iene que
     
2
P A E E dE





(7.12)
con
   
2
0
2lim , , ,
A E Y x E d dxd
  



Se puede demos a , median e la aplicación del eo ema de Ti chma sh y el eo ema de
unicidad, que
( ) 0AE 
pa a cualquie alo de
E
, y po an o exis e di e encia con el alo
ideal al que se llegó con an e io idad. Po es a azón la de inición del concep o de iempo
de llegada no es álido pa a p oblemas con uen es en los que el espec o de ene gía se
ex iende en
[ , ] 
.
Es e esul ado inci a ía a Allcock a p ocede con un es udio más exhaus i o eniendo en
cuen a las a iables del apa a o de medida, con lo que p e ende encon a una o ma en la que
las p obabilidades o ales pa a el sis ema con o sin inclui el apa a o de medida coincidan, y
po lo an o la de inición del iempo de llegada sea acional y ac ible.
7.2 Ca ac e ís icas del apa a o de medida
Debido a la conclusión an e io , es necesa io impone cie os eque imien os al apa a o de
medida que con o ma el sis ema. Recué dese que el apa a o es á si uado en
0x
, y su
unción es p opo ciona in o mación ace ca de la p esencia de las pa ículas si uadas en
0x
. La ca ac e ís ica p incipal que se impone al apa a o es que las p obabilidades
2
0| ( , ) | x dx



en
0x
sean capaces de ans e i se desde el canal inciden e del apa a o a
los canales de salida o ogonales de o ma ápida y o al. De no se así, la in o mación
Apo aciones de Allcock
43
ecibida po el apa a o en dis in os ins an es
pod ía supe pone se haciendo que és a uese
indis inguible.
Pa a consegui es a ca ac e ís ica, se puede p epa a un apa a o de medida de ela i a
sencillez. Es e apa a o cons a de una se ie de láminas que se mue en en el eje de coo denadas
y
, mien as que la pa ícula a de ec a lo hace en el eje
x
. Cuando una pa ícula en a en la
zona
0x
, supóngase que lo hace en e las láminas
n
y
1n
. La de ección de es a
pa ícula no se á ins an ánea, ocu i á cuando en e en con ac o con la lámina
1n
. Es o
hace posible asegu a que el iempo de llegada de la pa ícula se p oduce en e dichas láminas.
La p ecisión de es e esul ado depende á de la elocidad de las láminas, siendo posible
consegui un esul ado bas an e ap oximado si la elocidad es al a.
La ecogida de da os a a és del egis o en es as placas pe mi e ealiza una inspección
pos e io de los esul ados sin que se p oduzca una a iación en las p obabilidades
()P

.
Además, ya que los canales de salida son o ogonales, se puede asegu a ambién que los
esul ados ob enidos no in e ie en en e ellos, y a p io i, se pueden conside a esul ados
co ec os.
7.2.1 Po enciales complejos
Una ez es ablecidas las ca ac e ís icas del apa a o de medida, se p e ende ob ene una
exp esión pa a la unción de onda median e la esolución de la ecuación de Sch ödinge , al y
como se hizo an e io men e. Pa a ello Allcock p opone de ini los canales inciden es del
apa a o con po enciales imagina ios
iV
en la egión
0x
. Así, se iene la siguien e
ecuación de Sch ödinge a esol e
2
2
10
2
i iV en x
x
  
    

(7.13)
siendo la p obabilidad de pasa del canal inciden e al canal de salida o ogonal en el ins an e
de
   
2
0
2,P V x dx




(7.14)

Apo aciones de Allcock
44
La exp esión an e io sugie e que cualquie p obabilidad de en a en
0x
en un ins an e
disc e o iende a ocu i en un lapso de iempo
1
1
2
V


(7.15)
po an o, el hecho de que se egis e una pa ícula en un ins an e
pe mi e de ini el iempo
de llegada de dicha pa ícula

, con una ince idumb e
1
1
2
d T V



(7.16)
El pa áme o
T
se conoce como iempo de esolución y juega un papel simila al lapso de
iempo
1nn

que se iene en e el paso de dos láminas del expe imen o an e io . Además,
el iempo de esolución es un pa áme o que sólo depende á del apa a o de medida.
Es impo an e el hecho de que de ini el p oblema median e po enciales complejos implica
que se encuen a una discon inuidad en el po encial si uada en
0x
, lo que de i a en que
una pa e de la onda inciden e sea ine i ablemen e e lejada en
0x
. La ampli ud de la onda
e lejada es á ín imamen e ligada con el iempo de esolución
T
, po lo an o la co ec a
elección del apa a o de medida se á de e minan e.
Po o o lado es á la egión an e io al apa a o de medida,
0x
, donde se iene el pa áme o
asociado a la uen e
( , ) x

cuyo alo se á conocido, que es independien e de la unción de
onda

. Es a suposición pe mi e esol e la ecuación de Sch ödinge con ela i a sencillez,
de es a o ma esul a
 
2
2
1,0
2
i x en x
x

  
  

(7.17)
La solución a dicha ecuación, suponiendo que no exis e pe u bación debida al apa a o de
medida, es la que se ió en (7.3), de o ma que la ampli ud
()E

se á ajus able según el
alo de

. En pa icula , si se supone una uen e in ini amen e lejana
0
x 
, o lo que es
lo mismo, conside amos el expe imen o sin uen es, en onces se ob iene que
( ) 0E


pa a
alo es
0E
. Una implicación i ial de es o es que la in luencia de la onda es la misma
Apo aciones de Allcock
45
conside ando la uen e o suponiéndola in ini amen e lejana. Po an o, es posible ealiza el
es udio del expe imen o "sin uen e", ob eniéndose los mismos esul ados.
Allcock desa olla paso a paso la ob ención de los esul ados que aquí no se an a de alla
pues o que su in e és es pu amen e ma emá ico, po ello sólo se mues an los esul ados y sus
implicaciones.
En p ime luga se conside a el ango
0x
, donde se obse a que esiden las ondas
inciden e y e lejada,

y
e

espec i amen e, siendo la ampli ud de la onda inciden e
     
 
1
1/2
1/2
21E E E E iV



   
(7.18)
y la ampli ud de la onda e lejada
   
1/2
1/2
1
1
e
E E iV
EE
E E iV




 
(7.19)
Po o o lado, en el ango
0x
exis e la onda ansmi ida que se p opaga p opo cionalmen e
a
2( )E iV
.
7.3 Cálculo de la p obabilidad o al
Una ez comp endido el concep o de onda e lejada, y ob enidas las soluciones de la ecuación
de Sch ödinge , es posible ans o ma (7.14) haciendo las sus i uciones pe inen es. Así, se
ob iene el siguien e esul ado
     
 
 
   
 
 
   
 
 
†
1/2
1/4 1/2
1/2 1/2
1/2
1/4 1/2
2 exp
'1
'2 exp '
2 ' 2 ' 1 ' '
E iE
P dE dE E E E iV
iV E iV E iV E iE
E E iV E E E iV





  









   
 

(7.20)
como puede comp oba se, el alo del a io de p obabilidad depende del apa a o pues o que
en la ecuación apa ece
T
, así como de la onda inciden e al apa ece la ampli ud
()E

.
Apo aciones de Allcock
46
Es in e esan e es udia los casos lími es en los que la p obabilidad an e io se uel e
independien e del po encial
V
, y con ello del apa a o de medida. A simple is a se deduce
que es a si uación se p oduce cuando
max min
V E V E
(7.21)
Pa a el p ime caso se iene que si el po encial aumen a mucho,
( ) 0P


. Es o se aduce
en que oda la p obabilidad inciden e eside en la onda e lejada, lo que supond ía un allo en
el expe imen o de medida.
Pa a el segundo caso en el que se iene un po encial pequeño, no exis e p oblema en cuan o a
e lexión de la onda, es deci , la p obabilidad de que la pa ícula llegue al apa a o y sea
de ec ada es al a. Sin emba go, es o implica di ec amen e que la ince idumb e de medida sea
muy ele ada, que según (7.16),


, y en onces el iempo de llegada queda ía de inido
con poca p ecisión.
Ambos casos lle an a pensa que es p ác icamen e imposible asegu a que ocu i á la
de ección y además ealiza una medida p ecisa pa a el iempo de llegada.
Como se calculó an e io men e, la p obabilidad o al ideal es aba dada po la ecuación
   
2
P E dE





(7.22)
A p io i, in eg ando la exp esión (7.20), debe ía ob ene se el esul ado ideal en el caso en el
que el concep o de iempo de llegada es u iese bien de inido pa a el sis ema cuán ico. Puede
comp oba se que no es así, pues o que se ob iene una exp esión que depende del apa a o
     
2
,P A E V E dE





(7.23)
donde
( , )A E V
se conoce como unción de acep ación y cumple que
 
 
2
1/2 1/2
4
,1
E iV
A E V E iV
EE


   
(7.24)
Se puede de ini po an o un coe icien e de allo egido po la exp esión
   
 
 
2
,,V E A E V E dE
   




(7.25)
Apo aciones de Allcock
47
Pa a un alo de allo máximo ole ado, denominado
01


, sólo pod á asegu a se la
e icacia del apa a o, y po an o que la medida es álida, escogiendo un alo del po encial
V
an pequeño que sa is aga que
 
0
,V
  

Si bien en un p incipio el expe imen o de Allcock se opaba con el incon enien e de que no
e a ac ible de ini co ec amen e el iempo de llegada pa a sis emas cuán icos, más adelan e
se ía capaz de demos a que median e una de inición co ec a de los pa áme os ela i os al
apa a o de medida sí que se ía posible ob ene un concep o sólido del mismo, a pesa de que
lle a ía consigo una ince idumb e ine i able, asociada al p opio concep o de iempo de
llegada.
Anexo A
54
.

55
ANEXO B
Pa a la ob ención de las ecuaciones de mo imien o, se iene en cuen a la ecuación del
hamil oniano del sis ema
 
2
2ˆ
ˆ
ˆ ˆˆ
22
y
xx
P
P
H YP g
mm
  
Donde, a e ec os de los cálculos pos e io es, el úl imo é mino se á análogo a un po encial. Es
con enien e ene en cuen a que se cumplen las siguien es elaciones
 
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ
,,
2x
P
P H P YP g
m










 
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
, , ,
2x
P
P H P P YP g
m

   


   
