El tiempo de la mecánica cuántica

i Ff Proyecto Fin de Carrera Grado de Ingeniería Aeroespacial El tiempo de la mecánica cuántica Autor: Nerea Adame Pastor Tutor: José Martínez García Dep. Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 Introducción iii Proyecto Fin de Grado Grado de Ingeniería Aeroespacial El tiempo de la mecánica cuántica Autor: Nerea Adame Pastor Tutor: José Martínez García Profesor titular Dep. Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 Introducción v Proyecto Fin de Carrera: El tiempo de la mecánica cuántica Autor: Nerea Adame Pastor Tutor: José Martínez García El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal Introducción vii Resumen l objetivo de este trabajo de fin de grado es aportar una visión general de cómo el papel del tiempo ha supuesto desde un primer momento una incógnita intrínseca a todo sistema cuántico considerado. Para ello se consideran los hitos más relevantes que forman parte de la evolución de este concepto, que se presentan a lo largo de todo el trabajo de forma cronológica. Se parte desde principios del siglo XX, cuando surgen los primeros estudios de sistemas cuánticos, que empiezan a cobrar relevancia en el marco de la ciencia, y con los que nacen las primeras incógnitas en cuanto al tratamiento del tiempo en este ámbito. Así se procede hasta llegar a la actualidad, donde aún se encuentran problemas a la hora de considerar la intervención del tiempo en determinados experimentos. Finalmente se muestra un breve resumen donde se presentan las vertientes más importantes que han ido surgiendo según la evolución de los fundamentos de la cuántica, así como las conclusiones obtenidas tras la recopilación de dichos hitos. E Introducción ix Índice Resumen vii Índice ix 1 Introducción 1 2 Antecedentes 3 3 Teorema de Pauli 7 4 Positive operator-valued measure (POVM) 11 4.1 Operadores proyección 12 4.2 Operadores densidad 12 4.3 Experimentos de medida 13 4.4 Aplicación a un observable 14 4.5 Concepto de POVM 15 4.6 Observable tiempo y POVM 16 4.6.1 Caso cinemático 17 4.6.2 Analogía temporal 18 4.6.3 Medidas de t con POVM no ortogonales 19 5 Distribución de Kijowski 23 5.1 Distribuciones de probabilidad 24 5.1.1 Caso cuántico 25 5.2 Cálculo del tiempo medio y la desviación media 26 5.3 Operador tiempo 28 5.4 Conclusión 29 6 Principios de Incertidumbre: Operador de Aharonov-Bohm 31 6.1 Interpretación de Mandelstamm-Tamm 32 6.2 Interpretación de Landau-Peierls 33 7 3 TEOREMA DE PAULI otivado por los hallazgos de la época en la materia, en 1933, W. Pauli contribuye a lo que puede considerarse uno de los grandes hitos, con su segunda publicación enciclopédica, donde, a pie de página aparece brevemente desarrollado, no como teorema si no más bien como una anotación, lo que hoy día se denomina Teorema de Pauli [4]. Esto supone un punto de inflexión en cuanto a cómo abordar y entender el problema. Su análisis toma como referencia el trabajo anteriormente realizado por M. Born, quien en 1925, estableció las relaciones de conmutación existente entre observables canónicamente conjugados. En particular, Born se centró en el estudio de la relación entre los observables posición y momento, ˆ Xx y ˆ P i x   , respectivamente. Dicha relación se corresponde con la conocida expresión: ˆˆ [X,P] i (3.1) Para trabajar de forma análoga al caso cinemático desarrollado Born, es conveniente tener en cuenta un operador que permite obtener un resultado interesante para el caso de los observables posición y momento. Este operador se define como: ˆ ˆexp k iPx      (3.2) de forma que mediante el uso del mismo se consigue una traslación tal que k x x x 1 , y obteniéndose por consiguiente el resultado: 1 Ver Anexo A M Teorema de Pauli 8   ˆˆˆ k X x x x x   (3.3) Como puede observarse, el uso del operador traslación espacial transforma el sistema hacia un nuevo estado que está caracterizado por el autovalor   k xx y el autovector ˆx  . El hecho de que los parámetros k x puedan tomar cualquier valor en , determina el carácter continuo del espectro de x en el rango [ , ]  . Partiendo de este resultado, Pauli obtiene lo que se puede considerar el análogo a los observables posición y momento. Para ello, es necesario establecer una serie de premisas que se exponen a continuación. Teorema 3.1 (Teorema de Pauli) Sean dos operadores, correspondientes a la energía del sistema y al tiempo. En primer lugar, Pauli presupone la existencia de un operador autoadjunto asociado al tiempo ˆ T , de tal modo que mediante un análisis inverso, comprobará la factibilidad del mismo. Por otro lado, se define el operador ˆ H , denominado Hamiltoniano del sistema, que es el operador autoadjunto asociado a la energía. Para este último se tienen además, sus correspondientes autovalores y autovectores: k E y k E , que determinan los valores posibles de la energía del sistema, y que cumplen, por tanto: ˆk k k H E E E (3.4) Una vez establecidos los cimientos del problema, cabría esperar que el comportamiento fuese análogo al caso de los observables posición y momento. Para obtener un resultado de las mismas características, usando un procedimiento idéntico a (3.3), se define en este caso el operador evolución energía ˆe U , unitario para todo , como ˆ ˆexp e iET U    (3.5) De nuevo en analogía con el trabajo realizado por Born, se halla la siguiente expresión:   ˆ ˆ ˆ e k k e k HU E E E U E (3.6) Teorema de Pauli 9 Este resultado implica una de las mayores incongruencias encontradas hasta el momento, y que hasta hoy día sigue acarreando problemas a la hora de tratar el tiempo como observable. El hecho de que el operador evolución temporal genere un nuevo estado del sistema considerado, definido por el autovalor   k EE , implica que la energía de dicho sistema se caracteriza por tener un rango contínuo que se extiende desde   ,  , debido a que k E puede tomar cualquier valor en ℝ. Es decir, en particular, el espectro de la energía no está acotado inferiormente. Este hecho descarta por completo la primera suposición de Pauli: la existencia de un operador autoadjunto ˆ T canónicamente conjugado con el Hamiltoniano del sistema. Por tanto es necesario abandonar la idea de la representación mediante un observable y termina asumiendo que éste sólo puede presentarse como un parámetro, formando parte de la ecuación de Schrödinger. El teorema de Pauli se puede considerar como el primer obstáculo encontrado respecto al estudio del tiempo en mecánica cuántica. El afán de encontrar interpretaciones nuevas y distintas para encontrar una alternativa a esta deducción ha sido principalmente motivado por el teorema explicado con anterioridad. En particular, es destacable la propuesta de E. A. Galapon [5], que consistió en modificar ligeramente algunas de las premisas del Teorema de Pauli, procurando mejorar algunos aspectos de su formulación. A continuación se exponen brevemente los puntos principales que según Galapon deben darse para llegar a una formulación válida del operador tiempo. Teorema 2.2 (Teorema de Galapon) Si se considera el operador hamiltoniano ˆ H autoadjunto, que cumple las siguientes propiedades:  Tiene un espectro discreto acotado inferiormente: 12 ...EE    Su degeneración es finita: 1m  , es decir, un autovalor k E tiene asociado más de un autovector.  Posee autovalores que cumplen la propiedad 2 k k E    Sus autovectores general el espacio completo de Hilbert entonces existe un operador tiempo autoadjunto, canónicamente conjugado con ˆ H en un subespacio denso de H . Teorema de Pauli 10 En cualquier caso, la imposición de un operador autoadjunto para definir el tiempo es algo que se lograría demostrar más adelante que no es imprescindible, siendo posible obtener resultados experimentales obviando dicho artificio matemático. Esto se debía a la posibilidad de asociar observables con los "Positive Operator-valued Measure" (POVMs). 11 4 POSITIVE OPERATOR-VALUED MEASURE (POVM) uando se examina el problema hallado por Pauli concerniente a la asignación del operador correspondiente, surge de inmediato la siguiente cuestión: ¿es posible encontrar una alternativa al operador autoadjunto? La respuesta es sí, gracias al desarrollo del concepto de Positive Operator-Valued Measure. Un Positive Operator-Valued Measure, en adelante POVM, es una herramienta usada en la teoría de medida que permite obtener resultados en experimentos de medida en un sistema, sin necesidad de usar explícitamente un operador asociado al observable en cuestión. Esto es particularmente interesante en el caso de medidas de características relacionadas con el tiempo y por ello los POVM suponen un importante avance a la hora de trabajar con éste y, como se verá a continuación, permite esquivar el inconveniente encontrado por Pauli mencionado con anterioridad. En cuanto al el estudio de los POVM para la obtención de medidas temporales, las aportaciones de A. Holevo recogidas en sus numerosas publicaciones [6], que serán de suma relevancia, puesto que se puede encontrar un estudio exhaustivo de la teoría de medidas y la aplicación de los POVM. Así mismo, el estudio que se lleva a cabo en publicaciones como las de Busch [7] o Helstrom [8] deben ser tenidas en cuenta. De acuerdo con Holevo, los experimentos de medida se rigen por la probabilidad, es decir, los resultados obtenidos están descritos teóricamente por probabilidades correspondientes a cada posible resultado obtenido. De este modo, esta característica es intrínseca al hecho de medir una propiedad del sistema, y se produce debido a ciertas "variables ocultas" que escapan del alcance del experimento pero cuya existencia produce estas fluctuaciones en los resultados. C Positive operator-valued measure (POVM) 12 Antes de proceder con el estudio de los POVM para la obtención de medidas temporales, es necesario presentar unas nociones básicas de teoría de medidas, con las que se describa tanto el procedimiento, como las variables más importantes que intervienen en el experimento. 4.1 Operadores proyección Un concepto clave que conforma la base del concepto de POVM son los operadores proyección. Para ello se define un subespacio lineal 'H contenido en el espacio de Hilbert H , de modo que se cumple que 'HH . Por otro lado se definen '  como la proyección de los vectores  en el subespacio 'H . Dichos vectores cumplen que: 'jj j ee   donde   j e es un set ortonormal del subespacio 'H . Por último, se define el operador proyección, según su representación espectral, como: ˆˆ j j j j j jj P p P p e e  Debido al objeto de estudio, que en este caso es la medida de observables, los operadores proyección ˆj P son denominados generalmente como ˆk M . 4.2 Operadores densidad Los operadores densidad ˆ S permiten describir en su totalidad el estado en el que se encuentra un sistema en un instante determinado. Estos operadores conforman un conjunto denominado ()GH , que engloba todas las matrices de densidad posibles. Además, cumplen las siguientes propiedades   ˆˆ 0, Tr 1SS Asimismo, los operadores densidad se pueden formular en función de su representación espectral Positive operator-valued measure (POVM) 13 ˆj j j k S s e e Estos operadores determinan el estado del sistema, más precisamente denominado estado mixto, en función de estados los estados puros, 12 , ... n e e e respectivamente. 4.3 Experimentos de medida Partiendo de un sistema preparado un estado inicial, representado por un operador densidad ˆ S , tal que   ˆ S G H , siendo ()GH el conjunto de todos los estados iniciales posibles. Debido al hecho de medir una característica del sistema, este se ve alterado por la interacción producida entre el aparato de medida y el propio sistema, es decir, se produce un colapso de la función de onda, estando el sistema ya medido caracterizado por un estado distinto. En cuanto a este nuevo estado, se define el conjunto de resultados posibles U y el  -álgebra   AU , un conjunto formado por operaciones booleanas entre subconjuntos de U . Dentro del dominio formado por U y   AU , se distinguen subespacios   B A U denominados espacios medibles, donde recaen los resultados de una medida específica u . En base a los conceptos anteriores, se define la distribución de probabilidad       ˆˆ Pr | , , SB u S u B B A U     (4.1) que representa cómo están distribuídas las probabilidades de que se den cualquiera de los resultados posibles uB , para un sistema con un estado inicial ˆ S . Por otro lado, esta distribución total se puede descomponer en sumandos para cada uno de los resultados:     ˆˆ SS uB Bu    Estas probabilidades satisfacen las siguientes condiciones     ˆˆ 0, 1 SS uU uu     Medida cuántica: Se conoce como medida cuántica la transformación de densidad de una probabilidad   ˆ S G H en una distribución de probabilidad ˆ S  en el espacio U . Positive operator-valued measure (POVM) 14   ˆ ˆS Su   4.4 Aplicación a un observable Considérese un operador cualquiera ˆ A con representación espectral ˆk k k k A a a a . Es posible redefinir este operador según sus proyectores de la forma ˆˆ jj A a M Una vez que se tiene la expresión anterior del operador ˆ A , así como los conceptos de operador proyección y densidad, es interesante obtener parámetros asociados a la medida de dicho observable. Para ello, definimos la probabilidad y el valor esperado, cuyas expresiones son           †† †† ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k k k k k k k k k k k k kk p a M M a Tr S a M M A p a a Tr SM M Tr S a M M      Las matrices ˆk M se denominan resolución de la identidad puesto que cumplen las siguientes propiedades: † ˆ ˆ ˆ kk k M M I  (4.2) con ˆ ˆ ˆ 0, kk k M M I  (4.3) Si bien el resultado anterior es válido para cualquier observable, es interesante considerar el caso particular de los operadores autoadjuntos. En este caso, se cumplen una serie de propiedades adicionales. Para ello se considera el observable B , caracterizado por el operador autoadjunto ˆ B . Su representación espectral viene dada por ˆk k k k B b b b . Para este tipo concreto de operadores se suele denominar a los proyectores con una terminología específica, siendo ˆˆ kk ME . Esto es debido a que los proyectores en este caso cumplen, además, las condiciones siguientes Positive operator-valued measure (POVM) 15 †2 ˆ ˆ ˆ ˆ , k k k k E E E E (4.4) Sabiendo esto, ˆ B se puede escribir en función de sus proyectores como ˆˆ jj B b E De forma análoga, se obtienen las expresiones correspondientes a la probabilidad y el valor esperado           † † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k k k k k k k k k k k k k kk p b E E b b E b Tr S b E B p b b Tr SE E Tr S b E        Ahora las matrices ˆk E se denominan resolución de la identidad ortogonal, cumpliendo la siguiente propiedad: † ˆ ˆ ˆ ˆ k k k kk E E E I  (4.5) Se puede considerar que la obtención de las matrices ˆk M determinan una forma de hacer medidas de un observable sin necesidad de usar un operador que lo defina. Por tanto, el inconveniente encontrado en el teorema de Pauli puede ser evadido, realizando medidas y obteniendo resultados factibles a través de POVMs en lugar de un operador asociado. 4.5 Concepto de POVM Las resoluciones de la identidad sirven de unión entre el experimento de medida y el observable. Si el conjunto U de todos los resultados posibles de medida es finito, y además ˆk M es un conjunto de operadores hermíticos en H que cumplen (4.3), entonces un Positive Operator-Valued Measure (POVM) viene dado por: ˆˆ ( ) , con ( ) u uB M B M B A U    (4.6) Positive operator-valued measure (POVM) 22 23 5 DISTRIBUCIÓN DE KIJOWSKI a naturaleza propia de la ciencia requiere que los aspectos teóricos puedan ser puestos en práctica de forma eficaz para la obtención de resultados experimentales. Es por ello que ante la negativa obtenida en los numerosos intentos de descifrar el concepto del tiempo, los estudios comenzarían a centrarse en ciertos casos prácticos para los que se podrían establecer ciertas condiciones y/o requerimientos específicos que permitirían resolverlos. En efecto, uno de los casos en el que el tiempo resulta especialmente interesante es el del tiempo de llegada. Este concepto resulta indispensable en los avances logrados en el campo de la mecánica cuántica. El trabajo aportado por J. Kijowski estuvo principalmente enfocado en el tiempo de llegada, a través de numerosas publicaciones [8], [9], [10]. El principal objetivo de Kijowski es evitar los ya conocidos incovenientes encontrados por Pauli, así como posteriormente la idea de que no existía un concepto ideal de tiempo de llegada, deducida por Allcock. Kijowski considera que la única forma de tratar al tiempo como una variable dinámica sin caer en incoherencias, es mediante la definición del tiempo según a través del siguiente experimento: Considérese una superficie Q en tres dimensiones. Escogiendo convenientemente tres coordenadas, es posible determinar el punto en el que una partícula P atraviesa esta superficie. Si las coordenadas escogidas en Q son de tipo espacial, ( , , )x y z , entonces se tendrá el punto espacial de dicha partícula. Sin embargo en este caso es interesante plantearse unas coordenadas que contengan dos de las variables espaciales, con una tercera componente L Distribución de Kijowski 24 referente a un tiempo, véase ( , , )t x y , y con ello podrá determinarse el punto espaciotemporal de paso por Q , es decir, el tiempo t en el que la partícula se encuentra en ( , )xy . Con esta proposición, considera que existe un operador temporal asociado al tiempo en el que la partícula P atraviesa la superficie Q , que denomina ˆQ t . Es imporante sin embargo tener en cuenta que no cualquier partícula que atraviesa la superficie es válida; por la necesidad de simplificar el problema, sólo se toman en cuenta la partículas que pasan por Q en un único sentido. 5.1 Distribuciones de probabilidad Mediante este experimento, Kijowski aborda el problema de forma axiomática. En primer lugar se centra en la búsqueda de la densidad de probabilidad ˆ()St de pasar a través de la superficie Q en el instante t . Para ello, se comienza definiendo el tiempo medio y la desviación media   ˆ medio t tS t dt (5.1)     2 2ˆ medio t t t S t dt    (5.2) La densidad de probabilidad ˆ()St está directamente relacionada con el estado  , que contiene la información del sistema. Además, ˆ()St debe cumplir las siguientes características   ˆ0St (5.3)   ˆ1S t dt   (5.4) En cuanto a la superficie Q , la condición (5.4) implica que el estado  contiene momento transversales a Q , es decir   3 ˆ0; 0pp   (5.5) Con estos dos aspectos, se obtiene la siguiente densidad de probabilidad, siendo Q el plano 0z     3 1 2 3 1 2 3 ˆ, ,0; , , ; p S t f x y p p p t dxdydp dp dp m  (5.6) Distribución de Kijowski 25 5.1.1 Caso cuántico El cumplimiento de la condición (5.5) sugiere tener en cuenta un espacio en el que se consideren aquellas funciones de onda que son no nulas. De esta forma, se define el espacio 1 2 3 { , , 0} Q P p p p . Una traslación temporal en la función de onda que representa el estado del sistema sería       ˆˆ ˆˆ exp t iH p t pp       tomando el caso de una partícula libre con 12 ˆˆ (2 )H m p   , entonces     2 ˆ ˆˆ exp 2 t ip t pp m      (5.7) Normalmente, en mecánica cuántica la densidad de probabilidad está relacionada directamente con la función de onda mediante una función bilineal, en adelante F . De este modo     ˆˆt S t F   (5.8) donde     ˆ, t F t t FT     (5.9) y F T es una distribución en QQ PP . Es interesante considerar una función F en particular, que será utilizada posteriormente, y que responde a la expresión         0 1 2 1 2 1 2 4 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , , , 2 pq F p p p p p p dp dp dpdq m       (5.10) El conjunto de todas las funciones bilineales se denomina Q  . Para que ˆt S cumpla las condiciones (5.3) y (5.4), las funciones bilineales anteriores deben responder a las siguientes características:    ˆ0F      ˆ1 t F dt    si la función de onda está normalizada.  La desviación media debe ser finita,   2ˆt tF    Distribución de Kijowski 26 Teniendo esto en cuenta, en base a (5.1) y (5.2), se pueden definir el tiempo medio de paso por la superficie Q , así como la desviación media     ˆ ,, medio t t Q F tF dt   (5.11)     2 2ˆ medio t t t t F dt      (5.12) Haciendo uso de todas las consideraciones anteriores, se deduce el siguiente teorema Teorema 5.1 Para cualquier ˆ Q F  ,     0 ˆˆ , , , , medio medio t Q F t Q F   (5.13)     22 0 ˆˆ , , , ,t Q F t Q F     (5.14) Puesto que existe un valor 0 ˆˆ FF para el que (5.14) se iguala, entonces se puede concluir que 0 F representa la distribución de probabilidad asociada a ˆ S que provoca una desviación media mínima. Es por ello razonable tomar el valor de la densidad de probabilidad como 0 ˆˆ ( ) ( )S t F   . 5.2 Cálculo del tiempo medio y la desviación media Hasta el momento se ha logrado obtener los valores de medio t y 2 t como función de distribuciones de probabilidad, puesto que 0 ˆˆˆ ()S t F F . Por otro lado, 00 ˆˆ ()FF   y a su vez ˆ ()p   . Es decir, se está trabajando en la representación momento. Ya se comentaba en la introducción del capítulo, que debido a las características del experimento, interesaba trabajar en la representación espacio-temporal formada por 12 ( , , )x x t , que permitiría obtener el instante t por el que la partícula alcanzaría el punto 12 ( , )xx . Para realizar este cambio, es necesario tomar una función de onda Q P   en la representación 12 ( , , )p p E . Se debe tener presente que ahora la traslación temporal de la Distribución de Kijowski 27 función de onda (5.7) toma la siguiente forma     1 2 1 2 ˆ , , , , exp t iHt p p E p p E      entonces         1 0 1 2 1 2 4 21 2 1 2 1 ˆ, , exp , , 2 exp itE F p p E p p E m itE dp dp dE dE            (5.15) Por último, se define la siguiente función de onda en la representación espacio-temporal que se buscaba         ˆ1 2 1 2 3 1 1 2 2 12 1 , , , , 2 exp Qx x t p p E m i x p x p tE dp dp dE         (5.16) que se puede reescribir como     2 ˆˆ 0 1 2 1 2 ˆ,, QQ F x x t dx dx   (5.17) donde 12 | ( , , )| Qx x t  representa la densidad de probabilidad de paso a través de Q en el punto 12 ( , )xx , en el instante t . Una vez se ha logrado obtener 0 ˆ F en la representación espacio-temporal, se tienen las expresiones del tiempo medio y la dispersión media según (5.11) y (5.12), respectivamente 2 ˆ ˆ ˆ 1 2 1 2medio Q Q Q t t dx dx dt t dx dx dt      (5.18) 2 2 2 ˆˆ 12 medio QQ t t dx dx dt t      (5.19) Por la propiedad del producto escalar de funciones de onda, se deduce ˆ ˆ ˆ ˆ |t medio Q Q Q t   (5.20) ˆ 2 2 2 ˆˆ ˆ |tQmedio QQ tt     (5.21) Distribución de Kijowski 28 Las expresiones del tiempo medio y de la desviación media quedan en base a lo que resulta ser un operador temporal ˆQ t , cuyas características se expondrán posteriormente. 5.3 Operador tiempo El resultado anterior sugiere la definición de un operador temporal ˆQ t , definido en el dominio 1 2 3 { , , 0} Q P p p p  , que se corresponde con las partículas que atraviesan Q de izquierda a derecha, y que cumple la propiedad     ˆ ˆ ˆ 1 2 1 2 ˆ, , , , Q Q Q t x x t t x x t   (5.22) y que además, considerando la representación de 12 ( , , )p p E  , se expresa como     12 ˆ12 ,p , ˆ,p , Q pE t p E i E      (5.23) El operador asociado a partículas atravesando Q de derecha a izquierda es análogo, con dominio de definición 1 2 3 { , , 0} Q P p p p  y escrito como ˆQ t . Por motivos operacionales, así como para simplificar los cálculos, parece lógico agrupar ambos tipos de partículas en un solo caso, así se define un operador temporal global en el dominio Q Q Q P P P   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ Q Q Q Q Q Q Q T t t              (5.24) Este operador parece que posee, en primera instancia, todas las características necesarias para ser válido como operador temporal. Cumple el principio de incertidumbre de Heisenberg ˆˆ [ , ] Q H T i , sin embargo, es un operador no autoadjunto. Esta característica obliga a descartarlo como operador, pero a pesar de ello, aún pueden obtenerse otras conclusiones gracias a él. Kijowski decide entonces invertir el signo de una de las componentes, ˆ ˆ ˆ ( , ) Q Q Q t t t   . Por tanto Distribución de Kijowski 29 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ 'Q Q Q Q Q Q Q T t t              (5.25) Para este otro caso, se tiene un resultado diferente. Ahora la relación de incertidumbre de Heisenberg no es canónica ˆˆ ,i partículasdeizquierdaaderecha HT i partículasdederechaaizquierda        (5.26) Sin embargo, realizando este cambio, sí que se obtiene un operador autoadjunto. Los autovectores correspondientes son las distribuciones       0 1 10 2 20 t t x x x x       (5.27) Se podría pensar en la posibilidad de abordar el problema partiendo de la suposición del operador temporal. Kijowski aclara que este procedimiento carece de lógica, puesto que no es trivial suponer desde un principio las relaciones (5.26). 5.4 Conclusión Con los resultados obtenidos tanto por Pauli como Kijowski, se distinguen dos posibilidades que pueden ocurrir en cuanto a las características de un operador temporal. Por una parte, si ˆ H y ˆ T guardan una relación canónica, entonces el operador tiempo no puede ser autoadjunto. Por el contrario, es posible obtener un operador que sea autoadjunto, pero a cambio la relación entre los operadores debe ser no canónica, como la que resulta del estudio de Kijowski. Para el primero de los casos, por tanto, la opción inmediata es el uso de POVMs, que como se vio anteriormente permiten realizar medidas cuando se tiene un operador no autoadjunto. Para el otro caso, es evidente que tomar el método de Kijowski, partiendo de la densidad de probabilidad del observable tiempo, es la opción más conveniente. Distribución de Kijowski 30 31 6 PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE: OPERADOR DE AHARONOV-BOHM as relaciones de incertidumbre, si bien forman parte de las principales características de los observables en la mecánica cuántica, son una herramienta que deriva en incoherencias cuando se trata del par energía-tiempo. El desarrollo de W. Heisenberg de la mecánica cuántica matricial le permitiría, en 1927 [2], establecer un resultado revelador respuesta a Pauli. En ella, describía la imposibilidad de conocer con exactitud y al mismo tiempo la posición y el momento de un sistema, debido a una incertidumbre intrínseca al sistema cuántico, /2qp   . Este hecho cambiaría completamente la interpretación del comportamiento cuántico aceptado hasta el momento. La aplicación del resultado de Heisenberg a los observables energía y tiempo no es una excepción; también se origina una incertidumbre entre ambos, pero en este caso la forma de interpretar el principio de incertidumbre sería distinta al caso de otros observables. De hecho, existiría más de una interpretación válida, debido a las distintas formas posibles de describir el tiempo. En cuanto a la relación directa entre el operador tiempo y el principio de incertidumbre, existen dos formulaciones importantes de mano de Mandelstamm-Tamm y de AharonovBohm, ambas constituyendo distintas interpretaciones del mismo. L Aportaciones de Allcock 38 espacial queda reducido solo a la parte posterior a la fuente, y más importante aún, el espectro de la energía cubre tanto valores positivos como negativos. Allcock considera para este estudio un sistema simple, compuesto por una partícula con un movimiento espacial monodimensional. Dicha partícula emerge de una fuente, situada en 0 xx con 00x . Se define fuente como una región espacio-temporal en la que la ecuación de Schrödinger no se cumple. En un principio, Allcock establece que la fuente está lo suficientemente lejos como para no ser necesario tener en cuenta su aportación a los resultados, por tanto el estudio de la fuente y sus características no son por ahora relevantes. Por otra parte, el sistema incluye un detector situado en 0x . El instante en el que la partícula del sistema pasa por el punto x queda determinado por ()x  , de modo que si se considera el instante en el que su paso queda registrado por el detector, se tiene (0)  , en adelante denominado simplemente  , que se denomina el tiempo de llegada. Allcock considera una simplificación en cuanto al aspecto cuántico del sistema, y es que los paquetes de ondas cuánticos sólo tienen componentes desde valores negativos de x a valores positivos. Las funciones de onda  que son relevantes para el experimento son aquellas que emergen en la fuente situada en 0 xx hacia 0 xx . En primer lugar las ondas  se anularán en algún instante 0 t , donde ( , ) 0tx   , de modo que     00 , 0 , :t x con t x t t x x      (7.1) además, la función de onda debe cumplir la ecuación de Schrödinger,       2 0 2 ,, 10 , : 2 t x t x i con t x x x tx       (7.2) que como puede comprobarse, se corresponde con la ecuación imperturbada. Esto se debe a que se buscan probabilidades ideales y por tanto es factible considerar que el aparato de medida no interfiere con el sistema, puesto que se puede demostrar que con la ecuación imperturbada se pueden obtener todos los datos necesarios y relevantes para el estudio. A pesar de ello, en la realidad la interacción con el aparato produce una alteración inevitable. Aportaciones de Allcock 39 El problema en adelante consiste en realizar un estudio de la dependencia espacio-temporal de  , partiendo de (7.1) y (7.2). La forma más directa de obtener una solución es mediante el uso de las funciones de Green ( , ) n G t x , definidas por       22 2 2 1, 2n t i G t x x tx          con la condición de contorno   , 0, n G t x t   Partiendo de estas consideraciones, se obtiene la expresión de las funciones de onda que cumplen las condiciones (7.1) y (7.2)         01/4 , exp 2 22 xx E dE t x i Ex iEt E       (7.3) donde el término ()E  es la amplitud de la función de onda, que viene determinada por la fuente, y que permite a dicha amplitud tomar cualquier valor arbitrario. Así, se considera que el espectro de la energía se extiende en [ , ]  , y por tanto ()E  se puede asociar con un movimiento unidireccional de la partícula. 7.1 Tiempo de llegada en problemas con fuentes Debido a la existencia del aparato de medida, la onda (7.3) se ve inevitablemente alterada. Debido a este hecho, también serán perturbadas ciertas probabilidades asociadas al tiempo de llegada que se viene considerando para este sistema. Entre ellas, el ratio de llegada ()P  y la probabilidad total ()P de que una partícula haya sido detectada cuando t , que se obtiene por integración de la primera de ellas. Para esta probabilidad total se pueden obtener la expresión ideal y la expresión que tiene en cuenta la perturbación del aparato. En primer lugar se obtiene la expresión ideal de la probabilidad total ()P , teniendo en cuenta que existe un valor a de distancia finita tal que 0 ax , así como de las siguientes propiedades de la función de onda (7.3) Aportaciones de Allcock 40     0 22 lim , lim , 0 a xa tt t x dx t x dx       (7.4)   0 2 lim , a x tt x dx    (7.5)     22 0 lim , a tt x dx E dE      (7.6) que se cumplirán para valores de la amplitud tales que 2 | ( )| 0E dE      , perfectamente compatibles con las amplitudes que pueden lograrse con fuentes usadas en la práctica. De estas propiedades puede deducirse que para t , ( ) ( )PP   . La probabilidad ()P puede ser medida realizando un escaneo en 0x a partir de un determinado instante de tiempo. Se puede demostrar que la probabilidad obtenida no depende del instante en el que se comienza a escanear. Por ello, se deduce que     2 0 P E dE     (7.7) esta fórmula representa la probabilidad total ideal de detección de la partícula. La probabilidad total de llegada ()P es un valor que debe cumplirse aún en presencia de un aparato de medida. De no ser así, éste daría lugar a una perturbación y por tanto afectaría a la llegada propia de la partícula al detector, hecho que no es factible debido a que se trata de una probabilidad total ideal. A continuación se buscará la probabilidad ideal de este nuevo sistema que incluye al aparato, y se comprobará si el resultado concuerda con (7.7). Considérese ahora la función de onda ( , , )tx   , que representa al sistema compuesto tanto por la partícula con movimiento unidimensional, como el aparato de medida, y siendo  la coordenada espacial del mismo. Debido a que la probabilidad ideal que se busca no debe depender del aparato, si no de la fuente, la influencia de la fuente en el aparato deberá producirse a través de la partícula misma. Por tanto los efectos que provoca la fuente serán transmitidos a través de la amplitud ()E  . Para ello se considera el siguiente postulado. Aportaciones de Allcock 41 Postulado 7.1 La función de onda ( , , )tx   depende de la amplitud ()E  , que permite relacionarla con las características de la fuente. Sea un sistema regido por la función de onda ( , , )tx   de modo que se pueda descomponer en los términos:     , , ,x,t x t d Z          donde el primer término comprende toda la información relativa al tiempo de llegada de la partícula, y Z incluye los casos en los que el registro de llegada de la partícula no ocurre. Además       , , , , ,t x Y t x E E dE        (7.8) siendo ( , , , )Y t x E  un término que depende del aparato y que en principio es un valor conocido. Tomando un intervalo de tiempo de llegada [ , ] ii   , se puede deducir que     2 , , , , , i i i P t t x d dxd              (7.9) que se corresponde con la probabilidad de que se detecte la partícula en el intervalo anterior. Postulado 7.2 Una traslación temporal en la onda incidente produce otra traslación idéntica en las probabilidades registradas por el aparato tras la detección. La traslación de la onda incidente implica que       ˆ expE E iTE   y sabiendo que si el aparato de medida está correctamente diseñado, la misma traslación se producirá en los registros de $\tau$ del aparato y las probabilidades vendrán dadas por       ˆ , , , , exp ii P P T iTE         (7.10) Aportaciones de Allcock 42 Por tanto la expresión de la probabilidad viene dada por         2 , , lim , , , exp it P Y t x E E iET dEd dxd              (7.11) A partir de este resultado, es posible calcular la probabilidad total ()P , y se obtiene que       2 P A E E dE      (7.12) con     2 0 2lim , , , t A E Y t x E d dxd       Se puede demostrar, mediante la aplicación del teorema de Titchmarsh y el teorema de unicidad, que ( ) 0AE  para cualquier valor de E , y por tanto existe diferencia con el valor ideal al que se llegó con anterioridad. Por esta razón la definición del concepto de tiempo de llegada no es válido para problemas con fuentes en los que el espectro de energía se extiende en [ , ]  . Este resultado incitaría a Allcock a proceder con un estudio más exhaustivo teniendo en cuenta las variables del aparato de medida, con lo que pretende encontrar una forma en la que las probabilidades totales para el sistema con o sin incluir el aparato de medida coincidan, y por lo tanto la definición del tiempo de llegada sea racional y factible. 7.2 Características del aparato de medida Debido a la conclusión anterior, es necesario imponer ciertos requerimientos al aparato de medida que conforma el sistema. Recuérdese que el aparato está situado en 0x , y su función es proporcionar información acerca de la presencia de las partículas situadas en 0x . La característica principal que se impone al aparato es que las probabilidades 2 0| ( , ) |t x dx    en 0x sean capaces de transferirse desde el canal incidente del aparato a los canales de salida ortogonales de forma rápida y total. De no ser así, la información Aportaciones de Allcock 43 recibida por el aparato en distintos instantes t podría superponerse haciendo que ésta fuese indistinguible. Para conseguir esta característica, se puede preparar un aparato de medida de relativa sencillez. Este aparato consta de una serie de láminas que se mueven en el eje de coordenadas y , mientras que la partícula a detectar lo hace en el eje x . Cuando una partícula entra en la zona 0x , supóngase que lo hace entre las láminas n y 1n . La detección de esta partícula no será instantánea, ocurrirá cuando entre en contacto con la lámina 1n . Esto hace posible asegurar que el tiempo de llegada de la partícula se produce entre dichas láminas. La precisión de este resultado dependerá de la velocidad de las láminas, siendo posible conseguir un resultado bastante aproximado si la velocidad es alta. La recogida de datos a través del registro en estas placas permite realizar una inspección posterior de los resultados sin que se produzca una variación en las probabilidades ()P  . Además, ya que los canales de salida son ortogonales, se puede asegurar también que los resultados obtenidos no interfieren entre ellos, y a priori, se pueden considerar resultados correctos. 7.2.1 Potenciales complejos Una vez establecidas las características del aparato de medida, se pretende obtener una expresión para la función de onda mediante la resolución de la ecuación de Schrödinger, tal y como se hizo anteriormente. Para ello Allcock propone definir los canales incidentes del aparato con potenciales imaginarios iV en la región 0x . Así, se tiene la siguiente ecuación de Schrödinger a resolver 2 2 10 2 i iV en x tx          (7.13) siendo la probabilidad de pasar del canal incidente al canal de salida ortogonal en el instante t de     2 0 2,P V t x dx     (7.14) Aportaciones de Allcock 44 La expresión anterior sugiere que cualquier probabilidad de entrar en 0x en un instante t discreto tiende a ocurrir en un lapso de tiempo 1 1 2 tV   (7.15) por tanto, el hecho de que se registre una partícula en un instante t permite definir el tiempo de llegada de dicha partícula  , con una incertidumbre 1 1 2 d T V    (7.16) El parámetro T se conoce como tiempo de resolución y juega un papel similar al lapso de tiempo 1nn tt  que se tiene entre el paso de dos láminas del experimento anterior. Además, el tiempo de resolución es un parámetro que sólo dependerá del aparato de medida. Es importante el hecho de que definir el problema mediante potenciales complejos implica que se encuentra una discontinuidad en el potencial situada en 0x , lo que deriva en que una parte de la onda incidente sea inevitablemente reflejada en 0x . La amplitud de la onda reflejada está íntimamente ligada con el tiempo de resolución T , por lo tanto la correcta elección del aparato de medida será determinante. Por otro lado está la región anterior al aparato de medida, 0x , donde se tiene el parámetro asociado a la fuente ( , )tx  cuyo valor será conocido, que es independiente de la función de onda  . Esta suposición permite resolver la ecuación de Schrödinger con relativa sencillez, de esta forma resulta   2 2 1,0 2 i t x en x tx         (7.17) La solución a dicha ecuación, suponiendo que no existe perturbación debida al aparato de medida, es la que se vió en (7.3), de forma que la amplitud ()E  será ajustable según el valor de  . En particular, si se supone una fuente infinitamente lejana 0 x  , o lo que es lo mismo, consideramos el experimento sin fuentes, entonces se obtiene que ( ) 0E   para valores 0E . Una implicación trivial de esto es que la influencia de la onda es la misma Aportaciones de Allcock 45 considerando la fuente o suponiéndola infinitamente lejana. Por tanto, es posible realizar el estudio del experimento "sin fuente", obteniéndose los mismos resultados. Allcock desarrolla paso a paso la obtención de los resultados que aquí no se van a detallar puesto que su interés es puramente matemático, por ello sólo se muestran los resultados y sus implicaciones. En primer lugar se considera el rango 0x , donde se observa que residen las ondas incidente y reflejada,  y ref  respectivamente, siendo la amplitud de la onda incidente         1 1/2 1/2 21E E E E iV        (7.18) y la amplitud de la onda reflejada     1/2 1/2 1 1 ref E E iV EE E E iV       (7.19) Por otro lado, en el rango 0x existe la onda transmitida que se propaga proporcionalmente a 2( )E iV . 7.3 Cálculo de la probabilidad total Una vez comprendido el concepto de onda reflejada, y obtenidas las soluciones de la ecuación de Schrödinger, es posible transformar (7.14) haciendo las sustituciones pertinentes. Así, se obtiene el siguiente resultado                           † 1/2 1/4 1/2 1/2 1/2 1/2 1/4 1/2 2 exp '1 '2 exp ' 2 ' 2 ' 1 ' ' E iEt P dE dE E E E iV iV E iV E iV E iE t E E iV E E E iV                         (7.20) como puede comprobarse, el valor del ratio de probabilidad depende del aparato puesto que en la ecuación aparece T , así como de la onda incidente al aparecer la amplitud ()E  . Aportaciones de Allcock 46 Es interesante estudiar los casos límites en los que la probabilidad anterior se vuelve independiente del potencial V , y con ello del aparato de medida. A simple vista se deduce que esta situación se produce cuando max min V E V E (7.21) Para el primer caso se tiene que si el potencial aumenta mucho, ( ) 0P   . Esto se traduce en que toda la probabilidad incidente reside en la onda reflejada, lo que supondría un fallo en el experimento de medida. Para el segundo caso en el que se tiene un potencial pequeño, no existe problema en cuanto a reflexión de la onda, es decir, la probabilidad de que la partícula llegue al aparato y sea detectada es alta. Sin embargo, esto implica directamente que la incertidumbre de medida sea muy elevada, que según (7.16),   , y entonces el tiempo de llegada quedaría definido con poca precisión. Ambos casos llevan a pensar que es prácticamente imposible asegurar que ocurrirá la detección y además realizar una medida precisa para el tiempo de llegada. Como se calculó anteriormente, la probabilidad total ideal estaba dada por la ecuación     2 P E dE      (7.22) A priori, integrando la expresión (7.20), debería obtenerse el resultado ideal en el caso en el que el concepto de tiempo de llegada estuviese bien definido para el sistema cuántico. Puede comprobarse que no es así, puesto que se obtiene una expresión que depende del aparato       2 ,P A E V E dE      (7.23) donde ( , )A E V se conoce como función de aceptación y cumple que     2 1/2 1/2 4 ,1 E iV A E V E iV EE       (7.24) Se puede definir por tanto un coeficiente de fallo regido por la expresión         2 ,,V E A E V E dE         (7.25) Aportaciones de Allcock 47 Para un valor de fallo máximo tolerado, denominado 01   , sólo podrá asegurarse la eficacia del aparato, y por tanto que la medida es válida, escogiendo un valor del potencial V tan pequeño que satisfaga que   0 ,V     Si bien en un principio el experimento de Allcock se topaba con el inconveniente de que no era factible definir correctamente el tiempo de llegada para sistemas cuánticos, más adelante sería capaz de demostrar que mediante una definición correcta de los parámetros relativos al aparato de medida sí que sería posible obtener un concepto sólido del mismo, a pesar de que llevaría consigo una incertidumbre inevitable, asociada al propio concepto de tiempo de llegada. Anexo A 54 . 55 ANEXO B Para la obtención de las ecuaciones de movimiento, se tiene en cuenta la ecuación del hamiltoniano del sistema   2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ 22 y xx P P H YP g t mm    Donde, a efectos de los cálculos posteriores, el último término será análogo a un potencial. Es conveniente tener en cuenta que se cumplen las siguientes relaciones   2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ,, 2x P P H P YP g t m             2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ , , , 2x P P H P P YP g t m            