FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO: ECUACIONES DIFERENCIALES Y ANÁLISIS NUMÉRICO
T abajo Fin de G ado:
SISTEMAS DINÁMICOS. APLICACIONES A LAS
REDES COMPLEJAS.
Au o :
Albe o Ál a ez-Remen e ía Rod íguez
Di igido po :
José An onio Langa Rosado
2017 - 2018
Sis emas dinámicos. Aplicaciones a las edes
complejas.
Albe o Ál a ez-Remen e ía Rod íguez
Memo ia p esen ada como pa e de los equisi os
pa a la ob ención del í ulo de G ado en Ma emá-
icas po la Uni e sidad de Se illa.
Tu o izada po
José An onio Langa Rosado
Ag adecimien os
Ag adezco a odas las pe sonas que me han ayudado en mi o mación an o aca-
démica como pe sonal. En especial da las g acias a oda mi amilia, en conc e o, a
mis pad es, Albe o e Isabel, po oda su p eocupación y es ue zo.
A odos los compañe os que han compa ido es os años de es udio conmigo y que
an o me han enseñado.
Po úl imo ag adece a odos los p o eso es que me han ansmi ido su apoyo y
el amo po las ma emá icas, en pa icula a Belén Güemes y Juan Nuñez; ambién
ag adece de o ma especial a José An onio Langa po habe me aguan ado odo el
año con an a paciencia y dedicación.

English Abs ac
This wo k is amed wi hin he ield o Dynamical Sys em and hei applicai ons
o complex ne wo ks.
In his ex we in es iga e he exis ence o global a ac o s o o dina y di e -
en ial sys ems and he exis ence o a Lyapuno unc ion associa ed o a g adien -like
sys em, semig oups o e olu ion p ocesses. Because o ha , a de ailed s udy o Mo se
heo y plays a cen al ule.
The applicabili y o he esul s explained he e is exempli ied by s udying he global
a ac o o an n-dimensional mu ualis ic model.
We also s udy he s uc u e o he a ac o in mu ualis ic sys ems o which we
will p o e ha i has a Mo se decomposi ion desc ibing all he u u e scena ios in his
Ecological models.
Índice gene al
In oducción 1
1. A ac o es globales y p oblemas au ónomos 7
1.1. In oducción................................ 7
1.2. Sis emas dinámicos y disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Conjun os 𝜔-lími es............................ 11
1.4. Exis encia del a ac o global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Las ecuaciones de Lo enz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Semig upos G adien es 29
2.1. De inición de semig upo g adien e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Es uc u a de los semig upos g adien es . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Semig upos Dinámicamen e G adien es . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Exis encia de a ac o es pa a semig upos g adien es . . . . . . . . . . 41
2.5. Con inuidad del a ac o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1. Semicon inuidad supe io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2. Semicon inuidad in e io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6. Teo ía de Mo se-Conley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
niciones de pun o es able, asin ó icamen e es able, ines able, dominio de a acción y
globalmen e es able ( e De inición 3.4).
A con inuación ha emos un es udio del sis ema mu ualis a (L-V) en el caso en el
que los iempos de manipulación son nulos, es deci , ℎ𝑃=ℎ𝐴= 0 en (1). Comenza-
emos es udiando la exis encia y unicidad de soluciones, pa a lo cual p esen a emos
y demos a emos el Teo ema de exis encia y unicidad de solución ( e Teo ema 3.4).
T as es o, es udia emos la es abilidad de global del sis ema mu ualis a (L-V), donde
e emos que es udia muchos de los esul ados de la es abilidad del sis ema mu ua-
lis a es equi alen e a es udia las ca ac e ís icas de una ma iz 𝕄, que se de ine como
ma iz de Lyapuno -es able. T as es udia a ios esul ados llega emos a un Teo ema
que dada unas condiciones conc e as, nues a ma iz 𝕄, y con lo cual nues o sis ema,
iene un pun o de equilib io globalmen e es able.
Pa a acaba es e capí ulo es udia emos esul ados sob e la es uc u a geomé ica
del a ac o global. Desc ibi emos una ed compleja de nodos y conexiones den o
del a ac o , en endiendo así el a ac o como una nue a ed dinámica que con iene
odos los posibles compo amien os ac ibles. Pa a ello usa emos un eo ema de i al
impo ancia que nos desc ibe el conjun o de pun os es aciona ios ( e Teo ema 3.13).
Con odo es o llega emos a la conclusión de que los pun os es aciona ios de inen una
descomposición de Mo se pa a el a ac o global.
Pa a e mina el abajo, expond emos las conclusiones a las que hemos llegado
con nues o es udio.

1 A ac o es globales y p oblemas
au ónomos
En es e capí ulo amos a mos a los dis in os esul ados más ele an es sob e
a ac o es globales pa a sis emas dinámicos en dimensión in ini a.
1.1 In oducción
Pa a comenza es e capí ulo in oduci emos el ma co de modelos au ónomos, ex-
plicando los p oblemas que apa ecen en el es udio de es os sis emas de ecuaciones
di e enciales no lineales y cómo la dinámica asin ó ica a oja in o mación ele an e
pa a su comp ensión.
Sabemos que las ecuaciones en de i adas de e olución consiguen modela muchas
de las ealidades que desc ibimos como sis emas dinámicos. Algunos ejemplos los
encon amos en enómenos de la mecánica celes e, c ecimien o de poblaciones, en
cie os p ocesos químicos, o incluso la neu ociencia.
De o ma abs ac a, podemos exp esa es as ecuación de e olución de la siguien e
o ma: 𝜕𝑢(𝑡)
𝜕𝑡 =𝐹(𝑢(𝑡))
donde 𝑢(𝑡) ∈ 𝑋es la incógni a cuyo desa ollo en el iempo, en el espacio de ases 𝑋,
que emos conoce .
Gene almen e complemen amos es a ecuación con una se ie de da os iniciales que
nos pe mi i án abo da el p oblema de exis encia y unicidad de soluciones. Además
nos se i án de elemen o de e e encia en la e olución del sis ema.
8sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Muchos de los modelos que suelen abo da se bien pueden se lineales, es deci ,
basados en ans o maciones del ipo 𝑎𝑢+𝑏de la incógni a u (a y b end án signi icados
muy dis in os si es amos en el caso de ecuaciones di e enciales (EDOs) o en el caso
de ecuaciones de de i adas pa ciales (EDPs)). La dinámica de es os modelos lineales
es á pe ec amen e es udiada y es conocida una g an can idad de esul ados ace ca de
soluciones, compo amien o, es abilidad, e c.
El p oblema es que la mayo ía de los modelos que nos encon amos en la ealidad
no ienen un c ecimien o de la o ma 𝑎𝑢 +𝑏. A poco que es udiemos un p oblema del
que que amos ob ene algunas ecuaciones que p edigan su compo amien o emos
que en muchos casos son modelos no lineales los que mejo desc iben la ealidad que
es amos es udiando.
El p ime p oblema que nos encon amos es que de los sis emas no lineales pode-
mos ob ene poquísimos esul ados gene ales que nos ayuden a esol e o os p oble-
mas ambién no lineales. Po ello, a eces cada p oblema no lineal debe se es udiado
apa e como una ealidad pa icula y compleja.
Una ez conocida la exis encia de solución, uno de los p incipales p oblemas a
es udia en cualquie sis ema es el compo amien o de las soluciones cuando 𝑡←→
∞. Pe o como hemos dicho an e io men e, los p oblemas no lineales p esen an una
di icul ad, ya que obedecen a complicadas leyes que, en gene al, hacen di ícil p edeci
la e olución del sis ema.
Además, exis en muchos modelos que ienen un compo amien o sensible espec-
o a los da os iniciales,es deci , una pequeña a iación el da o inicial p o oca un g an
cambio en el compo amien o del modelo. Es os sis emas son ecuen es en múl iples
campos como la Física, la Química, la Biología, la Economía, e c.
Podemos llega a pensa que en es os modelos amos a se incapaces de ob ene
alguna in o mación ace ca del compo amien o de las soluciones cuando 𝑡→∞. Sin
emba go es e pensamien o dis a mucho de la ealidad, pues en muchos casos las a-
yec o ias con e gen hacía un conjun o, en ocasiones bas an e ex año, al que llama-
emos a ac o del sis ema (es a idea de a ac o se á la pa e undamen al de nues o
es udio).
De es a o ma, el compo amien o caó ico de cie os sis emas dinámicos pod án
se explicados po la exis encia de un (a eces complicado) conjun o a ayen e com-
pac o hacia el que con e gen las ayec o ias cuando 𝑡←→ ∞. En es e sen ido es en el
que podemos habla de los a ac o es como explicación del caos.
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 9
1.2 Sis emas dinámicos y disipación
Las ecuaciones au ónomas son aquellas en las cuales no apa ece una dependencia
explíci a del iempo en el é mino no lineal, es deci , podemos exp esa las como
𝜕
𝜕𝑡𝑢=𝐹(𝑢(𝑡)).
Es a iene ma cada únicamen e po el iempo anscu ido. Po an o, si 𝑢(𝑡, 𝑠;𝑥𝑠)es
una solución que comienza en 𝑢𝑠en el iempo 𝑠y e oluciona has a el iempo 𝑡, su
dinámica es la misma que la de la solución 𝑢(𝑡−𝑠, 0; 𝑥𝑠).
Comencemos con una de las de iniciones más impo an es de es e abajo.
De inición 1.1. Sea 𝑋un espacio mé ico. La amilia de aplicaciones {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}
de 𝑋en sí mismo se denomina semig upo si e i ica,
1. 𝑇(0) = 𝐼𝑑,
2. 𝑇(𝑡)𝑇(𝑠) = 𝑇(𝑠)𝑇(𝑡) = 𝑇(𝑠+𝑡), pa a odo 𝑡, 𝑠 ≥0
3. {𝑡∈ℝ∶𝑡≥0} × 𝑋∋ (𝑡, 𝑥)→𝑇(𝑡)𝑥∈𝑋es con inuo
En el apa ado 3. de la de inición an e io se es á conside ando el conjun o {𝑡∈
ℝ∶𝑡≥0} × 𝑋do ado de la opología p oduc o.
Conside emos un p oblema au ónomo
𝜕
𝜕𝑡𝑢=𝐹(𝑢)
con unicidad de solución deno ada po 𝑢(𝑡;𝑢0)con alo inicial 𝑢0en 𝑡= 0; emos
que el semig upo 𝑇(𝑡)𝑢0=𝑢(𝑡;𝑢0) ep esen a la solución que comenzó en 𝑢0cuando
ha anscu ido un iempo 𝑡.
Aho a amos a de ini la semidis ancia de Hausdo pa a conjun os, la cual mide,
dicho de o ma sencilla, "cuan o de un conjun o es á den o de o o" y que nos ayuda á
en nues o p oceso de de inición de a ac o global.
De inición 1.2. Sea (𝑌 , 𝑑𝑌)un espacio mé ico y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑌 dos subconjun os de
dicho espacio. La semidis ancia de Hausdo en e 𝐴y𝐵, deno ada po 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵), se
de ine como
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵) = sup
𝑎∈𝐴

ın
𝑏∈𝐵𝑑𝑌(𝑎, 𝑏)
10 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
o, equi alen emen e,
dis (𝐴, 𝐵) = 
ın {𝜀 > 0 ∶ 𝐴⊆𝑁(𝐵, 𝜀)}
donde 𝑁(𝐵, 𝜀)={𝑦∈𝑌∶𝑑𝑌(𝑦, 𝐵)< 𝜀}deno a un 𝜀-en o no de 𝐵.
Hay que ene en cuen a que es a dis ancia no de ine una mé ica ya que si 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵) =
0lo único que sabemos es que 𝐴 ⊆ 𝐵. La dis ancia de Hausdo se de ine como
dis ℋ(𝐴, 𝐵)=m
ax {dis (A,B),dis (B,A)}
Veamos algunas p opiedades:
1. dis (∅,Y) = 0, mien as que dis (𝑋, ∅) no es á de inida;
2. dis (X,Y) = dis (X,Y);
3. si 𝑌1⊆ 𝑌2, en onces dis (X,Y1)⩾dis (X,Y2);
4. si 𝑋1⊆ 𝑋2, se e i ica que dis (X1,Y) ⩽dis (X2,Y);
De inición 1.3. Sean 𝐴y𝐵subconjun os de 𝑋y{𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} un semig upo en
𝑋. Di emos que 𝐴a ae a 𝐵si
dis (T( )B,A) →∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 0
Sabemos que un sis ema es disipa i o si sus soluciones con e gen a un conjun o
aco ado den o del espacio 𝑋, es deci , no explo an en iempo ini o, y es án aco adas
en odo iempo.
De inición 1.4. Di emos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es disipa i o aco ado (disipa i o com-
pac o) (disipa i o pun ual) si exis e un conjun o aco ado 𝐵 ⊆ 𝑋 al que pa a odo 𝐷 ⊆ 𝑋
aco ado (conjun o compac o 𝐾 ⊆ 𝑋) (pun o 𝑥∈𝑋), exis e 𝑡0=𝑡0(𝐷) (𝑡0=𝑡0(𝐾))
(𝑡0=𝑡0(𝑥)) al que 𝑇(𝑡)𝐷 ⊆ 𝐵 (𝑇(𝑡)𝐾 ⊆ 𝐵) (𝑇(𝑡)𝑥∈𝐵)pa a odo 𝑡⩾𝑡0.
Aho a p ocede emos a de ini el concep o de in a ianza, el cual es undamen al
den o del ma co de los a ac o es globales ya que son conjun os que gua dan en su
in e io oda su dinámica.
De inición 1.5. Di emos que un conjun o 𝐷es in a ian e bajo el semig upo {𝑇(𝑡) ∶
𝑡≥0} si 𝑇(𝑡)𝐷=𝐷pa a odo 𝑡⩾0.
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 11
T as es a de inición nos disponemos a da la de inición de a ac o global.
De inición 1.6. El conjun o 𝒜⊆ 𝑋 es el a ac o global pa a el semig upo {𝑇(𝑡) ∶
𝑡⩾0} si
1. es compac o
2. a ae aco ados de 𝑋
3. es in a ian e bajo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0}.
Obsé ese que, de la mane a en la que hemos de inido el a ac o global, a p io i,
pa ece que un cie o semig upo pudie a posee más de un a ac o global. No obs an e,
se puede p oba ácilmen e que un semig upo posee, a lo más, un único a ac o global.
P oposición 1.1.Si exis e un a ac o global pa a el semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}, en on-
ces dicho a ac o es único.
Demos ación. En e ec o, sean 𝐴1y𝐴2a ac o es globales pa a el semig upo {𝑇(𝑡) ∶
𝑡≥0}. En onces, como 𝐴2es un compac o, es un subconjun o aco ado de 𝑋, y usando
que 𝐴1es un a ac o global, end emos que
l
ım
𝑡←→∞dis (T( )A2,A1)=0.
Pe o, la in a ianza de 𝐴2po 𝑇(⋅)implica que 𝑇(𝑡)𝐴2=𝐴2cualquie a que sea 𝑡≥0.
Teniendo en cuen a, la igualdad p eceden e queda
0 = 𝑙𝑖𝑚𝑡←→∞dis (T( )A2,A1) = l
ım
𝑡←→∞dis (A2,A1) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴2, 𝐴1),
o sea, 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴2, 𝐴1)=0, luego como hemos is o an es, es o implica que 𝐴2⊂ 𝐴1=𝐴1,
ya que 𝐴1es ce ado.
Cambiando los papeles de 𝐴1y𝐴2en el a gumen o an e io , se concluye la o a
inclusión 𝐴1⊂ 𝐴2, mos ando la igualdad en e los dos conjun os.
1.3 Conjun os 𝜔-lími es
In oducimos en es a sección el impo an e concep o de conjun o 𝜔-lími e, que a
a juga un papel undamen al en el desa ollo de la eo ía de los a ac o es globales.

12 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
De inición 1.7. Denominamos conjun o 𝜔-lími e de un conjun o 𝐵al conjun o que
con iene odos los pun os lími e de las soluciones de dicho conjun o,
𝜔(𝐵) = ⋂
𝑡⩾0⋃
𝜏⩾𝑡
𝑇(𝜏)𝐵=⋂
𝑡≥0
𝛾+
𝑡(𝐵).(1.1)
Donde 𝛾+(𝐵)es su semió bi a posi i a espec o del semig upo 𝑇(⋅), de inida po
𝛾+(𝐵) ∶= {𝑇(𝑡)𝑥∶𝑡≥0, 𝑥 ∈𝐵} = ⋃
𝑥∈𝐵
𝛾+(𝑥)
y
𝛾+
𝜏(𝐵) ∶= {𝑇(𝑡)𝑥∶𝑡≥𝜏, 𝑥 ∈𝐵}.
Vemos que el conjun o 𝜔-lími e de cualquie subonjun o 𝐵de 𝑋es un conjun o
ce ado, po se in e sección de ce ados.
Es a de inición que acabamos de da se puede cambia po o a más manejable en
é minos de lími es de sucesiones, como nos mues a la siguien e ca ac e ización.
Lema 1.1.El conjun o 𝜔-lími e de un subconjun o 𝐵 ⊂ 𝑋 es á ca ac e izado po
𝜔(𝐵)={𝑦∈𝑋∶exis en sucesiones 𝑡𝑛→∞,{𝑥𝑛} ∈ 𝐵 ales que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑦},
(1.2)
Demos ación. En e ec o, sea 𝜔′(𝐵)el conjun o de inido po (1.2). Po una pa e,
dado 𝑥∈𝜔(𝐵), pa a cada na u al 𝑛se iene que 𝑥∈𝛾+
𝑛(𝐵). Luego, pa a cada 𝑛
debe exis i 𝑧𝑛∈𝛾+
𝑛(𝐵) al que 𝑑(𝑥, 𝑧𝑛)<1
𝑛, pe o, po la de inición de 𝛾+
𝑛(𝐵), exis en
𝑡𝑛≥𝑛y𝑥𝑛∈𝐵de mane a que 𝑧𝑛=𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛. Así se iene e iden emen e que 𝑥=
l
ım𝑛←→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛, con 𝑡𝑛←→ ∞, es deci , 𝑥∈𝜔′(𝐵).
Po o a pa e, sea 𝑥∈𝜔′(𝐵), en onces 𝑥= l
ım𝑛←→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛, pa a cie as sucesio-
nes (𝑡𝑛)𝑛∈𝑁en ℝ+
0, con 𝑡𝑛←→ ∞, y (𝑥𝑛)𝑛∈ℕen 𝐵.
Aho a, dado 𝑡≥0cualquie a, escogiendo un na u al 𝑛(𝑡)de modo que 𝑡𝑛≥𝑡pa a
𝑛≥𝑛(𝑡), se e ácilmen e que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∈𝛾𝑡(𝐵) oda ez que 𝑛≥𝑛(𝑡), de donde
esul a que 𝑥∈𝛾𝑡(𝐵), y de la a bi a iedad con la que ue omado 𝑡≥0, concluimos
que 𝑥∈⋂𝑡≥0𝛾+
𝑡(𝐵), es deci , 𝑥∈𝜔(𝐵)y el lema queda demos ado.
A con inuación eamos una ca ac e ís ica ace ca del conjun o 𝜔-lími e que nos
se á de mucha u ilidad.
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 13
P oposición 1.2.Sea 𝐵 ⊆ 𝑋. Si pa a algún 𝑡0>0el conjun o
⋃
𝑡≥𝑡0
𝑇(𝑡)𝐵
es compac o, en onces 𝜔(𝐵)es no acío, compac o e in a ian e.
Demos ación. Pa a 𝑡≥0 enemos que los conjun os
𝐵(𝑡) = ⋃
𝑠⩾𝑡
𝑇(𝑠)𝐵
son una amilia de compac os encajados, po an o ienen in e sección no acía y
compac a. Así, 𝜔(𝐵)es no acío y compac o si usamos la ca ac e ización en (1.1).
Pa a demos a la in a ianza del conjun o, usa emos la ca ac e ización en (1.2).
Sea 𝑇(𝑡)𝑦∈𝑇(𝑡)𝜔(𝐵)con 𝑦∈𝜔(𝐵); exis en dos sucesiones {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝐵 y𝑡𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞
de modo que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛con e ge a 𝑦. Bas a aplica aho a el semig upo, ob eniendo
𝑇(𝑡)𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑇(𝑡+𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑇(𝜏𝑛)𝑥𝑛.
Como 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛con e ge a 𝑦, enemos que 𝑇(𝜏𝑛)𝑥𝑛con e ge a 𝑇(𝑡)𝑦y po an o es á
en 𝜔(𝐵). Con lo que hemos p obado que 𝑇(𝑡)𝜔(𝐵)⊆ 𝜔(𝐵).
Tomemos aho a un elemen o 𝑦∈𝜔(𝐵). Po de inición, exis i án unos 𝑡𝑛que con-
e gen a in ini o y unos {𝑥𝑛∈𝐵 ales que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑦.
Sea aho a 𝑛0∈ℕ al que 𝑡𝑛⩾𝑡+𝑡0, pa a odo 𝑛>𝑛0. Po an o,
{𝑇(𝑡𝑛−𝑡)𝑥𝑛}⊆ 𝐵(𝑡) = ⋃
𝑠⩾𝑡0
𝑇(𝑠)𝐵.
Al se es e conjun o compac o po hipó esis, exis e una subsucesión con e gen e
(que deno a emos igual) a un pun o 𝑧, el cual es á en 𝜔(𝐵)po (1.2). Po con inuidad
del semig upo,
𝑦=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑇(𝑡𝑛−𝑡)𝑥𝑛=𝑇(𝑡)𝑧. (1.3)
Po an o, enemos que 𝑦∈𝑇(𝑡)𝜔(𝐵), y po consiguien e el doble con enido.
14 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
De inición 1.8. Llama emos solución global pa a el semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} en
𝑋(o ambién ó bi a comple a) a oda amilia {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ} al que cualquie 𝑡∈ℝ,
𝜉(𝑡) = 𝑇(𝑡+𝑠)𝜉(𝑠)pa a odo 𝑠<𝑡.
Es muy sencillo e a pa i del lema 1.1que, si 𝐵 ⊂ 𝐶 en onces 𝜔(𝐵)⊂ 𝜔 (𝐶)
y si 𝜉∶ℝ←→ 𝑋es una solución global de 𝑇(⋅)se iene que 𝜔(𝜉(𝑡)) =𝜔(𝜉(𝑠)) pa a
cualesquie a 𝑠, 𝑡 ∈ℝ
En algunos casos podemos a a un concep o semejan e al de conjun o 𝜔-lími e,
pe o donde el iempo anscu e hacia a ás, de iniendo lo que se conoce como conjun-
o 𝛼-lími e asociados a una solución (es deci , no conside a emos conjun os 𝛼-lími es
asociados a un subconjun o a bi a io 𝐵de 𝑋).
De inición 1.9. Sea 𝜉∶ℝ←→ 𝑋una solución global del semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}.
De inimos su conjun o 𝛼-lími e como:
𝛼(𝜉)∶= {𝑥∈𝑋∶exsi e (𝑡𝑛)𝑛∈ℕen ℝcon 𝑡𝑛←→ −∞ al que 𝑥= l
ım
𝑛←→∞𝜉(𝑡𝑛)}
Las p incipales p opiedades de los conjun os 𝜔-lími es necesa ias en el es udio
de los a ac o es globales se e i ican siemp e pa a los semig upos asin ó icamen e
compac os.
De inición 1.10. Di emos que el semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es asin ó icamen e com-
pac o si pa a cualesquie a sucesiones {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝑋 aco ada y 𝑡𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞exis e una
subsucesión con e gen e a un pun o de 𝑋de la sucesión {𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛}𝑛∈ℕ.
De inición 1.11. Se dice que un semig upo no lineal {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} en un espacio
mé ico 𝑋es e en ualmen e compac o, si exis e un 𝑡0>0 al que la aplicación 𝑇(𝑡0) ∶
𝑋←→ 𝑋es una aplicación compac a, es deci , si pa a cada subconjun o aco ado 𝐵de 𝑋
su imagen po 𝑇(𝑡0),𝑇(𝑡0)𝐵, es un conjun o ela i amen e compac o de 𝑋.
Supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es un semig upo e en ualmen e compac o y sea
𝑡0>0 al que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋←→ 𝑋es una aplicación compac a. En onces, del hecho de que
una aplicación con inua ans o ma conjun os compac os en conjun os compac os y
de la p opiedad de semig upo, se deduce que pa a odo 𝑡≥𝑡0,𝑇(𝑡) ∶ 𝑋←→ 𝑋es una
aplicación compac a, pues 𝑇(𝑡) = 𝑇(𝑡−𝑡0)𝑇(𝑡0).
Pa a e que un semig upo e en ualmen e compac o {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} y e en ual-
men e aco ado es asin ó icamen e compac o, sean (𝑡𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión de núme os
con 𝑡𝑛→∞y(𝑥𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión aco ada de pun os de 𝑋. Sea, po la compacidad
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 15
e en ual, 𝑡0>0 al que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋→𝑋es una aplicación compac a y, po la aco ación
e en ual de 𝑇(⋅),𝜏≥0de mane a que la semió bi a, 𝛾+
𝜏(𝐵0), del subconjun o aco ado
𝐵0∶= {𝑥𝑛∶𝑛∈ℕ}, es aco ada. Finalmen e, escogiendo un núme o eal 𝑡′> 𝑡0+𝜏,
conside emos 𝑛0∈ℕ al que 𝑡𝑛≥𝑡′pa a odo 𝑛≥𝑛0. De iniendo el conjun o aco ado
𝐵∶= {𝑇(𝑡𝑛−𝑡′)𝑥𝑛∶𝑛≥𝑛0}⊂ 𝛾+
𝜏(𝐵0), de la obse ación que sigue a la de inición de
compac o e en ual, esul a inmedia o que 𝑇(𝑡′)𝐵es ela i amen e compac o y siendo
{𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∶𝑛≥𝑛0}un subconjun o de 𝑇(𝑡′)𝐵, se sigue la conclusión.
P esen amos aho a las p incipales p opiedades de los conjun os 𝜔-lími es pa a
semig upos asin ó icamen e compac os, esumidas en el siguien e eo ema.
Teo ema 1.1. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semig upo asin ó icamen e compac o en un
espacio mé ico 𝑋. Pa a odo subconjun o aco ado no acío 𝐵 ⊂ 𝑋 se iene que su
conjun o 𝜔-lími e sa is ace las siguien es p opiedades:
1. 𝜔(𝐵)es no acío, compac o, in a ian e y a ae a 𝐵po la acción de 𝑇(⋅).
2. 𝜔(𝐵)es el meno conjun o ce ado de 𝑋que a ae a 𝐵.
3. Si 𝐵es conexo o exis e un conexo 𝐶que con iene a 𝐵y que es a aído po 𝜔(𝐵),
en onces 𝜔(𝐵)es conexo.
Demos ación.
1. Pa a e que 𝜔(𝐵)es no acío, escojamos una sucesión cualquie a de núme os
eales no nega i os (𝑡𝑛)𝑛∈ℕcon 𝑡𝑛→∞y una sucesión cualquie a (𝑥𝑛)𝑛∈ℕde
pun os de 𝐵. De la compacidad asin ó ica se deduce que la sucesión (𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛)𝑛∈ℕ
posee una subsucesión con e gen e y el Lema (1.1) nos dice que es e lími e
pe enece a 𝜔(𝐵).
La compacidad se puede p oba así. Sea (𝑥𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión de pun os en 𝜔(𝐵).
G acias al lema 1.1, a cada 𝑛∈ℕes á aco ado un pa de sucesiones (𝑡(𝑛)
𝑗)𝑗∈ℕ
en ℝ+
0, con 𝑡(𝑛)
𝑗←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑗→∞∞, y (𝑥(𝑛)
𝑗)𝑗∈ℕ
en 𝐵 ales que 𝑥𝑛= l
ım𝑗→∞𝑇(𝑡(𝑛)
𝑗)𝑥(𝑛)
𝑗. De
donde se puede conclui que, pa a cada na u al 𝑛exis e un na u al 𝑗𝑛 al que
𝑑(𝑥𝑛, 𝑇 (𝑡(𝑛)
𝑗𝑛)𝑥(𝑛)
𝑗𝑛)<1
𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑡(𝑛)
𝑗𝑛≥𝑛. (1.4)
Como 𝑡(𝑛)
𝑗𝑛
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑛→∞∞, po la compacidad asin ó ica, podemos ex ae una subsu-
cesión con e gen e de (𝑇(𝑡(𝑛)
𝑗𝑛)𝑥(𝑛)
𝑗𝑛)𝑛∈ℕ
, que amos a deno a po
(𝑇(𝑡(𝑛𝑘)
𝑗𝑛𝑘)𝑥(𝑛𝑘)
𝑗𝑛𝑘)𝑘∈ℕ
22 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
con
𝑚𝑖∶ℝ+→ℝ+,l
ım
𝑡→∞𝑚1(𝑡)=0
donde de inimos ‖𝐵‖𝑋=𝑠𝑢𝑝{‖𝑏‖𝑋∶𝑏∈𝐵}.
2. {𝑈(𝑡) ∶ 𝑡 > 0} son ales que pa a odo 𝐵 ⊆ 𝑋 aco ado, exis e un iempo 𝑇(𝐵)>0
de o ma que el conjun o {𝑈(𝑡)𝐵∶𝑡⩾𝑇(𝐵)} es ela i amen e compac o, es deci ,
dada una sucesión {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝐵 y𝑡𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞, exis e una subsucesión con e gen e
de {𝑈(𝑡𝑛)𝑥𝑛}𝑛∈ℕ.
En onces el semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es asin ó icamen e compac o.
Demos ación. Sea 𝐵 ⊆ 𝑋 aco ado. Po hipó esis, enemos que {𝑇(𝑡)𝐵∶𝑡⩾0} es
aco ado. Veamos que el conjun o 𝐵1= {𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∶𝑛⩾1} con 𝑥𝑛∈𝐵y𝑡𝑛
𝑛→∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞
posee una subsucesión con e gen e. Pa a ello bas a á con que el conjun o sea ela-
i amen e compac o po medio de la exis encia de una 𝜖-malla ini a, siendo 𝜖 > 0
cualquie a.
Sea 𝜖 > 0y omemos un 𝑙 > 𝑇 (𝐵)de o ma que
𝑚1(𝑙)⩽𝜖
2𝑚2(‖⋃𝑡⩾0𝑇(𝑡)𝐵)‖,
lo cual nos lo ga an iza la condición de que la unción 𝑚1(𝑡) aya a ce o cuando el
iempo a a in ini o. Descomponemos 𝐵1en dos conjun os
𝐵′
1= {𝑇(𝑡𝑘)𝑥𝑘}𝑘1
𝑘=1,𝐵′′
1= {𝑇(𝑡𝑘)𝑥𝑘}∞
𝑘=𝑘+1
con 𝑡𝑘1< 𝑙 ⩽𝑡𝑘1+1,
Tenemos que el conjun o 𝐵′′
1es un subconjun o del conjun o aco ado 𝑇(𝑙)({𝑇(𝑡)𝐵∶
𝑡⩾0}). Aplicando aho a la descomposición del semig upo a dicho conjun o ob ene-
mos que el conjun o 𝑈(𝑙)({𝑇(𝑡)𝐵∶𝑡⩾0}) es ela i amen e compac o po hipó esis.
Po an o, podemos ecub i lo con una amilia 𝜖
2-malla ini ia. Po o o lado, la no ma
del ope ado 𝑊(𝑡)queda como
‖‖‖‖‖‖
𝑊(𝑙)(⋃
𝑡⩾0
𝑇(𝑡)𝐵)‖‖‖‖‖‖𝑋
⩽𝑚1(𝑙)𝑚2(‖‖‖‖‖‖⋃
𝑡⩾0
𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖‖‖‖𝑋)

1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 23
⩽𝜖
2𝑚2(‖‖‖⋃𝑡⩾0𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖𝑋)𝑚2(‖‖‖‖‖‖⋃
𝑡⩾0
𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖‖‖‖𝑋)=𝜖
2
Po consiguien e podemos ecub i al conjun o 𝐵1po una 𝜖-malla ini a, llegando a
la conclusión de que es p ecompac o.
Teo ema 1.5. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semig upo no lineal en un espacio mé ico 𝑋.
En onces, {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} posee a ac o global 𝒜si y sólo si es asin ó icamen e compac o
y disipa i o. Además, en es e caso, si deno a la colección de odos los subconjun os
aco ados no acíos de 𝑋, en onces el a ac o iene dado po
𝒜=⋃
𝐵∈
𝜔(𝐵)(1.9)
Demos ación. En p ime luga supongamos que exis e el a ac o global 𝒜pa a
{𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. En onces, como hemos is o en la Sección 1.2 sabemos que es disipa-
i o. Pa a e que ambién es asin ó icamen e compac o, sean {𝑥𝑛}𝑛∈ℕuna sucesión
aco ada de pun os de 𝑋y{𝑡𝑛}𝑛∈ℕuna sucesión de núme os no nega i os con 𝑡𝑛→∞.
Po un lado, conside ando el conjun o aco ado 𝐵∶= {𝑥𝑛∶𝑛∈ℕ}se iene que
l
ım
𝑡→∞dis (𝑇(𝑡)𝐵, 𝒜)=0,
y, en pa icula , pa a odo 𝑥′∈𝐵
l
ım
𝑛→∞𝑑(𝑇(𝑡𝑛)𝑥′,𝒜)≤l
ım
𝑛→∞dis (𝑇(𝑡𝑛)𝐵, 𝒜)=0.(1.10)
En onces, aplicando la de de inición de lími e de sucesiones en (1.10), pa a cada 𝑗∈ℕ
se puede encon a un pun o 𝑧𝑗∈𝒜de mane a que
𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑧𝑗)<1
𝑗.(1.11)
Aho a, como 𝒜es un conjun o compac o, la sucesión {𝑧𝑗}𝑗∈ℕposee una subsuce-
sión con e gen e. Deno ando dicha subsucesión de la misma mane a, sea 𝑥∈𝒜su
lími e. En onces po (1.11),
𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑥)≤𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑧𝑗)+𝑑(𝑧𝑗, 𝑥)<1
𝑗+𝑑(𝑧𝑗, 𝑥),
es deci , 𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑗→∞𝑥, p obando la compacidad asin ó ica de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}.
Recíp ocamen e, supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es asin ó icamen e compac o y
disipa i o. Sea
𝒜∶= ⋃
𝐵∈
𝜔(𝐵)
24 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
el conjun o de inido en (1.9) y p obemos que 𝒜es, e ec i amen e, el a ac o global
de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}.
En p ime luga , no emos g acias al Teo ema 1.1, pa a cada 𝐵∈, el conjun o
𝜔(𝐵)es no acío, compac o, in a ian e y a ae a 𝐵po la acción de 𝑇(⋅). De ahí,
emos que 𝒜es in a ian e, po se unión de conjun os in a ian es, y además, a ae
a odos los aco ados de 𝑋po medio de 𝑇(⋅). Luego, el eo ema queda á demos ado
en cuan o p obemos la compacidad de 𝒜, lo que ha emos usando la disipa i idad de
{𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}.
En e ec o, sea 𝐷 ⊂ 𝑋 un subconjun o aco ado que abso be a odos los subcon-
jun os aco ados de 𝑋po medio de 𝑇(⋅). Tomando la clausu a de 𝐷, si hicie a al a,
podemos supone que 𝐷es ce ado, en onces su p opiedad de abso ción jun o con la
p opiedad (2.) en el Teo ema 1.1, nos dicen que 𝜔(𝐵)⊂ 𝐷 pa a odo 𝐵∈. Luego
𝒜⊂ 𝐷 y po an o 𝒜⊂ 𝐷 lo que implica que 𝜔(𝒜)⊂ 𝜔(𝐷). Como 𝒜es in a ian e
se iene que 𝒜⊂ 𝜔(𝐷)y así se puede conclui la cadena de inclusiones
𝒜⊂ 𝜔(𝒜)⊂ 𝜔(𝐷)⊂𝒜,
y consecuen emen e 𝜔(𝐷) = 𝒜, concluyendo la compacidad de 𝒜, eniendo en cuen a
el Teo ema 1.1.
1.5 Las ecuaciones de Lo enz
A con inuación amos a e un ejemplo clásico de exis encia de a ac o global.
Conside emos el siguien e sis ema de ecuaciones
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑥′= −𝜎𝑥 +𝜎𝑦
𝑦′=𝑟𝑥 −𝑦−𝑥𝑧
𝑧′=𝑥𝑦 −𝑏𝑧,
(1.12)
con 𝜎,𝑟y𝑏cons an es posi i as.
Como es amos en ℝ3los conjun os ce ados y aco ados son compac os, po lo an-
o sólo necesi amos encon a un conjun o ce ado, aco ado y abso ben e pa a p oba
la exis encia del a ac o global. Veamos que exis e una bola cen ada en (0,0, 𝑟 +𝜎)
su icien emen e g ande que abso be cualquie solución del sis ema (1.5).
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 25
Conside amos la unción 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2+𝑦2+ (𝑧−𝑟−𝜎)2. Si conside amos
aho a 𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), donde (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) es una solución de la ecuación
de Lo enz, su de i ada empo al es
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = 2𝑥𝑥′+2𝑦𝑦′+2(𝑧𝑟−𝜎)𝑧′= −2𝜎𝑥2−2𝑦2−2𝑏𝑧2+2𝑏(𝑟+𝜎)𝑧⩽−𝛼𝑉 +𝑏(𝑟+𝜎)2
donde 𝛼= m
ın (2𝜎, 𝑏, 2).
Aplicando la desigualdad de G onwall,
𝑉(𝑡)⩽(𝑉0−𝑏(𝑟+𝜎)2
𝛼)𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2
𝛼⩽𝑉0𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2
𝛼,(1.13)
siendo 𝑉0=𝑉(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)los da os iniciales del p oblema. Tenemos que si |𝑧|< 𝑟 +𝜎,
en onces ‖(𝑥, 𝑦, 𝑧)‖ℝ3⩽𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧), po lo an o
‖(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))‖ℝ3⩽𝑉0𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2
𝛼.
Po consiguien e, si conside amos la bola 𝐵de cen o (0,0, 𝑟 +𝜎)y adio 𝜀+2𝑏(𝑟+𝜎)2
𝛼
(con 𝜀 > 0), enemos que cuando una solución en a en es a bola, pe manece en ella
pa a odo iempo pos e io . Po o o lado, si la solución comienza ue a de dicha bola,
debido a (1.13), el alo de 𝑉(𝑡)i á disminuyendo has a que la solución en e de nue o
en 𝐵.
La Figu a 1.5 nos mues a el espacio de ases de es e p oblema, donde podemos
e la es uc u a del a ac o global pa a unos alo es conc e os de los pa áme os. En
es e caso, el espacio de ases es ℝ3, en el cual no ep esen amos la a iable empo al,
sino únicamen e los alo es de los pun os (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)).
Pa a mayo comp ensión mos a emos ambién las ayec o ias de las soluciones
de la solución del sis ema (1.12)
Los códigos que hemos usado ienen explicados en el Anexo.
26 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Figu a 1.1: A ac o de Lo enz pa a el sis ema (1.12) con alo es 𝜎= 10,𝑟= 28 y
𝑏=8
3y con alo inicial (-1,3,-1). Podemos obse a la clásica es uc u a de alas de
ma iposa con una compleja es uc u a. En ealidad, se a a de un conjun o ac al.
1. a ac o es globales y p oblemas au ónomos 27
Figu a 1.2: T ayec o ias de Lo enz pa a el sis ema (1.12) con alo es 𝜎= 10,𝑟= 28
y𝑏=8
3y con alo inicial (-1,3,-1).

2 Semig upos G adien es
P esen a emos en es e capí ulo la clase de semig upos que a a se el obje i o de
nues os esul ados pos e io emen e, y que consis e en ca ac e iza los sis emas po
medio de su dinámica.
La dinámica de los semig upos g adien es queda desc i a po medio de una unción
auxilia llamada unción de Lyapuno , que posee p opiedades muy pa icula es y, po
eso, sugie e que la clase de los sis emas g adien es debe compone una clase bas an e
no able de sis emas.
En es e capí ulo nos p oponemos mos a que, e ec i amen e, es os sis emas po-
seen una dinámica que pe mi e se comp endida de mane a bas an e de allada.
2.1 De inición de semig upo g adien e
Reco demos que, dados un subcojun o 𝐴⊂𝑋y un núme o posi i o 𝜖 > 0, su
𝜖-en o no, deno ado po 𝒪𝜖(𝐴), es la unión de odas las bolas abie as cen adas en
sus pun os y poseyendo adio 𝜖, es deci ,
𝒪𝜖(𝐴) ∶= ⋃
𝑎∈𝐴
𝐵(𝑎;𝜖)={𝑥∈𝑋∶𝑑(𝑥, 𝐴)< 𝜖}.
De inición 2.1. Sea {𝑇(𝑡)}𝑡≥0un semig upo no lineal en un espacio mé ico 𝑋y𝐸
un conjun o in a ian e.
a) Se dice que 𝐸es un in a ian e aislado si exis e 𝛿 al que 𝐸es el in a ian e maximal
en 𝒪𝛿(𝐸), es deci , si 𝐹es un conjun o in a ian e en 𝒪𝛿(𝐸), en onces 𝐹 ⊂ 𝐸.
b) Se dice que 𝔼= {𝐸1,⋯, 𝐸𝑛}es una amilia disjun a de conjun os in a ian es
aislados si cada 𝐸𝑖es un conjun o in a ian e aislado según (𝑎)y exis e 𝛿 > 0 al
que 𝒪𝛿(𝐸𝑖)⋂𝒪𝛿(𝐸𝑗) = ∅ ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1 ⋯𝑛}𝑖≠𝑗
30 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Obse ación 2.1.Si 𝐸es un conjun o in a ian e, 𝐸 ⊂ 𝐴. Además, 𝐸es ambién
in a ian e. En e ec o,
𝑥= l
ım
𝑛→∞𝑥𝑛, 𝑥𝑛∈𝐸, 𝑇 (𝑡)𝑥=𝑇(𝑡) l
ım
𝑛→∞𝑥𝑛
Como 𝑥∈𝐸⇒𝑇(𝑡)𝑥∈𝐸, luego l
ım
𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑥𝑛∈𝐸con es o llegamos a que 𝑇(𝑡)𝐸 ⊆ 𝐸
Como 𝑥∈𝐸,𝑥= l
ım
𝑛→∞𝑥𝑛, luego 𝑥𝑛∈𝐸 enemos que 𝑥𝑛=𝑇(𝑡)𝑦𝑛, con lo que
𝑦𝑛∈𝐸. Sabemos que 𝑥= l
ım
𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑦𝑛=𝑇(𝑡)l
ım
𝑛→∞𝑦𝑛, luego llegamos a que 𝑦∈𝐸
𝑥∈𝑇(𝑡)𝐸
𝐸 ⊆ 𝑇 (𝑡)𝐸}⇒𝐸=𝑇(𝑡)𝐸
Po lo an o, los in a ian es aislados aco ados son ce ados.
De inición 2.2. Di emos que una solución global 𝜉∶ℝ→𝑋es una solución es a-
ciona ia o un pun o de equilib io de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} cuando es una aplicación cons an e,
es deci , cuando es de la o ma 𝜉(𝑡) = 𝑧∗pa a odo eal 𝑡y un cie o pun o 𝑧∗∈𝑋.
De inición 2.3. Sea 𝔼= {𝐸1,…, 𝐸𝑛}una amilia disjun a de in a ian es aislados.
Di emos que {𝑇(𝑡)}𝑡≥0es un semig upo g adien e gene alizado espec o de 𝐸si exis e
una unción 𝑉∶𝑋→ℝque sa is ace
1. 𝑉∶𝑋→ℝes con inua
2. 𝑉es no c ecien e a lo la go de las soluciones, es deci , pa a odo 𝑥∈𝑋
[0,∞] →ℝ
𝑡→𝑉(𝑇(𝑡)𝑥)
es no c ecien e
3. Si pa a algún 𝑥∈𝑋se iene que 𝑉(𝑇(𝑡)𝑥) = 𝑉(𝑥) ∀𝑡≥0, en onces 𝑥∈𝐸𝑖pa a
algún 𝐸𝑖∈𝔼donde 𝑖∈ {1,…, 𝑛}
4. 𝑉∶𝑋→ℝes cons an e sob e cada 𝐸𝑖∈𝔼, es deci , ∃𝐿𝑖∈ℝ, al que 𝑉(𝑥) = 𝐿𝑖,
∀𝑥∈𝐸𝑖donde 𝑖∈ {1,…, 𝑛}.
A𝑉∶𝑋→ℝse le denomina unción de Lyapuno gene alizada.
En el caso en que 𝔼= {𝑧∗
1,…, 𝑧∗
𝑛}sean equilib ios, se dice que {𝑇(𝑡)}𝑡≥0es un
semig upo g adien e y la unción 𝑉∶𝑋→ℝes una unción de Lyapuno .
2. semig upos g adien es 31
Ejemplo 2.1.Sea 𝑁∈ℕ,𝑓∈𝐶2(ℝ𝑁;ℝ).
Conside emos el (𝑃 𝐶)
{𝑥′= −∇𝑓(𝑥), 𝑡 > 0
𝑥(0) = 𝑥0∈ℝ𝑁(2.1)
Tenemos que 𝑥(𝑡) = (𝑥1(𝑡),…, 𝑥𝑁(𝑡)) siendo ∇𝑓(𝑥) = (𝜕𝑓
𝜕𝑥1
(𝑥),…,𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑁(𝑥))el
g adien e de 𝑓en 𝑥
Supongamos que l
ım
|𝑥|→∞𝑓(𝑥)=∞, con ∇𝑓∶ℝ𝑁→ℝ𝑁,(∇𝑓∶𝑥→∇𝑓(𝑥))que en
𝐶1es localmen e Lipschi ziana, luego exis e solución global única y podemos de ini
𝑇(𝑡) ∶ ℝ𝑁→ℝ𝑁𝑇(𝑡)𝑥0solución de (2.1)
Supongamos que ∇𝑓∶ℝ𝑁→ℝ𝑁posee un núme o ini o de ce os en ℝ𝑁,
∇𝑓(𝑧∗)=0que deno amos po 𝔼= {𝑧∗
1,…, 𝑧∗
𝑛}
Lema 2.1.𝑓∶ℝ𝑁→ℝes una unción de Lyapuno pa a el semig upo {𝑇(𝑡)}𝑡≥0
Demos ación.
1. 𝑓∶ℝ𝑁→ℝes con inua, ya que es de clase 𝐶1, y 𝔼= {𝑧∗
1,…, 𝑧∗
𝑛}es el con-
jun o de odos los pun os de equilib io de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Luego ambién se
e i ica la p opiedad (4) de la De inición 2.3. Po an o sólo hace al a p oba
las p opiedades (2) y(3).
2. En e ec o, dado 𝑥0∈ℝ𝑁, enemos que la unción eal [0,∞) ∋ 𝑡→𝑓(𝑇(𝑡)𝑥0) =
𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ∈ ℝes de clase 𝐶1y en onces, la egla de la cadena y el hecho de
que 𝑥(⋅, 𝑥0) ∶ [0,∞) →ℝ𝑁es la solución del p oblema (2.1) nos conducen a
que, pa a odo 𝑡 > 0,
𝑑
𝑑𝑡(𝑓◦𝑥(⋅, 𝑥0))(𝑡)=∇𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ⋅𝑥(𝑡, 𝑥0)=−||∇𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0))||2≤0,(2.2)
donde el pun o "⋅" ep esen a el p oduc o escala euclídeo en ℝ𝑁y|⋅|su no ma
co espondien e.
La igualdad (2.2) implica que la de i ada de la unción
[0,∞) ∋ 𝑡→𝑓(𝑇(𝑡)𝑥0) = 𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ∈ ℝ
38 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
que 𝑇0(⋅)es dinámicamen e g adien e, se sigue la exis encia de un in a ian e aislado
𝐸𝑖0,0∈𝔼0 al que
l
ım
𝑡→∞𝑑(𝜉0(𝑡), 𝐸𝑖0,0)=0.
En onces, dado 𝑟∈ℕ(con 1
𝑟< 𝛿) exis en 𝑘𝑟∈ℕy𝑡𝑟∈ℝde o ma que
𝑑(𝜉𝑘, 𝐸𝑖0,0)<1
𝑟siemp e que 𝑘≥𝑘𝑟
y, debido a (2.7), se iene la exis encia de 𝑡′
𝑟> 𝑡𝑟 al que, po el Teo ema del Valo
in e medio, llegamos a que
𝑑(𝜉𝑘𝑟(𝑡), 𝐸𝑖0,0)< 𝛿 pa a odo 𝑡∈ [𝑡𝑟, 𝑡′
𝑟)
y
𝑑(𝜉𝑘𝑟(𝑡′
𝑟), 𝐸𝑖0,0) = 𝛿.
Como 𝑡′
𝑟−𝑡𝑟→∞, podemos supone la exis encia de una solución global 𝜉1∶
ℝ→𝑋pa a 𝑇0(⋅) al que, poniendo 𝜉1
𝑟(𝑡) ∶= 𝜉𝑘𝑟(𝑡+𝑡′
𝑟)con 𝑡∈ [−(𝑡′
𝑟−𝑡𝑟),∞), se iene
que 𝜉1
𝑟(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑟→∞𝜉1(𝑡)uni o memen e pa a 𝑡en compac os de la ec a. Po la o ma en
la que 𝜉1∶ℝ→𝑋 ue cons uida debemos ene
𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖0,0)≥𝛿siemp e que 𝑡≤0,
y la p opiedad (G1) del semig upo de ipo g adien e 𝑇0(⋅)jun o con la o ma en la que
𝛿0 ue escogido, asegu an que, necesa iamen e,
l
ım
𝑡→−∞ 𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖0,0)=0
y como 𝑑(𝜉1(0), 𝐸𝑖0,0) = 𝛿, (G1) y (G2) obligan a que
l
ım
𝑡→∞𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖1,0)=0,(2.8)
pa a un cie o in a ian e aislado 𝐸𝑖1,0∈𝔼0con 𝑖1≠𝑖0.
Aho a, como 𝜉1
𝑟(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑟→∞𝜉1(𝑡)uni o memen e pa a 𝑡en compac os de ℝ, de (2.8)
se deduce que pa a 𝑚∈ℕ(con 1
𝑚< 𝛿) podemos encon a un 𝑟𝑚∈ℕy un 𝑡𝑚∈ℝ
ales que
𝑑(𝜉1
𝑟𝑚(𝑡𝑚), 𝐸𝑖1,0)<1
𝑚siemp e que 𝑟≥𝑟𝑚

2. semig upos g adien es 39
y de (2.7), igualmen e al caso an e io , se sigue la exis encia de 𝑡′
𝑚> 𝑡𝑚de modo que
𝑑(𝜉1
𝑟𝑚(𝑡), 𝐸𝑖1,0)< 𝛿 pa a odo 𝑡∈ [𝑡𝑚, 𝑡′
𝑚)
y
𝑑(𝜉1
𝑟𝑚(𝑡′
𝑚), 𝐸𝑖1,0) = 𝛿.
De o ma análoga a lo que hemos hecho en el caso an e io , como 𝑡′
𝑚−𝑡𝑚→∞,
podemos supone la exis encia de una solución global 𝜉2∶ℝ→𝑋pa a odo 𝑇0(⋅), al
que, de iniendo 𝜉2
𝑚(𝑡) ∶= 𝜉𝑟𝑚(𝑡+𝑡′
𝑚)con 𝑡∈ [−(𝑡′
𝑚−𝑡𝑚),∞), se iene que 𝜉2
𝑚(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
𝑚→∞
𝜉2(𝑡)uni o memen e pa a 𝑡en compac os de la ec a. Debido a la cons ucción de
𝜉2∶ℝ→𝑋debemos ene
𝑑(𝜉2(𝑡), 𝐸𝑖0,0)≥𝛿siemp e que 𝑡≤0,
y la p opiedad (G1) que posee el semig upo de ipo g adien e 𝑇0(⋅)conjun amen e con
la mane a en la que 𝛿0 ue elegido, implican que, necesa iamen e
l
ım
𝑡→−∞ 𝑑(𝜉2(𝑡), 𝐸𝑖1,0)=0,
y como 𝑑(𝜉2(0), 𝐸𝑖1,0) = 𝛿, (G1) y (G2) obligan a que
l
ım
𝑡→∞𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖2,0)=0,
pa a un cie o in a ian e aislado 𝐸12,0∈𝔼0con 𝑖2≠𝑖1.
Obse emos aho a que, si ocu ie a 𝑖2=𝑖0, hab íamos ob enido una es uc u a
homoclina en el a ac o del semig upo dinámicamen e g adien e 𝑇0(⋅), lo que e i-
den emen e no es posible. Luego podemos epe i odo es e azonamien o, lo cual
debe á pa a as un núme o ini o de pasos ya que 𝔼0es ini o, y como imos que
es amos obligados a encon a una es uc u a homoclina en el a ac o de 𝑇0(⋅)lo que
es una con adicción y así emos que nues a a i mación inicial es cie a.
De mane a análoga a como hemos hecho, cambiando el sen ido hacia donde se
mue e el iempo podemos p oba la siguien e a i mación:
Exis e 𝜂2∈ (0, 𝜂1](donde 𝜂1sa is ace lo que acabamos de p oba en el análisis
an e io ) al que pa a 𝜂∈ [0, 𝜂2]si 𝜉𝑛∶ℝ→𝑋es solución global pa a 𝑇𝜂(⋅), en onces
exis e 𝑡0∈ℝde modo que
sup
𝑡≤𝑡0
𝑑(𝜉𝑛(𝑡),𝔼0)< 𝛿,
40 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
donde 𝛿 > 0se ob iene, igual que an es, a pa i de las hipó esis (b), en onces, simple-
men e de la maximalidad de los in a ian es, se ob iene que
l
ım
𝑡→−∞ 𝑑(𝜉𝜂(𝑡),𝔼𝜂)=0,
lo que es ablece á la es abilidad de (G1).
A con inuación p obemos que exis e 𝜂0∈ (0, 𝜂2](𝜂2>0es la es abilidad de (G1) se
cumple, po lo que p obamos an e io emen e) al que pa a odo 𝜂∈ [0, 𝜂0]el a ac o
del semig upo 𝑇𝜂(⋅)no posee es uc u as homoclinas.
En caso con a io, debido a que los conjun os 𝔼𝜂son ini os y poseen el mismo
núme o de elemen os, se concluye la exis encia una sucesión 𝜂𝑘→0+, una sucesión
{𝔼′
𝑘}𝑘∈ℕde colecciones de conjun os con 𝔼′
𝑘∶= {𝐸𝑙1,𝜂𝑘,…, 𝐸𝑙𝑝,𝜂𝑘}⊂𝔼𝜂𝑘pa a odo
na u al 𝑘, y una sucesión de conjun os de soluciones {𝜉𝑘,𝑗 ∶ℝ→𝑋∶ 1 ≤𝑗≤𝑝}𝑘∈ℕ
ales que pa a cada na u al 𝑘y cada 𝑗= 1,2,…, 𝑝,𝜉𝑘,𝑗 es solución global de 𝑇𝜂𝑘(⋅)
cumpliendo, pa a cada na u al 𝑘y𝑗= 1,…, 𝑝
l
ım
𝑡→−∞ 𝑑(𝜉𝑘,𝑗(𝑡), 𝐸𝑙𝑗,𝜂𝑘)= 0 yl
ım
𝑡→∞𝑑(𝜉𝑘,𝑗, 𝐸𝑙(𝑗+1),𝜂𝑘)= 0,
donde pa a cada 𝑘hemos pues o 𝐸𝑙(𝑝+1),𝜂𝑘∶= 𝐸𝑙1,𝜂𝑘.
Cambiando a una sucesión, si hice a al a, podemos supone que pa a cada na u al
𝑘y cada 𝑗= 1,2,…, 𝑝 exis e un eal 𝑡𝑗
𝑘de mane a que
𝑑(𝜉𝑘,𝑗 (𝑡𝑗
𝑘), 𝐸𝑙𝑗,0)<1
𝑘
y, obse ando que, según la p ueba de es abilidad de (G1) obliga o iamen e 𝐸𝑙𝑗,𝜂𝑘≠
𝐸𝑙(𝑗+1),𝜂𝑘pa a odo 𝑘y odo 𝑗, emos que exis e ambién 𝑡𝑗
𝑘’> 𝑡𝑗
𝑘de modo que
𝑑(𝜉𝑘,𝑗(𝑡), 𝐸𝑙𝑗,0)< 𝛿 siemp e que 𝑡∈ [𝑡𝑗
𝑘, 𝑡𝑗
𝑘’)
y
𝑑(𝜉𝑘,𝑗 (𝑡𝑗
𝑘’), 𝐸𝑙𝑗,0)=𝛿.
Vemos que hemos c eado odas las condiciones pa a pone en ma cha el mismo
a gumen o que hemos usado pa a conclui la es abilidad de (G1) y con es o queda
demos ado el Teo ema.
2. semig upos g adien es 41
2.4 Exis encia de a ac o es pa a semig upos g adien-
es
A con inuación plan ea emos un esul ado sob e exis encia de a ac o en el caso
en que el semig upo es g adien e.
Teo ema 2.5. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semig upo g adien e gene alizado espec o
de una amilia disjun a de conjun os in a ian es aislados aco ados 𝔼∶= {𝐸1,…, 𝐸𝑛}.
Si {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es un semig upo e en ualmen e compac o y e en ualmen e aco ado,
en onces posee a ac o global.
Demos ación. Pues o que los semig upos e en ualmen e compac os y e en ualmen-
e aco ados son asin ó icamen e compac os, el eo ema queda á demos ado g acias
al Teo ema 1.5, simplemen e p obando que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es disipa i o.
En e ec o, sea
𝐷0∶=
𝑛
⋃
𝑗=1
𝒪1(𝐸𝑗).
En onces, 𝐷0es aco ado, ya que cada 𝐸∈𝑆lo es. Como 𝑇(⋅)es e en ualmen e
aco ado, exis e 𝜏∗≥0 al que el conjun o
𝐷∶= 𝛾+
𝜏∗(𝐷0)
es aco ado.
Con es as condiciones, amos a p oba que 𝐷cumple la condición de disipa i idad.
En p ime luga , no emos que, usando la compacidad y la aco ación e en ual de 𝑇(⋅),
y un a gumen o en e amen e análogo al de la demos ación de la P oposición 2.1, se
concluye que 𝐷0 iene la p opiedad de abso be a odos los pun os de 𝑋po medio
de 𝑇(⋅), es deci , pa a cada pun o de 𝑥∈𝑋exis e 𝜏𝑥≥0de mane a que
𝑇(𝑥)𝑥∈𝐷0pa a odo 𝑡≥𝜏𝑥(2.9)
Po un lado, dado 𝐾 ⊂ 𝑋 un conjun o compac o, pa a cada 𝑥∈𝐾sea 𝜏𝑥≥0
al que se cumpla (2.9). Como 𝐷0es un conjun o abie o, pa a cada 𝑥∈𝐾, po la
con inuidad del ope ado 𝑇(𝜏𝑥) ∶ 𝑋→𝑋, sea 𝛿𝑥>0de mane a que
𝑇(𝜏𝑥)𝒪𝛿𝑥(𝑥)⊂ 𝐷0.
42 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Po lo an o, la de inición del conjun o 𝐷nos mues a que
𝑇(𝑡)𝒪𝛿𝑥(𝑥)⊂ 𝐷 pa a odo 𝑡≥𝜏𝑥+𝜏∗.(2.10)
Po la compacidad de 𝐾, sean 𝑥1, 𝑥2,⋯, 𝑥𝑝,una can idad ini a de pun os de 𝐾,
de modo que poniendo pa a cada 𝑗= 1,2,⋯, 𝑝, po simplicidad, 𝛿𝑗∶= 𝛿𝑥𝑗y𝜏𝑗=𝜏𝑥𝑗,
se iene
𝐾 ⊂
𝑝
⋃
𝑗=1
𝒪𝛿𝑗(𝑥𝑗).
Usando es o jun o con (2.10) emos que si 𝜏𝐾∶= m
ax1≥𝑗≥𝑝𝜏𝑗en onces
𝑇(𝑡)𝐾 ⊂ 𝐷 pa a odo 𝑡≥𝜏∗+𝜏𝐾.(2.11)
Finalmen e, po la compacidad e en ual de 𝑇(⋅), sabemos que exis e 𝑡0>0de
modo que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋→𝑋es una aplicación compac a. En onces, dado un aco ado
𝐵 ⊂ 𝑋 cualquie a enemos que el conjun o 𝐾∶= 𝑇(𝑡0)𝐵es un compac o que con iene
a𝑇(𝑡0)𝐵y en onces (2.11) nos dice que
𝑇(𝑡)𝑇(𝑡0)𝐵 ⊂ 𝑇 (𝑡)𝐾 ⊂ 𝐷 pa a odo 𝑡≥𝜏∗+𝜏𝐾.
Luego, poniendo 𝜏(𝐵) ∶= 𝑡0+𝜏𝐾+𝜏∗, concluimos que
𝑇(𝑡)𝐵 ⊂ 𝐷 pa a odo 𝑡≥𝜏(𝐵)
lo que demues a que, e ec i amen e, 𝐷es un aco ado que abso be a odos los subcon-
jun os aco ados de 𝑋po la acción de 𝑇(⋅), y consecuen emen e, 𝑇(⋅)es disipa i o.
A con inuación e emos cómo elaciona el a ac o global con las a iedades
ines ables de los pun os de equilib io del sis ema. Pe o an es eamos que odas las
soluciones globales aco adas es án en el a ac o .
Teo ema 2.6. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} un semig upo en 𝑋y supongamos que posee
a ac o global 𝒜. En onces, 𝒜es unión de odas las soluciones globales aco adas.
Demos ación. La demos ación de es e eo ema es di ec a ya que el a ac o global
es el aco ado in a ian e maximal en 𝑋y el conjun o {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ}es un in a-
ian e aco ado. Que po cada pun o del a ac o pasa una solución global aco ada es
consecuencia de la in a ianza del mismo.
Teo ema 2.7. Sea 𝐾 ⊆ 𝑋 un compac o in a ian e, en onces enemos que 𝑊𝑢(𝐾)⊆
𝒜.
2. semig upos g adien es 43
Demos ación. Sea 𝑥∈𝑊𝑢(𝐾). Po de inición, 𝑥es á en una solución global aco ada
que llama emos 𝜉(𝑡). Sabemos que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(−𝑡), 𝐾)y𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(𝑡),𝒜) ienden a ce o cuando
𝑡→∞, po an o la ó bi a es aco ada y, po el Teo ema 2.6, la solución global 𝜉(𝑡)es á
en el a ac o .
Conside emos aho a las conc eciones cuando 𝐸es á o mado po pun os es acio-
na ios.
P oposición 2.2.Sea 𝐸el conjun o de los pun os ijos del semig upo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} y
supongamos que dicho semig upo posee una unción de Lyapuno en un conjun o 
𝐵
que es posi i amen e in a ian e y abso ben e. En onces 𝜔(𝑢0)⊆ 𝐸, pa a odo 𝑢0∈𝑋.
En pa icula , si 𝑋es conexo y 𝐸es disc e o, 𝜔(𝑢0) ∈ 𝐸.
Demos ación. Pa a cada 𝑢0∈𝑋, exis e un 𝑡0de modo que 𝑢1=𝑇(𝑡0)𝑢0∈
𝐵. Como
𝜔(𝑢0) = 𝜔(𝑢1), conside ando la ayec o ia que empieza en 𝑢1,𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢1. Es o
implica que 𝑢(𝑡) ∈ 
𝐵, pa a odo 𝑡⩾0y que
𝜔(𝑢0) = ⋂
𝑠>0
{𝑇(𝑡)𝑢0∶𝑡⩾𝑠}
es no acío, compac o e in a ian e (P oposición 1.2.
Po o o lado, Φes cons an e en el conjun o 𝜔(𝑢0)ya que, po 1.
Φ|𝜔(𝑢0)= l
ım
𝑡→∞Φ(𝑇(𝑡)𝑢0) = 
ın
𝑡∈ℝΦ(𝑇(𝑡)𝑢0).
Es e lími e exis e po que Φes aco ada in e io men e al se 𝑇(𝑡)𝑢0un subconjun o
aco ado Φy no c ecien e. Po la condición (2) de la De inición 2.3, el conjun o 𝜔(𝑢0)
consis e sólo en pun os ijos de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0}, es deci 𝜔(𝑢0)⊆ 𝐸. Si suponemos
que 𝑋es conexo (po lo an o lo es ambién el conjun o 𝜔-lími e de 𝑢0) y 𝐸disc e o,
en onces 𝜔(𝑢0)sólo puede se un pun o.
En el siguien e eo ema se mues a cuál es la es uc u a del a ac o cuando exis a
una unción de Lyapuno .
Teo ema 2.8. Supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} iene una unción de Lyapuno Φen
𝒜. En onces
𝒜=𝑊𝑢(𝐸).(2.12)
Si además 𝒜es conexo y 𝐸es disc e o, se iene
𝒜=⋃
𝑧∈𝜀
𝑊𝑢(𝑧)(2.13)

44 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Demos ación. Pa a empeza demos emos que 𝑊𝑢(𝒜) = 𝒜. G acias al Teo ema
2.7, enemos que 𝑊𝑢(𝒜)⊆𝒜. Pa a el ecíp oco, sea 𝑢∈𝒜, po an o podemos
de ini una solución global {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ}en la que se encuen e 𝑢. Como oda la
solución es á en el a ac o (po se in a ian e) enemos que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(−𝑡)𝑢, 𝒜)=0pa a
odo iempo 𝑡, po an o 𝑢∈𝑊𝑢(𝒜).
Tenemos que la inclusión 𝑊𝑢(𝜉)⊆𝒜se e i ica siemp e ya que
𝑊𝑢(𝜉)⊆ 𝑊 𝑢(𝒜) = 𝒜(2.14)
Pa a e el o o con enido amos a de ini el conjun o
𝛾(𝑢) = ⋂
𝑠<0
{𝑇(𝑡)𝑢∶𝑡<𝑠}
donde 𝑢es un pun o del a ac o .
Vamos a in en a segui un azonamien o simila al de la demos ación del eo e-
ma an e io . Tenemos que, po cons ucción, 𝛾(𝑢)es un conjun o compac o, no acío
e in a ian e. En e ec o, sea 𝑥∈𝛾, po an o 𝑇(𝑡𝑘)𝑢𝑡𝑘→−∞
←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑥. Aplicando aho a el
semig upo
𝑇(𝜏)𝑥=𝑇(𝜏) l
ım
𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝑡𝑘)𝑢= l
ım
𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝜏)𝑇(𝑡𝑘)𝑢= l
ım
𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝜏+𝑡𝑘)𝑢=𝑥,
po an o 𝛾(𝑢)⊆𝒜.
Vemos que la unción Φes cons an e en 𝛾.
Φ|𝛾(𝑢)= l
ım
𝑡→−∞ 𝑇(𝑡)𝑢= sup
𝑡∈ℝ
𝑇(𝑡)𝑢,
pues como 𝛾(𝑢)⊆𝒜,𝒜es un compac o y la unción es no c ecien e, exis e el sup emo.
Po an o Φes cons an e y 𝛾(𝑢)⊆ 𝜉. Es o demues a (2.12).
Asumamos aho a que 𝐸es disc e o y que 𝒜es conexo. De es o se deduce que 𝛾(𝑢)
es conexo (al se lo 𝒜). Como 𝛾(𝑢)⊆ 𝜉 sólo puede se un pun o, ob enemos (2.13)
Es impo an e conoce la dinámica del a ac o pues nos da á in o mación sob e
la dinámica global. El siguien e esul ado nos mues a cómo las ayec o ias ue a del
a ac o c ean una especia de "somb a" den o de és e ya que se ace can an o como
que amos a cie as ayec o ias globales.
2. semig upos g adien es 45
P oposición 2.3.Dada una ayec o ia 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢0, un 𝜖 > 0y un iempo 𝑇0>0,
exis e un iempo 𝜏=𝜏(𝜖, 𝑇0)>0y un pun o 𝑣0∈𝒜 ales que
‖‖𝑢(𝜏+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣0‖‖𝑋⩽𝜖
pa a odo iempo 𝑡que e i ica 0⩽𝑡⩽𝑇0
Demos ación. Como las ayec o ias dependen de o ma con inua de los da os ini-
ciales, dado un 𝜖y un 𝑇0posi i os, exis e un 𝛿(𝜖, 𝑇0)de o ma que dado un 𝑢0∈𝑋
y un 𝑣0∈𝒜con ‖‖𝑢0−𝑣0‖‖𝑋< 𝛿,‖𝑢(𝑡) − 𝑣(𝑡)‖𝑋⩽𝜖. Como 𝒜es compac o y a ac-
o , exis e un iempo 𝜏y un 𝑣0∈𝒜de o ma que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑢(𝜏),𝒜) = ‖‖𝑢(𝜏) − 𝑣0‖‖< 𝛿.
Como la ayec o ia 𝑣(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑣0es á en el a ac o pa a odo iempo, enemos que
‖‖𝑢(𝜏+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣0‖‖𝑋⩽𝜖con 𝑡∈ [0, 𝑇0].
Co ola io 2.1.Dada una ayec o ia 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢, exis e una sucesión {𝜖𝑛}∞
𝑛=1 que
iende a ce o, una sucesión de iempos {𝑡𝑛}ℕcon 𝑡𝑛+1 −𝑡𝑛→∞cuando 𝑛→∞y una
sucesión de pun os del a ac o 𝒜,{𝑣𝑛}∞
𝑛=1 de modo que
‖‖𝑢(𝑡) − 𝑇(𝑡−𝑡𝑛)𝑣𝑛‖‖𝑋⩽𝜖, (2.15)
pa a odo 𝑡∈ [𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1]. Además los sal os ‖‖𝑣𝑛+1 −𝑇(𝑡𝑛+1 −𝑡𝑛)𝑣𝑛‖‖𝑋decaen hacia ce o.
Demos ación. Sabemos po el eo ema an e io que dado un 𝜖1y un iempo 𝑇0, exis e
un iempo 𝑡1y un elemen o 𝑣1∈𝒜de o ma que
‖‖𝑢(𝑡1+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣1‖‖𝑋⩽𝜖1,
pa a odo 𝑡∈ [0, 𝑇0].
De inimos 𝜖2=𝜖1
2. Po an o, pa a 𝜖2y2𝑇0, exis e un pun o 𝑣2∈𝒜que e i ica
que ‖‖𝑢(𝑡2+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣2‖‖𝑋⩽𝜖2,
pa a odo 𝑡∈ [0,2𝑇0].
Podemos i e a es e p oceso an as eces como que amo. Como desde 𝑢(𝑡1)has a
𝑢(𝑡2)podemos llega con una se ie ini a de in e alos de longi ud 𝑇0y en cada in e -
alo ocu e lo mismo, al hace el cambio de a iable 𝑡′=𝑡𝑛+𝑡 enemos que se cumple
(2.15).
Veamos que los e o es decaen a ce o:
‖‖𝑣𝑘+1 −𝑇(𝑡𝑘+1 −𝑡𝑘)𝑣𝑘‖‖𝑋⩽‖‖𝑣𝑘+1 −𝑢(𝑡𝑘+1)‖‖𝑋+‖‖𝑢(𝑡𝑘+1) − 𝑇(𝑡𝑘+1 −𝑡𝑘)𝑣𝑘‖‖𝑋.
El p ime sumando del lado de echo es meno que 𝜖𝑘+1 ya que es amos en la si uación
en la que 𝑡=𝑡𝑘+1. Análogamen e el segundo sumando es meno que 𝜖𝑘, po lo que
enemos que los sal os ienden a ce o.
46 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Ejemplo 2.2.La ecuación de Cha ee-In an e es un caso especí ico de la ecuación de
eacción-di usión unidimensional en el in e alo [0,𝜋], en el cual se puede e la es-
uc u a del a ac o .
{𝑢𝑡−𝑢𝑥𝑥 =𝜆(𝑢−𝑢3)
𝑢(0) = 𝑢(𝜋)=0 (2.16)
Es e ejemplo iene desc i o con de alle en [13]
P oposición 2.4.si 𝑛2<𝜆<(𝑛+ 1)2, en onces exis en 2𝑛+ 1 pun os ijos 𝜙±
1,…, 𝜙±
𝑛.
Las unciones 𝜙±
𝑗 ienen 𝑗ce os en el in e alo (0, 𝜋). Además, el a ac o global de
la ecuación de Cha ee-In an e iene desc i o como la unión de a iedades ines ables
asociadas a es os equilib ios, es deci ,
𝒜=⋃
𝜙𝑖∈𝜀
𝑊𝑢(𝜙𝑖),
siendo 𝐸= {𝜙0, 𝜙±
1,…, 𝜙±
𝑛}.
2.5 Con inuidad del a ac o
Pa a de ini el a ac o debemos ene en cuen a que su compo amien o bajo pe -
u baciones debe es a con olado, es deci , que a pequeños cambios en los da os o
en el p oblema de pa ida espe amos un compo amien o simila , ob eniendo así un
obje o obus o y iable. Es a obus ez nos la ga an iza la semicon inuidad in e io y
supe io . La semicon inuidad supe io se iene con bas an e gene alidad, pe o la in e-
io sólo la encon amos pa a cie os ipos de sis emas, como los sis emas g adien es,
los cuales poseen, como hemos is o, una es uc u a especí ica.
Sea {𝑇0(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semig upo en el espacio de Banach 𝑋. Supongamos que el
semig upo posee un a ac o global 𝒜0. Conside emos ambién una amilia de semi-
g upos {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡≥0} que depende del pa ame o 𝜂. Es a amilia es una pe u bación
de {𝑇0(𝑡) ∶ 𝑡≥0}, que deno a emos como p oblema lími e ya que 𝑇𝜂(𝑡)con e ge á
en cie o sen ido a 𝑇0(𝑡)cuando 𝜂→0.
2. semig upos g adien es 47
2.5.1 Semicon inuidad supe io
La semicon inuidad supe io nos asegu a que los a ac o es 𝒜𝜂de los p oblemas
pe u bados no explo an o c ecen inde inidamen e. Pa a ello, nos asegu a que es os
a ac o es an con e giendo al in e io del a ac o del p oblema lími e 𝒜0po medio
de la semidis ancia en e ambos.
De inición 2.8. Di emos que la amilia {𝒜𝜂∶𝜂∈ [0, 𝜂0]} es semicon inua supe-
io men e a 𝒜0si 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝒜𝜂,𝒜0)𝜂→0
←←←←←←←←←←←←←←←→ 0.
Teo ema 2.9. Supongamos que pa a odo 𝜂∈ [0, 𝜂0]el semig upo {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡⩾0}
posee un a ac o global 𝒜𝜂y que exis e un aco ado 𝐵de 𝑋de modo que
⋃
0⩽𝜂⩽𝜂0
𝒜𝜂⊆ 𝐵.
Supongamos ambién que los semig upos {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} uni o memen e en aco ados
del espacio 𝑋, es deci que dado un conjun o aco ado 𝑌 ⊆ 𝑋 y un iempo 𝑡 > 0,
sup
𝑦∈𝑌‖‖‖𝑇𝜂(𝑡)𝑦−𝑇0(𝑡)𝑦‖‖‖𝑋
𝜂→0
←←←←←←←←←←←←←←←→ 0.(2.17)
En onces los a ac o es {𝒜𝜂∶𝜂∈ [0, 𝜂0]son semicon inuos supe io men e a 𝒜0.
Demos ación. Dado un 𝜖 > 0 eamos que 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖)pa a cie o 𝑡 > 0y
odo 𝜂⩽𝜂𝜖.
Como 𝑇𝜂
𝜂→0
←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑇0(𝑡), exis e un 𝜂𝜖lo su icien emen e pequeño pa a que
sup
𝑥∈𝐵‖‖‖𝑇𝜂(𝑡)𝑥−𝑇0(𝑡)𝑥‖‖‖𝑋< 𝜖,
po lo an o enemos que 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝑇0(𝑡)𝐵, 𝜖)pa a odo iempo y 𝜂⩽𝜂𝜖(𝑡).
Como 𝒜0a ae a 𝐵, exis e un iempo 𝜏(𝐵, 𝜖)>0de modo que pa a odo 𝑡⩾𝜏,
𝑇0(𝑡)𝐵 ⊆ 𝒜0. Así
𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖),
con 𝑡⩾𝜏y𝜂⩽𝜂𝜖(𝑡).
Aplicando la in a ianza de los a ac o es y que 𝒜𝜂⊆ 𝐵,
𝒜𝜂=𝑇𝜂(𝑡)𝒜𝜂⊆ 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖).
Con es o podemos conclui que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝒜𝜂,𝒜0)𝜂→0
←←←←←←←←←←←←←←←→ 0.

3 Modelo de edes mu ualis as
3.1 In oducción
A la ho a de abo da el p oblema de la dinámica de edes mu ualis as en Ecología
nos encon amos con a ios sis emas de ecuaciones di e enciales. En conc e o en [7]
se es udia cómo la es uc u a compleja de in e acciones de coope aciones en e g u-
pos de plan as y polinizado es o dispe so es de semilla a ec a a oda la ed. En o os
ejemplos se analizan los ecosis emas a pa i de la modelización po medio de la ed
de conexiones que gene a un g a o bipa i o, el cual ep esen a dos ipos de especies
(po ejemplo plan as y animales) y sus in e elaciones mu ualis as.
Figu a 3.1: G a o bipa i o pa a una ed ipo mu ualis a. Los dos conjun os de nodos
(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 )y(1,2,3,4) ep esen an los g upos de animales y plan as, epec i-
amen e. Los enlaces indican la elación en e las plan as y animales de cada g upo
Pa a el es udio de las p opiedades dinámicas de una ed se p opone el siguien e
sis ema de ecuaciones di e enciales. Deno a emos po 𝑃el núme o eal de plan as y
po 𝐴el núme o o al de animales. Ambos es án en compe ición en e sí, y ambién
coope an en e ellos. Podemos así esc ibi un sis ema de 𝑃+𝐴ecuaciones di e en-
ciales, donde 𝑆𝑝𝑖y𝑆𝑎𝑖son las densidades de la población pa a la 𝑖-ésima especie de
plan a y animal, espec i amen e, como:
56 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑑𝑆𝑝𝑖
𝑑𝑡 =𝑆𝑝𝑖(𝛼𝑝𝑖−
𝑃
∑
𝑗=1
𝛽𝑝𝑖𝑗 𝑆𝑝𝑗+
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑖𝑘𝑆𝑎𝑘
1 + ℎ𝑃∑𝐴
𝑙=1 𝛾𝑝𝑖𝑙 𝑆𝑎𝑙 )
𝑑𝑆𝑎𝑖
𝑑𝑡 =𝑆𝑎𝑖(𝛼𝑎𝑖−
𝐴
∑
𝑗=1
𝛽𝑎𝑖𝑗 𝑆𝑎𝑗+
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑘
1 + ℎ𝐴∑𝑃
𝑙=1 𝛾𝑎𝑖𝑙 𝑆𝑝𝑙 )
𝑆𝑝𝑖(0) = 𝑆𝑝𝑖0,
𝑆𝑎𝑖(0) = 𝑆𝑎𝑖0,
(3.1)
pa a cada 𝑝𝑖con 1≤𝑖≤𝑃y𝑎𝑖con 1≤𝑖≤𝐴. Los núme os eales 𝛼𝑝𝑖y𝛼𝑎𝑖 ep e-
sen an las asas de c ecimien o in ínseco en ausencia de compe ición y mu ualismo
pa a las plan as y animales, espec i amen e, 𝛽𝑝𝑖𝑗 ≥0y𝛽𝑎𝑖𝑗 ≥0deno an las in ensida-
des de las in e acciones compe i i as, 𝛾𝑝𝑖𝑗 ≥0y𝛾𝑎𝑖𝑗 ≥0las in ensidades mu ualis as,
y los pa áme os ℎ𝑃yℎ𝐴se pueden in e p e a como iempos de manipulación, es de-
ci , el iempo u ilizado en cap u a , some e y consumi la p esa, más los iempos que
necesi a el dep edado pa a ecupe a hacía las p esas. 𝑆𝑝𝑖0≥0y𝑆𝑎𝑖0≥0 ep esen an
los alo es iniciales de la 𝑖-ésima especie de plan a y animal, espec i amen e.
En lo que sigue amos a conside a que los iempos de manipulación ℎ𝑃=ℎ𝐴= 0,
de o ma que (3.1) se ans o ma en
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
𝑑𝑆𝑝𝑖
𝑑𝑡 =𝑆𝑝𝑖(𝛼𝑝𝑖−∑𝑃
𝑗=1 𝛽𝑝𝑖𝑗 𝑆𝑝𝑗+∑𝐴
𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 𝑆𝑎𝑘)
𝑑𝑆𝑎𝑖
𝑑𝑡 =𝑆𝑎𝑖(𝛼𝑎𝑖−∑𝐴
𝑗=1 𝛽𝑎𝑖𝑗 𝑆𝑎𝑗+∑𝑃
𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑘)
𝑆𝑝𝑖(0) = 𝑆𝑝𝑖0,
𝑆𝑎𝑖(0) = 𝑆𝑎𝑖0,
(3.2)
3.2 Modelo gene al de Lo ka-Vol e a
El sis ema (3.2) se puede esc ibi como un modelo gene al pa a 𝑛especies 𝐿𝑜𝑡𝑘𝑎−
𝑉 𝑜𝑙𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 de ipo compe ición-coope a i o. A con inuación p esen a emos algunos
concep os que emplea emos a lo la go de es e capí ulo.
3. modelo de edes mu ualis as 57
3.2.1 Sis ema gene al Lo ka-Vol e a (𝐿−𝑉)
El p ime modelo pa a especies in e ac uan es ue in oducido po Lo ka (1925)
[14]y Vol e a (1931) [19].
Es os modelos ienen dados po la ó mula gene al
𝑢𝑖=𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡 =(𝑏𝑖+
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗), 𝑖 = 1,…, 𝑛, (3.3)
done 𝑢𝑖(𝑡)deno a la densidad de población, o biomasa, de la 𝑖-ésima especie en el iem-
po 𝑡. Los coe icien es 𝑏𝑖son la di e encia en e las asas de nacimien o y mue e de
cada especie, es deci , las asas de c ecimien o (o dec ecimien o) de la especie 𝑖. Las
en adas de la ma iz 𝐴= (𝑎𝑖𝑗) ep esen an el e ec o de la in e acción in e especí ica
si 𝑖≠𝑗o in aespecí ica si 𝑖=𝑗. La na u aleza de la in e acción, compe ición, mu-
ualismo o dep edado -p esa, de e mina el signo de los coe icien es 𝑎𝑖𝑗. Si las especies
compi en en onces 𝑎𝑖𝑗, 𝑎𝑗𝑖 <0. Si las especies 𝑖y𝑗es án en mu ualismo, en onces 𝑎𝑖𝑗,
𝑎𝑗𝑖 >0.
No malmen e los modelos de Lo ka-Vol e a suponen que 𝑎𝑖𝑖 <0pa a cada 𝑖, así la
densidad de cada especie iene un c ecimien o logís ico en ausencia de o as especies.
Llama emos ma iz de in e acción, ma iz de adyacencia o de la comunidad
a la ma iz 𝐴= (𝑎𝑖𝑗), y, po lo gene al, es una ma iz no simé ica.
Es e iden e que la ecuación (3.3) iene sen ido biológico pa a densidades 𝑢𝑖≥0,
con 1≤𝑖≤𝑛.
El espacio de es ados pa a (3.3) es el o an e no nega i o
ℝ𝑛
+= {𝑢=(𝑢1, 𝑢2,…, 𝑢𝑛)∈ℝ𝑛|𝑢𝑖≥pa a 𝑖= 1,…, 𝑛}
Los pun os on e a de ℝ𝑛
+es án sob e los planos coo denados 𝑢𝑖= 0, que co es-
ponden a es ados donde la especie 𝑖no se encuen a, es deci , se ha ex inguido.
Vemos que ce o es solución, po lo que ℝ𝑛
+es in a ian e, lo que signi ica que cual-
quie solución que comienza en un pun o de ℝ𝑛
+, pe manece en ℝ𝑛
+pa a odo iempo
pa a el cual la solución es á de inida.
58 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
3.2.2 El modelo 2D de Lo ka-Vol e a
Pa a comenza es e es udio eco damos algunos esul ados impo an es de sis e-
mas de dos especies, que nos ayuda án en el es udio de la exis encia y unicidad de
soluciones pa a sis emas con más de dos especies (3.2).
Conside amos el modelo (𝐿−𝑉)pa a dos especies in e ac uan es:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑢′=𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣)
𝑣′=𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢)
(𝑢(0), 𝑣(0))=(𝑢0, 𝑣0),
(3.4)
con 𝜆, 𝜇 ∈ℝ,𝑎, 𝑑 > 0,𝑏, 𝑐 ∈ℝy𝑢0, 𝑣0≥0. Pa a es e modelo enemos el siguien e
esul ado:
Lema 3.1.
1. Suponemos que 𝑏, 𝑐 > 0(caso compe i i o) y𝑏𝑐 < 𝑎𝑑.
(𝑎)Si 𝜆, 𝜇 < 0, en onces
(𝑢, 𝑣)→(0,0) cuando 𝑡→∞
(𝑏)Si 𝜆 > 0y𝜇 < 𝜆𝑐∕𝑎, en onces
(𝑢, 𝑣)→(𝜆∕𝑎, 0) cuando 𝑡→∞
(𝑐)Si 𝜇 > 0y𝜆 < 𝜇𝑏∕𝑑, en onces
(𝑢, 𝑣)→(0, 𝜇∕𝑑)cuando 𝑡→∞
(𝑑)Si 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎, y 𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑, en onces
(𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑑 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞
2. Supongamos que 𝑏, 𝑐 < 0(caso coope a i o)
(𝑎)Si 𝑏𝑐 > 𝑎𝑑, en onces pa a 𝜆, 𝜇 > 0exis e explosión en iempo ini o de
ambas poblaciones, es o es, exis en alo es 0< 𝑡∗
1, 𝑡∗
2<∞ al que
l
ım
𝑡→𝑡∗
1
𝑢(𝑡)=∞,l
ım
𝑡→𝑡∗
2
𝑣(𝑡)=∞.
3. modelo de edes mu ualis as 59
(𝑏)Supongamos que 𝑏𝑐 < 𝑎𝑑.
(𝑖)Si 𝜆, 𝜇 < 0, en onces
(𝑢, 𝑣)→(0,0) cuando 𝑡→∞.
(𝑖𝑖)Si 𝜆 > 0y𝜇 < 𝜆𝑐∕𝑎, en onces
(𝑢, 𝑣)→(𝜆∕𝑎, 0) cuando 𝑡→∞.
(𝑖𝑖𝑖)Si 𝜇 > 0y𝜆 < 𝜇𝑏∕𝑑, en onces
(𝑢, 𝑣)→(0, 𝜇∕𝑑)cuando 𝑡→∞.
(𝑖𝑣)Si 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎y𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑, en onces
(𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞.
Demos ación. Calculemos p ime o los pun os de equilib io; pa a ello esol emos el
siguien e sis ema,
{𝑓1(𝑢, 𝑣)=0
𝑓2(𝑢, 𝑣)=0⇐⇒ {𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣)=0
𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢)=0
si 𝑢= 0 ⇒{𝑣= 0
𝑣=𝜇
𝑑
; si 𝑣= 0 ⇒{𝑢= 0
𝑢=𝜆
𝑎
; po úl imo, pa a el caso en que
ninguna de las dos a iables sean nulas, enemos
𝑢=𝜆−𝑏𝑣
𝑎
que sus i uyendo en la o a ecuación nos queda,
𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝜆 −𝑐𝑏𝑣
𝑎= 0 ⇐⇒ 𝑣=𝑎𝜇 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 .
Y esol iendo aho a en la ecuación de 𝑢 enemos
𝑢=
𝜆−𝑏𝑎𝜇−𝑐𝜆
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎=𝑑𝜆 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐
Con lo cual queda p obado que e ec i amen e los pun os de equilib io que hemos de-
inido en el Lema son odos los es aciona ios del sis ema (3.4). Los nomb a emos de la
siguien e o ma 𝐸00 = (0,0); 𝐸10 =(𝜆
𝑎,0);𝐸01 =(0,𝜇
𝑑);𝐸11 =(𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑑 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ).

60 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Aho a emos que bajo las condiciones ya enunciadas es os pun os son localmen e
es ables. Pa a ello analiza emos los au o alo es de la ma iz jacobiana en cada pun o
𝐸𝑖𝑗, con 𝑖, 𝑗 = 0,1.
𝐽(𝑢, 𝑣) = (𝜆− 2𝑎𝑢 −𝑏𝑣 −𝑏𝑢
−𝑐𝑣 𝜇 −𝑐𝑢 − 2𝑑𝑣).
Supongamos que es amos en el caso compe i i o, es deci , que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0y
𝑏𝑐 < 𝑎𝑑.
a) Es udiemos los au o alo es de la ma iz 𝐽en el pun o 𝐸00.
𝐽(0,0) = (𝜆0
0𝜇).
Como po hipó esis enemos que 𝜆y𝜇, au o alo es de la ma iz 𝐽, son dos
núme os eales nega i os; en onces podemos a i ma que pa a es e caso 𝐸00 es
localmen e es able.
b) Teniendo en cuen a que 𝜆 > 0y que 𝜇 < 𝜆𝑐
𝑎, analicemos el signo de los au o-
alo es de la ma iz 𝐽(𝜆
𝑎,0).
𝐽(𝜆
𝑎,0)=(−𝜆−𝑏𝜆
𝑎
0𝜇−𝑐𝜆
𝑎).
Los au o alo es de es a ma iz es ácil e que son −𝜆y𝜇−𝑐𝜆
𝑎que po las
hipó esis de es e apa ado sabemos que son dos núme os eales nega i os; con
lo cual, 𝐸10 es localmen e es able.
c) Es e caso podemos comp oba que es simila al an e io , pues eniendo en cuen-
a aho a que 𝜇 > 0y que 𝜆 < 𝑏𝜇
𝑑, esul a,
𝐽(0,𝜇
𝑑)=(𝜆−𝑏𝑢
𝑑0
−𝑐𝜇
𝑑−𝜇).
De nue o, es ácil comp oba que los au o alo es de la ma iz, que son 𝜆−𝑏𝜇
𝑑y
−𝜇, que g acias a la hipó esis de nues o caso son dos núme os eales nega i os,
así que 𝐸01 es localmen e es able.
3. modelo de edes mu ualis as 61
d) Finalmen e comp obemos que en es e caso ambién es cie a la a i mación del
lema, po ello hallemos los au o alo es de
𝐴4=𝐽(𝑑𝜆 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝑎𝜇 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )=(𝑎(−𝑑𝜆+𝑏𝜇)
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏(−𝑑𝜆+𝑏𝜇)
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑐(𝑐𝜆−𝑎𝜇)
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑑(−𝑎𝜇+𝑐𝜆)
𝑎𝑑−𝑏𝑐 )=(−𝑎𝑢∗−𝑏𝑢∗
−𝑐𝑣∗−𝑑𝑣∗)
con lo cual nos queda que
𝐽(𝑑𝜆 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝑎𝜇 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )= − (𝑢∗𝑣∗)(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑).
Es a ez pa a halla los au o alo es, debemos calcula el siguien e de e minan e
||𝛼𝐼𝑑 −𝐴4||=[𝛼+𝑎𝑢∗𝑏𝑢∗
𝑐𝑣∗𝛼+𝑑𝑣∗]
Si calculamos es e de e minan e emos que esul a
(𝛼+𝑎𝑢∗)(𝛼+𝑑𝑣∗) − 𝑏𝑐𝑢∗𝑣∗=𝛼2+𝛼(𝑎𝑢∗+𝑑𝑣∗)+(𝑎𝑑 −𝑏𝑐)𝑢∗𝑣∗= 0
Es ácil obse a que cada miemb o de la ecuación an e io es posi i o ya que
𝑎, 𝑑, 𝑢∗, 𝑣∗>0y𝑎𝑑 > 𝑏𝑐, (𝑢∗y𝑣∗son posi i os g acias a las hipó esis de
nues o apa ado), con lo cual, los au o alo es de la ma iz 𝐴4 ienen pa e eal
nega i a, como necesi ábamos. Así concluimos que ambién 𝐸11 es localmen e
es able y con ello acabamos la demos ación del lema, pues el caso coope a i o
es á ambién demos ado, ya que no hemos usado en ninguna pa e el signo de
𝑏y de 𝑐.
Como consecuencia enemos el siguien e co ola io
Co ola io 3.1.Suponemos que 𝑏, 𝑐 < 0, 𝑏𝑐 < 𝑎𝑑, 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎y𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑. En onces,
pa a cualquie 𝜀 > 0exis e 𝑡0>0 al que, pa a 𝑡≥𝑡0, se iene
𝑢≤𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀, 𝑣 ≤𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀.
Demos ación. G acias al Lema 3.1, se iene que
(𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞.
62 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Po an o, pa a odo 𝜀 > 0exis e 𝑡0>0 al que pa a odo 𝑡≥𝑡0se iene
||||𝑢−𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ||||< 𝜀 y||||𝑣𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ||||< 𝜀,
y po an o
𝑢≤𝜆𝑑 −𝑏𝜇
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀, 𝑣 ≤𝜇𝑎 −𝑐𝜆
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀.
3.2.3 Mé odo de sub-supe solución
El mé odo de sub-supe solución nos pe mi e en muchas ocasiones demos a la
exis encia de una solución de una EDO u ob ene co as supe io es e in e io es de las
soluciones. A con inuación, de allamos dicho mé odo pa a el sis ema (3.4) en los casos
coope a i o, es o es 𝑏, 𝑐 < 0y compe i i o 𝑏, 𝑐 > 0.
De inición 3.1. Supongamos 𝑏, 𝑐 > 0. Una pa eja de unciones (𝑢, 𝑣)∈(𝐶1(𝐼))2
se llama una sub-solución pa a el sis ema (3.4) si se e i ican las siguien es condiciones:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑢′≤𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣)
𝑣′≤𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢)
𝑢(0) ≤𝑢0, 𝑣(0) ≤𝑣0
(3.5)
Análogamen e, se de ine una pa eja supe -solución de (3.4) con 𝑏, 𝑐 < 0; es o es una
pa eja de unciones (𝑢, 𝑣) ∈ (𝐶1(𝐼))2que e i ica
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝑢′≥𝑢 (𝜆−𝑎𝑢 −𝑏 𝑣)
𝑣′≥𝑣 (𝜇−𝑑 𝑣 −𝑐 𝑢)
𝑢(0) ≥𝑢0, 𝑣(0) ≥𝑣0
(3.6)
Aho a conside amos el caso de compe ición:
De inición 3.2. Supongamos 𝑏, 𝑐 > 0. Un pa de pa ejas de unciones (𝑢, 𝑣)∈
(𝐶1(𝐼))2,(𝑢, 𝑣)∈(𝐶1(𝐼))2, se llaman sub y supe -solución pa a el sis ema (3.4) si se
3. modelo de edes mu ualis as 63
e i ican las siguien es condiciones:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑢′≤𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏 𝑣)
𝑣′≤𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐 𝑢)
𝑢′≥𝑢 (𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣)
𝑣′≥𝑣 (𝜇−𝑑 𝑣 −𝑐𝑢)
𝑢(0) ≤𝑢0, 𝑣(0) ≤𝑣0,
𝑢(0) ≥𝑢0, 𝑣(0) ≥𝑣0
(3.7)
Con es a de inición, enemos el siguien e esul ado
Teo ema 3.1. Conside emos el p oblema (3.4).
1. Si exis en (𝑢, 𝑣),(𝑢, 𝑣), pa de sub-supe -solución de (3.4), en onces exis e una
única solución de (3.4) (𝑢, 𝑣) al que
𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡).
2. Si exis en (𝑢, 𝑣),(𝑢, 𝑣), pa de sub-supe -solución de (3.4), en onces si (𝑢, 𝑣)es so-
lución de (3.4) se iene que
𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡),
y
𝑢(𝑡)≥𝑢(𝑡), 𝑣 ≥𝑣(𝑡)
pa a odo 𝑡donde exis a al solución.
3.2.4 Pun os de equilib io
Pa a el modelo gene al (𝐿−𝑉)dado po (3.3) los pun os de equilib io (o pun os
de sopo e ijos o es aciona ios) son pun os 𝑛-dimensionales soluciones del sis ema
de ecuaciones
𝑢𝑖(𝑏𝑖+
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗)= 0, 𝑖 = 1,…, 𝑛, (3.8)
a los cuales se los no a á como 𝑢∗. En es os pun os, que son soluciones del sis ema,
decimos que és e es á en eposo.
70 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Teo ema 3.4 (Exis encia y unicidad de solución).
1. Supongamos 𝛽1= m
ın{𝛽𝑝𝑖𝑗 }<1,𝛽2m
ın {𝛽𝑎𝑖𝑗 }<1,𝛾1= m
ax {𝛾𝑝𝑖𝑗 },𝛾2=
m
ax {𝛾𝑎𝑖𝑗 }, pa a odo 𝑖, 𝑗 y se iene que
𝛾1𝛾2<1 + 𝛽1(𝑃− 1)
𝑃
1 + 𝛽2(𝐴− 1)
𝐴.(3.17)
En onces exis e una única solución posi i a aco ada de (3.13), pa a odo 𝑡 > 0.
2. Supongamos 𝛽=𝛽𝑝𝑖𝑗 =𝛽𝑎𝑖𝑗 ,𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 ,𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 ,𝛼1=𝛼𝑝𝑖,𝛼2=𝛼𝑎𝑖>0pa a odo
𝑖, 𝑗, y se cumple que
𝛾1𝛾2>1 + 𝛽(𝑃− 1)
𝑃
1 + 𝛽(𝐴− 1)
𝐴.(3.18)
En onces la solución de (3.13) explo a en iempo ini o.
Demos ación.
1. En p ime luga , obse emos que si 𝑢𝑖0>0en onces 𝑢𝑖(𝑡)>0pa a odo 𝑡 > 0
en el que exis a solución.
Deno ando po
𝑤∶=
𝑃
∑
𝑖=1
𝑢1, 𝑧 ∶=
𝐴
∑
𝑖=1
𝑣𝑖,
se iene que
𝑤′≤𝛼1𝑤−(𝑢2
1+𝑢2
2+…+𝑢2
𝑃+ 2𝛽1(𝑢1𝑢2+𝑢1𝑢3+…+𝑢𝑃−1𝑢𝑃))+𝛾1𝑤𝑧,
𝑧′≤𝛼2𝑧−(𝑣2
1+𝑣2
2+…+𝑣2
𝐴+ 2𝛽2(𝑣1𝑣2+𝑣1𝑣3+…+𝑣𝐴−1𝑣𝐴))+𝛾2𝑤𝑧,
donde 𝛼1= m
ax{𝛼𝑝𝑖}y𝛼2= m
ax{𝛼𝑎𝑖}o,equi alen emen e,
𝑤′≤𝛼1𝑤−(𝑃
∑
𝑖=1
𝑢2
𝑖+ 2𝛽1
𝑃
∑
𝑖<𝑗
𝑢𝑖𝑢𝑗)+𝛾1𝑤𝑧,
𝑧′≤𝛼2𝑧−(𝐴
∑
𝑖=1
𝑣2
𝑖+ 2𝛽2
𝐴
∑
𝑖<𝑗
𝑣𝑖𝑣𝑗)+𝛾2𝑤𝑧,
y usando (3.15), se iene que
𝑤′≤𝛼1𝑤−1 + 𝛽1(𝑃− 1)
𝑃𝑤2+𝛾1𝑤𝑧,

3. modelo de edes mu ualis as 71
𝑧′≤𝛼2𝑧−1 + 𝛽2(𝐴− 1)
𝐴𝑧2+𝛾2𝑤𝑧.
Aho a bas a conside a el sis ema
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
𝑝′=𝑝(𝛼1−1+𝛽1(𝑃−1)
𝑃𝑝+𝛾1𝑞),
𝑞′=𝑞(𝛼2−1+𝛽2(𝐴−1)
𝐴𝑞+𝛾2𝑝),
𝑝(0) = 𝑝0, 𝑞(0) = 𝑞0,
(3.19)
con 𝑝0,𝑞0núme os posi i os a elegi .
Es cla o que, omando
𝑝0=
𝑃
∑
𝑖=1
𝑢𝑖0, 𝑞0=
𝐴
∑
𝑖=1
𝑣𝑖0
se iene que (𝑤, 𝑧)es sub-solución de (3.19) en el sen ido de la De inición 3.1y,
po an o, po el Teo ema 3.1se sigue que
(𝑤, 𝑧)≤(𝑝, 𝑞)(3.20)
y(𝑝, 𝑞)es á aco ado si se sa is ace (3.17) po el Lema 3.1.
2. Supongamos que se e i ica (3.18) con 𝛼1=𝛼𝑝𝑖>0y𝛼2=𝛼𝑎𝑖>0. Llamamos
(𝑝, 𝑞)a la única solución posi i a de (3.19). Es conocido ( e Lema 3.1) que, bajo
la condición (3.18),(𝑝, 𝑞)explo a en iempo ini o.
A con inuación, se e i ica que
(𝑢1,…, 𝑢𝑃, 𝑣1,…, 𝑣𝐴)=(𝑝
𝑃,…,𝑝
𝑃,𝑞
𝐴,…,𝑞
𝐴),
es solución del sis ema (3.13) con 𝑢0=𝑝0∕𝑃y𝑣𝑖0=𝑞0∕𝐴, po lo que ambién
explo a en iempo ini o.
Veamos que
𝑢′
𝑖=𝑢𝑖(𝛼1−𝑢𝑖−𝛽1(𝑢2+…+𝑢𝑃)+𝛾1(𝑣1+…+𝑣𝐴)).
En e ec o,
𝑝′
𝑃=𝑝
𝑃(𝛼1−𝑝
𝑃−𝛽(𝑝
𝑃+…+ 𝑝
𝑃)+𝛾1(𝑞
𝐴+…+ 𝑞
𝐴))⇔
𝑝′=𝑝(𝛼1−𝑝(1 + 𝛽(𝑃− 1)
𝑃)+𝛾1𝑞),
lo que es cie o po (3.19). Lo mismo se cumple con 𝑞∕𝐴. Es o concluye la de-
mos ación.
72 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
3.3.2 Es abilidad global del sis ema mu ualis a (𝐿−𝑉)
Muchos de los esul ados sob e la es abilidad global del sis ema mu ualis a (L-V) se
es udia án a pa i de una ma iz 𝐴, que se de ini á como ma iz de Lyapuno -es able.
Po an o es necesa io da algunas de iniciones.
De inición 3.5. Una ma iz cuad ada de o den 𝑛se dice de inida nega i a si 𝑢𝑇𝐴𝑢 <
0pa a odo 𝑢∈ℝ𝑛⧵{0}.
De inición 3.6. Supongamos que 𝐴es una ma iz eal de o den 𝑛:
1. Se dice que 𝐴es de clase 𝑆𝜔o Lyapuno -es able, 𝐴∈𝑆𝜔, si exis e una ma iz
diagonal posi i a 𝑊 al que, la ma iz simé ica 𝑊 𝐴+𝐴𝑇𝑊es de inida nega i a.
2. Se dice que 𝐴es una ma iz diagonal dominan e nega i a, 𝐴∈𝑁𝐷𝐷, si y sólo
si, exis en 𝑛núme os posi i os 𝑟𝑖>0 al que
−𝑟𝑖𝑎𝑖𝑖 >
𝑛
∑
𝑖≠𝑗|𝑎𝑖𝑗|𝑟𝑗, 𝑖 = 1,…, 𝑛.
Vemos algunos eo emas impo an es ace ca de es a clase de ma ices.
Teo ema 3.5. Si 𝐴es una ma iz cuad ada de o den 𝑛, en onces 𝐴es de clase 𝑆𝜔si
una de las siguien es condiciones se sa is ace:
1. 𝐴es una ma iz diagonal dominan e nega i a;
2. 𝐴es de inida nega i a
Demos ación. Ve [18]
Teo ema 3.6. Supongamos que 𝐴∈𝑆𝜔. En onces el sis ema (L-V) (3.3) iene un
pun o de equilib io 𝑢∗pa a cada 𝑏∈ℝ𝑛que, además, es globalmen e es able en ℝ𝑛
𝐼
Demos ación. La demos ación iene de allada en [12]
Co ola io 3.2.Si 𝐴∈𝑆𝜔, en onces el sis ema (𝐿−𝑉)y cada uno de sus subis emas
ienen un pun o de equilib io no nega i o y globalmen e es able pa a cada 𝑏∈ℝ𝑛.
Demos ación. Ve [18]
Hemos comp obado que la es abilidad de (3.13) es á ga an izada po el Teo ema
3.6, que nos asegu a la exis encia de un pun o 𝑢∗globalmen e es able siemp e que la
ma iz de la comunidad sea de clase 𝑆𝑤. Po an o, necesi amos da condiciones pa a
3. modelo de edes mu ualis as 73
que la ma iz de (3.13) cumpla con es a condición. Ve emos que hay es posibles
condiciones.
Condición Tipo I
Según el Teo ema (3.5), una condición su icien e pa a que la ma iz 𝕄sea de clase
𝑆𝑤es que enga una diagonal dominan e nega i a. Tomando 𝑟𝑖= 1 pa a odo 𝑖en la
De inición (3.6) y eco dando que 𝛽𝑝𝑖𝑖 =𝛽𝑎𝑖𝑖 = 1 se iene
P oposición 3.1.Supongamos que pa a 𝕄, de inida como en (3.14), se iene que
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 +
𝑃
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑝𝑖𝑗 <1,∀𝑖= 1,…, 𝑃 ,
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 +
𝐴
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑎𝑖𝑗 <1,∀𝑖= 1,…, 𝐴.
En onces la ma iz 𝕄∈𝑆𝑤.
A la ma iz 𝕄que cumpla es a condición la llama emos ma iz de Tipo I. Como
se puede obse a , la es icción obliga a que los pa áme os sean muy pequeños y
mucho más en ma ices de g an amaño, po lo que in en a emos mejo a es a condi-
ción.
Condición Tipo II
Según la De inición (3.6), pa a que la ma iz 𝕄sea de clase 𝑆𝑤debe exis i una
ma iz 𝑊=𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑤1,…, 𝑤𝑛)con 𝑤𝑖>0pa a 𝑖= 1,…, 𝑛, al que 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊
sea de inida nega i a. Obsé ese que es a ma iz es simé ica, po lo que pa a que
sea de inida nega i a necesi amos que los au o alo es de la ma iz sean nega i os.
Res ingi emos el conjun o de sus au o alo es, su espec o 𝜎(𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊), a la
pa e nega i a de la ec a eal. Pa a ello aplica emos el Teo ema de los cí culos de
Ge shgo in a la ma iz 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊.
Teo ema 3.7 (Teo ema de los cí culos de Ge shgo in). .
Todo au o alo 𝜆de una ma iz 𝐴de o den 𝑛sa is ace la condición
||𝜆−𝑎𝑖𝑖||≤
𝑛
∑
𝑗≠𝑖|||𝑎𝑖𝑗|||pa a algún 𝑖= 1,…, 𝑛.
Como consecuencia de es e esul ado enemos
74 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Teo ema 3.8. Si la ma iz 𝕄, de inida como en (3.14), sa is ace las condiciones:
2 −
𝑃
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )−
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 >0,∀𝑖= 1,…, 𝑃 , (3.21)
2 −
𝐴
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )−
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 >0,∀𝑖= 1,…, 𝐴, (3.22)
sup
𝑖=1,…,𝐴 ∑𝑃
𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖
2 − ∑𝐴
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )−∑𝑃
𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘
<
ın
𝑖=1,…,𝑃
2 − ∑𝑃
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )−∑𝐴
𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘
∑𝐴
𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖
.
(3.23)
En onces la ma iz 𝕄es de clase 𝑆𝑤.
Demos ación. Pa a la ma iz 𝕄, esc i a po bloques como (3.14), se iene que
𝕄𝑇=[𝐵𝑇
1Γ𝑇
2
Γ𝑇
1𝐵𝑇
2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
.
Esc ibimos la ma iz 𝑊de la siguien e mane a
𝑊=[𝑊1∅
∅𝑊2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
(3.24)
donde las ma ices 𝑊1y𝑊2se conside an como
𝑊1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑤10⋯0
0𝑤1⋯0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯𝑤1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝑃
, 𝑊2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑤20⋯0
0𝑤2⋯0
⋮ ⋮ ⋱⋮
0 0 ⋯𝑤2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝐴×𝐴
,
con 𝑤1>0,𝑤2>0.
Se ob iene
=𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊=[𝐷1𝐶1
𝐶2𝐷2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
,
con
3. modelo de edes mu ualis as 75
𝐷1=𝑤1⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−2 − (𝛽𝑝12 +𝛽𝑝21 )⋯−(𝛽𝑝1𝑃+𝛽𝑝𝑃1)
−(𝛽𝑝12 +𝛽𝑝21 )−2 ⋯−(𝛽𝑝2𝑃+𝛽𝑝𝑃2)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
−(𝛽𝑝1𝑃+𝛽𝑝𝑃1)−(𝛽𝑝2𝑃+𝛽𝑝𝑃2)⋯−2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
,
𝐷2=𝑤2⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−2 − (𝛽𝑎12 +𝛽𝑎21 )⋯−(𝛽𝑎1𝐴+𝛽𝑎𝐴1)
−(𝛽𝑎12 +𝛽𝑎21 )−2 ⋯−(𝛽𝑎2𝐴+𝛽𝑎𝐴2)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
−(𝛽𝑎1𝐴+𝛽𝑎𝐴1)−(𝛽𝑎2𝐴+𝛽𝑎𝐴2)⋯−2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
,
𝐶1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝜔1𝛾𝑝11 +𝜔2𝛾𝑎11 𝜔1𝛾𝑝12 +𝜔2𝛾𝑎21 …𝜔1𝛾𝑝1𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴1
𝜔1𝛾𝑝21 +𝜔2𝛾𝑎12 𝜔1𝛾𝑝22 +𝜔2𝛾𝑎22 …𝜔1𝛾𝑝2𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜔1𝛾𝑝𝑃1+𝜔2𝛾𝑎1𝑃𝜔1𝛾𝑝𝑃2+𝜔2𝛾𝑎2𝑃…𝜔1𝛾𝑝𝑃 𝐴 +𝜔2𝛾𝑎𝐴𝑃
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
𝐶2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝜔1𝛾𝑝11 +𝜔2𝛾𝑎11 𝜔1𝛾𝑝21 +𝜔2𝛾𝑎12 …𝜔1𝛾𝑝𝑃1+𝜔2𝛾𝑎1𝑃
𝜔1𝛾𝑝12 +𝜔2𝛾𝑎21 𝜔1𝛾𝑝22 +𝜔2𝛾𝑎22 …𝜔1𝛾𝑝𝑃2+𝜔2𝛾𝑎2𝑃
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜔1𝛾𝑝1𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴1𝜔1𝛾𝑝2𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴2…𝜔1𝛾𝑝𝑃 𝐴 +𝜔2𝛾𝑎𝐴𝑃
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Luego, po el Teo ema de los cí culos de Ge shgo in de la ma iz se gene an 𝑃
desigualdades de la o ma
||𝜆+ 2𝜔1||≤𝜔1
𝑃
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+𝜔1
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 +𝜔2
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑘𝑖 ,con 𝑖= 1,…, 𝑃
y𝐴desigualdades
||𝜆+ 2𝜔2||≤𝜔2
𝐴
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+𝜔2
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 +𝜔1
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑘𝑖 ,con 𝑖= 1,…, 𝐴.
Como se desea que los au o alo es 𝜆sean nega i os, eesc ibimos 𝑃y𝐴desigualdades
an e io es como
𝜆≤𝜔1(𝑃
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2)+𝜔2
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑘𝑖 <0,pa a oda 𝑖= 1,…, 𝑃

76 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
𝜆≤𝜔1
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑘𝑖 +𝜔2(𝐴
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2)<0,pa a oda 𝑖= 1,…, 𝐴.
Ob enemos el siguien e sis ema de 𝑃+𝐴desigualdades con a iables 𝜔1y𝜔2
(𝑃
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2)𝜔1+(𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑘𝑖 )𝜔2<0, pa a oda 𝑖= 1,…, 𝑃
(3.25)
(𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑘𝑖 )𝜔1+(𝐴
∑
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+
𝑃
∑
𝑘=1
𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2)𝜔2<0pa a oda 𝑖= 1,…, 𝐴.
(3.26)
Resol iendo las desigualdades en (3.25) pa a 𝜔2y conside ando que 𝜔2>0, se
iene
𝜔2
𝜔1
<−(∑𝑃
𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+∑𝐴
𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2)
∑𝐴
𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖
,pa a oda 𝑖= 1,…, 𝑃 . (3.27)
Aho a esol emos (3.26) ambién pa a 𝜔2>0.
𝜔2
𝜔1
>−∑𝑃
𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖
(∑𝐴
𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+∑𝑃
𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2),pa a oda 𝑖= 1,…, 𝐴. (3.28)
Po an o, podemos encon a la ma iz 𝑊si ijamos un alo pa a 𝜔1>0y𝜔2que
cumplan (3.27) y(3.28), si suponemos (3.23).
A las ma ices 𝕄que cumplen con es a condición, las llama emos ma ices de
Tipo II.
Obse emos que las condiciones (3.21) y(3.22) pueden esc ibi se de la siguien e
o ma
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 +
𝑃
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑝𝑖𝑗 <2 −
𝑃
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑝𝑖𝑗 (3.29)
𝐴
∑
𝑘=1
𝛾𝑝𝑖𝑘 +
𝑃
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑝𝑖𝑗 <2 −
𝑃
∑
𝑗≠𝑖
𝛽𝑝𝑗𝑖 (3.30)
3. modelo de edes mu ualis as 77
Si compa amos las condiciones del Tipo I yTipo II, podemos obse a que las
del Tipo II son menos es ic i as pa a los pa áme os de la ma iz de la comunidad.
Condición Tipo III. Caso campo medio
Supongamos que odos los coe icien es de la ma iz 𝕄son no nulos, de o ma que
los coe icien es de compe ición en e las especies y las plan as y los coe icien es de
mu ualismos en e ellos son iguales. En es e caso decimos que el sis ema (3.13) es de
campo medio, ga an izando la conec i idad o al de las elaciones mu ualis as en e
plan as y animales.
Teo ema 3.9. Supongamos que la ma iz 𝕄, de inida como en (3.14), con
𝛽1=𝛽𝑝𝑖𝑗 <1, 𝛽2=𝛽𝑎𝑖𝑗 <1, 𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 , 𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 ,
pa a odo 𝑖= 1,…, 𝑃 y odo 𝑗= 1,…, 𝐴, sa is ace la condición (3.17), que iene dada
po
𝛾1𝛾2<1 + 𝛽1(𝑃− 1)
𝑃
1 + 𝛽2(𝐴− 1)
𝐴.
En onces la ma iz 𝕄es de clase 𝑆𝜔.
Demos ación. Tomamos 𝛽1=𝛽𝑝𝑖𝑗 <1,𝛽2=𝛽𝑎𝑖𝑗 <1,𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 ,𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 , pa a odo
𝑖= 1,…, 𝑃 y pa a odo 𝑗= 1,…, 𝐴. Nue amen e conside amos la ma iz 𝕄de o den
(𝑃+𝐴), esc i a po bloques como en (3.14), donde aho a las ma ices 𝐵1,𝐵2,Γ1yΓ2
es án de inidas po
𝐵1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−1 −𝛽1… −𝛽1
−𝛽1−1 … −𝛽1
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
−𝛽1−𝛽1… −1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝑃
, 𝐵2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
−1 −𝛽2… −𝛽2
−𝛽2−1 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠 −𝛽2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
−𝛽2−𝛽2⋯−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝐴×𝐴
(3.31)
Γ1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝛾1𝛾1…𝛾1
𝛾1𝛾1…𝛾1
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝛾1𝛾1⋯𝛾1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝐴
,Γ2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝛾2𝛾2⋯𝛾2
𝛾2𝛾2⋯𝛾2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝛾2𝛾2⋯𝛾2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
,(3.32)
con 0< 𝛽1,𝛽2<1,𝛾1, 𝛾2>0.
La ma iz 𝑊la de inimos en bloques,
𝑊=[𝑊1∅
∅𝑊2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
78 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
donde las ma ices 𝑊1y𝑊2son como en (3.24).
Como an es
=𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊=[𝐷1𝐶1
𝐶2𝐷2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
donde ( e anexo pa a la no ación)
𝐷1=𝐷(−2𝜔1,−2𝜔1𝛽1;𝑃), 𝐷2=𝐷(−2𝜔2,−2𝜔2𝛽2;𝐴),
𝐶1=(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)𝑃×𝐴, 𝐶2=(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)𝐴×𝑃.
Nos plan eamos encon a la condición pa a que los au o alo es de 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊sean
nega i os. Pa a eso, calculamos las soluciones del polinomio ca ac e ís ico de 
𝑝(𝜆) = |(𝜆)|=||−𝜆𝐼𝐴×𝑃||=||𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊−𝜆𝐼𝐴×𝑃||= 0,
donde 𝐼𝐴×𝑃deno a la ma iz iden idad de o den 𝐴×𝑃. La ma iz (𝜆)se puede esc ibi
de la siguien e o ma
(𝜆) = [𝐹1𝐶1
𝐶2𝐹2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴),
donde
𝐹1=𝐷(−2𝜔1−𝜆, −2𝜔1𝛽1;𝑃), 𝐹2=𝐷(−2𝜔2−𝜆, −2𝜔2𝛽2;𝐴)
Po an o, aplicando la P oposición 5.1 ( e anexo), se iene
𝑝(𝜆)=(−2𝜔1−𝜆+ 2𝜔1𝛽1)𝑃−1 (−2𝜔2−𝜆+ 2𝜔2𝛽2)𝐴−1 ⋅𝑞(𝜆)
donde
𝑞(𝜆) = ((−2𝜔1−𝜆− 2𝜔1𝛽1(𝑃− 1))(−2𝜔2−𝜆− 2𝜔2𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴 (𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2)
= 4 [(𝜔1+𝜆
2+𝜔1𝛽1(𝑃− 1))(𝜔2+𝜆
2+𝜔2𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴
4(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2].
Los au o alo es de la ma iz son:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
𝜆= 2𝜔1(𝛽1− 1)con mul iplicidad 𝑃− 1,
𝜆= 2𝜔2(𝛽2− 1)con mul iplcidad 𝐴− 1,
las aíces de 𝑞(𝜆).
Las aíces de 𝑞(𝜆)son las aíces del siguien e polinomio de g ado 2,
𝑚(𝜆) = 𝜆2
4+𝑅1(𝜔1, 𝜔2)𝜆
2+𝑅2(𝜔1, 𝜔2)
3. modelo de edes mu ualis as 79
donde
𝑅1(𝜔1, 𝜔2)=𝜔1(1 + 𝛽1(𝑃− 1))+𝜔2(1 + 𝛽2(𝐴− 1)),
𝑅2(𝜔1, 𝜔2)=𝜔1𝜔2(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴
4(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2.
Teniendo en cuen a que 𝑅1>0, pa a que las aíces de 𝑚(𝜆)sean nega i as, se
necesi a que
𝑅2(𝜔1, 𝜔2)>0.
Es o es equi alen e a
𝜔1𝜔2(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1))>𝑃 𝐴
4(𝜔2
1𝛾2
1+𝜔2
2𝛾2
2+ 2𝜔1𝜔2𝛾1𝛾2),
de donde,
0>(𝜔2
𝜔1)2
𝛾2
2+ 2 (𝜔2
𝜔1)(𝛾1𝛾2−2
𝑃 𝐴 (1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1)))+𝛾2
1
Teniendo en cuen a (3.17), pa a que exis an 𝜔1, 𝜔2>0que e i iquen la desigualdad
an e io , es su icien e que
(𝛾1𝛾2−2
𝑃 𝐴 (1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1)))2
> 𝛾2
1𝛾2
2
𝛾1𝛾2<(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1))
𝑃 𝐴
que es la condición (3.17)
A es as ma ices 𝕄las llama emos ma ices de Tipo III.
De odo lo an e io llegamos al siguien e eo ema.
Teo ema 3.10. Supongamos que 𝕄es la ma iz de la comunidad del sis ema (3.13) y
es de Tipo I, II, oIII. En onces, el sis ema (3.13) iene un pun o de equilib io globalmen e
es able no nega i o 𝑢∗.
Demos ación. Po el eo ema (3.6), si la ma iz de la comunidad 𝕄es de clase 𝑆𝜔,
el sis ema (3.13) end á un pun o de equilib io 𝑢∗globalmen e es able. Como 𝕄al
se de Tipo I, II oIII es de clase 𝑆𝜔, el sis ema (3.13) iene un pun o de equilib io
globalmen e es able no nega i o 𝑢∗.
86 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
Hay señala que una descomposición de Mo se es a á dada po
𝐸𝑖=𝐴𝑖∩𝐴∗
𝑖−1.
La o ma en la que se cons uye 𝒜𝑖, 𝑖 = 1,…, 𝑚, implica á que 𝐸𝑖∈𝐸, el conjun o
de equilib ios no nega i os de (3.3).
Paso 1:
Llama emos 𝑢∗
1al pun o es aciona io dado po el Teo ema 3.10, es deci , el que es
globalmen e asin ó icamen e es able ℝ𝑛
+, y lo deno a emos po 𝑢∗
1=(𝑢∗
1(1),…, 𝑢∗
1(𝑛)).
Sea 𝑁= {1,…, 𝑛}, y
𝐼1= {𝑖∈𝐿∕𝑢∗
𝑖(𝑖) = 0},
𝐽1=𝑁⧵𝐼1= {𝑗∈𝑁∕𝑢∗
1(𝑗)>0}
Suponemos 𝐽1≠∅, en o o caso el esul ado es i ial, pues en onces 𝒜= {0}.
O denamos los 𝑚1≤𝑛elemen os del conjun o 𝐽1como:
𝑗1< 𝑗2⋯< 𝑗𝑚1.
De inimos los hipe planos abie os 𝐸𝑗𝑘, con 𝑘∈ {1,…, 𝑚1}, como
𝐸𝑗𝑘= {𝑢∈ℝ𝑛
+∕𝑢(𝑗𝑘)=0y odas las o as componen es 𝑢(𝑖)>0}.
También de inimos 𝐴1= {𝑢∗
1}.En onces 𝐴1es un a ac o global, el cual a ae
cada solución que comienza en
ℝ𝑛
+⧵
𝑚1
⋃
𝑘=1
𝐸𝑗𝑘.
En onces, su epulso asociado en ℛ+
𝑛es á dado po
𝐴∗
1=
𝑚1
⋃
𝑘=1
𝐸𝑗𝑘.
Paso 2:
Como cada 𝐸𝑗𝑘es un conjun o posi i amen e in a ian e, el Teo ema 3.6y el co-
ola io 3.2pueden se aplicados una ez más. Sea 𝑢∗
𝑗𝑘el pun o globalmen e asin ó-
icamen e es able en 𝐸𝑗𝑘,𝑘∈ {1,…, 𝑚1}. En pa icula , 𝑢∗
𝑗1es un a ac o local en
𝐸𝑗1.

3. modelo de edes mu ualis as 87
Sea
𝐴2=𝐴1∪𝑊𝑢(𝑢∗
𝑗1),
es deci , 𝐴2con iene 𝐴1, y odas las conexiones de 𝑢∗
𝑗1a𝑢∗
1, en el sen ido de (3.40), es
deci ,
l
ım
𝑡→−∞ ‖‖‖𝑢(𝑡;𝑧) − 𝑢∗
𝑗1‖‖‖= 0 yl
ım
𝑡→∞‖‖‖𝑢(𝑡;𝑧) − 𝑢∗
𝑗1‖‖‖= 0
Se cons uye el epulso asociado a 𝒜2.
Pa a 𝑢∗
𝑗1, sea
𝐼𝑗1= {𝑖∈𝐿∕𝑢∗
𝑗1(𝑖) = 0}; en pa icula 𝑗1∈𝐼𝑗1,
𝐽𝑗1=𝐿⧵𝐼𝑗1= {𝑗∈𝐿∕𝑢∗
𝑗1(𝑗)>0}.
O denamos, pa a 𝑚2< 𝑛,𝐽𝑗1como
𝑗1,𝑗1< 𝑗2,𝑗1<⋯< 𝑗𝑚2,𝑗1
y conside amos
𝐸𝑗1,𝑗1= {𝑢∈𝐸𝑗1∕𝑢(𝑗1,𝑗1)= 0 y odas las o as componen es 𝑢(𝑖)>0}.
En onces 𝑢∗
𝑗1es un a ac o local en 𝐸𝑗1, el cual a ae cada solución que comienza en
𝐸𝑗1⧵
𝑚2
⋃
𝑘=1
𝐸𝑗𝑘,𝑗1
.
Repe imos es e mismo a gumen o en el Paso 2 pa a cada 𝐸𝑗𝑘, pa a 𝑘∈ {2,…, 𝑚1}.
Paso 3:
Nue amen e epe imos los a gumen os del Paso 2 pa a los hipe planos 𝐸1,𝑗1, y
desde el que podemos de ini
𝒜3=𝒜2∪𝑊𝑢(𝑢∗
𝑗1,𝑗1),
el cual posee un epulso asociado a 𝒜∗
3.
Una ez más, epe imos los a gumen os del Paso 2 pa a el hipe plano 𝐸𝑗𝑘,𝑗1, pa a
𝑘∈ {2,…, 𝑚2}.
Paso m:
88 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
En gene al, cons uimos, pa a alguna solución es aciona ia,
𝒜𝑚+1 =𝒜𝑚∪𝑊𝑢(𝑢∗
𝑗1,…,𝑗1)
y su epulso asociado 𝒜∗
𝑚+1.
Obse emos que, po su p opia cons ucción, los 𝒜∗
𝑚son
i) Conjun os ce ados in a ian es
ii) No in e secan con ⋃𝑚
𝑘=1 𝒜𝑘.
iii) Con iene el es o de pun os es aciona ios que no es án en ⋃𝑚
𝑘=1 𝒜𝑘.
En 𝑚pasos el p oceso inaliza
4 Conclusiones
En es e abajo hemos comenzado po hace un es udio de allado sob e los a ac o-
es globales. Su exis encia y unicidad, is o en el capí ulo 1, has a su compo amien o
bajo pe u baciones, is o en el capí ulo 2. Si es udiamos di e en es enómenos en la
na u aleza emos que, a eces, es án egidos po SDO complejos y con una sensibi-
lidad muy g ande espec o a los da os iniciales. G acias a odo lo an e io podemos
obse a que dada unas condiciones especi icas exis e un a ac o global pa a es os
sis emas y que, de hecho, es único. Con lo cual podemos conclui que p oblemas que a
"simple is a" ienen un compo amien o caó ico e imp e isible, sus ayec o ias cuan-
do 𝑡→∞acaban con e giendo a un a ac o que do a de un o den a ese apa en e
caos.
En el caso pa icula aplicado a la Ecología, en conc e o sis emas mu ualis as, he-
mos demos ado que ese sis ema iene un a ac o , y que de hecho, como imos al
es udia la con inuidad del a ac o global, es un obje o obus o y solido, es deci ,
que iene un compo amien o similia an e pequeños cambios en los da os. Con es o,
emos que és e es un es udio iable. Ya que en la Ecología es habi ual los cambios es-
pec o a los da os iniciales dados po los indi iduos de las especies que in e accionan.
En cuan o al es udio del a ac o hemos is o que se elaciona con una descom-
posición de Mo se. Con lo cual llegamos a que ese a ac o es á o mado po pun os
es aciona ios que es án elacionados en e sí, donde se encuen a el (0,0), un pun o
ines able, y o o pun o que es globalmen e es able a ayendo a odas las ayec o ias.
El es o podemos conclui que son pun os de silla. Con lo cual emos que algo an
apa en emen e complejo como un ecosis ema, acaba endiendo a un pun o de equi-
lib io en e las dis in as especies. Es e a ac o , y en conc e o el pun o de equilib io
gua dan oda la in o mación ace ca de las a iaciones en el núme o de indi iduos y
la biodi e sidad del ecosis ema.
5 Anexo I
En es e anexo e emos los esul ados que han sido necesa ios pa a las p uebas de
los Teo emas 3.9,3.10 y3.11
De inición 5.1. Dados 𝑀, 𝑁 ∈ℕy𝑎, 𝑏 ∈ℝ, deno amos po
𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑎 𝑏 𝑏 ⋯𝑏
𝑏 𝑎 𝑏 ⋯𝑏
𝑏 𝑏 𝑎 ⋯𝑏
⋮⋮⋮⋱⋮
𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑎
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝑀×𝑀
y
×=(𝑎𝑖𝑗), 𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑖 = 1,…, 𝑀;𝑗= 1,…, 𝑁.
Con es a no ación, la ma iz 𝐶de (3.13) es una ma iz de o den 𝑃+𝐴de inida
po
𝐶=[𝐵1Γ1
Γ2𝐵2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
,(5.1)
donde
𝐵1=𝐷(−1, 𝛽1;𝑃), 𝐵2=𝐷(−1, 𝛽2;𝐴),Γ1=𝛾1𝑃×𝐴,Γ2=𝛾2𝐴×𝑃,
es o es, las ma ices de inidas en (3.31).
A con inuación p esen amos un esul ado donde es udiamos la ma iz 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀).
Lema 5.1.Conside amos 𝑎, 𝑏 ∈ℝy𝑀∈ℕ.
1. Se iene que
|𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=(𝑎+(𝑀− 1)𝑏) (𝑎−𝑏)𝑀−1 (5.2)

92 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
2. Se cumple
𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)−1 =1
(𝑎−𝑏) (𝑎+(𝑀− 1)𝑏)𝐷(𝑑, −𝑏;𝑀)
donde
𝑑=𝑎+(𝑀− 2)𝑏.
Demos ación. 1. Resul ando la p ime a ila de las o as, enemos
|𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=||||||||||||||
𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑏
𝑏−𝑎 𝑏 −𝑎0 0 ⋯0
𝑏−𝑎0𝑎−𝑏0⋯0
𝑏−𝑎0 0 𝑎−𝑏⋯0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑏−𝑎000⋯𝑎−𝑏
||||||||||||||𝑀×𝑀
Aho a, sumando odas las columnas a la p ime a, se ob iene
|𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=||||||||||||||
𝑎+(𝑀− 1)𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑏
0𝑎−𝑏0 0 ⋯0
0 0 𝑎−𝑏0⋯0
0 0 0 𝑎−𝑏⋯0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 0 ⋯𝑎−𝑏
||||||||||||||𝑀×𝑀
=
=(𝑎+(𝑀− 1)𝑏) (𝑎−𝑏)𝑀−1 .
2. Es ácil demos a que 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)⋅𝐷(𝑎, 𝑏, ;𝑀)−1 =𝐼𝑃, donde 𝐼𝑃deno a la
ma iz iden idad de o den 𝑃.
A con inuación e emos un esul ado donde calculamos los au o alo es pa a ma-
ices gene ales . Conside amos la ma iz más gene al
=[𝐷𝑃𝐶1
𝐶2𝐷𝐴](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
donde
𝐷𝑃=𝐷(𝑎1, 𝑑1;𝑃), 𝐷𝐴=𝐷(𝑎2, 𝑑2;𝐴), 𝐶1=𝑐1𝑃×𝐴, 𝐶2=𝑐2𝐴×𝑃,
y𝑎1, 𝑑1, 𝑎2, 𝑑2, 𝑐1, 𝑐2∈ℝ. Tenemos el siguien e esul ado.
5. anexo i 93
P oposición 5.1.Se cumple que
||=(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ((𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2)−𝑐1𝑐2𝐴𝑃 ).
Demos ación.
Caso 1: Suponemos que 𝐷−1
𝑃exis e, es o es 𝑎1≠𝑑1y𝑎1≠𝑑1(1 − 𝑃). En es e caso
ob enemos que
||=||𝐷𝑃|||||𝐷𝐴−𝐶2𝐷−1
𝑃𝐶1|||.(5.3)
P ime o, calculamos 𝐷2𝐷−1
𝑃𝐶1. No es di ícil demos a que
𝐶2𝐷−1
𝑃𝐶1=𝑐2𝑐1𝐴×𝑃𝐷−1
𝑃𝑃×𝐴.
Usando aho a el Lema 5.1pa a la exp esión 𝐷−1
𝑃, ob enemos
𝐷−1
𝑃𝑃×𝐴=1
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝑃×𝐴,
y en onces
𝐴×𝑃𝐷−1
𝑃𝑃×𝐴=1
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝑃𝑃×𝐴
=𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝐴,
de donde se puede deduci que
𝐶2𝐷−1
𝑃𝐶1=𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝐴.
Deno amos po
=𝐷𝐴−𝐶2𝐷−1
𝑃𝐶1
y ob enemos que
=𝐷(𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1), 𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1);𝐴).
Usando nue amen e el Lema 5.1, ob enemos
||=(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 (𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)+(𝐴− 1)(𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1))).
94 sis emas dinámicos. aplicaciones a las edes complejas.
En onces, usando (5.3) ob enemos que
||=(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ⋅
⋅(𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)+(𝐴− 1)(𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃
(𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)))
=(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ((𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2)−𝑐1𝑐2𝐴𝑃 ).
Es o comple a la p ueba.
Caso 2: 𝑎1=𝑑1. En es e caso, las 𝑃-p ime as ilas son simila es, y po an o ||= 0.
Caso 3: 𝑎1=𝑑1(1 − 𝑃). Res amos a la ila 𝑃-ésima las o as 𝑃− 1 ilas,
||=
|||||||||||||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐1𝑐1⋯𝑐1
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑎2𝑑2⋯𝑑2
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2⋯𝑑2
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑑2⋯𝑎2
|||||||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
es amos la columna (𝑃+ 1)-ésima, a las siguien es 𝐴− 1 columnas, y se iene que:
||=
|||||||||||||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑎2𝑑2−𝑎2⋯𝑑2−𝑎2
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2
|||||||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
5. anexo i 95
y en onces,
||=
|||||||||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0
2𝑐22𝑐2⋯2𝑐22𝑐22𝑐2𝑎2+𝑑2𝑑2−𝑎2⋯0
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2
|||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴)
Se desa olla el de e minan e po la úl ima columna, ob eniendo
||=(𝑎2−𝑑2)||||||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0
2𝑐22𝑐2⋯2𝑐22𝑐22𝑐2𝑎2+𝑑2𝑑2−𝑎2⋯0
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2
||||||||||||||(𝑃+𝐴−1)×(𝑃+𝐴−1)
Repi iendo es e p oceso 𝐴− 1 eces, llegamos a
||=(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 |||||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐1
𝐴𝑐2𝐴𝑐2⋯𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2
|||||||||||||(𝑃+1)×(𝑃+1)
Aho a, con inuamos desa ollando el de e minan e, po la úl ima columna y eniendo
en cuen a que
|||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑1
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑1
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑1
𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)
|||||||||||(𝑃+1)×(𝑃+1)
= 0,
se iene
||= −𝑐1(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 |||||||||||
𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑1
0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑1
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑1
𝐴𝑐2𝐴𝑐2⋯𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝐴𝑐2
|||||||||||𝑃×𝑃
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