Sistemas dinámicos. Aplicaciones a las redes complejas

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO: ECUACIONES DIFERENCIALES Y ANÁLISIS NUMÉRICO Trabajo Fin de Grado: SISTEMAS DINÁMICOS. APLICACIONES A LAS REDES COMPLEJAS. Autor: Alberto Álvarez-Rementería Rodríguez Dirigido por: José Antonio Langa Rosado 2017 - 2018 Sistemas dinámicos. Aplicaciones a las redes complejas. Alberto Álvarez-Rementería Rodríguez Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por José Antonio Langa Rosado Agradecimientos Agradezco a todas las personas que me han ayudado en mi formación tanto académica como personal. En especial dar las gracias a toda mi familia, en concreto, a mis padres, Alberto e Isabel, por toda su preocupación y esfuerzo. A todos los compañeros que han compartido estos años de estudio conmigo y que tanto me han enseñado. Por último agradecer a todos los profesores que me han transmitido su apoyo y el amor por las matemáticas, en particular a Belén Güemes y Juan Nuñez; también agradecer de forma especial a José Antonio Langa por haberme aguantado todo el año con tanta paciencia y dedicación. English Abstract This work is framed within the field of Dynamical System and their applicaitons to complex networks. In this text we investigate the existence of global attractors for ordinary differential systems and the existence of a Lyapunov function associated to a gradient-like system, semigroups or evolution processes. Because of that, a detailed study of Morse theory plays a central rule. The applicability of the results explained here is exemplified by studying the global attractor of an n-dimensional mutualistic model. We also study the structure of the attractor in mutualistic systems for which we will prove that it has a Morse decomposition describing all the future scenarios in this Ecological models. Índice general Introducción 1 1. Atractores globales y problemas autónomos 7 1.1. Introducción................................ 7 1.2. Sistemas dinámicos y disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Conjuntos 𝜔-límites............................ 11 1.4. Existencia del atractor global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Las ecuaciones de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Semigrupos Gradientes 29 2.1. Definición de semigrupo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Estructura de los semigrupos gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Semigrupos Dinámicamente Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Existencia de atractores para semigrupos gradientes . . . . . . . . . . 41 2.5. Continuidad del atractor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1. Semicontinuidad superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2. Semicontinuidad inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6. Teoría de Morse-Conley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. niciones de punto estable, asintóticamente estable, inestable, dominio de atracción y globalmente estable (ver Definición 3.4). A continuación haremos un estudio del sistema mutualista (L-V) en el caso en el que los tiempos de manipulación son nulos, es decir, ℎ𝑃=ℎ𝐴= 0 en (1). Comenzaremos estudiando la existencia y unicidad de soluciones, para lo cual presentaremos y demostraremos el Teorema de existencia y unicidad de solución (ver Teorema 3.4). Tras esto, estudiaremos la estabilidad de global del sistema mutualista (L-V), donde veremos que estudiar muchos de los resultados de la estabilidad del sistema mutualista es equivalente a estudiar las características de una matriz 𝕄, que se define como matriz de Lyapunov-estable. Tras estudiar varios resultados llegaremos a un Teorema que dada unas condiciones concretas, nuestra matriz 𝕄, y con lo cual nuestro sistema, tiene un punto de equilibrio globalmente estable. Para acabar este capítulo estudiaremos resultados sobre la estructura geométrica del atractor global. Describiremos una red compleja de nodos y conexiones dentro del atractor, entendiendo así el atractor como una nueva red dinámica que contiene todos los posibles comportamientos factibles. Para ello usaremos un teorema de vital importancia que nos describe el conjunto de puntos estacionarios (ver Teorema 3.13). Con todo esto llegaremos a la conclusión de que los puntos estacionarios definen una descomposición de Morse para el atractor global. Para terminar el trabajo, expondremos las conclusiones a las que hemos llegado con nuestro estudio. 1 Atractores globales y problemas autónomos En este capítulo vamos a mostrar los distintos resultados más relevantes sobre atractores globales para sistemas dinámicos en dimensión infinita. 1.1 Introducción Para comenzar este capítulo introduciremos el marco de modelos autónomos, explicando los problemas que aparecen en el estudio de estos sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales y cómo la dinámica asintótica arroja información relevante para su comprensión. Sabemos que las ecuaciones en derivadas de evolución consiguen modelar muchas de las realidades que describimos como sistemas dinámicos. Algunos ejemplos los encontramos en fenómenos de la mecánica celeste, crecimiento de poblaciones, en ciertos procesos químicos, o incluso la neurociencia. De forma abstracta, podemos expresar estas ecuación de evolución de la siguiente forma: 𝜕𝑢(𝑡) 𝜕𝑡 =𝐹(𝑢(𝑡)) donde 𝑢(𝑡) ∈ 𝑋es la incógnita cuyo desarrollo en el tiempo, en el espacio de fases 𝑋, queremos conocer. Generalmente complementamos esta ecuación con una serie de datos iniciales que nos permitirán abordar el problema de existencia y unicidad de soluciones. Además nos servirán de elemento de referencia en la evolución del sistema. 8sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Muchos de los modelos que suelen abordarse bien pueden ser lineales, es decir, basados en transformaciones del tipo 𝑎𝑢+𝑏de la incógnita u (a y b tendrán significados muy distintos si estamos en el caso de ecuaciones diferenciales (EDOs) o en el caso de ecuaciones de derivadas parciales (EDPs)). La dinámica de estos modelos lineales está perfectamente estudiada y es conocida una gran cantidad de resultados acerca de soluciones, comportamiento, estabilidad, etc. El problema es que la mayoría de los modelos que nos encontramos en la realidad no tienen un crecimiento de la forma 𝑎𝑢 +𝑏. A poco que estudiemos un problema del que queramos obtener algunas ecuaciones que predigan su comportamiento vemos que en muchos casos son modelos no lineales los que mejor describen la realidad que estamos estudiando. El primer problema que nos encontramos es que de los sistemas no lineales podemos obtener poquísimos resultados generales que nos ayuden a resolver otros problemas también no lineales. Por ello, a veces cada problema no lineal debe ser estudiado aparte como una realidad particular y compleja. Una vez conocida la existencia de solución, uno de los principales problemas a estudiar en cualquier sistema es el comportamiento de las soluciones cuando 𝑡←→ ∞. Pero como hemos dicho anteriormente, los problemas no lineales presentan una dificultad, ya que obedecen a complicadas leyes que, en general, hacen difícil predecir la evolución del sistema. Además, existen muchos modelos que tienen un comportamiento sensible respecto a los datos iniciales,es decir, una pequeña variación el dato inicial provoca un gran cambio en el comportamiento del modelo. Estos sistemas son frecuentes en múltiples campos como la Física, la Química, la Biología, la Economía, etc. Podemos llegar a pensar que en estos modelos vamos a ser incapaces de obtener alguna información acerca del comportamiento de las soluciones cuando 𝑡→∞. Sin embargo este pensamiento dista mucho de la realidad, pues en muchos casos las trayectorias convergen hacía un conjunto, en ocasiones bastante extraño, al que llamaremos atractor del sistema (esta idea de atractor será la parte fundamental de nuestro estudio). De esta forma, el comportamiento caótico de ciertos sistemas dinámicos podrán ser explicados por la existencia de un (a veces complicado) conjunto atrayente compacto hacia el que convergen las trayectorias cuando 𝑡←→ ∞. En este sentido es en el que podemos hablar de los atractores como explicación del caos. 1. atractores globales y problemas autónomos 9 1.2 Sistemas dinámicos y disipación Las ecuaciones autónomas son aquellas en las cuales no aparece una dependencia explícita del tiempo en el término no lineal, es decir, podemos expresarlas como 𝜕 𝜕𝑡𝑢=𝐹(𝑢(𝑡)). Esta viene marcada únicamente por el tiempo transcurrido. Por tanto, si 𝑢(𝑡, 𝑠;𝑥𝑠)es una solución que comienza en 𝑢𝑠en el tiempo 𝑠y evoluciona hasta el tiempo 𝑡, su dinámica es la misma que la de la solución 𝑢(𝑡−𝑠, 0; 𝑥𝑠). Comencemos con una de las definiciones más importantes de este trabajo. Definición 1.1. Sea 𝑋un espacio métrico. La familia de aplicaciones {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} de 𝑋en sí mismo se denomina semigrupo si verifica, 1. 𝑇(0) = 𝐼𝑑, 2. 𝑇(𝑡)𝑇(𝑠) = 𝑇(𝑠)𝑇(𝑡) = 𝑇(𝑠+𝑡), para todo 𝑡, 𝑠 ≥0 3. {𝑡∈ℝ∶𝑡≥0} × 𝑋∋ (𝑡, 𝑥)→𝑇(𝑡)𝑥∈𝑋es continuo En el apartado 3. de la definición anterior se está considerando el conjunto {𝑡∈ ℝ∶𝑡≥0} × 𝑋dotado de la topología producto. Consideremos un problema autónomo 𝜕 𝜕𝑡𝑢=𝐹(𝑢) con unicidad de solución denotada por 𝑢(𝑡;𝑢0)con valor inicial 𝑢0en 𝑡= 0; vemos que el semigrupo 𝑇(𝑡)𝑢0=𝑢(𝑡;𝑢0)representa la solución que comenzó en 𝑢0cuando ha transcurrido un tiempo 𝑡. Ahora vamos a definir la semidistancia de Hausdorff para conjuntos, la cual mide, dicho de forma sencilla, "cuanto de un conjunto está dentro de otro" y que nos ayudará en nuestro proceso de definición de atractor global. Definición 1.2. Sea (𝑌 , 𝑑𝑌)un espacio métrico y 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑌 dos subconjuntos de dicho espacio. La semidistancia de Hausdorff ente 𝐴y𝐵, denotada por 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵), se define como 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵) = sup 𝑎∈𝐴  ınf 𝑏∈𝐵𝑑𝑌(𝑎, 𝑏) 10 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. o, equivalentemente, dist(𝐴, 𝐵) =  ınf {𝜀 > 0 ∶ 𝐴⊆𝑁(𝐵, 𝜀)} donde 𝑁(𝐵, 𝜀)={𝑦∈𝑌∶𝑑𝑌(𝑦, 𝐵)< 𝜀}denota un 𝜀-entorno de 𝐵. Hay que tener en cuenta que esta distancia no define una métrica ya que si 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴, 𝐵) = 0lo único que sabemos es que 𝐴 ⊆ 𝐵. La distancia de Hausdorff se define como distℋ(𝐴, 𝐵)=m ax {dist(A,B),dist(B,A)} Veamos algunas propiedades: 1. dist(∅,Y) = 0, mientras que dist(𝑋, ∅) no está definida; 2. dist(X,Y) = dist(X,Y); 3. si 𝑌1⊆ 𝑌2, entonces dist(X,Y1)⩾dist(X,Y2); 4. si 𝑋1⊆ 𝑋2, se verifica que dist(X1,Y) ⩽dist(X2,Y); Definición 1.3. Sean 𝐴y𝐵subconjuntos de 𝑋y{𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} un semigrupo en 𝑋. Diremos que 𝐴atrae a 𝐵si dist(T(t)B,A) t→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 0 Sabemos que un sistema es disipativo si sus soluciones convergen a un conjunto acotado dentro del espacio 𝑋, es decir, no explotan en tiempo finito, y están acotadas en todo tiempo. Definición 1.4. Diremos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es disipativo acotado (disipativo compacto) (disipativo puntual) si existe un conjunto acotado 𝐵 ⊆ 𝑋 tal que para todo 𝐷 ⊆ 𝑋 acotado (conjunto compacto 𝐾 ⊆ 𝑋) (punto 𝑥∈𝑋), existe 𝑡0=𝑡0(𝐷) (𝑡0=𝑡0(𝐾)) (𝑡0=𝑡0(𝑥)) tal que 𝑇(𝑡)𝐷 ⊆ 𝐵 (𝑇(𝑡)𝐾 ⊆ 𝐵) (𝑇(𝑡)𝑥∈𝐵)para todo 𝑡⩾𝑡0. Ahora procederemos a definir el concepto de invarianza, el cual es fundamental dentro del marco de los atractores globales ya que son conjuntos que guardan en su interior toda su dinámica. Definición 1.5. Diremos que un conjunto 𝐷es invariante bajo el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} si 𝑇(𝑡)𝐷=𝐷para todo 𝑡⩾0. 1. atractores globales y problemas autónomos 11 Tras esta definición nos disponemos a dar la definición de atractor global. Definición 1.6. El conjunto 𝒜⊆ 𝑋 es el atractor global para el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} si 1. es compacto 2. atrae acotados de 𝑋 3. es invariante bajo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0}. Obsérvese que, de la manera en la que hemos definido el atractor global, a priori, parece que un cierto semigrupo pudiera poseer más de un atractor global. No obstante, se puede probar fácilmente que un semigrupo posee, a lo más, un único atractor global. Proposición 1.1.Si existe un atractor global para el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}, entonces dicho atractor es único. Demostración. En efecto, sean 𝐴1y𝐴2atractores globales para el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Entonces, como 𝐴2es un compacto, es un subconjunto acotado de 𝑋, y usando que 𝐴1es un atractor global, tendremos que l ım 𝑡←→∞dist(T(t)A2,A1)=0. Pero, la invarianza de 𝐴2por 𝑇(⋅)implica que 𝑇(𝑡)𝐴2=𝐴2cualquiera que sea 𝑡≥0. Teniendo en cuenta, la igualdad precedente queda 0 = 𝑙𝑖𝑚𝑡←→∞dist(T(t)A2,A1) = l ım 𝑡←→∞dist(A2,A1) = 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴2, 𝐴1), o sea, 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐴2, 𝐴1)=0, luego como hemos visto antes, esto implica que 𝐴2⊂ 𝐴1=𝐴1, ya que 𝐴1es cerrado. Cambiando los papeles de 𝐴1y𝐴2en el argumento anterior, se concluye la otra inclusión 𝐴1⊂ 𝐴2, mostrando la igualdad entre los dos conjuntos. 1.3 Conjuntos 𝜔-límites Introducimos en esta sección el importante concepto de conjunto 𝜔-límite, que va a jugar un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de los atractores globales. 12 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Definición 1.7. Denominamos conjunto 𝜔-límite de un conjunto 𝐵al conjunto que contiene todos los puntos límite de las soluciones de dicho conjunto, 𝜔(𝐵) = ⋂ 𝑡⩾0⋃ 𝜏⩾𝑡 𝑇(𝜏)𝐵=⋂ 𝑡≥0 𝛾+ 𝑡(𝐵).(1.1) Donde 𝛾+(𝐵)es su semiórbita positiva respecto del semigrupo 𝑇(⋅), definida por 𝛾+(𝐵) ∶= {𝑇(𝑡)𝑥∶𝑡≥0, 𝑥 ∈𝐵} = ⋃ 𝑥∈𝐵 𝛾+(𝑥) y 𝛾+ 𝜏(𝐵) ∶= {𝑇(𝑡)𝑥∶𝑡≥𝜏, 𝑥 ∈𝐵}. Vemos que el conjunto 𝜔-límite de cualquier subonjunto 𝐵de 𝑋es un conjunto cerrado, por ser intersección de cerrados. Esta definición que acabamos de dar se puede cambiar por otra más manejable en términos de límites de sucesiones, como nos muestra la siguiente caracterización. Lema 1.1.El conjunto 𝜔-límite de un subconjunto 𝐵 ⊂ 𝑋 está caracterizado por 𝜔(𝐵)={𝑦∈𝑋∶existen sucesiones 𝑡𝑛→∞,{𝑥𝑛} ∈ 𝐵tales que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑦}, (1.2) Demostración. En efecto, sea 𝜔′(𝐵)el conjunto definido por (1.2). Por una parte, dado 𝑥∈𝜔(𝐵), para cada natural 𝑛se tiene que 𝑥∈𝛾+ 𝑛(𝐵). Luego, para cada 𝑛 debe existir 𝑧𝑛∈𝛾+ 𝑛(𝐵)tal que 𝑑(𝑥, 𝑧𝑛)<1 𝑛, pero, por la definición de 𝛾+ 𝑛(𝐵), existen 𝑡𝑛≥𝑛y𝑥𝑛∈𝐵de manera que 𝑧𝑛=𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛. Así se tiene evidentemente que 𝑥= l ım𝑛←→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛, con 𝑡𝑛←→ ∞, es decir, 𝑥∈𝜔′(𝐵). Por otra parte, sea 𝑥∈𝜔′(𝐵), entonces 𝑥= l ım𝑛←→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛, para ciertas sucesiones (𝑡𝑛)𝑛∈𝑁en ℝ+ 0, con 𝑡𝑛←→ ∞, y (𝑥𝑛)𝑛∈ℕen 𝐵. Ahora, dado 𝑡≥0cualquiera, escogiendo un natural 𝑛(𝑡)de modo que 𝑡𝑛≥𝑡para 𝑛≥𝑛(𝑡), se ve fácilmente que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∈𝛾𝑡(𝐵)toda vez que 𝑛≥𝑛(𝑡), de donde resulta que 𝑥∈𝛾𝑡(𝐵), y de la arbitrariedad con la que fue tomado 𝑡≥0, concluimos que 𝑥∈⋂𝑡≥0𝛾+ 𝑡(𝐵), es decir, 𝑥∈𝜔(𝐵)y el lema queda demostrado. A continuación veamos una característica acerca del conjunto 𝜔-límite que nos será de mucha utilidad. 1. atractores globales y problemas autónomos 13 Proposición 1.2.Sea 𝐵 ⊆ 𝑋. Si para algún 𝑡0>0el conjunto ⋃ 𝑡≥𝑡0 𝑇(𝑡)𝐵 es compacto, entonces 𝜔(𝐵)es no vacío, compacto e invariante. Demostración. Para 𝑡≥0tenemos que los conjuntos 𝐵(𝑡) = ⋃ 𝑠⩾𝑡 𝑇(𝑠)𝐵 son una familia de compactos encajados, por tanto tienen intersección no vacía y compacta. Así, 𝜔(𝐵)es no vacío y compacto si usamos la caracterización en (1.1). Para demostrar la invarianza del conjunto, usaremos la caracterización en (1.2). Sea 𝑇(𝑡)𝑦∈𝑇(𝑡)𝜔(𝐵)con 𝑦∈𝜔(𝐵); existen dos sucesiones {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝐵 y𝑡𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞ de modo que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛converge a 𝑦. Basta aplicar ahora el semigrupo, obteniendo 𝑇(𝑡)𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑇(𝑡+𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑇(𝜏𝑛)𝑥𝑛. Como 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛converge a 𝑦, tenemos que 𝑇(𝜏𝑛)𝑥𝑛converge a 𝑇(𝑡)𝑦y por tanto está en 𝜔(𝐵). Con lo que hemos probado que 𝑇(𝑡)𝜔(𝐵)⊆ 𝜔(𝐵). Tomemos ahora un elemento 𝑦∈𝜔(𝐵). Por definición, existirán unos 𝑡𝑛que convergen a infinito y unos {𝑥𝑛∈𝐵tales que 𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑦. Sea ahora 𝑛0∈ℕtal que 𝑡𝑛⩾𝑡+𝑡0, para todo 𝑛>𝑛0. Por tanto, {𝑇(𝑡𝑛−𝑡)𝑥𝑛}⊆ 𝐵(𝑡) = ⋃ 𝑠⩾𝑡0 𝑇(𝑠)𝐵. Al ser este conjunto compacto por hipótesis, existe una subsucesión convergente (que denotaremos igual) a un punto 𝑧, el cual está en 𝜔(𝐵)por (1.2). Por continuidad del semigrupo, 𝑦=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛=𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑇(𝑡𝑛−𝑡)𝑥𝑛=𝑇(𝑡)𝑧. (1.3) Por tanto, tenemos que 𝑦∈𝑇(𝑡)𝜔(𝐵), y por consiguiente el doble contenido. 14 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Definición 1.8. Llamaremos solución global para el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} en 𝑋(o también órbita completa) a toda familia {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ}tal que cualquier 𝑡∈ℝ, 𝜉(𝑡) = 𝑇(𝑡+𝑠)𝜉(𝑠)para todo 𝑠<𝑡. Es muy sencillo ver a partir del lema 1.1que, si 𝐵 ⊂ 𝐶 entonces 𝜔(𝐵)⊂ 𝜔 (𝐶) y si 𝜉∶ℝ←→ 𝑋es una solución global de 𝑇(⋅)se tiene que 𝜔(𝜉(𝑡)) =𝜔(𝜉(𝑠)) para cualesquiera 𝑠, 𝑡 ∈ℝ En algunos casos podemos tratar un concepto semejante al de conjunto 𝜔-límite, pero donde el tiempo transcurre hacia atrás, definiendo lo que se conoce como conjunto 𝛼-límite asociados a una solución (es decir, no consideraremos conjuntos 𝛼-límites asociados a un subconjunto arbitrario 𝐵de 𝑋). Definición 1.9. Sea 𝜉∶ℝ←→ 𝑋una solución global del semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Definimos su conjunto 𝛼-límite como: 𝛼(𝜉)∶= {𝑥∈𝑋∶exsite (𝑡𝑛)𝑛∈ℕen ℝcon 𝑡𝑛←→ −∞ tal que 𝑥= l ım 𝑛←→∞𝜉(𝑡𝑛)} Las principales propiedades de los conjuntos 𝜔-límites necesarias en el estudio de los atractores globales se verifican siempre para los semigrupos asintóticamente compactos. Definición 1.10. Diremos que el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es asintóticamente compacto si para cualesquiera sucesiones {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝑋 acotada y 𝑡𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞existe una subsucesión convergente a un punto de 𝑋de la sucesión {𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛}𝑛∈ℕ. Definición 1.11. Se dice que un semigrupo no lineal {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} en un espacio métrico 𝑋es eventualmente compacto, si existe un 𝑡0>0tal que la aplicación 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋←→ 𝑋es una aplicación compacta, es decir, si para cada subconjunto acotado 𝐵de 𝑋 su imagen por 𝑇(𝑡0),𝑇(𝑡0)𝐵, es un conjunto relativamente compacto de 𝑋. Supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es un semigrupo eventualmente compacto y sea 𝑡0>0tal que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋←→ 𝑋es una aplicación compacta. Entonces, del hecho de que una aplicación continua transforma conjuntos compactos en conjuntos compactos y de la propiedad de semigrupo, se deduce que para todo 𝑡≥𝑡0,𝑇(𝑡) ∶ 𝑋←→ 𝑋es una aplicación compacta, pues 𝑇(𝑡) = 𝑇(𝑡−𝑡0)𝑇(𝑡0). Para ver que un semigrupo eventualmente compacto {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} y eventualmente acotado es asintóticamente compacto, sean (𝑡𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión de números con 𝑡𝑛→∞y(𝑥𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión acotada de puntos de 𝑋. Sea, por la compacidad 1. atractores globales y problemas autónomos 15 eventual, 𝑡0>0tal que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋→𝑋es una aplicación compacta y, por la acotación eventual de 𝑇(⋅),𝜏≥0de manera que la semiórbita, 𝛾+ 𝜏(𝐵0), del subconjunto acotado 𝐵0∶= {𝑥𝑛∶𝑛∈ℕ}, es acotada. Finalmente, escogiendo un número real 𝑡′> 𝑡0+𝜏, consideremos 𝑛0∈ℕtal que 𝑡𝑛≥𝑡′para todo 𝑛≥𝑛0. Definiendo el conjunto acotado 𝐵∶= {𝑇(𝑡𝑛−𝑡′)𝑥𝑛∶𝑛≥𝑛0}⊂ 𝛾+ 𝜏(𝐵0), de la observación que sigue a la definición de compacto eventual, resulta inmediato que 𝑇(𝑡′)𝐵es relativamente compacto y siendo {𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∶𝑛≥𝑛0}un subconjunto de 𝑇(𝑡′)𝐵, se sigue la conclusión. Presentamos ahora las principales propiedades de los conjuntos 𝜔-límites para semigrupos asintóticamente compactos, resumidas en el siguiente teorema. Teorema 1.1. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semigrupo asintóticamente compacto en un espacio métrico 𝑋. Para todo subconjunto acotado no vacío 𝐵 ⊂ 𝑋 se tiene que su conjunto 𝜔-límite satisface las siguientes propiedades: 1. 𝜔(𝐵)es no vacío, compacto, invariante y atrae a 𝐵por la acción de 𝑇(⋅). 2. 𝜔(𝐵)es el menor conjunto cerrado de 𝑋que atrae a 𝐵. 3. Si 𝐵es conexo o existe un conexo 𝐶que contiene a 𝐵y que es atraído por 𝜔(𝐵), entonces 𝜔(𝐵)es conexo. Demostración. 1. Para ver que 𝜔(𝐵)es no vacío, escojamos una sucesión cualquiera de números reales no negativos (𝑡𝑛)𝑛∈ℕcon 𝑡𝑛→∞y una sucesión cualquiera (𝑥𝑛)𝑛∈ℕde puntos de 𝐵. De la compacidad asintótica se deduce que la sucesión (𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛)𝑛∈ℕ posee una subsucesión convergente y el Lema (1.1) nos dice que este límite pertenece a 𝜔(𝐵). La compacidad se puede probar así. Sea (𝑥𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión de puntos en 𝜔(𝐵). Gracias al lema 1.1, a cada 𝑛∈ℕestá acotado un par de sucesiones (𝑡(𝑛) 𝑗)𝑗∈ℕ en ℝ+ 0, con 𝑡(𝑛) 𝑗←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑗→∞∞, y (𝑥(𝑛) 𝑗)𝑗∈ℕ en 𝐵tales que 𝑥𝑛= l ım𝑗→∞𝑇(𝑡(𝑛) 𝑗)𝑥(𝑛) 𝑗. De donde se puede concluir que, para cada natural 𝑛existe un natural 𝑗𝑛tal que 𝑑(𝑥𝑛, 𝑇 (𝑡(𝑛) 𝑗𝑛)𝑥(𝑛) 𝑗𝑛)<1 𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑡(𝑛) 𝑗𝑛≥𝑛. (1.4) Como 𝑡(𝑛) 𝑗𝑛 ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑛→∞∞, por la compacidad asintótica, podemos extraer una subsucesión convergente de (𝑇(𝑡(𝑛) 𝑗𝑛)𝑥(𝑛) 𝑗𝑛)𝑛∈ℕ , que vamos a denotar por (𝑇(𝑡(𝑛𝑘) 𝑗𝑛𝑘)𝑥(𝑛𝑘) 𝑗𝑛𝑘)𝑘∈ℕ 22 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. con 𝑚𝑖∶ℝ+→ℝ+,l ım 𝑡→∞𝑚1(𝑡)=0 donde definimos ‖𝐵‖𝑋=𝑠𝑢𝑝{‖𝑏‖𝑋∶𝑏∈𝐵}. 2. {𝑈(𝑡) ∶ 𝑡 > 0} son tales que para todo 𝐵 ⊆ 𝑋 acotado, existe un tiempo 𝑇(𝐵)>0 de forma que el conjunto {𝑈(𝑡)𝐵∶𝑡⩾𝑇(𝐵)} es relativamente compacto, es decir, dada una sucesión {𝑥𝑛}𝑛∈ℕ⊆ 𝐵 y𝑡𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞, existe una subsucesión convergente de {𝑈(𝑡𝑛)𝑥𝑛}𝑛∈ℕ. Entonces el semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} es asintóticamente compacto. Demostración. Sea 𝐵 ⊆ 𝑋 acotado. Por hipótesis, tenemos que {𝑇(𝑡)𝐵∶𝑡⩾0} es acotado. Veamos que el conjunto 𝐵1= {𝑇(𝑡𝑛)𝑥𝑛∶𝑛⩾1} con 𝑥𝑛∈𝐵y𝑡𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ∞ posee una subsucesión convergente. Para ello bastará con que el conjunto sea relativamente compacto por medio de la existencia de una 𝜖-malla finita, siendo 𝜖 > 0 cualquiera. Sea 𝜖 > 0y tomemos un 𝑙 > 𝑇 (𝐵)de forma que 𝑚1(𝑙)⩽𝜖 2𝑚2(‖⋃𝑡⩾0𝑇(𝑡)𝐵)‖, lo cual nos lo garantiza la condición de que la función 𝑚1(𝑡)vaya a cero cuando el tiempo va a infinito. Descomponemos 𝐵1en dos conjuntos 𝐵′ 1= {𝑇(𝑡𝑘)𝑥𝑘}𝑘1 𝑘=1,𝐵′′ 1= {𝑇(𝑡𝑘)𝑥𝑘}∞ 𝑘=𝑘+1 con 𝑡𝑘1< 𝑙 ⩽𝑡𝑘1+1, Tenemos que el conjunto 𝐵′′ 1es un subconjunto del conjunto acotado 𝑇(𝑙)({𝑇(𝑡)𝐵∶ 𝑡⩾0}). Aplicando ahora la descomposición del semigrupo a dicho conjunto obtenemos que el conjunto 𝑈(𝑙)({𝑇(𝑡)𝐵∶𝑡⩾0}) es relativamente compacto por hipótesis. Por tanto, podemos recubrirlo con una familia 𝜖 2-malla finitia. Por otro lado, la norma del operador 𝑊(𝑡)queda como ‖‖‖‖‖‖ 𝑊(𝑙)(⋃ 𝑡⩾0 𝑇(𝑡)𝐵)‖‖‖‖‖‖𝑋 ⩽𝑚1(𝑙)𝑚2(‖‖‖‖‖‖⋃ 𝑡⩾0 𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖‖‖‖𝑋) 1. atractores globales y problemas autónomos 23 ⩽𝜖 2𝑚2(‖‖‖⋃𝑡⩾0𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖𝑋)𝑚2(‖‖‖‖‖‖⋃ 𝑡⩾0 𝑇(𝑡)𝐵‖‖‖‖‖‖𝑋)=𝜖 2 Por consiguiente podemos recubrir al conjunto 𝐵1por una 𝜖-malla finita, llegando a la conclusión de que es precompacto. Teorema 1.5. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semigrupo no lineal en un espacio métrico 𝑋. Entonces, {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} posee atractor global 𝒜si y sólo si es asintóticamente compacto y disipativo. Además, en este caso, si denota la colección de todos los subconjuntos acotados no vacíos de 𝑋, entonces el atractor viene dado por 𝒜=⋃ 𝐵∈ 𝜔(𝐵)(1.9) Demostración. En primer lugar supongamos que existe el atractor global 𝒜para {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Entonces, como hemos visto en la Sección 1.2 sabemos que es disipativo. Para ver que también es asintóticamente compacto, sean {𝑥𝑛}𝑛∈ℕuna sucesión acotada de puntos de 𝑋y{𝑡𝑛}𝑛∈ℕuna sucesión de números no negativos con 𝑡𝑛→∞. Por un lado, considerando el conjunto acotado 𝐵∶= {𝑥𝑛∶𝑛∈ℕ}se tiene que l ım 𝑡→∞dist(𝑇(𝑡)𝐵, 𝒜)=0, y, en particular, para todo 𝑥′∈𝐵 l ım 𝑛→∞𝑑(𝑇(𝑡𝑛)𝑥′,𝒜)≤l ım 𝑛→∞dist(𝑇(𝑡𝑛)𝐵, 𝒜)=0.(1.10) Entonces, aplicando la de definición de límite de sucesiones en (1.10), para cada 𝑗∈ℕ se puede encontrar un punto 𝑧𝑗∈𝒜de manera que 𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑧𝑗)<1 𝑗.(1.11) Ahora, como 𝒜es un conjunto compacto, la sucesión {𝑧𝑗}𝑗∈ℕposee una subsucesión convergente. Denotando dicha subsucesión de la misma manera, sea 𝑥∈𝒜su límite. Entonces por (1.11), 𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑥)≤𝑑(𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗, 𝑧𝑗)+𝑑(𝑧𝑗, 𝑥)<1 𝑗+𝑑(𝑧𝑗, 𝑥), es decir, 𝑇(𝑡𝑛𝑗)𝑥𝑛𝑗←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑗→∞𝑥, probando la compacidad asintótica de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Recíprocamente, supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es asintóticamente compacto y disipativo. Sea 𝒜∶= ⋃ 𝐵∈ 𝜔(𝐵) 24 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. el conjunto definido en (1.9) y probemos que 𝒜es, efectivamente, el atractor global de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. En primer lugar, notemos gracias al Teorema 1.1, para cada 𝐵∈, el conjunto 𝜔(𝐵)es no vacío, compacto, invariante y atrae a 𝐵por la acción de 𝑇(⋅). De ahí, vemos que 𝒜es invariante, por ser unión de conjuntos invariantes, y además, atrae a todos los acotados de 𝑋por medio de 𝑇(⋅). Luego, el teorema quedará demostrado en cuanto probemos la compacidad de 𝒜, lo que haremos usando la disipatividad de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. En efecto, sea 𝐷 ⊂ 𝑋 un subconjunto acotado que absorbe a todos los subconjuntos acotados de 𝑋por medio de 𝑇(⋅). Tomando la clausura de 𝐷, si hiciera falta, podemos suponer que 𝐷es cerrado, entonces su propiedad de absorción junto con la propiedad (2.) en el Teorema 1.1, nos dicen que 𝜔(𝐵)⊂ 𝐷 para todo 𝐵∈. Luego 𝒜⊂ 𝐷 y por tanto 𝒜⊂ 𝐷 lo que implica que 𝜔(𝒜)⊂ 𝜔(𝐷). Como 𝒜es invariante se tiene que 𝒜⊂ 𝜔(𝐷)y así se puede concluir la cadena de inclusiones 𝒜⊂ 𝜔(𝒜)⊂ 𝜔(𝐷)⊂𝒜, y consecuentemente 𝜔(𝐷) = 𝒜, concluyendo la compacidad de 𝒜, teniendo en cuenta el Teorema 1.1. 1.5 Las ecuaciones de Lorenz A continuación vamos a ver un ejemplo clásico de existencia de atractor global. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥′= −𝜎𝑥 +𝜎𝑦 𝑦′=𝑟𝑥 −𝑦−𝑥𝑧 𝑧′=𝑥𝑦 −𝑏𝑧, (1.12) con 𝜎,𝑟y𝑏constantes positivas. Como estamos en ℝ3los conjuntos cerrados y acotados son compactos, por lo tanto sólo necesitamos encontrar un conjunto cerrado, acotado y absorbente para probar la existencia del atractor global. Veamos que existe una bola centrada en (0,0, 𝑟 +𝜎) suficientemente grande que absorbe cualquier solución del sistema (1.5). 1. atractores globales y problemas autónomos 25 Consideramos la función 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2+𝑦2+ (𝑧−𝑟−𝜎)2. Si consideramos ahora 𝑉(𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), donde (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) es una solución de la ecuación de Lorenz, su derivada temporal es 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑥′+2𝑦𝑦′+2(𝑧𝑟−𝜎)𝑧′= −2𝜎𝑥2−2𝑦2−2𝑏𝑧2+2𝑏(𝑟+𝜎)𝑧⩽−𝛼𝑉 +𝑏(𝑟+𝜎)2 donde 𝛼= m ın (2𝜎, 𝑏, 2). Aplicando la desigualdad de Gronwall, 𝑉(𝑡)⩽(𝑉0−𝑏(𝑟+𝜎)2 𝛼)𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2 𝛼⩽𝑉0𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2 𝛼,(1.13) siendo 𝑉0=𝑉(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)los datos iniciales del problema. Tenemos que si |𝑧|< 𝑟 +𝜎, entonces ‖(𝑥, 𝑦, 𝑧)‖ℝ3⩽𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧), por lo tanto ‖(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))‖ℝ3⩽𝑉0𝑒−𝛼𝑡 +2𝑏(𝑟+𝜎)2 𝛼. Por consiguiente, si consideramos la bola 𝐵de centro (0,0, 𝑟 +𝜎)y radio 𝜀+2𝑏(𝑟+𝜎)2 𝛼 (con 𝜀 > 0), tenemos que cuando una solución entra en esta bola, permanece en ella para todo tiempo posterior. Por otro lado, si la solución comienza fuera de dicha bola, debido a (1.13), el valor de 𝑉(𝑡)irá disminuyendo hasta que la solución entre de nuevo en 𝐵. La Figura 1.5 nos muestra el espacio de fases de este problema, donde podemos ver la estructura del atractor global para unos valores concretos de los parámetros. En este caso, el espacio de fases es ℝ3, en el cual no representamos la variable temporal, sino únicamente los valores de los puntos (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). Para mayor comprensión mostraremos también las trayectorias de las soluciones de la solución del sistema (1.12) Los códigos que hemos usado vienen explicados en el Anexo. 26 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Figura 1.1: Atractor de Lorenz para el sistema (1.12) con valores 𝜎= 10,𝑟= 28 y 𝑏=8 3y con valor inicial (-1,3,-1). Podemos observar la clásica estructura de alas de mariposa con una compleja estructura. En realidad, se trata de un conjunto fractal. 1. atractores globales y problemas autónomos 27 Figura 1.2: Trayectorias de Lorenz para el sistema (1.12) con valores 𝜎= 10,𝑟= 28 y𝑏=8 3y con valor inicial (-1,3,-1). 2 Semigrupos Gradientes Presentaremos en este capítulo la clase de semigrupos que va a ser el objetivo de nuestros resultados posterioremente, y que consiste en caracterizar los sistemas por medio de su dinámica. La dinámica de los semigrupos gradientes queda descrita por medio de una función auxiliar llamada función de Lyapunov, que posee propiedades muy particulares y, por eso, sugiere que la clase de los sistemas gradientes debe componer una clase bastante notable de sistemas. En este capítulo nos proponemos mostrar que, efectivamente, estos sistemas poseen una dinámica que permite ser comprendida de manera bastante detallada. 2.1 Definición de semigrupo gradiente Recordemos que, dados un subcojunto 𝐴⊂𝑋y un número positivo 𝜖 > 0, su 𝜖-entorno, denotado por 𝒪𝜖(𝐴), es la unión de todas las bolas abiertas centradas en sus puntos y poseyendo radio 𝜖, es decir, 𝒪𝜖(𝐴) ∶= ⋃ 𝑎∈𝐴 𝐵(𝑎;𝜖)={𝑥∈𝑋∶𝑑(𝑥, 𝐴)< 𝜖}. Definición 2.1. Sea {𝑇(𝑡)}𝑡≥0un semigrupo no lineal en un espacio métrico 𝑋y𝐸 un conjunto invariante. a) Se dice que 𝐸es un invariante aislado si existe 𝛿tal que 𝐸es el invariante maximal en 𝒪𝛿(𝐸), es decir, si 𝐹es un conjunto invariante en 𝒪𝛿(𝐸), entonces 𝐹 ⊂ 𝐸. b) Se dice que 𝔼= {𝐸1,⋯, 𝐸𝑛}es una familia disjunta de conjuntos invariantes aislados si cada 𝐸𝑖es un conjunto invariante aislado según (𝑎)y existe 𝛿 > 0tal que 𝒪𝛿(𝐸𝑖)⋂𝒪𝛿(𝐸𝑗) = ∅ ∀𝑖, 𝑗 ∈ {1 ⋯𝑛}𝑖≠𝑗 30 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Observación 2.1.Si 𝐸es un conjunto invariante, 𝐸 ⊂ 𝐴. Además, 𝐸es también invariante. En efecto, 𝑥= l ım 𝑛→∞𝑥𝑛, 𝑥𝑛∈𝐸, 𝑇 (𝑡)𝑥=𝑇(𝑡) l ım 𝑛→∞𝑥𝑛 Como 𝑥∈𝐸⇒𝑇(𝑡)𝑥∈𝐸, luego l ım 𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑥𝑛∈𝐸con esto llegamos a que 𝑇(𝑡)𝐸 ⊆ 𝐸 Como 𝑥∈𝐸,𝑥= l ım 𝑛→∞𝑥𝑛, luego 𝑥𝑛∈𝐸tenemos que 𝑥𝑛=𝑇(𝑡)𝑦𝑛, con lo que 𝑦𝑛∈𝐸. Sabemos que 𝑥= l ım 𝑛→∞𝑇(𝑡)𝑦𝑛=𝑇(𝑡)l ım 𝑛→∞𝑦𝑛, luego llegamos a que 𝑦∈𝐸 𝑥∈𝑇(𝑡)𝐸 𝐸 ⊆ 𝑇 (𝑡)𝐸}⇒𝐸=𝑇(𝑡)𝐸 Por lo tanto, los invariantes aislados acotados son cerrados. Definición 2.2. Diremos que una solución global 𝜉∶ℝ→𝑋es una solución estacionaria o un punto de equilibrio de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} cuando es una aplicación constante, es decir, cuando es de la forma 𝜉(𝑡) = 𝑧∗para todo real 𝑡y un cierto punto 𝑧∗∈𝑋. Definición 2.3. Sea 𝔼= {𝐸1,…, 𝐸𝑛}una familia disjunta de invariantes aislados. Diremos que {𝑇(𝑡)}𝑡≥0es un semigrupo gradiente generalizado respecto de 𝐸si existe una función 𝑉∶𝑋→ℝque satisface 1. 𝑉∶𝑋→ℝes continua 2. 𝑉es no creciente a lo largo de las soluciones, es decir, para todo 𝑥∈𝑋 [0,∞] →ℝ 𝑡→𝑉(𝑇(𝑡)𝑥) es no creciente 3. Si para algún 𝑥∈𝑋se tiene que 𝑉(𝑇(𝑡)𝑥) = 𝑉(𝑥) ∀𝑡≥0, entonces 𝑥∈𝐸𝑖para algún 𝐸𝑖∈𝔼donde 𝑖∈ {1,…, 𝑛} 4. 𝑉∶𝑋→ℝes constante sobre cada 𝐸𝑖∈𝔼, es decir, ∃𝐿𝑖∈ℝ, tal que 𝑉(𝑥) = 𝐿𝑖, ∀𝑥∈𝐸𝑖donde 𝑖∈ {1,…, 𝑛}. A𝑉∶𝑋→ℝse le denomina función de Lyapunov generalizada. En el caso en que 𝔼= {𝑧∗ 1,…, 𝑧∗ 𝑛}sean equilibrios, se dice que {𝑇(𝑡)}𝑡≥0es un semigrupo gradiente y la función 𝑉∶𝑋→ℝes una función de Lyapunov. 2. semigrupos gradientes 31 Ejemplo 2.1.Sea 𝑁∈ℕ,𝑓∈𝐶2(ℝ𝑁;ℝ). Consideremos el (𝑃 𝐶) {𝑥′= −∇𝑓(𝑥), 𝑡 > 0 𝑥(0) = 𝑥0∈ℝ𝑁(2.1) Tenemos que 𝑥(𝑡) = (𝑥1(𝑡),…, 𝑥𝑁(𝑡)) siendo ∇𝑓(𝑥) = (𝜕𝑓 𝜕𝑥1 (𝑥),…,𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑁(𝑥))el gradiente de 𝑓en 𝑥 Supongamos que l ım |𝑥|→∞𝑓(𝑥)=∞, con ∇𝑓∶ℝ𝑁→ℝ𝑁,(∇𝑓∶𝑥→∇𝑓(𝑥))que en 𝐶1es localmente Lipschitziana, luego existe solución global única y podemos definir 𝑇(𝑡) ∶ ℝ𝑁→ℝ𝑁𝑇(𝑡)𝑥0solución de (2.1) Supongamos que ∇𝑓∶ℝ𝑁→ℝ𝑁posee un número finito de ceros en ℝ𝑁, ∇𝑓(𝑧∗)=0que denotamos por 𝔼= {𝑧∗ 1,…, 𝑧∗ 𝑛} Lema 2.1.𝑓∶ℝ𝑁→ℝes una función de Lyapunov para el semigrupo {𝑇(𝑡)}𝑡≥0 Demostración. 1. 𝑓∶ℝ𝑁→ℝes continua, ya que es de clase 𝐶1, y 𝔼= {𝑧∗ 1,…, 𝑧∗ 𝑛}es el conjunto de todos los puntos de equilibrio de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0}. Luego también se verifica la propiedad (4) de la Definición 2.3. Por tanto sólo hace falta probar las propiedades (2) y(3). 2. En efecto, dado 𝑥0∈ℝ𝑁, tenemos que la función real [0,∞) ∋ 𝑡→𝑓(𝑇(𝑡)𝑥0) = 𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ∈ ℝes de clase 𝐶1y entonces, la regla de la cadena y el hecho de que 𝑥(⋅, 𝑥0) ∶ [0,∞) →ℝ𝑁es la solución del problema (2.1) nos conducen a que, para todo 𝑡 > 0, 𝑑 𝑑𝑡(𝑓◦𝑥(⋅, 𝑥0))(𝑡)=∇𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ⋅𝑥(𝑡, 𝑥0)=−||∇𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0))||2≤0,(2.2) donde el punto "⋅" representa el producto escalar euclídeo en ℝ𝑁y|⋅|su norma correspondiente. La igualdad (2.2) implica que la derivada de la función [0,∞) ∋ 𝑡→𝑓(𝑇(𝑡)𝑥0) = 𝑓(𝑥(𝑡, 𝑥0)) ∈ ℝ 38 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. que 𝑇0(⋅)es dinámicamente gradiente, se sigue la existencia de un invariante aislado 𝐸𝑖0,0∈𝔼0tal que l ım 𝑡→∞𝑑(𝜉0(𝑡), 𝐸𝑖0,0)=0. Entonces, dado 𝑟∈ℕ(con 1 𝑟< 𝛿) existen 𝑘𝑟∈ℕy𝑡𝑟∈ℝde forma que 𝑑(𝜉𝑘, 𝐸𝑖0,0)<1 𝑟siempre que 𝑘≥𝑘𝑟 y, debido a (2.7), se tiene la existencia de 𝑡′ 𝑟> 𝑡𝑟tal que, por el Teorema del Valor intermedio, llegamos a que 𝑑(𝜉𝑘𝑟(𝑡), 𝐸𝑖0,0)< 𝛿 para todo 𝑡∈ [𝑡𝑟, 𝑡′ 𝑟) y 𝑑(𝜉𝑘𝑟(𝑡′ 𝑟), 𝐸𝑖0,0) = 𝛿. Como 𝑡′ 𝑟−𝑡𝑟→∞, podemos suponer la existencia de una solución global 𝜉1∶ ℝ→𝑋para 𝑇0(⋅)tal que, poniendo 𝜉1 𝑟(𝑡) ∶= 𝜉𝑘𝑟(𝑡+𝑡′ 𝑟)con 𝑡∈ [−(𝑡′ 𝑟−𝑡𝑟),∞), se tiene que 𝜉1 𝑟(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑟→∞𝜉1(𝑡)uniformemente para 𝑡en compactos de la recta. Por la forma en la que 𝜉1∶ℝ→𝑋fue construida debemos tener 𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖0,0)≥𝛿siempre que 𝑡≤0, y la propiedad (G1) del semigrupo de tipo gradiente 𝑇0(⋅)junto con la forma en la que 𝛿0fue escogido, aseguran que, necesariamente, l ım 𝑡→−∞ 𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖0,0)=0 y como 𝑑(𝜉1(0), 𝐸𝑖0,0) = 𝛿, (G1) y (G2) obligan a que l ım 𝑡→∞𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖1,0)=0,(2.8) para un cierto invariante aislado 𝐸𝑖1,0∈𝔼0con 𝑖1≠𝑖0. Ahora, como 𝜉1 𝑟(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑟→∞𝜉1(𝑡)uniformemente para 𝑡en compactos de ℝ, de (2.8) se deduce que para 𝑚∈ℕ(con 1 𝑚< 𝛿) podemos encontrar un 𝑟𝑚∈ℕy un 𝑡𝑚∈ℝ tales que 𝑑(𝜉1 𝑟𝑚(𝑡𝑚), 𝐸𝑖1,0)<1 𝑚siempre que 𝑟≥𝑟𝑚 2. semigrupos gradientes 39 y de (2.7), igualmente al caso anterior, se sigue la existencia de 𝑡′ 𝑚> 𝑡𝑚de modo que 𝑑(𝜉1 𝑟𝑚(𝑡), 𝐸𝑖1,0)< 𝛿 para todo 𝑡∈ [𝑡𝑚, 𝑡′ 𝑚) y 𝑑(𝜉1 𝑟𝑚(𝑡′ 𝑚), 𝐸𝑖1,0) = 𝛿. De forma análoga a lo que hemos hecho en el caso anterior, como 𝑡′ 𝑚−𝑡𝑚→∞, podemos suponer la existencia de una solución global 𝜉2∶ℝ→𝑋para todo 𝑇0(⋅), tal que, definiendo 𝜉2 𝑚(𝑡) ∶= 𝜉𝑟𝑚(𝑡+𝑡′ 𝑚)con 𝑡∈ [−(𝑡′ 𝑚−𝑡𝑚),∞), se tiene que 𝜉2 𝑚(𝑡)←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑚→∞ 𝜉2(𝑡)uniformemente para 𝑡en compactos de la recta. Debido a la construcción de 𝜉2∶ℝ→𝑋debemos tener 𝑑(𝜉2(𝑡), 𝐸𝑖0,0)≥𝛿siempre que 𝑡≤0, y la propiedad (G1) que posee el semigrupo de tipo gradiente 𝑇0(⋅)conjuntamente con la manera en la que 𝛿0fue elegido, implican que, necesariamente l ım 𝑡→−∞ 𝑑(𝜉2(𝑡), 𝐸𝑖1,0)=0, y como 𝑑(𝜉2(0), 𝐸𝑖1,0) = 𝛿, (G1) y (G2) obligan a que l ım 𝑡→∞𝑑(𝜉1(𝑡), 𝐸𝑖2,0)=0, para un cierto invariante aislado 𝐸12,0∈𝔼0con 𝑖2≠𝑖1. Observemos ahora que, si ocurriera 𝑖2=𝑖0, habríamos obtenido una estructura homoclina en el atractor del semigrupo dinámicamente gradiente 𝑇0(⋅), lo que evidentemente no es posible. Luego podemos repetir todo este razonamiento, lo cual deberá parar tras un número finito de pasos ya que 𝔼0es finito, y como vimos que estamos obligados a encontrar una estructura homoclina en el atractor de 𝑇0(⋅)lo que es una contradicción y así vemos que nuestra afirmación inicial es cierta. De manera análoga a como hemos hecho, cambiando el sentido hacia donde se mueve el tiempo podemos probar la siguiente afirmación: Existe 𝜂2∈ (0, 𝜂1](donde 𝜂1satisface lo que acabamos de probar en el análisis anterior) tal que para 𝜂∈ [0, 𝜂2]si 𝜉𝑛∶ℝ→𝑋es solución global para 𝑇𝜂(⋅), entonces existe 𝑡0∈ℝde modo que sup 𝑡≤𝑡0 𝑑(𝜉𝑛(𝑡),𝔼0)< 𝛿, 40 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. donde 𝛿 > 0se obtiene, igual que antes, a partir de las hipótesis (b), entonces, simplemente de la maximalidad de los invariantes, se obtiene que l ım 𝑡→−∞ 𝑑(𝜉𝜂(𝑡),𝔼𝜂)=0, lo que establecerá la estabilidad de (G1). A continuación probemos que existe 𝜂0∈ (0, 𝜂2](𝜂2>0es la estabilidad de (G1) se cumple, por lo que probamos anterioremente) tal que para todo 𝜂∈ [0, 𝜂0]el atractor del semigrupo 𝑇𝜂(⋅)no posee estructuras homoclinas. En caso contrario, debido a que los conjuntos 𝔼𝜂son finitos y poseen el mismo número de elementos, se concluye la existencia una sucesión 𝜂𝑘→0+, una sucesión {𝔼′ 𝑘}𝑘∈ℕde colecciones de conjuntos con 𝔼′ 𝑘∶= {𝐸𝑙1,𝜂𝑘,…, 𝐸𝑙𝑝,𝜂𝑘}⊂𝔼𝜂𝑘para todo natural 𝑘, y una sucesión de conjuntos de soluciones {𝜉𝑘,𝑗 ∶ℝ→𝑋∶ 1 ≤𝑗≤𝑝}𝑘∈ℕ tales que para cada natural 𝑘y cada 𝑗= 1,2,…, 𝑝,𝜉𝑘,𝑗 es solución global de 𝑇𝜂𝑘(⋅) cumpliendo, para cada natural 𝑘y𝑗= 1,…, 𝑝 l ım 𝑡→−∞ 𝑑(𝜉𝑘,𝑗(𝑡), 𝐸𝑙𝑗,𝜂𝑘)= 0 yl ım 𝑡→∞𝑑(𝜉𝑘,𝑗, 𝐸𝑙(𝑗+1),𝜂𝑘)= 0, donde para cada 𝑘hemos puesto 𝐸𝑙(𝑝+1),𝜂𝑘∶= 𝐸𝑙1,𝜂𝑘. Cambiando a una sucesión, si hicera falta, podemos suponer que para cada natural 𝑘y cada 𝑗= 1,2,…, 𝑝 existe un real 𝑡𝑗 𝑘de manera que 𝑑(𝜉𝑘,𝑗 (𝑡𝑗 𝑘), 𝐸𝑙𝑗,0)<1 𝑘 y, observando que, según la prueba de estabilidad de (G1) obligatoriamente 𝐸𝑙𝑗,𝜂𝑘≠ 𝐸𝑙(𝑗+1),𝜂𝑘para todo 𝑘y todo 𝑗, vemos que existe también 𝑡𝑗 𝑘’> 𝑡𝑗 𝑘de modo que 𝑑(𝜉𝑘,𝑗(𝑡), 𝐸𝑙𝑗,0)< 𝛿 siempre que 𝑡∈ [𝑡𝑗 𝑘, 𝑡𝑗 𝑘’) y 𝑑(𝜉𝑘,𝑗 (𝑡𝑗 𝑘’), 𝐸𝑙𝑗,0)=𝛿. Vemos que hemos creado todas las condiciones para poner en marcha el mismo argumento que hemos usado para concluir la estabilidad de (G1) y con esto queda demostrado el Teorema. 2. semigrupos gradientes 41 2.4 Existencia de atractores para semigrupos gradientes A continuación plantearemos un resultado sobre existencia de atractor en el caso en que el semigrupo es gradiente. Teorema 2.5. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semigrupo gradiente generalizado respecto de una familia disjunta de conjuntos invariantes aislados acotados 𝔼∶= {𝐸1,…, 𝐸𝑛}. Si {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es un semigrupo eventualmente compacto y eventualmente acotado, entonces posee atractor global. Demostración. Puesto que los semigrupos eventualmente compactos y eventualmente acotados son asintóticamente compactos, el teorema quedará demostrado gracias al Teorema 1.5, simplemente probando que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡≥0} es disipativo. En efecto, sea 𝐷0∶= 𝑛 ⋃ 𝑗=1 𝒪1(𝐸𝑗). Entonces, 𝐷0es acotado, ya que cada 𝐸∈𝑆lo es. Como 𝑇(⋅)es eventualmente acotado, existe 𝜏∗≥0tal que el conjunto 𝐷∶= 𝛾+ 𝜏∗(𝐷0) es acotado. Con estas condiciones, vamos a probar que 𝐷cumple la condición de disipatividad. En primer lugar, notemos que, usando la compacidad y la acotación eventual de 𝑇(⋅), y un argumento enteramente análogo al de la demostración de la Proposición 2.1, se concluye que 𝐷0tiene la propiedad de absorber a todos los puntos de 𝑋por medio de 𝑇(⋅), es decir, para cada punto de 𝑥∈𝑋existe 𝜏𝑥≥0de manera que 𝑇(𝑥)𝑥∈𝐷0para todo 𝑡≥𝜏𝑥(2.9) Por un lado, dado 𝐾 ⊂ 𝑋 un conjunto compacto, para cada 𝑥∈𝐾sea 𝜏𝑥≥0 tal que se cumpla (2.9). Como 𝐷0es un conjunto abierto, para cada 𝑥∈𝐾, por la continuidad del operador 𝑇(𝜏𝑥) ∶ 𝑋→𝑋, sea 𝛿𝑥>0de manera que 𝑇(𝜏𝑥)𝒪𝛿𝑥(𝑥)⊂ 𝐷0. 42 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Por lo tanto, la definición del conjunto 𝐷nos muestra que 𝑇(𝑡)𝒪𝛿𝑥(𝑥)⊂ 𝐷 para todo 𝑡≥𝜏𝑥+𝜏∗.(2.10) Por la compacidad de 𝐾, sean 𝑥1, 𝑥2,⋯, 𝑥𝑝,una cantidad finita de puntos de 𝐾, de modo que poniendo para cada 𝑗= 1,2,⋯, 𝑝, por simplicidad, 𝛿𝑗∶= 𝛿𝑥𝑗y𝜏𝑗=𝜏𝑥𝑗, se tiene 𝐾 ⊂ 𝑝 ⋃ 𝑗=1 𝒪𝛿𝑗(𝑥𝑗). Usando esto junto con (2.10) vemos que si 𝜏𝐾∶= m ax1≥𝑗≥𝑝𝜏𝑗entonces 𝑇(𝑡)𝐾 ⊂ 𝐷 para todo 𝑡≥𝜏∗+𝜏𝐾.(2.11) Finalmente, por la compacidad eventual de 𝑇(⋅), sabemos que existe 𝑡0>0de modo que 𝑇(𝑡0) ∶ 𝑋→𝑋es una aplicación compacta. Entonces, dado un acotado 𝐵 ⊂ 𝑋 cualquiera tenemos que el conjunto 𝐾∶= 𝑇(𝑡0)𝐵es un compacto que contiene a𝑇(𝑡0)𝐵y entonces (2.11) nos dice que 𝑇(𝑡)𝑇(𝑡0)𝐵 ⊂ 𝑇 (𝑡)𝐾 ⊂ 𝐷 para todo 𝑡≥𝜏∗+𝜏𝐾. Luego, poniendo 𝜏(𝐵) ∶= 𝑡0+𝜏𝐾+𝜏∗, concluimos que 𝑇(𝑡)𝐵 ⊂ 𝐷 para todo 𝑡≥𝜏(𝐵) lo que demuestra que, efectivamente, 𝐷es un acotado que absorbe a todos los subconjuntos acotados de 𝑋por la acción de 𝑇(⋅), y consecuentemente, 𝑇(⋅)es disipativo. A continuación veremos cómo relacionar el atractor global con las variedades inestables de los puntos de equilibrio del sistema. Pero antes veamos que todas las soluciones globales acotadas están en el atractor. Teorema 2.6. Sea {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} un semigrupo en 𝑋y supongamos que posee atractor global 𝒜. Entonces, 𝒜es unión de todas las soluciones globales acotadas. Demostración. La demostración de este teorema es directa ya que el atractor global es el acotado invariante maximal en 𝑋y el conjunto {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ}es un invariante acotado. Que por cada punto del atractor pasa una solución global acotada es consecuencia de la invarianza del mismo. Teorema 2.7. Sea 𝐾 ⊆ 𝑋 un compacto invariante, entonces tenemos que 𝑊𝑢(𝐾)⊆ 𝒜. 2. semigrupos gradientes 43 Demostración. Sea 𝑥∈𝑊𝑢(𝐾). Por definición, 𝑥está en una solución global acotada que llamaremos 𝜉(𝑡). Sabemos que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(−𝑡), 𝐾)y𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(𝑡),𝒜)tienden a cero cuando 𝑡→∞, por tanto la órbita es acotada y, por el Teorema 2.6, la solución global 𝜉(𝑡)está en el atractor. Consideremos ahora las concreciones cuando 𝐸está formado por puntos estacionarios. Proposición 2.2.Sea 𝐸el conjunto de los puntos fijos del semigrupo {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} y supongamos que dicho semigrupo posee una función de Lyapunov en un conjunto  𝐵 que es positivamente invariante y absorbente. Entonces 𝜔(𝑢0)⊆ 𝐸, para todo 𝑢0∈𝑋. En particular, si 𝑋es conexo y 𝐸es discreto, 𝜔(𝑢0) ∈ 𝐸. Demostración. Para cada 𝑢0∈𝑋, existe un 𝑡0de modo que 𝑢1=𝑇(𝑡0)𝑢0∈ 𝐵. Como 𝜔(𝑢0) = 𝜔(𝑢1), considerando la trayectoria que empieza en 𝑢1,𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢1. Esto implica que 𝑢(𝑡) ∈  𝐵, para todo 𝑡⩾0y que 𝜔(𝑢0) = ⋂ 𝑠>0 {𝑇(𝑡)𝑢0∶𝑡⩾𝑠} es no vacío, compacto e invariante (Proposición 1.2. Por otro lado, Φes constante en el conjunto 𝜔(𝑢0)ya que, por 1. Φ|𝜔(𝑢0)= l ım 𝑡→∞Φ(𝑇(𝑡)𝑢0) =  ınf 𝑡∈ℝΦ(𝑇(𝑡)𝑢0). Este límite existe porque Φes acotada inferiormente al ser 𝑇(𝑡)𝑢0un subconjunto acotado Φy no creciente. Por la condición (2) de la Definición 2.3, el conjunto 𝜔(𝑢0) consiste sólo en puntos fijos de {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0}, es decir 𝜔(𝑢0)⊆ 𝐸. Si suponemos que 𝑋es conexo (por lo tanto lo es también el conjunto 𝜔-límite de 𝑢0) y 𝐸discreto, entonces 𝜔(𝑢0)sólo puede ser un punto. En el siguiente teorema se muestra cuál es la estructura del atractor cuando exista una función de Lyapunov. Teorema 2.8. Supongamos que {𝑇(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} tiene una función de Lyapunov Φen 𝒜. Entonces 𝒜=𝑊𝑢(𝐸).(2.12) Si además 𝒜es conexo y 𝐸es discreto, se tiene 𝒜=⋃ 𝑧∈𝜀 𝑊𝑢(𝑧)(2.13) 44 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Demostración. Para empezar demostremos que 𝑊𝑢(𝒜) = 𝒜. Gracias al Teorema 2.7, tenemos que 𝑊𝑢(𝒜)⊆𝒜. Para el recíproco, sea 𝑢∈𝒜, por tanto podemos definir una solución global {𝜉(𝑡) ∶ 𝑡∈ℝ}en la que se encuentre 𝑢. Como toda la solución está en el atractor (por ser invariante) tenemos que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝜉(−𝑡)𝑢, 𝒜)=0para todo tiempo 𝑡, por tanto 𝑢∈𝑊𝑢(𝒜). Tenemos que la inclusión 𝑊𝑢(𝜉)⊆𝒜se verifica siempre ya que 𝑊𝑢(𝜉)⊆ 𝑊 𝑢(𝒜) = 𝒜(2.14) Para ver el otro contenido vamos a definir el conjunto 𝛾(𝑢) = ⋂ 𝑠<0 {𝑇(𝑡)𝑢∶𝑡<𝑠} donde 𝑢es un punto del atractor. Vamos a intentar seguir un razonamiento similar al de la demostración del teorema anterior. Tenemos que, por construcción, 𝛾(𝑢)es un conjunto compacto, no vacío e invariante. En efecto, sea 𝑥∈𝛾, por tanto 𝑇(𝑡𝑘)𝑢𝑡𝑘→−∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑥. Aplicando ahora el semigrupo 𝑇(𝜏)𝑥=𝑇(𝜏) l ım 𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝑡𝑘)𝑢= l ım 𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝜏)𝑇(𝑡𝑘)𝑢= l ım 𝑡𝑘→−∞ 𝑇(𝜏+𝑡𝑘)𝑢=𝑥, por tanto 𝛾(𝑢)⊆𝒜. Vemos que la función Φes constante en 𝛾. Φ|𝛾(𝑢)= l ım 𝑡→−∞ 𝑇(𝑡)𝑢= sup 𝑡∈ℝ 𝑇(𝑡)𝑢, pues como 𝛾(𝑢)⊆𝒜,𝒜es un compacto y la función es no creciente, existe el supremo. Por tanto Φes constante y 𝛾(𝑢)⊆ 𝜉. Esto demuestra (2.12). Asumamos ahora que 𝐸es discreto y que 𝒜es conexo. De esto se deduce que 𝛾(𝑢) es conexo (al serlo 𝒜). Como 𝛾(𝑢)⊆ 𝜉 sólo puede ser un punto, obtenemos (2.13) Es importante conocer la dinámica del atractor pues nos dará información sobre la dinámica global. El siguiente resultado nos muestra cómo las trayectorias fuera del atractor crean una especia de "sombra" dentro de éste ya que se acercan tanto como queramos a ciertas trayectorias globales. 2. semigrupos gradientes 45 Proposición 2.3.Dada una trayectoria 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢0, un 𝜖 > 0y un tiempo 𝑇0>0, existe un tiempo 𝜏=𝜏(𝜖, 𝑇0)>0y un punto 𝑣0∈𝒜tales que ‖‖𝑢(𝜏+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣0‖‖𝑋⩽𝜖 para todo tiempo 𝑡que verifica 0⩽𝑡⩽𝑇0 Demostración. Como las trayectorias dependen de forma continua de los datos iniciales, dado un 𝜖y un 𝑇0positivos, existe un 𝛿(𝜖, 𝑇0)de forma que dado un 𝑢0∈𝑋 y un 𝑣0∈𝒜con ‖‖𝑢0−𝑣0‖‖𝑋< 𝛿,‖𝑢(𝑡) − 𝑣(𝑡)‖𝑋⩽𝜖. Como 𝒜es compacto y atractor, existe un tiempo 𝜏y un 𝑣0∈𝒜de forma que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑢(𝜏),𝒜) = ‖‖𝑢(𝜏) − 𝑣0‖‖< 𝛿. Como la trayectoria 𝑣(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑣0está en el atractor para todo tiempo, tenemos que ‖‖𝑢(𝜏+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣0‖‖𝑋⩽𝜖con 𝑡∈ [0, 𝑇0]. Corolario 2.1.Dada una trayectoria 𝑢(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑢, existe una sucesión {𝜖𝑛}∞ 𝑛=1 que tiende a cero, una sucesión de tiempos {𝑡𝑛}ℕcon 𝑡𝑛+1 −𝑡𝑛→∞cuando 𝑛→∞y una sucesión de puntos del atractor 𝒜,{𝑣𝑛}∞ 𝑛=1 de modo que ‖‖𝑢(𝑡) − 𝑇(𝑡−𝑡𝑛)𝑣𝑛‖‖𝑋⩽𝜖, (2.15) para todo 𝑡∈ [𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1]. Además los saltos ‖‖𝑣𝑛+1 −𝑇(𝑡𝑛+1 −𝑡𝑛)𝑣𝑛‖‖𝑋decaen hacia cero. Demostración. Sabemos por el teorema anterior que dado un 𝜖1y un tiempo 𝑇0, existe un tiempo 𝑡1y un elemento 𝑣1∈𝒜de forma que ‖‖𝑢(𝑡1+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣1‖‖𝑋⩽𝜖1, para todo 𝑡∈ [0, 𝑇0]. Definimos 𝜖2=𝜖1 2. Por tanto, para 𝜖2y2𝑇0, existe un punto 𝑣2∈𝒜que verifica que ‖‖𝑢(𝑡2+𝑡) − 𝑇(𝑡)𝑣2‖‖𝑋⩽𝜖2, para todo 𝑡∈ [0,2𝑇0]. Podemos iterar este proceso tantas veces como queramo. Como desde 𝑢(𝑡1)hasta 𝑢(𝑡2)podemos llegar con una serie finita de intervalos de longitud 𝑇0y en cada intervalo ocurre lo mismo, al hacer el cambio de variable 𝑡′=𝑡𝑛+𝑡tenemos que se cumple (2.15). Veamos que los errores decaen a cero: ‖‖𝑣𝑘+1 −𝑇(𝑡𝑘+1 −𝑡𝑘)𝑣𝑘‖‖𝑋⩽‖‖𝑣𝑘+1 −𝑢(𝑡𝑘+1)‖‖𝑋+‖‖𝑢(𝑡𝑘+1) − 𝑇(𝑡𝑘+1 −𝑡𝑘)𝑣𝑘‖‖𝑋. El primer sumando del lado derecho es menor que 𝜖𝑘+1 ya que estamos en la situación en la que 𝑡=𝑡𝑘+1. Análogamente el segundo sumando es menor que 𝜖𝑘, por lo que tenemos que los saltos tienden a cero. 46 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Ejemplo 2.2.La ecuación de Chafee-Infante es un caso específico de la ecuación de reacción-difusión unidimensional en el intervalo [0,𝜋], en el cual se puede ver la estructura del atractor. {𝑢𝑡−𝑢𝑥𝑥 =𝜆(𝑢−𝑢3) 𝑢(0) = 𝑢(𝜋)=0 (2.16) Este ejemplo viene descrito con detalle en [13] Proposición 2.4.si 𝑛2<𝜆<(𝑛+ 1)2, entonces existen 2𝑛+ 1 puntos fijos 𝜙± 1,…, 𝜙± 𝑛. Las funciones 𝜙± 𝑗tienen 𝑗ceros en el intervalo (0, 𝜋). Además, el atractor global de la ecuación de Chafee-Infante viene descrito como la unión de variedades inestables asociadas a estos equilibrios, es decir, 𝒜=⋃ 𝜙𝑖∈𝜀 𝑊𝑢(𝜙𝑖), siendo 𝐸= {𝜙0, 𝜙± 1,…, 𝜙± 𝑛}. 2.5 Continuidad del atractor Para definir el atractor debemos tener en cuenta que su comportamiento bajo perturbaciones debe estar controlado, es decir, que a pequeños cambios en los datos o en el problema de partida esperamos un comportamiento similar, obteniendo así un objeto robusto y fiable. Esta robustez nos la garantiza la semicontinuidad inferior y superior. La semicontinuidad superior se tiene con bastante generalidad, pero la inferior sólo la encontramos para ciertos tipos de sistemas, como los sistemas gradientes, los cuales poseen, como hemos visto, una estructura específica. Sea {𝑇0(𝑡) ∶ 𝑡≥0} un semigrupo en el espacio de Banach 𝑋. Supongamos que el semigrupo posee un atractor global 𝒜0. Consideremos también una familia de semigrupos {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡≥0} que depende del parametro 𝜂. Esta familia es una perturbación de {𝑇0(𝑡) ∶ 𝑡≥0}, que denotaremos como problema límite ya que 𝑇𝜂(𝑡)convergerá en cierto sentido a 𝑇0(𝑡)cuando 𝜂→0. 2. semigrupos gradientes 47 2.5.1 Semicontinuidad superior La semicontinuidad superior nos asegura que los atractores 𝒜𝜂de los problemas perturbados no explotan o crecen indefinidamente. Para ello, nos asegura que estos atractores van convergiendo al interior del atractor del problema límite 𝒜0por medio de la semidistancia entre ambos. Definición 2.8. Diremos que la familia {𝒜𝜂∶𝜂∈ [0, 𝜂0]} es semicontinua superiormente a 𝒜0si 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝒜𝜂,𝒜0)𝜂→0 ←←←←←←←←←←←←←←←→ 0. Teorema 2.9. Supongamos que para todo 𝜂∈ [0, 𝜂0]el semigrupo {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} posee un atractor global 𝒜𝜂y que existe un acotado 𝐵de 𝑋de modo que ⋃ 0⩽𝜂⩽𝜂0 𝒜𝜂⊆ 𝐵. Supongamos también que los semigrupos {𝑇𝜂(𝑡) ∶ 𝑡⩾0} uniformemente en acotados del espacio 𝑋, es decir que dado un conjunto acotado 𝑌 ⊆ 𝑋 y un tiempo 𝑡 > 0, sup 𝑦∈𝑌‖‖‖𝑇𝜂(𝑡)𝑦−𝑇0(𝑡)𝑦‖‖‖𝑋 𝜂→0 ←←←←←←←←←←←←←←←→ 0.(2.17) Entonces los atractores {𝒜𝜂∶𝜂∈ [0, 𝜂0]son semicontinuos superiormente a 𝒜0. Demostración. Dado un 𝜖 > 0veamos que 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖)para cierto 𝑡 > 0y todo 𝜂⩽𝜂𝜖. Como 𝑇𝜂 𝜂→0 ←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑇0(𝑡), existe un 𝜂𝜖lo suficientemente pequeño para que sup 𝑥∈𝐵‖‖‖𝑇𝜂(𝑡)𝑥−𝑇0(𝑡)𝑥‖‖‖𝑋< 𝜖, por lo tanto tenemos que 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝑇0(𝑡)𝐵, 𝜖)para todo tiempo y 𝜂⩽𝜂𝜖(𝑡). Como 𝒜0atrae a 𝐵, existe un tiempo 𝜏(𝐵, 𝜖)>0de modo que para todo 𝑡⩾𝜏, 𝑇0(𝑡)𝐵 ⊆ 𝒜0. Así 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖), con 𝑡⩾𝜏y𝜂⩽𝜂𝜖(𝑡). Aplicando la invarianza de los atractores y que 𝒜𝜂⊆ 𝐵, 𝒜𝜂=𝑇𝜂(𝑡)𝒜𝜂⊆ 𝑇𝜂(𝑡)𝐵 ⊆ 𝑁(𝒜0, 𝜖). Con esto podemos concluir que 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝒜𝜂,𝒜0)𝜂→0 ←←←←←←←←←←←←←←←→ 0. 3 Modelo de redes mutualistas 3.1 Introducción A la hora de abordar el problema de la dinámica de redes mutualistas en Ecología nos encontramos con varios sistemas de ecuaciones diferenciales. En concreto en [7] se estudia cómo la estructura compleja de interacciones de cooperaciones entre grupos de plantas y polinizadores o dispersores de semilla afecta a toda la red. En otros ejemplos se analizan los ecosistemas a partir de la modelización por medio de la red de conexiones que genera un grafo bipartito, el cual representa dos tipos de especies (por ejemplo plantas y animales) y sus interrelaciones mutualistas. Figura 3.1: Grafo bipartito para una red tipo mutualista. Los dos conjuntos de nodos (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 )y(1,2,3,4)representan los grupos de animales y plantas, repectivamente. Los enlaces indican la relación entre las plantas y animales de cada grupo Para el estudio de las propiedades dinámicas de una red se propone el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales. Denotaremos por 𝑃el número real de plantas y por 𝐴el número total de animales. Ambos están en competición entre sí, y también cooperan entre ellos. Podemos así escribir un sistema de 𝑃+𝐴ecuaciones diferenciales, donde 𝑆𝑝𝑖y𝑆𝑎𝑖son las densidades de la población para la 𝑖-ésima especie de planta y animal, respectivamente, como: 56 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑑𝑆𝑝𝑖 𝑑𝑡 =𝑆𝑝𝑖(𝛼𝑝𝑖− 𝑃 ∑ 𝑗=1 𝛽𝑝𝑖𝑗 𝑆𝑝𝑗+ 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑖𝑘𝑆𝑎𝑘 1 + ℎ𝑃∑𝐴 𝑙=1 𝛾𝑝𝑖𝑙 𝑆𝑎𝑙 ) 𝑑𝑆𝑎𝑖 𝑑𝑡 =𝑆𝑎𝑖(𝛼𝑎𝑖− 𝐴 ∑ 𝑗=1 𝛽𝑎𝑖𝑗 𝑆𝑎𝑗+ 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑘 1 + ℎ𝐴∑𝑃 𝑙=1 𝛾𝑎𝑖𝑙 𝑆𝑝𝑙 ) 𝑆𝑝𝑖(0) = 𝑆𝑝𝑖0, 𝑆𝑎𝑖(0) = 𝑆𝑎𝑖0, (3.1) para cada 𝑝𝑖con 1≤𝑖≤𝑃y𝑎𝑖con 1≤𝑖≤𝐴. Los números reales 𝛼𝑝𝑖y𝛼𝑎𝑖representan las tasas de crecimiento intrínseco en ausencia de competición y mutualismo para las plantas y animales, respectivamente, 𝛽𝑝𝑖𝑗 ≥0y𝛽𝑎𝑖𝑗 ≥0denotan las intensidades de las interacciones competitivas, 𝛾𝑝𝑖𝑗 ≥0y𝛾𝑎𝑖𝑗 ≥0las intensidades mutualistas, y los parámetros ℎ𝑃yℎ𝐴se pueden interpretar como tiempos de manipulación, es decir, el tiempo utilizado en capturar, someter y consumir la presa, más los tiempos que necesita el depredador para recuperar hacía las presas. 𝑆𝑝𝑖0≥0y𝑆𝑎𝑖0≥0representan los valores iniciales de la 𝑖-ésima especie de planta y animal, respectivamente. En lo que sigue vamos a considerar que los tiempos de manipulación ℎ𝑃=ℎ𝐴= 0, de forma que (3.1) se transforma en ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑑𝑆𝑝𝑖 𝑑𝑡 =𝑆𝑝𝑖(𝛼𝑝𝑖−∑𝑃 𝑗=1 𝛽𝑝𝑖𝑗 𝑆𝑝𝑗+∑𝐴 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 𝑆𝑎𝑘) 𝑑𝑆𝑎𝑖 𝑑𝑡 =𝑆𝑎𝑖(𝛼𝑎𝑖−∑𝐴 𝑗=1 𝛽𝑎𝑖𝑗 𝑆𝑎𝑗+∑𝑃 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 𝑆𝑝𝑘) 𝑆𝑝𝑖(0) = 𝑆𝑝𝑖0, 𝑆𝑎𝑖(0) = 𝑆𝑎𝑖0, (3.2) 3.2 Modelo general de Lotka-Volterra El sistema (3.2) se puede escribir como un modelo general para 𝑛especies 𝐿𝑜𝑡𝑘𝑎− 𝑉 𝑜𝑙𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 de tipo competición-cooperativo. A continuación presentaremos algunos conceptos que emplearemos a lo largo de este capítulo. 3. modelo de redes mutualistas 57 3.2.1 Sistema general Lotka-Volterra (𝐿−𝑉) El primer modelo para especies interactuantes fue introducido por Lotka (1925) [14]y Volterra (1931) [19]. Estos modelos vienen dados por la fórmula general 𝑢𝑖=𝑑𝑢𝑖 𝑑𝑡 =(𝑏𝑖+ 𝑛 ∑ 𝑗=1 𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗), 𝑖 = 1,…, 𝑛, (3.3) done 𝑢𝑖(𝑡)denota la densidad de población, o biomasa, de la 𝑖-ésima especie en el tiempo 𝑡. Los coeficientes 𝑏𝑖son la diferencia entre las tasas de nacimiento y muerte de cada especie, es decir, las tasas de crecimiento (o decrecimiento) de la especie 𝑖. Las entradas de la matriz 𝐴= (𝑎𝑖𝑗)representan el efecto de la interacción interespecífica si 𝑖≠𝑗o intraespecífica si 𝑖=𝑗. La naturaleza de la interacción, competición, mutualismo o depredador-presa, determina el signo de los coeficientes 𝑎𝑖𝑗. Si las especies compiten entonces 𝑎𝑖𝑗, 𝑎𝑗𝑖 <0. Si las especies 𝑖y𝑗están en mutualismo, entonces 𝑎𝑖𝑗, 𝑎𝑗𝑖 >0. Normalmente los modelos de Lotka-Volterra suponen que 𝑎𝑖𝑖 <0para cada 𝑖, así la densidad de cada especie tiene un crecimiento logístico en ausencia de otras especies. Llamaremos matriz de interacción, matriz de adyacencia o de la comunidad a la matriz 𝐴= (𝑎𝑖𝑗), y, por lo general, es una matriz no simétrica. Es evidente que la ecuación (3.3) tiene sentido biológico para densidades 𝑢𝑖≥0, con 1≤𝑖≤𝑛. El espacio de estados para (3.3) es el ortante no negativo ℝ𝑛 += {𝑢=(𝑢1, 𝑢2,…, 𝑢𝑛)∈ℝ𝑛|𝑢𝑖≥para 𝑖= 1,…, 𝑛} Los puntos frontera de ℝ𝑛 +están sobre los planos coordenados 𝑢𝑖= 0, que corresponden a estados donde la especie 𝑖no se encuentra, es decir, se ha extinguido. Vemos que cero es solución, por lo que ℝ𝑛 +es invariante, lo que significa que cualquier solución que comienza en un punto de ℝ𝑛 +, permanece en ℝ𝑛 +para todo tiempo para el cual la solución está definida. 58 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. 3.2.2 El modelo 2D de Lotka-Volterra Para comenzar este estudio recordamos algunos resultados importantes de sistemas de dos especies, que nos ayudarán en el estudio de la existencia y unicidad de soluciones para sistemas con más de dos especies (3.2). Consideramos el modelo (𝐿−𝑉)para dos especies interactuantes: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑢′=𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣) 𝑣′=𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢) (𝑢(0), 𝑣(0))=(𝑢0, 𝑣0), (3.4) con 𝜆, 𝜇 ∈ℝ,𝑎, 𝑑 > 0,𝑏, 𝑐 ∈ℝy𝑢0, 𝑣0≥0. Para este modelo tenemos el siguiente resultado: Lema 3.1. 1. Suponemos que 𝑏, 𝑐 > 0(caso competitivo) y𝑏𝑐 < 𝑎𝑑. (𝑎)Si 𝜆, 𝜇 < 0, entonces (𝑢, 𝑣)→(0,0) cuando 𝑡→∞ (𝑏)Si 𝜆 > 0y𝜇 < 𝜆𝑐∕𝑎, entonces (𝑢, 𝑣)→(𝜆∕𝑎, 0) cuando 𝑡→∞ (𝑐)Si 𝜇 > 0y𝜆 < 𝜇𝑏∕𝑑, entonces (𝑢, 𝑣)→(0, 𝜇∕𝑑)cuando 𝑡→∞ (𝑑)Si 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎, y 𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑, entonces (𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑑 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞ 2. Supongamos que 𝑏, 𝑐 < 0(caso cooperativo) (𝑎)Si 𝑏𝑐 > 𝑎𝑑, entonces para 𝜆, 𝜇 > 0existe explosión en tiempo finito de ambas poblaciones, esto es, existen valores 0< 𝑡∗ 1, 𝑡∗ 2<∞tal que l ım 𝑡→𝑡∗ 1 𝑢(𝑡)=∞,l ım 𝑡→𝑡∗ 2 𝑣(𝑡)=∞. 3. modelo de redes mutualistas 59 (𝑏)Supongamos que 𝑏𝑐 < 𝑎𝑑. (𝑖)Si 𝜆, 𝜇 < 0, entonces (𝑢, 𝑣)→(0,0) cuando 𝑡→∞. (𝑖𝑖)Si 𝜆 > 0y𝜇 < 𝜆𝑐∕𝑎, entonces (𝑢, 𝑣)→(𝜆∕𝑎, 0) cuando 𝑡→∞. (𝑖𝑖𝑖)Si 𝜇 > 0y𝜆 < 𝜇𝑏∕𝑑, entonces (𝑢, 𝑣)→(0, 𝜇∕𝑑)cuando 𝑡→∞. (𝑖𝑣)Si 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎y𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑, entonces (𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞. Demostración. Calculemos primero los puntos de equilibrio; para ello resolvemos el siguiente sistema, {𝑓1(𝑢, 𝑣)=0 𝑓2(𝑢, 𝑣)=0⇐⇒ {𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣)=0 𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢)=0 si 𝑢= 0 ⇒{𝑣= 0 𝑣=𝜇 𝑑 ; si 𝑣= 0 ⇒{𝑢= 0 𝑢=𝜆 𝑎 ; por último, para el caso en que ninguna de las dos variables sean nulas, tenemos 𝑢=𝜆−𝑏𝑣 𝑎 que sustituyendo en la otra ecuación nos queda, 𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝜆 −𝑐𝑏𝑣 𝑎= 0 ⇐⇒ 𝑣=𝑎𝜇 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 . Y resolviendo ahora en la ecuación de 𝑢tenemos 𝑢= 𝜆−𝑏𝑎𝜇−𝑐𝜆 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑎=𝑑𝜆 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 Con lo cual queda probado que efectivamente los puntos de equilibrio que hemos definido en el Lema son todos los estacionarios del sistema (3.4). Los nombraremos de la siguiente forma 𝐸00 = (0,0); 𝐸10 =(𝜆 𝑎,0);𝐸01 =(0,𝜇 𝑑);𝐸11 =(𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑑 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ). 60 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Ahora vemos que bajo las condiciones ya enunciadas estos puntos son localmente estables. Para ello analizaremos los autovalores de la matriz jacobiana en cada punto 𝐸𝑖𝑗, con 𝑖, 𝑗 = 0,1. 𝐽(𝑢, 𝑣) = (𝜆− 2𝑎𝑢 −𝑏𝑣 −𝑏𝑢 −𝑐𝑣 𝜇 −𝑐𝑢 − 2𝑑𝑣). Supongamos que estamos en el caso competitivo, es decir, que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0y 𝑏𝑐 < 𝑎𝑑. a) Estudiemos los autovalores de la matriz 𝐽en el punto 𝐸00. 𝐽(0,0) = (𝜆0 0𝜇). Como por hipótesis tenemos que 𝜆y𝜇, autovalores de la matriz 𝐽, son dos números reales negativos; entonces podemos afirmar que para este caso 𝐸00 es localmente estable. b) Teniendo en cuenta que 𝜆 > 0y que 𝜇 < 𝜆𝑐 𝑎, analicemos el signo de los autovalores de la matriz 𝐽(𝜆 𝑎,0). 𝐽(𝜆 𝑎,0)=(−𝜆−𝑏𝜆 𝑎 0𝜇−𝑐𝜆 𝑎). Los autovalores de esta matriz es fácil ver que son −𝜆y𝜇−𝑐𝜆 𝑎que por las hipótesis de este apartado sabemos que son dos números reales negativos; con lo cual, 𝐸10 es localmente estable. c) Este caso podemos comprobar que es similar al anterior, pues teniendo en cuenta ahora que 𝜇 > 0y que 𝜆 < 𝑏𝜇 𝑑, resulta, 𝐽(0,𝜇 𝑑)=(𝜆−𝑏𝑢 𝑑0 −𝑐𝜇 𝑑−𝜇). De nuevo, es fácil comprobar que los autovalores de la matriz, que son 𝜆−𝑏𝜇 𝑑y −𝜇, que gracias a la hipótesis de nuestro caso son dos números reales negativos, así que 𝐸01 es localmente estable. 3. modelo de redes mutualistas 61 d) Finalmente comprobemos que en este caso también es cierta la afirmación del lema, por ello hallemos los autovalores de 𝐴4=𝐽(𝑑𝜆 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝑎𝜇 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )=(𝑎(−𝑑𝜆+𝑏𝜇) 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑏(−𝑑𝜆+𝑏𝜇) 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑐(𝑐𝜆−𝑎𝜇) 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑑(−𝑎𝜇+𝑐𝜆) 𝑎𝑑−𝑏𝑐 )=(−𝑎𝑢∗−𝑏𝑢∗ −𝑐𝑣∗−𝑑𝑣∗) con lo cual nos queda que 𝐽(𝑑𝜆 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝑎𝜇 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )= − (𝑢∗𝑣∗)(𝑎 𝑏 𝑐 𝑑). Esta vez para hallar los autovalores, debemos calcular el siguiente determinante ||𝛼𝐼𝑑 −𝐴4||=[𝛼+𝑎𝑢∗𝑏𝑢∗ 𝑐𝑣∗𝛼+𝑑𝑣∗] Si calculamos este determinante vemos que resulta (𝛼+𝑎𝑢∗)(𝛼+𝑑𝑣∗) − 𝑏𝑐𝑢∗𝑣∗=𝛼2+𝛼(𝑎𝑢∗+𝑑𝑣∗)+(𝑎𝑑 −𝑏𝑐)𝑢∗𝑣∗= 0 Es fácil observar que cada miembro de la ecuación anterior es positivo ya que 𝑎, 𝑑, 𝑢∗, 𝑣∗>0y𝑎𝑑 > 𝑏𝑐, (𝑢∗y𝑣∗son positivos gracias a las hipótesis de nuestro apartado), con lo cual, los autovalores de la matriz 𝐴4tienen parte real negativa, como necesitábamos. Así concluimos que también 𝐸11 es localmente estable y con ello acabamos la demostración del lema, pues el caso cooperativo está también demostrado, ya que no hemos usado en ninguna parte el signo de 𝑏y de 𝑐. Como consecuencia tenemos el siguiente corolario Corolario 3.1.Suponemos que 𝑏, 𝑐 < 0, 𝑏𝑐 < 𝑎𝑑, 𝜇 > 𝜆𝑐∕𝑎y𝜆 > 𝜇𝑏∕𝑑. Entonces, para cualquier 𝜀 > 0existe 𝑡0>0tal que, para 𝑡≥𝑡0, se tiene 𝑢≤𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀, 𝑣 ≤𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀. Demostración. Gracias al Lema 3.1, se tiene que (𝑢, 𝑣)→(𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ,𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 )cuando 𝑡→∞. 62 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Por tanto, para todo 𝜀 > 0existe 𝑡0>0tal que para todo 𝑡≥𝑡0se tiene ||||𝑢−𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ||||< 𝜀 y||||𝑣𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ||||< 𝜀, y por tanto 𝑢≤𝜆𝑑 −𝑏𝜇 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀, 𝑣 ≤𝜇𝑎 −𝑐𝜆 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 +𝜀. 3.2.3 Método de sub-super solución El método de sub-super solución nos permite en muchas ocasiones demostrar la existencia de una solución de una EDO u obtener cotas superiores e inferiores de las soluciones. A continuación, detallamos dicho método para el sistema (3.4) en los casos cooperativo, esto es 𝑏, 𝑐 < 0y competitivo 𝑏, 𝑐 > 0. Definición 3.1. Supongamos 𝑏, 𝑐 > 0. Una pareja de funciones (𝑢, 𝑣)∈(𝐶1(𝐼))2 se llama una sub-solución para el sistema (3.4) si se verifican las siguientes condiciones: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑢′≤𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣) 𝑣′≤𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐𝑢) 𝑢(0) ≤𝑢0, 𝑣(0) ≤𝑣0 (3.5) Análogamente, se define una pareja super-solución de (3.4) con 𝑏, 𝑐 < 0; esto es una pareja de funciones (𝑢, 𝑣) ∈ (𝐶1(𝐼))2que verifica ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑢′≥𝑢 (𝜆−𝑎𝑢 −𝑏 𝑣) 𝑣′≥𝑣 (𝜇−𝑑 𝑣 −𝑐 𝑢) 𝑢(0) ≥𝑢0, 𝑣(0) ≥𝑣0 (3.6) Ahora consideramos el caso de competición: Definición 3.2. Supongamos 𝑏, 𝑐 > 0. Un par de parejas de funciones (𝑢, 𝑣)∈ (𝐶1(𝐼))2,(𝑢, 𝑣)∈(𝐶1(𝐼))2, se llaman sub y super-solución para el sistema (3.4) si se 3. modelo de redes mutualistas 63 verifican las siguientes condiciones: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑢′≤𝑢(𝜆−𝑎𝑢 −𝑏 𝑣) 𝑣′≤𝑣(𝜇−𝑑𝑣 −𝑐 𝑢) 𝑢′≥𝑢 (𝜆−𝑎𝑢 −𝑏𝑣) 𝑣′≥𝑣 (𝜇−𝑑 𝑣 −𝑐𝑢) 𝑢(0) ≤𝑢0, 𝑣(0) ≤𝑣0, 𝑢(0) ≥𝑢0, 𝑣(0) ≥𝑣0 (3.7) Con esta definición, tenemos el siguiente resultado Teorema 3.1. Consideremos el problema (3.4). 1. Si existen (𝑢, 𝑣),(𝑢, 𝑣), par de sub-super-solución de (3.4), entonces existe una única solución de (3.4) (𝑢, 𝑣)tal que 𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡). 2. Si existen (𝑢, 𝑣),(𝑢, 𝑣), par de sub-super-solución de (3.4), entonces si (𝑢, 𝑣)es solución de (3.4) se tiene que 𝑢(𝑡)≤𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑡), y 𝑢(𝑡)≥𝑢(𝑡), 𝑣 ≥𝑣(𝑡) para todo 𝑡donde exista tal solución. 3.2.4 Puntos de equilibrio Para el modelo general (𝐿−𝑉)dado por (3.3) los puntos de equilibrio (o puntos de soporte fijos o estacionarios) son puntos 𝑛-dimensionales soluciones del sistema de ecuaciones 𝑢𝑖(𝑏𝑖+ 𝑛 ∑ 𝑗=1 𝑎𝑖𝑗𝑢𝑗)= 0, 𝑖 = 1,…, 𝑛, (3.8) a los cuales se los notará como 𝑢∗. En estos puntos, que son soluciones del sistema, decimos que éste está en reposo. 70 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Teorema 3.4 (Existencia y unicidad de solución). 1. Supongamos 𝛽1= m ın{𝛽𝑝𝑖𝑗 }<1,𝛽2m ın {𝛽𝑎𝑖𝑗 }<1,𝛾1= m ax {𝛾𝑝𝑖𝑗 },𝛾2= m ax {𝛾𝑎𝑖𝑗 }, para todo 𝑖, 𝑗 y se tiene que 𝛾1𝛾2<1 + 𝛽1(𝑃− 1) 𝑃 1 + 𝛽2(𝐴− 1) 𝐴.(3.17) Entonces existe una única solución positiva acotada de (3.13), para todo 𝑡 > 0. 2. Supongamos 𝛽=𝛽𝑝𝑖𝑗 =𝛽𝑎𝑖𝑗 ,𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 ,𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 ,𝛼1=𝛼𝑝𝑖,𝛼2=𝛼𝑎𝑖>0para todo 𝑖, 𝑗, y se cumple que 𝛾1𝛾2>1 + 𝛽(𝑃− 1) 𝑃 1 + 𝛽(𝐴− 1) 𝐴.(3.18) Entonces la solución de (3.13) explota en tiempo finito. Demostración. 1. En primer lugar, observemos que si 𝑢𝑖0>0entonces 𝑢𝑖(𝑡)>0para todo 𝑡 > 0 en el que exista solución. Denotando por 𝑤∶= 𝑃 ∑ 𝑖=1 𝑢1, 𝑧 ∶= 𝐴 ∑ 𝑖=1 𝑣𝑖, se tiene que 𝑤′≤𝛼1𝑤−(𝑢2 1+𝑢2 2+…+𝑢2 𝑃+ 2𝛽1(𝑢1𝑢2+𝑢1𝑢3+…+𝑢𝑃−1𝑢𝑃))+𝛾1𝑤𝑧, 𝑧′≤𝛼2𝑧−(𝑣2 1+𝑣2 2+…+𝑣2 𝐴+ 2𝛽2(𝑣1𝑣2+𝑣1𝑣3+…+𝑣𝐴−1𝑣𝐴))+𝛾2𝑤𝑧, donde 𝛼1= m ax{𝛼𝑝𝑖}y𝛼2= m ax{𝛼𝑎𝑖}o,equivalentemente, 𝑤′≤𝛼1𝑤−(𝑃 ∑ 𝑖=1 𝑢2 𝑖+ 2𝛽1 𝑃 ∑ 𝑖<𝑗 𝑢𝑖𝑢𝑗)+𝛾1𝑤𝑧, 𝑧′≤𝛼2𝑧−(𝐴 ∑ 𝑖=1 𝑣2 𝑖+ 2𝛽2 𝐴 ∑ 𝑖<𝑗 𝑣𝑖𝑣𝑗)+𝛾2𝑤𝑧, y usando (3.15), se tiene que 𝑤′≤𝛼1𝑤−1 + 𝛽1(𝑃− 1) 𝑃𝑤2+𝛾1𝑤𝑧, 3. modelo de redes mutualistas 71 𝑧′≤𝛼2𝑧−1 + 𝛽2(𝐴− 1) 𝐴𝑧2+𝛾2𝑤𝑧. Ahora basta considerar el sistema ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑝′=𝑝(𝛼1−1+𝛽1(𝑃−1) 𝑃𝑝+𝛾1𝑞), 𝑞′=𝑞(𝛼2−1+𝛽2(𝐴−1) 𝐴𝑞+𝛾2𝑝), 𝑝(0) = 𝑝0, 𝑞(0) = 𝑞0, (3.19) con 𝑝0,𝑞0números positivos a elegir. Es claro que, tomando 𝑝0= 𝑃 ∑ 𝑖=1 𝑢𝑖0, 𝑞0= 𝐴 ∑ 𝑖=1 𝑣𝑖0 se tiene que (𝑤, 𝑧)es sub-solución de (3.19) en el sentido de la Definición 3.1y, por tanto, por el Teorema 3.1se sigue que (𝑤, 𝑧)≤(𝑝, 𝑞)(3.20) y(𝑝, 𝑞)está acotado si se satisface (3.17) por el Lema 3.1. 2. Supongamos que se verifica (3.18) con 𝛼1=𝛼𝑝𝑖>0y𝛼2=𝛼𝑎𝑖>0. Llamamos (𝑝, 𝑞)a la única solución positiva de (3.19). Es conocido (ver Lema 3.1) que, bajo la condición (3.18),(𝑝, 𝑞)explota en tiempo finito. A continuación, se verifica que (𝑢1,…, 𝑢𝑃, 𝑣1,…, 𝑣𝐴)=(𝑝 𝑃,…,𝑝 𝑃,𝑞 𝐴,…,𝑞 𝐴), es solución del sistema (3.13) con 𝑢0=𝑝0∕𝑃y𝑣𝑖0=𝑞0∕𝐴, por lo que también explota en tiempo finito. Veamos que 𝑢′ 𝑖=𝑢𝑖(𝛼1−𝑢𝑖−𝛽1(𝑢2+…+𝑢𝑃)+𝛾1(𝑣1+…+𝑣𝐴)). En efecto, 𝑝′ 𝑃=𝑝 𝑃(𝛼1−𝑝 𝑃−𝛽(𝑝 𝑃+…+ 𝑝 𝑃)+𝛾1(𝑞 𝐴+…+ 𝑞 𝐴))⇔ 𝑝′=𝑝(𝛼1−𝑝(1 + 𝛽(𝑃− 1) 𝑃)+𝛾1𝑞), lo que es cierto por (3.19). Lo mismo se cumple con 𝑞∕𝐴. Esto concluye la demostración. 72 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. 3.3.2 Estabilidad global del sistema mutualista (𝐿−𝑉) Muchos de los resultados sobre la estabilidad global del sistema mutualista (L-V) se estudiarán a partir de una matriz 𝐴, que se definirá como matriz de Lyapunov-estable. Por tanto es necesario dar algunas definiciones. Definición 3.5. Una matriz cuadrada de orden 𝑛se dice definida negativa si 𝑢𝑇𝐴𝑢 < 0para todo 𝑢∈ℝ𝑛⧵{0}. Definición 3.6. Supongamos que 𝐴es una matriz real de orden 𝑛: 1. Se dice que 𝐴es de clase 𝑆𝜔o Lyapunov-estable, 𝐴∈𝑆𝜔, si existe una matriz diagonal positiva 𝑊tal que, la matriz simétrica 𝑊 𝐴+𝐴𝑇𝑊es definida negativa. 2. Se dice que 𝐴es una matriz diagonal dominante negativa, 𝐴∈𝑁𝐷𝐷, si y sólo si, existen 𝑛números positivos 𝑟𝑖>0tal que −𝑟𝑖𝑎𝑖𝑖 > 𝑛 ∑ 𝑖≠𝑗|𝑎𝑖𝑗|𝑟𝑗, 𝑖 = 1,…, 𝑛. Vemos algunos teoremas importantes acerca de esta clase de matrices. Teorema 3.5. Si 𝐴es una matriz cuadrada de orden 𝑛, entonces 𝐴es de clase 𝑆𝜔si una de las siguientes condiciones se satisface: 1. 𝐴es una matriz diagonal dominante negativa; 2. 𝐴es definida negativa Demostración. Ver [18] Teorema 3.6. Supongamos que 𝐴∈𝑆𝜔. Entonces el sistema (L-V) (3.3) tiene un punto de equilibrio 𝑢∗para cada 𝑏∈ℝ𝑛que, además, es globalmente estable en ℝ𝑛 𝐼 Demostración. La demostración viene detallada en [12] Corolario 3.2.Si 𝐴∈𝑆𝜔, entonces el sistema (𝐿−𝑉)y cada uno de sus subistemas tienen un punto de equilibrio no negativo y globalmente estable para cada 𝑏∈ℝ𝑛. Demostración. Ver [18] Hemos comprobado que la estabilidad de (3.13) está garantizada por el Teorema 3.6, que nos asegura la existencia de un punto 𝑢∗globalmente estable siempre que la matriz de la comunidad sea de clase 𝑆𝑤. Por tanto, necesitamos dar condiciones para 3. modelo de redes mutualistas 73 que la matriz de (3.13) cumpla con esta condición. Veremos que hay tres posibles condiciones. Condición Tipo I Según el Teorema (3.5), una condición suficiente para que la matriz 𝕄sea de clase 𝑆𝑤es que tenga una diagonal dominante negativa. Tomando 𝑟𝑖= 1 para todo 𝑖en la Definición (3.6) y recordando que 𝛽𝑝𝑖𝑖 =𝛽𝑎𝑖𝑖 = 1 se tiene Proposición 3.1.Supongamos que para 𝕄, definida como en (3.14), se tiene que 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 + 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑝𝑖𝑗 <1,∀𝑖= 1,…, 𝑃 , 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 + 𝐴 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑎𝑖𝑗 <1,∀𝑖= 1,…, 𝐴. Entonces la matriz 𝕄∈𝑆𝑤. A la matriz 𝕄que cumpla esta condición la llamaremos matriz de Tipo I. Como se puede observar, la restricción obliga a que los parámetros sean muy pequeños y mucho más en matrices de gran tamaño, por lo que intentaremos mejorar esta condición. Condición Tipo II Según la Definición (3.6), para que la matriz 𝕄sea de clase 𝑆𝑤debe existir una matriz 𝑊=𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑤1,…, 𝑤𝑛)con 𝑤𝑖>0para 𝑖= 1,…, 𝑛, tal que 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊 sea definida negativa. Obsérvese que esta matriz es simétrica, por lo que para que sea definida negativa necesitamos que los autovalores de la matriz sean negativos. Restringiremos el conjunto de sus autovalores, su espectro 𝜎(𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊), a la parte negativa de la recta real. Para ello aplicaremos el Teorema de los círculos de Gershgorin a la matriz 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊. Teorema 3.7 (Teorema de los círculos de Gershgorin). . Todo autovalor 𝜆de una matriz 𝐴de orden 𝑛satisface la condición ||𝜆−𝑎𝑖𝑖||≤ 𝑛 ∑ 𝑗≠𝑖|||𝑎𝑖𝑗|||para algún 𝑖= 1,…, 𝑛. Como consecuencia de este resultado tenemos 74 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Teorema 3.8. Si la matriz 𝕄, definida como en (3.14), satisface las condiciones: 2 − 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )− 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 >0,∀𝑖= 1,…, 𝑃 , (3.21) 2 − 𝐴 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )− 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 >0,∀𝑖= 1,…, 𝐴, (3.22) sup 𝑖=1,…,𝐴 ∑𝑃 𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖 2 − ∑𝐴 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )−∑𝑃 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 < ınf 𝑖=1,…,𝑃 2 − ∑𝑃 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )−∑𝐴 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 ∑𝐴 𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖 . (3.23) Entonces la matriz 𝕄es de clase 𝑆𝑤. Demostración. Para la matriz 𝕄, escrita por bloques como (3.14), se tiene que 𝕄𝑇=[𝐵𝑇 1Γ𝑇 2 Γ𝑇 1𝐵𝑇 2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) . Escribimos la matriz 𝑊de la siguiente manera 𝑊=[𝑊1∅ ∅𝑊2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) (3.24) donde las matrices 𝑊1y𝑊2se consideran como 𝑊1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝑤10⋯0 0𝑤1⋯0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯𝑤1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝑃 , 𝑊2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝑤20⋯0 0𝑤2⋯0 ⋮ ⋮ ⋱⋮ 0 0 ⋯𝑤2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝐴×𝐴 , con 𝑤1>0,𝑤2>0. Se obtiene =𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊=[𝐷1𝐶1 𝐶2𝐷2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) , con 3. modelo de redes mutualistas 75 𝐷1=𝑤1⎡⎢⎢⎢⎢⎣ −2 − (𝛽𝑝12 +𝛽𝑝21 )⋯−(𝛽𝑝1𝑃+𝛽𝑝𝑃1) −(𝛽𝑝12 +𝛽𝑝21 )−2 ⋯−(𝛽𝑝2𝑃+𝛽𝑝𝑃2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −(𝛽𝑝1𝑃+𝛽𝑝𝑃1)−(𝛽𝑝2𝑃+𝛽𝑝𝑃2)⋯−2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ , 𝐷2=𝑤2⎡⎢⎢⎢⎢⎣ −2 − (𝛽𝑎12 +𝛽𝑎21 )⋯−(𝛽𝑎1𝐴+𝛽𝑎𝐴1) −(𝛽𝑎12 +𝛽𝑎21 )−2 ⋯−(𝛽𝑎2𝐴+𝛽𝑎𝐴2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −(𝛽𝑎1𝐴+𝛽𝑎𝐴1)−(𝛽𝑎2𝐴+𝛽𝑎𝐴2)⋯−2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ , 𝐶1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝜔1𝛾𝑝11 +𝜔2𝛾𝑎11 𝜔1𝛾𝑝12 +𝜔2𝛾𝑎21 …𝜔1𝛾𝑝1𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴1 𝜔1𝛾𝑝21 +𝜔2𝛾𝑎12 𝜔1𝛾𝑝22 +𝜔2𝛾𝑎22 …𝜔1𝛾𝑝2𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜔1𝛾𝑝𝑃1+𝜔2𝛾𝑎1𝑃𝜔1𝛾𝑝𝑃2+𝜔2𝛾𝑎2𝑃…𝜔1𝛾𝑝𝑃 𝐴 +𝜔2𝛾𝑎𝐴𝑃 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 𝐶2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝜔1𝛾𝑝11 +𝜔2𝛾𝑎11 𝜔1𝛾𝑝21 +𝜔2𝛾𝑎12 …𝜔1𝛾𝑝𝑃1+𝜔2𝛾𝑎1𝑃 𝜔1𝛾𝑝12 +𝜔2𝛾𝑎21 𝜔1𝛾𝑝22 +𝜔2𝛾𝑎22 …𝜔1𝛾𝑝𝑃2+𝜔2𝛾𝑎2𝑃 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜔1𝛾𝑝1𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴1𝜔1𝛾𝑝2𝐴+𝜔2𝛾𝑎𝐴2…𝜔1𝛾𝑝𝑃 𝐴 +𝜔2𝛾𝑎𝐴𝑃 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ Luego, por el Teorema de los círculos de Gershgorin de la matriz se generan 𝑃 desigualdades de la forma ||𝜆+ 2𝜔1||≤𝜔1 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+𝜔1 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 +𝜔2 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖 ,con 𝑖= 1,…, 𝑃 y𝐴desigualdades ||𝜆+ 2𝜔2||≤𝜔2 𝐴 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+𝜔2 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 +𝜔1 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖 ,con 𝑖= 1,…, 𝐴. Como se desea que los autovalores 𝜆sean negativos, reescribimos 𝑃y𝐴desigualdades anteriores como 𝜆≤𝜔1(𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+ 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2)+𝜔2 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖 <0,para toda 𝑖= 1,…, 𝑃 76 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. 𝜆≤𝜔1 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖 +𝜔2(𝐴 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+ 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2)<0,para toda 𝑖= 1,…, 𝐴. Obtenemos el siguiente sistema de 𝑃+𝐴desigualdades con variables 𝜔1y𝜔2 (𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+ 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2)𝜔1+(𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖 )𝜔2<0, para toda 𝑖= 1,…, 𝑃 (3.25) (𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖 )𝜔1+(𝐴 ∑ 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+ 𝑃 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2)𝜔2<0para toda 𝑖= 1,…, 𝐴. (3.26) Resolviendo las desigualdades en (3.25) para 𝜔2y considerando que 𝜔2>0, se tiene 𝜔2 𝜔1 <−(∑𝑃 𝑗≠𝑖(𝛽𝑝𝑖𝑗 +𝛽𝑝𝑗𝑖 )+∑𝐴 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 − 2) ∑𝐴 𝑘=1 𝛾𝑎𝑘𝑖 ,para toda 𝑖= 1,…, 𝑃 . (3.27) Ahora resolvemos (3.26) también para 𝜔2>0. 𝜔2 𝜔1 >−∑𝑃 𝑘=1 𝛾𝑝𝑘𝑖 (∑𝐴 𝑗≠𝑖(𝛽𝑎𝑖𝑗 +𝛽𝑎𝑗𝑖 )+∑𝑃 𝑘=1 𝛾𝑎𝑖𝑘 − 2),para toda 𝑖= 1,…, 𝐴. (3.28) Por tanto, podemos encontrar la matriz 𝑊si fijamos un valor para 𝜔1>0y𝜔2que cumplan (3.27) y(3.28), si suponemos (3.23). A las matrices 𝕄que cumplen con esta condición, las llamaremos matrices de Tipo II. Observemos que las condiciones (3.21) y(3.22) pueden escribirse de la siguiente forma 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 + 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑝𝑖𝑗 <2 − 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑝𝑖𝑗 (3.29) 𝐴 ∑ 𝑘=1 𝛾𝑝𝑖𝑘 + 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑝𝑖𝑗 <2 − 𝑃 ∑ 𝑗≠𝑖 𝛽𝑝𝑗𝑖 (3.30) 3. modelo de redes mutualistas 77 Si comparamos las condiciones del Tipo I yTipo II, podemos observar que las del Tipo II son menos restrictivas para los parámetros de la matriz de la comunidad. Condición Tipo III. Caso campo medio Supongamos que todos los coeficientes de la matriz 𝕄son no nulos, de forma que los coeficientes de competición entre las especies y las plantas y los coeficientes de mutualismos entre ellos son iguales. En este caso decimos que el sistema (3.13) es de campo medio, garantizando la conectividad total de las relaciones mutualistas entre plantas y animales. Teorema 3.9. Supongamos que la matriz 𝕄, definida como en (3.14), con 𝛽1=𝛽𝑝𝑖𝑗 <1, 𝛽2=𝛽𝑎𝑖𝑗 <1, 𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 , 𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 , para todo 𝑖= 1,…, 𝑃 y todo 𝑗= 1,…, 𝐴, satisface la condición (3.17), que viene dada por 𝛾1𝛾2<1 + 𝛽1(𝑃− 1) 𝑃 1 + 𝛽2(𝐴− 1) 𝐴. Entonces la matriz 𝕄es de clase 𝑆𝜔. Demostración. Tomamos 𝛽1=𝛽𝑝𝑖𝑗 <1,𝛽2=𝛽𝑎𝑖𝑗 <1,𝛾1=𝛾𝑝𝑖𝑗 ,𝛾2=𝛾𝑎𝑖𝑗 , para todo 𝑖= 1,…, 𝑃 y para todo 𝑗= 1,…, 𝐴. Nuevamente consideramos la matriz 𝕄de orden (𝑃+𝐴), escrita por bloques como en (3.14), donde ahora las matrices 𝐵1,𝐵2,Γ1yΓ2 están definidas por 𝐵1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ −1 −𝛽1… −𝛽1 −𝛽1−1 … −𝛽1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝛽1−𝛽1… −1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝑃 , 𝐵2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ −1 −𝛽2… −𝛽2 −𝛽2−1 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠 −𝛽2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −𝛽2−𝛽2⋯−1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝐴×𝐴 (3.31) Γ1=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝛾1𝛾1…𝛾1 𝛾1𝛾1…𝛾1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛾1𝛾1⋯𝛾1 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦𝑃×𝐴 ,Γ2=⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝛾2𝛾2⋯𝛾2 𝛾2𝛾2⋯𝛾2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛾2𝛾2⋯𝛾2 ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ,(3.32) con 0< 𝛽1,𝛽2<1,𝛾1, 𝛾2>0. La matriz 𝑊la definimos en bloques, 𝑊=[𝑊1∅ ∅𝑊2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) 78 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. donde las matrices 𝑊1y𝑊2son como en (3.24). Como antes =𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊=[𝐷1𝐶1 𝐶2𝐷2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) donde (ver anexo para la notación) 𝐷1=𝐷(−2𝜔1,−2𝜔1𝛽1;𝑃), 𝐷2=𝐷(−2𝜔2,−2𝜔2𝛽2;𝐴), 𝐶1=(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)𝑃×𝐴, 𝐶2=(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)𝐴×𝑃. Nos planteamos encontrar la condición para que los autovalores de 𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊sean negativos. Para eso, calculamos las soluciones del polinomio característico de  𝑝(𝜆) = |(𝜆)|=||−𝜆𝐼𝐴×𝑃||=||𝑊𝕄+𝕄𝑇𝑊−𝜆𝐼𝐴×𝑃||= 0, donde 𝐼𝐴×𝑃denota la matriz identidad de orden 𝐴×𝑃. La matriz (𝜆)se puede escribir de la siguiente forma (𝜆) = [𝐹1𝐶1 𝐶2𝐹2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴), donde 𝐹1=𝐷(−2𝜔1−𝜆, −2𝜔1𝛽1;𝑃), 𝐹2=𝐷(−2𝜔2−𝜆, −2𝜔2𝛽2;𝐴) Por tanto, aplicando la Proposición 5.1 (ver anexo), se tiene 𝑝(𝜆)=(−2𝜔1−𝜆+ 2𝜔1𝛽1)𝑃−1 (−2𝜔2−𝜆+ 2𝜔2𝛽2)𝐴−1 ⋅𝑞(𝜆) donde 𝑞(𝜆) = ((−2𝜔1−𝜆− 2𝜔1𝛽1(𝑃− 1))(−2𝜔2−𝜆− 2𝜔2𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴 (𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2) = 4 [(𝜔1+𝜆 2+𝜔1𝛽1(𝑃− 1))(𝜔2+𝜆 2+𝜔2𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴 4(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2]. Los autovalores de la matriz son: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜆= 2𝜔1(𝛽1− 1)con multiplicidad 𝑃− 1, 𝜆= 2𝜔2(𝛽2− 1)con multiplcidad 𝐴− 1, las raíces de 𝑞(𝜆). Las raíces de 𝑞(𝜆)son las raíces del siguiente polinomio de grado 2, 𝑚(𝜆) = 𝜆2 4+𝑅1(𝜔1, 𝜔2)𝜆 2+𝑅2(𝜔1, 𝜔2) 3. modelo de redes mutualistas 79 donde 𝑅1(𝜔1, 𝜔2)=𝜔1(1 + 𝛽1(𝑃− 1))+𝜔2(1 + 𝛽2(𝐴− 1)), 𝑅2(𝜔1, 𝜔2)=𝜔1𝜔2(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1))−𝑃 𝐴 4(𝜔1𝛾1+𝜔2𝛾2)2. Teniendo en cuenta que 𝑅1>0, para que las raíces de 𝑚(𝜆)sean negativas, se necesita que 𝑅2(𝜔1, 𝜔2)>0. Esto es equivalente a 𝜔1𝜔2(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1))>𝑃 𝐴 4(𝜔2 1𝛾2 1+𝜔2 2𝛾2 2+ 2𝜔1𝜔2𝛾1𝛾2), de donde, 0>(𝜔2 𝜔1)2 𝛾2 2+ 2 (𝜔2 𝜔1)(𝛾1𝛾2−2 𝑃 𝐴 (1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1)))+𝛾2 1 Teniendo en cuenta (3.17), para que existan 𝜔1, 𝜔2>0que verifiquen la desigualdad anterior, es suficiente que (𝛾1𝛾2−2 𝑃 𝐴 (1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1)))2 > 𝛾2 1𝛾2 2 𝛾1𝛾2<(1 + 𝛽1(𝑃− 1))(1 + 𝛽2(𝐴− 1)) 𝑃 𝐴 que es la condición (3.17) A estas matrices 𝕄las llamaremos matrices de Tipo III. De todo lo anterior llegamos al siguiente teorema. Teorema 3.10. Supongamos que 𝕄es la matriz de la comunidad del sistema (3.13) y es de Tipo I, II, oIII. Entonces, el sistema (3.13) tiene un punto de equilibrio globalmente estable no negativo 𝑢∗. Demostración. Por el teorema (3.6), si la matriz de la comunidad 𝕄es de clase 𝑆𝜔, el sistema (3.13) tendrá un punto de equilibrio 𝑢∗globalmente estable. Como 𝕄al ser de Tipo I, II oIII es de clase 𝑆𝜔, el sistema (3.13) tiene un punto de equilibrio globalmente estable no negativo 𝑢∗. 86 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Hay señalar que una descomposición de Morse estará dada por 𝐸𝑖=𝐴𝑖∩𝐴∗ 𝑖−1. La forma en la que se construye 𝒜𝑖, 𝑖 = 1,…, 𝑚, implicará que 𝐸𝑖∈𝐸, el conjunto de equilibrios no negativos de (3.3). Paso 1: Llamaremos 𝑢∗ 1al punto estacionario dado por el Teorema 3.10, es decir, el que es globalmente asintóticamente estable ℝ𝑛 +, y lo denotaremos por 𝑢∗ 1=(𝑢∗ 1(1),…, 𝑢∗ 1(𝑛)). Sea 𝑁= {1,…, 𝑛}, y 𝐼1= {𝑖∈𝐿∕𝑢∗ 𝑖(𝑖) = 0}, 𝐽1=𝑁⧵𝐼1= {𝑗∈𝑁∕𝑢∗ 1(𝑗)>0} Suponemos 𝐽1≠∅, en otro caso el resultado es trivial, pues entonces 𝒜= {0}. Ordenamos los 𝑚1≤𝑛elementos del conjunto 𝐽1como: 𝑗1< 𝑗2⋯< 𝑗𝑚1. Definimos los hiperplanos abiertos 𝐸𝑗𝑘, con 𝑘∈ {1,…, 𝑚1}, como 𝐸𝑗𝑘= {𝑢∈ℝ𝑛 +∕𝑢(𝑗𝑘)=0y todas las otras componentes 𝑢(𝑖)>0}. También definimos 𝐴1= {𝑢∗ 1}.Entonces 𝐴1es un atractor global, el cual atrae cada solución que comienza en ℝ𝑛 +⧵ 𝑚1 ⋃ 𝑘=1 𝐸𝑗𝑘. Entonces, su repulsor asociado en ℛ+ 𝑛está dado por 𝐴∗ 1= 𝑚1 ⋃ 𝑘=1 𝐸𝑗𝑘. Paso 2: Como cada 𝐸𝑗𝑘es un conjunto positivamente invariante, el Teorema 3.6y el corolario 3.2pueden ser aplicados una vez más. Sea 𝑢∗ 𝑗𝑘el punto globalmente asintóticamente estable en 𝐸𝑗𝑘,𝑘∈ {1,…, 𝑚1}. En particular, 𝑢∗ 𝑗1es un atractor local en 𝐸𝑗1. 3. modelo de redes mutualistas 87 Sea 𝐴2=𝐴1∪𝑊𝑢(𝑢∗ 𝑗1), es decir, 𝐴2contiene 𝐴1, y todas las conexiones de 𝑢∗ 𝑗1a𝑢∗ 1, en el sentido de (3.40), es decir, l ım 𝑡→−∞ ‖‖‖𝑢(𝑡;𝑧) − 𝑢∗ 𝑗1‖‖‖= 0 yl ım 𝑡→∞‖‖‖𝑢(𝑡;𝑧) − 𝑢∗ 𝑗1‖‖‖= 0 Se construye el repulsor asociado a 𝒜2. Para 𝑢∗ 𝑗1, sea 𝐼𝑗1= {𝑖∈𝐿∕𝑢∗ 𝑗1(𝑖) = 0}; en particular 𝑗1∈𝐼𝑗1, 𝐽𝑗1=𝐿⧵𝐼𝑗1= {𝑗∈𝐿∕𝑢∗ 𝑗1(𝑗)>0}. Ordenamos, para 𝑚2< 𝑛,𝐽𝑗1como 𝑗1,𝑗1< 𝑗2,𝑗1<⋯< 𝑗𝑚2,𝑗1 y consideramos 𝐸𝑗1,𝑗1= {𝑢∈𝐸𝑗1∕𝑢(𝑗1,𝑗1)= 0 y todas las otras componentes 𝑢(𝑖)>0}. Entonces 𝑢∗ 𝑗1es un atractor local en 𝐸𝑗1, el cual atrae cada solución que comienza en 𝐸𝑗1⧵ 𝑚2 ⋃ 𝑘=1 𝐸𝑗𝑘,𝑗1 . Repetimos este mismo argumento en el Paso 2 para cada 𝐸𝑗𝑘, para 𝑘∈ {2,…, 𝑚1}. Paso 3: Nuevamente repetimos los argumentos del Paso 2 para los hiperplanos 𝐸1,𝑗1, y desde el que podemos definir 𝒜3=𝒜2∪𝑊𝑢(𝑢∗ 𝑗1,𝑗1), el cual posee un repulsor asociado a 𝒜∗ 3. Una vez más, repetimos los argumentos del Paso 2 para el hiperplano 𝐸𝑗𝑘,𝑗1, para 𝑘∈ {2,…, 𝑚2}. Paso m: 88 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. En general, construimos, para alguna solución estacionaria, 𝒜𝑚+1 =𝒜𝑚∪𝑊𝑢(𝑢∗ 𝑗1,…,𝑗1) y su repulsor asociado 𝒜∗ 𝑚+1. Observemos que, por su propia construcción, los 𝒜∗ 𝑚son i) Conjuntos cerrados invariantes ii) No intersecan con ⋃𝑚 𝑘=1 𝒜𝑘. iii) Contiene el resto de puntos estacionarios que no están en ⋃𝑚 𝑘=1 𝒜𝑘. En 𝑚pasos el proceso finaliza 4 Conclusiones En este trabajo hemos comenzado por hacer un estudio detallado sobre los atractores globales. Su existencia y unicidad, visto en el capítulo 1, hasta su comportamiento bajo perturbaciones, visto en el capítulo 2. Si estudiamos diferentes fenómenos en la naturaleza vemos que, a veces, están regidos por SDO complejos y con una sensibilidad muy grande respecto a los datos iniciales. Gracias a todo lo anterior podemos observar que dada unas condiciones especificas existe un atractor global para estos sistemas y que, de hecho, es único. Con lo cual podemos concluir que problemas que a "simple vista" tienen un comportamiento caótico e imprevisible, sus trayectorias cuando 𝑡→∞acaban convergiendo a un atractor que dota de un orden a ese aparente caos. En el caso particular aplicado a la Ecología, en concreto sistemas mutualistas, hemos demostrado que ese sistema tiene un atractor, y que de hecho, como vimos al estudiar la continuidad del atractor global, es un objeto robusto y solido, es decir, que tiene un comportamiento similiar ante pequeños cambios en los datos. Con esto, vemos que éste es un estudio fiable. Ya que en la Ecología es habitual los cambios respecto a los datos iniciales dados por los individuos de las especies que interaccionan. En cuanto al estudio del atractor hemos visto que se relaciona con una descomposición de Morse. Con lo cual llegamos a que ese atractor está formado por puntos estacionarios que están relacionados entre sí, donde se encuentra el (0,0), un punto inestable, y otro punto que es globalmente estable atrayendo a todas las trayectorias. El resto podemos concluir que son puntos de silla. Con lo cual vemos que algo tan aparentemente complejo como un ecosistema, acaba tendiendo a un punto de equilibrio entre las distintas especies. Este atractor, y en concreto el punto de equilibrio guardan toda la información acerca de las variaciones en el número de individuos y la biodiversidad del ecosistema. 5 Anexo I En este anexo veremos los resultados que han sido necesarios para las pruebas de los Teoremas 3.9,3.10 y3.11 Definición 5.1. Dados 𝑀, 𝑁 ∈ℕy𝑎, 𝑏 ∈ℝ, denotamos por 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 𝑎 𝑏 𝑏 ⋯𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ⋯𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 ⋯𝑏 ⋮⋮⋮⋱⋮ 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑎 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝑀×𝑀 y ×=(𝑎𝑖𝑗), 𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑖 = 1,…, 𝑀;𝑗= 1,…, 𝑁. Con esta notación, la matriz 𝐶de (3.13) es una matriz de orden 𝑃+𝐴definida por 𝐶=[𝐵1Γ1 Γ2𝐵2](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) ,(5.1) donde 𝐵1=𝐷(−1, 𝛽1;𝑃), 𝐵2=𝐷(−1, 𝛽2;𝐴),Γ1=𝛾1𝑃×𝐴,Γ2=𝛾2𝐴×𝑃, esto es, las matrices definidas en (3.31). A continuación presentamos un resultado donde estudiamos la matriz 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀). Lema 5.1.Consideramos 𝑎, 𝑏 ∈ℝy𝑀∈ℕ. 1. Se tiene que |𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=(𝑎+(𝑀− 1)𝑏) (𝑎−𝑏)𝑀−1 (5.2) 92 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. 2. Se cumple 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)−1 =1 (𝑎−𝑏) (𝑎+(𝑀− 1)𝑏)𝐷(𝑑, −𝑏;𝑀) donde 𝑑=𝑎+(𝑀− 2)𝑏. Demostración. 1. Resultando la primera fila de las otras, tenemos |𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=|||||||||||||| 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑏 𝑏−𝑎 𝑏 −𝑎0 0 ⋯0 𝑏−𝑎0𝑎−𝑏0⋯0 𝑏−𝑎0 0 𝑎−𝑏⋯0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏−𝑎000⋯𝑎−𝑏 ||||||||||||||𝑀×𝑀 Ahora, sumando todas las columnas a la primera, se obtiene |𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)|=|||||||||||||| 𝑎+(𝑀− 1)𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯𝑏 0𝑎−𝑏0 0 ⋯0 0 0 𝑎−𝑏0⋯0 0 0 0 𝑎−𝑏⋯0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯𝑎−𝑏 ||||||||||||||𝑀×𝑀 = =(𝑎+(𝑀− 1)𝑏) (𝑎−𝑏)𝑀−1 . 2. Es fácil demostrar que 𝐷(𝑎, 𝑏;𝑀)⋅𝐷(𝑎, 𝑏, ;𝑀)−1 =𝐼𝑃, donde 𝐼𝑃denota la matriz identidad de orden 𝑃. A continuación veremos un resultado donde calculamos los autovalores para matrices generales . Consideramos la matriz más general =[𝐷𝑃𝐶1 𝐶2𝐷𝐴](𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) donde 𝐷𝑃=𝐷(𝑎1, 𝑑1;𝑃), 𝐷𝐴=𝐷(𝑎2, 𝑑2;𝐴), 𝐶1=𝑐1𝑃×𝐴, 𝐶2=𝑐2𝐴×𝑃, y𝑎1, 𝑑1, 𝑎2, 𝑑2, 𝑐1, 𝑐2∈ℝ. Tenemos el siguiente resultado. 5. anexo i 93 Proposición 5.1.Se cumple que ||=(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ((𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2)−𝑐1𝑐2𝐴𝑃 ). Demostración. Caso 1: Suponemos que 𝐷−1 𝑃existe, esto es 𝑎1≠𝑑1y𝑎1≠𝑑1(1 − 𝑃). En este caso obtenemos que ||=||𝐷𝑃|||||𝐷𝐴−𝐶2𝐷−1 𝑃𝐶1|||.(5.3) Primero, calculamos 𝐷2𝐷−1 𝑃𝐶1. No es difícil demostrar que 𝐶2𝐷−1 𝑃𝐶1=𝑐2𝑐1𝐴×𝑃𝐷−1 𝑃𝑃×𝐴. Usando ahora el Lema 5.1para la expresión 𝐷−1 𝑃, obtenemos 𝐷−1 𝑃𝑃×𝐴=1 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝑃×𝐴, y entonces 𝐴×𝑃𝐷−1 𝑃𝑃×𝐴=1 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝑃𝑃×𝐴 =𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝐴, de donde se puede deducir que 𝐶2𝐷−1 𝑃𝐶1=𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)𝐴×𝐴. Denotamos por =𝐷𝐴−𝐶2𝐷−1 𝑃𝐶1 y obtenemos que =𝐷(𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1), 𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1);𝐴). Usando nuevamente el Lema 5.1, obtenemos ||=(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 (𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)+(𝐴− 1)(𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1))). 94 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. Entonces, usando (5.3) obtenemos que ||=(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ⋅ ⋅(𝑎2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)+(𝐴− 1)(𝑑2−𝑐1𝑐2𝑃 (𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1))) =(𝑎1−𝑑1)𝑃−1 (𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ((𝑎1+(𝑃− 1)𝑑1)(𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2)−𝑐1𝑐2𝐴𝑃 ). Esto completa la prueba. Caso 2: 𝑎1=𝑑1. En este caso, las 𝑃-primeras filas son similares, y por tanto ||= 0. Caso 3: 𝑎1=𝑑1(1 − 𝑃). Restamos a la fila 𝑃-ésima las otras 𝑃− 1 filas, ||= ||||||||||||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐1𝑐1⋯𝑐1 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑎2𝑑2⋯𝑑2 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2⋯𝑑2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑑2⋯𝑎2 |||||||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) restamos la columna (𝑃+ 1)-ésima, a las siguientes 𝐴− 1 columnas, y se tiene que: ||= ||||||||||||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑎2𝑑2−𝑎2⋯𝑑2−𝑎2 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2 |||||||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) 5. anexo i 95 y entonces, ||= ||||||||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0 2𝑐22𝑐2⋯2𝑐22𝑐22𝑐2𝑎2+𝑑2𝑑2−𝑎2⋯0 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2 |||||||||||||||||(𝑃+𝐴)×(𝑃+𝐴) Se desarrolla el determinante por la última columna, obteniendo ||=(𝑎2−𝑑2)|||||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0 ⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 0 ⋯0 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐10⋯0 2𝑐22𝑐2⋯2𝑐22𝑐22𝑐2𝑎2+𝑑2𝑑2−𝑎2⋯0 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑2𝑎2−𝑑2⋯0 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑐2𝑐2⋯𝑐2𝑐2𝑐2𝑑20⋯𝑎2−𝑑2 ||||||||||||||(𝑃+𝐴−1)×(𝑃+𝐴−1) Repitiendo este proceso 𝐴− 1 veces, llegamos a ||=(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ||||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑10 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑10 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑10 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃)𝑐1 𝐴𝑐2𝐴𝑐2⋯𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝑎2+(𝐴− 1)𝑑2 |||||||||||||(𝑃+1)×(𝑃+1) Ahora, continuamos desarrollando el determinante, por la última columna y teniendo en cuenta que ||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑1 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑1 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑1 𝑑1𝑑1⋯𝑑1𝑑1𝑑1(1 − 𝑃) |||||||||||(𝑃+1)×(𝑃+1) = 0, se tiene ||= −𝑐1(𝑎2−𝑑2)𝐴−1 ||||||||||| 𝑃 𝑑10⋯0 0 −𝑃 𝑑1 0𝑃 𝑑1⋯0 0 −𝑃 𝑑1 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯0𝑃 𝑑1−𝑃 𝑑1 𝐴𝑐2𝐴𝑐2⋯𝐴𝑐2𝐴𝑐2𝐴𝑐2 |||||||||||𝑃×𝑃 102 sistemas dinámicos. aplicaciones a las redes complejas. 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