UNIVERSIDAD DE SEVILLA
FACULTAD DE MATEM ´
ATICAS
T abajo de Fin de G ado
El p oblema de la palab a en los
g upos de enzas
Po :
Ja ie Aguila Ma ´ın
Di igido po :
Juan Gonz´alez-Meneses L´opez y Ram´on Jes´us Flo es D´ıaz
G ado en Ma em´a icas
18 de Junio de 2018
´
Indice gene al
Abs ac 3
Resumen 4
1 P elimina es 5
1.1 T enzas como colecci´on de cue das ..................... 5
1.1.1 Es uc u a de g upo ............................. 7
1.2 Espacios de con igu aci´on .......................... 9
1.3 Mapping Class G oups ............................ 11
1.4 P esen aci´on del g upo de enzas ..................... 13
1.5 El p oblema de la palab a .......................... 14
1.6 De iniciones y esul ados adicionales .................... 16
1.6.1 P oduc o semidi ec o ............................ 16
1.6.2 Monoides ................................... 18
1.6.3 Espacios ecub ido es ............................ 19
2 Au omo ismos del g upo lib e 21
2.1 Rep esen aci´on del g upo de enzas como au omo ismos del g upo lib e 21
2.2 Soluci´on al p oblema de la palab a ..................... 23
3 Peinado de enzas 24
3.1 Sucesiones exac as .............................. 24
3.2 T enzas pu as como p oduc o semidi ec o de g upos lib es ........ 26
3.3 Soluci´on al p oblema de la palab a ..................... 27
4 Fo mas no males 31
4.1 Es uc u a de Ga side ............................ 31
4.2 Soluci´on al p oblema de la palab a ..................... 35
5 Rep esen aciones lineales 39
5.1 Rep esen aci´on de Bu au educida ..................... 39
5.1.1 De inici´on a pa i de espacios ecub ido es ................ 39
5.1.2 Exp esi´on ma icial ............................. 41
5.2 Rep esen aci´on LKB ............................. 43
5.2.1 Rep esen aci´on de Bigelow ......................... 44
5.3 Soluci´on al p oblema de la palab a ..................... 45
Bibliog a ´ıa 47
2
Abs ac
The wo d p oblem, he conjugacy p oblem and he isomo phism p oblem we e
h ee undamen al p oblems o g oup heo y p oposed by Max Dehn [11]. We will deal
wi h he i s one. This p oblem consis s o : gi en a g oup Gwi h a ini e p esen a ion
hS|Riand gi en wo elemen s A, B ∈Gas a p oduc o elemen s o Sand hei
in e ses, decide whe he A=Bas elemen s o he g oup o , equi alen ly, whe he
AB−1=e, whe e edeno es he iden i y elemen .
The name o his p oblem comes om he ac ha we can conside he alphabe
Σ = S∪S−1, whe e S−1is he se o in e ses o he elemen s o S, and iew Gas a
language o e Σ, whe e wo wo ds Aand B ep esen he same elemen i and only
i one can ans o m Ain o Bin a ini e amoun o s eps using he ew i ing ules
gi en by Rand he in e se cancella ion.
Dehn desc ibed algo i hms o sol e he wo d p oblem o he undamen al g oups
o closed o ien able wo-dimensional mani olds o genus g ea e han o equal o 2
[10]. Howe e , in 1955 Pyo No iko ound examples o ini ely p esen ed g oups
whe e he wo d p oblem is undecidable [26], i.e., he e canno be any algo i hm o
sol e i . Ne e heless, he wo d p oblem is sol able o many g oups. Clea examples
o his a e he ini e g oups and he ee g oups. He e we s udy he wo d p oblem
in he b aid g oups. These g oups appea in many b anches o ma hema ics such as
algeb a, opology and analysis, and he wo d p oblem is known o be sol able o
hem.
This p ojec begins gi ing di e en equi alen de ini ions o he b aid g oups,
s a ing om he in ui i e idea o geome ic b aid. Each de ini ion will gi e a di e en
pe spec i e and hey will p o ide us mo e ools o sol e he wo d p oblem. A he
end o he i s chap e we shall gi e some addi ional de ini ions and esul s ha will
be e y impo an o he es o he p ojec .
In he second chap e we will explain he i s known algo i hm o sol e he wo d
p oblem in he b aid g oups, based on ep esen ing b aids as au omo phisms o a ee
g oup. In he hi d chap e we will see ano he me hod, called b aid combing, based
on he sol abili y o he wo d p oblem o he ee g oups. In he ou h chap e we
will explo e he Ga side s uc u e o he b aid g oups, which will allow us o sol e
he wo d p oblem by means o a no mal o m o he elemen s o he g oup. In he
las chap e , we will p esen some examples o linea ep esen a ions ha gene a e
ano he algo i hm o sol e he wo d p oblem.
In e e y chap e he e will be conc e e examples o solu ions o he wo d p oblem
using each one o he p esen ed me hods.
3
Resumen
El p oblema de la palab a, el p oblema de la conjugaci´on y el p oblema del iso-
mo ismo ue on es p oblemas undamen ales de la eo ´ıa de g upos p opues os po
Max Dehn [11]. Aqu´ı a a emos el p ime o de ellos, consis en e en: dado un g upo
Gcon una p esen aci´on ini a hS|Riy dados dos elemen os AyBde Gexp esados
como p oduc o de los elemen os de Sy sus in e sos, decidi si A=Bcomo elemen os
del g upo o, equi alen emen e, si AB−1=e, donde e ep esen a el elemen o neu o.
El nomb e de es e p oblema p o iene de que podemos conside a el al abe o Σ =
S∪S−1, donde S−1 ep esen a el conjun o o mado po los in e sos de los elemen os
de S, y e Gcomo un lenguaje sob e Σ, en el que dos palab as AyB ep esen a ´an
el mismo elemen o si y solo si se puede ans o ma Aen Bmedian e un n´ume o
ini o de pasos usando las eglas de eesc i u a p opo cionadas po las elaciones de
Rjun o con la cancelaci´on de in e sos.
El p opio Dehn desc ibi´o algo i mos pa a esol e el p oblema de la palab a en
g upos undamen ales de 2- a iedades o ien ables ce adas con g´ene o mayo o igual
que 2 [10]. Sin emba go, en 1955 Pyo No iko encon ´o ejemplos de g upos ini a-
men e p esen ados donde el p oblema de la palab a e a indecidible [26], es deci , que
no se puede dise˜na un algo i mo que lo esuel a. A pesa de es o, hay g an can idad
de g upos donde el p oblema de la palab a s´ı es esoluble. Ejemplos cla os de ello son
los g upos ini os y los g upos lib es. Aqu´ı es udia emos los g upos de enzas, que
apa ecen en nume osas amas de las ma em´a icas como el ´algeb a, la opolog´ıa y el
an´alisis, y en los cuales el p oblema de la palab a es esoluble.
Comenza emos dando dis in as de iniciones equi alen es de los g upos de enzas,
pa iendo de la idea in ui i a de las enzas. Cada una de las de iniciones apo a ´a un
en oque dis in o, lo cual p opo ciona ´a m´as he amien as pa a la esoluci´on del p o-
blema de la palab a. Al inal del p ime cap´ı ulo da emos algunas de iniciones y
esul ados que se ´an undamen ales pa a el desa ollo del es o del abajo.
En el segundo cap´ı ulo da emos el p ime algo i mo dise˜nado pa a esol e el
p oblema de la palab a en los g upos de enzas, consis en e en ep esen a es os
g upos como au omo ismos de un g upo lib e. En el e ce cap´ı ulo e emos o o
m´e odo, conocido como peinado de enzas, basado ambi´en en la esolubilidad del
p oblema de la palab a en los g upos lib es. En el cua o cap´ı ulo explo a emos la
es uc u a de Ga side de los g upos de enzas, la cual nos pe mi i ´a esol e el
p oblema de la palab a median e el uso de unas o mas no males pa a los elemen os
de es e g upo. Po ´ul imo, e emos algunos ejemplos de ep esen aciones lineales del
g upo de enzas con los que se puede esol e el p oblema de la palab a.
En cada uno de es os cap´ı ulos se mos a ´an ejemplos conc e os de c´omo esol e
el p oblema de la palab a con cada uno de los m´e odos explicados.
4
Cap´ı ulo 1
P elimina es
Aunque el ´e mino g upo de enzas ue acu˜nado po A in en 1925 [2], es os
g upos ya ue on conside ados po Hu wi z en 1891 [21] como lo que en e minolog´ıa
mode na se llama ´ıa “g upo undamen al de espacios de con igu aci´on de npun os en
el plano complejo”. Magnus en 1935 [24] conside ´o el mismo g upo desde el pun o de
is a de los mapping classes. Ma ko [25] dio una ap oximaci´on o almen e algeb aica.
En es e cap´ı ulo e emos a ias de es as de iniciones, que son odas equi alen es
[32], ya que una sola de inici´on no es su icien e pa a enuncia y demos a los esul-
ados que se p esen an en el es o del abajo. Es a a iedad de de iniciones pe mi e
es udia los g upos de enzas desde pe spec i as muy dis in as, lo cual apo a una
g an iqueza a la eo ´ıa.
1.1. T enzas como colecci´on de cue das
Empezamos dando la de inici´on m´as g ´a ica e in ui i a, consis en e en isualiza
las enzas como cue das que se en elazan.
De inici´on 1.1.1. Sea n≥1 un en e o. Deno emos Σnal g upo sim´e ico sob e n
elemen os. Sean npun os P1, . . . , Pnen C(se puede supone que Pk=kpa a odo 1 ≤
k≤n). Se de ine la enza geom´e ica de ncue das como la n-upla β= (β1, . . . , βn)
de caminos βk: [0,1] →C×[0,1] al que:
βk( ) = (αk( ), ), donde αk(0) = Pkpa a odo 1 ≤k≤n,
exis e una pe mu aci´on τ=τ(β)∈Σn al que αk(1) = Pτ(k)pa a odo 1 ≤k≤
n, llamada pe mu aci´on inducida po β,
αk( )6=αl( ) pa a odo k6=ly pa a odo ∈[0,1].
Si la pe mu aci´on inducida po βes el elemen o neu o de Σn, es deci , si βk(1) =
(Pk,1) pa a odo 1 ≤k≤n, en onces decimos que la enza geom´e ica es pu a.
Dos enzas geom´e icas αyβse dicen homo ´opicas si exis e una amilia con inua
de enzas {γs}s∈[0,1] de modo que γ0=αyγ1=β. Es deci , dos enzas geom´e icas
son homo ´opicas si son homo ´opicas como colecci´on de caminos ela i amen e a los
pun os ex emos. Conside a emos que dos enzas geom´e icas son la misma si son
homo ´opicas, y a la clase de homo op´ıa de una enza geom´e ica de ncue das la
llama emos enza de ncue das. N´o ese que si αyβson homo ´opicas en onces τ(α) =
5

τ(β), as´ı que di emos que una enza es pu a si los elemen os de su clase de homo op´ıa
son enzas geom´e icas pu as.
El dibujo idimensional de una enza geom´e ica iene la siguien e o ma:
Figu a 1.1: Una enza geom´e ica pu a y una enza geom´e ica no pu a.
Obse aci´on 1.1.2. Pa a cada ∈[0,1], el plano C× { }es a a esado una sola ez
po cada cue da de la enza.
No malmen e, se ep esen an las enzas como su p oyecci´on en R×[0,1] (posi-
blemen e seguida de una o aci´on de 90o). Los pun os en los que la p oyecci´on de
dos cue das coincida los ep esen a emos como en la Figu a 1.2 pa a conse a la
in o maci´on de cu´al c uzaba o iginalmen e po encima. Sal o homo op´ıa, podemos
supone que la p oyecci´on iene un n´ume o ini o de pun os de c uce, en los cuales
solo in e ienen dos cue das. Adem´as podemos supone ambi´en que los c uces ocu-
en a dis in as al u as, es deci , pa a dis in os alo es de ∈[0,1]. En la Figu a 1.4
se ilus a la p oyecci´on de la enza no pu a de la Figu a 1.1.
Figu a 1.2: C uce posi i o y c uce nega i o, espec i amen e.
De inici´on 1.1.3. Se de inen los gene ado es es ´anda ogene ado es de A in como
las enzas σicon 1 ≤i≤n−1 indicadas en la Figu a 1.3.
A pa i de las obse aciones an e io es, es cla o que cualquie enza se puede
cons ui como conca enaci´on de los gene ado es de A in.
6
ii+ 1
σi
ii+ 1
σ−1
i
Figu a 1.3: Gene ado de A in y su in e so.
R× {0}R× {1}
1
n
1
n
Figu a 1.4: Ejemplo de ep esen aci´on plana.
1.1.1. Es uc u a de g upo
Una de las ca ac e ´ıs icas m´as impo an es del conjun o de clases de homo op´ıa de
enzas es que puede do a se de es uc u a de g upo pa a cada n. Pa a ello, de ini emos
el p oduc o de enzas.
De inici´on 1.1.4. El p oduc o de dos enzas α= (α1, . . . , αn) y β= (β1, . . . , βn) se
de ine como la enza
α·β= (α1βτ(1), . . . , αnβτ(n)),
donde τ=τ(α). Es deci , el p oduc o de dos enzas en el mismo n´ume o de cue das es
su conca enaci´on, en la cual se eco e en p ime luga αy despu´es β. En la Figu a 1.5
se ilus a un ejemplo. En ocasiones omi i emos el pun o y esc ibi emos simplemen e
αβ. Asimismo, deno a emos αn=α· · · α
|{z}
n eces
.
7
=
=
Figu a 1.5: P oduc o de dos enzas.
Deno emos Bnal conjun o de clases de homo op´ıa de enzas de ncue das y PBn
al conjun o de clases de homo op´ıa de enzas pu as de ncue das. Es e iden e que la
mul iplicaci´on an e io induce una ope aci´on en Bn(y po an o en PBn); es m´as, se
iene el siguien e esul ado.
P oposici´on 1.1.5. El conjun o Bndo ado de es a ope aci´on iene es uc u a de
g upo, y se le llama g upo de enzas de ncue das. El esul ado ambi´en es cie o
pa a PBn, cuyo nomb e es g upo de enzas pu as de ncue das.
Demos aci´on. Sean αyβdos enzas con ep esen an es a= (a1, . . . , an) y b=
(b1, . . . , bn) espec i amen e. En p ime luga , eamos que la ope aci´on es ´a bien de-
inida, es deci , que a·bes una enza, y po an o podemos de ini αβ = [a·b]. Sea
τ=τ(a) la pe mu aci´on inducida po a. Como akbτ(k)(0) = ak(0) = (Pk,0) pa a odo
1≤k≤n, se cumple la p ime a p opiedad de la De inici´on 1.1.1. Pa a la segunda,
bas a obse a que la nue a pe mu aci´on es τ(a·b) = τ(b)◦τ(a). En pa icula , si a
ybson pu as, en onces la pe mu aci´on inducida po el p oduc o ambi´en es la iden-
idad, po lo que el p oduc o es una enza pu a. Po ´ul imo, si ∈[0,1/2], en onces
akβτ(k)=ak(2 ) y si ∈[1/2,1], αkβτ(k)=βτ(k)(2 −1) pa a odo 1 ≤k≤n, po lo
que se iene cla amen e la e ce a p opiedad.
Po o a pa e, si a0yb0son o os ep esen an es de αyβ espec i amen e, se
iene que [a0·b0] = [a·b] po las p opiedades de la homo op´ıa de caminos con espec o
a la conca enaci´on.
Veamos aho a la es uc u a de g upo. Tenemos que p oba que la ope aci´on es
asocia i a, pe o es o se deduce de que la conca enaci´on de caminos es asocia i a sal o
homo op´ıa. Tenemos cla amen e que la iden idad es la enza cons an e ep esen ada
po Id = (Id1, . . . , Idn), donde Idkdeno a el camino (Pk, ) pa a ∈[0,1] y pa a
1≤k≤n. Finalmen e, dada α= [(a1, . . . , an)] con pe mu aci´on inducida τ, se iene
que α−1= [(aτ−1(1), . . . , aτ−1(n))], donde akdeno a el camino que es opues o a aken
la p ime a coo denada y que es id´en ico a aken la segunda coo denada.
8
En e ec o, usando las p opiedades de la homo op´ıa de caminos con espec o al
camino opues o:
αα−1= [(a1, . . . , an)·(aτ−1(1), . . . , aτ−1(n))] = [(a1aτ(τ−1(1)), . . . , anaτ(τ−1(n)))] = [Id]
An´alogamen e se p ueba α−1α= [Id]. 
β
β−1
Figu a 1.6: In e sa de una enza.
1.2. Espacios de con igu aci´on
Vamos a empeza dando la noci´on gene al de espacio de con igu aci´on, in oducida
po Fadell en 1962 [16].
De inici´on 1.2.1. Dado un espacio opol´ogico X, el n-´esimo espacio de con igu aci´on
de Xoespacio de con igu aci´on de npun os de Xse de ine como el conjun o
Mn(X) = {(x1, . . . , xn)∈Xn|xi6=xj∀i6=j},
do ado de la opolog´ıa de subsespacio de Xn. Cuando el espacio opol´ogico Xse
sob een ienda po el con ex o, el espacio de con igu aci´on se deno a ´a simplemen e
Mn.
Hay una acci´on na u al del g upo sim´e ico Σnen los pun os de Mn(X) dada po
Σn×Mn(X)→Mn(x)
(σ, x)7→ σ(x).
Es o da luga al espacio de inido a con inuaci´on:
De inici´on 1.2.2. Se de ine el n-´esimo espacio de con igu aci´on no o denado de X
oespacio de con igu aci´on de npun os no o denados de Xcomo
Nn(X) = Mn(X)/Σn,
es deci , el espacio de ´o bi as de la acci´on. De igual mane a que con el an e io espacio
de con igu aci´on, cuando se sob een ienda X, lo deno a emos po Nn.
9
M´as in a ian es de las enzas se pueden encon a en [4].
1.6. De iniciones y esul ados adicionales
En es a secci´on e emos de iniciones y esul ados m´as gene ales que se ´an u iliza-
dos a lo la go del abajo.
1.6.1. P oduc o semidi ec o
De inici´on 1.6.1. Si un g upo Gac ´ua (po la izquie da) sob e un g upo Fmedian e
au omo ismos de g upos
ρ:G→Au (F),
el p oduc o semidi ec o FoGes el g upo cuyo conjun o subyacen e es el p oduc o
ca esiano F×Gy cuyo p oduc o es ´a de inido como
(δ, h)(γ, g) = (δρh(γ), hg)
pa a δ, γ ∈Fyh, g ∈G. An´alogamen e se puede de ini FnGu ilizando una acci´on
po la de echa.
En la de inici´on hemos es ablecido que e a un g upo, pe o pa a ello enemos que
ce cio a nos de que se e i ican los axiomas de g upo.
P oposici´on 1.6.2. El p oduc o semidi ec o FoGde inido an e io men e es un
g upo.
Demos aci´on. La asocia i idad y la exis encia de elemen o neu o se iene inme-
dia amen e de la de inici´on de acci´on de g upo y de que Gac ´ua sob e Fmedian e
au omo ismos. De hecho, el elemen o neu o es e= (eF, eG), donde eFes el neu o de
FyeGel neu o de G. Vamos a p oba en onces la exis encia de elemen o in e so. Da-
do (δ, h)∈FoGbuscamos (γ, g)∈FoG al que (δ, h)(γ, g)=(eF, eG)=(γ, g)(δ, h).
Cla amen e se obse a que g=h−1. Po o o lado, enemos
δρh(γ) = eF, γρh−1(δ) = eF.
Despejando γob enemos
γ=ρ−1
h(δ−1), γ =ρh−1(δ)−1.
Ambas exp esiones son la misma pues o que Gac ´ua median e au omo ismos. Po
an o, el in e so de (δ, h) es (ρh−1(δ−1), h−1). 
16

Obs´e ese que en el caso de que ρh=IdFpa a odo h∈Gse iene el p oduc o
di ec o. O o caso pa icula men e in e esan e po la ecuencia con la que apa ece se
da cuando Gac ´ua po conjugaci´on, en cuyo caso el p oduc o se ´ıa
(δ, h)(γ, g) = (δhγh−1, hg).
Po la o ma en el que es ´a de inido el p oduc o semidi ec o, conseguimos conse a
Fy de Gcon cie a es uc u a den o de FoG, es m´as
P oposici´on 1.6.3. Fse puede e como subg upo no mal de FoGmedian e la
aplicaci´on δ7→ (δ, eG), mien as que Gse puede e como subg upo median e la
aplicaci´on h7→ (eF, h). Adem´as, is o de es a o ma, odo elemen o de FoGse
esc ibe de o ma ´unica como p oduc o de un elemen o de Fy un elemen o de G.
Demos aci´on. En ambos casos es elemen al p oba que se a an de mo ismos
inyec i os. As´ı que amos a p oba que la imagen de Fmedian e la aplicaci´on
δ7→ (δ, eG) es un subg upo no mal de FoG. Pa a ello amos a e que F× {eG}es
el n´ucleo de un cie o homomo ismo de g upos ϕ:FoG→G. Es e homomo ismo
end ´a de inido como ϕ(δ, h) = h, el cual es ´acil e que e ec i amen e es homomo -
ismo de g upos. Cla amen e ke ϕ={(δ, h)|h=eG}=F× {eG}, como que ´ıamos
demos a .
Pa a la segunda pa e, supongamos que enemos h1g1=h2g2∈FoGcon h1, h2∈
F× {eG}∼
=Fyg1, g2∈ {eF} × G∼
=G. En onces conside amos la p oyecci´on
p:FoG→G, de modo que g1=p(h1g1) = p(h2g2) = g2. Aho a bas a mul iplica a
de echa po g−1
1pa a ob ene h1=h2.
Vamos a de ini aho a una cons ucci´on que nos pe mi i ´a ob ene p oduc os se-
midi ec os a pa i de sucesiones exac as.
De inici´on 1.6.4. Dados es g upos F,GyH, se dice que Hes una ex ensi´on de
Fpo Gsi exis e una sucesi´on exac a co a
1→F→H→G→1.
En el caso de que Gsea un g upo ini o, di emos que la ex ensi´on es ini a.
P oposici´on 1.6.5. Si exis e una la sucesi´on exac a escindible
1→F→H→G→1,
en onces H∼
=FoG. El ec´ıp oco ambi´en es cie o.
17
Demos aci´on. Supongamos que enemos una secci´on s:G→H. Como la imagen
de Fes isomo a a F, podemos iden i ica ambos g upos. De inamos pues ρ:G→
Au (F) como g→Cs(g)|F, donde Cs(g)deno a la conjugaci´on po s(g) en H. Al
es ingi lo a F, es o nos da un au omo ismo bien de inido al se Fno mal en Hal
se el n´ucleo de la aplicaci´on H→G. As´ı que hemos de inido una acci´on median e
au omo ismos que da luga a un p oduc o semidi ec o isomo o a FoG.
El ec´ıp oco nos lo da la P oposici´on 1.6.3, en la cual de inimos la secci´on h7→
(eF, h) y p obamos que la imagen de Fe a no mal en el p oduc o semidi ec o. 
1.6.2. Monoides
De inici´on 1.6.6. Un monoide es un pa (S, ∗), donde Ses un conjun o y ∗:S×S→
Ses una ope aci´on bina ia sa is aciendo:
Asocia i idad, es deci , pa a cualesquie a a, b, c ∈S, (a∗b)∗c=a∗(b∗c).
Exis encia de elemen o neu o, es deci , exis e e∈S al que pa a odo a∈S,
e∗a=a∗e=a.
Habi ualmen e el s´ımbolo de la ope aci´on se ´a omi ido y nos e e i emos a Scomo
monoide, en endi´endose que en ealidad es el pa an e io .
De o ma an´aloga a como se hace pa a g upos, podemos conside a los gene ado es
de un monoide y una p esen aci´on de un monoide median e gene ado es y elaciones.
Tambi´en se de inen de o ma an´aloga los mo ismos en e monoides.
De inici´on 1.6.7. Dado un monoide Scon p esen aci´on hM|Ri, su g upo de ac-
ciones G(S) es el g upo gene ado po la misma p esen aci´on.
Exis e una aplicaci´on na u al de un monoide en su g upo de acciones. Sin emba -
go, es a aplicaci´on no siemp e es inyec i a, pues la exis encia de in e so en el g upo
puede hace que dos elemen os dis in os del monoide ep esen en el mismo elemen o
del g upo de acciones. Po ejemplo, si conside amos la p esen aci´on ha, b, c |ab =cbi,
los elemen os aycson dis in os en el monoide; sin emba go, en el g upo son el mismo,
pues mul iplicando a la de echa po b−1en la elaci´on ob enemos a=c. De aqu´ı que
conside emos la siguiende de inici´on.
De inici´on 1.6.8. Decimos que un monoide Sse inyec a en su g upo de acciones
G(S), si el mo ismo de monoides ι:S→G(S) dado po ι(a) = aes inyec i o.
18
De inici´on 1.6.9. Decimos que un monoide Ssa is ace las condiciones de O e [27]
si se cumple:
Ses cancela i o, es deci , xay =xby implica a=bpa a odo x, y, a, b ∈S.
Pa a odo a, b ∈Sexis en a0, b0∈S ales que aa0=bb0(exis e un m´ul iplo
com´un).
P oposici´on 1.6.10. Si un monoide sa is ace las condiciones de O e, en onces se
inyec a en su g upo de acciones [9, Teo ema 1.23].
1.6.3. Espacios ecub ido es
De inici´on 1.6.11. Sea Xun espacio opol´ogico. Un espacio ecub ido de Xes un
espacio opol´ogico e
Xjun o con una aplicaci´on con inua sob eyec i a p:e
X→X,
llamada aplicaci´on ecub ido a, al que pa a odo x∈Xexis e un en o no Ude x
de modo que p−1(U) es uni´on disjun a de abie os de e
Xhomeomo os a U, llamados
hojas. El espacio p−1(x) se llama ib a de x.
Ejemplo 1.6.12. El ejemplo m´as habi ual de espacio ecub ido se da pa a S1usando
como espacio ecub ido Rcon la aplicaci´on p:R→S1dada po p( ) = e2πi .
De inici´on 1.6.13. Un isomo ismo de espacios ecub ido es p1:e
X1→Xyp2:
e
X2→Xes un homeomo ismo :e
X1→e
X2 al que p1=p2 .
De inici´on 1.6.14. Pa a un espacio ecub ido p:e
X→X, los isomo ismos e
X→e
X
se denominan ans o maciones ecub ido as (deck ans o ma ions).
Cla amen e, la in e sa de un isomo ismo de espacios ecub ido es es isomo ismo
y la composici´on de isomo ismos es isomo ismo. Po an o, el conjun o de ans o -
maciones ecub ido as o ma un g upo con elemen o neu o la iden idad deno ado
G(e
X).
Ejemplo 1.6.15. En el espacio ecub ido el ejemplo 1.6.12, las ans o maciones
ecub ido as son las aplicaciones de la o ma ( ) = +npa a cada n∈Z, po lo
que G(e
X)∼
=Z. En pa icula , Zac ´ua sob e el espacio ecub ido median e cada .
De inici´on 1.6.16. Dado un espacio opol´ogico Xy un g upo G, se dice que un
espacio ecub ido e
Xse co esponde con Gsi π1(e
X) = G.
Ejemplo 1.6.17. Podemos da un espacio ecub ido de S1que se co esponda, po
ejemplo, al g upo lib e de dos elemen os ha, bi. Pa a ello, ijado un pun o base x∈S1,
bas a oma como espacio ecub ido S1∨S1con pun o base en el ´e ice, que deno-
a emos y. E ique amos cada una de las ci cun e encias como ayb espec i amen e.
19
La aplicaci´on p:S1∨S1→S1en iando y7→ xe iden i icando acon bes cla amen e
sob eyec i a y con inua. Po an o pes una aplicaci´on ecub ido a. Adem´as, es bien
sabido que π1(S1∨S1) = ha, bi.
A con inuaci´on amos a e una se ie de de iniciones y esul ados cuyas p uebas
apa ecen en [20], en la secci´on Co e ing Spaces, que usa emos m´as adelan e.
De inici´on 1.6.18. Un espacio opol´ogico Xse dice que es semilocalmen e simple-
men e conexo si odo pun o x∈X iene un en o no U al que cualquie lazo de U
basado en xes con ´ac il en X.
N´o ese que es a condici´on no implica que Usea simplemen e conexo, pues la
con acci´on del lazo no se iene po qu´e ealiza en e amen e den o de U. Ejemplo de
espacio opol´ogico no semilocalmen e simplemen e conexo es el pendien e hawaiiano1.
P oposici´on 1.6.19. Dado un espacio ecub ido p:e
X→X, una homo op´ıa :
Y→Xy una aplicaci´on con inua e
0:Y→e
Xle an ando a 0, se iene que exis e
una ´unica homo op´ıa e
:Y→e
Xde e
0que le an a a .
En adelan e, dado un pun o base x∈X, supond emos ijado un pun o base ex∈e
X
con ex∈p−1(x).
P oposici´on 1.6.20. La aplicaci´on p∗:π1(e
X)→π1(X) inducida po p:e
X→Xes
inyec i a. El subg upo imagen p∗(π1(e
X)) consis e en las clases de homo op´ıa de los
lazos de Xbasados en xcuyos le an amien os a e
Xson lazos basados en ex.
P oposici´on 1.6.21. Sea Xconexo po caminos, localmen e conexo po caminos y
semilocalmen e simplemen e conexo. En onces, pa a odo subg upo H⊆π1(X), exis-
e un espacio ecub ido p:e
X→X al que p∗(π1(e
X)) = Hsi se elige adecuadamen e
el pun o base ex.
Con es a ´ul ima p oposici´on, podemos asocia a cada subg upo de π1(X) un es-
pacio ecub ido e
Xque se co esponda con ese subg upo.
1h ps://en.wikipedia.o g/wiki/Hawaiian_ea ing
20
Cap´ı ulo 2
Au omo ismos del g upo lib e
Vamos a empeza es e cap´ı ulo dando o a in e p e aci´on de los g upos de enzas.
Aunque o iginalmen e A in isualiz´o las enzas como una colecci´on de cue das,
exis e una ep esen aci´on na u al como au omo ismos del g upo lib e Fnde ango n.
De ini emos es a ep esen aci´on po medio de mapping classes.
2.1. Rep esen aci´on del g upo de enzas como au-
omo ismos del g upo lib e
Figu a 2.1: Los lazos x1, . . . , xnson gene ado es de π1(Dn).
Obse amos que el g upo undamen al del disco aguje eado n eces, deno ado
Dn, es p ecisamen e el g upo lib e de ango n, es deci , π1(Dn) = Fn. Si ijamos un
pun o base, digamos, en el bo de del disco, podemos oma como gene ado es los lazos
x1, . . . , xndesc i os en la Figu a 2.1. Aho a, una enza β∈Bnpuede se is a como
un au omo ismo de Dnque es la iden idad en el bo de ∂(Dn) sal o iso op´ıa (que
ambi´en ija los pun os de ∂(Dn)), as´ı que βinduce una acci´on bien de inida sob e
π1(Dn) = Fn, donde un lazo γ∈π1(Dn) es en iado a β(γ). Es a acci´on es cla amen e
un homomo ismo de g upos ( espe a la conca enaci´on), el cual es biyec i o pues β−1
da luga a la acci´on in e sa. En onces, βinduce un au omo ismo de Fn, y es o nos
da la ep esen aci´on
ρ:Bn→Au (Fn)
β7→ ρβ.
El au omo ismo ρβpuede se desc i o ´acilmen e cuando β=σi, iden i icando la
imagen de los gene ado es x1, . . . , xnde Fn( e Figu a 2.2), es o es:
ρσi(xi) = xi+1, ρσi(xi+1) = x−1
i+1xixi+1, ρσi(xj) = xj(j6=i, i + 1).
21

El au omo ismo ρσ−1
i=ρ−1
σipuede se deducido ´acilmen e a pa i de ρσi, lo que nos
da
ρ−1
σi(xi) = xixi+1x−1
i, ρ−1
σi(xi+1) = xi, ρ−1
σi(xj) = xj(j6=i, i + 1).
Pa a una enza gene al β, esc i a como p oduc o de σ1, . . . , σn−1y sus in e sas, el au-
omo ismo ρβes simplemen e la composici´on de los co espondien es au omo ismos
inducidos po cada le a.
Figu a 2.2: Acci´on de σisob e los gene ado es xiyxi+1.
Es ´acil e que ρes ´a bien de inido algeb aicamen e, ya que ρσiσj=ρσjσisi
|i−j|>1, y ρσiσjσi=ρσjσiσjsi |i−j|= 1.
Teo ema 2.1.1. La ep esen aci´on an e io es iel, es deci , dos enzas es ´an ep e-
sen adas po el mismo au omo ismo si y solo si son la misma.
La p ueba de es e esul ado se puede encon a en [7]. Lo signi ica i o aho a es que
es a ep esen aci´on nos pe mi e esol e el p oblema de la palab a como explica emos
a con inuaci´on.
22
2.2. Soluci´on al p oblema de la palab a
El hecho de que las enzas puedan se is as ielmen e como au omo ismos del
g upo lib e Fnda luga inmedia amen e a una soluci´on al p oblema de la palab a
en Bn. Dadas dos enzas β1yβ2, exp esadas como palab as en σ1, . . . , σn−1y sus
in e sas, se pueden calcula sus co espondien es au omo ismos ρβ1yρβ2. En onces
β1=β2si y solo si ρβ1≡ρβ2, lo cual ocu e si y solo si ρβ1(xi) = ρβ2(xi)∈Fn
pa a i= 1, . . . , n. Como el p oblema de la palab a en Fn iene soluci´on conocida
(bas a calcula las palab as educidas asociadas a ρβ1(xi) y ρβ2(xi)), es o esuel e el
p oblema de la palab a en Bn.
Me ece la pena ema ca que es e algo i mo no es en absolu o e icien e (de hecho
iene complejidad exponencial) y exis en o os que lo son mucho m´as, pe o es a es
his ´o icamen e la p ime a soluci´on conocida pa a el p oblema de la palab a en Bn,
descubie a po A in y publicada en [2].
Veamos un ejemplo de c´omo se aplica es e m´e odo.
Ejemplo 2.2.1. Dado n≥3, sean β1=σiσ−1
i+1σiyβ2=σi+1σ−1
iσi+1 pa a alg´un
1≤i≤n−2. Nos p egun amos si es as palab as ep esen an la misma enza. Se ´an
la misma si y solo si ρβ1(xj) = ρβ2(xj) pa a odo 1 ≤j≤n−1, po lo que pa a
p oba que son dis in as bas a encon a un gene ado del g upo lib e pa a el que sus
im´agenes no coincidan. Sea pues xi. Tenemos po un lado
ρβ1(xi) = ρσiρ−1
σi+1 ρσi(xi) = ρσiρ−1
σi+1 (xi+1) = ρσi(xi+1xi+2x−1
i+1) =
x−1
i+1xixi+1xi+2x−1
i+1x−1
ixi+1
y po o o
ρβ2(xi) = ρσi+1 ρ−1
σiρσi+1 (xi) = ρσi+1 ρ−1
σi(xi) = ρσi+1 (xi+1) = xi+2.
Cla amen e xi+2 6=x−1
i+1xixi+1xi+2x−1
i+1x−1
ixi+1 en Fn, po lo que β16=β2.
23
Cap´ı ulo 3
Peinado de enzas
En es e cap´ı ulo e emos un algo i mo pa a esol e el p oblema de la palab a
basado en la posibilidad de exp esa las enzas pu as como elemen os de un p oduc o
semidi ec o de g upos lib es. El algo i mo eque i ´a una ´ecnica denominada peinado
de enzas pa a que el o den de los ac o es sea el adecuado.
3.1. Sucesiones exac as
Hay dos sucesiones exac as elacionadas con los g upos de enzas bien conocidas.
La p ime a es bas an e simple: a cada enza de Bnse le puede asocia la pe mu aci´on
que induce en sus cue das, es o es, un elemen o del g upo sim´e ico Σn. Es o da luga
a un homomo ismo de g upos bien de inido η:Bn→Σn. N´o ese que η(σi) = (i i+1)
pa a cada i= 1, . . . , n −1. El n´ucleo de ηes el subg upo de Bn o mado po las
enzas que inducen la pe mu aci´on i ial, es o es, el g upo de enzas pu as PBn.
Po an o, enemos una sucesi´on exac a:
1→PBn→Bn
η
→Σn→1.(3.1)
Hay ambi´en una aplicaci´on que elaciona las enzas pu as de dis in os ´ındices.
Conc e amen e, dada una enza pu a β∈PBn+1, se puede elimina , po ejemplo, la
´ul ima cue da pa a ob ene una enza pu a ρ(β)∈PBn. Es o da luga a un homo-
mo ismo de g upos bien de inido ρ:PBn+1 →PBn, que es cla amen e sob eyec i o.
El n´ucleo de es a aplicaci´on consis e en las enzas pu as de PBn+1 cuyas np ime-
as cue das o man la enza i ial. Sal o iso op´ıa, podemos conside a que es as n
p ime as cue das es ´an en posici´on e ical. Si mi amos es e ipo de elemen os como
lazos en el espacio de con igu aci´on Mn+1, se co esponden al mo imien o del (n+1)-
´esimo pun o mien as el es o de pun os pe manecen quie os. Es o es po supues o
equi alen e al mo imien o de un pun o en el plano complejo aguje eado n eces Cn.
En o as palab as, ke (ρ) = π1(Cn)∼
=Fn, po lo que enemos la sucesi´on exac a:
1→Fn→PBn+1
ρ
→PBn→1.(3.2)
En es a sucesi´on exac a, si Fnes ´a gene ado po x1, . . . , xn, amos a e que podemos
de ini ι:Fn→PBn+1
ι(xi) = Ai,n+1,
24
donde Ai,n+1 son gene ado es de Bi man (1.2). La aplicaci´on es ´a bien de inida, es
deci , la enza esul an e es pu a po de inici´on de los Ai,n+1. Pa a que sea la apli-
caci´on co ec a y la sucesi´on sea exac a, ιdebe se inyec i a, que es lo siguien e que
amos a p oba .
P oposici´on 3.1.1. La aplicaci´on ιan e io men e de inida es inyec i a.
Demos aci´on. La idea de es a demos aci´on se ´a in e p e a la sucesi´on exac a 3.2
en ´e minos de o a que sabemos que es exac a y comp oba que ιes la aplicaci´on
co espondien e con esa o a in e p e aci´on.
Pa a n≥1 conside amos la aplicaci´on
p:Mn+1 −→ Mn(3.3)
(z1, . . . , zn+1)7→ (z1, . . . , zn).
N´o ese que que cada ib a p−1((z1, . . . , zn)) es homeomo a a C {z1, . . . , zn}=Cn.
Como es e espacio e ae con de o maci´on sob e S1∨ · · · ∨ S1, su g upo undamen al
es Fn. De la sucesi´on exac a la ga de g upos de homo op´ıa asociada a pde es e ib ado
[20] ob enemos:
π2(Cn)→π2(Mn+1)→π2(Mn)→π1(Cn)→π1(Mn+1)→π1(Mn)→1.
Se sabe que π2(Cn) = 1 [20]. Po o a pa e, π2(M1) = π2(C) = 1. En la sucesi´on
exac a an e io , es o implica que π2(M2) = 1. Induc i amen e se p ueba que π2(Mn) =
1 pa a odo n. Es o da luga a la sucesi´on exac a
1→π1(Cn)→π1(Mn+1)→π1(Mn)→1,
que po de inici´on es equi alen e a 3.2.
Si deno amos j:π1(Cn)→π1(Mn+1) a la aplicaci´on na u al de la an e io
sucesi´on exac a, bas a e que jcoincide con ιpa a p oba el esul ado. Fijemos un
pun o base xen Cn( ´ease la Figu a 3.1).
Como se puede comp oba , un lazo basado en xen o no al aguje o i-´esimo,
que se co esponde con el gene ado xide Fn, se ans o ma de modo na u al en el
mo imien o del pun o n+ 1 al como se desc ibe en la igu a. Es e mo imien o es el
que se co esponde con la enza Ai,n+1, po lo que es a ans o maci´on es jus amen e
la aplicaci´on ι.
25
N´o ese que 4es in a ian e po mul iplicaci´on a izquie da, es o es, a4bimplica
xa 4xb pa a odo a, b, x ∈B+
n.
Dado al o den pa cial, uno pod ´ıa p egun a se si exis e un ´unico m´aximo com´un
di iso o m´ınimo com´un m´ul iplo con espec o a 4. Es o es, dadas a, b ∈B+
n, ¿exis e
un ´unico d∈B+
n al que d4a,d4byd04dpa a odo d0p e ijo com´un de ayb?
¿Y exis e un ´unico m∈B+
n al que a4m,b4mym4m0pa a odo m0que enga
aay a bcomo p e ijos? En ales casos, esc ibimos d=a∧bym=a∨b. N´o ese que
ambi´en end ´ıamos xd =xa ∧xb yxm =xa ∨xb pa a odo x∈B+
n.
No a 4.1.4. An´alogamen e pod ´ıamos de ini el o den pa cial de su ijos,<, in a ian e
po mul iplicaci´on a de echa. N´o ese que es e o den no es equi alen e al de p e ijos,
pues o que b<ano implica en gene al a4bni ec´ıp ocamen e. Po ejemplo, σ14
σ1σ2, pe o cla amen e σ1σ26<σ1.
El pun o cla e en el abajo de Ga side ue demos a median e m´e odos elemen-
ales que σiyσj ienen m´ınimo com´un m´ul iplo en B+
n. En conc e o:
P oposici´on 4.1.5. ([17, Teo ema 1.2]) El m´ınimo com´un m´ul iplo de los gene ado es
σiyσj iene dado po
σi∨σj=(σiσj|i−j|>1,
σiσjσi|i−j|= 1.
Ga side p ueba al mismo iempo que B+
nes cancela i o, es deci , xay =xby
implica a=bpa a odo a, b, x, y ∈B+
n.
Como las elaciones de 1.1 son homog´eneas, palab as equi alen es en B+
n ienen
la misma longi ud, po lo que la longi ud de una enza posi i a se de ine como la
longi ud de cualquie palab a que la ep esen e. Aunque Ga side no lo menciona
expl´ıci amen e, un a gumen o induc i o en es a longi ud u ilizando la cancela i idad
pe mi e p oba a pa i del esul ado an e io que odo pa de elemen os iene de B+
n
iene un ´unico m´ınimo com´un m´ul iplo y un ´unico m´aximo com´un di iso , al como
se p ueba en [12].
Ga side despu´es es udia el siguien e elemen o especial.
De inici´on 4.1.6. La enza undamen al de ncue das es la enza
∆n=σ1(σ2σ1)· · · (σn−1· · · σ1).
Cuando nse sob een iende, esc ibimos simplemen e ∆.
32

P oposici´on 4.1.7. Se e i ican:
1. ∆ = σ1∨ · · · ∨ σn−1[17, Lema 1].
2. σi∆ = ∆σn−ipa a odo i= 1, . . . , n −1 [17, Lema 4].
Figu a 4.1: La enza undamen al ∆5.
A pa i de es e esul ado podemos deduci las siguien es p opiedades sob e ∆.
P oposici´on 4.1.8. Se cumplen:
1. σ1, . . . , σn−1son ambi´en su ijos de ∆.
2. ∆2conmu a con odo elemen o de B+
n.
3. Pa a odo a∈B+
nse iene a4∆my ∆m<a, donde m≥0 es la longi ud de a.
Demos aci´on.
1. En p ime luga , se iene pa a k > i ≥1 que σi(σk· · · σ1) = (σk· · · σ1)σi+1. En
e ec o, usando las elaciones del monoide de enzas posi i as
σi(σk· · · σ1) = σi(σk· · · σi+2)(σi+1σi)(σi−1· · · σ1)
= (σk· · · σi+2)(σiσi+1σi)(σi−1· · · σ1)
= (σk· · · σi+2)(σi+1σiσi+1)(σi−1· · · σ1)
= (σk· · · σi+2)(σi+1σi)(σi−1· · · σ1)σi+i
= (σk· · · σ1)σi+1.
As´ı pues, pa a exp esa σicomo su ijo de ∆ hacemos los siguien e. Si i= 1,
en onces po la de inici´on de ∆ ya enemos que es un su ijo. Si 1 < i ≤n−1,
pa imos de
∆ = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i. . . σ1)· · · (σn−1. . . σ1).
P ocedemos a desplaza a la de echa el σ1sub ayado al como hemos hecho
an e io men e. En cada paso i ´a aumen ando el´ındice en una unidad. Po an o,
33
como hay n−(n−i−1) = i−1 bloques que se dejan a ´as, ob enemos σ1+i−1=σi,
es deci ,
∆ = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i. . . σ1)(σn−i+1 · · · σ1)· · · (σn−1. . . σ1) =
σ1(σ2σ1)· · · (σn−i· · · σ2)(σn−i+1 · · · σ1σ2)· · · (σn−1. . . σ1) =
σ1(σ2σ1)· · · (σn−i· · · σ2)(σn−i+1 · · · σ1)· · · (σn−1. . . σ1)σi
2. Bas a p oba que ∆2conmu a con σipa a odo 1 ≤i≤n−1. Como σi∆ =
∆σn−iyσn−i∆ = ∆σise iene
σi∆2= ∆σn−i∆=∆2σi.
3. P obamos a4∆mdonde mes la longi ud de apo inducci´on en m. E iden-
emen e, 1 4∆0= 1. Pa a una palab a de longi ud 1 ambi´en es cla o po que
σi4∆ pa a odo 1 ≤i≤n−1 po de inici´on de m´ınimo com´un m´ul iplo.
Supongamos aho a, que pa a una palab a a∈B+
nde longi ud m−1 se iene
el esul ado. En onces, cualquie palab a de longi ud mse ´a de la o ma σja
pa a alg´un 1 ≤j≤n−1. As´ı que, usando la in a ianza po mul iplicaci´on a
izquie da y el caso m= 1,
a4∆m−1⇒σja4σj∆m−1= ∆m−1σ 4∆m−1∆ = ∆m
donde =jo bien =n−jdependiendo de la pa idad de m. De o ma an´aloga
usando la in a ianza po mul iplicaci´on a de echa se p ueba que ∆m<a.

Es o iene impo an es implicaciones. Como odo pa de elemen os de B+
n iene
un m´ul iplo com´un y B+
nes cancela i o, las condiciones de O e (1.6.9) implican que
B+
nse inyec a en su g upo de acciones, que es p ecisamen e Bn. Po lo an o, B+
nno
es solamen e un monoide de inido algeb aicamen e, sino que puede se conside ado
como un submonoide de Bn o mado po las enzas que pueden se esc i as solo con
po encias posi i as de los gene ado es.
Las p opiedades an e io es implican que el o den pa cial 4( espec i amen e, <)
puede se ex endido a Bnde la siguien e mane a: dadas a, b ∈Bn,a4b( esp. a<b)
si ac =b( esp. b=ca) pa a alg´un c∈B+
n. Es o da un o den pa cial que es in a ian e
po mul iplicaci´on a izquie da ( esp. a de echa), y el cual admi e un ´unico m´ınimo
com´un m´ul iplo y un ´unico m´aximo com´un di iso . Es e hecho pod ´a se p obado
una ez de inida la o ma no mal de Ga side en la secci´on a con inuaci´on.
34
4.2. Soluci´on al p oblema de la palab a
Ga side dio una nue a soluci´on al p oblema de la palab a en los g upos de enzas
de la siguien e mane a. Reco demos que pa a odo i= 1, . . . , n−1 se iene que ∆ <σi
po la P oposici´on 4.1.8 apa ado 1, es o es, ∆ = Xiσipa a alg´un Xi∈B+
n. Dada una
enza esc i a como una palab a en σ1, . . . , σn−1y sus in e sos, se puede eemplaza
cada apa ici´on de σ−1
ipo ∆−1Xi. Conjuga una enza posi i a po ∆ sigue dando
una enza posi i a po la P oposici´on 4.1.7 apa ado 2, as´ı que podemos mo e
odas las apa iciones de ∆−1a la izquie da, de la siguien e o ma: si encon amos
σj∆−1(1 ≤j≤n−1), en onces po 4.1.7 sabemos que ∆σj=σn−j∆, si y solo si
σj∆−1= ∆−1σn−j, po lo que podemos sus i ui σj∆−1po ∆−1σn−j. Es o mues a
que oda enza puede se esc i a como ∆pApa a alg´un p∈Zy alg´un A∈B+
n.
Adem´as, si ∆ 4A, podemos eemplaza ∆ppo ∆p+1 yApo ∆−1A. Es o educe
la longi ud de A, as´ı que solo puede hace se una can idad ini a de eces. Po an o,
oda enza puede descompone se de mane a ´unica, como ∆pA, donde p∈Z,A∈B+
n
y ∆ 64A. E ec i amen e, si u i´e amos dos exp esiones ∆pA= ∆qBcon p < q en
las condiciones an e io es, di idiendo po ∆p end ´ıamos que A= ∆q−pB, lo cual
con adice el hecho de que Ano enga a ∆ como p e ijo. An´alogamen e pa a p>q,
luego p=qyA=B.
De inici´on 4.2.1. En base a lo comen ado en el p´a a o an e io , de inimos la o ma
no mal de Ga side de una palab a w∈Bncomo w= ∆pA, donde p∈Z,A∈B+
ny
∆64A.
Es a o ma no mal pe mi e esol e el p oblema de la palab a, ya que se pueden
enume a odas las palab as posi i as que ep esen an la enza posi i a A ei e ando
las elaciones del monoide de enzas posi i as de odas las o mas posibles. Es a ue
la soluci´on dada po Ga side en [17]. Sin emba go, no es muy sa is ac o ia, ya que da
luga a un algo i mo al amen e ine icien e.
El- i ai y Mo on [14] lo mejo a on de iniendo la o ma no mal a la izquie da de
una enza. Bas a oma la descomposici´on ∆pAy despu´es de ini
a1=A∧∆
ai= (a−1
i−1· · · a−1
1A)∧∆,∀i > 1.
N´o ese que exis e un ≥0 al que ai= 1 pa a odo i> , ya que la longi ud
de a−1
i−1· · · a−1
1Aes es ic amen e dec ecien e. De es a o ma, oda enza puede se
esc i a de mane a ´unica como:
∆pa1· · · a ,
donde los aison los de inidos an e io men e, los cuales po de inici´on son un p e ijos
p opios de ∆, es deci , 1 ≺ai≺∆, y adem´as se puede demos a que (aiai+1)∧∆ = ai
35
[15] pa a odo i= 1, . . . , −1. Es a es la an e io men e mencionada o ma no mal a
la izquie da de la enza. Los p e ijos posi i os de ∆ son llamados elemen os simples
o enzas de pe mu aci´on. El nomb e no es casual, ya que como p ueba Thu s on [15],
es as enzas son jus amen e las mismas enzas de pe mu aci´on de inidas en 3.3. Po
an o, la o ma no mal a la izquie da de una enza es una descomposici´on ´unica como
p oduc o de una po encia de ∆ y una sucesi´on de elemen os simples p opios. Thu s on
[15] mos ´o que es a o ma no mal puede se calculada en iempo O(l2nlog(n)) pa a
una palab a de lle as en Bn.
En [15] se puede encon a adem´as una o ma m´as p ´ac ica de lle a a cabo el
algo i mo de encon a la o ma no mal a la izquie da, la cual se ´a la que u ilicemos
en el ejemplo 4.2.2. An es de explica la amos a in oduci algo de nomencla u a.
Dadas dos enzas simples posi i as AyB, decimos que un p e ijo no i ial b4B
se puede pasa de BaAsi Ab es simple, y en al caso pasa bde BaAconsis e en
las ans o maciones A→Ab yB→b−1B. Con es o p esen e, el algo i mo consis e
en lo siguien e:
1. Una ez enemos una palab a w∈Bnen o ma no mal de Ga side w= ∆pA,
si A= 1, en onces no hay nada que hace . En caso con a io, di idimos Aen
bloques o mados po elemen os simples, digamos,
A=a1,0a2,0. . . am,0.
2. En el paso ≥0 enemos Aexp esada en bloques de elemen os simples como
A=a1, a2, . . . am, .
En es e paso buscamos el p ime pa ai, ai+1, de modo que se pueda pasa alg´un
p e ijo de ai+1, aai, y lo pasamos. Es o nos da ´a la descomposici´on
A=a1, +1a2, +1 . . . am, +1.
3. Vol emos paso 2 y ei e amos has a que no quede ning´un pa que e i ique la
condici´on.
Es e p oceso na u almen e e mina po que el ec o o mado po las longi udes
de los bloques aumen a en cada paso su o den lexicog ´a ico, el cual es ´a aco ado
po (m, 0,...,0) donde mes la longi ud de A. La o ma no mal a la izquie da se
ob end ´a eliminando los bloques i iales (que necesa iamen e es a ´an al inal).
Al e na i amen e, pod ´ıamos empeza con una descomposici´on w= ∆qAcon
A∈B+
n, pe o sin asegu a nos de que ∆ 64A, pues ∆ apa ece ´ıa al acumula elemen os
simples en caso de se p e ijo de A, y pod ´ıamos en ia lo al bloque de ∆q. En cualquie
caso, es e p oceso acaba ´a con la o ma no mal a la izquie da, pues no pode pasa
ninguna le a del bloque ai+1 al bloque aies equi alen e a que ai= (aiai+1)∧∆.
36
Ejemplo 4.2.2. En B4sean α1=σ1σ−1
2σ3yα2=σ3σ1σ1σ2σ1, las cuales que e-
mos comp oba si ep esen an el mismo elemen o. Lo p ime o que debemos hace es
elimina el exponen e nega i o de α1. Pa a ello, enemos que exp esa ∆ = ∆4=
σ1(σ2σ1)(σ3σ2σ1) de o ma que enga a σ2como su ijo. Es o es sencillo pues bas a
usa la ´ecnica de la demos aci´on del p ime apa ado de la P oposici´on 4.1.8 pa a
esc ibi
∆ = σ1(σ2)(σ3σ2σ1)σ2.
As´ı pues, σ−1
2= ∆−1σ1σ2σ3σ2σ1, de modo que α1=σ1∆−1σ1σ2σ3σ2σ1σ3. Usando la
P oposici´on 4.1.7, pasamos ∆−1a la izquie da:
α1= ∆−1σ3σ1σ2σ3σ2σ1σ3
Aho a amos a hace la sepa aci´on de bloques en las palab as posi i as. Empe-
zamos con α2. Vamos a di idi la en los bloques b1,0=σ3σ1yb2,0=σ1σ2σ1, que son
cla amen e enzas simples. En gene al se puede comenza po bloques de una sola
le a. As´ı, ob enemos
α2=b1,0b2,0= (σ3σ1)(σ1σ2σ1).
Apa en emen e no podemos pasa ninguna le a de b2,0ab1,0, pues apa ece ´ıa σ1dos
eces seguidas. Sin emba go, eco demos que las elaciones de 1.1 nos dan σ1σ2σ1=
σ2σ1σ2. Po lo an o, eesc ibimos α2y con inuamos
α2=b1,1b2,1= (σ3σ1σ2σ1)(σ2).
Aho a enemos la si uaci´on in e sa: apa en emen e pod ´ıamos a˜nadi σ2al p ime
bloque, pe o u ilizando la misma elaci´on de la p esen aci´on del g upo de enzas que
an es, nos apa ece ´ıa σ2dos eces consecu i as, po lo que hemos inalizado el p oceso
yα2= ∆0b1b2con b1=b1,1yb2=b2,1. Obs´e ese que el bloque que hemos pasado a
la izquie da (σ2σ1) se co esponde con b2,0∧(b−1
1,0∆) y el bloque esul an e (σ3σ1σ2σ1)
se co esponde con α2∧∆ en el algo i mo o iginal de El- i ai y Mo on. Adem´as es
cla o que ninguno de los ac o es es una po encia de ∆.
Vamos aho a con la pa e posi i a de α1, que la di idimos en bloques a1,0=σ3,
a2,0=σ1σ2σ3σ2σ1ya3,0=σ3. Tenemos
α1= (σ3)(σ1σ2σ3σ2σ1)(σ3) = a1,0a2,0a3,0
= (σ3σ1σ2σ3)(σ2σ1)(σ3) = a1,1a2,1a3,1
= (σ3σ1σ2σ3)(σ2σ1σ3)() = a1,2a2,2a3,2
Vemos que ya no podemos pasa ninguna le a m´as a la izquie da y que ning´un ac o
es una po encia de ∆, po lo que hemos e minado. Como a3,2es i ial podemos
elimina lo, con lo que α1= ∆−1a1a2donde a1=a1,2ya2=a2,2. Al compa a las
descomposiciones inales de α1yα2comp obamos que nos ienen la misma o ma
no mal, luego ep esen an elemen os dis in os.
37

An es de e mina es e cap´ı ulo, como comen ´abamos al inal de la secci´on an e io ,
la o ma no mal de Ga side pe mi e p oba la exis encia y unicidad de m´ınimo com´un
m´ul iplo y m´aximo com´un di iso en Bncon el o den pa cial inducido po el o den
pa cial de inido en B+
n.
P oposici´on 4.2.3. Dadas a, b ∈Bn, exis en c=a∧b∈Bnyd=a∨b∈Bn, es
deci , exis en el m´aximo com´un di iso y el m´ınimo com´un m´ul iplo en Bn.
Demos aci´on. Dadas a, b ∈Bn, sean sus o mas no males a= ∆p1Ayb= ∆p2B,
donde p1, p2∈ZyA, B ∈B+
n. Tomando q= m´ax{|p1|,|p2|} enemos que ∆qa, ∆qb∈
B+
n. Po an o, sabemos que exis e un m´aximo com´un di iso c= (∆qa∧∆qb)∈B+
n.
En onces, po la in a ianza po mul iplicaci´on a izquie da del o den de p e ijos
c4∆qa⇔∆−qc4a,
c4∆qb⇔∆−qc4b.
Es o signi ica que ∆−qces un p e ijo com´un de ay de b. Sea d∈Bncon d4ayd4b.
Exis e en onces N≥qde modo que ∆Nd, ∆Na, ∆Nb∈B+
ny, adem´as, ∆Nd4∆Na
y ∆Nd4∆Nb. Po an o,
∆Nd4∆Na∧∆Nb= ∆N−q(∆qa∧∆qb) = ∆N−qc.
Po consiguien e, d4∆−qc, con lo que ∆−qces de hecho el m´aximo com´un di iso
de ayb. An´alogamen e se p ueba pa a el m´ınimo com´un m´ul iplo. 
38
Cap´ı ulo 5
Rep esen aciones lineales
La exis encia (o no exis encia) de ep esen aciones lineales ieles de los g upos de
enzas es una de las mayo es cues iones de es a ´a ea de in es igaci´on. Es e p oblema
ue po p ime a ez esuel o po Bigelow [5] y K amme [23] en el a˜no 2000, median e
la conocida como ep esen aci´on LKB. Adem´as de es a ep esen aci´on exis en o as,
como la ep esen aci´on de Bu au educida, con la cual empeza emos es e cap´ı ulo.
5.1. Rep esen aci´on de Bu au educida
5.1.1. De inici´on a pa i de espacios ecub ido es
Conside emos el disco aguje eado n eces Dncon un pun o base d0∈Dn.
De inici´on 5.1.1. Pa a cada lazo αbasado en d0denominamos´ındice o al a la suma
de los ´ındices (n´ume o de uel as) de αcon espec o a cada aguje o y lo deno amos
φα. Es o es, si un αes ´a ep esen ado en Fnpo Qk
i=1 xmji
ji, en onces
φα =
k
X
i=1
mji.
Se obse a que φes un homomo ismo de g upos φ:π1(Dn)→Zal se el ´ındice
o al un in a ian e homo ´opico. Sea e
Dnel espacio ecub ido co espondien e a ke φ
( e De inici´on 1.6.16). Vamos a desc ibi geom´e icamen e es e espacio ecub ido
( e Figu a 5.1).
Pa a isualiza lo mejo , amos a ag anda los aguje os de modo que se con ie an
en bolas abie as y llamamos a es e nue o espacio X. Dibujamos segmen os A1, . . . , An
desde el cen o de las bolas has a el bo de del disco. Co amos Xa lo la go de
es os segmen os, de modo que ob enemos dos copias disjun as A+
iyA−
ide cada
Ai. Llamamos a es e espacio X∗. Sean hi:A+
i→A−
ihomeomo ismos y omamos
una can idad nume able de copias X∗
jde X∗. Pa a cada jsea gj:X∗
j→X∗un
homeomo ismo. El espacio e
Xse de ine como la uni´on disjun a de los X∗
jiden i icando
A+
i⊆X∗
jcon A−
i⊆X∗
j+1 median e g−1
j+1higj.
El hecho de que es e sea el ecub imien o co espondien e a ke φse debe a que,
ijada una p eimagen ˜
d0∈e
Xde d0, un lazo en d0se le an a a un lazo en ˜
d0si y solo
si su ´ındice o al es nulo, pues pa a cada uel a posi i a sube un ni el en el ecu-
b imien o y pa a cada uel a nega i a lo baja, as´ı que pa a acaba de nue o en ˜
d0
39
debe ´a subi an as eces como baja, es deci , que el n´ume o o al de uel as sea nulo.
Figu a 5.1: Dos hojas del espacio ecub ido e
X.
Hay una acci´on na u al de Zen e
Xcomo ans o maci´on ecub ido a dada po
X∗
j3x7→ g−1
j+ngjxpa a cada n∈Z. Es a acci´on se puede in e p e a como cambia
el pun o xde ni el. Adem´as, la acci´on es cla amen e lib e y el espacio de ´o bi as e
X/Z
es X.
Vamos a e c´omo de ini la ep esen aci´on de Bu au educida. Sea β∈Bnindu-
cida po un au omo ismo hde Dnque ija el bo de pun o a pun o, lo cual amos a
deno a como β= [h]. En onces, pa a cualquie lazo γen Dnse iene que φ(hγ) = φγ,
de modo que hinduce una equi alencia de homo op´ıa ˜
hde e
Dnque ija el bo de [20]. Pa-
sando a la homolog´ıa, es o nos da un au omo ismo de H1(e
Dn). Si h0es cualquie o o
au omo ismo con [h0] = β, en onces [h]−1[h0] = 1, as´ı que como la aplicaci´on inducida
po el ecub imien o π1(e
Dn)→π1(Dn) es inyec i a (1.6.20) enemos que [˜
h]−1[˜
h0] = 1
como aplicaci´on en π1(e
Dn). Pasando a homolog´ıa, es o nos da [˜
h]−1[˜
h0] = 1 como
aplicaci´on en H1(e
Dn).
De inici´on 5.1.2. Sea el homomo ismo ψ :Bn→GL(H1(e
Dn)) dado po ψ (β) =
[˜
h]. Es a aplicaci´on es ´a bien de inida po las obse aciones an e io es y se conoce
como ep esen aci´on de Bu au educida de Bn.
Se llama educida po que exis e una ep esen aci´on n-dimensional de la cual la
o ma educida es un sumando i educible, es deci , que no se puede exp esa como
40
una combinaci´on de dos ep esen aciones lineales. Es a mencionada ep esen aci´on
n-dimensional puede encon a se en [22]. Como e emos con la siguien e p oposici´on,
la ep esen aci´on que hemos dado es (n−1)-dimensional.
P oposici´on 5.1.3. H1(e
Dn) es un m´odulo lib e de ango n−1 sob e Z[ , −1].
Demos aci´on. Vamos a calcula la homolog´ıa de e
X, que es cla amen e del mis-
mo ipo de homo op´ıa que e
Dn. Adem´as podemos conside a φcomo una aplicaci´on
π1(X)→Zpo se Xhomo ´opicamen e equi alen e a Dn. Eligiendo en onces un gene-
ado ∈π1(X)/ke φpodemos e H1(e
X) como un Z[ , −1]-m´odulo, donde la suma
se co esponde con la conca enaci´on de lazos y el p oduc o po con la conjugaci´on
po un lazo xi.
Sean A=Sj∈ZX∗
2jyB=Sj∈ZX∗
2j+1 subespacios cuya uni´on es e
X. La sucesi´on
de Maye -Vie o is nos da
0→H1(e
X)∆
→H0(A∩B)i∗
→H0(A)⊕H0(B),
donde el 0 p o iene de que AyBson homo ´opicamen e equi alen es a un espacio
disc e o. Po an o, H1(e
X)∼
=Im ∆ = ke i∗. Aho a, H0(A∩B) es isomo o a Lj∈ZZn,
ya que pa a cada j∈Z, la in e secci´on X∗
j∩X∗
j+1 es homo ´opicamen e equi alen e
a un espacio de npun os. En onces {aj,1, . . . , aj,n}j∈Zuna Z-base pa a H0(A∩B).
Es ´acil e que {aj,1−aj,2, . . . , aj,n−1−aj,n}j∈Zes una base pa a ke i∗. Sea ˜
d0∈e
X
un le an amien o del pun o base d0∈X, digamos ˜
d0∈X∗
0. Deno amos po iel
elemen o de H1(e
X) ep esen ado po el le an amien o del lazo xix−1
i+1 (1 ≤i≤n−1).
Se iene que ∆( i) = a0,i −a0,i+1 [22] y pa a odo j∈Zse iene ∆( j i) = aj,i −aj,i+1.
Po an o, los j i o man una base de H1(e
X) como Z-m´odulo, y como consecuencia
{ 1, . . . , n−1}es una base de H1(e
X) como Z[ , −1]-m´odulo. 
5.1.2. Exp esi´on ma icial
A pa i de la demos aci´on de la P oposici´on 5.1.3 podemos ob ene la exp esi´on
ma icial de la ep esen aci´on de Bu au educida. Como explica emos con ayuda de
la Figu a 5.2, la acci´on de σisob e H1(e
X) iene dada po
ψ σi( j) = 








j+ j+1 j=i−1,
− jj=i,
j−1+ jj=i+ 1,
jc.c.
41
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