El problema de la palabra en los grupos de trenzas

UNIVERSIDAD DE SEVILLA FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS Trabajo de Fin de Grado El problema de la palabra en los grupos de trenzas Por: Javier Aguilar Mart´ın Dirigido por: Juan Gonz´alez-Meneses L´opez y Ram´on Jes´us Flores D´ıaz Grado en Matem´aticas 18 de Junio de 2018 ´ Indice general Abstract 3 Resumen 4 1 Preliminares 5 1.1 Trenzas como colecci´on de cuerdas ..................... 5 1.1.1 Estructura de grupo ............................. 7 1.2 Espacios de configuraci´on .......................... 9 1.3 Mapping Class Groups ............................ 11 1.4 Presentaci´on del grupo de trenzas ..................... 13 1.5 El problema de la palabra .......................... 14 1.6 Definiciones y resultados adicionales .................... 16 1.6.1 Producto semidirecto ............................ 16 1.6.2 Monoides ................................... 18 1.6.3 Espacios recubridores ............................ 19 2 Automorfismos del grupo libre 21 2.1 Representaci´on del grupo de trenzas como automorfismos del grupo libre 21 2.2 Soluci´on al problema de la palabra ..................... 23 3 Peinado de trenzas 24 3.1 Sucesiones exactas .............................. 24 3.2 Trenzas puras como producto semidirecto de grupos libres ........ 26 3.3 Soluci´on al problema de la palabra ..................... 27 4 Formas normales 31 4.1 Estructura de Garside ............................ 31 4.2 Soluci´on al problema de la palabra ..................... 35 5 Representaciones lineales 39 5.1 Representaci´on de Burau reducida ..................... 39 5.1.1 Definici´on a partir de espacios recubridores ................ 39 5.1.2 Expresi´on matricial ............................. 41 5.2 Representaci´on LKB ............................. 43 5.2.1 Representaci´on de Bigelow ......................... 44 5.3 Soluci´on al problema de la palabra ..................... 45 Bibliograf´ıa 47 2 Abstract The word problem, the conjugacy problem and the isomorphism problem were three fundamental problems of group theory proposed by Max Dehn [11]. We will deal with the first one. This problem consists of: given a group Gwith a finite presentation hS|Riand given two elements A, B ∈Gas a product of elements of Sand their inverses, decide whether A=Bas elements of the group or, equivalently, whether AB−1=e, where edenotes the identity element. The name of this problem comes from the fact that we can consider the alphabet Σ = S∪S−1, where S−1is the set of inverses of the elements of S, and view Gas a language over Σ, where two words Aand Brepresent the same element if and only if one can transform Ainto Bin a finite amount of steps using the rewriting rules given by Rand the inverse cancellation. Dehn described algorithms to solve the word problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2 [10]. However, in 1955 Pyotr Novikov found examples of finitely presented groups where the word problem is undecidable [26], i.e., there cannot be any algorithm to solve it. Nevertheless, the word problem is solvable for many groups. Clear examples of this are the finite groups and the free groups. Here we study the word problem in the braid groups. These groups appear in many branches of mathematics such as algebra, topology and analysis, and the word problem is known to be solvable for them. This project begins giving different equivalent definitions of the braid groups, starting from the intuitive idea of geometric braid. Each definition will give a different perspective and they will provide us more tools to solve the word problem. At the end of the first chapter we shall give some additional definitions and results that will be very important for the rest of the project. In the second chapter we will explain the first known algorithm to solve the word problem in the braid groups, based on representing braids as automorphisms of a free group. In the third chapter we will see another method, called braid combing, based on the solvability of the word problem for the free groups. In the fourth chapter we will explore the Garside structure of the braid groups, which will allow us to solve the word problem by means of a normal form of the elements of the group. In the last chapter, we will present some examples of linear representations that generate another algorithm to solve the word problem. In every chapter there will be concrete examples of solutions of the word problem using each one of the presented methods. 3 Resumen El problema de la palabra, el problema de la conjugaci´on y el problema del isomorfismo fueron tres problemas fundamentales de la teor´ıa de grupos propuestos por Max Dehn [11]. Aqu´ı trataremos el primero de ellos, consistente en: dado un grupo Gcon una presentaci´on finita hS|Riy dados dos elementos AyBde Gexpresados como producto de los elementos de Sy sus inversos, decidir si A=Bcomo elementos del grupo o, equivalentemente, si AB−1=e, donde erepresenta el elemento neutro. El nombre de este problema proviene de que podemos considerar el alfabeto Σ = S∪S−1, donde S−1representa el conjunto formado por los inversos de los elementos de S, y ver Gcomo un lenguaje sobre Σ, en el que dos palabras AyBrepresentar´an el mismo elemento si y solo si se puede transformar Aen Bmediante un n´umero finito de pasos usando las reglas de reescritura proporcionadas por las relaciones de Rjunto con la cancelaci´on de inversos. El propio Dehn describi´o algoritmos para resolver el problema de la palabra en grupos fundamentales de 2-variedades orientables cerradas con g´enero mayor o igual que 2 [10]. Sin embargo, en 1955 Pyotr Novikov encontr´o ejemplos de grupos finitamente presentados donde el problema de la palabra era indecidible [26], es decir, que no se puede dise˜nar un algoritmo que lo resuelva. A pesar de esto, hay gran cantidad de grupos donde el problema de la palabra s´ı es resoluble. Ejemplos claros de ello son los grupos finitos y los grupos libres. Aqu´ı estudiaremos los grupos de trenzas, que aparecen en numerosas ramas de las matem´aticas como el ´algebra, la topolog´ıa y el an´alisis, y en los cuales el problema de la palabra es resoluble. Comenzaremos dando distintas definiciones equivalentes de los grupos de trenzas, partiendo de la idea intuitiva de las trenzas. Cada una de las definiciones aportar´a un enfoque distinto, lo cual proporcionar´a m´as herramientas para la resoluci´on del problema de la palabra. Al final del primer cap´ıtulo daremos algunas definiciones y resultados que ser´an fundamentales para el desarrollo del resto del trabajo. En el segundo cap´ıtulo daremos el primer algoritmo dise˜nado para resolver el problema de la palabra en los grupos de trenzas, consistente en representar estos grupos como automorfismos de un grupo libre. En el tercer cap´ıtulo veremos otro m´etodo, conocido como peinado de trenzas, basado tambi´en en la resolubilidad del problema de la palabra en los grupos libres. En el cuarto cap´ıtulo exploraremos la estructura de Garside de los grupos de trenzas, la cual nos permitir´a resolver el problema de la palabra mediante el uso de unas formas normales para los elementos de este grupo. Por ´ultimo, veremos algunos ejemplos de representaciones lineales del grupo de trenzas con los que se puede resolver el problema de la palabra. En cada uno de estos cap´ıtulos se mostrar´an ejemplos concretos de c´omo resolver el problema de la palabra con cada uno de los m´etodos explicados. 4 Cap´ıtulo 1 Preliminares Aunque el t´ermino grupo de trenzas fue acu˜nado por Artin en 1925 [2], estos grupos ya fueron considerados por Hurwitz en 1891 [21] como lo que en terminolog´ıa moderna se llamar´ıa “grupo fundamental de espacios de configuraci´on de npuntos en el plano complejo”. Magnus en 1935 [24] consider´o el mismo grupo desde el punto de vista de los mapping classes. Markov [25] dio una aproximaci´on totalmente algebraica. En este cap´ıtulo veremos varias de estas definiciones, que son todas equivalentes [32], ya que una sola definici´on no es suficiente para enunciar y demostrar los resultados que se presentan en el resto del trabajo. Esta variedad de definiciones permite estudiar los grupos de trenzas desde perspectivas muy distintas, lo cual aporta una gran riqueza a la teor´ıa. 1.1. Trenzas como colecci´on de cuerdas Empezamos dando la definici´on m´as gr´afica e intuitiva, consistente en visualizar las trenzas como cuerdas que se entrelazan. Definici´on 1.1.1. Sea n≥1 un entero. Denotemos Σnal grupo sim´etrico sobre n elementos. Sean npuntos P1, . . . , Pnen C(se puede suponer que Pk=kpara todo 1 ≤ k≤n). Se define la trenza geom´etrica de ncuerdas como la n-upla β= (β1, . . . , βn) de caminos βk: [0,1] →C×[0,1] tal que: βk(t) = (αk(t), t), donde αk(0) = Pkpara todo 1 ≤k≤n, existe una permutaci´on τ=τ(β)∈Σntal que αk(1) = Pτ(k)para todo 1 ≤k≤ n, llamada permutaci´on inducida por β, αk(t)6=αl(t) para todo k6=ly para todo t∈[0,1]. Si la permutaci´on inducida por βes el elemento neutro de Σn, es decir, si βk(1) = (Pk,1) para todo 1 ≤k≤n, entonces decimos que la trenza geom´etrica es pura. Dos trenzas geom´etricas αyβse dicen homot´opicas si existe una familia continua de trenzas {γs}s∈[0,1] de modo que γ0=αyγ1=β. Es decir, dos trenzas geom´etricas son homot´opicas si son homot´opicas como colecci´on de caminos relativamente a los puntos extremos. Consideraremos que dos trenzas geom´etricas son la misma si son homot´opicas, y a la clase de homotop´ıa de una trenza geom´etrica de ncuerdas la llamaremos trenza de ncuerdas. N´otese que si αyβson homot´opicas entonces τ(α) = 5 τ(β), as´ı que diremos que una trenza es pura si los elementos de su clase de homotop´ıa son trenzas geom´etricas puras. El dibujo tridimensional de una trenza geom´etrica tiene la siguiente forma: Figura 1.1: Una trenza geom´etrica pura y una trenza geom´etrica no pura. Observaci´on 1.1.2. Para cada t∈[0,1], el plano C× {t}es atravesado una sola vez por cada cuerda de la trenza. Normalmente, se representan las trenzas como su proyecci´on en R×[0,1] (posiblemente seguida de una rotaci´on de 90o). Los puntos en los que la proyecci´on de dos cuerdas coincida los representaremos como en la Figura 1.2 para conservar la informaci´on de cu´al cruzaba originalmente por encima. Salvo homotop´ıa, podemos suponer que la proyecci´on tiene un n´umero finito de puntos de cruce, en los cuales solo intervienen dos cuerdas. Adem´as podemos suponer tambi´en que los cruces ocurren a distintas alturas, es decir, para distintos valores de t∈[0,1]. En la Figura 1.4 se ilustra la proyecci´on de la trenza no pura de la Figura 1.1. Figura 1.2: Cruce positivo y cruce negativo, respectivamente. Definici´on 1.1.3. Se definen los generadores est´andar ogeneradores de Artin como las trenzas σicon 1 ≤i≤n−1 indicadas en la Figura 1.3. A partir de las observaciones anteriores, es claro que cualquier trenza se puede construir como concatenaci´on de los generadores de Artin. 6 ii+ 1 σi ii+ 1 σ−1 i Figura 1.3: Generador de Artin y su inverso. R× {0}R× {1} 1 n 1 n Figura 1.4: Ejemplo de representaci´on plana. 1.1.1. Estructura de grupo Una de las caracter´ısticas m´as importantes del conjunto de clases de homotop´ıa de trenzas es que puede dotarse de estructura de grupo para cada n. Para ello, definiremos el producto de trenzas. Definici´on 1.1.4. El producto de dos trenzas α= (α1, . . . , αn) y β= (β1, . . . , βn) se define como la trenza α·β= (α1βτ(1), . . . , αnβτ(n)), donde τ=τ(α). Es decir, el producto de dos trenzas en el mismo n´umero de cuerdas es su concatenaci´on, en la cual se recorre en primer lugar αy despu´es β. En la Figura 1.5 se ilustra un ejemplo. En ocasiones omitiremos el punto y escribiremos simplemente αβ. Asimismo, denotaremos αn=α· · · α |{z} nveces . 7 = = Figura 1.5: Producto de dos trenzas. Denotemos Bnal conjunto de clases de homotop´ıa de trenzas de ncuerdas y PBn al conjunto de clases de homotop´ıa de trenzas puras de ncuerdas. Es evidente que la multiplicaci´on anterior induce una operaci´on en Bn(y por tanto en PBn); es m´as, se tiene el siguiente resultado. Proposici´on 1.1.5. El conjunto Bndotado de esta operaci´on tiene estructura de grupo, y se le llama grupo de trenzas de ncuerdas. El resultado tambi´en es cierto para PBn, cuyo nombre es grupo de trenzas puras de ncuerdas. Demostraci´on. Sean αyβdos trenzas con representantes a= (a1, . . . , an) y b= (b1, . . . , bn) respectivamente. En primer lugar, veamos que la operaci´on est´a bien definida, es decir, que a·bes una trenza, y por tanto podemos definir αβ = [a·b]. Sea τ=τ(a) la permutaci´on inducida por a. Como akbτ(k)(0) = ak(0) = (Pk,0) para todo 1≤k≤n, se cumple la primera propiedad de la Definici´on 1.1.1. Para la segunda, basta observar que la nueva permutaci´on es τ(a·b) = τ(b)◦τ(a). En particular, si a ybson puras, entonces la permutaci´on inducida por el producto tambi´en es la identidad, por lo que el producto es una trenza pura. Por ´ultimo, si t∈[0,1/2], entonces akβτ(k)=ak(2t) y si t∈[1/2,1], αkβτ(k)=βτ(k)(2t−1) para todo 1 ≤k≤n, por lo que se tiene claramente la tercera propiedad. Por otra parte, si a0yb0son otros representantes de αyβrespectivamente, se tiene que [a0·b0] = [a·b] por las propiedades de la homotop´ıa de caminos con respecto a la concatenaci´on. Veamos ahora la estructura de grupo. Tenemos que probar que la operaci´on es asociativa, pero esto se deduce de que la concatenaci´on de caminos es asociativa salvo homotop´ıa. Tenemos claramente que la identidad es la trenza constante representada por Id = (Id1, . . . , Idn), donde Idkdenota el camino (Pk, t) para t∈[0,1] y para 1≤k≤n. Finalmente, dada α= [(a1, . . . , an)] con permutaci´on inducida τ, se tiene que α−1= [(aτ−1(1), . . . , aτ−1(n))], donde akdenota el camino que es opuesto a aken la primera coordenada y que es id´entico a aken la segunda coordenada. 8 En efecto, usando las propiedades de la homotop´ıa de caminos con respecto al camino opuesto: αα−1= [(a1, . . . , an)·(aτ−1(1), . . . , aτ−1(n))] = [(a1aτ(τ−1(1)), . . . , anaτ(τ−1(n)))] = [Id] An´alogamente se prueba α−1α= [Id].  β β−1 Figura 1.6: Inversa de una trenza. 1.2. Espacios de configuraci´on Vamos a empezar dando la noci´on general de espacio de configuraci´on, introducida por Fadell en 1962 [16]. Definici´on 1.2.1. Dado un espacio topol´ogico X, el n-´esimo espacio de configuraci´on de Xoespacio de configuraci´on de npuntos de Xse define como el conjunto Mn(X) = {(x1, . . . , xn)∈Xn|xi6=xj∀i6=j}, dotado de la topolog´ıa de subsespacio de Xn. Cuando el espacio topol´ogico Xse sobreentienda por el contexto, el espacio de configuraci´on se denotar´a simplemente Mn. Hay una acci´on natural del grupo sim´etrico Σnen los puntos de Mn(X) dada por Σn×Mn(X)→Mn(x) (σ, x)7→ σ(x). Esto da lugar al espacio definido a continuaci´on: Definici´on 1.2.2. Se define el n-´esimo espacio de configuraci´on no ordenado de X oespacio de configuraci´on de npuntos no ordenados de Xcomo Nn(X) = Mn(X)/Σn, es decir, el espacio de ´orbitas de la acci´on. De igual manera que con el anterior espacio de configuraci´on, cuando se sobreentienda X, lo denotaremos por Nn. 9 M´as invariantes de las trenzas se pueden encontrar en [4]. 1.6. Definiciones y resultados adicionales En esta secci´on veremos definiciones y resultados m´as generales que ser´an utilizados a lo largo del trabajo. 1.6.1. Producto semidirecto Definici´on 1.6.1. Si un grupo Gact´ua (por la izquierda) sobre un grupo Fmediante automorfismos de grupos ρ:G→Aut(F), el producto semidirecto FoGes el grupo cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano F×Gy cuyo producto est´a definido como (δ, h)(γ, g) = (δρh(γ), hg) para δ, γ ∈Fyh, g ∈G. An´alogamente se puede definir FnGutilizando una acci´on por la derecha. En la definici´on hemos establecido que era un grupo, pero para ello tenemos que cerciorarnos de que se verifican los axiomas de grupo. Proposici´on 1.6.2. El producto semidirecto FoGdefinido anteriormente es un grupo. Demostraci´on. La asociatividad y la existencia de elemento neutro se tiene inmediatamente de la definici´on de acci´on de grupo y de que Gact´ua sobre Fmediante automorfismos. De hecho, el elemento neutro es e= (eF, eG), donde eFes el neutro de FyeGel neutro de G. Vamos a probar entonces la existencia de elemento inverso. Dado (δ, h)∈FoGbuscamos (γ, g)∈FoGtal que (δ, h)(γ, g)=(eF, eG)=(γ, g)(δ, h). Claramente se observa que g=h−1. Por otro lado, tenemos δρh(γ) = eF, γρh−1(δ) = eF. Despejando γobtenemos γ=ρ−1 h(δ−1), γ =ρh−1(δ)−1. Ambas expresiones son la misma puesto que Gact´ua mediante automorfismos. Por tanto, el inverso de (δ, h) es (ρh−1(δ−1), h−1).  16 Obs´ervese que en el caso de que ρh=IdFpara todo h∈Gse tiene el producto directo. Otro caso particularmente interesante por la frecuencia con la que aparece se da cuando Gact´ua por conjugaci´on, en cuyo caso el producto ser´ıa (δ, h)(γ, g) = (δhγh−1, hg). Por la forma en el que est´a definido el producto semidirecto, conseguimos conservar Fy de Gcon cierta estructura dentro de FoG, es m´as Proposici´on 1.6.3. Fse puede ver como subgrupo normal de FoGmediante la aplicaci´on δ7→ (δ, eG), mientras que Gse puede ver como subgrupo mediante la aplicaci´on h7→ (eF, h). Adem´as, visto de esta forma, todo elemento de FoGse escribe de forma ´unica como producto de un elemento de Fy un elemento de G. Demostraci´on. En ambos casos es elemental probar que se tratan de morfismos inyectivos. As´ı que vamos a probar que la imagen de Fmediante la aplicaci´on δ7→ (δ, eG) es un subgrupo normal de FoG. Para ello vamos a ver que F× {eG}es el n´ucleo de un cierto homomorfismo de grupos ϕ:FoG→G. Este homomorfismo vendr´a definido como ϕ(δ, h) = h, el cual es f´acil ver que efectivamente es homomorfismo de grupos. Claramente ker ϕ={(δ, h)|h=eG}=F× {eG}, como quer´ıamos demostrar. Para la segunda parte, supongamos que tenemos h1g1=h2g2∈FoGcon h1, h2∈ F× {eG}∼ =Fyg1, g2∈ {eF} × G∼ =G. Entonces consideramos la proyecci´on p:FoG→G, de modo que g1=p(h1g1) = p(h2g2) = g2. Ahora basta multiplicar a derecha por g−1 1para obtener h1=h2. Vamos a definir ahora una construcci´on que nos permitir´a obtener productos semidirectos a partir de sucesiones exactas. Definici´on 1.6.4. Dados tres grupos F,GyH, se dice que Hes una extensi´on de Fpor Gsi existe una sucesi´on exacta corta 1→F→H→G→1. En el caso de que Gsea un grupo finito, diremos que la extensi´on es finita. Proposici´on 1.6.5. Si existe una la sucesi´on exacta escindible 1→F→H→G→1, entonces H∼ =FoG. El rec´ıproco tambi´en es cierto. 17 Demostraci´on. Supongamos que tenemos una secci´on s:G→H. Como la imagen de Fes isomorfa a F, podemos identificar ambos grupos. Definamos pues ρ:G→ Aut(F) como g→Cs(g)|F, donde Cs(g)denota la conjugaci´on por s(g) en H. Al restringirlo a F, esto nos da un automorfismo bien definido al ser Fnormal en Hal ser el n´ucleo de la aplicaci´on H→G. As´ı que hemos definido una acci´on mediante automorfismos que da lugar a un producto semidirecto isomorfo a FoG. El rec´ıproco nos lo da la Proposici´on 1.6.3, en la cual definimos la secci´on h7→ (eF, h) y probamos que la imagen de Fera normal en el producto semidirecto.  1.6.2. Monoides Definici´on 1.6.6. Un monoide es un par (S, ∗), donde Ses un conjunto y ∗:S×S→ Ses una operaci´on binaria satisfaciendo: Asociatividad, es decir, para cualesquiera a, b, c ∈S, (a∗b)∗c=a∗(b∗c). Existencia de elemento neutro, es decir, existe e∈Stal que para todo a∈S, e∗a=a∗e=a. Habitualmente el s´ımbolo de la operaci´on ser´a omitido y nos referiremos a Scomo monoide, entendi´endose que en realidad es el par anterior. De forma an´aloga a como se hace para grupos, podemos considerar los generadores de un monoide y una presentaci´on de un monoide mediante generadores y relaciones. Tambi´en se definen de forma an´aloga los morfismos entre monoides. Definici´on 1.6.7. Dado un monoide Scon presentaci´on hM|Ri, su grupo de fracciones G(S) es el grupo generado por la misma presentaci´on. Existe una aplicaci´on natural de un monoide en su grupo de fracciones. Sin embargo, esta aplicaci´on no siempre es inyectiva, pues la existencia de inverso en el grupo puede hacer que dos elementos distintos del monoide representen el mismo elemento del grupo de fracciones. Por ejemplo, si consideramos la presentaci´on ha, b, c |ab =cbi, los elementos aycson distintos en el monoide; sin embargo, en el grupo son el mismo, pues multiplicando a la derecha por b−1en la relaci´on obtenemos a=c. De aqu´ı que consideremos la siguiende definici´on. Definici´on 1.6.8. Decimos que un monoide Sse inyecta en su grupo de fracciones G(S), si el morfismo de monoides ι:S→G(S) dado por ι(a) = aes inyectivo. 18 Definici´on 1.6.9. Decimos que un monoide Ssatisface las condiciones de Ore [27] si se cumple: Ses cancelativo, es decir, xay =xby implica a=bpara todo x, y, a, b ∈S. Para todo a, b ∈Sexisten a0, b0∈Stales que aa0=bb0(existe un m´ultiplo com´un). Proposici´on 1.6.10. Si un monoide satisface las condiciones de Ore, entonces se inyecta en su grupo de fracciones [9, Teorema 1.23]. 1.6.3. Espacios recubridores Definici´on 1.6.11. Sea Xun espacio topol´ogico. Un espacio recubridor de Xes un espacio topol´ogico e Xjunto con una aplicaci´on continua sobreyectiva p:e X→X, llamada aplicaci´on recubridora, tal que para todo x∈Xexiste un entorno Ude x de modo que p−1(U) es uni´on disjunta de abiertos de e Xhomeomorfos a U, llamados hojas. El espacio p−1(x) se llama fibra de x. Ejemplo 1.6.12. El ejemplo m´as habitual de espacio recubridor se da para S1usando como espacio recubridor Rcon la aplicaci´on p:R→S1dada por p(t) = e2πit. Definici´on 1.6.13. Un isomorfismo de espacios recubridores p1:e X1→Xyp2: e X2→Xes un homeomorfismo f:e X1→e X2tal que p1=p2f. Definici´on 1.6.14. Para un espacio recubridor p:e X→X, los isomorfismos e X→e X se denominan transformaciones recubridoras (deck transformations). Claramente, la inversa de un isomorfismo de espacios recubridores es isomorfismo y la composici´on de isomorfismos es isomorfismo. Por tanto, el conjunto de transformaciones recubridoras forma un grupo con elemento neutro la identidad denotado G(e X). Ejemplo 1.6.15. En el espacio recubridor el ejemplo 1.6.12, las transformaciones recubridoras son las aplicaciones de la forma f(t) = t+npara cada n∈Z, por lo que G(e X)∼ =Z. En particular, Zact´ua sobre el espacio recubridor mediante cada f. Definici´on 1.6.16. Dado un espacio topol´ogico Xy un grupo G, se dice que un espacio recubridor e Xse corresponde con Gsi π1(e X) = G. Ejemplo 1.6.17. Podemos dar un espacio recubridor de S1que se corresponda, por ejemplo, al grupo libre de dos elementos ha, bi. Para ello, fijado un punto base x∈S1, basta tomar como espacio recubridor S1∨S1con punto base en el v´ertice, que denotaremos y. Etiquetamos cada una de las circunferencias como aybrespectivamente. 19 La aplicaci´on p:S1∨S1→S1enviando y7→ xe identificando acon bes claramente sobreyectiva y continua. Por tanto pes una aplicaci´on recubridora. Adem´as, es bien sabido que π1(S1∨S1) = ha, bi. A continuaci´on vamos a ver una serie de definiciones y resultados cuyas pruebas aparecen en [20], en la secci´on Covering Spaces, que usaremos m´as adelante. Definici´on 1.6.18. Un espacio topol´ogico Xse dice que es semilocalmente simplemente conexo si todo punto x∈Xtiene un entorno Utal que cualquier lazo de U basado en xes contr´actil en X. N´otese que esta condici´on no implica que Usea simplemente conexo, pues la contracci´on del lazo no se tiene por qu´e realizar enteramente dentro de U. Ejemplo de espacio topol´ogico no semilocalmente simplemente conexo es el pendiente hawaiiano1. Proposici´on 1.6.19. Dado un espacio recubridor p:e X→X, una homotop´ıa ft: Y→Xy una aplicaci´on continua e f0:Y→e Xlevantando a f0, se tiene que existe una ´unica homotop´ıa e ft:Y→e Xde e f0que levanta a ft. En adelante, dado un punto base x∈X, supondremos fijado un punto base ex∈e X con ex∈p−1(x). Proposici´on 1.6.20. La aplicaci´on p∗:π1(e X)→π1(X) inducida por p:e X→Xes inyectiva. El subgrupo imagen p∗(π1(e X)) consiste en las clases de homotop´ıa de los lazos de Xbasados en xcuyos levantamientos a e Xson lazos basados en ex. Proposici´on 1.6.21. Sea Xconexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo. Entonces, para todo subgrupo H⊆π1(X), existe un espacio recubridor p:e X→Xtal que p∗(π1(e X)) = Hsi se elige adecuadamente el punto base ex. Con esta ´ultima proposici´on, podemos asociar a cada subgrupo de π1(X) un espacio recubridor e Xque se corresponda con ese subgrupo. 1https://en.wikipedia.org/wiki/Hawaiian_earring 20 Cap´ıtulo 2 Automorfismos del grupo libre Vamos a empezar este cap´ıtulo dando otra interpretaci´on de los grupos de trenzas. Aunque originalmente Artin visualiz´o las trenzas como una colecci´on de cuerdas, existe una representaci´on natural como automorfismos del grupo libre Fnde rango n. Definiremos esta representaci´on por medio de mapping classes. 2.1. Representaci´on del grupo de trenzas como automorfismos del grupo libre Figura 2.1: Los lazos x1, . . . , xnson generadores de π1(Dn). Observamos que el grupo fundamental del disco agujereado nveces, denotado Dn, es precisamente el grupo libre de rango n, es decir, π1(Dn) = Fn. Si fijamos un punto base, digamos, en el borde del disco, podemos tomar como generadores los lazos x1, . . . , xndescritos en la Figura 2.1. Ahora, una trenza β∈Bnpuede ser vista como un automorfismo de Dnque es la identidad en el borde ∂(Dn) salvo isotop´ıa (que tambi´en fija los puntos de ∂(Dn)), as´ı que βinduce una acci´on bien definida sobre π1(Dn) = Fn, donde un lazo γ∈π1(Dn) es enviado a β(γ). Esta acci´on es claramente un homomorfismo de grupos (respeta la concatenaci´on), el cual es biyectivo pues β−1 da lugar a la acci´on inversa. Entonces, βinduce un automorfismo de Fn, y esto nos da la representaci´on ρ:Bn→Aut(Fn) β7→ ρβ. El automorfismo ρβpuede ser descrito f´acilmente cuando β=σi, identificando la imagen de los generadores x1, . . . , xnde Fn(ver Figura 2.2), esto es: ρσi(xi) = xi+1, ρσi(xi+1) = x−1 i+1xixi+1, ρσi(xj) = xj(j6=i, i + 1). 21 El automorfismo ρσ−1 i=ρ−1 σipuede ser deducido f´acilmente a partir de ρσi, lo que nos da ρ−1 σi(xi) = xixi+1x−1 i, ρ−1 σi(xi+1) = xi, ρ−1 σi(xj) = xj(j6=i, i + 1). Para una trenza general β, escrita como producto de σ1, . . . , σn−1y sus inversas, el automorfismo ρβes simplemente la composici´on de los correspondientes automorfismos inducidos por cada letra. Figura 2.2: Acci´on de σisobre los generadores xiyxi+1. Es f´acil ver que ρest´a bien definido algebraicamente, ya que ρσiσj=ρσjσisi |i−j|>1, y ρσiσjσi=ρσjσiσjsi |i−j|= 1. Teorema 2.1.1. La representaci´on anterior es fiel, es decir, dos trenzas est´an representadas por el mismo automorfismo si y solo si son la misma. La prueba de este resultado se puede encontrar en [7]. Lo significativo ahora es que esta representaci´on nos permite resolver el problema de la palabra como explicaremos a continuaci´on. 22 2.2. Soluci´on al problema de la palabra El hecho de que las trenzas puedan ser vistas fielmente como automorfismos del grupo libre Fnda lugar inmediatamente a una soluci´on al problema de la palabra en Bn. Dadas dos trenzas β1yβ2, expresadas como palabras en σ1, . . . , σn−1y sus inversas, se pueden calcular sus correspondientes automorfismos ρβ1yρβ2. Entonces β1=β2si y solo si ρβ1≡ρβ2, lo cual ocurre si y solo si ρβ1(xi) = ρβ2(xi)∈Fn para i= 1, . . . , n. Como el problema de la palabra en Fntiene soluci´on conocida (basta calcular las palabras reducidas asociadas a ρβ1(xi) y ρβ2(xi)), esto resuelve el problema de la palabra en Bn. Merece la pena remarcar que este algoritmo no es en absoluto eficiente (de hecho tiene complejidad exponencial) y existen otros que lo son mucho m´as, pero esta es hist´oricamente la primera soluci´on conocida para el problema de la palabra en Bn, descubierta por Artin y publicada en [2]. Veamos un ejemplo de c´omo se aplica este m´etodo. Ejemplo 2.2.1. Dado n≥3, sean β1=σiσ−1 i+1σiyβ2=σi+1σ−1 iσi+1 para alg´un 1≤i≤n−2. Nos preguntamos si estas palabras representan la misma trenza. Ser´an la misma si y solo si ρβ1(xj) = ρβ2(xj) para todo 1 ≤j≤n−1, por lo que para probar que son distintas basta encontrar un generador del grupo libre para el que sus im´agenes no coincidan. Sea pues xi. Tenemos por un lado ρβ1(xi) = ρσiρ−1 σi+1 ρσi(xi) = ρσiρ−1 σi+1 (xi+1) = ρσi(xi+1xi+2x−1 i+1) = x−1 i+1xixi+1xi+2x−1 i+1x−1 ixi+1 y por otro ρβ2(xi) = ρσi+1 ρ−1 σiρσi+1 (xi) = ρσi+1 ρ−1 σi(xi) = ρσi+1 (xi+1) = xi+2. Claramente xi+2 6=x−1 i+1xixi+1xi+2x−1 i+1x−1 ixi+1 en Fn, por lo que β16=β2. 23 Cap´ıtulo 3 Peinado de trenzas En este cap´ıtulo veremos un algoritmo para resolver el problema de la palabra basado en la posibilidad de expresar las trenzas puras como elementos de un producto semidirecto de grupos libres. El algoritmo requerir´a una t´ecnica denominada peinado de trenzas para que el orden de los factores sea el adecuado. 3.1. Sucesiones exactas Hay dos sucesiones exactas relacionadas con los grupos de trenzas bien conocidas. La primera es bastante simple: a cada trenza de Bnse le puede asociar la permutaci´on que induce en sus cuerdas, esto es, un elemento del grupo sim´etrico Σn. Esto da lugar a un homomorfismo de grupos bien definido η:Bn→Σn. N´otese que η(σi) = (i i+1) para cada i= 1, . . . , n −1. El n´ucleo de ηes el subgrupo de Bnformado por las trenzas que inducen la permutaci´on trivial, esto es, el grupo de trenzas puras PBn. Por tanto, tenemos una sucesi´on exacta: 1→PBn→Bn η →Σn→1.(3.1) Hay tambi´en una aplicaci´on que relaciona las trenzas puras de distintos ´ındices. Concretamente, dada una trenza pura β∈PBn+1, se puede eliminar, por ejemplo, la ´ultima cuerda para obtener una trenza pura ρ(β)∈PBn. Esto da lugar a un homomorfismo de grupos bien definido ρ:PBn+1 →PBn, que es claramente sobreyectivo. El n´ucleo de esta aplicaci´on consiste en las trenzas puras de PBn+1 cuyas nprimeras cuerdas forman la trenza trivial. Salvo isotop´ıa, podemos considerar que estas n primeras cuerdas est´an en posici´on vertical. Si miramos este tipo de elementos como lazos en el espacio de configuraci´on Mn+1, se corresponden al movimiento del (n+1)- ´esimo punto mientras el resto de puntos permanecen quietos. Esto es por supuesto equivalente al movimiento de un punto en el plano complejo agujereado nveces Cn. En otras palabras, ker(ρ) = π1(Cn)∼ =Fn, por lo que tenemos la sucesi´on exacta: 1→Fn→PBn+1 ρ →PBn→1.(3.2) En esta sucesi´on exacta, si Fnest´a generado por x1, . . . , xn, vamos a ver que podemos definir ι:Fn→PBn+1 ι(xi) = Ai,n+1, 24 donde Ai,n+1 son generadores de Birman (1.2). La aplicaci´on est´a bien definida, es decir, la trenza resultante es pura por definici´on de los Ai,n+1. Para que sea la aplicaci´on correcta y la sucesi´on sea exacta, ιdebe ser inyectiva, que es lo siguiente que vamos a probar. Proposici´on 3.1.1. La aplicaci´on ιanteriormente definida es inyectiva. Demostraci´on. La idea de esta demostraci´on ser´a interpretar la sucesi´on exacta 3.2 en t´erminos de otra que sabemos que es exacta y comprobar que ιes la aplicaci´on correspondiente con esa otra interpretaci´on. Para n≥1 consideramos la aplicaci´on p:Mn+1 −→ Mn(3.3) (z1, . . . , zn+1)7→ (z1, . . . , zn). N´otese que que cada fibra p−1((z1, . . . , zn)) es homeomorfa a C\{z1, . . . , zn}=Cn. Como este espacio retrae con deformaci´on sobre S1∨ · · · ∨ S1, su grupo fundamental es Fn. De la sucesi´on exacta larga de grupos de homotop´ıa asociada a pde este fibrado [20] obtenemos: π2(Cn)→π2(Mn+1)→π2(Mn)→π1(Cn)→π1(Mn+1)→π1(Mn)→1. Se sabe que π2(Cn) = 1 [20]. Por otra parte, π2(M1) = π2(C) = 1. En la sucesi´on exacta anterior, esto implica que π2(M2) = 1. Inductivamente se prueba que π2(Mn) = 1 para todo n. Esto da lugar a la sucesi´on exacta 1→π1(Cn)→π1(Mn+1)→π1(Mn)→1, que por definici´on es equivalente a 3.2. Si denotamos j:π1(Cn)→π1(Mn+1) a la aplicaci´on natural de la anterior sucesi´on exacta, basta ver que jcoincide con ιpara probar el resultado. Fijemos un punto base xen Cn(v´ease la Figura 3.1). Como se puede comprobar, un lazo basado en xen torno al agujero i-´esimo, que se corresponde con el generador xide Fn, se transforma de modo natural en el movimiento del punto n+ 1 tal como se describe en la figura. Este movimiento es el que se corresponde con la trenza Ai,n+1, por lo que esta transformaci´on es justamente la aplicaci´on ι. 25 N´otese que 4es invariante por multiplicaci´on a izquierda, esto es, a4bimplica xa 4xb para todo a, b, x ∈B+ n. Dado tal orden parcial, uno podr´ıa preguntarse si existe un ´unico m´aximo com´un divisor o m´ınimo com´un m´ultiplo con respecto a 4. Esto es, dadas a, b ∈B+ n, ¿existe un ´unico d∈B+ ntal que d4a,d4byd04dpara todo d0prefijo com´un de ayb? ¿Y existe un ´unico m∈B+ ntal que a4m,b4mym4m0para todo m0que tenga aay a bcomo prefijos? En tales casos, escribimos d=a∧bym=a∨b. N´otese que tambi´en tendr´ıamos xd =xa ∧xb yxm =xa ∨xb para todo x∈B+ n. Nota 4.1.4. An´alogamente podr´ıamos definir el orden parcial de sufijos,<, invariante por multiplicaci´on a derecha. N´otese que este orden no es equivalente al de prefijos, puesto que b<ano implica en general a4bni rec´ıprocamente. Por ejemplo, σ14 σ1σ2, pero claramente σ1σ26<σ1. El punto clave en el trabajo de Garside fue demostrar mediante m´etodos elementales que σiyσjtienen m´ınimo com´un m´ultiplo en B+ n. En concreto: Proposici´on 4.1.5. ([17, Teorema 1.2]) El m´ınimo com´un m´ultiplo de los generadores σiyσjviene dado por σi∨σj=(σiσj|i−j|>1, σiσjσi|i−j|= 1. Garside prueba al mismo tiempo que B+ nes cancelativo, es decir, xay =xby implica a=bpara todo a, b, x, y ∈B+ n. Como las relaciones de 1.1 son homog´eneas, palabras equivalentes en B+ ntienen la misma longitud, por lo que la longitud de una trenza positiva se define como la longitud de cualquier palabra que la represente. Aunque Garside no lo menciona expl´ıcitamente, un argumento inductivo en esta longitud utilizando la cancelatividad permite probar a partir del resultado anterior que todo par de elementos tiene de B+ n tiene un ´unico m´ınimo com´un m´ultiplo y un ´unico m´aximo com´un divisor, tal como se prueba en [12]. Garside despu´es estudia el siguiente elemento especial. Definici´on 4.1.6. La trenza fundamental de ncuerdas es la trenza ∆n=σ1(σ2σ1)· · · (σn−1· · · σ1). Cuando nse sobreentiende, escribimos simplemente ∆. 32 Proposici´on 4.1.7. Se verifican: 1. ∆ = σ1∨ · · · ∨ σn−1[17, Lema 1]. 2. σi∆ = ∆σn−ipara todo i= 1, . . . , n −1 [17, Lema 4]. Figura 4.1: La trenza fundamental ∆5. A partir de este resultado podemos deducir las siguientes propiedades sobre ∆. Proposici´on 4.1.8. Se cumplen: 1. σ1, . . . , σn−1son tambi´en sufijos de ∆. 2. ∆2conmuta con todo elemento de B+ n. 3. Para todo a∈B+ nse tiene a4∆my ∆m<a, donde m≥0 es la longitud de a. Demostraci´on. 1. En primer lugar, se tiene para k > i ≥1 que σi(σk· · · σ1) = (σk· · · σ1)σi+1. En efecto, usando las relaciones del monoide de trenzas positivas σi(σk· · · σ1) = σi(σk· · · σi+2)(σi+1σi)(σi−1· · · σ1) = (σk· · · σi+2)(σiσi+1σi)(σi−1· · · σ1) = (σk· · · σi+2)(σi+1σiσi+1)(σi−1· · · σ1) = (σk· · · σi+2)(σi+1σi)(σi−1· · · σ1)σi+i = (σk· · · σ1)σi+1. As´ı pues, para expresar σicomo sufijo de ∆ hacemos los siguiente. Si i= 1, entonces por la definici´on de ∆ ya tenemos que es un sufijo. Si 1 < i ≤n−1, partimos de ∆ = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i. . . σ1)· · · (σn−1. . . σ1). Procedemos a desplazar a la derecha el σ1subrayado tal como hemos hecho anteriormente. En cada paso ir´a aumentando el´ındice en una unidad. Por tanto, 33 como hay n−(n−i−1) = i−1 bloques que se dejan atr´as, obtenemos σ1+i−1=σi, es decir, ∆ = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i. . . σ1)(σn−i+1 · · · σ1)· · · (σn−1. . . σ1) = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i· · · σ2)(σn−i+1 · · · σ1σ2)· · · (σn−1. . . σ1) = σ1(σ2σ1)· · · (σn−i· · · σ2)(σn−i+1 · · · σ1)· · · (σn−1. . . σ1)σi 2. Basta probar que ∆2conmuta con σipara todo 1 ≤i≤n−1. Como σi∆ = ∆σn−iyσn−i∆ = ∆σise tiene σi∆2= ∆σn−i∆=∆2σi. 3. Probamos a4∆mdonde mes la longitud de apor inducci´on en m. Evidentemente, 1 4∆0= 1. Para una palabra de longitud 1 tambi´en es claro porque σi4∆ para todo 1 ≤i≤n−1 por definici´on de m´ınimo com´un m´ultiplo. Supongamos ahora, que para una palabra a∈B+ nde longitud m−1 se tiene el resultado. Entonces, cualquier palabra de longitud mser´a de la forma σja para alg´un 1 ≤j≤n−1. As´ı que, usando la invarianza por multiplicaci´on a izquierda y el caso m= 1, a4∆m−1⇒σja4σj∆m−1= ∆m−1σt4∆m−1∆ = ∆m donde t=jo bien t=n−jdependiendo de la paridad de m. De forma an´aloga usando la invarianza por multiplicaci´on a derecha se prueba que ∆m<a.  Esto tiene importantes implicaciones. Como todo par de elementos de B+ ntiene un m´ultiplo com´un y B+ nes cancelativo, las condiciones de Ore (1.6.9) implican que B+ nse inyecta en su grupo de fracciones, que es precisamente Bn. Por lo tanto, B+ nno es solamente un monoide definido algebraicamente, sino que puede ser considerado como un submonoide de Bnformado por las trenzas que pueden ser escritas solo con potencias positivas de los generadores. Las propiedades anteriores implican que el orden parcial 4(respectivamente, <) puede ser extendido a Bnde la siguiente manera: dadas a, b ∈Bn,a4b(resp. a<b) si ac =b(resp. b=ca) para alg´un c∈B+ n. Esto da un orden parcial que es invariante por multiplicaci´on a izquierda (resp. a derecha), y el cual admite un ´unico m´ınimo com´un m´ultiplo y un ´unico m´aximo com´un divisor. Este hecho podr´a ser probado una vez definida la forma normal de Garside en la secci´on a continuaci´on. 34 4.2. Soluci´on al problema de la palabra Garside dio una nueva soluci´on al problema de la palabra en los grupos de trenzas de la siguiente manera. Recordemos que para todo i= 1, . . . , n−1 se tiene que ∆ <σi por la Proposici´on 4.1.8 apartado 1, esto es, ∆ = Xiσipara alg´un Xi∈B+ n. Dada una trenza escrita como una palabra en σ1, . . . , σn−1y sus inversos, se puede reemplazar cada aparici´on de σ−1 ipor ∆−1Xi. Conjugar una trenza positiva por ∆ sigue dando una trenza positiva por la Proposici´on 4.1.7 apartado 2, as´ı que podemos mover todas las apariciones de ∆−1a la izquierda, de la siguiente forma: si encontramos σj∆−1(1 ≤j≤n−1), entonces por 4.1.7 sabemos que ∆σj=σn−j∆, si y solo si σj∆−1= ∆−1σn−j, por lo que podemos sustituir σj∆−1por ∆−1σn−j. Esto muestra que toda trenza puede ser escrita como ∆pApara alg´un p∈Zy alg´un A∈B+ n. Adem´as, si ∆ 4A, podemos reemplazar ∆ppor ∆p+1 yApor ∆−1A. Esto reduce la longitud de A, as´ı que solo puede hacerse una cantidad finita de veces. Por tanto, toda trenza puede descomponerse de manera ´unica, como ∆pA, donde p∈Z,A∈B+ n y ∆ 64A. Efectivamente, si tuvi´eramos dos expresiones ∆pA= ∆qBcon p < q en las condiciones anteriores, dividiendo por ∆ptendr´ıamos que A= ∆q−pB, lo cual contradice el hecho de que Ano tenga a ∆ como prefijo. An´alogamente para p>q, luego p=qyA=B. Definici´on 4.2.1. En base a lo comentado en el p´arrafo anterior, definimos la forma normal de Garside de una palabra w∈Bncomo w= ∆pA, donde p∈Z,A∈B+ ny ∆64A. Esta forma normal permite resolver el problema de la palabra, ya que se pueden enumerar todas las palabras positivas que representan la trenza positiva Areiterando las relaciones del monoide de trenzas positivas de todas las formas posibles. Esta fue la soluci´on dada por Garside en [17]. Sin embargo, no es muy satisfactoria, ya que da lugar a un algoritmo altamente ineficiente. El-rifai y Morton [14] lo mejoraron definiendo la forma normal a la izquierda de una trenza. Basta tomar la descomposici´on ∆pAy despu´es definir a1=A∧∆ ai= (a−1 i−1· · · a−1 1A)∧∆,∀i > 1. N´otese que existe un r≥0 tal que ai= 1 para todo i>r, ya que la longitud de a−1 i−1· · · a−1 1Aes estrictamente decreciente. De esta forma, toda trenza puede ser escrita de manera ´unica como: ∆pa1· · · ar, donde los aison los definidos anteriormente, los cuales por definici´on son un prefijos propios de ∆, es decir, 1 ≺ai≺∆, y adem´as se puede demostrar que (aiai+1)∧∆ = ai 35 [15] para todo i= 1, . . . , r −1. Esta es la anteriormente mencionada forma normal a la izquierda de la trenza. Los prefijos positivos de ∆ son llamados elementos simples otrenzas de permutaci´on. El nombre no es casual, ya que como prueba Thurston [15], estas trenzas son justamente las mismas trenzas de permutaci´on definidas en 3.3. Por tanto, la forma normal a la izquierda de una trenza es una descomposici´on ´unica como producto de una potencia de ∆ y una sucesi´on de elementos simples propios. Thurston [15] mostr´o que esta forma normal puede ser calculada en tiempo O(l2nlog(n)) para una palabra de lletras en Bn. En [15] se puede encontrar adem´as una forma m´as pr´actica de llevar a cabo el algoritmo de encontrar la forma normal a la izquierda, la cual ser´a la que utilicemos en el ejemplo 4.2.2. Antes de explicarla vamos a introducir algo de nomenclatura. Dadas dos trenzas simples positivas AyB, decimos que un prefijo no trivial b4B se puede pasar de BaAsi Ab es simple, y en tal caso pasar bde BaAconsiste en las transformaciones A→Ab yB→b−1B. Con esto presente, el algoritmo consiste en lo siguiente: 1. Una vez tenemos una palabra w∈Bnen forma normal de Garside w= ∆pA, si A= 1, entonces no hay nada que hacer. En caso contrario, dividimos Aen bloques formados por elementos simples, digamos, A=a1,0a2,0. . . am,0. 2. En el paso t≥0 tenemos Aexpresada en bloques de elementos simples como A=a1,ta2,t . . . am,t. En este paso buscamos el primer par ai,tai+1,t de modo que se pueda pasar alg´un prefijo de ai+1,t aai,t y lo pasamos. Esto nos dar´a la descomposici´on A=a1,t+1a2,t+1 . . . am,t+1. 3. Volvemos paso 2 y reiteramos hasta que no quede ning´un par que verifique la condici´on. Este proceso naturalmente termina porque el vector formado por las longitudes de los bloques aumenta en cada paso su orden lexicogr´afico, el cual est´a acotado por (m, 0,...,0) donde mes la longitud de A. La forma normal a la izquierda se obtendr´a eliminando los bloques triviales (que necesariamente estar´an al final). Alternativamente, podr´ıamos empezar con una descomposici´on w= ∆qAcon A∈B+ n, pero sin asegurarnos de que ∆ 64A, pues ∆ aparecer´ıa al acumular elementos simples en caso de ser prefijo de A, y podr´ıamos enviarlo al bloque de ∆q. En cualquier caso, este proceso acabar´a con la forma normal a la izquierda, pues no poder pasar ninguna letra del bloque ai+1 al bloque aies equivalente a que ai= (aiai+1)∧∆. 36 Ejemplo 4.2.2. En B4sean α1=σ1σ−1 2σ3yα2=σ3σ1σ1σ2σ1, las cuales queremos comprobar si representan el mismo elemento. Lo primero que debemos hacer es eliminar el exponente negativo de α1. Para ello, tenemos que expresar ∆ = ∆4= σ1(σ2σ1)(σ3σ2σ1) de forma que tenga a σ2como sufijo. Esto es sencillo pues basta usar la t´ecnica de la demostraci´on del primer apartado de la Proposici´on 4.1.8 para escribir ∆ = σ1(σ2)(σ3σ2σ1)σ2. As´ı pues, σ−1 2= ∆−1σ1σ2σ3σ2σ1, de modo que α1=σ1∆−1σ1σ2σ3σ2σ1σ3. Usando la Proposici´on 4.1.7, pasamos ∆−1a la izquierda: α1= ∆−1σ3σ1σ2σ3σ2σ1σ3 Ahora vamos a hacer la separaci´on de bloques en las palabras positivas. Empezamos con α2. Vamos a dividirla en los bloques b1,0=σ3σ1yb2,0=σ1σ2σ1, que son claramente trenzas simples. En general se puede comenzar por bloques de una sola letra. As´ı, obtenemos α2=b1,0b2,0= (σ3σ1)(σ1σ2σ1). Aparentemente no podemos pasar ninguna letra de b2,0ab1,0, pues aparecer´ıa σ1dos veces seguidas. Sin embargo, recordemos que las relaciones de 1.1 nos dan σ1σ2σ1= σ2σ1σ2. Por lo tanto, reescribimos α2y continuamos α2=b1,1b2,1= (σ3σ1σ2σ1)(σ2). Ahora tenemos la situaci´on inversa: aparentemente podr´ıamos a˜nadir σ2al primer bloque, pero utilizando la misma relaci´on de la presentaci´on del grupo de trenzas que antes, nos aparecer´ıa σ2dos veces consecutivas, por lo que hemos finalizado el proceso yα2= ∆0b1b2con b1=b1,1yb2=b2,1. Obs´ervese que el bloque que hemos pasado a la izquierda (σ2σ1) se corresponde con b2,0∧(b−1 1,0∆) y el bloque resultante (σ3σ1σ2σ1) se corresponde con α2∧∆ en el algoritmo original de El-rifai y Morton. Adem´as es claro que ninguno de los factores es una potencia de ∆. Vamos ahora con la parte positiva de α1, que la dividimos en bloques a1,0=σ3, a2,0=σ1σ2σ3σ2σ1ya3,0=σ3. Tenemos α1= (σ3)(σ1σ2σ3σ2σ1)(σ3) = a1,0a2,0a3,0 = (σ3σ1σ2σ3)(σ2σ1)(σ3) = a1,1a2,1a3,1 = (σ3σ1σ2σ3)(σ2σ1σ3)() = a1,2a2,2a3,2 Vemos que ya no podemos pasar ninguna letra m´as a la izquierda y que ning´un factor es una potencia de ∆, por lo que hemos terminado. Como a3,2es trivial podemos eliminarlo, con lo que α1= ∆−1a1a2donde a1=a1,2ya2=a2,2. Al comparar las descomposiciones finales de α1yα2comprobamos que nos tienen la misma forma normal, luego representan elementos distintos. 37 Antes de terminar este cap´ıtulo, como coment´abamos al final de la secci´on anterior, la forma normal de Garside permite probar la existencia y unicidad de m´ınimo com´un m´ultiplo y m´aximo com´un divisor en Bncon el orden parcial inducido por el orden parcial definido en B+ n. Proposici´on 4.2.3. Dadas a, b ∈Bn, existen c=a∧b∈Bnyd=a∨b∈Bn, es decir, existen el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo en Bn. Demostraci´on. Dadas a, b ∈Bn, sean sus formas normales a= ∆p1Ayb= ∆p2B, donde p1, p2∈ZyA, B ∈B+ n. Tomando q= m´ax{|p1|,|p2|} tenemos que ∆qa, ∆qb∈ B+ n. Por tanto, sabemos que existe un m´aximo com´un divisor c= (∆qa∧∆qb)∈B+ n. Entonces, por la invarianza por multiplicaci´on a izquierda del orden de prefijos c4∆qa⇔∆−qc4a, c4∆qb⇔∆−qc4b. Esto significa que ∆−qces un prefijo com´un de ay de b. Sea d∈Bncon d4ayd4b. Existe entonces N≥qde modo que ∆Nd, ∆Na, ∆Nb∈B+ ny, adem´as, ∆Nd4∆Na y ∆Nd4∆Nb. Por tanto, ∆Nd4∆Na∧∆Nb= ∆N−q(∆qa∧∆qb) = ∆N−qc. Por consiguiente, d4∆−qc, con lo que ∆−qces de hecho el m´aximo com´un divisor de ayb. An´alogamente se prueba para el m´ınimo com´un m´ultiplo.  38 Cap´ıtulo 5 Representaciones lineales La existencia (o no existencia) de representaciones lineales fieles de los grupos de trenzas es una de las mayores cuestiones de esta ´area de investigaci´on. Este problema fue por primera vez resuelto por Bigelow [5] y Krammer [23] en el a˜no 2000, mediante la conocida como representaci´on LKB. Adem´as de esta representaci´on existen otras, como la representaci´on de Burau reducida, con la cual empezaremos este cap´ıtulo. 5.1. Representaci´on de Burau reducida 5.1.1. Definici´on a partir de espacios recubridores Consideremos el disco agujereado nveces Dncon un punto base d0∈Dn. Definici´on 5.1.1. Para cada lazo αbasado en d0denominamos´ındice total a la suma de los ´ındices (n´umero de vueltas) de αcon respecto a cada agujero y lo denotamos φα. Esto es, si un αest´a representado en Fnpor Qk i=1 xmji ji, entonces φα = k X i=1 mji. Se observa que φes un homomorfismo de grupos φ:π1(Dn)→Zal ser el ´ındice total un invariante homot´opico. Sea e Dnel espacio recubridor correspondiente a ker φ (ver Definici´on 1.6.16). Vamos a describir geom´etricamente este espacio recubridor (ver Figura 5.1). Para visualizarlo mejor, vamos a agrandar los agujeros de modo que se conviertan en bolas abiertas y llamamos a este nuevo espacio X. Dibujamos segmentos A1, . . . , An desde el centro de las bolas hasta el borde del disco. Cortamos Xa lo largo de estos segmentos, de modo que obtenemos dos copias disjuntas A+ iyA− ide cada Ai. Llamamos a este espacio X∗. Sean hi:A+ i→A− ihomeomorfismos y tomamos una cantidad numerable de copias X∗ jde X∗. Para cada jsea gj:X∗ j→X∗un homeomorfismo. El espacio e Xse define como la uni´on disjunta de los X∗ jidentificando A+ i⊆X∗ jcon A− i⊆X∗ j+1 mediante g−1 j+1higj. El hecho de que este sea el recubrimiento correspondiente a ker φse debe a que, fijada una preimagen ˜ d0∈e Xde d0, un lazo en d0se levanta a un lazo en ˜ d0si y solo si su ´ındice total es nulo, pues para cada vuelta positiva sube un nivel en el recubrimiento y para cada vuelta negativa lo baja, as´ı que para acabar de nuevo en ˜ d0 39 deber´a subir tantas veces como baja, es decir, que el n´umero total de vueltas sea nulo. Figura 5.1: Dos hojas del espacio recubridor e X. Hay una acci´on natural de Zen e Xcomo transformaci´on recubridora dada por X∗ j3x7→ g−1 j+ngjxpara cada n∈Z. Esta acci´on se puede interpretar como cambiar el punto xde nivel. Adem´as, la acci´on es claramente libre y el espacio de ´orbitas e X/Z es X. Vamos a ver c´omo definir la representaci´on de Burau reducida. Sea β∈Bninducida por un automorfismo hde Dnque fija el borde punto a punto, lo cual vamos a denotar como β= [h]. Entonces, para cualquier lazo γen Dnse tiene que φ(hγ) = φγ, de modo que hinduce una equivalencia de homotop´ıa ˜ hde e Dnque fija el borde [20]. Pasando a la homolog´ıa, esto nos da un automorfismo de H1(e Dn). Si h0es cualquier otro automorfismo con [h0] = β, entonces [h]−1[h0] = 1, as´ı que como la aplicaci´on inducida por el recubrimiento π1(e Dn)→π1(Dn) es inyectiva (1.6.20) tenemos que [˜ h]−1[˜ h0] = 1 como aplicaci´on en π1(e Dn). Pasando a homolog´ıa, esto nos da [˜ h]−1[˜ h0] = 1 como aplicaci´on en H1(e Dn). Definici´on 5.1.2. Sea el homomorfismo ψr:Bn→GL(H1(e Dn)) dado por ψr(β) = [˜ h]. Esta aplicaci´on est´a bien definida por las observaciones anteriores y se conoce como representaci´on de Burau reducida de Bn. Se llama reducida porque existe una representaci´on n-dimensional de la cual la forma reducida es un sumando irreducible, es decir, que no se puede expresar como 40 una combinaci´on de dos representaciones lineales. Esta mencionada representaci´on n-dimensional puede encontrarse en [22]. Como veremos con la siguiente proposici´on, la representaci´on que hemos dado es (n−1)-dimensional. Proposici´on 5.1.3. H1(e Dn) es un m´odulo libre de rango n−1 sobre Z[t, t−1]. Demostraci´on. Vamos a calcular la homolog´ıa de e X, que es claramente del mismo tipo de homotop´ıa que e Dn. Adem´as podemos considerar φcomo una aplicaci´on π1(X)→Zpor ser Xhomot´opicamente equivalente a Dn. Eligiendo entonces un generador t∈π1(X)/ker φpodemos ver H1(e X) como un Z[t, t−1]-m´odulo, donde la suma se corresponde con la concatenaci´on de lazos y el producto por tcon la conjugaci´on por un lazo xi. Sean A=Sj∈ZX∗ 2jyB=Sj∈ZX∗ 2j+1 subespacios cuya uni´on es e X. La sucesi´on de Mayer-Vietoris nos da 0→H1(e X)∆ →H0(A∩B)i∗ →H0(A)⊕H0(B), donde el 0 proviene de que AyBson homot´opicamente equivalentes a un espacio discreto. Por tanto, H1(e X)∼ =Im ∆ = ker i∗. Ahora, H0(A∩B) es isomorfo a Lj∈ZZn, ya que para cada j∈Z, la intersecci´on X∗ j∩X∗ j+1 es homot´opicamente equivalente a un espacio de npuntos. Entonces {aj,1, . . . , aj,n}j∈Zuna Z-base para H0(A∩B). Es f´acil ver que {aj,1−aj,2, . . . , aj,n−1−aj,n}j∈Zes una base para ker i∗. Sea ˜ d0∈e X un levantamiento del punto base d0∈X, digamos ˜ d0∈X∗ 0. Denotamos por viel elemento de H1(e X) representado por el levantamiento del lazo xix−1 i+1 (1 ≤i≤n−1). Se tiene que ∆(vi) = a0,i −a0,i+1 [22] y para todo j∈Zse tiene ∆(tjvi) = aj,i −aj,i+1. Por tanto, los tjviforman una base de H1(e X) como Z-m´odulo, y como consecuencia {v1, . . . , vn−1}es una base de H1(e X) como Z[t, t−1]-m´odulo.  5.1.2. Expresi´on matricial A partir de la demostraci´on de la Proposici´on 5.1.3 podemos obtener la expresi´on matricial de la representaci´on de Burau reducida. Como explicaremos con ayuda de la Figura 5.2, la acci´on de σisobre H1(e X) viene dada por ψrσi(vj) =          vj+tvj+1 j=i−1, −tvjj=i, vj−1+vjj=i+ 1, vjc.c. 41 [14] E. A. El-Rifai, H. R. Morton. Algorithms for positive braids. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 45 (180):479–497, 1994. [15] D. B. A. Epstein, J. W. Cannon, D. F. Holt, S. V. F. Levy, M. S. Paterson, W. P. Thurston. Word processing in groups. Jones and Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992. [16] E. Fadell, L. Neuwirth. Configuration spaces. Math. Scand., 10:111–118, 1962. http://www.mscand.dk/article/download/10517/8538 [17] F. A. Garside. The braid group and other groups. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 20:235–254, 1969. http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/garside.pdf [18] J. Gonz´alez-Meneses. Basic results on braid groups. 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