ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
núm. 108, 1985, págs. 57 a g4
Un an
á
li
s
i
s
del indicado u
s
ado en el
"
Fondo
de Compen
s
ación In e e i o ial
"
po JESUS BASULTO SANTOS
Facul ad de Ciencias Económicas
y Emp esa iales
Uni e sidad de Se illa
RESUMEN
En es e abajo se de ine una dis ancia que pe mi e medi la ap oxima-
ción en e dos Comunidades y la posición de cada Comunidad espec o de
una Comunidad imagina ia. A pa i de la dis ancia se analiza la ep esen-
a i idad del indicado usado en el Fondo de Compensación In e e i o ial,
p oponiendo un indicado al e na i o de asignación.
Paluh as c^la e:
Co nunidad Au ónoma; Dis ancia; Rep esen a i idad.
1.
1NTRODUCCION
El Fondo de Co npensación In e e i o ial consis e en epa i una cie a can idad, C,
en e las 19 Comunidades Au ónomas, asignando a la Comunidad i-ésima (i=1, 2,. ..,
19) la can idad C. Z( ), siendo Z(i) el alo del indicado Z sob e dicha Comunidad.
E1 indicado Z se de ine como,
Z= Il.w +
I,.w; + 13.w^ + IQ.w4
(1}
só
ESTAUÍSTlC`A ESPA!^4LA
donde I^, I^, I^ e I,, san indicada es que enseguida de ini emos
y K^^ = 0.7, w^ = 0.2, w^_; i
0.05 y w= 0.a5
son pesos que miden, espec i amen e, la impo ancia de cada uno de
los indicado es
I j--l, 2, 3, 4.
E1 indicado
I, se de
ne como,
I1=Z^/T^
siendo Z^
_
(10`^ / R) . (Rm / R) . P
y donde
P es la población, R la en a pe cápi a, Rm la en a mínima en e odas las
Comunidades y T^ es el o al de Z,
pa a las
19 Comunidades. No emos que si Z, se
de ine po ,
Z1=P/R`'
en onces no se modi ica el indicado I,; así Rm no iene ninguna in luencia en el
i ndicado I1.
El indicado I2 se de ine como,
I2=Z2/T,
siendo ZZ = Q.S
y donde S es el saldo mig a o io, Q es una a iable que oma el alo -1 si S es meno
que ce o y el alo 0 si S es mayo o igual que ce o, y T2 es el o al de Z, pa a las 19
Comunidades.
El indicado I^ se de ine como,
I3=Z3/T^
siendo Z^ = J. (TP -TMP}
y donde TP es la asa de pa o de cada Comunidad, TMP es la asa de pa o en España,
J es una a iable que oma el alo 1 si TP supe a a TMP y el alo 0 en o o caso, y
T^ es el o al de Z3 pa a las l9 Co nunidades.
Po úl imo, el indicado I4 es la p opo ción de supe icie de cada Comunidad.
Pa a más de alle sob e las úl imas de iniciones, puede consul a se la publicación:
ndicado es Es adís icos Regionales (I.N.E., 1984). También, en nues o abajo no
incluímos el indicado que inco po a, en la asignación, el alejamien o en e las islas y la
península.
UN ANÁLlSIS DEL INDICADOR USADO EN EL "FONDO DE COMPENSAC'IC1N NTERTERR T©R1AL"
S9
No emos que po
(1), el 70% de C se
epa e p opo cionalmen e al indicado Z!, el
20% al Z^, el 5%
al
Z^ y el 5°/© es an e al indicado Z4.
Si
conside amos la ma iz X con 19 ilas
(
las
Comunidades) y 4 columnas (los
indicado es), donde el elemen o de la ila ^-ésima y de las columnas
,
j-ésima,
.
x;;,
es igual
a I; (i); siendo I; (i) el alo del indicado Iá sob e la Comunidad i-ésima, en onces
podemos alo a la ap oximación en e las Comunidades i e i' po la dis ancia,
d,,, ( i, i
^
-
^^
^-X^^)
(2)
donde, o a ez, los pesos
K^ (j=1, 2, 3,
4) pe mi en da mayo impo ancia a unas
calumnas, de la ma iz X, más que a o as en el cálculo de dicha dis ancia.
Aho a,
si
conside amos que el indicado Z ep esen a la ila i-ésima de la ma iz X
po el alo Z
(i),
podemos pensa que dos Co nunidades
i
e i' con dis ancia,
d,,, (i, i ^,
peque ^a
(
g ande) deben ene asignaciones pa ecidas
(
muy di e en es); es deci
^
Z(i) - Z
(i
^
^ debe se pequeño (g ande). Así, un p ime obje i o de nues o abajo es analiza
has a qué pun o
dw, (i, i
^
es á bien desc i a
po ^ Z(i) - Z
(i ^
^,
pa a odo
i e i'.
También, si conside amos una Comunidad imagina ia, k, al que
I; (k) = 0(j=1, 2, 3,
4), en onces podemos asigna la can idad
C, a la Comunidad
i-ésima, p opo cionalmen-
e a
dH, (i, k) _
^ W^
j= 1
y así, un segundo y úl imo obje i o de nues o abajo se á elaciona és e c i e io con el
basado en el indicado Z.
2,
EVALUACIÓN DE LA
REPRESENTATIVIDAD DEL INDICADOR Z.
Si cada
i la
x; _(.x; , xiz, x 3, xi4),
i= l,^,.
.., 19, de la ma iz X se conside a como un
pun o o
ec o del
espacio ec o ial R4 (donde R es el conjun o de los núme os eales),
cuyas componen es son sus coo denadas en la base canónica
(eF(1, 0,
0, 0),
e^(0, 1, 0,
0), e^(0, 0, 1, 0) y e^(0,
0, 0, 1) ), y si en R4 conside amos la dis ancia de inida en (2),
en onces podemos plan ea nos el halla un ec o m^, de no ma unidad según
(2), y al
que minimice la exp esión,
^
h{Í
19
^ ^K ^_Y , .C•^
(^)
+donde x^ es la p oyeccián
o ogonal, según la no ma de inida
po (2), sob e el ec o
ln 1.
Es ácil e que (
4j es igual a,
^^
X - X^` ^^ i.w^
aza
(I.(X--X*).W.(X--X*}' )
(5)
donde
la
ila
i-ésima de la ma iz
X* es x;^ y
la
ma iz
W es una ma iz diagonal
de inida po W=-diagonal
(K*^,
K ^,
w.;,
w,^},
es
deci
en su diagonal p incipal iene los
pesos
K;,
i, 2, 3, 4.
Aho a,
el
p oblema ecogido en (4) equi ale a: Haila una ma iz
X*, de ango
unidad, que minimice
(
5) en e odas las ma ices de ango unidad.
La solucián de es e úl i no p oblema e^s {C. Ecka and
G. Young, 193b; A.S.
Householde and Gale Young, 1938) la ma iz
X* = d,.n .mÍ;
donde a pa i de la
descomposición singula gene aliz,ada de la ma iz X en,
X = N.D.M'
FSTAD^STI('A ESPA^V{)LA
N'. N= I y
M'. W. M= I
siendo L? = diagonal
(d,,
d,,,. .., d ),
es el ango de X, esul a que n^ y m, son las
p ime as colu nnas de las ma ices N y M, espec i amen e, y d, es el mayo alo
singula de la ma iz X.
Aho a, la ila i-ésima,
x;
de la ma iz X puede ep esen a se po la can idad
x;.W.m,,
que es la p oyección o ogonal de
x;
sob e
m^.
Así, podemos de ini el indicado B
median e,
B ^ I .w .mi(1) + I,.w,.mi (2) + 13.K^^.m^ (3) +
I4.w4.m4 (4)
donde
n^
U
^
es la _j-ésima componen e del ec o
m1.
Pa a la ma iz X del año 1984, a pa i de aplica un algo í mo de po encias,
hemos ob enida pa a
d^, n, y m^
los siguien es alo es:
d
=0,3b11
nl =(0'7$81, 0'0649, 0'0598, 0'019Q3, 4'09091, 0'02408, 0'2b5, Q'2172,
0'234, 0' 139, 0'2048, 0'3073, 0' 14 I b, 0'0546, 0'U 175, 0'C?998 I,
a'04872, 0'00^467, 0'40579)
I.JN
ANÁLISIS DFL. INDI(`ADOR I^SADO EN El. "FONDO DE C`OMPE iSA(^iO i I iTk:RTk.RRITORIAI."
^1
m, _(0'94508, 1' 179U, 1,13 5 l 9, 0'804147 )
y así el indicado B se esc ibe como,
B= I^.w^^.(0'94508) + 1,.^1^^.(1'1790) + I3. ^'3.(1' 13519) + í4.K^4.(0,804147)
En la siguien e abla compa amos los alo es que aman,
sob e cada Comunidad, los
indicado es Z y B.
Z
B
Z
B
1
0'2818
0'284b
10
0'0535
0'0503
0'0251
0'0234
1 l
0'0729
0'0739
3
0'0219
0'02 I 6
12
0' 1078
0' 1 10b
4
0'0073 0'0068
13
0'0542
0'O51 1
0'0334
0'0328
14
0'0221
0'0207
6
0'0089 0'0086
a 5
0'0068
0'0063
7
0'0948
0'0958
16
0'0360
0'0360
0'0772
0'0784
17
0'0034
0'0031
9
0'0874
0'0848
I 8
0'0026
0'0025
19
0'0021
0'0021
donde no se obse an di e encias ela i as ap eciables en e ambos indicado es.
La bondad de ajus a X. po X* se de ne po ,
^^
X^X*^ ^^ i•
w
(1
-
2
^^
X ^^ i• W
) . 100
que pa a nues os da os esul a
un alo de 89'3%.
También, al se
X'.W.X =(N.D) .(N.D)',
esul a que la dis ancia
(2) en e las
Comunidades i e i' es igual a la dis ancia euclídea en e las ilas ^ e
i'
de la na iz N.D.
Si aho a ap oximamos la ma iz
X po la
ma iz
X* = d^.nl.m^,
esul a que X'.W.X
puede se ap oximada
po
(d^.n,) .(d^.n^,
es deci po la ma iz
(X.W.m^) .(X.W.m,)';
ya que
X.W.m, = d .n^.
En onces, podemos
ap oxima la dis ancia
d,^. ( , i ^
po ^ B
(i)
-
B(1 ^ I o po ^ Z(i) - Z
(j
^ Í•

62
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
En la abla
siguien e se compa a la dis ancia
d,,.(i,i ^
con la dis ancia ^
Z(i) - Z(i ^
^
(que apa ece en e pa én esis) pa a a gunos
pa es i e i' de Comunidades.
1
3
6
9
IS
18
2
0'2b41
0'0176
0'0232
0'0881
0'022 $ 0'028 7
(0'25b7)
(
0'0032)
(
0'O162)
(
0'0623) (0'0183) (0'0225)
0'2 528
0'0343
0'0381
0'062 7
0'0392
0'0416
S
(0'2484)
(
0'O1 1 S)
(
0'0245)
(0'0540)
(0'0266)
(
0'0308)
0'2392
0'0426
0'0528
0'0653
0'0543
0'0586
10
(0'2283)
(
U'0316)
(0'044b)
(
0'0339)
(
0'0467}
(
0'0509)
0'2385
0`0451
0'0552 0'0662
0'OSb9
0'0608
13
(0'2276} (0'0323) (0'0453)
(0'0332)
(0'0474}
(0'0516)
0'2825
U'0191
0'0059
0' 1025
0'0042
0'0022
17
(0'2784) (0'0185) (0'0055)
(0'0840)
(
0'0034)
(
0'0008)
0'2834 0'0283 0'0070
0' 1035
0'0063
0'
ooob
19
(0'2797)
(
0'0198)
(0`0068)
(0'0853)
(
0'0447)
(0'0005)
En la abla se pueden obse a g andes di e encias ela i as en e dichas dis ancias;
sob e odo cuando las dis ancias en e las Comunidades son peque ^as. Es o úl imo se
debe a que el indicado Z supone que el ec o óp imo
m,
es
h^ 1,
1,
1, 1), esul ando
la
ma iz
(X.i^.h).h'
como la "mejo " ap oximación a la ma iz
X, y siendo
la bondad
de ajus e meno o igual
que 89'3%. Así,
el es o de 1 1'7%,
al
menos, de no explicación
del alo ^^ X ^^^,^,,,, explica ias di e encias ela i as obse adas en la úl ima abla.
Si la ma iz
^C = N. D. M' se esc ibe como,
X - ( N. D ). M'
esul a que el alo
x ^
( ila
i-ésima y columna
j-é
sima) es el p oduc o escala , usual, de
la ila i-^ésima de la ma iz N.D po la ila j-^ésima de la ma iz M. Aho a, con la
ap oximación de X po
d,.n^. n^
esul a que la columna j-ésima de la ma iz X puede
ep esen a se po `
n,U
^
,
componen e j-ésima de
ml.
Así, en la ap oximación de la
ma iz X po la na iz
(X.W.h,).h,,
al se
h^ 1,
1,
1,
1)
concluímos que las cua o
columnas de la ma iz X deben se iguales. Es o úl imo no es á de acue do con los da os
ecogidos en la ma iz X.
Po úl imo, como la dis ancia
dK,(i,
k)
puede ap oxima se po B(i), se ecogen en la
siguien e abla las compa aciones en e
dK,(i,
k) y Z(i), i=1, 2,. ..
,
19, así como las
asignaciones que se ob ienen cuando C es igual a
100.000
unidades mone a ias.
UN ANA1_ISIS DEIu INDIC'ADOR USADO EN EL "FONDO DE ('C}MPENSA('ION INTERTERRITORIAL"
b3
d,,. (i,k)
ASlGNACIONES
Z (i)
ASIGNACIONES
1
Andalucía
0'2854 25611'03
0'2818
28180
2 A agón
0'0309
2774'85
0'0251
2510
3 As u ias
0'022 5
2023' 18
0'0219
2190
4 Balea es
0'0484
761'32
0'0073
730
5 Canañas
0'0438 3933'44
0'0334
3340
6 Can ab ia
0'0094
845' 16
0'0089
890
7 Cas illa-León
0' 1050
9423'70
0'0948
9480
8 Cas illa-La Mancha
0'0873 7839'94 0'0772
7720
9 Ca alu ^a
0' 1055
9471' 16
0'0874
8740
10 C. Valenciana
0'06 l 7
5544'31
0'0535
5350
11
Ex emadu a
0'0780
7005'99
0'0729
7290
12 Galicia
0' 1 181
10602'99
0' 1078
10780
13
Mad id
0'0639
5740'43
0'0542
5420
14 Mu cia
0'0253 2275'89
0'0221
2210
15 Na a a
0'0083 748'3b 0'0068
680
16 Pais V asco
0'0501
4501' 19
0'0360
3600
17 Rioja (La)
0'0041 370'61
0'0034
340
18 Ceu a
0'0032
289'06
0'0026
260
19 Melilla
0'002 b
2 3 7' 31
0'0021
210
donde alse la suma de la columna
co espondien e a
d,,, (i,k}
igual a 1,08372,
esul a
que las asignaciones son iguales
a C.d,,, (i,k)/1'08372, i-1, 2, ...., 19.
Como
se puede obse a en la úl ima abla, los c i e ios de asignación basados en dµ,
(i,k)
y Z(
i}
p esen an di e encias ela i as signi ica i as
(supe io es al 5%}.
3.
DISCUSION Y CONCLUSIONES
En el apa ado an e io imos que el indicado Z deja de explica
al
menos el 11'7%
,
de I I X ^ I , w^ y asi no podemos iguala la dis ancia
d,^, (i, l ^
a
la dis ancia
Z(i) - Z(i ^
pa a las Comunidades i e i'. También, se ió que el indicado Z es á suponiendo que los
cua o indicado es
(I; : j=1, 2,3, 4) oman el mis no alo sob e cada Comunidad y, po
úl imo, imos que exis en di e encias signi ica i as en e Las asignaciones basadas en los
c i e ios
d,,. {i,k) y Z (i).
También, si se quie e
ene un 1 ^0%
de explicación pa a Z, se debe ía de ini los
indicado es
I;,
j=1, 2, 3, 4, de
al o ma que el ango de a ma iz
X uese
igual a la
unidad. Aho a bien, al se la suma de cada columna de la ma iz X igual a la unidad,
esul a ía que sus columnas se ían iguales en cada una de las ilas, y asi la in oducción
de los pesos no end ía ningún e ec o sob e los esul ados.
64
ESTADÍST CA ESPAÑOLA
Concluímos, pues, en u iliza el c i e io basado en la dis ancia
d„^ (i,k),
e i ando
c i e ios que se undamen en en una
educción de !a in o macidn.
Así, nues a abajo,
al igual que a os (3. I^-Ie nández, T, Mancha y J. E. Villena, 1981 }, p e ende que,
acep ando el concep o de dis ancia como c i e io de asignación, se cen en las c i icas
en la elección de los indicadó es y los pesos,
REFERENCIAS
ECKART, C. and GALE Yo NG (193ó): "The app oxima ion o one ma ix by ano he o lowe
ank".
Psyehome ika, 1,
211-218.
HERNÁNDEZ, J., T. MANCHA y
^
. E. V LLENA (1981 }: "Un ondo de compensación des i uado".
Es udios Regionales, 8,
17-3 5.
HOUSEHOLDER, A. S. and GALE Yo NC (1938): "Ma ix app oxima ion and la en oo s".
Am Ma h.
Mon hly, 45,
1 b5-171.
1.
N. E. (1984):
Indicado es Es adls icos Regionales.
SU M MARY
ANALYSIS OF THE INi^ICATOR USED IN THE "FUND FOR
INTERTERRITORIAL CQMPENSATI4N".
In his pape we a e de ined a dis ance o e alua e he app oxima ion
be ween one Cam nuni y and ano he and o measu e he posi ion he each
Communi y wi h espec o an imagina y Communi y. This dis ance is
used o analyze he ep esen a i i y o indica o u ilized in he Fund o
In e e i o ial
Compensa ion. As a consecuence, his a icle p opose an
al e na i e indica o o he F. I. C.
Key wa ds:
Au onomic Communi y; dis ance; ep esen a i i y.
AMS 19?0. Subjec Classi ica ion: P i na y 62P20,
Seconda y b2H25.