Un análisis del indicador usado en el "Fondo de Compensación Interterritorial"

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA núm. 108, 1985, págs. 57 a g4 Un an á li s i s del indicado u s ado en el " Fondo de Compen s ación In e e i o ial " po JESUS BASULTO SANTOS Facul ad de Ciencias Económicas y Emp esa iales Uni e sidad de Se illa RESUMEN En es e abajo se de ine una dis ancia que pe mi e medi la ap oxima- ción en e dos Comunidades y la posición de cada Comunidad espec o de una Comunidad imagina ia. A pa i de la dis ancia se analiza la ep esen- a i idad del indicado usado en el Fondo de Compensación In e e i o ial, p oponiendo un indicado al e na i o de asignación. Paluh as c^la e: Co nunidad Au ónoma; Dis ancia; Rep esen a i idad. 1. 1NTRODUCCION El Fondo de Co npensación In e e i o ial consis e en epa i una cie a can idad, C, en e las 19 Comunidades Au ónomas, asignando a la Comunidad i-ésima (i=1, 2,. .., 19) la can idad C. Z( ), siendo Z(i) el alo del indicado Z sob e dicha Comunidad. E1 indicado Z se de ine como, Z= Il.w + I,.w; + 13.w^ + IQ.w4 (1} só ESTAUÍSTlC`A ESPA!^4LA donde I^, I^, I^ e I,, san indicada es que enseguida de ini emos y K^^ = 0.7, w^ = 0.2, w^_; i 0.05 y w= 0.a5 son pesos que miden, espec i amen e, la impo ancia de cada uno de los indicado es I j--l, 2, 3, 4. E1 indicado I, se de ne como, I1=Z^/T^ siendo Z^ _ (10`^ / R) . (Rm / R) . P y donde P es la población, R la en a pe cápi a, Rm la en a mínima en e odas las Comunidades y T^ es el o al de Z, pa a las 19 Comunidades. No emos que si Z, se de ine po , Z1=P/R`' en onces no se modi ica el indicado I,; así Rm no iene ninguna in luencia en el i ndicado I1. El indicado I2 se de ine como, I2=Z2/T, siendo ZZ = Q.S y donde S es el saldo mig a o io, Q es una a iable que oma el alo -1 si S es meno que ce o y el alo 0 si S es mayo o igual que ce o, y T2 es el o al de Z, pa a las 19 Comunidades. El indicado I^ se de ine como, I3=Z3/T^ siendo Z^ = J. (TP -TMP} y donde TP es la asa de pa o de cada Comunidad, TMP es la asa de pa o en España, J es una a iable que oma el alo 1 si TP supe a a TMP y el alo 0 en o o caso, y T^ es el o al de Z3 pa a las l9 Co nunidades. Po úl imo, el indicado I4 es la p opo ción de supe icie de cada Comunidad. Pa a más de alle sob e las úl imas de iniciones, puede consul a se la publicación: ndicado es Es adís icos Regionales (I.N.E., 1984). También, en nues o abajo no incluímos el indicado que inco po a, en la asignación, el alejamien o en e las islas y la península. UN ANÁLlSIS DEL INDICADOR USADO EN EL "FONDO DE COMPENSAC'IC1N NTERTERR T©R1AL" S9 No emos que po (1), el 70% de C se epa e p opo cionalmen e al indicado Z!, el 20% al Z^, el 5% al Z^ y el 5°/© es an e al indicado Z4. Si conside amos la ma iz X con 19 ilas ( las Comunidades) y 4 columnas (los indicado es), donde el elemen o de la ila ^-ésima y de las columnas , j-ésima, . x;;, es igual a I; (i); siendo I; (i) el alo del indicado Iá sob e la Comunidad i-ésima, en onces podemos alo a la ap oximación en e las Comunidades i e i' po la dis ancia, d,,, ( i, i ^ - ^^ ^-X^^) (2) donde, o a ez, los pesos K^ (j=1, 2, 3, 4) pe mi en da mayo impo ancia a unas calumnas, de la ma iz X, más que a o as en el cálculo de dicha dis ancia. Aho a, si conside amos que el indicado Z ep esen a la ila i-ésima de la ma iz X po el alo Z (i), podemos pensa que dos Co nunidades i e i' con dis ancia, d,,, (i, i ^, peque ^a ( g ande) deben ene asignaciones pa ecidas ( muy di e en es); es deci ^ Z(i) - Z (i ^ ^ debe se pequeño (g ande). Así, un p ime obje i o de nues o abajo es analiza has a qué pun o dw, (i, i ^ es á bien desc i a po ^ Z(i) - Z (i ^ ^, pa a odo i e i'. También, si conside amos una Comunidad imagina ia, k, al que I; (k) = 0(j=1, 2, 3, 4), en onces podemos asigna la can idad C, a la Comunidad i-ésima, p opo cionalmen- e a dH, (i, k) _ ^ W^ j= 1 y así, un segundo y úl imo obje i o de nues o abajo se á elaciona és e c i e io con el basado en el indicado Z. 2, EVALUACIÓN DE LA REPRESENTATIVIDAD DEL INDICADOR Z. Si cada i la x; _(.x; , xiz, x 3, xi4), i= l,^,. .., 19, de la ma iz X se conside a como un pun o o ec o del espacio ec o ial R4 (donde R es el conjun o de los núme os eales), cuyas componen es son sus coo denadas en la base canónica (eF(1, 0, 0, 0), e^(0, 1, 0, 0), e^(0, 0, 1, 0) y e^(0, 0, 0, 1) ), y si en R4 conside amos la dis ancia de inida en (2), en onces podemos plan ea nos el halla un ec o m^, de no ma unidad según (2), y al que minimice la exp esión, ^ h{Í 19 ^ ^K ^_Y , .C•^ (^) +donde x^ es la p oyeccián o ogonal, según la no ma de inida po (2), sob e el ec o ln 1. Es ácil e que ( 4j es igual a, ^^ X - X^` ^^ i.w^ aza (I.(X--X*).W.(X--X*}' ) (5) donde la ila i-ésima de la ma iz X* es x;^ y la ma iz W es una ma iz diagonal de inida po W=-diagonal (K*^, K ^, w.;, w,^}, es deci en su diagonal p incipal iene los pesos K;, i, 2, 3, 4. Aho a, el p oblema ecogido en (4) equi ale a: Haila una ma iz X*, de ango unidad, que minimice ( 5) en e odas las ma ices de ango unidad. La solucián de es e úl i no p oblema e^s {C. Ecka and G. Young, 193b; A.S. Householde and Gale Young, 1938) la ma iz X* = d,.n .mÍ; donde a pa i de la descomposición singula gene aliz,ada de la ma iz X en, X = N.D.M' FSTAD^STI('A ESPA^V{)LA N'. N= I y M'. W. M= I siendo L? = diagonal (d,, d,,,. .., d ), es el ango de X, esul a que n^ y m, son las p ime as colu nnas de las ma ices N y M, espec i amen e, y d, es el mayo alo singula de la ma iz X. Aho a, la ila i-ésima, x; de la ma iz X puede ep esen a se po la can idad x;.W.m,, que es la p oyección o ogonal de x; sob e m^. Así, podemos de ini el indicado B median e, B ^ I .w .mi(1) + I,.w,.mi (2) + 13.K^^.m^ (3) + I4.w4.m4 (4) donde n^ U ^ es la _j-ésima componen e del ec o m1. Pa a la ma iz X del año 1984, a pa i de aplica un algo í mo de po encias, hemos ob enida pa a d^, n, y m^ los siguien es alo es: d =0,3b11 nl =(0'7$81, 0'0649, 0'0598, 0'019Q3, 4'09091, 0'02408, 0'2b5, Q'2172, 0'234, 0' 139, 0'2048, 0'3073, 0' 14 I b, 0'0546, 0'U 175, 0'C?998 I, a'04872, 0'00^467, 0'40579) I.JN ANÁLISIS DFL. INDI(`ADOR I^SADO EN El. "FONDO DE C`OMPE iSA(^iO i I iTk:RTk.RRITORIAI." ^1 m, _(0'94508, 1' 179U, 1,13 5 l 9, 0'804147 ) y así el indicado B se esc ibe como, B= I^.w^^.(0'94508) + 1,.^1^^.(1'1790) + I3. ^'3.(1' 13519) + í4.K^4.(0,804147) En la siguien e abla compa amos los alo es que aman, sob e cada Comunidad, los indicado es Z y B. Z B Z B 1 0'2818 0'284b 10 0'0535 0'0503 0'0251 0'0234 1 l 0'0729 0'0739 3 0'0219 0'02 I 6 12 0' 1078 0' 1 10b 4 0'0073 0'0068 13 0'0542 0'O51 1 0'0334 0'0328 14 0'0221 0'0207 6 0'0089 0'0086 a 5 0'0068 0'0063 7 0'0948 0'0958 16 0'0360 0'0360 0'0772 0'0784 17 0'0034 0'0031 9 0'0874 0'0848 I 8 0'0026 0'0025 19 0'0021 0'0021 donde no se obse an di e encias ela i as ap eciables en e ambos indicado es. La bondad de ajus a X. po X* se de ne po , ^^ X^X*^ ^^ i• w (1 - 2 ^^ X ^^ i• W ) . 100 que pa a nues os da os esul a un alo de 89'3%. También, al se X'.W.X =(N.D) .(N.D)', esul a que la dis ancia (2) en e las Comunidades i e i' es igual a la dis ancia euclídea en e las ilas ^ e i' de la na iz N.D. Si aho a ap oximamos la ma iz X po la ma iz X* = d^.nl.m^, esul a que X'.W.X puede se ap oximada po (d^.n,) .(d^.n^, es deci po la ma iz (X.W.m^) .(X.W.m,)'; ya que X.W.m, = d .n^. En onces, podemos ap oxima la dis ancia d,^. ( , i ^ po ^ B (i) - B(1 ^ I o po ^ Z(i) - Z (j ^ Í• 62 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA En la abla siguien e se compa a la dis ancia d,,.(i,i ^ con la dis ancia ^ Z(i) - Z(i ^ ^ (que apa ece en e pa én esis) pa a a gunos pa es i e i' de Comunidades. 1 3 6 9 IS 18 2 0'2b41 0'0176 0'0232 0'0881 0'022 $ 0'028 7 (0'25b7) ( 0'0032) ( 0'O162) ( 0'0623) (0'0183) (0'0225) 0'2 528 0'0343 0'0381 0'062 7 0'0392 0'0416 S (0'2484) ( 0'O1 1 S) ( 0'0245) (0'0540) (0'0266) ( 0'0308) 0'2392 0'0426 0'0528 0'0653 0'0543 0'0586 10 (0'2283) ( U'0316) (0'044b) ( 0'0339) ( 0'0467} ( 0'0509) 0'2385 0`0451 0'0552 0'0662 0'OSb9 0'0608 13 (0'2276} (0'0323) (0'0453) (0'0332) (0'0474} (0'0516) 0'2825 U'0191 0'0059 0' 1025 0'0042 0'0022 17 (0'2784) (0'0185) (0'0055) (0'0840) ( 0'0034) ( 0'0008) 0'2834 0'0283 0'0070 0' 1035 0'0063 0' ooob 19 (0'2797) ( 0'0198) (0`0068) (0'0853) ( 0'0447) (0'0005) En la abla se pueden obse a g andes di e encias ela i as en e dichas dis ancias; sob e odo cuando las dis ancias en e las Comunidades son peque ^as. Es o úl imo se debe a que el indicado Z supone que el ec o óp imo m, es h^ 1, 1, 1, 1), esul ando la ma iz (X.i^.h).h' como la "mejo " ap oximación a la ma iz X, y siendo la bondad de ajus e meno o igual que 89'3%. Así, el es o de 1 1'7%, al menos, de no explicación del alo ^^ X ^^^,^,,,, explica ias di e encias ela i as obse adas en la úl ima abla. Si la ma iz ^C = N. D. M' se esc ibe como, X - ( N. D ). M' esul a que el alo x ^ ( ila i-ésima y columna j-é sima) es el p oduc o escala , usual, de la ila i-^ésima de la ma iz N.D po la ila j-^ésima de la ma iz M. Aho a, con la ap oximación de X po d,.n^. n^ esul a que la columna j-ésima de la ma iz X puede ep esen a se po ` n,U ^ , componen e j-ésima de ml. Así, en la ap oximación de la ma iz X po la na iz (X.W.h,).h,, al se h^ 1, 1, 1, 1) concluímos que las cua o columnas de la ma iz X deben se iguales. Es o úl imo no es á de acue do con los da os ecogidos en la ma iz X. Po úl imo, como la dis ancia dK,(i, k) puede ap oxima se po B(i), se ecogen en la siguien e abla las compa aciones en e dK,(i, k) y Z(i), i=1, 2,. .. , 19, así como las asignaciones que se ob ienen cuando C es igual a 100.000 unidades mone a ias. UN ANA1_ISIS DEIu INDIC'ADOR USADO EN EL "FONDO DE ('C}MPENSA('ION INTERTERRITORIAL" b3 d,,. (i,k) ASlGNACIONES Z (i) ASIGNACIONES 1 Andalucía 0'2854 25611'03 0'2818 28180 2 A agón 0'0309 2774'85 0'0251 2510 3 As u ias 0'022 5 2023' 18 0'0219 2190 4 Balea es 0'0484 761'32 0'0073 730 5 Canañas 0'0438 3933'44 0'0334 3340 6 Can ab ia 0'0094 845' 16 0'0089 890 7 Cas illa-León 0' 1050 9423'70 0'0948 9480 8 Cas illa-La Mancha 0'0873 7839'94 0'0772 7720 9 Ca alu ^a 0' 1055 9471' 16 0'0874 8740 10 C. Valenciana 0'06 l 7 5544'31 0'0535 5350 11 Ex emadu a 0'0780 7005'99 0'0729 7290 12 Galicia 0' 1 181 10602'99 0' 1078 10780 13 Mad id 0'0639 5740'43 0'0542 5420 14 Mu cia 0'0253 2275'89 0'0221 2210 15 Na a a 0'0083 748'3b 0'0068 680 16 Pais V asco 0'0501 4501' 19 0'0360 3600 17 Rioja (La) 0'0041 370'61 0'0034 340 18 Ceu a 0'0032 289'06 0'0026 260 19 Melilla 0'002 b 2 3 7' 31 0'0021 210 donde alse la suma de la columna co espondien e a d,,, (i,k} igual a 1,08372, esul a que las asignaciones son iguales a C.d,,, (i,k)/1'08372, i-1, 2, ...., 19. Como se puede obse a en la úl ima abla, los c i e ios de asignación basados en dµ, (i,k) y Z( i} p esen an di e encias ela i as signi ica i as (supe io es al 5%}. 3. DISCUSION Y CONCLUSIONES En el apa ado an e io imos que el indicado Z deja de explica al menos el 11'7% , de I I X ^ I , w^ y asi no podemos iguala la dis ancia d,^, (i, l ^ a la dis ancia Z(i) - Z(i ^ pa a las Comunidades i e i'. También, se ió que el indicado Z es á suponiendo que los cua o indicado es (I; : j=1, 2,3, 4) oman el mis no alo sob e cada Comunidad y, po úl imo, imos que exis en di e encias signi ica i as en e Las asignaciones basadas en los c i e ios d,,. {i,k) y Z (i). También, si se quie e ene un 1 ^0% de explicación pa a Z, se debe ía de ini los indicado es I;, j=1, 2, 3, 4, de al o ma que el ango de a ma iz X uese igual a la unidad. Aho a bien, al se la suma de cada columna de la ma iz X igual a la unidad, esul a ía que sus columnas se ían iguales en cada una de las ilas, y asi la in oducción de los pesos no end ía ningún e ec o sob e los esul ados. 64 ESTADÍST CA ESPAÑOLA Concluímos, pues, en u iliza el c i e io basado en la dis ancia d„^ (i,k), e i ando c i e ios que se undamen en en una educción de !a in o macidn. Así, nues a abajo, al igual que a os (3. I^-Ie nández, T, Mancha y J. E. Villena, 1981 }, p e ende que, acep ando el concep o de dis ancia como c i e io de asignación, se cen en las c i icas en la elección de los indicadó es y los pesos, REFERENCIAS ECKART, C. and GALE Yo NG (193ó): "The app oxima ion o one ma ix by ano he o lowe ank". Psyehome ika, 1, 211-218. HERNÁNDEZ, J., T. MANCHA y ^ . E. V LLENA (1981 }: "Un ondo de compensación des i uado". Es udios Regionales, 8, 17-3 5. HOUSEHOLDER, A. S. and GALE Yo NC (1938): "Ma ix app oxima ion and la en oo s". Am Ma h. Mon hly, 45, 1 b5-171. 1. N. E. (1984): Indicado es Es adls icos Regionales. SU M MARY ANALYSIS OF THE INi^ICATOR USED IN THE "FUND FOR INTERTERRITORIAL CQMPENSATI4N". In his pape we a e de ined a dis ance o e alua e he app oxima ion be ween one Cam nuni y and ano he and o measu e he posi ion he each Communi y wi h espec o an imagina y Communi y. This dis ance is used o analyze he ep esen a i i y o indica o u ilized in he Fund o In e e i o ial Compensa ion. As a consecuence, his a icle p opose an al e na i e indica o o he F. I. C. Key wa ds: Au onomic Communi y; dis ance; ep esen a i i y. AMS 19?0. Subjec Classi ica ion: P i na y 62P20, Seconda y b2H25.