Un análisis del indicador usado en el "Fondo de Compensación Interterritorial"

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA núm. 108, 1985, págs. 57 a g4 Un an á li s i s del indicador u s ado en el " Fondo de Compen s ación Interterritorial " por JESUS BASULTO SANTOS Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Sevilla RESUMEN En este trabajo se define una distancia que permite medir la aproximación entre dos Comunidades y la posición de cada Comunidad respecto de una Comunidad imaginaria. A partir de la distancia se analiza la representatividad del indicador usado en el Fondo de Compensación Interterritorial, proponiendo un indicador alternativo de asignación. Paluhras c^lave: Cornunidad Autónoma; Distancia; Representatividad. 1. 1NTRODUCCION El Fondo de Cornpensación Interterritorial consiste en repartir una cierta cantidad, C, entre las 19 Comunidades Autónomas, asignando a la Comunidad i-ésima (i=1, 2,. .., 19) la cantidad C. Z(r), siendo Z(i) el valor del indicador Z sobre dicha Comunidad. E1 indicador Z se define como, Z= Il.wf + I,.w; + 13.w^ + IQ.w4 (1} só ESTAUÍSTlC`A ESPA!^4LA donde I^, I^, I^ e I,, san indicadares que enseguida definiremos y K^^ = 0.7, w^ = 0.2, w^_; i 0.05 y w= 0.a5 son pesos que miden, respectivamente, la importancia de cada uno de los indicadores If j--l, 2, 3, 4. E1 indicador I, se def ne como, I1=Z^/T^ siendo Z^ _ (10`^ / R) . (Rm / R) . P y donde P es la población, R la renta per cápita, Rm la renta mínima entre todas las Comunidades y T^ es el total de Z, para las 19 Comunidades. Notemos que si Z, se define por, Z1=P/R`' entonces no se modifica el indicador I,; así Rm no tiene ninguna influencia en el i ndicador I1. El indicador I2 se define como, I2=Z2/T, siendo ZZ = Q.S y donde S es el saldo migratorio, Q es una variable que toma el valor -1 si S es menor que cero y el valor 0 si S es mayor o igual que cero, y T2 es el total de Z, para las 19 Comunidades. El indicador I^ se define como, I3=Z3/T^ siendo Z^ = J. (TP -TMP} y donde TP es la tasa de paro de cada Comunidad, TMP es la tasa de paro en España, J es una variable que toma el valor 1 si TP supera a TMP y el valor 0 en otro caso, y T^ es el total de Z3 para las l9 Cornunidades. Por último, el indicador I4 es la proporción de superficie de cada Comunidad. Para más detalle sobre las últimas definiciones, puede consultarse la publicación: ndicadores Estadísticos Regionales (I.N.E., 1984). También, en nuestro trabajo no incluímos el indicador que incorpora, en la asignación, el alejamiento entre las islas y la península. UN ANÁLlSIS DEL INDICADOR USADO EN EL "FONDO DE COMPENSAC'IC1N tNTERTERRtT©R1AL" S9 Notemos que por (1), el 70% de C se reparte proporcionalmente al indicador Z!, el 20% al Z^, el 5% al Z^ y el 5°/© restante al indicador Z4. Si consideramos la matriz X con 19 filas ( las Comunidades) y 4 columnas (los indicadores), donde el elemento de la fila ^-ésima y de las columnas , j-ésima, . x;;, es igual a I; (i); siendo I; (i) el valor del indicador Iá sobre la Comunidad i-ésima, entonces podemos valorar la aproximación entre las Comunidades i e i' por la distancia, d,,, ( i, i ^ - ^^ ^-X^^) (2) donde, otra vez, los pesos K^ (j=1, 2, 3, 4) permiten dar mayor importancia a unas calumnas, de la matriz X, más que a otras en el cálculo de dicha distancia. Ahora, si consideramos que el indicador Z representa la fila i-ésima de la matriz X por el valor Z (i), podemos pensar que dos Cornunidades i e i' con distancia, d,,, (i, i ^, pequer^a ( grande) deben tener asignaciones parecidas ( muy diferentes); es decir ^ Z(i) - Z (i ^ ^ debe ser pequeño (grande). Así, un primer objetivo de nuestro trabajo es analizar hasta qué punto dw, (i, i ^ está bien descrita por ^ Z(i) - Z (i ^ ^, para todo i e i'. También, si consideramos una Comunidad imaginaria, k, tal que I; (k) = 0(j=1, 2, 3, 4), entonces podemos asignar la cantidad C, a la Comunidad i-ésima, proporcionalmente a dH, (i, k) _ ^ W^ j= 1 y así, un segundo y último objetivo de nuestro trabajo será relacionar éste criterio con el basado en el indicador Z. 2, EVALUACIÓN DE LA REPRESENTATIVIDAD DEL INDICADOR Z. Si cada fi la x; _(.x;r, xiz, xr3, xi4), i= l,^,. .., 19, de la matriz X se considera como un punto o vector del espacio vectorial R4 (donde R es el conjunto de los números reales), cuyas componentes son sus coordenadas en la base canónica (eF(1, 0, 0, 0), e^(0, 1, 0, 0), e^(0, 0, 1, 0) y e^(0, 0, 0, 1) ), y si en R4 consideramos la distancia definida en (2), entonces podemos plantearnos el hallar un vector m^, de norma unidad según (2), y tal que minimice la expresión, ^ h{Í 19 ^ ^K ^_Yr, .C•^ (^) +donde x^ es la proyeccián ortogonal, según la norma definida por (2), sobre el vector ln 1. Es fácil ver que ( 4j es igual a, ^^ X - X^` ^^ i.w^ traza (I.(X--X*).W.(X--X*}' ) (5) donde la fila i-ésima de la matriz X* es x;^ y la matriz W es una matriz diagonal definida por W=-diagonal (K*^, Kt ^, w.;, w,^}, es decir en su diagonal principal tiene los pesos K;, r i, 2, 3, 4. Ahora, el problema recogido en (4) equivale a: Hailar una matriz X*, de rango unidad, que minimice ( 5) entre todas las matrices de rango unidad. La solucián de este últirno problema e^s {C. Eckart and G. Young, 193b; A.S. Householder and Gale Young, 1938) la matriz X* = d,.nf.mÍ; donde a partir de la descomposición singular generaliz,ada de la matriz X en, X = N.D.M' FSTAD^STI('A ESPA^V{)LA N'. N= I y M'. W. M= I siendo L? = diagonal (d,, d,,,. .., dr), r es el rango de X, resulta que n^ y m, son las primeras colurnnas de las matrices N y M, respectivamente, y d, es el mayor valor singular de la matriz X. Ahora, la fila i-ésima, x; de la matriz X puede representarse por la cantidad x;.W.m,, que es la proyección ortogonal de x; sobre m^. Así, podemos definir el indicador B mediante, B ^ It.wr.mi(1) + I,.w,.mi (2) + 13.K^^.m^ (3) + I4.w4.m4 (4) donde rn^ U ^ es la _j-ésima componente del vector m1. Para la matriz X del año 1984, a partir de aplicar un algorítmo de potencias, hemos obtenida para d^, n, y m^ los siguientes valores: dr =0,3b11 nl =(0'7$81, 0'0649, 0'0598, 0'019Q3, 4'09091, 0'02408, 0'2b5, Q'2172, 0'234, 0' 139, 0'2048, 0'3073, 0' 14 I b, 0'0546, 0'U 175, 0'C?998 I, a'04872, 0'00^467, 0'40579) I.JN ANÁLISIS DFL. INDI(`ADOR I^SADO EN El. "FONDO DE C`OMPEtiSA(^iOti ItiTk:RTk.RRITORIAI." ^1 m, _(0'94508, 1' 179U, 1,13 5 l 9, 0'804147 ) y así el indicador B se escribe como, B= I^.w^^.(0'94508) + 1,.^1^^.(1'1790) + I3.r^'3.(1' 13519) + í4.K^4.(0,804147) En la siguiente tabla comparamos los valores que taman, sobre cada Comunidad, los indicadores Z y B. Z B Z B 1 0'2818 0'284b 10 0'0535 0'0503 0'0251 0'0234 1 l 0'0729 0'0739 3 0'0219 0'02 I 6 12 0' 1078 0' 1 10b 4 0'0073 0'0068 13 0'0542 0'O51 1 0'0334 0'0328 14 0'0221 0'0207 6 0'0089 0'0086 a 5 0'0068 0'0063 7 0'0948 0'0958 16 0'0360 0'0360 0'0772 0'0784 17 0'0034 0'0031 9 0'0874 0'0848 I 8 0'0026 0'0025 19 0'0021 0'0021 donde no se observan diferencias relativas apreciables entre ambos indicadores. La bondad de ajustar X. por X* se def ne por, ^^ X^X*^ ^^ i• w (1 - 2 ^^ X ^^ i• W ) . 100 que para nuestros datos resulta un valor de 89'3%. También, al ser X'.W.X =(N.D) .(N.D)', resulta que la distancia (2) entre las Comunidades i e i' es igual a la distancia euclídea entre las filas ^ e i' de la rnatriz N.D. Si ahora aproximamos la matriz X por la matriz X* = d^.nl.m^, resulta que X'.W.X puede ser aproximada por (d^.n,) .(d^.n^, es decir por la matriz (X.W.m^) .(X.W.m,)'; ya que X.W.m, = d f.n^. Entonces, podemos aproximar la distancia d,^. (r, i ^ por ^ B (i) - B(1 ^ I o por ^ Z(i) - Z (j ^ Í• 62 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA En la tabla siguiente se compara la distancia d,,.(i,i ^ con la distancia ^ Z(i) - Z(i ^ ^ (que aparece entre paréntesis) para atgunos pares i e i' de Comunidades. 1 3 6 9 IS 18 2 0'2b41 0'0176 0'0232 0'0881 0'022 $ 0'028 7 (0'25b7) ( 0'0032) ( 0'O162) ( 0'0623) (0'0183) (0'0225) 0'2 528 0'0343 0'0381 0'062 7 0'0392 0'0416 S (0'2484) ( 0'O1 1 S) ( 0'0245) (0'0540) (0'0266) ( 0'0308) 0'2392 0'0426 0'0528 0'0653 0'0543 0'0586 10 (0'2283) ( U'0316) (0'044b) ( 0'0339) ( 0'0467} ( 0'0509) 0'2385 0`0451 0'0552 0'0662 0'OSb9 0'0608 13 (0'2276} (0'0323) (0'0453) (0'0332) (0'0474} (0'0516) 0'2825 U'0191 0'0059 0' 1025 0'0042 0'0022 17 (0'2784) (0'0185) (0'0055) (0'0840) ( 0'0034) ( 0'0008) 0'2834 0'0283 0'0070 0' 1035 0'0063 0' ooob 19 (0'2797) ( 0'0198) (0`0068) (0'0853) ( 0'0447) (0'0005) En la tabla se pueden observar grandes diferencias relativas entre dichas distancias; sobre todo cuando las distancias entre las Comunidades son pequer^as. Esto último se debe a que el indicador Z supone que el vector óptimo m, es h^ 1, 1, 1, 1), resultando la matriz (X.i^.h).h' como la "mejor" aproximación a la matriz X, y siendo la bondad de ajuste menor o igual que 89'3%. Así, el resto de 1 1'7%, al menos, de no explicación del valor ^^ X ^^^,^,,,, explica ias diferencias relativas observadas en la última tabla. Si la matriz ^C = N. D. M' se escribe como, X - ( N. D ). M' resulta que el valor xf^ (fila i-ésima y columna j-é sima) es el producto escalar, usual, de la fila i-^ésima de la matriz N.D por la fila j-^ésima de la matriz M. Ahora, con la aproximación de X por d,.n^.rn^ resulta que la columna j-ésima de la matriz X puede representarse por ` rn,U ^ , componente j-ésima de ml. Así, en la aproximación de la matriz X por la rnatriz (X.W.h,).h,, al ser h^ 1, 1, 1, 1) concluímos que las cuatro columnas de la matriz X deben ser iguales. Esto último no está de acuerdo con los datos recogidos en la matriz X. Por último, como la distancia dK,(i, k) puede aproximarse por B(i), se recogen en la siguiente tabla las comparaciones entre dK,(i, k) y Z(i), i=1, 2,. .. , 19, así como las asignaciones que se obtienen cuando C es igual a 100.000 unidades monetarias. UN ANA1_ISIS DEIu INDIC'ADOR USADO EN EL "FONDO DE ('C}MPENSA('ION INTERTERRITORIAL" b3 d,,. (i,k) ASlGNACIONES Z (i) ASIGNACIONES 1 Andalucía 0'2854 25611'03 0'2818 28180 2 A ragón 0'0309 2774'85 0'0251 2510 3 Asturias 0'022 5 2023' 18 0'0219 2190 4 Baleares 0'0484 761'32 0'0073 730 5 Canañas 0'0438 3933'44 0'0334 3340 6 Cantabria 0'0094 845' 16 0'0089 890 7 Castilla-León 0' 1050 9423'70 0'0948 9480 8 Castilla-La Mancha 0'0873 7839'94 0'0772 7720 9 Catalut^a 0' 1055 9471' 16 0'0874 8740 10 C. Valenciana 0'06 l 7 5544'31 0'0535 5350 11 Extremadura 0'0780 7005'99 0'0729 7290 12 Galicia 0' 1 181 10602'99 0' 1078 10780 13 Madrid 0'0639 5740'43 0'0542 5420 14 Murcia 0'0253 2275'89 0'0221 2210 15 Navarra 0'0083 748'3b 0'0068 680 16 Pais V asco 0'0501 4501' 19 0'0360 3600 17 Rioja (La) 0'0041 370'61 0'0034 340 18 Ceuta 0'0032 289'06 0'0026 260 19 Melilla 0'002 b 2 3 7' 31 0'0021 210 donde alser la suma de la columna correspondiente a d,,, (i,k} igual a 1,08372, resulta que las asignaciones son iguales a C.d,,, (i,k)/1'08372, i-1, 2, ...., 19. Como se puede observar en la última tabla, los criterios de asignación basados en dµ, (i,k) y Z( i} presentan diferencias relativas significativas (superiores al 5%}. 3. DISCUSION Y CONCLUSIONES En el apartado anterior vimos que el indicador Z deja de explicar al menos el 11'7% , de I I X ^ I r, w^ y asi no podemos igualar la distancia d,^, (i, l ^ a la distancia Z(i) - Z(i ^ para las Comunidades i e i'. También, se vió que el indicador Z está suponiendo que los cuatro indicadores (I; : j=1, 2,3, 4) toman el misrno valor sobre cada Comunidad y, por último, vimos que existen diferencias significativas entre Las asignaciones basadas en los criterios d,,. {i,k) y Z (i). También, si se quiere tener un 1 ^0% de explicación para Z, se debería definir los indicadores I;, j=1, 2, 3, 4, de tal forma que el rango de ta matriz X fuese igual a la unidad. Ahora bien, al ser la suma de cada columna de la matriz X igual a la unidad, resultaría que sus columnas serían iguales en cada una de las filas, y asi la introducción de los pesos no tendría ningún efecto sobre los resultados. 64 ESTADÍSTfCA ESPAÑOLA Concluímos, pues, en utilizar el criterio basado en la distancia d„^ (i,k), evitando criterios que se fundamenten en una reducción de !a informacidn. Así, nuestra trabajo, al igual que atros (3. I^-Iernández, T, Mancha y J. E. Villena, 1981 }, pretende que, aceptando el concepto de distancia como criterio de asignación, se centren las criticas en la elección de los indicadóres y los pesos, REFERENCIAS ECKART, C. and GALE YovNG (193ó): "The approximation of one matrix by another of lower rank". Psyehometrika, 1, 211-218. HERNÁNDEZ, J., T. MANCHA y ^ . E. VtLLENA (1981 }: "Un fondo de compensación desvirtuado". Est udios Regionales, 8, 17-3 5. HOUSEHOLDER, A. S. and GALE YovNC (1938): "Matrix approximation and latent roots". Am Math. Monthly, 45, 1 b5-171. 1. N. E. (1984): Indicadores Estadlsticos Regionales. SU M MARY ANALYSIS OF THE INi^ICATOR USED IN THE "FUND FOR INTERTERRITORIAL CQMPENSATI4N". In this paper we are defined a distance to evaluate the approximation between one Camrnunity and another and to measure the position the each Community with respect to an imaginary Community. This distance is used to analyze the representativity of indicator utilized in the Fund for Interterritorial Compensation. As a consecuence, this article propose an alternative indicator for the F. I. C. Key wards: Autonomic Community; distance; representativity. AMS 19?0. Subject Classification: Prirnary 62P20, Secondary b2H25.