CAP

ITULO IV
Aplicaciones economicas
A. Ma mol L. Mon oy
1. In o duccion
La eo a de juegos p op o ciona un ma co unicado pa a el analisis
economico en muchos camp os, lo que con ibuye a es uc u a el p oceso de
mo delizacion del comp o amien o economico. Las eo as adicionales de la
decision y de juegos, es udian la o ma en que los deciso es pueden op imiza
un unico ob je i o. Es a conside acion impide una aplicacion mas amplia de
sus ecnicas, ya que cualquie p oblema que pueda apa ece en economa o en
o as ciencias sociales en uel emas de un ob je i o.
Ademas, cualquie si uacion comp e i i a que puede mo deliza se como un
juego escala puede ans o ma se en un juego ec o ial cuando haymas de un
ob je i o. Po ejemplo, las p ol icas de p o duccion de dos  mas que compi en
po un me cado, puede conside a se como un juego escala . Sin emba go,
cuando compi en simul aneamen e en a ios me cados, hay que conside a el
en o que mul ic i e io.
Los juegos con pagos ec o iales die en de los juegos escala es unica-
men e en la es uc u a del pago, pe o es o es sucien e pa a que muchos de los
esul ados de la eo a de juegos escala es, no engan una ex ension di ec a en
74
A ances en eo

a de juegos
los juegos ec o iales, debido a que en gene al no exis e un o den o al en e
los pagos ec o iales y po ello, no es acil es ablece compa aciones en e los
dis in os pagos ob enidos. Po es a azon, en los ul imos a ~nos se han p opues o
nue os concep os de solucion y p o cedimien os pa a ob ene es as soluciones.
La ex ension na u al del concep o de es a egias minimax es di cil de
consegui en los juegos con pagos ec o iales. Sin emba go, aunque en algunos
casos es posible es ablece la exis encia de ales es a egias, suele se bas an e
complicado ob ene las y en la mayo a de los casos los alo es que p op o cio-
nan no son unicos. Po ello, el concep o de solucion de es a egia de segu i-
dad Pa e o-op ima, in o ducido en el cap ulo II, es imp o an e pa a esol e
juegos ec o iales desde una ac i ud de a e sion al iesgo. En es e cap ulo
analizamos es casos de me cados comp e i i os en los que las emp esas com-
pi en simul aneamen e en a ios escena ios. En es e analisis u iliza emos los
concep os y esul ados expues os en los cap ulos an e io es
2. Campa ~na publici a ia
La publicidad es una a iable de decision es a egica muy imp o an e en
un mo delo de oligop olio cuando la in o macion que los consumido es ienen con
esp ec o a p e e encias, p ecio o ca ac e s icas de los p o duc os es incomple a.
Con esp ec o a la publicidad comp e i i a, cada emp esa iene, gene almen e,
un p esupues o jo. Cuando una emp esa iene un solo comp e ido imp o an e,
su ob je i o suele se consegui la mayo cuo a de me cado p osible disminuyendo
los clien es de su comp e ido . Sin emba go, la emp esa ambien ha de ene en
cuen a la a iedad de medios que puede u iliza pa a su publicidad con ob je o
de alcanza un segmen o di e sicado de p oblacion.
El p ime caso que es udiamos co esponde a un juego en el que el con-
jun o de es a egias pu as de los jugado es es ni o, p o lo que los pagos que
ecib en pueden ep esen a se po una ma iz cuyos elemen os son ec o es. Es
una ex ension del mo delo p esen ado p o Shubik (1955) [85], y amos a con-
side a lo ba jo el pun o de is a de uno de los jugado es.
Dos emp esas ienen un millon de unidades mone a ias (u.m.) cada una
pa a gas a en publicidad de sus p o duc os. Pueden u iliza adio, ele ision,
4.
Aplicaciones econ

omicas
75
y p ensa esc i a pa a ealiza su campa ~na publici a ia que a a i di igida a
es g up os de clien es po enciales, es deci , la publicidad a a ene e ec o
en es escena ios dis in os. El e ec o esp e ado que p o duci an las dis in as
p osibilidades de publicidad iene ecogido en la siguien e ma iz:
Radio Tele ision P ensa
Radio (0
;
,
0
:
2
;
1) (
,
0
:
5
;
1
;
1
:
2) (0
;
1
:
5
;
1
:
5)
Tele ision (2
;
0
:
5
;
0
:
7) (
,
0
:
5
;
0
:
8
;
0
:
7) (1
:
5
;
1
:
1
;
0
:
3)
P ensa (1
;
1
:
2
;
,
0
:
5) (
,
0
:
5
;
0
:
4
;
0) (0
;
0
:
7
;
0
:
2)
Cada en ada de la ma iz de pagos es un ec o cuyas comp onen es
ep esen an la can idad de ing eso ex a ob enido en cada g upo cuando cada
jugado gas a su dine o en los di e en es medios. Podemos conside a que
es p osible gas a dis in as can idades en cada uno de ellos, en cuyo caso las
es a egias
x
=(
x
1
;x
2
;x
3
) ep esen an la p op o cion de la can idad o al que
la emp esa I gas a en cada medio, o bien que la emp esa debe gas a odo
su dine o en un solo medio, en cuyo caso la es a egia
x
=(
x
1
;x
2
;x
3
) puede
conside a se como la p obabilidad con que deb e conside a se cada medio. Es e
mo delo puede analiza se como un juego ma icial ec o ial, donde la ma iz de
pagos ec o iales se descompone en es ma ices escala es
A
(1),
A
(2) y
A
(3):
A
(1) =
0
B
B
@
0
,
0
:
5 0
2
,
0
:
5 1
:
5
1
,
0
:
5 0
1
C
C
A
A
(2) =
0
B
B
@
,
0
:
2 1 1
:
5
0
:
5 0
:
8 1
:
1
1
:
2 0
:
4 0
:
7
1
C
C
A
A
(3) =
0
B
B
@
1 1
:
2 1
:
5
0
:
7 0
:
7 0
:
3
,
0
:
5 0 0
:
2
1
C
C
A
Como es usual, los espacios de es a egias mix as de cada jugado son
X
=
x
2
R
3
:
3
X
i
=1
x
i
=1
; x
i

0
; i
=1
;
2
;
3
g
Y
=
y
2
R
3
:
3
X
j
=1
y
j
=1
; y
j

0
; j
=1
;
2
;
3
g
76
A ances en eo

a de juegos
y la uncion de pagos del juego iene dada p o el ec o de es comp onen es
(
x; y
)=
x
Ay
=(
1
(
x; y
)
;
2
(
x; y
)
;
3
(
x; y
))
donde
k
(
x; y
)=
x
A
(
k
)
y
,
k
=1
;
2
;
3.
Cada es a egia
x
2
X
dene ni eles de segu idad pa a el jugado I en
cada juego escala inducido, de la o ma:
k
(
x
) = min
y
2
Y
k
(
x; y
)
; k
=1
;
2
;
3
de donde el ec o de ni el de segu idad pa a
x
es
(
x
)=(
1
(
x
)
;
2
(
x
)
;
3
(
x
))
Pa a esol e es e juego, conside amos el concep o de es a egia de se-
gu idad Pa e o-op ima pa a el jugado I, que consis e en maximiza (en sen ido
ec o ial), el ec o de ni el de segu idad del jugado I, es deci , el jugado I
desde un pun o de is a conse ado , busca es a egias
x
2
X
cuyo ec o de
ni el de segu idad no pueda se mejo ado comp onen e a comp onen e.
El conjun o de es as es a egias y los co esp ondien es ec o es de ni el
de segu idad asociados, iene dado p o el conjun o de soluciones ecien es del
p oblema lineal mul iob je i o asociado al juego ec o ial
max
1
;
2
;
3
s.a.
x
A
(1)

(
1
;
1
;
1
)
x
A
(2)

(
2
;
2
;
2
)
x
A
(3)

(
3
;
3
;
3
)
P
3
i
=1
x
i
=1
x

0
:
Con el p og ama ADBASE hemos ob enido las soluciones ex emas
(
1
;x
1
)=(
,
1
=
2
;
342
=
495
;
3
=
11; 0
;
8
=
11
;
3
=
11)
(
2
;x
2
)=(
,
1
=
2
;
677
=
990
;
663
=
1980; 1
=
18
;
62
=
99
;
7
=
22)
(
3
;x
3
)=(
,
1
=
2
;
17
=
90
;
75
=
90;4
=
9
;
5
=
9
;
0)
(
4
;x
4
)=(
,
1
=
2
;
,
1
=
5
;
1; 1
;
0
;
0)
:
4.
Aplicaciones econ

omicas
77
(0,1,0)
(1,0,0)(0,0,1)
1
2
3
4
Figu a 4.1.
La gu a 4.1 ep esen a le espacio de es a egias mix as del jugado I,
donde los e ices de es e iangulo co esp onden a las es es a egias pu as.
El jugado I deb e u iliza alguna de las es a egias que es eenlalnea p oligonal
que une los pun os 1 y 4.
Po ejemplo, la es a egia
x
3
= (4
=
9
;
5
=
9
;
0) indica que u ilizando la
adio y ele ision en p op o cion 4/5, se asegu a una pe dida de ing esos de no
mas de 1/2 en el p ime segmen o de la p oblacion y un aumen o de ing esos
de al menos 17/90 y 75/90 en el segundo y el e ce o esp ec i amen e, y es os
ni eles no son mejo ables conjun amen e.
Conside emos aho a los juegos ec o iales po ob je i os pa a esol e
es e juego. Sup ongamos que el jugado I ha es ablecido los ob je i os
P
=
(1
;
0
:
8
;
0
:
7), pa a cada pa de es a egias
x
2
X
,
y
2
Y
la uncion de pagos es
P
(
x; y
)=
x
A
P
y
=(
P
1
(
x; y
)
;
P
2
(
x; y
)
;
P
3
(
x; y
))
donde
P
k
(
x; y
)=
x
A
P
(
k
)
y; k
=1
;
2
;
3
y
A
P
(1)=(

1
ij
)
; 
1
ij
=
(
1 si
a
ij

1
0 si
a
ij
<
1
i; j
=1
;
2
;
3

78
A ances en eo

a de juegos
A
P
(2) = (

2
ij
)
; 
2
ij
=
(
1 si
a
ij

0
:
8
0 si
a
ij
<
0
:
8
i; j
=1
;
2
;
3
A
P
(3) = (

3
ij
)
; 
3
ij
=
(
1 si
a
ij

0
:
7
0 si
a
ij
<
0
:
7
i; j
=1
;
2
;
3
En consecuencia, enemos
A
P
(1) =
0
B
B
@
0 0 0
1 0 1
1 0 0
1
C
C
A
A
P
(2) =
0
B
B
@
0 1 1
0 1 1
1 0 0
1
C
C
A
A
P
(3) =
0
B
B
@
1 1 1
1 1 0
0 0 0
1
C
C
A
Pa a cada es a egia
x
2
X
los ni eles de segu idad en cada juego ienen
dados p o
k
P
(
x
) = min
y
2
Y
P
k
(
x; y
)
k
=1
;
2
;
3
de donde el ec o de segu idad de ni el P pa a el jugado I es
P
=(
P
1
(
x
)
;
P
2
(
x
)
;
P
3
(
x
))
siendo
P
k
(
x
) la p obabilidad de consegui al menos
P
k
en cada juego escala
cuando el jugado I juega la es a egia
x
.
La o ma de ob ene el conjun o de es a egias de segu idad de ni el
P
y
los co esp ondien es ec o es de ni el de segu idad, es esol iendo el p oblema
lineal mul iob je i o:
max
1
;
2
;
3
s.a.
x
A
P
(1)

(
1
;
1
;
1
)
x
A
P
(2)

(
2
;
2
;
2
)
x
A
P
(3)

(
3
;
3
;
3
)
P
3
i
=1
x
i
=1
x

0
:
La solucion de es e p oblema iene dada, en es e caso, p o la en ol en e
con exa de las soluciones ecien es ex emas del mismo, que son:
(
x
1
;
1
)=(1
=
2
;
0
;
1
=
2; 0
;
1
=
2
;
1
=
2)
(
x
2
;
2
)=(1
;
0
;
0; 0
;
0
;
1)
:
4.
Aplicaciones econ

omicas
79
Si el jugado I u iliza la es a egia
x
1
=(1
=
2
;
0
;
1
=
2) consigue no menos
de
P
1
= 1 con una p obabilidad de al menos 1/2,
P
2
=0
:
8 con p obabilidad 0
y no menos de
P
3
=0
:
7 con p obabilidad no meno de 1/2.
3. Mo delo de me cados comp e i i os
En las ciencias so ciales, al es udia modelos en los que las a iables
p e enecen a conjun os ni os con un g an nume o de elemen os, se suele
sup one que dichos conjun os son inni os. Es o p e mi e aplica las ecnicas
de analisis ma ema ico a una g an a iedad de p oblemas. Po ello, al es udia
juegos con un g an nume o de es a egias pa a un jugado , es me odologica-
men e na u al, a la ez que u il, conside a que el conjun o de es a egias pa a
es e jugado es inni o.
El siguien e mo delo co esponde a un juego en el cuad ado unidad, es
deci cada jugado iene un con inuo de es a egias pu as, ep esen adas como
pun os del in e alo ce ado [0,1]. Po an o, una es a egia pu a pa a cada
jugado es un nume o eal en es e in e alo y la uncion de pagos del juego es
una uncion denida en el cuad ado unidad.
Es e modelo es una ex ension de un juego an agonico en el cuad ado
unidad p esen ado p o Vo ob e (1977) [94].
Una emp esa, el jugado II, con ola dos me cados de dos bienes ho-
mogeneos en dos a eas di e en es A y B. O a emp esa, el jugado I, in en a
conquis a uno de es os dos me cados, simul aneamen e en las dos a eas. Con
es e p oposi o, el jugado I in ie e en publicidad, en ele ision y pa a se emi-
ida simul aneamen e en las dos a eas, una can idad de una unidad mone a ia.
Si el jugado asigna la can idad
x
al p ime o de los me cados, en onces 1
,
x
,
es lo que asigna al segundo. Pa a man ene sus me cados in ac os, el jugado
I I ambien emplea una unidad mone a ia en publicidad, asignando la can idad
y
al p ime me cado y 1
,
y
al segundo.
Conside amos que si el jugado I consigue en a ja en uno de los me cados
(no puede conquis a ambosala ez) elimina a su op onen e de es e me cado y
ob iene un ec o de pagos cuyas componen es son el exceso de ondos asignado
a es e me cado mul iplicado p o un coecien e que eeja la impo ancia de es e
80
A ances en eo

a de juegos
me cado en cada una de las dos a eas. La uncion de pagos es p o an o:
H
:[0
;
1]

[0
;
1]
,!
R
2
H
(
x; y
)=(
H
A
(
x; y
)
;H
B
(
x; y
))
donde
H
A
(
x; y
)=
(
k
1
(
x
,
y
) si
x

y
k
2
(
y
,
x
) si
x

y
H
B
(
x; y
)=
(
k
3
(
x
,
y
) si
x

y
k
4
(
y
,
x
) si
x

y
donde
k
1
,
k
2
,
k
3
y
k
4

0.
k
1
y
k
3
eejan la impo ancia del p ime me cado y
k
2
y
k
4
, la imp o ancia del segundo me cado en las a eas
A
y
B
esp ec i amen e.
Es e juego lo esol emos ba jo el pun o de is a del jugado I I. Buscamos
las es a egias de segu idad Pa e o-op imas pa a es e jugado , es deci , el ju-
gado I I quie e de e mina la can idad
y
de o ma que minimize el maximo del
ec o de pagos en ambas a eas.
En es e caso, pa a cada
y
2
[0
;
1] los ni eles de segu idad en cada me -
cado son:
H
A
(
y
)= max
x
2
[0
;
1]
H
A
(
x; y
)
; H
B
(
y
)= max
x
2
[0
;
1]
H
B
(
x; y
)
yel ec o de ni el de segu idad
H
(
y
)=(
H
A
(
y
)
; H
B
(
y
)), ep esen a el pago
que el jugado II puede ga an iza se en cada me cado. En onces el conjun o
de es a egias de segu idad Pa e o-op imas y los ni eles de segu idad aso ciados
ienen dados p o el conjun o de soluciones ecien es del p oblema bic i e io
min
H
A
(
y
)
; H
B
(
y
)
s.a. 0

y

1
Las comp onen es del ec o de ni el de segu idad en es e mo delo son:
H
A
(
y
) = max
0

x

1
H
A
(
x; y
) = max
max
y

x

1
k
1
(
x
,
y
)
;
max
0

x

y
k
2
(
y
,
x
)
g
= max
k
1
(1
,
y
)
;k
2
y
g
;
H
B
(
y
) = max
0

x

1
H
B
(
x; y
) = max
max
y

x

1
k
3
(
x
,
y
)
;
max
0

x

y
k
4
(
y
,
x
)
g
= max
k
3
(1
,
y
)
;k
4
y
g
:
4.
Aplicaciones econ

omicas
81
Po an o
H
A
(
y
)=
(
k
1
(1
,
y
) si 0

y

k
1
k
1
+
k
2
k
2
y
si
k
1
k
1
+
k
2

y

1
H
B
(
y
)=
(
k
3
(1
,
y
) si 0

y

k
3
k
3
+
k
4
k
4
y
si
k
3
k
3
+
k
4

y

1
Basandonos en el siguien e esul ado p o demos ob ene el conjun o de
o das las es a egias de segu idad Pa e o-op imas de es e juego
Lema 4.1
Sean
1
;
2
:
X

R
,!
R
, unciones con exas en
X
compac o.
Si
x
1
es el unico mnimo en
X
pa a
1
y
x
2
es el unico mnimo en
X
pa a
2
,
(
x
1
<x
2
)
, en onces el conjun o de soluciones ecien es pa a el p oblema
min
1
(
x
)
;
2
(
x
)
es el in e alo ce ado
[
x
1
;x
2
]
.
Demos acion:
1. Sea
x
2
(
x
1
;x
2
), p oba emos que no exis e
y
6
=
x
al que
1
(
y
)

1
(
x
)y
2
(
y
)

2
(
x
) con al menos una desigualdad es ic a.
Conside emos
y < x
. Como
y < x < x
2
,po se
2
con exa se iene
2
(
x
)


2
(
y
)+(1
,

)
2
(
x
2
),

2
(0
;
1). Si
2
(
y
)

2
(
x
), en onces
2
(
x
)


2
(
x
)+(1
,

)
2
(
x
2
)y
2
(
x
)

2
(
x
2
), en con a de se
x
2
el
unico mnimo de
2
,po an o
x
no es a dominada po
y
. En el caso
y>x
se ob iene el esul ado de o ma analoga.
2. Si
x
=
x
1
o
x
=
x
2
la eciencia se iene de la condicion de mnimo global.
3. Sea
x =
2
(
x
1
;x
2
). Si
x < x
1
p oba emos que
x
es a dominada po
x
1
.
En p ime luga ,
1
(
x
1
)
<
1
(
x
). Po o a pa e, como
x
1
2
(
x; x
2
), po
se
2
con exa se iene
2
(
x
1
)


2
(
x
)+(1
,

)
2
(
x
2
)
<
2
(
x
)+(1
,

)
2
(
x
) =
2
(
x
) y de aqu se ob iene el esul ado. De o ma analoga,
cuando
x>x
2
se demues a que
x
es a dominada p o
x
2
.
2
Es e esul ado puede gene aliza se al caso de
n
unciones eales, en
cuyo caso el conjun o ecien e es el meno in e alo ce ado que con iene sus
mnimos.
Tenemos en onces el siguien e eo ema:
88
A ances en eo

a de juegos
Po ejemplo, si el jugado I es ablece el p ecio
p
1
= 6, se ga an iza un
b enecio al menos de 25 pa a el y un b enecio al menos de 6 pa a el jugado
I I independien emen e del p ecio que es ablezca es e ul imo.
Ac i ud nega i a:
Conside ando una ac i ud nega i a del jugado I, el ec o
de ni el de segu idad pa a una es a egia
x
2
X
es
1
(
x
) = min
y
2
Y
x
Ay ;
2
(
x
) = max
y
2
Y
x
By:
El p oblema lineal biob je i o aso ciado es
max
1
;
,
2
s.a.
x
A

(
1
;::: ;
1
)
x
B

(
2
;::: ;
2
)
x
2
X
cuyas soluciones ex emas ecien es son:
(
x
1
;
1
)=(0
;
1
;
0
;
0
;
0; 25
;
52)
(
x
2
;
2
)=(1
;
0
;
0
;
0
;
0; 17
;
50)
y el conjun o de es a egias de segu idad Pa e o-op imas es el in e alo ce ado
[2
;
4].
Obse emos que los conjun os de es a egias de segu idad Pa e o-op imas
ob enidos en el caso disc e o son sub conjun os de los co esp ondien es conjun-
os ob enidos en el caso con inuo.