Aplicaciones economicas
Abstract
La teoría de juegos proporciona un marco unificado para el análisis económico en muchos campos, lo que contribuye a estructurar el proceso de modelización del comportamiento económico. Las teorís tradicionales de la decisión y de juegos, estudian la forma en que los decisores pueden optimizar un único objetivo. Esta consideración impide una aplicación más amplia de sus técnicas, ya que cualquier problema que pueda aparecer en economía o en otras ciencias sociales envuelve más de un objetivo.
Full text
CAP
ITULO IV
Aplicaciones economicas
A. Ma mol L. Mon oy
1. In o duccion
La eo a de juegos p op o ciona un ma co unicado pa a el analisis
economico en muchos camp os, lo que con ibuye a es uc u a el p oceso de
mo delizacion del comp o amien o economico. Las eo as adicionales de la
decision y de juegos, es udian la o ma en que los deciso es pueden op imiza
un unico ob je i o. Es a conside acion impide una aplicacion mas amplia de
sus ecnicas, ya que cualquie p oblema que pueda apa ece en economa o en
o as ciencias sociales en uel emas de un ob je i o.
Ademas, cualquie si uacion comp e i i a que puede mo deliza se como un
juego escala puede ans o ma se en un juego ec o ial cuando haymas de un
ob je i o. Po ejemplo, las p ol icas de p o duccion de dos mas que compi en
po un me cado, puede conside a se como un juego escala . Sin emba go,
cuando compi en simul aneamen e en a ios me cados, hay que conside a el
en o que mul ic i e io.
Los juegos con pagos ec o iales die en de los juegos escala es unica-
men e en la es uc u a del pago, pe o es o es sucien e pa a que muchos de los
esul ados de la eo a de juegos escala es, no engan una ex ension di ec a en
74
A ances en eo
a de juegos
los juegos ec o iales, debido a que en gene al no exis e un o den o al en e
los pagos ec o iales y po ello, no es acil es ablece compa aciones en e los
dis in os pagos ob enidos. Po es a azon, en los ul imos a ~nos se han p opues o
nue os concep os de solucion y p o cedimien os pa a ob ene es as soluciones.
La ex ension na u al del concep o de es a egias minimax es di cil de
consegui en los juegos con pagos ec o iales. Sin emba go, aunque en algunos
casos es posible es ablece la exis encia de ales es a egias, suele se bas an e
complicado ob ene las y en la mayo a de los casos los alo es que p op o cio-
nan no son unicos. Po ello, el concep o de solucion de es a egia de segu i-
dad Pa e o-op ima, in o ducido en el cap ulo II, es imp o an e pa a esol e
juegos ec o iales desde una ac i ud de a e sion al iesgo. En es e cap ulo
analizamos es casos de me cados comp e i i os en los que las emp esas com-
pi en simul aneamen e en a ios escena ios. En es e analisis u iliza emos los
concep os y esul ados expues os en los cap ulos an e io es
2. Campa ~na publici a ia
La publicidad es una a iable de decision es a egica muy imp o an e en
un mo delo de oligop olio cuando la in o macion que los consumido es ienen con
esp ec o a p e e encias, p ecio o ca ac e s icas de los p o duc os es incomple a.
Con esp ec o a la publicidad comp e i i a, cada emp esa iene, gene almen e,
un p esupues o jo. Cuando una emp esa iene un solo comp e ido imp o an e,
su ob je i o suele se consegui la mayo cuo a de me cado p osible disminuyendo
los clien es de su comp e ido . Sin emba go, la emp esa ambien ha de ene en
cuen a la a iedad de medios que puede u iliza pa a su publicidad con ob je o
de alcanza un segmen o di e sicado de p oblacion.
El p ime caso que es udiamos co esponde a un juego en el que el con-
jun o de es a egias pu as de los jugado es es ni o, p o lo que los pagos que
ecib en pueden ep esen a se po una ma iz cuyos elemen os son ec o es. Es
una ex ension del mo delo p esen ado p o Shubik (1955) [85], y amos a con-
side a lo ba jo el pun o de is a de uno de los jugado es.
Dos emp esas ienen un millon de unidades mone a ias (u.m.) cada una
pa a gas a en publicidad de sus p o duc os. Pueden u iliza adio, ele ision,
4.
Aplicaciones econ
omicas
75
y p ensa esc i a pa a ealiza su campa ~na publici a ia que a a i di igida a
es g up os de clien es po enciales, es deci , la publicidad a a ene e ec o
en es escena ios dis in os. El e ec o esp e ado que p o duci an las dis in as
p osibilidades de publicidad iene ecogido en la siguien e ma iz:
Radio Tele ision P ensa
Radio (0
;
,
0
:
2
;
1) (
,
0
:
5
;
1
;
1
:
2) (0
;
1
:
5
;
1
:
5)
Tele ision (2
;
0
:
5
;
0
:
7) (
,
0
:
5
;
0
:
8
;
0
:
7) (1
:
5
;
1
:
1
;
0
:
3)
P ensa (1
;
1
:
2
;
,
0
:
5) (
,
0
:
5
;
0
:
4
;
0) (0
;
0
:
7
;
0
:
2)
Cada en ada de la ma iz de pagos es un ec o cuyas comp onen es
ep esen an la can idad de ing eso ex a ob enido en cada g upo cuando cada
jugado gas a su dine o en los di e en es medios. Podemos conside a que
es p osible gas a dis in as can idades en cada uno de ellos, en cuyo caso las
es a egias
x
=(
x
1
;x
2
;x
3
) ep esen an la p op o cion de la can idad o al que
la emp esa I gas a en cada medio, o bien que la emp esa debe gas a odo
su dine o en un solo medio, en cuyo caso la es a egia
x
=(
x
1
;x
2
;x
3
) puede
conside a se como la p obabilidad con que deb e conside a se cada medio. Es e
mo delo puede analiza se como un juego ma icial ec o ial, donde la ma iz de
pagos ec o iales se descompone en es ma ices escala es
A
(1),
A
(2) y
A
(3):
A
(1) =
0
B
B
@
0
,
0
:
5 0
2
,
0
:
5 1
:
5
1
,
0
:
5 0
1
C
C
A
A
(2) =
0
B
B
@
,
0
:
2 1 1
:
5
0
:
5 0
:
8 1
:
1
1
:
2 0
:
4 0
:
7
1
C
C
A
A
(3) =
0
B
B
@
1 1
:
2 1
:
5
0
:
7 0
:
7 0
:
3
,
0
:
5 0 0
:
2
1
C
C
A
Como es usual, los espacios de es a egias mix as de cada jugado son
X
=
x
2
R
3
:
3
X
i
=1
x
i
=1
; x
i
0
; i
=1
;
2
;
3
g
Y
=
y
2
R
3
:
3
X
j
=1
y
j
=1
; y
j
0
; j
=1
;
2
;
3
g
76
A ances en eo
a de juegos
y la uncion de pagos del juego iene dada p o el ec o de es comp onen es
(
x; y
)=
x
Ay
=(
1
(
x; y
)
;
2
(
x; y
)
;
3
(
x; y
))
donde
k
(
x; y
)=
x
A
(
k
)
y
,
k
=1
;
2
;
3.
Cada es a egia
x
2
X
dene ni eles de segu idad pa a el jugado I en
cada juego escala inducido, de la o ma:
k
(
x
) = min
y
2
Y
k
(
x; y
)
; k
=1
;
2
;
3
de donde el ec o de ni el de segu idad pa a
x
es
(
x
)=(
1
(
x
)
;
2
(
x
)
;
3
(
x
))
Pa a esol e es e juego, conside amos el concep o de es a egia de se-
gu idad Pa e o-op ima pa a el jugado I, que consis e en maximiza (en sen ido
ec o ial), el ec o de ni el de segu idad del jugado I, es deci , el jugado I
desde un pun o de is a conse ado , busca es a egias
x
2
X
cuyo ec o de
ni el de segu idad no pueda se mejo ado comp onen e a comp onen e.
El conjun o de es as es a egias y los co esp ondien es ec o es de ni el
de segu idad asociados, iene dado p o el conjun o de soluciones ecien es del
p oblema lineal mul iob je i o asociado al juego ec o ial
max
1
;
2
;
3
s.a.
x
A
(1)
(
1
;
1
;
1
)
x
A
(2)
(
2
;
2
;
2
)
x
A
(3)
(
3
;
3
;
3
)
P
3
i
=1
x
i
=1
x
0
:
Con el p og ama ADBASE hemos ob enido las soluciones ex emas
(
1
;x
1
)=(
,
1
=
2
;
342
=
495
;
3
=
11; 0
;
8
=
11
;
3
=
11)
(
2
;x
2
)=(
,
1
=
2
;
677
=
990
;
663
=
1980; 1
=
18
;
62
=
99
;
7
=
22)
(
3
;x
3
)=(
,
1
=
2
;
17
=
90
;
75
=
90;4
=
9
;
5
=
9
;
0)
(
4
;x
4
)=(
,
1
=
2
;
,
1
=
5
;
1; 1
;
0
;
0)
:
4.
Aplicaciones econ
omicas
77
(0,1,0)
(1,0,0)(0,0,1)
1
2
3
4
Figu a 4.1.
La gu a 4.1 ep esen a le espacio de es a egias mix as del jugado I,
donde los e ices de es e iangulo co esp onden a las es es a egias pu as.
El jugado I deb e u iliza alguna de las es a egias que es eenlalnea p oligonal
que une los pun os 1 y 4.
Po ejemplo, la es a egia
x
3
= (4
=
9
;
5
=
9
;
0) indica que u ilizando la
adio y ele ision en p op o cion 4/5, se asegu a una pe dida de ing esos de no
mas de 1/2 en el p ime segmen o de la p oblacion y un aumen o de ing esos
de al menos 17/90 y 75/90 en el segundo y el e ce o esp ec i amen e, y es os
ni eles no son mejo ables conjun amen e.
Conside emos aho a los juegos ec o iales po ob je i os pa a esol e
es e juego. Sup ongamos que el jugado I ha es ablecido los ob je i os
P
=
(1
;
0
:
8
;
0
:
7), pa a cada pa de es a egias
x
2
X
,
y
2
Y
la uncion de pagos es
P
(
x; y
)=
x
A
P
y
=(
P
1
(
x; y
)
;
P
2
(
x; y
)
;
P
3
(
x; y
))
donde
P
k
(
x; y
)=
x
A
P
(
k
)
y; k
=1
;
2
;
3
y
A
P
(1)=(
1
ij
)
;
1
ij
=
(
1 si
a
ij
1
0 si
a
ij
<
1
i; j
=1
;
2
;
3
78
A ances en eo
a de juegos
A
P
(2) = (
2
ij
)
;
2
ij
=
(
1 si
a
ij
0
:
8
0 si
a
ij
<
0
:
8
i; j
=1
;
2
;
3
A
P
(3) = (
3
ij
)
;
3
ij
=
(
1 si
a
ij
0
:
7
0 si
a
ij
<
0
:
7
i; j
=1
;
2
;
3
En consecuencia, enemos
A
P
(1) =
0
B
B
@
0 0 0
1 0 1
1 0 0
1
C
C
A
A
P
(2) =
0
B
B
@
0 1 1
0 1 1
1 0 0
1
C
C
A
A
P
(3) =
0
B
B
@
1 1 1
1 1 0
0 0 0
1
C
C
A
Pa a cada es a egia
x
2
X
los ni eles de segu idad en cada juego ienen
dados p o
k
P
(
x
) = min
y
2
Y
P
k
(
x; y
)
k
=1
;
2
;
3
de donde el ec o de segu idad de ni el P pa a el jugado I es
P
=(
P
1
(
x
)
;
P
2
(
x
)
;
P
3
(
x
))
siendo
P
k
(
x
) la p obabilidad de consegui al menos
P
k
en cada juego escala
cuando el jugado I juega la es a egia
x
.
La o ma de ob ene el conjun o de es a egias de segu idad de ni el
P
y
los co esp ondien es ec o es de ni el de segu idad, es esol iendo el p oblema
lineal mul iob je i o:
max
1
;
2
;
3
s.a.
x
A
P
(1)
(
1
;
1
;
1
)
x
A
P
(2)
(
2
;
2
;
2
)
x
A
P
(3)
(
3
;
3
;
3
)
P
3
i
=1
x
i
=1
x
0
:
La solucion de es e p oblema iene dada, en es e caso, p o la en ol en e
con exa de las soluciones ecien es ex emas del mismo, que son:
(
x
1
;
1
)=(1
=
2
;
0
;
1
=
2; 0
;
1
=
2
;
1
=
2)
(
x
2
;
2
)=(1
;
0
;
0; 0
;
0
;
1)
:
4.
Aplicaciones econ
omicas
79
Si el jugado I u iliza la es a egia
x
1
=(1
=
2
;
0
;
1
=
2) consigue no menos
de
P
1
= 1 con una p obabilidad de al menos 1/2,
P
2
=0
:
8 con p obabilidad 0
y no menos de
P
3
=0
:
7 con p obabilidad no meno de 1/2.
3. Mo delo de me cados comp e i i os
En las ciencias so ciales, al es udia modelos en los que las a iables
p e enecen a conjun os ni os con un g an nume o de elemen os, se suele
sup one que dichos conjun os son inni os. Es o p e mi e aplica las ecnicas
de analisis ma ema ico a una g an a iedad de p oblemas. Po ello, al es udia
juegos con un g an nume o de es a egias pa a un jugado , es me odologica-
men e na u al, a la ez que u il, conside a que el conjun o de es a egias pa a
es e jugado es inni o.
El siguien e mo delo co esponde a un juego en el cuad ado unidad, es
deci cada jugado iene un con inuo de es a egias pu as, ep esen adas como
pun os del in e alo ce ado [0,1]. Po an o, una es a egia pu a pa a cada
jugado es un nume o eal en es e in e alo y la uncion de pagos del juego es
una uncion denida en el cuad ado unidad.
Es e modelo es una ex ension de un juego an agonico en el cuad ado
unidad p esen ado p o Vo ob e (1977) [94].
Una emp esa, el jugado II, con ola dos me cados de dos bienes ho-
mogeneos en dos a eas di e en es A y B. O a emp esa, el jugado I, in en a
conquis a uno de es os dos me cados, simul aneamen e en las dos a eas. Con
es e p oposi o, el jugado I in ie e en publicidad, en ele ision y pa a se emi-
ida simul aneamen e en las dos a eas, una can idad de una unidad mone a ia.
Si el jugado asigna la can idad
x
al p ime o de los me cados, en onces 1
,
x
,
es lo que asigna al segundo. Pa a man ene sus me cados in ac os, el jugado
I I ambien emplea una unidad mone a ia en publicidad, asignando la can idad
y
al p ime me cado y 1
,
y
al segundo.
Conside amos que si el jugado I consigue en a ja en uno de los me cados
(no puede conquis a ambosala ez) elimina a su op onen e de es e me cado y
ob iene un ec o de pagos cuyas componen es son el exceso de ondos asignado
a es e me cado mul iplicado p o un coecien e que eeja la impo ancia de es e
80
A ances en eo
a de juegos
me cado en cada una de las dos a eas. La uncion de pagos es p o an o:
H
:[0
;
1]
[0
;
1]
,!
R
2
H
(
x; y
)=(
H
A
(
x; y
)
;H
B
(
x; y
))
donde
H
A
(
x; y
)=
(
k
1
(
x
,
y
) si
x
y
k
2
(
y
,
x
) si
x
y
H
B
(
x; y
)=
(
k
3
(
x
,
y
) si
x
y
k
4
(
y
,
x
) si
x
y
donde
k
1
,
k
2
,
k
3
y
k
4
0.
k
1
y
k
3
eejan la impo ancia del p ime me cado y
k
2
y
k
4
, la imp o ancia del segundo me cado en las a eas
A
y
B
esp ec i amen e.
Es e juego lo esol emos ba jo el pun o de is a del jugado I I. Buscamos
las es a egias de segu idad Pa e o-op imas pa a es e jugado , es deci , el ju-
gado I I quie e de e mina la can idad
y
de o ma que minimize el maximo del
ec o de pagos en ambas a eas.
En es e caso, pa a cada
y
2
[0
;
1] los ni eles de segu idad en cada me -
cado son:
H
A
(
y
)= max
x
2
[0
;
1]
H
A
(
x; y
)
; H
B
(
y
)= max
x
2
[0
;
1]
H
B
(
x; y
)
yel ec o de ni el de segu idad
H
(
y
)=(
H
A
(
y
)
; H
B
(
y
)), ep esen a el pago
que el jugado II puede ga an iza se en cada me cado. En onces el conjun o
de es a egias de segu idad Pa e o-op imas y los ni eles de segu idad aso ciados
ienen dados p o el conjun o de soluciones ecien es del p oblema bic i e io
min
H
A
(
y
)
; H
B
(
y
)
s.a. 0
y
1
Las comp onen es del ec o de ni el de segu idad en es e mo delo son:
H
A
(
y
) = max
0
x
1
H
A
(
x; y
) = max
max
y
x
1
k
1
(
x
,
y
)
;
max
0
x
y
k
2
(
y
,
x
)
g
= max
k
1
(1
,
y
)
;k
2
y
g
;
H
B
(
y
) = max
0
x
1
H
B
(
x; y
) = max
max
y
x
1
k
3
(
x
,
y
)
;
max
0
x
y
k
4
(
y
,
x
)
g
= max
k
3
(1
,
y
)
;k
4
y
g
:
4.
Aplicaciones econ
omicas
81
Po an o
H
A
(
y
)=
(
k
1
(1
,
y
) si 0
y
k
1
k
1
+
k
2
k
2
y
si
k
1
k
1
+
k
2
y
1
H
B
(
y
)=
(
k
3
(1
,
y
) si 0
y
k
3
k
3
+
k
4
k
4
y
si
k
3
k
3
+
k
4
y
1
Basandonos en el siguien e esul ado p o demos ob ene el conjun o de
o das las es a egias de segu idad Pa e o-op imas de es e juego
Lema 4.1
Sean
1
;
2
:
X
R
,!
R
, unciones con exas en
X
compac o.
Si
x
1
es el unico mnimo en
X
pa a
1
y
x
2
es el unico mnimo en
X
pa a
2
,
(
x
1
<x
2
)
, en onces el conjun o de soluciones ecien es pa a el p oblema
min
1
(
x
)
;
2
(
x
)
es el in e alo ce ado
[
x
1
;x
2
]
.
Demos acion:
1. Sea
x
2
(
x
1
;x
2
), p oba emos que no exis e
y
6
=
x
al que
1
(
y
)
1
(
x
)y
2
(
y
)
2
(
x
) con al menos una desigualdad es ic a.
Conside emos
y < x
. Como
y < x < x
2
,po se
2
con exa se iene
2
(
x
)
2
(
y
)+(1
,
)
2
(
x
2
),
2
(0
;
1). Si
2
(
y
)
2
(
x
), en onces
2
(
x
)
2
(
x
)+(1
,
)
2
(
x
2
)y
2
(
x
)
2
(
x
2
), en con a de se
x
2
el
unico mnimo de
2
,po an o
x
no es a dominada po
y
. En el caso
y>x
se ob iene el esul ado de o ma analoga.
2. Si
x
=
x
1
o
x
=
x
2
la eciencia se iene de la condicion de mnimo global.
3. Sea
x =
2
(
x
1
;x
2
). Si
x < x
1
p oba emos que
x
es a dominada po
x
1
.
En p ime luga ,
1
(
x
1
)
<
1
(
x
). Po o a pa e, como
x
1
2
(
x; x
2
), po
se
2
con exa se iene
2
(
x
1
)
2
(
x
)+(1
,
)
2
(
x
2
)
<
2
(
x
)+(1
,
)
2
(
x
) =
2
(
x
) y de aqu se ob iene el esul ado. De o ma analoga,
cuando
x>x
2
se demues a que
x
es a dominada p o
x
2
.
2
Es e esul ado puede gene aliza se al caso de
n
unciones eales, en
cuyo caso el conjun o ecien e es el meno in e alo ce ado que con iene sus
mnimos.
Tenemos en onces el siguien e eo ema:
88
A ances en eo
a de juegos
Po ejemplo, si el jugado I es ablece el p ecio
p
1
= 6, se ga an iza un
b enecio al menos de 25 pa a el y un b enecio al menos de 6 pa a el jugado
I I independien emen e del p ecio que es ablezca es e ul imo.
Ac i ud nega i a:
Conside ando una ac i ud nega i a del jugado I, el ec o
de ni el de segu idad pa a una es a egia
x
2
X
es
1
(
x
) = min
y
2
Y
x
Ay ;
2
(
x
) = max
y
2
Y
x
By:
El p oblema lineal biob je i o aso ciado es
max
1
;
,
2
s.a.
x
A
(
1
;::: ;
1
)
x
B
(
2
;::: ;
2
)
x
2
X
cuyas soluciones ex emas ecien es son:
(
x
1
;
1
)=(0
;
1
;
0
;
0
;
0; 25
;
52)
(
x
2
;
2
)=(1
;
0
;
0
;
0
;
0; 17
;
50)
y el conjun o de es a egias de segu idad Pa e o-op imas es el in e alo ce ado
[2
;
4].
Obse emos que los conjun os de es a egias de segu idad Pa e o-op imas
ob enidos en el caso disc e o son sub conjun os de los co esp ondien es conjun-
os ob enidos en el caso con inuo.