Aplicaciones economicas

CAP  ITULO IV Aplicaciones economicas A. Marmol L. Monroy 1. Intro duccion La teora de juegos prop orciona un marco unicado para el analisis economico en muchos camp os, lo que contribuye a estructurar el proceso de mo delizacion del comp ortamiento economico. Las teoras tradicionales de la decision y de juegos, estudian la forma en que los decisores pueden optimizar un unico ob jetivo. Esta consideracion impide una aplicacion mas amplia de sus tecnicas, ya que cualquier problema que pueda aparecer en economa o en otras ciencias sociales envuelvemas de un ob jetivo. Ademas, cualquier situacion comp etitiva que puede mo delizarse como un juego escalar puede transformarse en un juego vectorial cuando haymas de un ob jetivo. Por ejemplo, las p olticas de pro duccion de dos rmas que compiten por un mercado, puede considerarse como un juego escalar. Sin embargo, cuando compiten simultaneamente en varios mercados, hay que considerar el enfo que multicriterio. Los juegos con pagos vectoriales dieren de los juegos escalares unicamente en la estructura del pago, pero esto es suciente para que muchos de los resultados de la teora de juegos escalares, no tengan una extension directa en 74 Avances en teor  a de juegos los juegos vectoriales, debido a que en general no existe un orden total entre los pagos vectoriales y por ello, no es facil establecer comparaciones entre los distintos pagos obtenidos. Por esta razon, en los ultimos a ~nos se han propuesto nuevos conceptos de solucion y pro cedimientos para obtener estas soluciones. La extension natural del concepto de estrategias minimax es difcil de conseguir en los juegos con pagos vectoriales. Sin embargo, aunque en algunos casos es posible establecer la existencia de tales estrategias, suele ser bastante complicado obtenerlas y en la mayora de los casos los valores que prop orcionan no son unicos. Por ello, el concepto de solucion de estrategia de seguridad Pareto-optima, intro ducido en el captulo II, es imp ortante para resolver juegos vectoriales desde una actitud de aversion al riesgo. En este captulo analizamos tres casos de mercados comp etitivos en los que las empresas compiten simultaneamente en varios escenarios. En este analisis utilizaremos los conceptos y resultados expuestos en los captulos anteriores 2. Campa ~na publicitaria La publicidad es una variable de decision estrategica muy imp ortante en un mo delo de oligop olio cuando la informacion que los consumidores tienen con resp ecto a preferencias, precio o caractersticas de los pro ductos es incompleta. Con resp ecto a la publicidad comp etitiva, cada empresa tiene, generalmente, un presupuesto jo. Cuando una empresa tiene un solo comp etidor imp ortante, su ob jetivo suele ser conseguir la mayor cuota de mercado p osible disminuyendo los clientes de su comp etidor. Sin embargo, la empresa tambien ha de tener en cuenta la variedad de medios que puede utilizar para su publicidad con ob jeto de alcanzar un segmento diversicado de p oblacion. El primer caso que estudiamos corresponde a un juego en el que el conjunto de estrategias puras de los jugadores es nito, p or lo que los pagos que recib en pueden representarse por una matriz cuyos elementos son vectores. Es una extension del mo delo presentado p or Shubik (1955) [85], yvamos a considerarlo ba jo el punto de vista de uno de los jugadores. Dos empresas tienen un millon de unidades monetarias (u.m.) cada una para gastar en publicidad de sus pro ductos. Pueden utilizar radio, television, 4. Aplicaciones econ  omicas 75 y prensa escrita para realizar su campa ~na publicitaria que va a ir dirigida a tres grup os de clientes potenciales, es decir, la publicidad va a tener efecto en tres escenarios distintos. El efecto esp erado que pro duciran las distintas p osibilidades de publicidad viene recogido en la siguiente matriz: Radio Television Prensa Radio (0 ; , 0 : 2 ; 1) ( , 0 : 5 ; 1 ; 1 : 2) (0 ; 1 : 5 ; 1 : 5) Television (2 ; 0 : 5 ; 0 : 7) ( , 0 : 5 ; 0 : 8 ; 0 : 7) (1 : 5 ; 1 : 1 ; 0 : 3) Prensa (1 ; 1 : 2 ; , 0 : 5) ( , 0 : 5 ; 0 : 4 ; 0) (0 ; 0 : 7 ; 0 : 2) Cada entrada de la matriz de pagos es un vector cuyas comp onentes representan la cantidad de ingreso extra obtenido en cada grupo cuando cada jugador gasta su dinero en los diferentes medios. Podemos considerar que es p osible gastar distintas cantidades en cada uno de ellos, en cuyo caso las estrategias x =( x 1 ;x 2 ;x 3 ) representan la prop orcion de la cantidad total que la empresa I gasta en cada medio, o bien que la empresa debe gastar todo su dinero en un solo medio, en cuyo caso la estrategia x =( x 1 ;x 2 ;x 3 ) puede considerarse como la probabilidad con que deb e considerarse cada medio. Este mo delo puede analizarse como un juego matricial vectorial, donde la matriz de pagos vectoriales se descompone en tres matrices escalares A (1), A (2) y A (3): A (1) = 0 B B @ 0 , 0 : 5 0 2 , 0 : 5 1 : 5 1 , 0 : 5 0 1 C C A A (2) = 0 B B @ , 0 : 2 1 1 : 5 0 : 5 0 : 8 1 : 1 1 : 2 0 : 4 0 : 7 1 C C A A (3) = 0 B B @ 1 1 : 2 1 : 5 0 : 7 0 : 7 0 : 3 , 0 : 5 0 0 : 2 1 C C A Como es usual, los espacios de estrategias mixtas de cada jugador son X = f x 2 R 3 : 3 X i =1 x i =1 ; x i  0 ; i =1 ; 2 ; 3 g Y = f y 2 R 3 : 3 X j =1 y j =1 ; y j  0 ; j =1 ; 2 ; 3 g 76 Avances en teor  a de juegos y la funcion de pagos del juego viene dada p or el vector de tres comp onentes v ( x; y )= x t Ay =( v 1 ( x; y ) ;v 2 ( x; y ) ;v 3 ( x; y )) donde v k ( x; y )= x t A ( k ) y , k =1 ; 2 ; 3. Cada estrategia x 2 X dene niveles de seguridad para el jugador I en cada juego escalar inducido, de la forma: v k ( x ) = min y 2 Y v k ( x; y ) ; k =1 ; 2 ; 3 de donde el vector de nivel de seguridad para x es v ( x )=( v 1 ( x ) ;v 2 ( x ) ;v 3 ( x )) Para resolver este juego, consideramos el concepto de estrategia de seguridad Pareto-optima para el jugador I, que consiste en maximizar (en sentido vectorial), el vector de nivel de seguridad del jugador I, es decir, el jugador I desde un punto de vista conservador, busca estrategias x 2 X cuyovector de nivel de seguridad no pueda ser mejorado comp onente a comp onente. El conjunto de estas estrategias y los corresp ondientes vectores de nivel de seguridad asociados, viene dado p or el conjunto de soluciones ecientes del problema lineal multiob jetivo asociado al juego vectorial max v 1 ;v 2 ;v 3 s.a. x t A (1)  ( v 1 ;v 1 ;v 1 ) x t A (2)  ( v 2 ;v 2 ;v 2 ) x t A (3)  ( v 3 ;v 3 ;v 3 ) P 3 i =1 x i =1 x  0 : Con el programa ADBASE hemos obtenido las soluciones extremas ( v 1 ;x 1 )=( , 1 = 2 ; 342 = 495 ; 3 = 11; 0 ; 8 = 11 ; 3 = 11) ( v 2 ;x 2 )=( , 1 = 2 ; 677 = 990 ; 663 = 1980; 1 = 18 ; 62 = 99 ; 7 = 22) ( v 3 ;x 3 )=( , 1 = 2 ; 17 = 90 ; 75 = 90;4 = 9 ; 5 = 9 ; 0) ( v 4 ;x 4 )=( , 1 = 2 ; , 1 = 5 ; 1; 1 ; 0 ; 0) : 4. Aplicaciones econ  omicas 77 (0,1,0) (1,0,0)(0,0,1) 1 2 3 4 Figura 4.1. La gura 4.1 representa le espacio de estrategias mixtas del jugador I, donde los vertices de este triangulo corresp onden a las tres estrategias puras. El jugador I deb e utilizar alguna de las estrategias que esteenlalnea p oligonal que une los puntos 1 y 4. Por ejemplo, la estrategia x 3 = (4 = 9 ; 5 = 9 ; 0) indica que utilizando la radio y television en prop orcion 4/5, se asegura una perdida de ingresos de no mas de 1/2 en el primer segmento de la p oblacion y un aumento de ingresos de al menos 17/90 y 75/90 en el segundo y el tercero resp ectivamente, y estos niveles no son mejorables conjuntamente. Consideremos ahora los juegos vectoriales por ob jetivos para resolver este juego. Sup ongamos que el jugador I ha establecido los ob jetivos P = (1 ; 0 : 8 ; 0 : 7), para cada par de estrategias x 2 X , y 2 Y la funcion de pagos es v P ( x; y )= x t A P y =( v P 1 ( x; y ) ;v P 2 ( x; y ) ;v P 3 ( x; y )) donde v P k ( x; y )= x t A P ( k ) y; k =1 ; 2 ; 3 y A P (1)=(  1 ij ) ;  1 ij = ( 1 si a ij  1 0 si a ij < 1 i; j =1 ; 2 ; 3 78 Avances en teor  a de juegos A P (2) = (  2 ij ) ;  2 ij = ( 1 si a ij  0 : 8 0 si a ij < 0 : 8 i; j =1 ; 2 ; 3 A P (3) = (  3 ij ) ;  3 ij = ( 1 si a ij  0 : 7 0 si a ij < 0 : 7 i; j =1 ; 2 ; 3 En consecuencia, tenemos A P (1) = 0 B B @ 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 C C A A P (2) = 0 B B @ 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 C C A A P (3) = 0 B B @ 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 C C A Para cada estrategia x 2 X los niveles de seguridad en cada juego vienen dados p or v k P ( x ) = min y 2 Y v P k ( x; y ) k =1 ; 2 ; 3 de donde el vector de seguridad de nivel P para el jugador I es v P =( v P 1 ( x ) ;v P 2 ( x ) ;v P 3 ( x )) siendo v P k ( x ) la probabilidad de conseguir al menos P k en cada juego escalar cuando el jugador I juega la estrategia x . La forma de obtener el conjunto de estrategias de seguridad de nivel P y los corresp ondientes vectores de nivel de seguridad, es resolviendo el problema lineal multiob jetivo: max v 1 ;v 2 ;v 3 s.a. x t A P (1)  ( v 1 ;v 1 ;v 1 ) x t A P (2)  ( v 2 ;v 2 ;v 2 ) x t A P (3)  ( v 3 ;v 3 ;v 3 ) P 3 i =1 x i =1 x  0 : La solucion de este problema viene dada, en este caso, p or la envolvente convexa de las soluciones ecientes extremas del mismo, que son: ( x 1 ;v 1 )=(1 = 2 ; 0 ; 1 = 2; 0 ; 1 = 2 ; 1 = 2) ( x 2 ;v 2 )=(1 ; 0 ; 0; 0 ; 0 ; 1) : 4. Aplicaciones econ  omicas 79 Si el jugador I utiliza la estrategia x 1 =(1 = 2 ; 0 ; 1 = 2) consigue no menos de P 1 = 1 con una probabilidad de al menos 1/2, P 2 =0 : 8 con probabilidad 0 y no menos de P 3 =0 : 7 con probabilidad no menor de 1/2. 3. Mo delo de mercados comp etitivos En las ciencias so ciales, al estudiar modelos en los que las variables p ertenecen a conjuntos nitos con un gran numero de elementos, se suele sup oner que dichos conjuntos son innitos. Esto p ermite aplicar las tecnicas de analisis matematico a una gran variedad de problemas. Por ello, al estudiar juegos con un gran numero de estrategias para un jugador, es metodologicamente natural, a la vez que util, considerar que el conjunto de estrategias para este jugador es innito. El siguiente mo delo corresponde a un juego en el cuadrado unidad, es decir cada jugador tiene un continuo de estrategias puras, representadas como puntos del intervalo cerrado [0,1]. Por tanto, una estrategia pura para cada jugador es un numero real en este intervalo y la funcion de pagos del juego es una funcion denida en el cuadrado unidad. Este modelo es una extension de un juego antagonico en el cuadrado unidad presentado p or Vorob ev (1977) [94]. Una empresa, el jugador II, controla dos mercados de dos bienes homogeneos en dos areas diferentes A y B. Otra empresa, el jugador I, intenta conquistar uno de estos dos mercados, simultaneamente en las dos areas. Con este proposito, el jugador I invierte en publicidad, en television y para ser emitida simultaneamente en las dos areas, una cantidad de una unidad monetaria. Si el jugador asigna la cantidad x al primero de los mercados, entonces 1 , x , es lo que asigna al segundo. Para mantener sus mercados intactos, el jugador I I tambien emplea una unidad monetaria en publicidad, asignando la cantidad y al primer mercado y 1 , y al segundo. Consideramos que si el jugador I consigue venta ja en uno de los mercados (no puede conquistar ambosalavez) elimina a su op onente de este mercado y obtiene un vector de pagos cuyas componentes son el exceso de fondos asignado a este mercado multiplicado p or un coeciente que reeja la importancia de este 80 Avances en teor  a de juegos mercado en cada una de las dos areas. La funcion de pagos es p or tanto: H :[0 ; 1]  [0 ; 1] ,! R 2 H ( x; y )=( H A ( x; y ) ;H B ( x; y )) donde H A ( x; y )= ( k 1 ( x , y ) si x  y k 2 ( y , x ) si x  y H B ( x; y )= ( k 3 ( x , y ) si x  y k 4 ( y , x ) si x  y donde k 1 , k 2 , k 3 y k 4  0. k 1 y k 3 reejan la importancia del primer mercado y k 2 y k 4 , la imp ortancia del segundo mercado en las areas A y B resp ectivamente. Este juego lo resolvemos ba jo el punto de vista del jugador I I. Buscamos las estrategias de seguridad Pareto-optimas para este jugador, es decir, el jugador I I quiere determinar la cantidad y de forma que minimize el maximo del vector de pagos en ambas areas. En este caso, para cada y 2 [0 ; 1] los niveles de seguridad en cada mercado son: H A ( y )= max x 2 [0 ; 1] H A ( x; y ) ; H B ( y )= max x 2 [0 ; 1] H B ( x; y ) yel vector de nivel de seguridad H ( y )=( H A ( y ) ; H B ( y )), representa el pago que el jugador II puede garantizarse en cada mercado. Entonces el conjunto de estrategias de seguridad Pareto-optimas y los niveles de seguridad aso ciados vienen dados p or el conjunto de soluciones ecientes del problema bicriterio min H A ( y ) ; H B ( y ) s.a. 0  y  1 Las comp onentes del vector de nivel de seguridad en este mo delo son: H A ( y ) = max 0  x  1 H A ( x; y ) = max f max y  x  1 k 1 ( x , y ) ; max 0  x  y k 2 ( y , x ) g = max f k 1 (1 , y ) ;k 2 y g ; H B ( y ) = max 0  x  1 H B ( x; y ) = max f max y  x  1 k 3 ( x , y ) ; max 0  x  y k 4 ( y , x ) g = max f k 3 (1 , y ) ;k 4 y g : 4. Aplicaciones econ  omicas 81 Por tanto H A ( y )= ( k 1 (1 , y ) si 0  y  k 1 k 1 + k 2 k 2 y si k 1 k 1 + k 2  y  1 H B ( y )= ( k 3 (1 , y ) si 0  y  k 3 k 3 + k 4 k 4 y si k 3 k 3 + k 4  y  1 Basandonos en el siguiente resultado p o demos obtener el conjunto de to das las estrategias de seguridad Pareto-optimas de este juego Lema 4.1 Sean f 1 ;f 2 : X  R ,! R , funciones convexas en X compacto. Si x 1 es el unico mnimo en X para f 1 y x 2 es el unico mnimo en X para f 2 , ( x 1 <x 2 ) , entonces el conjunto de soluciones ecientes para el problema min f 1 ( x ) ;f 2 ( x ) es el intervalo cerrado [ x 1 ;x 2 ] . Demostracion: 1. Sea x 2 ( x 1 ;x 2 ), probaremos que no existe y 6 = x tal que f 1 ( y )  f 1 ( x )y f 2 ( y )  f 2 ( x ) con al menos una desigualdad estricta. Consideremos y < x . Como y < x < x 2 ,por ser f 2 convexa se tiene f 2 ( x )  f 2 ( y )+(1 ,  ) f 2 ( x 2 ),  2 (0 ; 1). Si f 2 ( y )  f 2 ( x ), entonces f 2 ( x )  f 2 ( x )+(1 ,  ) f 2 ( x 2 )y f 2 ( x )  f 2 ( x 2 ), en contra de ser x 2 el unico mnimo de f 2 ,por tanto x no esta dominada por y . En el caso y>x se obtiene el resultado de forma analoga. 2. Si x = x 1 o x = x 2 la eciencia se tiene de la condicion de mnimo global. 3. Sea x = 2 ( x 1 ;x 2 ). Si x < x 1 probaremos que x esta dominada por x 1 . En primer lugar, f 1 ( x 1 ) <f 1 ( x ). Por otra parte, como x 1 2 ( x; x 2 ), por ser f 2 convexa se tiene f 2 ( x 1 )  f 2 ( x )+(1 ,  ) f 2 ( x 2 ) <f 2 ( x )+(1 ,  ) f 2 ( x ) = f 2 ( x ) y de aqu se obtiene el resultado. De forma analoga, cuando x>x 2 se demuestra que x esta dominada p or x 2 . 2 Este resultado puede generalizarse al caso de n funciones reales, en cuyo caso el conjunto eciente es el menor intervalo cerrado que contiene sus mnimos. Tenemos entonces el siguiente teorema: 88 Avances en teor  a de juegos Por ejemplo, si el jugador I establece el precio p 1 = 6, se garantiza un b enecio al menos de 25 para el y un b enecio al menos de 6 para el jugador I I independientemente del precio que establezca este ultimo. Actitud negativa: Considerando una actitud negativa del jugador I, el vector de nivel de seguridad para una estrategia x 2 X es v 1 ( x ) = min y 2 Y x t Ay ; v 2 ( x ) = max y 2 Y x t By: El problema lineal biob jetivo aso ciado es max v 1 ; , v 2 s.a. x t A  ( v 1 ;::: ;v 1 ) x t B  ( v 2 ;::: ;v 2 ) x 2 X cuyas soluciones extremas ecientes son: ( x 1 ;v 1 )=(0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0; 25 ; 52) ( x 2 ;v 2 )=(1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0; 17 ; 50) y el conjunto de estrategias de seguridad Pareto-optimas es el intervalo cerrado [2 ; 4]. Observemos que los conjuntos de estrategias de seguridad Pareto-optimas obtenidos en el caso discreto son sub conjuntos de los corresp ondientes conjuntos obtenidos en el caso continuo.