Es udio numé ico de g ie as en sólidos 3-D ans e salmen e
isó opos
M.P. A iza, M. Solís, J. Domínguez
Escuela Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa, Camino de los
Descub imien os sin, 41092 Se illa. Tl : 954 487293 e-mail: [email p o ec ed].
Resumen
En es e a ículo se p esen an esul ados de p oblemas de Mecánica de la F ac u a dinámica
a mónica en ma e iales ans e salmen e isó opos. Es os esul ados han sido ob enidos
median e la aplicación de la o mulación mix a del Mé odo de los Elemen os de Con o no
desa ollada po los au o es. Dicha o mulación pe mi e que an solo sea necesa io
disc e iza la supe icie de la g ie a y el con o no ex e no del p oblema. La o mulación se
alida median e la compa ación de algunos esul ados con los ob enidos po o os au o es.
Pos e io men e se esuel en o os p oblemas de g an in e és pe o más complicados pa a
los que no exis e solución p e ia conocida po los au o es
Palab as Cla e: ans e salmen e isó opo, ac u a, elemen os de con o no, dinámica.
Abs ac
Resul s o se e a! p oblems o
ime ha monic F ac u e Mechanics in ans e sely iso opic
solids a e p esen ed in his pape . A Mixed Bounda y Elemen Fo mula ion de eloped by
he au ho s has been used in o de o ob ain hese esul s. Only he c ack su ace and he
ex e na! bounda y need o be disc e ized. Resul s ob ained o so ne simple p oblems a e
compa ed wi h hose ob ained by o he au ho s. Then, o he in e es ing and mo e complex
p oblems, o which no p e ious esul s a e known by he au ho s, a e sol ed.
Keywo ds: ans e sely iso opic, ac u e, bounda y elemen s, dynamics
l. In oducción
El compo amien o ans e salmen e isó opo se puede conside a como un caso
pa icula de aniso opía, en el que el ma e ial p esen a compo amien o isó opo en
odos los planos pe pendicula es a una di ección ija, conocida como eje de sime ía del
ma e ial. Es a ley de compo amien o se de ine po cinco cons an es elás icas
independien es, y se puede esc ibi como sigue (siendo la di ección 3 el eje de sime ía
del ma e ial)
0"11
e,,
C,2 C13
oo o
0"22
c,2
C11 C13
oo o
0"33 C13 C13 C33
oo o
0"23
oo o
C44
o o
CT3¡
oo oo
C44
o
CT12
oo oo o
(C11-C12)/2
2221
Mecánica de la F ac u a
León, 2004 CNIM
XV
Es a elación se puede educi al caso isó opo haciendo C
11
=C
33
=)..+2µ, C
44
= µ y
C,2
=
C13
=
A
(siendo A yµ
las cons an es elás icas de La né).
Di e sos ma e iales p esen an es e ipo de compo amien o (hielo, ma e iales de
es uc u a c is alina de ipo hexagonal, algunos e enos a cillosos, ma e iales
compues os o co nposi es o
m
ados po ib as o ien adas en una di ección y embebidas
en una ma iz poli né ica, e c.).
Exis en po an o un buen núme o de aplicaciones en las que esul a de in e és pa a los
ingenie os conoce el compo amien o de es os ma e iales. Es o incluye el es udio de su
compo amien o an e la p esencia de g ie as o isu as, de ca a a p edeci su posible
p opagación o es udia co no puede a ec a su p esencia al compo amien o de la pieza
oel medio que se a e.
Es e compo amien o se puede es udia bajo el e ec o de ca gas es á icas o dinámicas.
En e es as úl imas se inclui ía el caso de la di acción de ondas elás icas debido a la
p esencia de una g ie a, lo cual esul a de especial in e és pa a la de ección de g ie as
en es e ipo de ma e iales median e écnicas no des uc i as, co no po ejemplo
ul asonidos.
En es e a ículo se p esen an algunos esul ados pa a p oblemas de in e és en la
Mecánica de la F ac u a de sólidos ans e salmen e isó opos bajo ca gas a mónicas.
Pa a ob ene es os esul ados se ha aplicado el Mé odo de los Elemen os de Con o no
(MEC), que es una he amien a numé ica especialmen e adecuada pa a esol e
p oblemas de es e ipo, debido a su capacidad pa a educi el p oblema al con o no. Es o
hace que no sea necesa io disc e iza el dominio del p oblema, con la consecuen e
simpli icación del p oceso de mallado, sob e odo en p oblemas idimensionales.
Tampoco se hace necesa io po an o la disc e ización de la zona ce cana al en e de
g ie a, donde iene luga un compo amien o singula del campo de ensiones. Po o o
lado, se pueden esol e p oblemas en medios in ini os de una o
m
a na u al
'
sa is aciendo au omá icamen e la condición de adiación y sin necesidad de ecu i a
con o nos ic icios que cie en el p oblema.
Es as en ajas del mé odo quedan del odo pa en es u ilizando una Fo
m
ulación Mix a
del MEC, en la que se hace uso de la o mulación hipe singula a la ho a de plan ea las
2222
XV
CN
Mecánica de la F ac u a
IM león, 2004 __________________ .......:...;_;_ __
ecuaciones en la supe icie de la g ie a, e i ando así la écnica de subdominios necesa ia
en la o
m
ulación clásica del mé odo.
2. Fo mulación
La Ecuación In eg al de Con o no (EIC) en desplazamien os, pa a un pun o y de un
cue po Q, de con o no , bajo ca ga a
m
ónica se puede esc ibi como
c
1k
(y) ·
u
1
(y,@
) +
p,:(x,y,m) ·
u
k
(x,@
) · d
- u
1
: (x,y,@) ·
A(x,m) · d = O
(1)
pa a l,k- 1,2,3, donde
Uk
y
Pk
son la componen e k del desplazamien o y las acciones,
espec i amen e, o es la ecuencia, y u*
1k
, p*1k son los campos de desplazamien os y
acciones de la solución undamen al a mónica, elás ica y idimensional pa a
ma e iales ans e salmen e isó opos. El coe icien e
C k
es un coe icien e que depende
de la supe icie del con o no en el pun o y, siendo su alo Y2 pa a un pun o sua e del
con o no y 1 pa a un pun o in e no. Los de alles sob e la o mulación elas odiná nica
del MEC se pueden encon a en [
1
J.
Los é minos de la solución undamen al se pueden descompone en una pa e es á ica y
o a pa e dinámica, que iende a ce o con la ecuencia. Los é
m
inos de la pa e
es á ica ue on ob enidos po Pan y Chou [2], mien as que la pa e dinámica se oma de
la solución undamen al dinámica a
m
ónica ob enida po Wang y Achenbach [3]
Cuando exis e una g ie a, la coincidencia geomé ica en e las supe icies de ambos
labios de la g ie a impide que se pueda o ma a pa i de la EIC en desplazamien os un
núme o su icien e de ecuaciones linealmen e independien es pa a esol e el p oblema.
Es o obliga a ecu i a la di isión del dominio en subdominios cuyo con o no con enga
a la supe icie de la g ie a, y después aplica condiciones de compa ibilidad en e los
subdominios.
Es e incon enien e se puede sol en a median e la u ilización de la EIC en acciones,
ambién conocida como o
m
ulación hipe singula del MEC. Es a ecuación se ob iene a
pa i de la EIC en desplazamien os, de i ándola en el pun o de colocación, combinando
es as ecuaciones de i adas según la ley de compo amien o del ma e ial y
p oyec ándolas según la no
m
al uni a ia ex e io en dicho pun o de colocación (N(y)),
2223
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XV
(
de o ma que en el é mino lib e de la ecuación apa ezcan las acciones en es e pun o
(en iéndanse po acciones la p oyección del enso de ensiones).
La EIC en acciones se puede esc ibi como
donde s*imk y d*imk son combinaciones lineales de p*1k y u*1k espec i amen e, y sus
exp esiones se pueden encon a en [ 4] y [5] pa a ma e iales isó opos y
ans e salmen e isó opos espec i amen e.
La o mulación hipe singula no plan ea ninguna complicación desde el pun o de is a
concep ual, pe o necesi a un a amien o especial desde un pun o de is a numé ico. Una
e isión de los abajos más ele an es se puede encon a en [
6] y [7].
Las di icul ades numé icas en la implemen ación son debidas a que los núcleos s*imk y
d* mk son hipe singula es y ue emen e singula es, espec i amen e. Es deci , p esen an
singula idades de o den -
3
y ·
2,
cuya in eg ación numé ica plan ea di icul ades.
Pa a sol en a es a di icul ad, A iza y Domínguez han desa ollado un p oceso de
egula ización pa a ma e iales isó opos y ans e salmen e isó opos [ 4, 5], con el que
se eduxen las in eg ales hipe singula es y ue emen e singula es a o as in eg ales de
supe icie y de línea que son a lo sumo débilmen e singula es y pueden se e aluadas
numé icamen e sin di icul ad. La EIC en acciones, una ez ealizado el p oceso de
egula ización se pede esc ibi como
c1
k ·
p¡(y,m) + J-s, , kNm
{ [u k(x,m)- uk(y,m) - uk,h(y,m)(xh -yh) ]-
d1
,kNnJA (x,m) -pk(y,m) ] }d + [u k(y,m)l 1
k + uk.h(y,m)J 1hk + A (y,m)K1k ]+
J. {s
1
: k
(x,y, m) · N"' (y).uk (x,m)- d1
:,1
(x,y, m) ·
N
1
11
(y)· A (x,m) }i
(3)
donde los é minos l k , J¡hk y K1k ecogen las nue os é minos in eg ales, y sus
exp esiones se pueden encon a en los abajos de A iza y Domínguez [ 4,5]. Se puede
obse a en la ecuación (3) que el p oceso de egula ización se aplica an solo a la pa e
es á ica de la solución undamen al, ya que la pa e dinámica es egula y no plan ea
ninguna di icul ad en cuan o a su in eg ación numé ica. Además, po hace más simple
la implemen ación, la egula ización se aplica an solo al elemen o que con iene al pun o
de colocación.
2224
---
XVI
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Po o o lado, la de i ación de la EIC en desplazamien os en el pun o de colocación
equie e que se cumpla con inuidad C
1
en dicho pun o. Es e eque imien o se cumple
median e el Mé odo de Mul icolocación p opues o po Gallego y Domínguez en 2-D [8]
y ex endido al caso idimensional po A iza y Domínguez [5]. Es a écnica consis e en
ubica los pun os de colocación en posiciones ce canas a cada nodo pe o den o de un
elemen o, de o ma que se cumpla el eque imien o de con inuidad. Es o hace que en el
elemen o con iguo se engan que e alua in eg ales que son cuasi-singula es de o den
·
3.
Pa a e alua es as in eg ales de mane a e icien e se aplica la ans o mación de
coo denadas p opues a po Telles [9], cuyo e ec o quedó e lejado en los esul ados
p esen ados en [10].
La o mulación mix a del MEC desa ollada po A iza y Domínguez en ma e iales
isó opos y ans e salmen e isó opos consis e en o mula la ecuación in eg al en
desplazamien os en los pun os de colocación pe enecien es al con o no ex e no, cuando
és e exis e, mien as que en la supe icie de la g ie a caben dos opciones: disc e iza an
solo una de las supe icies y o mula en ella la EIC en acciones, o disc e iza ambas
supe icies y o mula en una de ellas la EIC en acciones y en la o a la EIC en
desplazamien os. Con la p ime a opción se ienen como a iables en los nodos de la
g ie a los Desplazamien os de Ape u a de G ie a (DAG), que son su icien es pa a
calcula los FIT, que es no malmen e lo que in e esa ob ene en es e ipo de p oblemas.
La segunda opción pe mi e conoce los desplazamien os en uno y o o labio de la g ie a.
Los FIT se pueden ob ene a pa i de los DAG de los nodos a 14 de los elemen os del
mismo ipo que se ubican a lo la go del en e de g ie a. Pa a el modo I, que es el que
iene luga en los ejemplos numé icos que se p esen an, se u iliza la siguien e exp esión
K
= ¡-;¡ ul /Ji
l
u =
_3_ _ _3_
l+1ni 1+
donde u z es el DAG en el nodo a Vi, L el amaño del elemen o a Vi en sen ido no mal
al en e de g ie a, y
1
,
m
1
y m
2
son ac o es que dependen de las cons an es elás icas
del ma e ial.
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Mecánica de la F ac u a
3. Resul ados numé icos
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XVI
A con inuación se p esen a la solución de dos p oblemas en un medio in ini o en
p esencia de una g ie a ci cula en el p ime ejemplo y de o ma elíp ica en el segundo,
siendo el plano de la g ie a pe pendicula al eje de sime ía del ma e ial. En ambos
casos, la g ie a se encuen a bajo la acción de una ca ga a mónica.
3.1 G ie a ci cula en medio in ini o
Se conside an dos ipos de ma e iales, uno isó opo (G=106 Pa, =0.3, p=lOO kg/m
3
) y
un ma e ial compues o g a i o-epoxy (C
11=
13.92 GPa, C
33
=160.7 GPa, C
12=
6.92 GPa,
C1
3=
6.44 GPa, C44=7.07 GPa, p= 1578 kglm
Se p esen a la ampli ud del DAG a lo la go del adio de la g ie a pa a es ecuencias
dis in as, y se compa an los esul ados con los ob enidos po Kundu y Bos om [11].
En la igu a 1 se ep esen an las dic e izaciones empleadas en la esolución. La malla
más e inada se ha empleado pa a esol e el p oblema con las dos ecuencias más
al as.
(a) (b)
Figu a l. Disc e izaciones de g ie a ci cula en medio in ini o
En las igu as 2 a, b y c se ep esen an los esul ados ob enidos pa a cada una de las
ecuencias en el ma e ial isó opo y en las igu as 3 a, b y c en el caso ans e salmen e
isó opo. Las ecuencias conside adas son aquellas que hacen que el p oduc o k
*a
adop e el alo 2, 10 y 20, siendo ky
=
o/(p/C44)
112
el núme o de onda asociado a cada
ecuencia y a el adio de la g ie a. Los esul ados se encuen an adimensionalizados
con espec o al DAG en el cen o de la g ie a en el caso de ca ga es á ica de la misma
ampli ud. En las igu as se puede comp oba como la supe icie de la g ie a se de o ma
de o ma más compleja con o me aumen a la ecuencia.
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XVI
CNIM León, 2004
Mecánica de la F ac u a
Se puede obse a que los esul ados es án de acue do con los ob enidos po Kundu y
Bos om, sal o una lige a disc epancia en el caso de al a ecuencia. Es os mismos
au o es ad ie en sin emba go en [
11] que pa a alo es an al os de la ecuencia la
ap oximación que u ilizan necesi a ía un mayo núme o de é minos.
0.8
0.6
0.4
02
-"---
.. ····· KlXldu & Bos om ',,
1
"""·
', 1
··---A iza e al. ' :
1
0.4 . ·
0.35
J
0.3
i
º
0.15
0.1
0.05
O+-----------------'
0+--- --- -------
0.2
0.4 0.6 0.8 0 0.1 02 0.3 0.4 li.5 0.6 0.7 0.8 0.9
''ª
º·3
...... __
m_ ........... _. .. ·-- -·-··-- Ma e ial iso opo
K *a=20
m ............. -.................... ,- ..
__. .. ¡
0.2S '
· ··· A iza e al.
(
2 -Kundu & Bos om l
a 0.1S
1
'
0 0.1 ._ ,;
;..:
'-..
'
.. ·/""' .-;,.-,,.,.
°',
¿).:_;;;,/
-- , -J
·- ::::>"
,/
''
O.O,
0.1 02 0.3 0.4 O.S 06 0.7 O.?I O'i
,,.
Figu a 2. DAG pa a g ie a ci cula en medio in ini o isó opo bajo ondas inciden es en
di ección no mal al plano de la g ie a y dis in as ecuencias
0.45
0.4
0.35
1 0.3
o
0.25
0.2
0.15
0.1
o.os
· ···· A iza e a
-k"1Clu & Bos1 om
O U U M U M 1
"'
OA
,..,__ __
1.6
! 1.4
J
1,
o 0.8
0.6
0.4
º·'
02
0.35
Ma e ial g a l o-epoxy K "a=20
0.3
-K"""" & B0& om
025
0.2
0.15
0.1
0.05
0.2
0.4 0.6
08
-A izae al.
0.4
...
0.8
,,.
Figu a 3. DAG pa a g ie a ci cula en medio in ini o ans e salmen e isó opo bajo ondas
inciden es en di ección no mal al plano de la g ie a y dis in as ecuencias
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Mecánica de la F ac u a
3.2 G ie a elíp ica en medio in ini o
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XV
1
Los esul ados de es e caso son pa a una g ie a elíp ica, con una elación en e semiejes
a/b=2 inme sa en un medio isó opo y o o ans e salmen e isó opo, con las mismas
p opiedades que en el ejemplo an e io . La disc e ización de la g ie a se mues a en la
igu a 4. A la ho a de ep esen a los esul ados se han conside ado los dos pun os más
signi ica i os: 0=0º y 0=90º, siendo 0 el ángulo de inido en la igu a 4a. Se ep esen a la
e olución del FIT en es os pun os pa a un ango de ecuencia O k a lü y O k b lO,
según el pun o de que se a e. El FIT se ep esen a no malizado con espec o al caso
es á ico.
'"
Figu a 4.
Disc e ización g ie a elíp ica
Se puede obse a como la e olución es cuali a i amen e simila al caso isó opo, y
como pa a 0=90º el alo del FIT alcanza un alo más al o y p esen a un mayo g ado
de oscilación con la ecuencia.
4. Conclusiones
Se han mos ado algunos esul ados de p oblemas de in e és en la Mecánica de la
F ac u a de ma e iales ans e salmen e isó opos, ob enidos con una o mulación
numé ica p ecisa y e icien e que pe mi e a a ecuencias ela i amen e al as. Es a
o mulación pe mi i á esol e p oblemas más complejos pa a los que no hay soluciones
p e ias. Es os nue os ejemplos se p esen a án en nue o a ículo en el que se a a án
más en de alle algunos aspec os ela i os a la implemen ación de la o mulación
empleada.
-g a üo-epoxy
n2 -1so opo
"
1_0
,e
o.e
º'
º'
-g a 1 o-epoxy
-isó opo
º·º
o
� ��-�-��----'10 º·ºo������-�_,
K,a
K.,a
Figu a 5.
FIT modo I en g ie a elíp ica. a)
0=0°, b) 0=90º
2228
XVI
CNIM León, 2004
Mecánica de la F ac u a
5. Re e encias
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2229