Estudio numérico de grietas en sólidos 3-D transversalmente isótropos

Es udio numé ico de g ie as en sólidos 3-D ans e salmen e isó opos M.P. A iza, M. Solís, J. Domínguez Escuela Supe io de Ingenie os, Uni e sidad de Se illa, Camino de los Descub imien os sin, 41092 Se illa. Tl : 954 487293 e-mail: [email p o ec ed]. Resumen En es e a ículo se p esen an esul ados de p oblemas de Mecánica de la F ac u a dinámica a mónica en ma e iales ans e salmen e isó opos. Es os esul ados han sido ob enidos median e la aplicación de la o mulación mix a del Mé odo de los Elemen os de Con o no desa ollada po los au o es. Dicha o mulación pe mi e que an solo sea necesa io disc e iza la supe icie de la g ie a y el con o no ex e no del p oblema. La o mulación se alida median e la compa ación de algunos esul ados con los ob enidos po o os au o es. Pos e io men e se esuel en o os p oblemas de g an in e és pe o más complicados pa a los que no exis e solución p e ia conocida po los au o es Palab as Cla e: ans e salmen e isó opo, ac u a, elemen os de con o no, dinámica. Abs ac Resul s o se e a! p oblems o ime ha monic F ac u e Mechanics in ans e sely iso opic solids a e p esen ed in his pape . A Mixed Bounda y Elemen Fo mula ion de eloped by he au ho s has been used in o de o ob ain hese esul s. Only he c ack su ace and he ex e na! bounda y need o be disc e ized. Resul s ob ained o so ne simple p oblems a e compa ed wi h hose ob ained by o he au ho s. Then, o he in e es ing and mo e complex p oblems, o which no p e ious esul s a e known by he au ho s, a e sol ed. Keywo ds: ans e sely iso opic, ac u e, bounda y elemen s, dynamics l. In oducción El compo amien o ans e salmen e isó opo se puede conside a como un caso pa icula de aniso opía, en el que el ma e ial p esen a compo amien o isó opo en odos los planos pe pendicula es a una di ección ija, conocida como eje de sime ía del ma e ial. Es a ley de compo amien o se de ine po cinco cons an es elás icas independien es, y se puede esc ibi como sigue (siendo la di ección 3 el eje de sime ía del ma e ial) 0"11 e,, C,2 C13 oo o 0"22 c,2 C11 C13 oo o 0"33 C13 C13 C33 oo o 0"23 oo o C44 o o CT3¡ oo oo C44 o CT12 oo oo o (C11-C12)/2 2221 Mecánica de la F ac u a León, 2004 CNIM XV Es a elación se puede educi al caso isó opo haciendo C 11 =C 33 =)..+2µ, C 44 = µ y C,2 = C13 = A (siendo A yµ las cons an es elás icas de La né). Di e sos ma e iales p esen an es e ipo de compo amien o (hielo, ma e iales de es uc u a c is alina de ipo hexagonal, algunos e enos a cillosos, ma e iales compues os o co nposi es o m ados po ib as o ien adas en una di ección y embebidas en una ma iz poli né ica, e c.). Exis en po an o un buen núme o de aplicaciones en las que esul a de in e és pa a los ingenie os conoce el compo amien o de es os ma e iales. Es o incluye el es udio de su compo amien o an e la p esencia de g ie as o isu as, de ca a a p edeci su posible p opagación o es udia co no puede a ec a su p esencia al compo amien o de la pieza oel medio que se a e. Es e compo amien o se puede es udia bajo el e ec o de ca gas es á icas o dinámicas. En e es as úl imas se inclui ía el caso de la di acción de ondas elás icas debido a la p esencia de una g ie a, lo cual esul a de especial in e és pa a la de ección de g ie as en es e ipo de ma e iales median e écnicas no des uc i as, co no po ejemplo ul asonidos. En es e a ículo se p esen an algunos esul ados pa a p oblemas de in e és en la Mecánica de la F ac u a de sólidos ans e salmen e isó opos bajo ca gas a mónicas. Pa a ob ene es os esul ados se ha aplicado el Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC), que es una he amien a numé ica especialmen e adecuada pa a esol e p oblemas de es e ipo, debido a su capacidad pa a educi el p oblema al con o no. Es o hace que no sea necesa io disc e iza el dominio del p oblema, con la consecuen e simpli icación del p oceso de mallado, sob e odo en p oblemas idimensionales. Tampoco se hace necesa io po an o la disc e ización de la zona ce cana al en e de g ie a, donde iene luga un compo amien o singula del campo de ensiones. Po o o lado, se pueden esol e p oblemas en medios in ini os de una o m a na u al ' sa is aciendo au omá icamen e la condición de adiación y sin necesidad de ecu i a con o nos ic icios que cie en el p oblema. Es as en ajas del mé odo quedan del odo pa en es u ilizando una Fo m ulación Mix a del MEC, en la que se hace uso de la o mulación hipe singula a la ho a de plan ea las 2222 XV CN Mecánica de la F ac u a IM león, 2004 __________________ .......:...;_;_ __ ecuaciones en la supe icie de la g ie a, e i ando así la écnica de subdominios necesa ia en la o m ulación clásica del mé odo. 2. Fo mulación La Ecuación In eg al de Con o no (EIC) en desplazamien os, pa a un pun o y de un cue po Q, de con o no , bajo ca ga a m ónica se puede esc ibi como c 1k (y) · u 1 (y,@ ) + p,:(x,y,m) · u k (x,@ ) · d - u 1 : (x,y,@) · A(x,m) · d = O (1) pa a l,k- 1,2,3, donde Uk y Pk son la componen e k del desplazamien o y las acciones, espec i amen e, o es la ecuencia, y u* 1k , p*1k son los campos de desplazamien os y acciones de la solución undamen al a mónica, elás ica y idimensional pa a ma e iales ans e salmen e isó opos. El coe icien e C k es un coe icien e que depende de la supe icie del con o no en el pun o y, siendo su alo Y2 pa a un pun o sua e del con o no y 1 pa a un pun o in e no. Los de alles sob e la o mulación elas odiná nica del MEC se pueden encon a en [ 1 J. Los é minos de la solución undamen al se pueden descompone en una pa e es á ica y o a pa e dinámica, que iende a ce o con la ecuencia. Los é m inos de la pa e es á ica ue on ob enidos po Pan y Chou [2], mien as que la pa e dinámica se oma de la solución undamen al dinámica a m ónica ob enida po Wang y Achenbach [3] Cuando exis e una g ie a, la coincidencia geomé ica en e las supe icies de ambos labios de la g ie a impide que se pueda o ma a pa i de la EIC en desplazamien os un núme o su icien e de ecuaciones linealmen e independien es pa a esol e el p oblema. Es o obliga a ecu i a la di isión del dominio en subdominios cuyo con o no con enga a la supe icie de la g ie a, y después aplica condiciones de compa ibilidad en e los subdominios. Es e incon enien e se puede sol en a median e la u ilización de la EIC en acciones, ambién conocida como o m ulación hipe singula del MEC. Es a ecuación se ob iene a pa i de la EIC en desplazamien os, de i ándola en el pun o de colocación, combinando es as ecuaciones de i adas según la ley de compo amien o del ma e ial y p oyec ándolas según la no m al uni a ia ex e io en dicho pun o de colocación (N(y)), 2223 Mecánica de la F ac u a León, 2004 CNIM XV ( de o ma que en el é mino lib e de la ecuación apa ezcan las acciones en es e pun o (en iéndanse po acciones la p oyección del enso de ensiones). La EIC en acciones se puede esc ibi como donde s*imk y d*imk son combinaciones lineales de p*1k y u*1k espec i amen e, y sus exp esiones se pueden encon a en [ 4] y [5] pa a ma e iales isó opos y ans e salmen e isó opos espec i amen e. La o mulación hipe singula no plan ea ninguna complicación desde el pun o de is a concep ual, pe o necesi a un a amien o especial desde un pun o de is a numé ico. Una e isión de los abajos más ele an es se puede encon a en [ 6] y [7]. Las di icul ades numé icas en la implemen ación son debidas a que los núcleos s*imk y d* mk son hipe singula es y ue emen e singula es, espec i amen e. Es deci , p esen an singula idades de o den - 3 y · 2, cuya in eg ación numé ica plan ea di icul ades. Pa a sol en a es a di icul ad, A iza y Domínguez han desa ollado un p oceso de egula ización pa a ma e iales isó opos y ans e salmen e isó opos [ 4, 5], con el que se eduxen las in eg ales hipe singula es y ue emen e singula es a o as in eg ales de supe icie y de línea que son a lo sumo débilmen e singula es y pueden se e aluadas numé icamen e sin di icul ad. La EIC en acciones, una ez ealizado el p oceso de egula ización se pede esc ibi como c1 k · p¡(y,m) + J-s, , kNm { [u k(x,m)- uk(y,m) - uk,h(y,m)(xh -yh) ]- d1 ,kNnJA (x,m) -pk(y,m) ] }d + [u k(y,m)l 1 k + uk.h(y,m)J 1hk + A (y,m)K1k ]+ J. {s 1 : k (x,y, m) · N"' (y).uk (x,m)- d1 :,1 (x,y, m) · N 1 11 (y)· A (x,m) }i (3) donde los é minos l k , J¡hk y K1k ecogen las nue os é minos in eg ales, y sus exp esiones se pueden encon a en los abajos de A iza y Domínguez [ 4,5]. Se puede obse a en la ecuación (3) que el p oceso de egula ización se aplica an solo a la pa e es á ica de la solución undamen al, ya que la pa e dinámica es egula y no plan ea ninguna di icul ad en cuan o a su in eg ación numé ica. Además, po hace más simple la implemen ación, la egula ización se aplica an solo al elemen o que con iene al pun o de colocación. 2224 --- XVI Mecánica de la F ac u a CNIM León,2004 ----------------------- Po o o lado, la de i ación de la EIC en desplazamien os en el pun o de colocación equie e que se cumpla con inuidad C 1 en dicho pun o. Es e eque imien o se cumple median e el Mé odo de Mul icolocación p opues o po Gallego y Domínguez en 2-D [8] y ex endido al caso idimensional po A iza y Domínguez [5]. Es a écnica consis e en ubica los pun os de colocación en posiciones ce canas a cada nodo pe o den o de un elemen o, de o ma que se cumpla el eque imien o de con inuidad. Es o hace que en el elemen o con iguo se engan que e alua in eg ales que son cuasi-singula es de o den · 3. Pa a e alua es as in eg ales de mane a e icien e se aplica la ans o mación de coo denadas p opues a po Telles [9], cuyo e ec o quedó e lejado en los esul ados p esen ados en [10]. La o mulación mix a del MEC desa ollada po A iza y Domínguez en ma e iales isó opos y ans e salmen e isó opos consis e en o mula la ecuación in eg al en desplazamien os en los pun os de colocación pe enecien es al con o no ex e no, cuando és e exis e, mien as que en la supe icie de la g ie a caben dos opciones: disc e iza an solo una de las supe icies y o mula en ella la EIC en acciones, o disc e iza ambas supe icies y o mula en una de ellas la EIC en acciones y en la o a la EIC en desplazamien os. Con la p ime a opción se ienen como a iables en los nodos de la g ie a los Desplazamien os de Ape u a de G ie a (DAG), que son su icien es pa a calcula los FIT, que es no malmen e lo que in e esa ob ene en es e ipo de p oblemas. La segunda opción pe mi e conoce los desplazamien os en uno y o o labio de la g ie a. Los FIT se pueden ob ene a pa i de los DAG de los nodos a 14 de los elemen os del mismo ipo que se ubican a lo la go del en e de g ie a. Pa a el modo I, que es el que iene luga en los ejemplos numé icos que se p esen an, se u iliza la siguien e exp esión K = ¡-;¡ ul /Ji l u = _3_ _ _3_ l+1ni 1+ donde u z es el DAG en el nodo a Vi, L el amaño del elemen o a Vi en sen ido no mal al en e de g ie a, y 1 , m 1 y m 2 son ac o es que dependen de las cons an es elás icas del ma e ial. 2225 Mecánica de la F ac u a 3. Resul ados numé icos León, 2004 CNIM XVI A con inuación se p esen a la solución de dos p oblemas en un medio in ini o en p esencia de una g ie a ci cula en el p ime ejemplo y de o ma elíp ica en el segundo, siendo el plano de la g ie a pe pendicula al eje de sime ía del ma e ial. En ambos casos, la g ie a se encuen a bajo la acción de una ca ga a mónica. 3.1 G ie a ci cula en medio in ini o Se conside an dos ipos de ma e iales, uno isó opo (G=106 Pa, =0.3, p=lOO kg/m 3 ) y un ma e ial compues o g a i o-epoxy (C 11= 13.92 GPa, C 33 =160.7 GPa, C 12= 6.92 GPa, C1 3= 6.44 GPa, C44=7.07 GPa, p= 1578 kglm Se p esen a la ampli ud del DAG a lo la go del adio de la g ie a pa a es ecuencias dis in as, y se compa an los esul ados con los ob enidos po Kundu y Bos om [11]. En la igu a 1 se ep esen an las dic e izaciones empleadas en la esolución. La malla más e inada se ha empleado pa a esol e el p oblema con las dos ecuencias más al as. (a) (b) Figu a l. Disc e izaciones de g ie a ci cula en medio in ini o En las igu as 2 a, b y c se ep esen an los esul ados ob enidos pa a cada una de las ecuencias en el ma e ial isó opo y en las igu as 3 a, b y c en el caso ans e salmen e isó opo. Las ecuencias conside adas son aquellas que hacen que el p oduc o k *a adop e el alo 2, 10 y 20, siendo ky = o/(p/C44) 112 el núme o de onda asociado a cada ecuencia y a el adio de la g ie a. Los esul ados se encuen an adimensionalizados con espec o al DAG en el cen o de la g ie a en el caso de ca ga es á ica de la misma ampli ud. En las igu as se puede comp oba como la supe icie de la g ie a se de o ma de o ma más compleja con o me aumen a la ecuencia. 2226 XVI CNIM León, 2004 Mecánica de la F ac u a Se puede obse a que los esul ados es án de acue do con los ob enidos po Kundu y Bos om, sal o una lige a disc epancia en el caso de al a ecuencia. Es os mismos au o es ad ie en sin emba go en [ 11] que pa a alo es an al os de la ecuencia la ap oximación que u ilizan necesi a ía un mayo núme o de é minos. 0.8 0.6 0.4 02 -"--- .. ····· KlXldu & Bos om ',, 1 """· ', 1 ··---A iza e al. ' : 1 0.4 . · 0.35 J 0.3 i º 0.15 0.1 0.05 O+-----------------' 0+--- --- ------- 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.1 02 0.3 0.4 li.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ''ª º·3 ...... __ m_ ........... _. .. ·-- -·-··-- Ma e ial iso opo K *a=20 m ............. -.................... ,- .. __. .. ¡ 0.2S ' · ··· A iza e al. ( 2 -Kundu & Bos om l a 0.1S 1 ' 0 0.1 ._ ,; ;..: '-.. ' .. ·/""' .-;,.-,,.,. °', ¿).:_;;;,/ -- , -J ·- ::::>" ,/ '' O.O, 0.1 02 0.3 0.4 O.S 06 0.7 O.?I O'i ,,. Figu a 2. DAG pa a g ie a ci cula en medio in ini o isó opo bajo ondas inciden es en di ección no mal al plano de la g ie a y dis in as ecuencias 0.45 0.4 0.35 1 0.3 o 0.25 0.2 0.15 0.1 o.os · ···· A iza e a -k"1Clu & Bos1 om O U U M U M 1 "' OA ,..,__ __ 1.6 ! 1.4 J 1, o 0.8 0.6 0.4 º·' 02 0.35 Ma e ial g a l o-epoxy K "a=20 0.3 -K"""" & B0& om 025 0.2 0.15 0.1 0.05 0.2 0.4 0.6 08 -A izae al. 0.4 ... 0.8 ,,. Figu a 3. DAG pa a g ie a ci cula en medio in ini o ans e salmen e isó opo bajo ondas inciden es en di ección no mal al plano de la g ie a y dis in as ecuencias 2227 Mecánica de la F ac u a 3.2 G ie a elíp ica en medio in ini o León, 2004 CNIM XV 1 Los esul ados de es e caso son pa a una g ie a elíp ica, con una elación en e semiejes a/b=2 inme sa en un medio isó opo y o o ans e salmen e isó opo, con las mismas p opiedades que en el ejemplo an e io . La disc e ización de la g ie a se mues a en la igu a 4. A la ho a de ep esen a los esul ados se han conside ado los dos pun os más signi ica i os: 0=0º y 0=90º, siendo 0 el ángulo de inido en la igu a 4a. Se ep esen a la e olución del FIT en es os pun os pa a un ango de ecuencia O k a lü y O k b lO, según el pun o de que se a e. El FIT se ep esen a no malizado con espec o al caso es á ico. '" Figu a 4. Disc e ización g ie a elíp ica Se puede obse a como la e olución es cuali a i amen e simila al caso isó opo, y como pa a 0=90º el alo del FIT alcanza un alo más al o y p esen a un mayo g ado de oscilación con la ecuencia. 4. Conclusiones Se han mos ado algunos esul ados de p oblemas de in e és en la Mecánica de la F ac u a de ma e iales ans e salmen e isó opos, ob enidos con una o mulación numé ica p ecisa y e icien e que pe mi e a a ecuencias ela i amen e al as. Es a o mulación pe mi i á esol e p oblemas más complejos pa a los que no hay soluciones p e ias. Es os nue os ejemplos se p esen a án en nue o a ículo en el que se a a án más en de alle algunos aspec os ela i os a la implemen ación de la o mulación empleada. -g a üo-epoxy n2 -1so opo " 1_0 ,e o.e º' º' -g a 1 o-epoxy -isó opo º·º o � ��-�-��----'10 º·ºo������-�_, K,a K.,a Figu a 5. FIT modo I en g ie a elíp ica. a) 0=0°, b) 0=90º 2228 XVI CNIM León, 2004 Mecánica de la F ac u a 5. Re e encias l. J. Domínguez, Bounda y Elemen s in Dynamics, Compu a ional Mechanics Publica ions, Sou hamp on y Else ie Applied Science, London, 1993. 2. YC Pan. and TW. Chou, Poin o ce solu ion o an in ini e ans e sely iso opic solid,J. Appl. Mech., 43, (1976) 608--612. 3. CY. Wang, and JD Achenbach, 3-D Time-ha monic elas odynamic g een's unc ions o aniso opic solids, P oc. Roy. Soc. London, A449, (1995), 441--458. 4. J. Dominguez, M.P. A iza, and R. Gallego, Flux and ac ion bounda y elemen s wi hou hype singula o s ongly-singula in eg als, ln . J. Nume . Me h. Engng. 48, (2000), 111--135. 5. MP. A iza y J. Dominguez, Bounda y elemen o mula ion o 3-D ans e sely iso opic c acked bodies, ln . J. Nume . Me h. Engng. (In p ess). 6. MH. Aliabadi, Bounda y elemen o mula ions in ac u e mechanics, Appl. Mech. Re iew ASME, 50, ( 1997), 83--96. 7. DE. Beskos, Bounda y elemen me hods in dynamic analysis:Pa II (1986-1996), Appl. Mech. Re ., 50, (1997), 149--197. 8. R. Gallego and J. 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