ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 46, Núm. 156 2004, págs. 189 a 204
Es imación p edic i a del índice de Gini
en poblaciones ini as bajo mues eo
alea o io simple
po
JOSÉ A. MAYOR GALLEGO
Dp o. de Es adís ica e In es igación Ope a i a. Facul ad de Ma emá icas
Uni e sidad de Se illa
RESUMEN
El es udio de ca ac e ís icas de concen ación, en el ámbi o del
mues eo en poblaciones ini as, pe mi e cuan i ica el g ado de uni-
o midad o equidad en el epa o de una a iable sob e los elemen-
os de la población. Ello esul a especialmen e in e esan e en in es-
igaciones de ca ác e demog á ico o económico, al es udia a iable
como núme o de habi an es, sala io o en a po pe sona. En es e
abajo cons uimos es imado es del índice de Gini, empleando un
en oque p edic i o basado en un modelo de supe población muy
gene al y común, bajo diseño mues al alea o io simple. Pa a es os
es imado es ealizamos median e simulación un es udio compa a i o
con o os es imado es basados en el diseño. Dicho es udio mues a
mejo as sus anciales en elación al sesgo y al e o cuad á ico medio.
Palab as cla e: Mues eo, Poblaciones Fini as, Concen ación, Gini.
Clasi icación AMS: 62D05
190 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
1. INTRODUCCIÓN
Un aspec o de g an in e és cuando se es udia una a iable cuan i a i a sob e
una población, es la e aluación del g ado de equidad en la dis ibución o epa o
del o al de la misma sob e los elemen os poblacionales. El conocido índice de
Gini es un pa áme o, ca alogado como de concen ación, muy empleado en es e
ipo de in es igaciones, siendo su es imación en el con ex o de poblaciones ini as
un p oblema ele an e, an o en sus aspec os eó icos como po sus aplicaciones
p ác icas.
Dicho p oblema ha sido a ado po a ios au o es, undamen almen e bajo un
en oque de población ija, basado en el diseño mues al. En e ellos ci a emos a
B ewe (1981) que conside a la es imación del índice de Gini en un es udio de
caso eal sob e un p oblema de ecu sos escola es. Nygå d y Sands öm
(1985a,1985b) p oponen es imado es pa a es e y o os pa áme os de concen a-
ción, y Sands öm, W e man, y Waldén (1985,1988) es udian a ios mé odos pa a
es ima la a ianza de las es imaciones.
En el p esen e abajo, conside amos es e p oblema de es imación bajo un
en oque p edic i o. Gené icamen e, es e en oque se basa en la es imación de un
pa áme o poblacional que depende de una a iable de es udio, a pa i de una
es imación o p edicción de dicha a iable.
Es a p edicción se ealiza, usualmen e, a pa i de un modelo que elaciona
dicha a iable de es udio con una o a ias a iables auxilia es sob e las que se
iene in o mación p e ia, lo que se conoce como modelo de supe población.
Así, en p ime luga , en la sección 2, es udiamos es e pa áme o en elación a
las unciones de dis ibución y concen ación asociadas a la a iable obje o de
nues o es udio, lo que nos pe mi e cons ui un es imado básico de ipo p edic i-
o, bajo la hipó esis de un modelo de supe población muy común y gene al.
En la sección 3, pa iendo de la es imación de los pa áme os del modelo me-
dian e un ajus e mínimo cuad á ico, ealizamos un es udio del sesgo del es ima-
do an e io men e ob enido, lo que nos pe mi e ealiza una co ección del mismo
ob eniendo un nue o es imado p edic i o al e na i o.
En la sección 4 ealizamos, median e simulación, una compa ación de los es-
imado es ob enidos con los es imado es adicionales, basados en el diseño
mues al, en lo que espec a al sesgo y al e o cuad á ico medio. Emplea emos
pa a ello dos poblaciones eales y clásicas en la bibliog a ía de la eo ía del
mues eo.
ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 191
Finalmen e, en la sección 5, p oponemos una es imación de la a ianza basa-
da en un mé odo de explo ación in ensi a de la mues a, en conc e o el jackkni e.
Median e simulación, es udiamos el ni el de cub imien o de los in e alos de
con ianza basados en dicha es imación.
2. ÍNDICE DE GINI. ESTIMACIÓN PREDICTIVA
Conside emos una población ini a, U = {1,2,…,N}, y una a iable de es udio,
Y, con alo es sob e la población { Yi | i ∈ U}. Nues o obje i o es la es imación,
a pa i de una mues a, del pa áme o poblacional índice de Gini, co espondien e
a dicha a iable,
∑∑
∈
−=
Uj,i
ji
2
GYY
YN2
1
I
donde Y = T(Y)/N deno a la media poblacional de Y, es deci , T(Y)= ∑∉Υ
Ui i
Sabe que es e pa áme o e i ica IG ∈ [0,1-1/N] y es á ue emen e elaciona-
do con la unción de dis ibución de la a iable Y,
)Y (
N
1
) (F
Ui
i
∑
∈
−∆=
y con la que denomina emos unción de concen ación,
)Y (Y
)Y(T
1
) (G
Ui
ii
∑
∈
−∆=
siendo ∆ ( -Yi) la unción indicado a del in e alo [Yi ,+∞), es deci ,



<
≥
=−∆
i
i
iY
Y
si0
si1
)Y (
De hecho, como se indica en la Figu a 1., se e i ica IG = 2 δ, siendo δel
á ea limi ada, den o del cuad ado unidad, po la bisec iz del p ime cuad an e y
la cu a de Lo enz, de inida como la poligonal que conec a los pun os {(F ( ),G ( ))
| RI∈},
192 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Figu a 1
CURVA DE LORENZ. RELACIÓN CON EL ÍNDICE DE GINI
Con obje o de es ima el pa áme o IG, se ex ae de la población U una mues-
a m, de amaño n, empleando un diseño mues al con p obabilidades de inclu-
sión de p ime y segundo o den asociadas
{
}
Uj
,
i I
ij ∈π=Ι ,
U
j
i
ij ∈
∀
>
,,
0
π
Como ya hemos mencionado an e io men e, podemos encon a en la biblio-
g a ía especializada dis in as o mas de ealiza dicha es imación, que se basan
undamen almen e en el diseño mues al. Así, podemos conside a las es imacio-
nes ipo Hayeck de las unciones de dis ibución y concen ación, F( ) y G( ),
i
mi
i/)Y (
N

1
) (F
π−∆= ∑
∈
ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 193
i
mi
ii /)Y (Y
)Y(T

1
) (G
π−∆= ∑
∈
siendo
()
YT

yN
 y )(
ˆYT las co espondien es es imaciones de Ho i z-
Thompson de N y T(Y), es deci , ∑∈
=mi i
N
π
/1
ˆ y i
mi i
YYT
π
/)(
ˆ∑∈
=.
Podemos en onces cons ui la cu a de Lo enz es imada, es deci , la poligo-
nal que conec a los pun os
}
|
))
(
)
,
(
{(
R
G
F
∈. Así, si aplicamos la in e p e-
ación geomé ica del índice de Gini, como el doble de la supe icie limi ada po la
poligonal y la bisec iz, y exp esamos la mues a como m = {j1,j2,…,jn}, siendo j1,
j2,…, jn ∈m, los índices de las unidades mues ales según el o den no dec ecien e
de los alo es de la a iable de es udio, es deci ,
n21 jjj YYY ≤≤≤ L
se ob iene median e un cálculo di ec o el siguien e es imado ,
1
Y
1
P2
Y

N

1
I

i
i
ij
j
n
1i j
i
2
G−
π








π
+= ∑
=
donde Y
es el es imado ipo Hayeck de Y, es deci , N

/)Y(T

Y
=, siendo,
n2i/1P,0P
1i
1k
ji1 k
K=π== ∑
−
=
Nygå d y Sands öm (1985a,1985b), p oponen es e mismo es imado del índi-
ce de Gini, aunque ob eniéndolo po un p ocedimien o di e en e, y lo es udian
básicamen e pa a el caso de mues eo alea o io simple. Si lo pa icula izamos
pa a dicho diseño mues al, se iene N/n
i=π , y ob end emos median e un
cálculo simple,
∑
∈
−=
mj,i
ji
2
1d,G YY
yn2
1
I

donde y deno a la media mues al.
Los au o es ci ados es udian el compo amien o de es e es imado median e
simulación. Dichos au o es des acan la p esencia de sesgo así como la aplicabili-

194 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
dad del jackkni e pa a es ima el e o de mues eo y cons ui in e alos de
con ianza.
Podemos ob ene un es imado al e na i o, ambién exclusi amen e basado
en el diseño, obse ando que,
∑
∈π
−
mj,i ij
ji YY
es un es imado insesgado de,
∑
∈
−
Uj,i
ji YY
po lo que podemos cons ui el es imado al e na i o,
∑
∈π
−
=
mj,i ij
ji
2
2d,G
YY
Y

N2
1
I

que pa a el diseño mues al alea o io simple, )1N(N/)1n(n
ij −−=π , esul a se ,
∑
∈
−
−
−
=
mj,i
ji2d,G YY
yN)1n(n2
1N
I

Seguidamen e cons ui emos un es imado de ipo p edic i o pa a el índice de
Gini, a pa i de su elación con la unción de dis ibución poblacional. Pa a ello,
exp esamos dicho pa áme o en la o ma,
Y2
D
IG=
siendo,
∑
∈
−=
Uj,i
ji
2YY
N
1
D
Si empleamos la unción de dis ibución poblacional de la a iable Y como in-
eg ado , podemos exp esa la can idad D como,
ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 195
) (dF)u(dFwuD RR ∫∫ −=
siendo además,
)u(dFuY R
∫
=
La elación en e IG y F( ) nos sugie e es ima el índice de Gini a pa i de una
es imación ap opiada de F( ). Pa a ello, emplea emos un en oque p edic i o
basado en un modelo de supe población muy usual, en conc e o,
0,R,XY iii ≠β∈βαε+β+α=
siendo Ui,
i∈ε a iables alea o ias independien es y e i icándose pa a la espe-
anza y a ianza en el modelo de supe población
[] []
2
iisis V,0E σ=ε=ε . En es e
abajo, supond emos que las can idades Ui,
i∈σ son desconocidas.
A pa i de la mues a m, y siguiendo el en oque p edic i o usual, se es iman
los pa áme os del modelo, α y
β
, ob eniéndose espec i amen e n

α y n
β
Si
aho a de inimos la a iable Y es imada como,



−∈
∈
β+α
=mUi
mi
siX


siY
Y

inn
i
i
podemos es ima F( ) median e el siguien e p edic o ,
∑
∈
−∆=
Ui
i)Y

(
N
1
) (F

Dicho p edic o es una unción escalonada con los pun os de sal o en el con-
jun o
}
|{
U
i
Y
i∈, y además conse a las p opiedades básicas del pa áme o
uncional que es ima, es deci , mono onía,
0
)(
=−∞
F y
1
)(
=+∞
F. Podemos
pues es ima ,
∑
∫∫ ∈
−=−=
Uj,i
ji
2
RR Y

Y

N
1
) (Fd

)u(F

dwuD

y
196 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
∑
∫∈
==
Ui
i
RY

N
1
)u(F

duY

lo que nos pe mi e cons ui el siguien e es imado p edic i o del índice de Gini,
∑
∈
−==
Uj,i
jip,G Y

Y

)Y

(TN2
1
Y

2
D

I

donde hemos deno ado ∑∈
=Ui i
Y

)Y

(T .
Obse emos que las p opiedades y e iciencia de es e es imado depende án
básicamen e del diseño mues al empleado y de la me odología que se aplique
pa a es ima los pa áme os del modelo. En es e abajo, emplea emos la me o-
dología de mínimos cuad ados con obje o de es ima dichos pa áme os
α
y
β
.
Supond emos que la mues a m se ob iene median e un diseño mues al
alea o io simple, con amaño de mues a n. Se iene pues pa a las p obabilidades
de inclusión de p ime y segundo o den, Ui,N/n
i∈∀=π , y
Uji),1N(N/)1n(n
ij ∈≠∀−−=π .
Pa a cons ui pues las es imaciones de
α
y
β
se plan ea el p oblema de
minimización,
2
i
Ui
i
,
)XY(
min β−α−
∑
∈
βα
cuya solución eó ica, que deno a emos N
α
y N
β
, es in iable al se dicho p o-
blema poblacional. Siguiendo la me odología usual en la eo ía del mues eo,
conside a emos en su luga el “p oblema es imado”,
i
2
i
Ui
i
,
/)XY(
min πβ−α−
∑
∈
βα
Teniendo en cuen a la uni o midad de las p obabilidades de inclusión de p i-
me o den, dicho p oblema es equi alen e a,
2
i
mi
i
,
)XY(
min β−α−
∑
∈
βα
cuya solución es como sabemos,
ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 197
∑
∑
∈
∈
−
−−
=β
mi
2
i
mi
ii
n)xX(
)xX)(yY(

x

y
nn β−=α
siendo xyy las medias mues ales espec i as de las a iables Y y X .
3. ESTUDIO Y CORRECCIÓN DEL SESGO
Con obje o de es udia el sesgo del es imado p,G
I
, ob enido en la sección an-
e io ,
Y

2
D

I
p,G =
y eniendo en cuen a que Y
 es ealmen e el es imado de eg esión común, y
que po consiguien e es asin ó icamen e insesgado, Sukha me e al. (1984),
u iliza emos la siguien e ap oximación del sesgo de p,G
I
,
[]
[
]
[
]
Y2
D

B
Y2
DD

E
I

Bp,G =
−
≈
Con obje o de halla
[
]
DD

E−, emplea emos las a iables alea o ias indicado-
as, 1Ii= si mi∈ , y ce o en caso con a io. Dada en onces una di e encia
gené ica con ji ≠, podemos exp esa la en la o ma,
)I1)(I1(Y

Y

I)I1(YY

)I1(IY

YIIYYY

Y
jijijijijijijijiji −−−+−−+−−+−=−
)I1(IXYIIYY jijNNijiji −β−α−+−≈
)I1)(I1(XXI)I1(YX jijNiNjijiNN −−β−β+−−β+α+
Donde hemos ap oximado nn 
y
βα po sus co espondien es e siones po-
blacionales, NN yβα espec i amen e. Se iene pues,
204 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
ESTIMATING THE GINI COEFFICIENT OVER A FINITE POPULATION:A
PREDICTIVE APPROACH UNDER SIMPLE RANDOM SAMPLING
ABSTRACT
In his pape , a p edic i e es ima o o he Gini coe icien ( he
well-known income inequali y measu e) o a ini e popula ion is de i-
ned o an a bi a y p obabili y sampling design, aking a e y
common supe popula ion model in conside a ion. Unde simple an-
dom sampling, and by means o a Mon e Ca lo s udy, he sampling
pe o mance o his p edic i e es ima o is compa ed wi h o he
classical design based es ima o s in li e a u e.
Key wo ds: Su ey Sampling, Fini e Popula ions, Gini Coe icien .
AMS Classi ica ion: 62D05