Estimación predictiva del índice de Gini en poblaciones finitas bajo muestreo aleatorio simple

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 156 2004, págs. 189 a 204 Es imación p edic i a del índice de Gini en poblaciones ini as bajo mues eo alea o io simple po JOSÉ A. MAYOR GALLEGO Dp o. de Es adís ica e In es igación Ope a i a. Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Se illa RESUMEN El es udio de ca ac e ís icas de concen ación, en el ámbi o del mues eo en poblaciones ini as, pe mi e cuan i ica el g ado de uni- o midad o equidad en el epa o de una a iable sob e los elemen- os de la población. Ello esul a especialmen e in e esan e en in es- igaciones de ca ác e demog á ico o económico, al es udia a iable como núme o de habi an es, sala io o en a po pe sona. En es e abajo cons uimos es imado es del índice de Gini, empleando un en oque p edic i o basado en un modelo de supe población muy gene al y común, bajo diseño mues al alea o io simple. Pa a es os es imado es ealizamos median e simulación un es udio compa a i o con o os es imado es basados en el diseño. Dicho es udio mues a mejo as sus anciales en elación al sesgo y al e o cuad á ico medio. Palab as cla e: Mues eo, Poblaciones Fini as, Concen ación, Gini. Clasi icación AMS: 62D05 190 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 1. INTRODUCCIÓN Un aspec o de g an in e és cuando se es udia una a iable cuan i a i a sob e una población, es la e aluación del g ado de equidad en la dis ibución o epa o del o al de la misma sob e los elemen os poblacionales. El conocido índice de Gini es un pa áme o, ca alogado como de concen ación, muy empleado en es e ipo de in es igaciones, siendo su es imación en el con ex o de poblaciones ini as un p oblema ele an e, an o en sus aspec os eó icos como po sus aplicaciones p ác icas. Dicho p oblema ha sido a ado po a ios au o es, undamen almen e bajo un en oque de población ija, basado en el diseño mues al. En e ellos ci a emos a B ewe (1981) que conside a la es imación del índice de Gini en un es udio de caso eal sob e un p oblema de ecu sos escola es. Nygå d y Sands öm (1985a,1985b) p oponen es imado es pa a es e y o os pa áme os de concen a- ción, y Sands öm, W e man, y Waldén (1985,1988) es udian a ios mé odos pa a es ima la a ianza de las es imaciones. En el p esen e abajo, conside amos es e p oblema de es imación bajo un en oque p edic i o. Gené icamen e, es e en oque se basa en la es imación de un pa áme o poblacional que depende de una a iable de es udio, a pa i de una es imación o p edicción de dicha a iable. Es a p edicción se ealiza, usualmen e, a pa i de un modelo que elaciona dicha a iable de es udio con una o a ias a iables auxilia es sob e las que se iene in o mación p e ia, lo que se conoce como modelo de supe población. Así, en p ime luga , en la sección 2, es udiamos es e pa áme o en elación a las unciones de dis ibución y concen ación asociadas a la a iable obje o de nues o es udio, lo que nos pe mi e cons ui un es imado básico de ipo p edic i- o, bajo la hipó esis de un modelo de supe población muy común y gene al. En la sección 3, pa iendo de la es imación de los pa áme os del modelo me- dian e un ajus e mínimo cuad á ico, ealizamos un es udio del sesgo del es ima- do an e io men e ob enido, lo que nos pe mi e ealiza una co ección del mismo ob eniendo un nue o es imado p edic i o al e na i o. En la sección 4 ealizamos, median e simulación, una compa ación de los es- imado es ob enidos con los es imado es adicionales, basados en el diseño mues al, en lo que espec a al sesgo y al e o cuad á ico medio. Emplea emos pa a ello dos poblaciones eales y clásicas en la bibliog a ía de la eo ía del mues eo. ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 191 Finalmen e, en la sección 5, p oponemos una es imación de la a ianza basa- da en un mé odo de explo ación in ensi a de la mues a, en conc e o el jackkni e. Median e simulación, es udiamos el ni el de cub imien o de los in e alos de con ianza basados en dicha es imación. 2. ÍNDICE DE GINI. ESTIMACIÓN PREDICTIVA Conside emos una población ini a, U = {1,2,…,N}, y una a iable de es udio, Y, con alo es sob e la población { Yi | i ∈ U}. Nues o obje i o es la es imación, a pa i de una mues a, del pa áme o poblacional índice de Gini, co espondien e a dicha a iable, ∑∑ ∈ −= Uj,i ji 2 GYY YN2 1 I donde Y = T(Y)/N deno a la media poblacional de Y, es deci , T(Y)= ∑∉Υ Ui i Sabe que es e pa áme o e i ica IG ∈ [0,1-1/N] y es á ue emen e elaciona- do con la unción de dis ibución de la a iable Y, )Y ( N 1 ) (F Ui i ∑ ∈ −∆= y con la que denomina emos unción de concen ación, )Y (Y )Y(T 1 ) (G Ui ii ∑ ∈ −∆= siendo ∆ ( -Yi) la unción indicado a del in e alo [Yi ,+∞), es deci ,    < ≥ =−∆ i i iY Y si0 si1 )Y ( De hecho, como se indica en la Figu a 1., se e i ica IG = 2 δ, siendo δel á ea limi ada, den o del cuad ado unidad, po la bisec iz del p ime cuad an e y la cu a de Lo enz, de inida como la poligonal que conec a los pun os {(F ( ),G ( )) | RI∈}, 192 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Figu a 1 CURVA DE LORENZ. RELACIÓN CON EL ÍNDICE DE GINI Con obje o de es ima el pa áme o IG, se ex ae de la población U una mues- a m, de amaño n, empleando un diseño mues al con p obabilidades de inclu- sión de p ime y segundo o den asociadas { } Uj , i I ij ∈π=Ι , U j i ij ∈ ∀ > ,, 0 π Como ya hemos mencionado an e io men e, podemos encon a en la biblio- g a ía especializada dis in as o mas de ealiza dicha es imación, que se basan undamen almen e en el diseño mues al. Así, podemos conside a las es imacio- nes ipo Hayeck de las unciones de dis ibución y concen ación, F( ) y G( ), i mi i/)Y ( N  1 ) (F π−∆= ∑ ∈ ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 193 i mi ii /)Y (Y )Y(T  1 ) (G π−∆= ∑ ∈ siendo () YT  yN  y )( ˆYT las co espondien es es imaciones de Ho i z- Thompson de N y T(Y), es deci , ∑∈ =mi i N π /1 ˆ y i mi i YYT π /)( ˆ∑∈ =. Podemos en onces cons ui la cu a de Lo enz es imada, es deci , la poligo- nal que conec a los pun os } | )) ( ) , ( {( R G F ∈. Así, si aplicamos la in e p e- ación geomé ica del índice de Gini, como el doble de la supe icie limi ada po la poligonal y la bisec iz, y exp esamos la mues a como m = {j1,j2,…,jn}, siendo j1, j2,…, jn ∈m, los índices de las unidades mues ales según el o den no dec ecien e de los alo es de la a iable de es udio, es deci , n21 jjj YYY ≤≤≤ L se ob iene median e un cálculo di ec o el siguien e es imado , 1 Y 1 P2 Y  N  1 I  i i ij j n 1i j i 2 G− π         π += ∑ = donde Y es el es imado ipo Hayeck de Y, es deci , N  /)Y(T  Y =, siendo, n2i/1P,0P 1i 1k ji1 k K=π== ∑ − = Nygå d y Sands öm (1985a,1985b), p oponen es e mismo es imado del índi- ce de Gini, aunque ob eniéndolo po un p ocedimien o di e en e, y lo es udian básicamen e pa a el caso de mues eo alea o io simple. Si lo pa icula izamos pa a dicho diseño mues al, se iene N/n i=π , y ob end emos median e un cálculo simple, ∑ ∈ −= mj,i ji 2 1d,G YY yn2 1 I  donde y deno a la media mues al. Los au o es ci ados es udian el compo amien o de es e es imado median e simulación. Dichos au o es des acan la p esencia de sesgo así como la aplicabili- 194 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA dad del jackkni e pa a es ima el e o de mues eo y cons ui in e alos de con ianza. Podemos ob ene un es imado al e na i o, ambién exclusi amen e basado en el diseño, obse ando que, ∑ ∈π − mj,i ij ji YY es un es imado insesgado de, ∑ ∈ − Uj,i ji YY po lo que podemos cons ui el es imado al e na i o, ∑ ∈π − = mj,i ij ji 2 2d,G YY Y  N2 1 I  que pa a el diseño mues al alea o io simple, )1N(N/)1n(n ij −−=π , esul a se , ∑ ∈ − − − = mj,i ji2d,G YY yN)1n(n2 1N I  Seguidamen e cons ui emos un es imado de ipo p edic i o pa a el índice de Gini, a pa i de su elación con la unción de dis ibución poblacional. Pa a ello, exp esamos dicho pa áme o en la o ma, Y2 D IG= siendo, ∑ ∈ −= Uj,i ji 2YY N 1 D Si empleamos la unción de dis ibución poblacional de la a iable Y como in- eg ado , podemos exp esa la can idad D como, ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 195 ) (dF)u(dFwuD RR ∫∫ −= siendo además, )u(dFuY R ∫ = La elación en e IG y F( ) nos sugie e es ima el índice de Gini a pa i de una es imación ap opiada de F( ). Pa a ello, emplea emos un en oque p edic i o basado en un modelo de supe población muy usual, en conc e o, 0,R,XY iii ≠β∈βαε+β+α= siendo Ui, i∈ε a iables alea o ias independien es y e i icándose pa a la espe- anza y a ianza en el modelo de supe población [] [] 2 iisis V,0E σ=ε=ε . En es e abajo, supond emos que las can idades Ui, i∈σ son desconocidas. A pa i de la mues a m, y siguiendo el en oque p edic i o usual, se es iman los pa áme os del modelo, α y β , ob eniéndose espec i amen e n  α y n β Si aho a de inimos la a iable Y es imada como,    −∈ ∈ β+α =mUi mi siX   siY Y  inn i i podemos es ima F( ) median e el siguien e p edic o , ∑ ∈ −∆= Ui i)Y  ( N 1 ) (F  Dicho p edic o es una unción escalonada con los pun os de sal o en el con- jun o } |{ U i Y i∈, y además conse a las p opiedades básicas del pa áme o uncional que es ima, es deci , mono onía, 0 )( =−∞ F y 1 )( =+∞ F. Podemos pues es ima , ∑ ∫∫ ∈ −=−= Uj,i ji 2 RR Y  Y  N 1 ) (Fd  )u(F  dwuD  y 196 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ∑ ∫∈ == Ui i RY  N 1 )u(F  duY  lo que nos pe mi e cons ui el siguien e es imado p edic i o del índice de Gini, ∑ ∈ −== Uj,i jip,G Y  Y  )Y  (TN2 1 Y  2 D  I  donde hemos deno ado ∑∈ =Ui i Y  )Y  (T . Obse emos que las p opiedades y e iciencia de es e es imado depende án básicamen e del diseño mues al empleado y de la me odología que se aplique pa a es ima los pa áme os del modelo. En es e abajo, emplea emos la me o- dología de mínimos cuad ados con obje o de es ima dichos pa áme os α y β . Supond emos que la mues a m se ob iene median e un diseño mues al alea o io simple, con amaño de mues a n. Se iene pues pa a las p obabilidades de inclusión de p ime y segundo o den, Ui,N/n i∈∀=π , y Uji),1N(N/)1n(n ij ∈≠∀−−=π . Pa a cons ui pues las es imaciones de α y β se plan ea el p oblema de minimización, 2 i Ui i , )XY( min β−α− ∑ ∈ βα cuya solución eó ica, que deno a emos N α y N β , es in iable al se dicho p o- blema poblacional. Siguiendo la me odología usual en la eo ía del mues eo, conside a emos en su luga el “p oblema es imado”, i 2 i Ui i , /)XY( min πβ−α− ∑ ∈ βα Teniendo en cuen a la uni o midad de las p obabilidades de inclusión de p i- me o den, dicho p oblema es equi alen e a, 2 i mi i , )XY( min β−α− ∑ ∈ βα cuya solución es como sabemos, ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 197 ∑ ∑ ∈ ∈ − −− =β mi 2 i mi ii n)xX( )xX)(yY(  x  y nn β−=α siendo xyy las medias mues ales espec i as de las a iables Y y X . 3. ESTUDIO Y CORRECCIÓN DEL SESGO Con obje o de es udia el sesgo del es imado p,G I , ob enido en la sección an- e io , Y  2 D  I p,G = y eniendo en cuen a que Y  es ealmen e el es imado de eg esión común, y que po consiguien e es asin ó icamen e insesgado, Sukha me e al. (1984), u iliza emos la siguien e ap oximación del sesgo de p,G I , [] [ ] [ ] Y2 D  B Y2 DD  E I  Bp,G = − ≈ Con obje o de halla [ ] DD  E−, emplea emos las a iables alea o ias indicado- as, 1Ii= si mi∈ , y ce o en caso con a io. Dada en onces una di e encia gené ica con ji ≠, podemos exp esa la en la o ma, )I1)(I1(Y  Y  I)I1(YY  )I1(IY  YIIYYY  Y jijijijijijijijiji −−−+−−+−−+−=− )I1(IXYIIYY jijNNijiji −β−α−+−≈ )I1)(I1(XXI)I1(YX jijNiNjijiNN −−β−β+−−β+α+ Donde hemos ap oximado nn  y βα po sus co espondien es e siones po- blacionales, NN yβα espec i amen e. Se iene pues, 204 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ESTIMATING THE GINI COEFFICIENT OVER A FINITE POPULATION:A PREDICTIVE APPROACH UNDER SIMPLE RANDOM SAMPLING ABSTRACT In his pape , a p edic i e es ima o o he Gini coe icien ( he well-known income inequali y measu e) o a ini e popula ion is de i- ned o an a bi a y p obabili y sampling design, aking a e y common supe popula ion model in conside a ion. Unde simple an- dom sampling, and by means o a Mon e Ca lo s udy, he sampling pe o mance o his p edic i e es ima o is compa ed wi h o he classical design based es ima o s in li e a u e. Key wo ds: Su ey Sampling, Fini e Popula ions, Gini Coe icien . AMS Classi ica ion: 62D05