Estimación predictiva del índice de Gini en poblaciones finitas bajo muestreo aleatorio simple

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 156 2004, págs. 189 a 204 Estimación predictiva del índice de Gini en poblaciones finitas bajo muestreo aleatorio simple por JOSÉ A. MAYOR GALLEGO Dpto. de Estadística e Investigación Operativa. Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla RESUMEN El estudio de características de concentración, en el ámbito del muestreo en poblaciones finitas, permite cuantificar el grado de uniformidad o equidad en el reparto de una variable sobre los elementos de la población. Ello resulta especialmente interesante en investigaciones de carácter demográfico o económico, al estudiar variable como número de habitantes, salario o renta por persona. En este trabajo construimos estimadores del índice de Gini, empleando un enfoque predictivo basado en un modelo de superpoblación muy general y común, bajo diseño muestral aleatorio simple. Para estos estimadores realizamos mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores basados en el diseño. Dicho estudio muestra mejoras sustanciales en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Palabras clave: Muestreo, Poblaciones Finitas, Concentración, Gini. Clasificación AMS: 62D05 190 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 1. INTRODUCCIÓN Un aspecto de gran interés cuando se estudia una variable cuantitativa sobre una población, es la evaluación del grado de equidad en la distribución o reparto del total de la misma sobre los elementos poblacionales. El conocido índice de Gini es un parámetro, catalogado como de concentración, muy empleado en este tipo de investigaciones, siendo su estimación en el contexto de poblaciones finitas un problema relevante, tanto en sus aspectos teóricos como por sus aplicaciones prácticas. Dicho problema ha sido tratado por varios autores, fundamentalmente bajo un enfoque de población fija, basado en el diseño muestral. Entre ellos citaremos a Brewer (1981) que considera la estimación del índice de Gini en un estudio de caso real sobre un problema de recursos escolares. Nygård y Sandström (1985a,1985b) proponen estimadores para este y otros parámetros de concentración, y Sandström, Wretman, y Waldén (1985,1988) estudian varios métodos para estimar la varianza de las estimaciones. En el presente trabajo, consideramos este problema de estimación bajo un enfoque predictivo. Genéricamente, este enfoque se basa en la estimación de un parámetro poblacional que depende de una variable de estudio, a partir de una estimación o predicción de dicha variable. Esta predicción se realiza, usualmente, a partir de un modelo que relaciona dicha variable de estudio con una o varias variables auxiliares sobre las que se tiene información previa, lo que se conoce como modelo de superpoblación. Así, en primer lugar, en la sección 2, estudiamos este parámetro en relación a las funciones de distribución y concentración asociadas a la variable objeto de nuestro estudio, lo que nos permite construir un estimador básico de tipo predictivo, bajo la hipótesis de un modelo de superpoblación muy común y general. En la sección 3, partiendo de la estimación de los parámetros del modelo mediante un ajuste mínimo cuadrático, realizamos un estudio del sesgo del estimador anteriormente obtenido, lo que nos permite realizar una corrección del mismo obteniendo un nuevo estimador predictivo alternativo. En la sección 4 realizamos, mediante simulación, una comparación de los estimadores obtenidos con los estimadores tradicionales, basados en el diseño muestral, en lo que respecta al sesgo y al error cuadrático medio. Emplearemos para ello dos poblaciones reales y clásicas en la bibliografía de la teoría del muestreo. ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 191 Finalmente, en la sección 5, proponemos una estimación de la varianza basada en un método de exploración intensiva de la muestra, en concreto el jackknife. Mediante simulación, estudiamos el nivel de cubrimiento de los intervalos de confianza basados en dicha estimación. 2. ÍNDICE DE GINI. ESTIMACIÓN PREDICTIVA Consideremos una población finita, U = {1,2,…,N}, y una variable de estudio, Y, con valores sobre la población { Yi | i ∈ U}. Nuestro objetivo es la estimación, a partir de una muestra, del parámetro poblacional índice de Gini, correspondiente a dicha variable, ∑∑ ∈ −= Uj,i ji 2 GYY YN2 1 I donde Y = T(Y)/N denota la media poblacional de Y, es decir, T(Y)= ∑∉Υ Ui i Sabe que este parámetro verifica IG ∈ [0,1-1/N] y está fuertemente relacionado con la función de distribución de la variable Y, )Yt( N 1 )t(F Ui i ∑ ∈ −∆= y con la que denominaremos función de concentración, )Yt(Y )Y(T 1 )t(G Ui ii ∑ ∈ −∆= siendo ∆ (t-Yi) la función indicadora del intervalo [Yi ,+∞), es decir,    < ≥ =−∆ i i iYt Yt si0 si1 )Yt( De hecho, como se indica en la Figura 1., se verifica IG = 2 δ, siendo δel área limitada, dentro del cuadrado unidad, por la bisectriz del primer cuadrante y la curva de Lorenz, definida como la poligonal que conecta los puntos {(F (t),G (t)) | t RI∈}, 192 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Figura 1 CURVA DE LORENZ. RELACIÓN CON EL ÍNDICE DE GINI Con objeto de estimar el parámetro IG, se extrae de la población U una muestra m, de tamaño n, empleando un diseño muestral con probabilidades de inclusión de primer y segundo orden asociadas { } Uj , i\I ij ∈π=Ι , U j i ij ∈ ∀ > ,, 0 π Como ya hemos mencionado anteriormente, podemos encontrar en la bibliografía especializada distintas formas de realizar dicha estimación, que se basan fundamentalmente en el diseño muestral. Así, podemos considerar las estimaciones tipo Hayeck de las funciones de distribución y concentración, F( t) y G( t), i mi i/)Yt( N  1 )t(F π−∆= ∑ ∈ ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 193 i mi ii /)Yt(Y )Y(T  1 )t(G π−∆= ∑ ∈ siendo () YT  yN  y )( ˆYT las correspondientes estimaciones de Horvitz- Thompson de N y T(Y), es decir, ∑∈ =mi i N π /1 ˆ y i mi i YYT π /)( ˆ∑∈ =. Podemos entonces construir la curva de Lorenz estimada, es decir, la poligonal que conecta los puntos } | )) ( ) , ( {( R tt G t F ∈. Así, si aplicamos la interpretación geométrica del índice de Gini, como el doble de la superficie limitada por la poligonal y la bisectriz, y expresamos la muestra como m = {j1,j2,…,jn}, siendo j1, j2,…, jn ∈m, los índices de las unidades muestrales según el orden no decreciente de los valores de la variable de estudio, es decir, n21 jjj YYY ≤≤≤ L se obtiene mediante un cálculo directo el siguiente estimador, 1 Y 1 P2 Y  N  1 I  i i ij j n 1i j i 2 G− π         π += ∑ = donde Y es el estimador tipo Hayeck de Y, es decir, N  /)Y(T  Y =, siendo, n2i/1P,0P 1i 1k ji1 k K=π== ∑ − = Nygård y Sandström (1985a,1985b), proponen este mismo estimador del índice de Gini, aunque obteniéndolo por un procedimiento diferente, y lo estudian básicamente para el caso de muestreo aleatorio simple. Si lo particularizamos para dicho diseño muestral, se tiene N/n i=π , y obtendremos mediante un cálculo simple, ∑ ∈ −= mj,i ji 2 1d,G YY yn2 1 I  donde y denota la media muestral. Los autores citados estudian el comportamiento de este estimador mediante simulación. Dichos autores destacan la presencia de sesgo así como la aplicabili- 194 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA dad del jackknife para estimar el error de muestreo y construir intervalos de confianza. Podemos obtener un estimador alternativo, también exclusivamente basado en el diseño, observando que, ∑ ∈π − mj,i ij ji YY es un estimador insesgado de, ∑ ∈ − Uj,i ji YY por lo que podemos construir el estimador alternativo, ∑ ∈π − = mj,i ij ji 2 2d,G YY Y  N2 1 I  que para el diseño muestral aleatorio simple, )1N(N/)1n(n ij −−=π , resulta ser, ∑ ∈ − − − = mj,i ji2d,G YY yN)1n(n2 1N I  Seguidamente construiremos un estimador de tipo predictivo para el índice de Gini, a partir de su relación con la función de distribución poblacional. Para ello, expresamos dicho parámetro en la forma, Y2 D IG= siendo, ∑ ∈ −= Uj,i ji 2YY N 1 D Si empleamos la función de distribución poblacional de la variable Y como integrador, podemos expresar la cantidad D como, ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 195 )v(dF)u(dFwuD RR ∫∫ −= siendo además, )u(dFuY R ∫ = La relación entre IG y F(t) nos sugiere estimar el índice de Gini a partir de una estimación apropiada de F(t). Para ello, emplearemos un enfoque predictivo basado en un modelo de superpoblación muy usual, en concreto, 0,R,XY iii ≠β∈βαε+β+α= siendo Ui, i∈ε variables aleatorias independientes y verificándose para la esperanza y varianza en el modelo de superpoblación [] [] 2 iisis V,0E σ=ε=ε . En este trabajo, supondremos que las cantidades Ui, i∈σ son desconocidas. A partir de la muestra m, y siguiendo el enfoque predictivo usual, se estiman los parámetros del modelo, α y β , obteniéndose respectivamente n  α y n β Si ahora definimos la variable Y estimada como,    −∈ ∈ β+α =mUi mi siX   siY Y  inn i i podemos estimar F(t) mediante el siguiente predictor, ∑ ∈ −∆= Ui i)Y  t( N 1 )t(F  Dicho predictor es una función escalonada con los puntos de salto en el conjunto } |{ U i Y i∈, y además conserva las propiedades básicas del parámetro funcional que estima, es decir, monotonía, 0 )( =−∞ F y 1 )( =+∞ F. Podemos pues estimar, ∑ ∫∫ ∈ −=−= Uj,i ji 2 RR Y  Y  N 1 )v(Fd  )u(F  dwuD  y 196 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ∑ ∫∈ == Ui i RY  N 1 )u(F  duY  lo que nos permite construir el siguiente estimador predictivo del índice de Gini, ∑ ∈ −== Uj,i jip,G Y  Y  )Y  (TN2 1 Y  2 D  I  donde hemos denotado ∑∈ =Ui i Y  )Y  (T . Observemos que las propiedades y eficiencia de este estimador dependerán básicamente del diseño muestral empleado y de la metodología que se aplique para estimar los parámetros del modelo. En este trabajo, emplearemos la metodología de mínimos cuadrados con objeto de estimar dichos parámetros α y β . Supondremos que la muestra m se obtiene mediante un diseño muestral aleatorio simple, con tamaño de muestra n. Se tiene pues para las probabilidades de inclusión de primer y segundo orden, Ui,N/n i∈∀=π , y Uji),1N(N/)1n(n ij ∈≠∀−−=π . Para construir pues las estimaciones de α y β se plantea el problema de minimización, 2 i Ui i , )XY( min β−α− ∑ ∈ βα cuya solución teórica, que denotaremos N α y N β , es inviable al ser dicho problema poblacional. Siguiendo la metodología usual en la teoría del muestreo, consideraremos en su lugar el “problema estimado”, i 2 i Ui i , /)XY( min πβ−α− ∑ ∈ βα Teniendo en cuenta la uniformidad de las probabilidades de inclusión de primer orden, dicho problema es equivalente a, 2 i mi i , )XY( min β−α− ∑ ∈ βα cuya solución es como sabemos, ESTIMACIÓN PREDICTIVA DEL ÍNDICE DE GINI EN POBLACIONES FINITAS BAJO MUESTREO ALEATORIAO SIMPLE 197 ∑ ∑ ∈ ∈ − −− =β mi 2 i mi ii n)xX( )xX)(yY(  x  y nn β−=α siendo xyy las medias muestrales respectivas de las variables Y y X . 3. ESTUDIO Y CORRECCIÓN DEL SESGO Con objeto de estudiar el sesgo del estimador p,G I , obtenido en la sección anterior, Y  2 D  I p,G = y teniendo en cuenta que Y  es realmente el estimador de regresión común, y que por consiguiente es asintóticamente insesgado, Sukhatme et al. (1984), utilizaremos la siguiente aproximación del sesgo de p,G I , [] [ ] [ ] Y2 D  B Y2 DD  E I  Bp,G = − ≈ Con objeto de hallar [ ] DD  E−, emplearemos las variables aleatorias indicadoras, 1Ii= si mi∈ , y cero en caso contrario. Dada entonces una diferencia genérica con ji ≠, podemos expresarla en la forma, )I1)(I1(Y  Y  I)I1(YY  )I1(IY  YIIYYY  Y jijijijijijijijiji −−−+−−+−−+−=− )I1(IXYIIYY jijNNijiji −β−α−+−≈ )I1)(I1(XXI)I1(YX jijNiNjijiNN −−β−β+−−β+α+ Donde hemos aproximado nn  y βα por sus correspondientes versiones poblacionales, NN yβα respectivamente. Se tiene pues, 204 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ESTIMATING THE GINI COEFFICIENT OVER A FINITE POPULATION:A PREDICTIVE APPROACH UNDER SIMPLE RANDOM SAMPLING ABSTRACT In this paper, a predictive estimator of the Gini coefficient (the well-known income inequality measure) of a finite population is defined for an arbitrary probability sampling design, taking a very common superpopulation model in consideration. Under simple random sampling, and by means of a Monte Carlo study, the sampling performance of this predictive estimator is compared with other classical design based estimators in literature. Key words: Survey Sampling, Finite Populations, Gini Coefficient. AMS Classification: 62D05