XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Simulaci´on num´e ica de la combus i´on de ca b´on
pul e izado
A. Be m´
udez 1, J.L. Fe ´
ın1, A. Li˜
n´
an2, L. Saa ed a1
1Dp o.Ma em´a ica Aplicada, Uni e sidad de San iago de Compos ela, Ap do. 15782, San iago de
Compos ela. E-mails: [email p o ec ed], [email p o ec ed], [email p o ec ed].
2E.T.S. Ingenie os Ae on´au icos, Uni e sidad Poli ´ecnica de Mad id, Ap do. 28040, Mad id. E-mail:
[email p o ec ed].
Palab as cla e: ca b´on pul e izado, elemen os ini os
Resumen
El obje i o de es a comunicaci´on es p esen a un modelo ma em´a ico de la com-
bus i´on de ca b´on pul e izado y el co espondien e algo i mo pa a su esoluci´on.
El modelo que se ha desa ollado cons a de dos ases ue emen e acopladas: la
ase gaseosa, pa a la que se u iliza ´a una desc ipci´on Eule iana, que p opo ciona las
dis ibuciones de empe a u a y de las concen aciones de las dis in as especies en el
gas y la ase s´olida, pa a la que se u iliza una desc ipci´on Lag angiana, que a a los
p ocesos simul ´aneos de e apo aci´on de la humedad y la de ola ilizaci´on, jun o con las
eacciones he e og´eneas de gasi icaci´on del “cha ”. El acoplamien o de es as ases iene
de e minado po el hecho de que las pa ´ıculas de ca b´on son uen es y sumide os de
masa y ene g´ıa, mien as que la ase gaseosa de e mina el mo imien o y la a m´os e a
en la que se p oduce la combus i´on de las pa ´ıculas.
Ese modelo de combus i´on se a a inco po a al p og ama SC3D (Simulaci´on de
Calde as en 3 Dimensiones). Se a a de un p og ama de CFD (Mec´anica de Fluidos
Compu acional) adap ado pa a la simulaci´on de la zona del hoga de una calde a de
ca b´on pul e izado u ilizada en una Cen al T´e mica.
Pa a la esoluci´on de las ecuaciones en de i adas pa ciales del modelo de ase
gaseosa se u iliza un m´e odo de elemen os ini os combinado con el m´e odo de las
ca ac e ´ıs icas. Los sis emas de ecuaciones di e enciales o dina ias y algeb aicas del
modelo de ase s´olida se esuel en u ilizando los m´e odos de Eule impl´ıci o o expl´ıci o
y el m´e odo de New on disc e izado.
1. Modelo de combus i´on
Los p ocesos ´ısico-qu´ımicos a los que es ´a some ida una pa ´ıcula de ca b´on du an e su
combus i´on son de una g an complejidad. Ello obliga a desa olla modelos simpli icados
1
A. Be m´udez, J.L. Fe ´ın, A. Li˜n´an, L. Saa ed a
pa a la gene aci´on de ol´a iles, la gasi icaci´on del “cha ” y la pos e io combus i´on de las
especies gaseosas libe adas.
El modelo cin´e ico simpli icado que conside amos consis e en los siguien es p ocesos
´ısico-qu´ımicos en el in e io de las pa ´ıculas po osas, exp esados po las eacciones he e-
og´eneas:
1CO2+C(s)→2CO + (q1)
21
2O2+C(s)→CO + (q2)
3H2O+C(s)→CO +H2+ (q3)
4V(s)→V(g)+ (q4)
5H2O(s)→H2O(g)+ (q5)
y po las siguien es eacciones de oxidaci´on en ase gaseosa:
6CO +1
2O2→CO2+ (q6)
7V(g)+ν1O2→ν2CO2+ν3H2O+ν4SO2+ (q7)
8H2+1
2O2→H2O+ (q8)
donde el ´ındice sdeno a la ase s´olida y gla ase gaseosa, mien as que qies el calo
libe ado en la eacci´on ipo unidad de masa gasi icada. Po simplicidad, se conside a ´an
los ol´a iles como mol´eculas ´unicas, V(g)=Cκ1Hκ2Oκ3Sκ4,de masa molecula M ol,donde
los coe icien es κ1, κ2, κ3yκ4se ob ienen del an´alisis elemen al del ca b´on.
Las asas de gasi icaci´on, wi, i = 1, ..., 5 pa a las eacciones he e og´eneas se modelan
usando leyes de A henius globales y la asa de gasi icaci´on del cha , wC, po unidad de
olumen, wC=w1+w2+w3, queda de e minada po las elocidades globales de las
eacciones 1, 2 y 3.
Pa a la de i aci´on de es e modelo se ha gene alizado el an´alisis de Bu ke-Schumann
pa a ene en cuen a la compe ici´on po el ox´ıgeno en e las especies combus ibles. As´ı, se
supone que las eacciones 6-8 o no ocu en o lo hacen in ini amen e ´apidas en una llama
delgada (llama de di usi´on) que iene luga en el in e io de la pa ´ıcula, en el gas en la
ecindad de la pa ´ıcula, o en el gas lejos de la pa ´ıcula. El ipo de combus i´on que ocu a
depende de la empe a u a y de las concen aciones locales de O2,CO, ol´a iles y H2en el
en o no gaseoso y se ´a el p opio modelo el que decidi ´a en que si uaci´on nos encon amos.
En onces el modelo da la posibilidad de que exis an zonas en las que se acabe el ox´ıgeno,
que deno a emos po ΩF, a di e encia de las zonas donde s´ı hay ox´ıgeno que deno amos
po ΩO. Cuando la pa ´ıcula llega a ΩO, los ol´a iles, CO yH2que se han p oducido
po las eacciones de gasi icaci´on se queman comple amen e, en una llama de di usi´on,
den o de la pa ´ıcula o ue a en el en o no de la misma. En es e caso las pa ´ıculas no
ep esen an uen es de CO, ol´a iles o H2pa a la ase gaseosa. Cuando la pa ´ıcula es ´a en
ΩF, al no habe ox´ıgeno, las eacciones homog´eneas 6, 7 y 8 no ienen luga . En onces
los ol´a iles, CO yH2se unen a la ase gaseosa sin quema se. Como suponemos que
las eacciones homog´eneas son in ini amen e ´apidas, es as especies se quema ´an cuando
encuen en ox´ıgeno en una llama de di usi´on, ondulada po la u bulencia; es la supe icie
ΓFen la igu a 1, que sepa a la egi´on ΩF, sin ox´ıgeno, de la egi´on ΩOdonde los ol´a iles,
H2yCO se encuen an s´olo en el en o no de las pa ´ıculas de ca b´on den o de la llama
delgada que las odea.
2
Simulaci´on num´e ica de la combus i´on de ca b´on pul e izado
gas/ca b´on
ΩF
ΩO
ai e secunda io
ΓF
ΩO
Figu a 1: Llamas de di usi´on.
1.1. Modelo pa a la ase gaseosa
El modelo de combus i´on de pa ´ıculas de ca b´on que p esen amos es ´a acoplado a
una ase gaseosa de dos o mas. Po un lado, el modelo de la ase gaseosa es ablece la
empe a u a, elocidad, p esi´on y concen aciones que de e minan la a m´os e a en la que
se mue en y queman las pa ´ıculas. Po o o lado, las pa ´ıculas debido a su combus i´on
apa ecen como uen es o sumide os de masa y ene g´ıa.
Sea Lgel ope ado di e encial de inido po Lg(u) = ∂(ρgu)
∂ +∇ ·(ρgu g)−∇·(ρgD∇u),
donde Des el coe icien e de di usi´on de la ase gaseosa que, po simplicidad, se conside a-
´a igual pa a odas las especies e igual a la di usi i idad ´e mica. En onces, las ecuaciones
de conse aci´on de la masa, de la masa de cada una de las especies gaseosas y de la
ene g´ıa, conocidas las uen es debidas a las pa ´ıculas, cuyas exp esiones se pueden e en
Be m´udez e al [2], incluyen los ´e minos w6,w7yw8debidos a las eacciones qu´ımicas
6, 7 y 8, que ienen luga en la ase gaseosa.
Al conside a la hip´o esis de Bu ke-Schuman, lo cual implica la no coexis encia de
CO, ol´a iles y H2con O2,se pueden conside a los siguien es escala es conse ados o
combinaciones lineales de Sh ab-Zeldo ich:
βg
1=Yg
O2−4
7Yg
CO −32ν1
M ol
Yg
V−8Yg
H2,(1)
βg
2=Yg
CO2+11
7Yg
CO +44ν2
M ol
Yg
V,(2)
βg
3=Yg
H2O+18ν3
M ol
Yg
V+ 9Yg
H2,(3)
βg
4=Yg
SO2+64ν4
M ol
Yg
V,(4)
Hg=hg
T+q6Yg
CO +q7Yg
V+q8Yg
H2,(5)
y de es a o ma se pueden elimina esos ´e minos de las eacciones gaseosas, ob eni´endose
Lg(βg
1) = m
O2−4
7 m
CO −32ν1
M ol
m
V−8 m
H2,(6)
Lg(βg
2) = m
CO2+11
7 m
CO +44ν2
M ol
m
V,(7)
Lg(βg
3) = m
H2O+18ν3
M ol
m
V+ 9 m
H2,(8)
Lg(βg
4) = m
SO2+64ν4
M ol
m
V,(9)
Lg(Hg) = e+q6 m
CO +q7 m
V+q8 m
H2−∇·q g.(10)
3
A. Be m´udez, J.L. Fe ´ın, A. Li˜n´an, L. Saa ed a
As´ı pues, g acias a la hip´o esis de Bu ke-Schuman, adem´as de esol e menos ecuaciones
y m´as sencillas, el p opio modelo dice en qu´e egi´on nos encon amos. As´ı, si Xg
1>0
hab ´a ox´ıgeno y nos encon a emos en el dominio ΩOy si Xg
1<0 no hab ´a ox´ıgeno y
es a emos en la egi´on ΩF.Las eacciones 6, 7 y 8 ienen luga en una llama in ini amen e
delgada si uada donde Xg
1= 0,con w6,w7yw8ac uando como del as de Di ac.
1.2. Modelo pa a la combus i´on de una pa ´ıcula
El modelo de gasi icaci´on del cha que p oponemos es ´alido pa a pa ´ıculas con un
al o con enido en cenizas. Adem´as, suponemos que la acci´on de cenizas que ienen las
pa ´ıculas de ca b´on no se pie de du an e la de ola ilizaci´on ni la oxidaci´on del cha , es
deci , no se p oduce agmen aci´on du an e su combus i´on. De es a o ma, conside a emos
que cada pa ´ıcula man iene cons an e su adio y su densidad de cenizas, ρash, aunque la
densidad de H2O, ol´a iles y cha disminuye con el iempo.
Pa a lle a a cabo un a amien o m´as simple de los e ec os de las eacciones de ga-
si icaci´on del cha 1, 2 y 3, end emos en cuen a que las ene g´ıas de ac i aci´on de es as
eacciones son g andes. Los n´ume os de Damk¨ohle , que pueden se de inidos pa a es-
as eacciones como Dai= (a2/De)Bie−Ei/RTp, i = 1,2,3,de e mina ´an la e apa de la
combus i´on en la que nos encon amos:
P ime a e apa. Los n´ume os de Damk¨ohle son meno es que 1 y se pueden conside a
las eacciones 1, 2 y 3 congeladas, po lo an o debemos esol e el sis ema:
dρV
d =−3ρgD
a2λ4, λ4=a2
3ρgDB4e−E4/RTpρV,
dρH2O
d =−3ρgD
a2λ5, λ5=a2
3ρgDB5e−E5/RTpρH2O.
(11)
Segunda e apa. Los n´ume os de Damk¨ohle son mayo es que 1 y se conside an las
eacciones 1, 2 y 3 in ini amen e ´apidas. En es a e apa se pueden da a ias si-
uaciones que de e minan las ecuaciones pa a λ1yλ3.
1. Cuando la pa ´ıcula es ´a en la egi´on ΩOy adem´as Ys
O2es mayo que ce o (es
deci , c< ≤a) debemos esol e
eλD
De(a/ −1)+λ=ϕ+ 1,
11
3
λ1
λ−·22
3
λ1
λ+11
3
λ3
λ+44ν2
M ol
λ4
λ¸eλD
De(a/ −a/ c)
=½Yg
CO2−11
3µλ1
λ+λ3
λ¶−44ν2
M ol
λ4
λ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
3
2
λ3
λ−λ5
λ−µ3
2
λ3
λ+18ν3
M ol
λ4
λ¶eλD
De(a/ −a/ c)
=½Yg
H2O−λ5
λ−18ν3
M ol
λ4
λ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
ρ0
C
ρgaD 2
c
d c
d =−(λ1+λ3),
(12)
4
Simulaci´on num´e ica de la combus i´on de ca b´on pul e izado
con ϕ=eλa/ −1. La ecuaci´on pa a la empe a u a en es e caso iene dada
po
4
3πa3ρpcs
dTp
d = 4πa2(q00
p+q00
)+4πρgaD(q1λ1+q3λ3+q4λ4+q5λ5
+14
3q6λ1+7
3q6λ3+q7λ4+1
6q8λ3).(13)
2. Si la pa ´ıcula es ´a en ΩOy adem´as Ys
O2= 0 (es deci , > a) debemos esol e
11
3
λ1
λ=½Yg
CO2+11
3
λ1
λ+µ22
3
λ1
λ+11
3
λ3
λ+44ν2
M ol
λ4
λ¶ϕ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
3
2
λ3
λ−λ5
λ=½Yg
H2O+3
2
λ3
λ−λ5
λ+µ3
2
λ3
λ+18ν3
M ol
λ4
λ¶ϕ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
ρ0
C
ρgaD 2
c
d c
d =−(λ1+λ3).
(14)
Es es e caso pa a ob ene la empe a u a debemos esol e
4
3πa3ρpcs
dTp
d = 4πa2(q00
p+q00
)+4πρgaD(q1λ1+q3λ3+q4λ4+q5λ5
+14
3q6λ1+7
3q6λ3+q7λ4+1
6q8λ3).(15)
3. Si la pa ´ıcula es ´a en ΩOy el ox´ıgeno llega a la supe icie del “co e”de la
pa ´ıcula, debido a que las eacciones en ase gaseosa es ´an congeladas,
11
3
λ1
λ=½Yg
CO2+11
3
λ1
λ¾eλe(1−/ c)−λ,
4
3
λ2
λ=½Yg
O2+4
3
λ2
λ¾eλe(1−/ c)−λ,
3
2
λ3
λ−λ5
λ=½Yg
H2O+3
2
λ3
λ−λ5
λ¾eλe(1−/ c)−λ,
ρ0
C
ρg
2
c
d c
d =−(λ1+λ2+λ3)
(16)
Pa a la empe a u a enemos
4
3πa3ρpcs
dTp
d = 4πa2(q00
p+q00
)+4πρgaD(q1λ1+q2λ2+q3λ3+q4λ4+q5λ5
+14
3q6λ1+7
3q6λ3+q7λ4+1
6q8λ3).(17)
4. Finalmen e, cuando la pa ´ıcula es ´a en la egi´on ΩF, debemos esol e
11
3
λ1
λ=½Yg
CO2+11
3
λ1
λ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
3
2
λ3
λ−λ5
λ=½Yg
H2O+3
2
λ3
λ−λ5
λ¾eλD
De(1−a/ c)−λ,
ρ0
C
ρgaD 2
c
d c
d =−(λ1+λ3)
(18)
5

A. Be m´udez, J.L. Fe ´ın, A. Li˜n´an, L. Saa ed a
jun o con la ecuaci´on
4
3πa3ρpcs
dTp
d = 4πa2(q00
p+q00
)+4πρgaD(q1λ1+q3λ3+q4λ4+q5λ5).(19)
Po ´ul imo, las uen es homogeneizadas en la ase gaseosa po unidad de olumen y
iempo, en un pun o xde la calde a, se ob ienen a pa i de las uen es indi iduales de
cada pa ´ıcula median e la exp esi´on
α(x) =
Ne
X
j=1
Np
X
i=1
˜qj
pij
100 Z ij
0
Fα
ij( )δ(x−xij
p( ))d (20)
donde Fα
ij( ) es la con ibuci´on de una pa ´ıcula de ipo iin oducida po la en ada j,
en el ins an e (cuyas exp esiones pueden e se en Be m´udez e al [2]), xij
s( ) deno a la
posici´on ocupada po esa pa ´ıcula en el ins an e ,δ(x) es la medida de Di ac en el pun o
0, ij
es el iempo que necesi a la pa ´ıcula pa a quema se comple amen e o abandona la
calde a, ˜qjes el caudal m´asico de ca b´on que en a po j,pij es el po cen aje de pa ´ıculas
ique en an po j, y NeyNpson el n´ume o de en adas a la calde a y de pa ´ıculas,
espec i amen e.
2. Resoluci´on num´e ica
2.1. Algo i mo y m´e odos num´e icos empleados
En es a secci´on se desc ibe el algo i mo empleado pa a la esoluci´on num´e ica de las
ecuaciones del modelo desc i o an e io men e. Mien as que pa a las ecuaciones de la ase
gaseosa se u iliza una desc ipci´on Eule iana, pa a la ase s´olida se sigue una desc ipci´on
Lag angiana. El algo i mo desa ollado sigue los siguien es pasos:
1. Se esuel en las ecuaciones (6)-(10) del modelo de ase gaseosa u ilizando un m´e odo
de elemen os ini os P2 combinado con el m´e odo de las ca ac e ´ıs icas, de o den
2, pa a el a amien o del ´e mino con ec i o. Dependiendo de si se es ´a en una
zona con O2o sin ´el, el c´alculo de la empe a u a y de las acciones m´asicas de las
especies que componen la mezcla gaseosa se ealiza de la siguien e o ma:
a) En la egi´on ΩF,w6=w7=w8= 0 y, po an o:
Yg
CO2=Xg
2−11
7Yg
CO −44ν2
M ol
Yg
V,(21)
Yg
H2O=Xg
3−18ν3
M ol
Yg
V−9Yg
H2,(22)
Yg
SO2=Xg
4−64ν4
M ol
Yg
V.(23)
Adem´as, pa a calcula Yg
CO, Y g
VyYg
H2, la ecuaci´on (6) pa a Xg
1 iene que se
complemen ada con dos ecuaciones de conse aci´on pa a Yg
CO, Y g
VoYg
H2.Po
ejemplo, con las ecuaciones Lg(Yg
V) = m
VyLg(Yg
H2) = m
H2en ΩF,que deben
se in eg adas usando las condiciones de con o no Yg
V= 0 y Yg
H2= 0 en la
supe icie ΓFdada po Xg
1= 0, que sepa a las egiones ΩOy ΩF.
6
Simulaci´on num´e ica de la combus i´on de ca b´on pul e izado
b) En la egi´on ΩOse iene que Yg
CO =Yg
V=Yg
H2= 0 y, adem´as, Yg
O2=Xg
1,
Yg
CO2=Xg
2,Yg
H2O=Xg
3,Yg
SO2=Xg
4yhg
T=Hg.
2. Se calculan los da os de la ase gaseosa que de e minan la concen aci´on de O2,H2O
yCO2en el en o no de la pa ´ıcula y, u ilizando la ecuaci´on del mo imien o de la
pa ´ıcula, se calcula su posici´on.
3. Se esuel en las ecuaciones (11) u ilizando un m´e odo de di e encias ini as de un
paso (Eule impl´ıci o), ob eni´endose los alo es de λn+1
4yλn+1
5.
4. Una ez calculados los alo es de ρn+1
V,ρn+1
H2O,λn+1
4yλn+1
5, si n
c>0 (lo que equi ale
a deci que oda ´ıa hay ca bono ijo en la pa ´ıcula) hay dos posibilidades:
a) Si los n´ume os de Damk¨ohle Dai,i= 1,2,3, son meno es que 1 se conside a que
las eacciones 1, 2 y 3 no ienen luga y, po lo an o λn+1
1=λn+1
2=λn+1
3= 0.
b) Si los n´ume os de Damk¨ohle Dai,i= 1,2,3 son mayo es que 1, las eaccio-
nes 1, 2 y 3 se conside an in ini amen e ´apidas y, pueden ocu i dos casos
dependiendo de la a m´os e a en la que se encuen a la pa ´ıcula:
Si Yg
O2= 0 la pa ´ıcula es ´a en la egi´on ΩFy se esuel e el sis ema (12).
Si Yg
O26= 0 la pa ´ıcula es ´a en la egi´on ΩO. Se esuel e en p ime luga
el sis ema (14) co espondien e a la si uaci´on en la que la llama es ´a ue a
de la pa ´ıcula ( > a). Si al esol e es e sis ema esul a que ≤aes
que nos encon amos en la si uaci´on en la que la llama es ´a den o de la
pa ´ıcula y se esol e ´ıa el sis ema (18), comp obando que, e ec i amen e
≤a(y po an o la consis encia en el modelo).
Pa a esol e cualquie a de es os es sis emas se u iliza el mismo m´e odo.
En p ime luga disc e izamos la ecuaci´on que de e mina la e oluci´on de c
u ilizando el m´e odo de Eule expl´ıci o con la condici´on inicial 0
c=a. En
segundo luga se u iliza el m´e odo de New on disc e izado pa a esol e el
sis ema de ecuaciones co espondien e, que nos p opo ciona λn+1
1yλn+1
3.
Si n
c= 0 se ha consumido odo el ca bono ijo y, po lo an o, no end ´ıan luga
las eacciones de gasi icaci´on del cha , lo que implica que λn+1
1=λn+1
2=λn+1
3=
n+1
c= n+1
= 0.
5. Se esuel e la ecuaci´on de la ene g´ıa que co esponda. Pa a su disc e izaci´on se u iliza
el m´e odo de Eule impl´ıci o. Debido al ´e mino de calo po adiaci´on, ep esen-
ado po la ley de S e an-Bol zmann, queda una ecuaci´on no lineal que se esuel e
median e el m´e odo de New on.
6. Se calculan las uen es pa a la ase gaseosa dadas po la exp esi´on (20).
2.2. Algunos esul ados ob enidos
Hemos aplicado la esoluci´on del modelo de combus i´on a la simulaci´on de una calde a
de ca b´on pul e izado de una Cen al T´e mica ( e Saa ed a [5]).
En p ime luga mos a emos algunos esul ados ob enidos pa a una pa ´ıcula de 500
mic as que en a en la calde a (Figu a 2). A con inuaci´on se mues a en un plano de la
7
A. Be m´udez, J.L. Fe ´ın, A. Li˜n´an, L. Saa ed a
calde a la uen e de ene g´ıa homogeneizada y se compa a con la ob enida median e Fluen
(Figu as 3 y 4).
Figu a 2: Velocidades adimensionales de gasi icaci´on del “cha ”
Con ou s o sensible-en halpy-sou ce FLUENT 6.2 (3d, seg ega ed, pd 19, ske)
Ma 22, 2007
3.000e+06
2.850e+06
2.700e+06
2.550e+06
2.399e+06
2.249e+06
2.099e+06
1.949e+06
1.799e+06
1.649e+06
1.499e+06
1.348e+06
1.198e+06
1.048e+06
8.979e+05
7.478e+05
5.976e+05
4.475e+05
2.973e+05
1.472e+05
-3.000e+03
ZY
X
Figu a 3: SC3D Figu a 4: Fluen
Ag adecimien os
Pa e de es e abajo ha sido inanciado po el MEC a a ´es del p oyec o ENE2005-
09190-C04-01/CON.
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