Análisis de la dinámica de un
oscilado elec ónico ipo
Bonhoe e -Van de Pol
CARLOS VALLET BURGUILLOS
Tu o : Ja ie Ros Padilla
G ado en Ingenie ía en Tecnologías Indus iales especialidad
Elec ónica
Depa amen o de Ma emá ica Aplicada II
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía, Se illa
No iemb e de 2014
Índice gene al
1. Sis emas dinámicos 5
1.1. Es abilidad y bi u cación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Oscilado es elec ónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Oscilado es y ciclos lími es . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Ci cui os elec ónicos no lineales . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Ci cui os elec ónicos lineales a ozos . . . . . . . . . . 8
1.3. Compo amien os del ciclo lími e . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Obje i o del p oyec o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Gene ación de oscilaciones 11
2.1. Desc ipción del sis ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Análisis del sis ema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Análisis de ó bi as pe iódicas median e ecuaciones de cie e . . 20
2.3.1. Ó bi as pe iódicas bizonales . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2. Ó bi as pe iódicas izonales . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Oscilado elec ónico BVP 25
3.1. Ob ención del sis ema modelado del oscilado elec ónico BVP 25
3.2. Análisis del oscilado elec ónico BVP . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Simulaciones 33
4.1. Análisis de los esul ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
4ÍNDICE GENERAL
Capí ulo 1
Sis emas dinámicos
1.1. Es abilidad y bi u cación
El compo amien o dinámico de muchos p ocesos ísicos o de la ingeníe ia
iene modelado po un sis ema de ecuaciones di e enciales. En gene al es as
ecuaciones son no lineales, y además, dependen de cie os pa áme os que
ep esen an los posibles alo es de las magni udes que ijan en cada caso la
dinámica del sis ema. La elección de los alo es conc e os de los pa áme os
del sis ema de e mina los posibles es ados de equilib io del mismo y su modo
de espues a dinámica an e las pequeñas pe u baciones que puedan ene
luga .
Al e oluciona con con inuidad los alo es de los pa áme os an cam-
biando los posibles es ados de equilib io, que pueden así su gi o desapa ece
o simplemen e cambia sus p opiedades. En es os é minos gene ales, el aná-
lisis del ca ác e de un pun o de equilib io de un sis ema dinámico, es deci ,
la es abilidad o ines abilidad del sis ema en cues ión, se emi e a la in es-
igación de la es abilidad del o igen como pun o de equilib io del sis ema
linealizado.
En de ini i a, es el signo de la pa e eal de los alo es p opios de la ma-
iz de coe icien es del sis ema linealizado la que ija la es abilidad, que se
p oduce cuando odos los alo es p opios ienen pa e eal nega i a. En sis-
emas dinámicos dependien es de pa áme os, el modelo linealizado ambién
cambia al modi ica se los alo es de los pa áme os, pudiendo esul a di e-
en e el ca ác e de los co espondien es cambios de equilib io que esul an
de una e olución con inua de los pa áme os del sis ema. Los cambios cuali-
5

6CAPÍTULO 1. SISTEMAS DINÁMICOS
a i os del ca ác e de un de e minado pun o de equilib io son el esul ado de
lo que se denomina bi u cación, siendo las posibilidades de bi u cación muy
a iadas.
En sis emas dependien es de un sólo pa áme o, la pé dida de es abilidad
se p oduce gené icamen e median e dos posibles mecanismos ne amen e di e-
enciados. En el p ime o de ellos sucede que un alo p opio eal e oluciona
con el cambio de los alo es del pa áme o hacia el semiplano eal posi i o.
Puede demos a se que, ambién gené icamen e, en es e caso se pie de la es-
abilidad po la con luencia del pun o de equilib io es able con o o ines able.
Es e enómeno se denomina po es a azón bi u cación silla-nodo.
La segunda posibilidad apa ece cuando la es abilidad se pie de como con-
secuencia de que un pa de alo es p opios complejos conjugados a a iesan
el eje imagina io con i iéndose el pun o de equilib io en ines able. En es e
caso, gené icamen e se p oduce lo que se denomina una bi u cación de Hop .
La ca ac e ís ica esencial de la bi u cación de Hop es que pa a alo es
del pa áme o ce canos al alo de bi u cación, se p oduce la apa ición de
un ciclo lími e del sis ema en las ce canías del es ado de equilib io. Exis en
dos posibilidades di e en es de p opiedades y consecuencias p ác icas muy
dis in as.
La apa ición de oscilaciones pe iódicas es ables en sis emas lineales a
ozos es simila a la bi u cación de Hop pa a sis emas di e enciables, pues o
que el cambio en la es abilidad de un equilib io implica la apa ición de un
ciclo lími e. Sin emba go, la dependencia de la ampli ud del ciclo lími e con
el pa áme o de bi u cación en el caso de sis emas lineales a ozos es dis in a
de la que se p oduce pa a la bi u cación de Hop .
Con el obje i o de aplica las he amien as disponibles pa a sis emas diná-
micos di e enciales, los oscilado es no lineales son ecuen emen e modelados
median e sis emas dinámicos cuyas no linealidades se suponen su icien e-
men e di e enciables. En e es as he amien as, el Teo ema de Bi u cación de
Hop es uno de los más conocidos cuando se quie e da una explicación a la
apa ición de oscilaciones pe iódicas.
De odos modos, apa ecen si uaciones en las que pa a consegui modelos
más p ecisos del mundo eal es con enien e u iliza sis emas lineales a ozos.
De hecho, los sis emas lineales a ozos son muy comunes en las aplicaciones
de la elec ónica no lineal y de la eo ía de con ol. Pueden u iliza se po
ejemplo, cuando el modelo iene una egión ac i a en e a o a de co e, o
cuando las sa u aciones deben se conside adas en el modelo.
Los modelos lineales a ozos pueden conside a se como la ag egación
1.2. OSCILADORES ELECTRÓNICOS 7
de a ios sis emas lineales di e en es, cada uno de los cuales ep esen a la
dinámica del sis ema en una egión del espacio de ases. Den o de cada
egión, la dinámica es muy simple, pe o la dinámica global puede se de g an
complejidad y a menudo caó ica.
El análisis de la bi u cación de los sis emas lineales a ozos puede se
una di ícil a ea pues o que hay una al a de esul ados gene ales pa a es e
ipo de sis emas y es necesa io ene en cuen a la con ibución de cada e-
gión del espacio de ase a la dinámica global. En pa icula , no se pueden
aplica los eo emas de bi u cación de Hop a es os sis emas debido a su baja
di e enciabilidad. De odos modos, los sis emas lineales a ozos pueden p e-
sen a bi u caciones que ienen simili udes (pe o ambién disc epancias) con
la bi u cación de Hop .
1.2. Oscilado es elec ónicos
1.2.1. Oscilado es y ciclos lími es
Los oscilado es son ci cui os elec ónicos que pueden p esen a oscilacio-
nes de ampli ud y pe iodos ijos sin exci ación ex e io . Es as oscilaciones se
denominan ciclos lími es u oscilaciones au oman enidas. Un buen oscilado
debe p esen a al menos dos ca ac e ís icas pa a un co ec o uncionamien o:
1) Una ez anscu ido el égimen ansi o io inicial, los alo es de ampli ud
y pe iodo de los ciclos lími e no deben depende de las condiciones iniciales
del sis ema.
2) Las oscilaciones han de exis i pa a unos angos de los pa áme os del
sis ema su icien emen e amplios.
Debido a que los sis emas lineales no p esen an es as ca ac e ís icas, cual-
quie oscilado iene que se un sis ema no lineal y se modelado como al
pa a pode es ablece analí icamen e la ampli ud y el pe iodo de las osci-
laciones. La exis encia de al menos un disposi i o no lineal en un ci cui o
con ie e a és e en no lineal.
1.2.2. Ci cui os elec ónicos no lineales
Los ci cui os elec ónicos no lineales incluyen, además de algunos disposi-
i os lineales ( esis encias, bobinas y condensado es), cie os disposi i os no
lineales usualmen e basados en ma e iales semiconduc o es (diodos, ansis-
8CAPÍTULO 1. SISTEMAS DINÁMICOS
o es y ampli icado es ope aciones p incipalmen e). Mien as que los disposi-
i os lineales no p esen an ninguna di icul ad y pueden modela se median e
ecuaciones algeb aicas o di e enciales lineales bien conocidas, pa a los disposi-
i os no lineales es necesa io es ablece unos modelos ma emá icos adecuados
que desc iban su uncionamien o de o ma su icien emen e ap oximada.
1.2.3. Ci cui os elec ónicos lineales a ozos
Una posibilidad muy u ilizada es conside a que los disposi i os no linea-
les p esen an a ios modos de uncionamien o y es ablece pa a cada uno de
ellos un modelo lineal. Así se ob iene pa a cada disposi i o no lineal un mo-
delo lineal a ozos. Cada modo de uncionamien o es á asociado a un ango
de las a iables u ilizadas pa a desc ibi el compo amien o del ci cui o, o
exp esado de o a o ma, a cada modo co esponde una egión en un espacio
de ase.
De es a o ma la esolución de un ci cui o no lineal puede hace se esol-
iendo a ios ci cui os lineales, cada uno de los cuales iene alidez sob e
pe iodos de iempo que llamamos in e alos. Un in e alo inaliza y comien-
za el siguien e cuando las a iables asociadas a los disposi i os no lineales
pasan de un ango de alo es a o o, o equi alen emen e, cuando el pun o
ep esen a i o del es ado del sis ema en el espacio de ase pasa de una egión
a o a. En ese ins an e decimos que ha cambiado el modo de uncionamien o
del ci cui o.
1.3. Compo amien os del ciclo lími e
En sis emas dinámicos dependien es de pa áme os, el ca ác e de los co-
espondien es pun os de equilib io (si son es ables o no) puede i cambiando
a medida que se ealiza una a iación con inua de los pa áme os del sis ema.
Es os cambios cuali a i os del ca ác e de un de e minado pun o de equili-
b io (cambio de una si uación es able a ines able o ice e sa) son el esul ado
de lo que se denomina una bi u cación.
En sis emas di e enciables dependien es de un solo pa áme o, la pé -
dida de es abilidad se p oduce gené icamen e cuando uno de los pa es de
au o alo es complejos conjugados a a iesan el eje imagina io, cambiendo la
es abilidad del pun o de equilib io. Se p oduce gené icamen e lo que se co-
noce como bi u cación de Hop , cuya ca ac e ís ica esencial es la apa ición
1.4. OBJETIVO DEL PROYECTO 9
de un ciclo lími e del sis ema en las ce canías del es ado de equilib io; eso
sí, pa a alo es del pa áme o ce canos al alo de la bi u cación. Se pueden
dis ingui dos casos en unción del compo amien o de dicho ciclo lími e:
a) Bi u cación de Hop subc í ica. An es de que el pa áme o alcance
el alo de la bi u cación, el ciclo lími e coexis e con el pun o de equilib io
es able, limi ando la cuenca de a acción del mismo.
b) Bi u cación de Hop supe c í ica. El ciclo su ge una ez aspa-
sado el alo de la bi u cación, cons i uyendo un a ac o que a enúa la ines-
abilidad del pun o de equilib io, es e ciclo lími e de pequeña ampli ud es el
esponsable de la apa ición de oscilaciones pe iódicas es ables en los oscila-
do es elec ónicos au ónomos.
El análisis de la bi u cación en sis emas lineales a ozos puede con e i se
una a ea di ícil, dado que hay una ca encia de esul ados gene ales pa a
es a clase de sis emas, y además se debe ene en cuen a la con ibución
acumulada de cada sección del espacio de ase a la dinámica global.
En pa icula , el eo ema de la bi u cación de Hop , que explica la apa i-
ción de oscilaciones en sis emas di e enciables no es de aplicación en es e caso
debido a la pe dida de di e enciabilidad, ya no se puede habla p opiamen e
de bi u cación de Hop , en es e caso, habla emos de bi u cación Foco Cen o
Ciclo Lími e (FCCL) pa a sis emas lineales a ozos (no di e enciables).
1.4. Obje i o del p oyec o
El obje i o es el modelado ma emá ico de un oscilado elec ónico como
un sis ema dinámico idimensional y simé ico que p esen a una zona lineal
en e las on e as de los planos x= 1 yx=−1, cuyos ex emos son no
de i ables y o a pa e no lineal (sa u ación del disposi i o) con igua a ambos
planos on e a. Analiza emos los di e en es compo amien os que se obse an
en cuan o a la es abilidad del sis ema al a ia los pa áme os p incipales de
bi u cación, iden i icando los di e en es casos que se obse an y con as ando
a a és de simulaciones median e Dynamic Sol e los esul ados ob enidos.
Además, se localiza án aquellos alo es de los pa áme os de bi u cación que
ga an izan la e icacia del oscilado elec ónico al habe p esencia de ciclos
lími es.
16 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES
{(x, y, z)T∈R3: x(τ)−z0
ω2
0!2
x0−z0
ω22
+y0
ω2
0
+y2(τ)
ω2
0 x0−z0
ω2
0!2
+y2
0
= 1, z(τ) = z0},
(2.10)
pasando po el pun o inicial. Pa a algunos pun os iniciales se ob ienen
elipses comple as en la egión |x| ≤ 1y po an o end emos que −ω2
0< z0<
ω2
0.
Po an o, las soluciones ob enidas en (2.9) que es án con enidas pa a
odo τen la zona cen al son ó bi as pe iódicas del sis ema que ienen la
o ma de dos conos que compa en la elipse ω2x2+y2≤ω2.
La es uc u a de las ó bi as pe iódicas es independien e de los alo es de
,myd. Pa a ε6= 0 y pequeño, enemos que la mayo ía de es as ó bi as
pe iódicas desapa ece án pe o algunas de ellas pod ían llega a da a luga a
ciclos lími es.
A con inuación en la igu a 2.2 se mues a la es uc u a de las ó bi as
pe iódicas en la zona cen al:
Figu a 2.2: Es uc u a de las ó bi as pe iódicas ε= 0 en la zona cen al. Los
dos conos es án comple amen e oliados po ó bi as pe iódicas al ededo del
segmen o de pun os en equilib io. {(x, 0, xω2)T:|x|⩽1}.

2.2. ANÁLISIS DEL SISTEMA DINÁMICO 17
Como es bien sabido, un sis ema lineal no puede ene ciclos lími es. Po
eso, los ciclos lími es han de c uza los planos on e a x= 1 ox=−1. Pa-
a algunos alo es de pa áme os exis e un ciclo lími e en dos zonas a la ez
que se denominan ciclos lími es bizonales. Análogamen e, podemos habla de
ciclos lími es izonales cuando se c uzan ambos planos on e a simul ánea-
men e. Debido a la sime ía del campo de ec o es con espec o al o igen, los
ciclos lími es no simé icos deben apa ece en pa ejas, es o es, cuando un ciclo
lími e no simé ico exis e debe exis i po an o su simé ico co espondien e.
Resumen de los esul ados p incipales conocidos
A con inuación se de allan los esul ados ya conocidos, cuyo desa ollo puede
encon a se en [3]
Ciclos lími es izonales
Se conside a el sis ema bajo las siguien es condiciones análogas a la bi u ca-
ción de Hop :
Se supone pa a ε= 0,λ06= 0 yσ16= 0 de mane a que se iene que MT −D=
0. In oducimos po con eniencia el pa áme o δ=d− ω2
0+λ0(ω2
0−m)6= 0,
cuyo signo ca ac e iza el ipo de bi u cación que iene luga . Bajo es as con-
diciones el sis ema su e una bi u cación Foco-Cen o-Ciclo Lími e (FCCL),
a pa i de la con igu ación de las ó bi as pe iódicas que exis en en la zo-
na cen al pa a ε= 0, un ciclo lími e apa ece pa a δσ1ε > 0siendo |ε|lo
su icien emen e pequeño. El ciclo lími e iene como pe iodo:
P=2π
ω0
+2π
ω3
0δ[λ0σ1( ω2
0−d) + ω2
0σ1(ω2
0−m)−ω0ω1δ]ε+O(ε4/3),
y su ampli ud en xde inida como m´ax{x}−m´ın{x} iene dada po :
A= 1 + 1
2(3πσ1(ω2
0+λ2
0)
2δ)2/3ε2/3+Oε4/3.
En pa icula , si λ0<0yδ > 0, end emos que el ciclo lími e bi u ca
pa a σ1ε > 0y la co espondien e ó bi a es asin ó icamen e es able.
Si aho a conside amos el sis ema bajo las condiciones: λ0= 0,λ16= 0,
σ16= 0, es deci , en las condiciones análogas a la bi u cación Hop -ze o, sigue
bi u cando un ciclo lími e aunque aho a los esquemas se simpli ican algo. En
pa icula pa a ε= 0 enemos que δ=d− ω2
06= 0
18 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES
Es e ciclo es simé ico con espec o al o igen y bi u ca desde la elipse
{(x, y, z)T∈R3:ω2x2+y2=ω2,z= 0}.
Así, el ciclo lími e iene aho a el siguien e pe iodo:
P=2π
ω+ 2π ω0σ1(ω2−m)−ω1δ
ω2
0δ!ε+O(ε4/3),
y su ampli ud en xde inida como m´ax{x}−m´ın{x} iene dada po :
A= 1 + 1
2(3πσ1ω2
0
2δ)2/3ε2/3+Oε4/3.
Además, el ciclo lími e que bi u ca es es able si y solo si < 0,d < 0y
δ > 0. Usando la p opiedad de in a iancia podemos añadi una nue a a i ma-
ción diciendo que el ciclo lími e que bi u ca es comple amen e ines able (los
dos exponen es ca ac e ís icos ienen pa e eal posi i a) si y solo si > 0,
δ < 0yd > 0.
Ciclos lími es bizonales
A la ho a de analiza las posibles bi u caciones bizonales, debido a la
sime ía p esen e, es cla o que los ciclos lími es bizonales siemp e exis en en
pa ejas, c uzando cada uno de ellos los planos on e as es ablecidos x= 1 y
x=−1, espec i amen e. Po ello, bas a es udia el ciclo lími e que apa ece
c uzando el plano x= 1, de iniendo el siguien e sis ema auxilia :
˙x =(ARx+b,si x⩾1,
ACx,si x < 1.(2.11)
Es e sis ema solo end ía dos zonas de linealidad. De acue do con es o, sólo
los ciclos lími es con enidos den o de la egión x∈[−1,∞)co esponde án
a ciclos lími es del sis ema o iginal, ep esen ando a uno de los miemb os de
la pa eja.
El equilib io del sis ema es á en el o igen en la zona con x < 1yx+
εen
la zona con x≥1. De una o ma análoga al análisis hecho pa a las ó bi as
pe iódicas del ciclo lími e izonal, podemos conside a el sis ema con ε= 0.
Po an o, cada solución en la zona con x < 1empieza desde un pun o
a bi a io (x0, y0, z0)Tpa a τ= 0 iene dada po (2.9), y su co espondien e
ó bi a es un a co de una elipse con la exp esión dada en (2.10).
2.2. ANÁLISIS DEL SISTEMA DINÁMICO 19
Aho a, si es a elipse es á comple amen e con enida en la egión x < 1
po an o enemos z0< ω2. Es a amilia de elipses es án comple amen e
con enidas en la egión x < 1las cuales gene an un cono ilimi ado de ó bi as
pe iódicas.
Nó ese que es e cono ilimi ado puede se ob enido p olongando la pa e
supe io de la igu a 2. En es e caso, solo las ó bi as pe iódicas del sis ema
e i ican |x| ≤ 1co esponde án a ó bi as pe iódicas del sis ema a es udia .
Como hemos is o, un ciclo lími e del sis ema puede apa ece pa a ε6= 0
desde una ó bi a pe iódica de la on e a del cono, la cual es una elipse ho-
izon al con cen o en (z/ω2,0, z)Tyx-semieje 1−z/ω2. Po an o, cuando
|ε|es lo su icien emen e pequeño y 0< z < ω2, podemos asegu a que la
p ime a coo denada de los pun os del ciclo lími e bi u cado es á en el an-
go x∈(−1,∞)y consecuen emen e ese ciclo lími e del sis ema bizonal es
ambién un ciclo lími e pa a el sis ema izonal.
Además, la sime ía del sis ema obliga a la p esencia de un ciclo lími e
simé ico, aho a apa eciendo en la egión x∈(−∞,1). De ahí se deduce que
la bi u cación mos ada conlle a la apa ición de un pa de ciclos lími es pa a
el sis ema, cada uno bi u cando desde la on e a de uno de los dos conos de
la igu a 2.2.
Sin e izamos nues os esul ados:
Con λ0= 0,λ16= 0,δ=d− ω2
06= 0,σ16= 0,dσ1−λ1δ6= 0 y
0<ˆz=dσ1ω2
0
dσ1−λ1δ< ω2
0:
El sis ema p esen a un ciclo lími e bizonal pa a ε= 0. Po an o, exis e
un pa de ciclos lími es pa a δσ1ε > 0siendo |ε|lo su icien emen e pequeño.
Su pe iodo p esen a la siguien e exp esión:
P=2π
ω+2π[ω0σ1(ω2
0−m)−ω1δ]
δω2
0
ε+Oε5/3,
y su ampli ud end ía la siguien e exp esión:
A=2λ1δ
λ1δ−dσ1−2(3π)2/3σ2/3
1dλ1σ1ω2
0[2 (ω2
0−m)−3δ]
5ω2/3δ2/3(λ1δ−dσ1)2ε2/3+O(ε).
El ciclo lími e se á es able si y solo si < 0yλ1σ1<0, o = 0 ydσ1(2σ1+
λ1)<0.
20 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES
2.3. Análisis de ó bi as pe iódicas median e
ecuaciones de cie e
2.3.1. Ó bi as pe iódicas bizonales
Asumimos la exis encia de una ó bi a pe iódica que in e sec a la on e a
x= 1 en dos pun os que ienen la siguien e exp esión:
X0=


1
y0
z0


,X1=


1
y1
z1


.
Como se mues a en la igu a 2.3, se ep esen an los pun os X0yX1
del ciclo lími e bizonal y sus iempos de uelo en la pa e izquie da (τC) y
de echa (τR) al plano on e a x= 1.
Figu a 2.3: Ciclo lími e bizonal en el plano on e a x= 1
De inido el sis ema como (2.11), p ocedemos a halla la solución desde
2.3. ANÁLISIS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE ECUACIONES DE CIERRE21
X1di ec amen e median e:
x(τ) = eACτX1.(2.12)
Po an o, se iene que:
X0=eACτCX1.(2.13)
Cuando el sis ema (2.11) es compa ible y XRes una solución de ARx+b=
0, y po an o, equilib io del sis ema en la zona R podemos ans o ma
el sis ema (2.11) en un sis ema homogéneo median e una anslación pa a
soluciona lo y pos e io men e deshace la anslación. La solución iene la
siguien e o ma:
x(τ) = XR+eARτ[X0−XR].(2.14)
De o ma que pa a el iempo de uelo τRse iene
X1=XR+eARτR(X0−XR).(2.15)
Po consiguien e, enemos el sis ema
(X0=eACτCX1,
X1=XR+eARτR(X0−XR),
donde se ienen dos ecuaciones ec o iales de es componen es eniendo
como incógni as τC,τR,y0,z0,y1,z1.
2.3.2. Ó bi as pe iódicas izonales
Asumimos la exis encia de una ó bi a pe iódica que in e sec a los planos
on e a x=−1yx= 1 en cua o pun os que ienen la siguien e exp esión:
X0=


1
y0
z0


,X1=


1
y1
z1


,X2=


−1
y2
z2


,X3=


−1
y3
z3


.
Como se mues a en la igu a 2.4, se ep esen an los pun os X0,X1,X2
yX3del ciclo lími e izonal y sus iempos de uelo en la pa e cen al (τC),
en la pa e izquie da (τL) y en la pa e de echa (τR).
La sime ía de la ó bi a pe iódica izonal del sis ema implica que:

22 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES
Figu a 2.4: Ciclo lími e izonal en los planos on e a x=−1yx= 1
X2=−X0y X3=−X1,
po an o, el es udio de la ayec o ia en e X0yX2es su icien e pa a
de e mina po comple o la ó bi a. En la zona cen al enemos que ˙x =ACx.
Tomando como pun o inicial X0 enemos como solución en la zona de echa:
x(τ) = XR+eARτ(X0−XR).(2.16)
El pun o X1de la ayec o ia donde τ=τRsa is ace que
X1=XR+eARτR(X0−XR),(2.17)
p opo cionando la p ime a ecuación de cie e del ciclo lími e izonal. En
la pa e cen al enemos que ˙x =ACx. Tomando como pun o inicial X1
enemos como solución:
2.3. ANÁLISIS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE ECUACIONES DE CIERRE23
x(τ) = eACτX1,(2.18)
Pa a el pun o X2donde τ=τC enemos que
X2=eACτCX1.(2.19)
Sabemos que X2=−X0, po an o, sus i uyendo en 2.19 enemos que
X0=−eACτCX1.(2.20)
La ecuación 2.20 p opo ciona la segunda ecuación de cie e pa a el ciclo
lími e izonal, po consiguien e, enemos el sis ema no lineal
(X1=XR+eARτR(X0−XR),
X0=−eACτCX1,
donde se ienen dos ecuaciones ec o iales de es componen es eniendo
como incógni as τC,τR,y0,z0,y1,z1.
24 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES
Capí ulo 3
Oscilado elec ónico BVP
3.1. Ob ención del sis ema modelado del os-
cilado elec ónico BVP
Pa a la aplicación de los esul ados eó icos de los capí ulos an e io es,
conside amos el oscilado elec ónico de Bonhoe e -Van de Pol, que cons a
de dos condensado es (C1yC2de igual capaci ancia C), una induc ancia
(L), una esis encia ( ) y una conduc ancia no lineal (g), como se mues a
en la igu a 3.1:
Figu a 3.1: Esquema elec ónico del oscilado BVP
La dinámica del oscilado iene de inida po las siguien es ecuaciones
di e enciales:
25
32 CAPÍTULO 3. OSCILADOR ELECTRÓNICO BVP
Adicionalmen e a las bi u caciones an e io es, en el oscilado de BVP
se dan las condiciones de exis encia de la bi u cación de Hop de las zonas
ex e nas cuando m −d= 0 ym > 0en las zonas ex e nas, e [4]. Es deci ,
(2 −αγ)(α−γ)−(α−γ) = (α−γ)(1 −αγ)=0⇔γHzex =1
α

Capí ulo 4
Simulaciones
4.1. Análisis de los esul ados
A la is a de la igu a 3.2 con las supe icies de bi u cación co espon-
dien es a la bi u cación FCCL y Hop -Ze o del o igen azamos el siguien e
esquema pa a la simulación de las di e sas zonas del sis ema:
Figu a 4.1: Zonas del sis ema pa a los dis in os alo es de γsegún αyβ.
33
34 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
P ocedemos a simula los pun os 1, 2, 3 que mues a la igu a 4.2, que
se encuen an den o de las condiciones del p ime análisis en a), b) y c) del
apa ado 3.2:
Figu a 4.2: Diag ama de bi u cación del sis ema BVP pa a β= 0,2.
Sob e la cu a del o igen γ=α+βse p oduce una bi u cación Hop -ze o
del o igen de los lineales a ozos. El sis ema expe imen a sob e el pun o 2
dicha bi u cación. En el pun o 1, el o igen es el único equilib io del sis ema,
pasando po el pun o 2 si uado en la Hop -ze o del o igen has a llega al
pun o 3 donde apa ecen es ciclos lími es.
Sob e la cu a del o igen γ=1
α+βse p oduce una bi u cación Foco
Cen o Ciclo Lími e (FCCL), de o ma que pa a alo es de γmayo es que el
alo c í ico de bi u cación, es deci , po encima de la cu a apa ece un ciclo
lími e.
Sob e la cu a del o igen γ=1
αse p oduce una bi u cación Hop de
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 35
las zonas ex e nas. El uso de es a denominación se debe a que en la anja
α < γ < α +βhay es equilib ios: el o igen más un equilib io en cada zona
ex e na. Fue a de es a anja sólo hay un equilib io en el o igen y sob e la
cu a de bi u cación γ=1
αse puede da la bi u cación Hop del in ini o,
incluida ambién en la nomencla u a Hop de las zonas ex e nas. Se han
simulado los pun os 7, 8 y 9, de al o ma que pa a el pun o 7 no apa ece
ciclo lími e alguno y disminuyendo el alo c í ico de bi u cación apa ecen
ciclos lími es de g an ampli ud pe o ini os.
P ocedemos a calcula los pun os AyBde la igu a 4.2, pa a pos e io -
men e se simulados. El pun o Ase ob iene de:
λ=1
α+β
λ=α+β





Igualando ambas exp esiones:
1
α+β=α+β⇔α+β= 1 ⇔α= 1 −β= 1 −0,2=0,8→γ= 1
En el pun o A se c uzan las cu as de bi u cación de Hop -ze o del o igen
y Foco Cen o Ciclo Lími e (FCCL), siendo la degene ación mayo po lo que
no se es udia dicho pun o. El pun o Bse ob iene de:
λ=1
α
λ=α+β





Igualando ambas exp esiones:
1
α=α+β⇔β=1
α−α→α= 0,9049875;γ= 1,104987638
En el pun o B se c uzan las cu as de bi u cación de Hop -ze o del o igen
yHop de las zonas ex e nas, siendo la degene ación mayo po lo que no se
es udia dicho pun o.
36 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En el apa ado a) del p ime análisis de la sección 3.2, enemos la con-
dición γ > α +β. El pun o 1 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,5cumple
la condición. Po an o, el o igen es el único equilib io del sis ema. Además
γ0γ= 0,5(0,2+0,2) <1, de o ma que el o igen es asin i ó icamen e es able.
Simulando median e Dynamic Sol e se ob iene la siguien e is a en 3D de
las ó bi as que desc ibe el sis ema:
Figu a 4.3: Vis a 3D del pun o 1 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,5.
Como e a de espe a po los esul ados ob enidos del p ime análisis en
el apa ado a) de la sección 3.2, el o igen es el único equilib io del sis ema.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 37
Se mues a de o ma cla a en la simulación sob e el plano x−y, donde en
lo que sigue, las ec as ojas ep esen an los planos on e a x=−1yx= 1:
Figu a 4.4: Plano x−ydel pun o 1 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,5.
La igu a 4.4 mues a el equilib io es able del o igen.

38 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En el apa ado b) del p ime análisis de la sección 3.2 enemos la condición
γ=α+β. El pun o 2 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,4cumple la condición.
Simulando median e Dynamic Sol e se ob iene la siguien e is a en 3D de
las ó bi as que desc ibe el sis ema:
Figu a 4.5: Vis a 3D del pun o 2 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,4.
Pa a es os alo es el sis ema expe imen a una bi u cación análoga a la
bi u cación Hop -ze o. En la igu a 4.5 apa ece la ayec o ia hacia la ó bi a
pe iódica más ex e na de unos de los cen os exis en es en el doble cono
oliado de ó bi as pe iódicas, e igu a 2.2.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 39
La simulación sob e el plano x−ypa a z= 0 que se ob iene mues a
que la ó bi a pe iódica más ex e na del cen o lineal exis en e pa a el alo
c í ico de la bi u cación Hop -ze o del o igen es a ac i a.
Figu a 4.6: Plano x−ydel pun o 2 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,4.
La igu a 4.7 mues a el cen o lineal que apa ece en z= 0 en e las
on e as x=−1yx= 1:
Figu a 4.7: Cen o lineal es ingido de la zona cen al C.
40 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En la igu a 4.8 se mues an di e sas ó bi as pe iódicas pe enecien es
al doble cono ( e igu a 2.2). Se han dibujado a ias ó bi as de los cen os
exis en es pa a di e en es alo es de z.
Figu a 4.8: Plano x−ydel pun o 2 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,3.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 41
En el apa ado c) del p ime análisis de la sección 3.2 enemos la condición
γ < α +β. El pun o 3 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,3cumple es a
condición y la condición añadida de que γ0<1. Po an o, son gene ados
es ciclos lími es en la bi u cación Hop -ze o del o igen de la zona cen al,
uno de ellos izonal es able y dos bizonales ines ables. Simulando median e
Dynamic Sol e se ob iene la siguien e is a en 3D de las ó bi as que desc ibe
el sis ema:
Figu a 4.9: Vis a 3D del pun o 3 de coo denadas α= 0,2yγ= 0,3.
Po los esul ados ob enidos del p ime análisis en el apa ado c) de la
sección 3.2, se mues a la apa ición de un único ciclo lími e izonal.
48 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
Comenzamos la con inuación pa iendo del pun o 5 aumen ando γ. Ha-
ciendo uso de los desa ollos en se ie co espondien es a la bi u cación Foco
Cen o Ciclo Lími e (FCCL) publicados en [1], enemos que y0,z0,τRyτC
pa a ciclos lími es izonales ienen la siguien e exp esión:
y0=λ0−3π
21/3
ω2
0"εσ1(λ2
0+ω2
0)
ω3
0[d−mλ0+ω2
0(− +λ0)]#1/3
+O(ε).
z0=−3π
21/3
ω2
0"εσ1(λ2
0+ω2
0)
ω3
0[d−mλ0+ω2
0(− +λ0)]#1/3
+O(ε4/3).
τC=π
ω0−22/3(3π)1/3"εσ1(λ2
0+ω2
0)
ω3
0[d−mλ0+ω2
0(− +λ0)]#1/3
+O(ε4/3).
τR= 22/3(3π)1/3"εσ1(λ2
0+ω2
0)
ω3
0[d−mλ0+ω2
0(− +λ0)]#1/3
+O(ε).
A pa i de las exp esiones an e io es y eniendo en cuen a que ε=γ−γ0
omamos unos alo es iniciales ce canos a los de la ó bi a pe iódica más
ex e na del cen o pa a γ=γ0(es deci ε= 0) y ˆz=dσ1ω2
0
dσ1−λ1δ, con
δ=λ0(ω2
0−m), que son y0= 0,z0= 0,τC=π
ω0
,τR= 0. U ilizamos el
mé odo de New on pa a esol e las ecuaciones de cie e pa a i de e minan-
do numé icamen e los alo es de y0,z0,τRyτCco espondien es a cada
alo de γ. Aplicamos de nue o la con inuación con pa ame ización na u al
implemen ada en Ma hema ica aumen ando el alo de γdesde 0.909091. Al
llega al alo γ= 0,9724 la con e gencia del mé odo de New on alla y la
con inuación no puede segui . Es o nos lle a a emplea un mé odo de con i-
nuación más po en e, como es el de pseudo longi ud de a co con p edicción
de angen e. El código u ilizado es á implemen ado en Maple po el p o eso
y u o del p oyec o Ja ie Ros. Se ealizó de nue o la con inuación pa iendo
del pun o 5 con es e p og ama llegando has a γ= 0,9724 a pa i de donde
disminuye su alo , p oduciéndose lo que se denomina pliegue. La con inua-
ción siguió has a alo es ce canos a γ= 0,9. Como ejemplo damos el úl imo
pun o de la con inuación:

4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 49
τc= 1,1128 ∗10−5,z0=−0,05455,y0=−179725,3,τR= 2,87988,
γ= 0,90001,
donde se ap ecia el amaño de y0deno ando un ciclo lími e de g an am-
pli ud. Calculando pa a es e úl imo pun o la ma iz AR:
=α−γ= 0,000001 = d;m= 2 −αγ = 1,19.
Comp obamos que sus au o alo es son 0±1,09087iy 0, es deci , los co es-
pondien es a una bi u cación Hop -ze o de las zonas ex e nas que p oduce
un ciclo lími e de g an ampli ud.
Con es o se ha log ado con inua el ciclo lími e desde su nacimien o en la
bi u cación FCCL has a su mue e en una bi u cación Hop del in ini o.
En las igu as 4.17 y 4.18 se ilus a la con inuación desde el pun o 5
(FCCL) has a Hop de las zonas ex e nas.
Figu a 4.17: Con inuación del pun o 5: τR en e a γ.
50 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En la igu a 4.18 se ap ecia como la ampli ud del ciclo lími e aumen a
has a in ini o.
Figu a 4.18: Con inuación del pun o 5: y0 en e a γ.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 51
Se han dibujado median e Ma hema ica a ios pun os de con inuación
ob enidos a pa i de la con inuación que se implemen ó en Maple:
Figu a 4.19: Vis a 3D de los ciclos lími es pa a dis in os alo es de γde la
con inuación del pun o 5.
En la igu a 4.19 el ciclo lími e de amaño más pequeño co esponde a la
ó bi a pe iódica más ex e na del cen o lineal exis en e en el pun o 5.
52 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
P ocedemos a simula aho a los pun os 7, 8, 9 que mues a la igu a 4.2,
donde el sis ema expe imen a una bi u cación Hop en las zonas ex e nas,
que en es e caso es Hop del in ini o. En el pun o 7, de coo denadas α= 0,7
yγ= 1,6, simulando se ob iene:
Figu a 4.20: Vis a 3D del pun o 7 de coo denadas α= 0,7yγ= 1,6.
Como se obse a en simulación, no apa ece ningún ciclo lími e, po an o,
las ayec o ias del sis ema ienden al in ini o.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 53
En el pun o 8, de coo denadas α= 0,7yγ= 1,4, simulando se ob iene:
Figu a 4.21: Vis a 3D del pun o 8 de coo denadas α= 0,7yγ= 1,4.
Como se obse a en simulación, las ayec o ias del sis ema alcanzan un
ciclo lími e de g an ampli ud pe o ini a, que se encuen a ce cano a la ó bi a
pe iódica del in ini o que exis e pa a γHe=1
α=1
0,7= 1,42857.

54 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En el pun o 9, de coo denadas α= 0,7yγ= 1,2, simulando se ob iene:
Figu a 4.22: Vis a 3D del pun o 9 de coo denadas α= 0,7yγ= 1,2.
4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 55
Se iene un equilib io es able y se obse a un ciclo lími e izonal:
Figu a 4.23: Plano x−ydel pun o 9 de coo denadas α= 0,7yγ= 1,2.
El ciclo lími e izonal bi u ca de la ó bi a pe iódica del in ini o y ha
educido su amaño al aleja se del alo c í ico de la bi u cación γHe=1
α=
1
0,7= 1,42857. Pa a comple a la in o mación an e io se u ilizó el código
de con inuación de pseudo longi ud de a co en Maple pa a con inua el ciclo
lími e gene ado po la bi u cación Foco Cen o Ciclo Lími e (FCCL) en el
pun o 10 (α= 0,7,γ= 0,9) has a llega a la bi u cación de Hop del in ini o
(γ=1
0,7).
56 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES
En las igu as 4.24 y 4.25 se ilus a la con inuación del pun o 10 desde la
bi u cación Foco Cen o Ciclo Lími e (FCCL) has a la bi u cación Hop -ze o
de las zonas ex e nas.
Figu a 4.24: Con inuación del pun o 10: τR en e a γ.
Figu a 4.25: Con inuación del pun o 10: y0 en e a γ.
En la igu a 4.25 se ap ecia como la ampli ud del ciclo lími e aumen a
has a in ini o.
Bibliog a ía
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57