Análisis de la dinámica de un oscilador electrónico tipo Bonhoeffer-Van der Pol

Análisis de la dinámica de un oscilador electrónico tipo Bonhoeffer-Van der Pol CARLOS VALLET BURGUILLOS Tutor: Javier Ros Padilla Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales especialidad Electrónica Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Sevilla Noviembre de 2014 Índice general 1. Sistemas dinámicos 5 1.1. Estabilidad y bifurcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Osciladores electrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Osciladores y ciclos límites . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Circuitos electrónicos no lineales . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Circuitos electrónicos lineales a trozos . . . . . . . . . . 8 1.3. Comportamientos del ciclo límite . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Objetivo del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Generación de oscilaciones 11 2.1. Descripción del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Análisis del sistema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Análisis de órbitas periódicas mediante ecuaciones de cierre . . 20 2.3.1. Órbitas periódicas bizonales . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2. Órbitas periódicas trizonales . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Oscilador electrónico BVP 25 3.1. Obtención del sistema modelado del oscilador electrónico BVP 25 3.2. Análisis del oscilador electrónico BVP . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Simulaciones 33 4.1. Análisis de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 4ÍNDICE GENERAL Capítulo 1 Sistemas dinámicos 1.1. Estabilidad y bifurcación El comportamiento dinámico de muchos procesos físicos o de la ingeníeria viene modelado por un sistema de ecuaciones diferenciales. En general estas ecuaciones son no lineales, y además, dependen de ciertos parámetros que representan los posibles valores de las magnitudes que fijan en cada caso la dinámica del sistema. La elección de los valores concretos de los parámetros del sistema determina los posibles estados de equilibrio del mismo y su modo de respuesta dinámica ante las pequeñas perturbaciones que puedan tener lugar. Al evolucionar con continuidad los valores de los parámetros van cambiando los posibles estados de equilibrio, que pueden así surgir o desaparecer o simplemente cambiar sus propiedades. En estos términos generales, el análisis del carácter de un punto de equilibrio de un sistema dinámico, es decir, la estabilidad o inestabilidad del sistema en cuestión, se remite a la investigación de la estabilidad del origen como punto de equilibrio del sistema linealizado. En definitiva, es el signo de la parte real de los valores propios de la matriz de coeficientes del sistema linealizado la que fija la estabilidad, que se produce cuando todos los valores propios tienen parte real negativa. En sistemas dinámicos dependientes de parámetros, el modelo linealizado también cambia al modificarse los valores de los parámetros, pudiendo resultar diferente el carácter de los correspondientes cambios de equilibrio que resultan de una evolución continua de los parámetros del sistema. Los cambios cuali5 6CAPÍTULO 1. SISTEMAS DINÁMICOS tativos del carácter de un determinado punto de equilibrio son el resultado de lo que se denomina bifurcación, siendo las posibilidades de bifurcación muy variadas. En sistemas dependientes de un sólo parámetro, la pérdida de estabilidad se produce genéricamente mediante dos posibles mecanismos netamente diferenciados. En el primero de ellos sucede que un valor propio real evoluciona con el cambio de los valores del parámetro hacia el semiplano real positivo. Puede demostrarse que, también genéricamente, en este caso se pierde la estabilidad por la confluencia del punto de equilibrio estable con otro inestable. Este fenómeno se denomina por esta razón bifurcación silla-nodo. La segunda posibilidad aparece cuando la estabilidad se pierde como consecuencia de que un par de valores propios complejos conjugados atraviesan el eje imaginario convirtiéndose el punto de equilibrio en inestable. En este caso, genéricamente se produce lo que se denomina una bifurcación de Hopf. La característica esencial de la bifurcación de Hopf es que para valores del parámetro cercanos al valor de bifurcación, se produce la aparición de un ciclo límite del sistema en las cercanías del estado de equilibrio. Existen dos posibilidades diferentes de propiedades y consecuencias prácticas muy distintas. La aparición de oscilaciones periódicas estables en sistemas lineales a trozos es similar a la bifurcación de Hopf para sistemas diferenciables, puesto que el cambio en la estabilidad de un equilibrio implica la aparición de un ciclo límite. Sin embargo, la dependencia de la amplitud del ciclo límite con el parámetro de bifurcación en el caso de sistemas lineales a trozos es distinta de la que se produce para la bifurcación de Hopf. Con el objetivo de aplicar las herramientas disponibles para sistemas dinámicos diferenciales, los osciladores no lineales son frecuentemente modelados mediante sistemas dinámicos cuyas no linealidades se suponen suficientemente diferenciables. Entre estas herramientas, el Teorema de Bifurcación de Hopf es uno de los más conocidos cuando se quiere dar una explicación a la aparición de oscilaciones periódicas. De todos modos, aparecen situaciones en las que para conseguir modelos más precisos del mundo real es conveniente utilizar sistemas lineales a trozos. De hecho, los sistemas lineales a trozos son muy comunes en las aplicaciones de la electrónica no lineal y de la teoría de control. Pueden utilizarse por ejemplo, cuando el modelo tiene una región activa frente a otra de corte, o cuando las saturaciones deben ser consideradas en el modelo. Los modelos lineales a trozos pueden considerarse como la agregación 1.2. OSCILADORES ELECTRÓNICOS 7 de varios sistemas lineales diferentes, cada uno de los cuales representa la dinámica del sistema en una región del espacio de fases. Dentro de cada región, la dinámica es muy simple, pero la dinámica global puede ser de gran complejidad y a menudo caótica. El análisis de la bifurcación de los sistemas lineales a trozos puede ser una difícil tarea puesto que hay una falta de resultados generales para este tipo de sistemas y es necesario tener en cuenta la contribución de cada región del espacio de fase a la dinámica global. En particular, no se pueden aplicar los teoremas de bifurcación de Hopf a estos sistemas debido a su baja diferenciabilidad. De todos modos, los sistemas lineales a trozos pueden presentar bifurcaciones que tienen similitudes (pero también discrepancias) con la bifurcación de Hopf. 1.2. Osciladores electrónicos 1.2.1. Osciladores y ciclos límites Los osciladores son circuitos electrónicos que pueden presentar oscilaciones de amplitud y periodos fijos sin excitación exterior. Estas oscilaciones se denominan ciclos límites u oscilaciones automantenidas. Un buen oscilador debe presentar al menos dos características para un correcto funcionamiento: 1) Una vez transcurrido el régimen transitorio inicial, los valores de amplitud y periodo de los ciclos límite no deben depender de las condiciones iniciales del sistema. 2) Las oscilaciones han de existir para unos rangos de los parámetros del sistema suficientemente amplios. Debido a que los sistemas lineales no presentan estas características, cualquier oscilador tiene que ser un sistema no lineal y ser modelado como tal para poder establecer analíticamente la amplitud y el periodo de las oscilaciones. La existencia de al menos un dispositivo no lineal en un circuito convierte a éste en no lineal. 1.2.2. Circuitos electrónicos no lineales Los circuitos electrónicos no lineales incluyen, además de algunos dispositivos lineales (resistencias, bobinas y condensadores), ciertos dispositivos no lineales usualmente basados en materiales semiconductores (diodos, transis- 8CAPÍTULO 1. SISTEMAS DINÁMICOS tores y amplificadores operaciones principalmente). Mientras que los dispositivos lineales no presentan ninguna dificultad y pueden modelarse mediante ecuaciones algebraicas o diferenciales lineales bien conocidas, para los dispositivos no lineales es necesario establecer unos modelos matemáticos adecuados que describan su funcionamiento de forma suficientemente aproximada. 1.2.3. Circuitos electrónicos lineales a trozos Una posibilidad muy utilizada es considerar que los dispositivos no lineales presentan varios modos de funcionamiento y establecer para cada uno de ellos un modelo lineal. Así se obtiene para cada dispositivo no lineal un modelo lineal a trozos. Cada modo de funcionamiento está asociado a un rango de las variables utilizadas para describir el comportamiento del circuito, o expresado de otra forma, a cada modo corresponde una región en un espacio de fase. De esta forma la resolución de un circuito no lineal puede hacerse resolviendo varios circuitos lineales, cada uno de los cuales tiene validez sobre periodos de tiempo que llamamos intervalos. Un intervalo finaliza y comienza el siguiente cuando las variables asociadas a los dispositivos no lineales pasan de un rango de valores a otro, o equivalentemente, cuando el punto representativo del estado del sistema en el espacio de fase pasa de una región a otra. En ese instante decimos que ha cambiado el modo de funcionamiento del circuito. 1.3. Comportamientos del ciclo límite En sistemas dinámicos dependientes de parámetros, el carácter de los correspondientes puntos de equilibrio (si son estables o no) puede ir cambiando a medida que se realiza una variación continua de los parámetros del sistema. Estos cambios cualitativos del carácter de un determinado punto de equilibrio (cambio de una situación estable a inestable o viceversa) son el resultado de lo que se denomina una bifurcación. En sistemas diferenciables dependientes de un solo parámetro, la pérdida de estabilidad se produce genéricamente cuando uno de los pares de autovalores complejos conjugados atraviesan el eje imaginario, cambiendo la estabilidad del punto de equilibrio. Se produce genéricamente lo que se conoce como bifurcación de Hopf, cuya característica esencial es la aparición 1.4. OBJETIVO DEL PROYECTO 9 de un ciclo límite del sistema en las cercanías del estado de equilibrio; eso sí, para valores del parámetro cercanos al valor de la bifurcación. Se pueden distinguir dos casos en función del comportamiento de dicho ciclo límite: a) Bifurcación de Hopf subcrítica. Antes de que el parámetro alcance el valor de la bifurcación, el ciclo límite coexiste con el punto de equilibrio estable, limitando la cuenca de atracción del mismo. b) Bifurcación de Hopf supercrítica. El ciclo surge una vez traspasado el valor de la bifurcación, constituyendo un atractor que atenúa la inestabilidad del punto de equilibrio, este ciclo límite de pequeña amplitud es el responsable de la aparición de oscilaciones periódicas estables en los osciladores electrónicos autónomos. El análisis de la bifurcación en sistemas lineales a trozos puede convertirse una tarea difícil, dado que hay una carencia de resultados generales para esta clase de sistemas, y además se debe tener en cuenta la contribución acumulada de cada sección del espacio de fase a la dinámica global. En particular, el teorema de la bifurcación de Hopf, que explica la aparición de oscilaciones en sistemas diferenciables no es de aplicación en este caso debido a la perdida de diferenciabilidad, ya no se puede hablar propiamente de bifurcación de Hopf, en este caso, hablaremos de bifurcación Foco Centro Ciclo Límite (FCCL) para sistemas lineales a trozos (no diferenciables). 1.4. Objetivo del proyecto El objetivo es el modelado matemático de un oscilador electrónico como un sistema dinámico tridimensional y simétrico que presenta una zona lineal entre las fronteras de los planos x= 1 yx=−1, cuyos extremos son no derivables y otra parte no lineal (saturación del dispositivo) contigua a ambos planos frontera. Analizaremos los diferentes comportamientos que se observan en cuanto a la estabilidad del sistema al variar los parámetros principales de bifurcación, identificando los diferentes casos que se observan y contrastando a través de simulaciones mediante Dynamic Solver los resultados obtenidos. Además, se localizarán aquellos valores de los parámetros de bifurcación que garantizan la eficacia del oscilador electrónico al haber presencia de ciclos límites. 16 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES {(x, y, z)T∈R3: x(τ)−z0 ω2 0!2 x0−z0 ω22 +y0 ω2 0 +y2(τ) ω2 0 x0−z0 ω2 0!2 +y2 0 = 1, z(τ) = z0}, (2.10) pasando por el punto inicial. Para algunos puntos iniciales se obtienen elipses completas en la región |x| ≤ 1y por tanto tendremos que −ω2 0< z0< ω2 0. Por tanto, las soluciones obtenidas en (2.9) que están contenidas para todo τen la zona central son órbitas periódicas del sistema que tienen la forma de dos conos que comparten la elipse ω2x2+y2≤ω2. La estructura de las órbitas periódicas es independiente de los valores de t,myd. Para ε6= 0 y pequeño, tenemos que la mayoría de estas órbitas periódicas desaparecerán pero algunas de ellas podrían llegar a dar a lugar a ciclos límites. A continuación en la figura 2.2 se muestra la estructura de las órbitas periódicas en la zona central: Figura 2.2: Estructura de las órbitas periódicas ε= 0 en la zona central. Los dos conos están completamente foliados por órbitas periódicas alrededor del segmento de puntos en equilibrio. {(x, 0, xω2)T:|x|⩽1}. 2.2. ANÁLISIS DEL SISTEMA DINÁMICO 17 Como es bien sabido, un sistema lineal no puede tener ciclos límites. Por eso, los ciclos límites han de cruzar los planos frontera x= 1 ox=−1. Para algunos valores de parámetros existe un ciclo límite en dos zonas a la vez que se denominan ciclos límites bizonales. Análogamente, podemos hablar de ciclos límites trizonales cuando se cruzan ambos planos frontera simultáneamente. Debido a la simetría del campo de vectores con respecto al origen, los ciclos límites no simétricos deben aparecer en parejas, esto es, cuando un ciclo límite no simétrico existe debe existir por tanto su simétrico correspondiente. Resumen de los resultados principales conocidos A continuación se detallan los resultados ya conocidos, cuyo desarrollo puede encontrarse en [3] Ciclos límites trizonales Se considera el sistema bajo las siguientes condiciones análogas a la bifurcación de Hopf : Se supone para ε= 0,λ06= 0 yσ16= 0 de manera que se tiene que MT −D= 0. Introducimos por conveniencia el parámetro δ=d−tω2 0+λ0(ω2 0−m)6= 0, cuyo signo caracteriza el tipo de bifurcación que tiene lugar. Bajo estas condiciones el sistema sufre una bifurcación Foco-Centro-Ciclo Límite (FCCL), a partir de la configuración de las órbitas periódicas que existen en la zona central para ε= 0, un ciclo límite aparece para δσ1ε > 0siendo |ε|lo suficientemente pequeño. El ciclo límite tiene como periodo: P=2π ω0 +2π ω3 0δ[λ0σ1(tω2 0−d) + ω2 0σ1(ω2 0−m)−ω0ω1δ]ε+O(ε4/3), y su amplitud en xdefinida como m´ax{x}−m´ın{x}viene dada por: A= 1 + 1 2(3πσ1(ω2 0+λ2 0) 2δ)2/3ε2/3+Oε4/3. En particular, si λ0<0yδ > 0, tendremos que el ciclo límite bifurca para σ1ε > 0y la correspondiente órbita es asintóticamente estable. Si ahora consideramos el sistema bajo las condiciones: λ0= 0,λ16= 0, σ16= 0, es decir, en las condiciones análogas a la bifurcación Hopf-zero, sigue bifurcando un ciclo límite aunque ahora los esquemas se simplifican algo. En particular para ε= 0 tenemos que δ=d−tω2 06= 0 18 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES Este ciclo es simétrico con respecto al origen y bifurca desde la elipse {(x, y, z)T∈R3:ω2x2+y2=ω2,z= 0}. Así, el ciclo límite tiene ahora el siguiente periodo: P=2π ω+ 2π ω0σ1(ω2−m)−ω1δ ω2 0δ!ε+O(ε4/3), y su amplitud en xdefinida como m´ax{x}−m´ın{x}viene dada por: A= 1 + 1 2(3πσ1ω2 0 2δ)2/3ε2/3+Oε4/3. Además, el ciclo límite que bifurca es estable si y solo si t < 0,d < 0y δ > 0. Usando la propiedad de invariancia podemos añadir una nueva afirmación diciendo que el ciclo límite que bifurca es completamente inestable (los dos exponentes característicos tienen parte real positiva) si y solo si t > 0, δ < 0yd > 0. Ciclos límites bizonales A la hora de analizar las posibles bifurcaciones bizonales, debido a la simetría presente, es claro que los ciclos límites bizonales siempre existen en parejas, cruzando cada uno de ellos los planos fronteras establecidos x= 1 y x=−1, respectivamente. Por ello, basta estudiar el ciclo límite que aparece cruzando el plano x= 1, definiendo el siguiente sistema auxiliar: ˙x =(ARx+b,si x⩾1, ACx,si x < 1.(2.11) Este sistema solo tendría dos zonas de linealidad. De acuerdo con esto, sólo los ciclos límites contenidos dentro de la región x∈[−1,∞)corresponderán a ciclos límites del sistema original, representando a uno de los miembros de la pareja. El equilibrio del sistema está en el origen en la zona con x < 1yx+ εen la zona con x≥1. De una forma análoga al análisis hecho para las órbitas periódicas del ciclo límite trizonal, podemos considerar el sistema con ε= 0. Por tanto, cada solución en la zona con x < 1empieza desde un punto arbitrario (x0, y0, z0)Tpara τ= 0 viene dada por (2.9), y su correspondiente órbita es un arco de una elipse con la expresión dada en (2.10). 2.2. ANÁLISIS DEL SISTEMA DINÁMICO 19 Ahora, si esta elipse está completamente contenida en la región x < 1 por tanto tenemos z0< ω2. Esta familia de elipses están completamente contenidas en la región x < 1las cuales generan un cono ilimitado de órbitas periódicas. Nótese que este cono ilimitado puede ser obtenido prolongando la parte superior de la figura 2. En este caso, solo las órbitas periódicas del sistema verifican |x| ≤ 1corresponderán a órbitas periódicas del sistema a estudiar. Como hemos visto, un ciclo límite del sistema puede aparecer para ε6= 0 desde una órbita periódica de la frontera del cono, la cual es una elipse horizontal con centro en (z/ω2,0, z)Tyx-semieje 1−z/ω2. Por tanto, cuando |ε|es lo suficientemente pequeño y 0< z < ω2, podemos asegurar que la primera coordenada de los puntos del ciclo límite bifurcado está en el rango x∈(−1,∞)y consecuentemente ese ciclo límite del sistema bizonal es también un ciclo límite para el sistema trizonal. Además, la simetría del sistema obliga a la presencia de un ciclo límite simétrico, ahora apareciendo en la región x∈(−∞,1). De ahí se deduce que la bifurcación mostrada conlleva la aparición de un par de ciclos límites para el sistema, cada uno bifurcando desde la frontera de uno de los dos conos de la figura 2.2. Sintetizamos nuestros resultados: Con λ0= 0,λ16= 0,δ=d−tω2 06= 0,σ16= 0,dσ1−λ1δ6= 0 y 0<ˆz=dσ1ω2 0 dσ1−λ1δ< ω2 0: El sistema presenta un ciclo límite bizonal para ε= 0. Por tanto, existe un par de ciclos límites para δσ1ε > 0siendo |ε|lo suficientemente pequeño. Su periodo presenta la siguiente expresión: P=2π ω+2π[ω0σ1(ω2 0−m)−ω1δ] δω2 0 ε+Oε5/3, y su amplitud tendría la siguiente expresión: A=2λ1δ λ1δ−dσ1−2(3π)2/3σ2/3 1dλ1σ1ω2 0[2t(ω2 0−m)−3δ] 5ω2/3δ2/3(λ1δ−dσ1)2ε2/3+O(ε). El ciclo límite será estable si y solo si t < 0yλ1σ1<0, o t= 0 ydσ1(2σ1+ λ1)<0. 20 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES 2.3. Análisis de órbitas periódicas mediante ecuaciones de cierre 2.3.1. Órbitas periódicas bizonales Asumimos la existencia de una órbita periódica que intersecta la frontera x= 1 en dos puntos que tienen la siguiente expresión: X0=   1 y0 z0   ,X1=   1 y1 z1   . Como se muestra en la figura 2.3, se representan los puntos X0yX1 del ciclo límite bizonal y sus tiempos de vuelo en la parte izquierda (τC) y derecha (τR) al plano frontera x= 1. Figura 2.3: Ciclo límite bizonal en el plano frontera x= 1 Definido el sistema como (2.11), procedemos a hallar la solución desde 2.3. ANÁLISIS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE ECUACIONES DE CIERRE21 X1directamente mediante: x(τ) = eACτX1.(2.12) Por tanto, se tiene que: X0=eACτCX1.(2.13) Cuando el sistema (2.11) es compatible y XRes una solución de ARx+b= 0, y por tanto, equilibrio del sistema en la zona R podemos transformar el sistema (2.11) en un sistema homogéneo mediante una translación para solucionarlo y posteriormente deshacer la translación. La solución tiene la siguiente forma: x(τ) = XR+eARτ[X0−XR].(2.14) De forma que para el tiempo de vuelo τRse tiene X1=XR+eARτR(X0−XR).(2.15) Por consiguiente, tenemos el sistema (X0=eACτCX1, X1=XR+eARτR(X0−XR), donde se tienen dos ecuaciones vectoriales de tres componentes teniendo como incógnitas τC,τR,y0,z0,y1,z1. 2.3.2. Órbitas periódicas trizonales Asumimos la existencia de una órbita periódica que intersecta los planos frontera x=−1yx= 1 en cuatro puntos que tienen la siguiente expresión: X0=   1 y0 z0   ,X1=   1 y1 z1   ,X2=   −1 y2 z2   ,X3=   −1 y3 z3   . Como se muestra en la figura 2.4, se representan los puntos X0,X1,X2 yX3del ciclo límite trizonal y sus tiempos de vuelo en la parte central (τC), en la parte izquierda (τL) y en la parte derecha (τR). La simetría de la órbita periódica trizonal del sistema implica que: 22 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES Figura 2.4: Ciclo límite trizonal en los planos frontera x=−1yx= 1 X2=−X0y X3=−X1, por tanto, el estudio de la trayectoria entre X0yX2es suficiente para determinar por completo la órbita. En la zona central tenemos que ˙x =ACx. Tomando como punto inicial X0tenemos como solución en la zona derecha: x(τ) = XR+eARτ(X0−XR).(2.16) El punto X1de la trayectoria donde τ=τRsatisface que X1=XR+eARτR(X0−XR),(2.17) proporcionando la primera ecuación de cierre del ciclo límite trizonal. En la parte central tenemos que ˙x =ACx. Tomando como punto inicial X1 tenemos como solución: 2.3. ANÁLISIS DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE ECUACIONES DE CIERRE23 x(τ) = eACτX1,(2.18) Para el punto X2donde τ=τCtenemos que X2=eACτCX1.(2.19) Sabemos que X2=−X0, por tanto, sustituyendo en 2.19 tenemos que X0=−eACτCX1.(2.20) La ecuación 2.20 proporciona la segunda ecuación de cierre para el ciclo límite trizonal, por consiguiente, tenemos el sistema no lineal (X1=XR+eARτR(X0−XR), X0=−eACτCX1, donde se tienen dos ecuaciones vectoriales de tres componentes teniendo como incógnitas τC,τR,y0,z0,y1,z1. 24 CAPÍTULO 2. GENERACIÓN DE OSCILACIONES Capítulo 3 Oscilador electrónico BVP 3.1. Obtención del sistema modelado del oscilador electrónico BVP Para la aplicación de los resultados teóricos de los capítulos anteriores, consideramos el oscilador electrónico de Bonhoeffer-Van der Pol, que consta de dos condensadores (C1yC2de igual capacitancia C), una inductancia (L), una resistencia (r) y una conductancia no lineal (g), como se muestra en la figura 3.1: Figura 3.1: Esquema electrónico del oscilador BVP La dinámica del oscilador viene definida por las siguientes ecuaciones diferenciales: 25 32 CAPÍTULO 3. OSCILADOR ELECTRÓNICO BVP Adicionalmente a las bifurcaciones anteriores, en el oscilador de BVP se dan las condiciones de existencia de la bifurcación de Hopf de las zonas externas cuando mt −d= 0 ym > 0en las zonas externas, ver [4]. Es decir, (2 −αγ)(α−γ)−(α−γ) = (α−γ)(1 −αγ)=0⇔γHzext =1 α Capítulo 4 Simulaciones 4.1. Análisis de los resultados A la vista de la figura 3.2 con las superficies de bifurcación correspondientes a la bifurcación FCCL y Hopf-Zero del origen trazamos el siguiente esquema para la simulación de las diversas zonas del sistema: Figura 4.1: Zonas del sistema para los distintos valores de γsegún αyβ. 33 34 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Procedemos a simular los puntos 1, 2, 3 que muestra la figura 4.2, que se encuentran dentro de las condiciones del primer análisis en a), b) y c) del apartado 3.2: Figura 4.2: Diagrama de bifurcación del sistema BVP para β= 0,2. Sobre la curva del origen γ=α+βse produce una bifurcación Hopf-zero del origen de los lineales a trozos. El sistema experimenta sobre el punto 2 dicha bifurcación. En el punto 1, el origen es el único equilibrio del sistema, pasando por el punto 2 situado en la Hopf-zero del origen hasta llegar al punto 3 donde aparecen tres ciclos límites. Sobre la curva del origen γ=1 α+βse produce una bifurcación Foco Centro Ciclo Límite (FCCL), de forma que para valores de γmayores que el valor crítico de bifurcación, es decir, por encima de la curva aparece un ciclo límite. Sobre la curva del origen γ=1 αse produce una bifurcación Hopf de 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 35 las zonas externas. El uso de esta denominación se debe a que en la franja α < γ < α +βhay tres equilibrios: el origen más un equilibrio en cada zona externa. Fuera de esta franja sólo hay un equilibrio en el origen y sobre la curva de bifurcación γ=1 αse puede dar la bifurcación Hopf del infinito, incluida también en la nomenclatura Hopf de las zonas externas. Se han simulado los puntos 7, 8 y 9, de tal forma que para el punto 7 no aparece ciclo límite alguno y disminuyendo el valor crítico de bifurcación aparecen ciclos límites de gran amplitud pero finitos. Procedemos a calcular los puntos AyBde la figura 4.2, para posteriormente ser simulados. El punto Ase obtiene de: λ=1 α+β λ=α+β      Igualando ambas expresiones: 1 α+β=α+β⇔α+β= 1 ⇔α= 1 −β= 1 −0,2=0,8→γ= 1 En el punto A se cruzan las curvas de bifurcación de Hopf-zero del origen y Foco Centro Ciclo Límite (FCCL), siendo la degeneración mayor por lo que no se estudia dicho punto. El punto Bse obtiene de: λ=1 α λ=α+β      Igualando ambas expresiones: 1 α=α+β⇔β=1 α−α→α= 0,9049875;γ= 1,104987638 En el punto B se cruzan las curvas de bifurcación de Hopf-zero del origen yHopf de las zonas externas, siendo la degeneración mayor por lo que no se estudia dicho punto. 36 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En el apartado a) del primer análisis de la sección 3.2, tenemos la condición γ > α +β. El punto 1 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,5cumple la condición. Por tanto, el origen es el único equilibrio del sistema. Además γ0γ= 0,5(0,2+0,2) <1, de forma que el origen es asintitóticamente estable. Simulando mediante Dynamic Solver se obtiene la siguiente vista en 3D de las órbitas que describe el sistema: Figura 4.3: Vista 3D del punto 1 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,5. Como era de esperar por los resultados obtenidos del primer análisis en el apartado a) de la sección 3.2, el origen es el único equilibrio del sistema. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 37 Se muestra de forma clara en la simulación sobre el plano x−y, donde en lo que sigue, las rectas rojas representan los planos frontera x=−1yx= 1: Figura 4.4: Plano x−ydel punto 1 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,5. La figura 4.4 muestra el equilibrio estable del origen. 38 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En el apartado b) del primer análisis de la sección 3.2 tenemos la condición γ=α+β. El punto 2 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,4cumple la condición. Simulando mediante Dynamic Solver se obtiene la siguiente vista en 3D de las órbitas que describe el sistema: Figura 4.5: Vista 3D del punto 2 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,4. Para estos valores el sistema experimenta una bifurcación análoga a la bifurcación Hopf-zero. En la figura 4.5 aparece la trayectoria hacia la órbita periódica más externa de unos de los centros existentes en el doble cono foliado de órbitas periódicas, ver figura 2.2. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 39 La simulación sobre el plano x−ypara z= 0 que se obtiene muestra que la órbita periódica más externa del centro lineal existente para el valor crítico de la bifurcación Hopf-zero del origen es atractiva. Figura 4.6: Plano x−ydel punto 2 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,4. La figura 4.7 muestra el centro lineal que aparece en z= 0 entre las fronteras x=−1yx= 1: Figura 4.7: Centro lineal restringido de la zona central C. 40 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En la figura 4.8 se muestran diversas órbitas periódicas pertenecientes al doble cono (ver figura 2.2). Se han dibujado varias órbitas de los centros existentes para diferentes valores de z. Figura 4.8: Plano x−ydel punto 2 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,3. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 41 En el apartado c) del primer análisis de la sección 3.2 tenemos la condición γ < α +β. El punto 3 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,3cumple esta condición y la condición añadida de que γ0<1. Por tanto, son generados tres ciclos límites en la bifurcación Hopf-zero del origen de la zona central, uno de ellos trizonal estable y dos bizonales inestables. Simulando mediante Dynamic Solver se obtiene la siguiente vista en 3D de las órbitas que describe el sistema: Figura 4.9: Vista 3D del punto 3 de coordenadas α= 0,2yγ= 0,3. Por los resultados obtenidos del primer análisis en el apartado c) de la sección 3.2, se muestra la aparición de un único ciclo límite trizonal. 48 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Comenzamos la continuación partiendo del punto 5 aumentando γ. Haciendo uso de los desarrollos en serie correspondientes a la bifurcación Foco Centro Ciclo Límite (FCCL) publicados en [1], tenemos que y0,z0,τRyτC para ciclos límites trizonales tienen la siguiente expresión: y0=λ0−3π 21/3 ω2 0"εσ1(λ2 0+ω2 0) ω3 0[d−mλ0+ω2 0(−t+λ0)]#1/3 +O(ε). z0=−3π 21/3 ω2 0"εσ1(λ2 0+ω2 0) ω3 0[d−mλ0+ω2 0(−t+λ0)]#1/3 +O(ε4/3). τC=π ω0−22/3(3π)1/3"εσ1(λ2 0+ω2 0) ω3 0[d−mλ0+ω2 0(−t+λ0)]#1/3 +O(ε4/3). τR= 22/3(3π)1/3"εσ1(λ2 0+ω2 0) ω3 0[d−mλ0+ω2 0(−t+λ0)]#1/3 +O(ε). A partir de las expresiones anteriores y teniendo en cuenta que ε=γ−γ0 tomamos unos valores iniciales cercanos a los de la órbita periódica más externa del centro para γ=γ0(es decir ε= 0) y ˆz=dσ1ω2 0 dσ1−λ1δ, con δ=λ0(ω2 0−m), que son y0= 0,z0= 0,τC=π ω0 ,τR= 0. Utilizamos el método de Newton para resolver las ecuaciones de cierre para ir determinando numéricamente los valores de y0,z0,τRyτCcorrespondientes a cada valor de γ. Aplicamos de nuevo la continuación con parametrización natural implementada en Mathematica aumentando el valor de γdesde 0.909091. Al llegar al valor γ= 0,9724 la convergencia del método de Newton falla y la continuación no puede seguir. Esto nos lleva a emplear un método de continuación más potente, como es el de pseudo longitud de arco con predicción de tangente. El código utilizado está implementado en Maple por el profesor y tutor del proyecto Javier Ros. Se realizó de nuevo la continuación partiendo del punto 5 con este programa llegando hasta γ= 0,9724 a partir de donde disminuye su valor, produciéndose lo que se denomina pliegue. La continuación siguió hasta valores cercanos a γ= 0,9. Como ejemplo damos el último punto de la continuación: 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 49 τc= 1,1128 ∗10−5,z0=−0,05455,y0=−179725,3,τR= 2,87988, γ= 0,90001, donde se aprecia el tamaño de y0denotando un ciclo límite de gran amplitud. Calculando para este último punto la matriz AR: t=α−γ= 0,000001 = d;m= 2 −αγ = 1,19. Comprobamos que sus autovalores son 0±1,09087iy 0, es decir, los correspondientes a una bifurcación Hopf-zero de las zonas externas que produce un ciclo límite de gran amplitud. Con esto se ha logrado continuar el ciclo límite desde su nacimiento en la bifurcación FCCL hasta su muerte en una bifurcación Hopf del infinito. En las figuras 4.17 y 4.18 se ilustra la continuación desde el punto 5 (FCCL) hasta Hopf de las zonas externas. Figura 4.17: Continuación del punto 5: τRfrente a γ. 50 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En la figura 4.18 se aprecia como la amplitud del ciclo límite aumenta hasta infinito. Figura 4.18: Continuación del punto 5: y0frente a γ. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 51 Se han dibujado mediante Mathematica varios puntos de continuación obtenidos a partir de la continuación que se implementó en Maple: Figura 4.19: Vista 3D de los ciclos límites para distintos valores de γde la continuación del punto 5. En la figura 4.19 el ciclo límite de tamaño más pequeño corresponde a la órbita periódica más externa del centro lineal existente en el punto 5. 52 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Procedemos a simular ahora los puntos 7, 8, 9 que muestra la figura 4.2, donde el sistema experimenta una bifurcación Hopf en las zonas externas, que en este caso es Hopf del infinito. En el punto 7, de coordenadas α= 0,7 yγ= 1,6, simulando se obtiene: Figura 4.20: Vista 3D del punto 7 de coordenadas α= 0,7yγ= 1,6. Como se observa en simulación, no aparece ningún ciclo límite, por tanto, las trayectorias del sistema tienden al infinito. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 53 En el punto 8, de coordenadas α= 0,7yγ= 1,4, simulando se obtiene: Figura 4.21: Vista 3D del punto 8 de coordenadas α= 0,7yγ= 1,4. Como se observa en simulación, las trayectorias del sistema alcanzan un ciclo límite de gran amplitud pero finita, que se encuentra cercano a la órbita periódica del infinito que existe para γHe=1 α=1 0,7= 1,42857. 54 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En el punto 9, de coordenadas α= 0,7yγ= 1,2, simulando se obtiene: Figura 4.22: Vista 3D del punto 9 de coordenadas α= 0,7yγ= 1,2. 4.1. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 55 Se tiene un equilibrio estable y se observa un ciclo límite trizonal: Figura 4.23: Plano x−ydel punto 9 de coordenadas α= 0,7yγ= 1,2. El ciclo límite trizonal bifurca de la órbita periódica del infinito y ha reducido su tamaño al alejarse del valor crítico de la bifurcación γHe=1 α= 1 0,7= 1,42857. Para completar la información anterior se utilizó el código de continuación de pseudo longitud de arco en Maple para continuar el ciclo límite generado por la bifurcación Foco Centro Ciclo Límite (FCCL) en el punto 10 (α= 0,7,γ= 0,9) hasta llegar a la bifurcación de Hopf del infinito (γ=1 0,7). 56 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES En las figuras 4.24 y 4.25 se ilustra la continuación del punto 10 desde la bifurcación Foco Centro Ciclo Límite (FCCL) hasta la bifurcación Hopf-zero de las zonas externas. Figura 4.24: Continuación del punto 10: τRfrente a γ. Figura 4.25: Continuación del punto 10: y0frente a γ. En la figura 4.25 se aprecia como la amplitud del ciclo límite aumenta hasta infinito. Bibliografía [1] E. Freire, E. Ponce, and J. Ros. A new methodology for limit cycle bifurcation from infinity in n-dimensional symmetric piecewise linear control systems. A Preprints Volume 1st IFAC Conference on Analysis and Control of Chaotic Systems, 4:Chaos’06*. 237. 242, 2006. [2] Y. Nishiuchi, T. Ueta, and H. Kawakami. Stable torus and its bifurcation phenomena in a simple three-dimensional autonomous circuit. Chaos, Solitons and Fractals, 27:941–951, 2006. [3] E. Ponce, J. Ros, and E. Vela. Unfolding the fold-hopf bifurcation in piecewise linear continuous differential systems with symmetry. Nonlinear Phenomena 250, 34 46, 4:451–475, 2013. [4] E. Ponce, J. Ros, and E. Vela. A unified approach to piecewise linear hopf and hopf-pitchfork bifurcations. Springer, 4:Chapter 3, 2013. 57