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La Gace a de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 1, Págs. 109–133 109
El diablo de los núme os
Sección a ca go de
Ja ie Cille uelo
Un p ime encuen o con la Hipó esis de Riemann y su
comp obación numé ica
po
Juan A ias de Reyna y Jan an de Lune
1. In oducción
1.1. Los o ígenes: Desde Euclides a Eule /Chebyshe
Desde la an igüedad, los núme os p imos 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,
37,41,43, ... han ascinado a la humanidad. Pa ece imp obable que lleguemos a
conoce los de alles de cómo el homo sapiens omó conciencia de la noción de núme o
p imo, aunque sabemos que Pi ágo as lo había hecho ya en el 550 a. C.
El lib o IX de los Elemen os de Euclides (300 a. C.) con iene algunos documen os
esc i os incluyendo a ios eo emas sob e los núme os p imos. En pa icula , su
demos ación (po con adicción) de la exis encia de in ini os núme os p imos se ha
con e ido en un clásico y se encuen a en los p ime os capí ulos de la mayo ía de los
lib os elemen ales sob e eo ía de núme os.1En é minos de la no ación mode na,
que consis e en esc ibi π(x)pa a deno a el núme o de p imos meno es o iguales
que x, el eo ema de Euclides se puede enuncia de la o ma l´ımx→∞ π(x) = ∞.
Al ededo del 240 a. C., E a ós enes ideó un mé odo simple pe o ingenioso pa a
gene a los p imos po medio de la c iba que lle a su nomb e, y que se basa en el
siguien e p incipio: Si n > 1yp-npa a odo p≤√nen onces nes p imo.
A eces es e mé odo se desc ibe, en un ono algo despec i o, como ú il sólo
pa a angos co os. Sin emba go, después de p e-calcula odos los p imos ≤n
en un bloque de c iba de longi ud n, podemos ol e a usa es e mismo bloque
epe idamen e, de mane a que el ango de la c iba se con ie e en n2. Hoy en día,
incluso con un o denado pe sonal puede uno ácilmen e pone n= 10000000, de
1También nos gus a especialmen e la demos ación combina o ia elemen al de Pólya:
√n2π(n)≥n.
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o ma que el ango de la c iba se á 1014. Es a c iba ex endida de E a ós enes es a
menudo muy ú il en el es udio de unciones a i mé icas mul iplica i as elacionadas
con los p imos ales como la unción de Möbius µ(n). Pa a más de alles e [35].
Du an e oda la his o ia conocida de la eo ía de los núme os p imos, han pe -
du ado es cues iones:
(1) cómo de e mina si un núme o dado nes o no p imo,
(2) cómo encon a los ac o es p imos de ncuando se sabe que nes compues o,
(3) cuán os p imos hay no supe io es a un núme o eal posi i o xg ande.
En la mayo pa e del abajo sob e los núme os p imos, el Teo ema Fundamen al
de la A i mé ica juega un papel c ucial:
Todo en e o posi i o mayo que 1se esc ibe como p oduc o de p imos de mane a
única sal o po el o den de p esen ación de los ac o es.
Que es o no es simplemen e una i ialidad puede e se en algunos ejemplos
donde no ocu e: en el conjun o de los en e os pa es enemos 36 = 6 ×6 = 2 ×18 y
en el anillo {a+bi√5 : a, b ∈Z} enemos que 6=2×3 = (1−i√5)(1+i√5). Du an e
siglos los ma emá icos pa ecen habe enido conciencia del Teo ema Fundamen al de
la A i mé ica, pe o ue Gauss el p ime o que lo enunció y demos ó igu osamen e.
Una o mulación equi alen e es la a i mación de que los loga i mos de los p imos son
linealmen e independien es sob e Q.
Pa a más de alles sob e los o ígenes de la eo ía de los núme os p imos eco-
mendamos enca ecidamen e el lib o de Na kiewicz [52] y la in oducción del lib o de
Landau [38].
1.2. El nue o en oque de Eule a la eo ía de los núme os p imos
No ue has a el siglo XVIII cuando Eule p esen ó una nue a demos ación del
eo ema de Euclides ( e [18, Theo em 19]). Eule conside a la se ie a mónica eal
∞
X
n=1
1
ns,(sólo con e gen e pa a s > 1) (1)
y comienza mos ando que su suma, hoy deno ada po ζ(s), iende a ∞cuando s↓1.
La no edad de Eule consis e en conec a dicha suma que in oluc a a odos los
núme os na u ales con un p oduc o sob e odos los p imos:
X
n≥1
1
ns=Y
p1−1
ps−1
,(s > 1).(2)
La idea básica de es a igualdad es bas an e simple. Esc ibamos 1−1
ps−1= 1+ 1
ps+
1
p2s+··· y mul ipliquemos en (2). El esul ado se á una suma in ini a de acciones
de la o ma 1
(pe1
1···pek
k···)s. La demos ación se concluye obse ando que odos los
núme os na u ales mayo es que 1 se pueden esc ibi como p oduc o de po encias
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de p imos (y de mane a única como consecuencia del Teo ema Fundamen al de la
A i mé ica). Es po es o que la igualdad (2) es a menudo llamada el análogo analí ico
de es e eo ema. Eule azona en onces como sigue: Si sólo hubie a un núme o ini o
de p imos, en onces el lími e del p oduc o cuando s↓1, y po an o el de (1), se ía
cla amen e ini o. Es a con adicción p ueba que debe habe in ini os p imos.
Pe o es a nue a demos ación o ece mucho más. Si omamos loga i mos en (2),
u ilizando el desa ollo de Taylo de log(1 −x)es ácil e que
logX
n≥1
1
ns=X
p
1
ps+R(s),(3)
donde R(s)es una unción aco ada uni o memen e pa a s↓1. Tomando el lími e
cuando s↓1se deduce que la suma de los in e sos de los p imos es di e gen e. Es
deci , no sólo hay in ini os p imos, sino que son lo su icien emen e densos pa a que
la suma de sus in e sos di e ja.
Después de Eule ue Chebyshe [11] quien dio el siguien e paso. Ob u o el
e dade o o den de π(x)al p oba , con mé odos combina o ios, que
0.92129. . . ≤l´ım in
x→∞
π(x)
x/ log x≤l´ım sup
x→∞
π(x)
x/ log x≤1.10555. . . (4)
También p obó que si l´ımx→∞ π(x)
x/ log xexis e, en onces es e lími e debe se igual a 1.
2. El en oque de Riemann a ζ(s)pa a scomplejo
2.1. El a ículo de Riemann (3 de no iemb e de 1859)
En el único abajo publicado po Riemann sob e Teo ía de Núme os [65], su
idea no edosa ue conside a ζ(s)como una unción de a iable compleja s=σ+i ,
ex endiendo así el p oduc o de Eule pa a alo es complejos de scon Res > 1.
Riemann deno a po ζ(s)la unción holomo a así de inida, y p ueba que se ex iende
a una unción me omo a sob e Ccon un único polo (simple) en el pun o s= 1 con
esiduo 1. Pa a es a unción me omo a p ueba a con inuación la ecuación uncional
si (s) = π−s/2Γ(s/2)ζ(s)en onces (s) = (1 −s)(5)
que (usando p opiedades conocidas de Γ(s)) puede ambién esc ibi se como
ζ(s) = χ(s)ζ(1 −s)donde χ(s) := 2sπs−1senπs
2Γ(1 −s).(6)
De es a ó mula se deduce inmedia amen e que la unción ζ(s)se anula en los pa es
nega i os y en ningún o o si io si Re(s)<0. Es os ce os se denominan ce os i iales
de la unción ζ(s).
Riemann da dos p uebas de la p olongación analí ica y de la ecuación uncional.
La segunda de ellas u iliza la ecuación uncional de una unción he a (la unción
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ψ(x)en (8), más abajo) y se ha con e ido en un modelo de la elación exis en e
en e unciones Lmás gene ales y las unciones modula es.
Riemann ambién in oduce las unciones en e as ξ(s)yΞ( )median e las ecua-
ciones2
ξ(s) = s(s−1)
2π−s/2Γ(s/2)ζ(s)yΞ( ) = ξ(1
2+i ),(7)
y ob iene la exp esión in eg al
Ξ( )=4Z∞
1
dx3
2ψ0(x)
dx x−1
4cos(1
2 log x)dx donde ψ(x) = ∞
X
n=1
e−πn2x,(8)
en la que cla amen e emos que Ξ( )es eal pa a eal.
Los ce os de la unción ξ(s)son exac amen e los ce os de la unción ζ(s)en
0≤Re(s)≤1, lo que se conoce como banda c í ica. Po an o es udia los ce os
no i iales de la unción ζ(s)es equi alen e a es udia los ce os αde ξ(s). La
unción Ξ(s)consis e simplemen e en un cambio de a iable donde la banda c í ica
se ans o ma en la egión |Im(s)| ≤ 1
2.
Riemann a i ma que el núme o de ce os αde Ξ(s)con 0≤Reα≤Tes
T
2πlog T
2π−T
2πcon un e o aco ado po Clog T, y da una idea muy esquemá i-
ca de la demos ación. Riemann con inúa diciendo:
«Uno encuen a, de hecho, en o no a es a can idad de aíces eales den o
de es os lími es, y es muy p obable que odas las aíces sean eales.
Na u almen e uno quisie a ene una demos ación igu osa de es o, pe o
he dejado de lado la búsqueda de es a demos ación después de algunos
ugaces in en os anos po que no es necesa io pa a el obje i o inmedia o
de mi in es igación.»
El agmen o «... y es muy p obable que odas las aíces sean eales» se ha con e -
ido en la amosa Hipó esis de Riemann (HR). La b e edad de es e a ículo sólo nos
pe mi e a a una pa e muy limi ada de la abundan e li e a u a sob e la Hipó esis
de Riemann.
Riemann e mina su es udio de los ce os de Ξ( )dando una idea muy esquemá ica
de la demos ación de la ó mula p oduc o
Ξ( ) = Ξ(0)Y
α1− 2
α2,(9)
donde el p oduc o eco e odos los ce os αde Ξ( ).
Es ablecidos es os elemen os de la eo ía de la unción ze a e o na al obje o
p incipal de su abajo, que es ob ene una ó mula pa a π(x), el núme o de p imos
≤x. Conside a en su luga la unción π0(x)que es igual a π(x)si xno es un núme o
p imo, mien as que π0(p) = π(p)−1
2, y de ine Π0(x) = Pn1
nπ0(x1/n).
2Como ac ualmen e es habi ual, no seguimos aquí las no aciones de Riemann.
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En onces es ablece la ó mula explíci a (donde Li(x) = Rx
0(log u)−1du es la un-
ción loga i mo in eg al)
Π0(x) = Li(x)−X
αLi(x1
2+αi) + Li(x1
2−αi)+Z∞
x
1
u2−1
du
ulog u−log 2.(10)
La pa e más delicada de la demos ación, el in e cambio de una suma y una
in eg al, se a a simplemen e diciendo que pa a jus i ica la se ía necesa io un es udio
adicional de la unción Ξ( ).
También menciona que π0(x)puede se ecupe ada po medio de la elación
π0(x) = ∞
X
m=1
µ(m)
mΠ0(x1/m).(11)
El abajo e mina con algunos comen a ios sob e la posible in luencia de los
é minos «oscila o ios» en la ó mula (10) sob e la densidad de los núme os p imos.
2.2. La ca a de Riemann a Weie s ass (26 de oc ub e de 1859)
En el Legado de Riemann, conse ado en la biblio eca de la Uni e sidad de
Gö ingen, se encuen a el bo ado de una ca a de Riemann a Weie s ass que
explica muchas cosas sob e el abajo publicado de Riemann. El 11 de agos o de 1859,
Riemann ue elegido miemb o co espondien e de la Academia de Be lín. Debido a
es o Riemann, acompañado po Dedekind, hizo un iaje a Be lín en sep iemb e
de 1859. En Be lín, Riemann se encon ó con Weie s ass, K onecke , Kumme ,
Bo cha d , ... El abajo de Riemann [65] es su p ime a comunicación a la Academia
de Be lín. E a na u al que ue a publicada en la e is a mensual de la Academia,
Mona sbe ich e de Be line Akademie, de la cual Weie s ass e a edi o . La longi ud
de una comunicación en el Mona sbe ich e e a usualmen e de dos o es páginas. El
3 de no iemb e de 1859 Kumme leyó la comunicación de Riemann en la Academia
de Be lín. P esen amos un b e e esumen de lo que Riemann esc ibió a Weie s ass.
En p ime luga esc ibe que oda ía no ha acabado su abajo sob e la ecuencia
de los p imos, y que sólo po la insis encia de K onecke en ía es e b e e ensayo a
la Academia.
Si, a pesa de sus es ue zos po se b e e, el ensayo no es conside ado su icien e-
men e co o pa a una comunicación a la Academia, espe a que a pesa de odo sea
acep ado.
Riemann pa ece es a p eocupado po la longi ud de su a ículo. Po consiguien-
e, las demos aciones no se dan con el de alle su icien e. En pa icula hay dos
a i maciones pa a las cuales no da ni siquie a una idea de la p ueba. Riemann de a-
lla exac amen e a qué a i maciones se es á e i iendo. La p ime a de ellas, que po
con eniencia deno a emos po (A), es especialmen e in e esan e pa a noso os:
(A) «que en e 0yThay ap oximadamen e T
2πlog T
2π−T
2π aíces eales
de la ecuación Ξ(α)=0.»

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Riemann ambién esc ibe: (i) que es as dos a i maciones siguen de un desa ollo
de la unción Ξ( )que no ha simpli icado su icien emen e pa a pode comunica lo;
(ii) que, a pesa de es o, pa a odas las demás a i maciones, pa a las cuales sí da
una idea de la p ueba, es á segu o que Weie s ass pod á ellena los huecos; y
(iii) que quisie a que Weie s ass le hicie a sabe si el ensayo apa ece á inalmen e
en el Mona sbe ich e, pues o que en o o caso él ex ende ía el abajo pa a que sea
publicado po Webe en la e is a de «nues a sociedad ma emá ica local». Aquí la
ca a con inúa hablando sob e o o ema ma emá ico di e en e.
In encionadamen e o no, Riemann pudo habe sob ees imado la capacidad de sus
colegas. Apa en emen e, ni Weie s ass, ni ningún o o ma emá ico del momen o,
pa ecie on habe en endido las ideas de las p uebas que Riemann p opo ciona pa a
demos a sus a i maciones.
El abajo de Riemann [65] ue publicado en 1859. Una gene ación más a de,
en Gö ingen, sus suceso es Klein, Hilbe y Landau pensaban que el abajo e a
b illan e y uc í e o, pe o que Riemann no había p obado casi nada, que odo e an
azonamien os heu ís icos. De acue do con Landau, Riemann había p obado úni-
camen e la ecuación uncional y había o mulado seis conje u as. Es o es bas an e
so p enden e pues o que la segunda edición de las Ob as Comple as, que habían sido
publicadas po Webe en 1892, con enían un agmen o de la ca a de Riemann a
Weie s ass. Pa ece que ni Klein, ni Hilbe o Landau habían mi ado el Legado de
Riemann conse ado en la biblio eca de Gö ingen, a pesa de que el biblio eca io
Dis el había señalado que exis ía ma e ial ele an e.
Sólo podemos imagina cuán o mayo hubie a sido nues a comp ensión de las
ideas de Riemann si él se hubie a sen ido lib e de usa unas pocas páginas más pa a
comunica sus pensamien os. (Recomendamos aquí la lec u a de Neuenschwande
[53] y Que [64].)
Mien as que econocemos el alo de la in e ención de K onecke , es ob io
que los edi o es pudie on se i mejo a la comunidad ma emá ica. Como Riemann
esc ibe a Weie s ass [67], él no conside a su abajo sob e la densidad de los p imos
acabado. Sin emba go, cede an e el deseo de K onecke y en ía a Be lín el «b e e
ensayo» sob e el ema.
2.3. El Legado y Siegel
El p ime ma emá ico in e esado en el Legado de Riemann ue Bessel-Hagen,
quien encon ó algunas ó mulas nue as. El Legado es á muy lejos de se un ma-
nusc i o inal y pulido, y Siegel ue el p ime ma emá ico capaz de ex ae algo con
sen ido de él.
Siegel [73] dice que en el Legado de Riemann hay dos esul ados sob e la unción
ze a no publicados p e iamen e: (i) una ó mula encon ada po el biblio eca io
Dis el, que es un desa ollo asin ó ico de ζ(s)en cualquie banda σ1≤Res≤σ2
(el p ime é mino de es e desa ollo había sido encon ado ambién po Ha dy y
Li lewood (1920) en su «ecuación uncional ap oximada»); y (ii) una exp esión pa a
la unción ze a po medio de in eg ales encon ada po Bessel-Hagen.
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Siegel esc ibe que no ha encon ado en el Legado ningún in en o de p oba ni
la Hipó esis de Riemann, ni que haya un núme o in ini o de ce os eales de Ξ( ),
y a i ma que posiblemen e Riemann ha llegado a su a i mación (A) a pa i de su
desa ollo asin ó ico (12) de Z( )po algún azonamien o heu ís ico.
El ca ác e deso denado de las no as de Riemann, dice Siegel, hacen necesa io
e o mula los esul ados de Riemann. Lamen amos que después de lee el abajo
de Siegel no quede en e amen e cla o qué pa e es de Riemann y qué pa e de Siegel.
Siegel habla sob e las ideas e óneas ace ca de Riemann de los con empo áneos de
Klein. También hace bas an e explíci o el hecho de que Riemann es aba en posesión
de écnicas analí icas muy po en es. Siegel esc ibe la ó mula asin ó ica
Z( ) := eiϑζ(1
2+i )=2
m
X
n=1
cos(ϑ− log n)
√n+ (−1)m−1
2π−1/4R, (12)
ϑ=−
2log π+ a g Γ1
4+i
2, m =
2π,(13)
R=C0+C1 −1/2+C2 −1+C3 −3/2+··· ,(14)
donde los coe icien es Cj ienen exp esiones bas an e complicadas.
Siegel a i ma que Riemann usó es a ó mula pa a calcula algunos de los p ime os
ce os (al menos 3) de la unción Ξ( ).
La nue a ó mula in eg al publicada po Siegel podemos esc ibi la como
ζ(s) = R(s) + χ(s)R(1 −s)donde R(s) = Z0.1
x−seπix2
eπix −e−πix dx. (15)
Aquí el camino de in eg ación es una línea ec a de pendien e 1pasando po x= 1/2,
y la unción χ(s)es la misma que en la ecuación uncional. (És a no es la o ma dada
po Siegel, quien ambién se des ía de la no ación de Riemann.)
Siegel e mina su abajo con un es udio de la unción R(s)(una no ación que
hemos in oducido aquí en hono de Riemann). Esc ibe que Riemann ambién consi-
de ó es a unción y a ó de es udia sus ce os, su módulo |R(1
2+i )|, y su a gumen o
a g R(1
2+i ).
De su es udio de los ce os de R(s), Siegel ob iene el eo ema de que hay al menos
c T ce os eales de Ξ( )con 0< < T, y concluye su a ículo a i mando que los
medios ac uales (en 1932) no pe mi en ob ene una p ueba de la a i mación (A) de
Riemann.
2.4. Después del Legado
No enemos azones pa a duda de la since idad de Riemann en su abajo [65].
Además, las ideas que p opo ciona pa a las p uebas no han sido desac edi adas.
Las únicas cues iones se ias se e ie en a las dos ase ciones incluidas sin un esque-
ma de p ueba. La segunda, que a a del in e cambio de una suma y una in eg al,
ue demos ada po Landau. Po an o, sólo la a i mación (A), ela i a al núme o de
ce os de Ξ( )pe maneció (y aún pe manece) sin p oba .
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Ha dy [25] ue el p ime o en p oba que hay in ini os ce os eales. Más a de
Selbe g [72] p obó que hay al menos CT log T aíces eales. A con inuación Le inson
[43] es ableció que al menos 1
3de las aíces de Ξ( )=0son eales. Es o ha sido
ampliado po Con ey [13], quien ha p obado que una acción de al menos 40.77%
de las aíces son eales. Sin emba go, has a es e momen o, no hay p ueba de la
a i mación (A) de Riemann.
Es in e esan e que las palab as de Riemann (en [65] y [67]) cla amen e implican
que iene una demos ación de (A). Es o con as a ue emen e con su econocimien-
o en [65] de que no iene una demos ación de la Hipó esis de Riemann.
Siegel no encuen a e idencia de que Riemann u iese una demos ación pa a su
a i mación (A). Sin emba go, es o no p opo ciona una e idencia concluyen e pues-
o que Siegel no encuen a ampoco p ueba de ninguna o a de las ase ciones de
Riemann.
Aquí es ap opiado econoce el abajo de Neuenschwande [54]. De acue do con
Neuenschwande , casi oda la co espondencia cien í ica de Riemann se ha pe dido.
Algunas de sus ca as pueden se econs uidas median e los bo ado es epa idos
en a ios ozos de papel en e las (más o menos) 4000 hojas que comp enden su
Legado.
Schilling, casado con Ida, la única hija de Riemann, esc ibe a Webe
«Al p incipio mamá no podía sopo a la idea de que los papeles de
Riemann no pe manecie an ya en manos p i adas; pa a ella, e an algo
sag ado, y no le ag adaba pensa que ue an accesibles a cualquie es u-
dian e, quien pod ía en onces ambién lee las no as ma ginales, algunas
de las cuales son pu amen e pe sonales.»
És a y o as e e encias amilia es sugie en que muchos de los documen os pe -
sonales de Riemann deben habe pe manecido en posesión de los amilia es de Rie-
mann, pe o ac ualmen e se igno a el pa ade o de es os documen os.
3. La e i icación numé ica de la HR
3.1. Los p ime os ce os
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figu a 1: ζ(1
2+i )pa a 0≤ ≤22.
Con obje o de localiza los p ime os ce-
os de ζ(s)en la banda c í ica 0< σ < 1,
≥0, necesi amos se capaces de calcula
ζ(s)con conside able p ecisión. Hoy día a-
les cálculos son mucho más áciles de ea-
liza que en los días de G am, Backlund y
Hu chinson, quienes, además de Riemann
mismo, ue on de los p ime os en calcula
es os ce os.
Una ex ensa desc ipción de los p ime-
os cálculos a mano se encuen a en G am
[23], Backlund [1] y [2], Hu chinson [29], y
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Edwa ds [17]. Incluso an es de la época de G am, en 1903 se sabía que ζ(s) enía
in ini os ce os en la banda c í ica pe o no se sabía mucho más sob e su si uación
p ecisa. Po ejemplo, on Mangold oda ía c eía que pod ía exis i un ce o con
12 < <13. Ve Na kiewicz [52, p. 189].
Comenzamos nues a in oducción con un en oque algo in ui i o (haciendo uso
de una mode na he amien a compu acional: Ma hema ica).
Todos los abajos numé icos iniciales sob e ζ(s)usa on la ó mula de sumación
de Eule -Maclau in:
ζ(s) =
N−1
X
n=1
1
ns+1
2N−s+N1−s
s−1+
m
X
k=1
N−s−2k+1 B2k
(2k)!
2k−2
Y
j=0
(s+j) + E o ,(16)
donde los B2kson los núme os de Be noulli (B2=1
6,B4=−1
30 ,B6=1
42 , ...). Pa a
hace una elección económica de Nymnos basamos en Cohen y Oli ie [12]. En
is a de la ecuación uncional (5) y ζ(s) = ζ(s), podemos es ingi la búsqueda de
ce os a 1
2≤σ < 1, ≥0. Pues o que ácilmen e emos que ζ(σ)<0pa a 0< σ < 1,
podemos ambién es ingi la búsqueda a > 0.
Pa a hace una conje u a in o mada sob e la si uación del p ime ce o hacemos
la siguien e obse ación: en la in eg al de con o no 1
2πi Hζ0(s)
ζ(s)ds pod íamos usa
5
10
15
20
0.5
1
1.5
Figu a 2: |ζ(2 + i )|pa a 0≤ ≤20.
la on e a de un ec ángulo adecuado so-
b e el que ζ(s)no enga polos ni ce os. No
necesi amos calcula es a in eg al de con-
o no con g an p ecisión po que su alo
se á siemp e un en e o.
Supongamos que el ec ángulo enga
é ices s1,s2,s3ys4. En 1903 se sabía
que ζ(i )6= 0 yζ(2+i )6= 0 pa a odo . De
mane a que podemos escoge los lados e -
icales del ec ángulo sob e σ= 0 yσ= 2.
A con inuación debemos escoge los lados
ho izon ales s1→s2ys3→s4. Pa a encon a lados ho izon ales sob e los que
ζ(s)sea g ande, p ime o buscamos un al que |ζ(2 + i )|sea g ande ( e ig. 2).
Hay dos candida os: ≃10 y ≃18. (Ya emos que hay un mínimo local p óximo
a ≃14.) Aho a ep esen amos |ζ(σ+i )|a es as al u as (podemos es ingi nos
a1
2≤σ < 1). Es os dibujos dejan pocas dudas. (Podemos ambién segui a Hu -
chinson [29] pa a un a amien o más igu oso.) Así, p ime o in en amos ap oxima
In := 1
2πi Hζ0(s)
ζ(s)ds sob e el bo de del ec ángulo con é ices: s1=−i,s2= 2 −i,
s3= 2 + 10iys4= 10i.
Ob enemos en es e caso In ≃ −1, que debe se a causa del polo simple en s= 1
con esiduo 1. De mane a análoga, en e = 10 y = 18 ob enemos In ≃1.
Usualmen e, los ce os β+iγ de ζ(s)con γ > 0se o denan en una sucesión
ρn=βn+iγnde mane a que γn+1 ≥γn.
Así que hay p ecisamen e un ce o (¡en la línea c í ica! pues o que los ce os ue a de
la línea de exis i son pa ejas, simé icos espec o de la línea c í ica) con 0< <18.
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124 El diablo de los núme os
un in e alo [gk, gk+1, . . . , gk+L)donde los pun os de los ex emos gkygk+Lson
pun os de G am buenos y los del in e io gk+1, . . . , gk+L−1pun os de G am malos.
Es e bloque se deno a po Bk(o mejo Bk,L). No emos que un bloque de Rosse de
longi ud L= 1 es simplemen e un in e alo de G am bueno.
Un bloque de Rosse de longi ud Lse dice bueno si con iene al menos Lce os
de Z( ). En o o caso se dice malo.
La egla de Rosse (de la que exis en in ini as excepciones) dice: «Todos los
bloques de Rosse son buenos.»
P esen amos algunos ejemplos de las p ime as apa iciones de bloques de Rosse :
L= 2 comienza en n=125 L= 6 comienza en n=1 181 229
L= 3 comienza en n=2144 L= 7 comienza en n=13 869 654
L= 4 comienza en n=18243 L= 8 comienza en n=112 154 948
L= 5 comienza en n=68084 L= 9 comienza en n=542 964 969
El mayo bloque de Rosse encon ado has a hoy es L= 13 ( e Gou don [20]
y [21]). El esquema de ce os de un bloque de Rosse es la sucesión ini a de en e os
que cuen an el núme o de ce os de Z( )en cada in e alo de G am del bloque y sus
ecinos ele an es. Ponemos en e pa én esis los en e os co espondien es al bloque
de Rosse . Usando es a no ación, la p ime a iolación de la egla de Rosse ocu e
en n= 13999525, con L= 2 y esquema de ce os (00)3.
3.7. Sepa ación sis emá ica de los ce os en la banda c í ica
En la p ác ica, la e i icación numé ica de la HR en un ango dado de la banda
c í ica consis e en sepa a los ce os de Z( ), o, equi alen emen e, encon a su icien-
es cambios de signo de Z( ). Po an o, ¡su obje i o no es calcula los ce os de Z( )
con cie o g ado de p ecisión! No emos de an emano que no se ha obse ado que se
enga Z(g(n)) = 0 pa a ningún n≥ −1.
Los p incipales pasos de la es a egia en el p oceso de sepa ación son (b e emen-
e):
(0) obse a que el p ime pun o de G am g(−1) es bueno;
(1) calcula Z( )en el siguien e pun o de G am;
(2) mien as que es e (siguien e) pun o de G am sea bueno, hemos de ec ado de
hecho (al menos) un ce o (=cambio de signo), y con inuamos con el siguien e
pun o de G am;
(3) en cuan o de ec amos un pun o de G am malo g(n+ 1) se inicia un bloque de
Rosse Bn,L := [g(n), g(n+ 1), . . . , g(n+L−1), g(n+L)) de longi ud L≥2;
(4) en un bloque Bn,L implíci amen e hemos de ec ado ya L−2ce os (en el
in e alo [g(n+ 1), . . . , g(n+L−1)));
(5) así que « al an dos ce os»;
(6) aho a buscamos los «dos que al an»:

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La Gace a ?Secciones 125
(6a) p ime o buscamos, den o del bloque de Rosse , un (=uno) cambio de
signo «ex a»,
(6b) si lo encon amos, el bloque es bueno y seguimos con el siguien e pun o
de G am g(n+L+ 1),
(6c) si no enemos éxi o buscando los «dos que al an», buscamos en uno o
más bloques de Rosse ecinos,
(6d) si oda ía no enemos éxi o: imp imi un mensaje adecuado y con inua ,
simplemen e ingiendo (!) que hemos encon ado los «dos que al an» ( a-
les bloques de Rosse « a iesos» se án examinados más a de «a mano»);
(7) con inuamos con el cálculo de Z(g(n+L+ 1)) y epe imos el p ocedimien o
de sepa ación esquema izado a iba.
Un ing edien e esencial en la es a egia an e io es un p ocedimien o que nos ga an-
ice el signo de Z( ). Es o equie e un igu oso análisis de las ó mulas de Riemann-
Siegel y Eule -Maclau in. Un p og ama FORTRAN comple amen e de allado del
p ocedimien o esquema izado más a iba podemos encon a lo en an de Lune, e
Riele y Win e [45] o [48].
Has a aho a, es a es a egia no ha allado nunca. El p ime ejemplo de un bloque
de Rosse malo ue encon ado po B en : en n= 13999525 con longi ud 2(esquema
de ce os (00)3).
Una sepa ación e mina gene almen e aplicando el siguien e
Teo ema (B en [7, Theo em 3.2]).Sea el in e alo [g(n), g(p)) unión de Kbloques
de Rosse buenos consecu i os con
K≥0.0061log2g(p)+0.08 log g(p).(31)
En onces N(g(n)) ≤n+ 1 yN(g(p)) ≥p+ 1, donde N(T)deno a el núme o o al
de ce os σ+i en la banda c í ica con 0≤ ≤T.
El cálculo sis emá ico de allado en el esquema (1)–(7) an e io iene como p o-
pósi o es ablece N(g(n)) ≥n+ 1. Así, si el eo ema de B en se aplica, en onces la
conclusión se á que N(g(n)) = n+ 1 y que no ha sido de ec ada ninguna iolación
de HR.
De es e modo, ac ualmen e sabemos que los p ime os 1013 ce os no i iales es án
en la línea c í ica y son simples. Ve la abla de e i icación numé ica de HR al inal
del apa ado 3.1.
-2-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
Figu a 7: Z(g(n+ )) pa a −2≤ ≤4.
Todos los cálculos has a aho a han mos-
ado que los bloques de Rosse « a iesos»
del í em (6d) ocu en muy a a ez. B en
in o ma de sólo 15 bloques « a iesos» en
el in e alo 0< <32 585736. No pa ece
habe una egla gene al que p ediga dónde
se si úan los «dos que al an».
P esen amos unos pocos ejemplos in-
e esan es. En la igu a 7 conside amos, pa-
a n= 1048449112, el bloque de Rosse
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126 El diablo de los núme os
Bn,2= [g(n), g(n+ 2)). En es e caso los «dos que al an» (dos ce os muy p óximos)
es án si uados en el in e alo de G am (malo) [g(n), g(n+ 1)). De hecho, podemos
comp oba que Z(g(n+ 0.88896415) ≃ −0.0000002218. Así que es e bloque de
Rosse esul a se un bloque bueno con esquema de ce os (20).
En la igu a 8 conside amos pa a n= 30 930 927 el bloque de Rosse Bn,2=
[g(n), g(n+ 2)). En es e caso los «dos que al an» (dos ce os ex a) es án si uados
en el in e alo de G am (bueno) [g(n−1), g(n)). Así, es e Bn,2 esul a se un bloque
de Rosse malo con esquema de ce os 3(00).
-1 1 2 3 4 5
-30
-20
-10
10
20
-1
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
Figu a 8: Z(g(n+ )) pa a −2≤ ≤5(izquie da) y de alle en −1≤ ≤0(de echa).
En la igu a 9 omamos n= 61 331 766 y conside amos el in e alo [g(n), g(n+4)).
Consis e en dos bloques de Rosse adyacen es Bn,2= [g(n), g(n+ 2)) yBn+2,2=
[g(n+ 2), g(n+ 4)). En esa igu a emos que los «dos que al an» ela i os a Bn,2
y ambién pa a Bn+2,2es án simul áneamen e si uados en el in e alo de G am
(malo) [g(n+ 2), g(n+ 3)), ¡que con iene 4 ce os! De mane a que Bn,2es un bloque
de Rosse malo mien as que Bn+2,2es bueno. Los esquemas de ce os son (00)4 y
(40), espec i amen e.
12 3 4
5
10
15
20
3
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
2
Figu a 9: Z(g(n+ )) pa a 0≤ ≤4(izquie da) y de alle en 2≤ ≤3(de echa).
En Gou don [20, p. 37] el lec o puede encon a un ejemplo semejan e en el cual
hay 5 aíces en un mismo in e alo de G am (bueno).
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4. «Equi alen es» a la Hipó esis de Riemann
F u o los es ue zos ealizados pa a a a de p oba la Hipó esis de Riemann, en
nume osos ocasiones han apa ecido condiciones que son equi alen es a ella. Aunque
de momen o ninguna de ales condiciones ha sido p obada ni e u ada, y po an o
no han se ido pa a decidi sob e la e acidad de la HR, son caminos al e na i os,
algunos de los cuales con inúan siendo explo ados. Mos amos a con inuación —de
una mane a bas an e esquemá ica— a ias de es as condiciones equi alen es.
En Ti chma sh [77, chap e XIV] se encuen an condiciones necesa ias y su icien-
es pa a la HR: las condiciones de Riesz y las de Ha dy y Li lewood. Pos e io men e
ue on gene alizadas po B en [8]. La condición su icien e de Tu án dice: Si pa a
odo N∈Nlas sumas ζN(s) = PN
n=1 n−sno ienen ce os con σ > 1en onces HR
es e dade a. Desg aciadamen e es a condición no es e dade a. Mencionamos sólo
un con aejemplo: ζ23(1.00849693. . . +i8645.52442332. . . ) = 0. Pa a más in o -
mación emi imos a Spi a [74, 75], an de Lune y e Riele [47], y Mon gome y [51].
Hay ambién una condición necesa ia y su icien e elacionada con las sucesiones
de Fa ey. Los de alles pueden e se en el a ado de Landau [38, II, p. 167–177].
La condición su icien e de Me ens dice: M(x)≤√xpa a odo x≥1. Aquí
M(x) := Pn≤xµ(n), donde µ(n)es la unción de Möbius. Sin emba go, en 1985,
Odlyzko y e Riele [58] p oba on que la «conje u a de Me ens» no es e dade a.
Después de que e Riele y Odlyzko e u a an la hipó esis de Me ens, Pin z [62]
ue el p ime o en mos a que, de hecho, la p ime a iolación sucede an es de x=
exp(3.22×1064). Es a co a ue mejo ada po Ko nik y e Riele [36] a x= exp(1.59×
1040). Algunos cálculos numé icos de Ko nik y an de Lune [33] indican que el p ime
xcon M(x)>√xpuede muy bien se >102×1023 .
La hipó esis de Lindelö : ζ(1
2+i ) = O( ε)pa a odo ε > 0. Es a es imación se
sigue de la HR; sin emba go, el ecíp oco no es cie o.
Más ecien emen e se han p esen ado algunas o as condiciones necesa ias y su-
icien es pa a HR ( e ambién B uinie [10]):
(1984) Condición de Robin [68]: σ(n)< eγnlog log npa a odo n≥5041, donde
σ(n) := Pd|nd, y γes la cons an e de Eule .
(2000) Condición de Laga ias [37]: σ(n)≤h(n)+eh(n)log h(n)pa a odo n∈N,
donde h(n) := Pn
j=1 1
j.
No se han encon ado con aejemplos a es as condiciones.
(1983) Condición de Nicolas [55]: Nk
ϕ(Nk)> eγlog log Nk, donde ϕ(·)es la unción
indicado de Eule ( o ien ), y Nkes el p oduc o de los kp ime os p imos.
Es a condición se puede esc ibi ambién en la o ma
∆(k) := −
k
X
j=1
log1−1
pj−γ−log log
k
X
j=1
log pj>0.(32)
Cálculos numé icos de Ko nik y an de Lune [34], han mos ado que pa a odo
2≤k≤1013 se iene de hecho la desigualdad más p ecisa ∆(k)>1
k. También
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128 El diablo de los núme os
obse an que pa a k≥5se cumple incluso ∆(k)>1
√k(log k)2. Po an o, has a aho a
el c i e io de Nicolas se sa is ace con ampli ud.
(1992) Keipe [32] p ueba que, si la HR es e dade a, en onces
λn:= 1
nX
%1−(1 −%−1)n>0pa a odo n∈N(33)
donde, en el suma o io, % eco e los ce os complejos de la unción ze a. Li demues a
que la condición de Keipe es ambién su icien e, ob eniendo la siguien e equi alencia.
(1997) Condición de Li [44]: Los núme os λn:= P%1−(1 −%−1)nson posi i-
os pa a odo n≥1.
Respec o al c i e io de Li, emi imos al lec o a Li [44], Biane, Pi man y Yo [4],
y Oes e lé [60]. No emos que Bombie i y Laga ias [6] han p obado que el c i e io de
Li es un caso especial de un eo ema mucho más gene al. También se sabe que si
los p ime os Nce os de ζ(s)es án en la línea c í ica, en onces el c i e io de Li se
sa is ace pa a odo n≤N2. Ve [60].
Mencionamos asimismos la siguien e condición su icien e ( an de Lune, 2003):
Si, pa a cada  > 0,X
n≤N|µ(n)|− 6
π2=O(N1/4+),(34)
en onces la HR es e dade a. (En es e con ex o no emos que Pn≤N|µ(n)|puede se
calculado muy ápidamen e po medio de la c iba mencionada en el apa ado 1.1.)
Cálculos numé icos (de Ko nik y an de Lune) pa a N≤35 ×1013 indican que
Pn≤N|µ(n)|−6/π2=O(N1/4log N). Con más p ecisión, pa a odo N≤35×1013
encon a on que Pn≤N|µ(n)|−6/π2<1.126×N1/4. No emos ambién que es a
condición su icien e puede se gene alizada conside ablemen e.
Pa a inaliza , que emos ci a la condición de Báez-Dua e [3], y el hecho de
que HR es equi alen e a que la cons an e de B uijn-Newman es ≤0. Ve Wol [83].
Respec o a la cons an e de B uijn-Newman, e Odlyzko [57].
Ag adecimien os. Exp esamos nues o ag adecimien o a Tadej Ko nik (Ljubl-
jana, Eslo enia) y a He man J. J. e Riele (CWI, Ams e dam, Holanda) po sus
aliosos comen a ios c í icos de una p ime a e sión de es e abajo. También ag a-
decemos a Fos e Dieckho (Kansas Ci y, Missou i, EEUU) po su in e és en el ema
y sus suge encias pa a mejo a nues a exposición.
Re e encias
[1] R. Backlund,Übe die Nulls ellen de Riemannsche Ze a unk ion, Disse a-
ion, Helsing o s, 1916.
[2] R. Backlund,Übe die Nulls ellen de Riemannsche Ze a unk ion, Ac a Ma h.
41 (1918), 345–375.
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“GACETA-13-1” — 2010/2/13 — 21:09 — page 129 — #129 i
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La Gace a ?Secciones 129
[3] L. Báez-Dua e,A sequen ial Riesz-like c i e ion o he Riemann hypo hesis,
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[5] E. Bombie i,P oblems o he Millenium: The Riemann Hypo hesis,
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[6] E. Bombie i y J. C. Laga ias,Complemen s o Li’s c i e ion o he Rie-
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[7] R. P. B en ,On he ze os o he Riemann ze a unc ion in he c i ical s ip,
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[8] R. P. B en ,Some Real-Va iable Condi ions Equi alen o he Riemann Hy-
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[9] R. P. B en , J. an de Lune, H. J. J. e Riele y D. T. Win e ,On
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[10] J. H. B uinie ,P imzahlen, Teile summen und die Riemannsche Ve mu ung,
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[11] P. Chebyshe ,Oeu es, Vol. I, II, S . Pe e sbu g. Reimp eso po Chelsea,
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[12] H. Cohen y M. Oli ie ,Calcul des aleu s de la onc ion zê a de Riemann
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[14] F. D. C a y y J. B. Rosse ,High p ecision coe icien s ela ed o he ze a
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[15] R. Dedekind,Be nha d Riemann’s Lebenslau , en [66], pp. 507–526.
[16] J. De byshi e,P ime obsession. Be nha d Riemann and he g ea es unsol ed
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[17] H. M. Edwa ds,Riemann’s ze a unc ion. Reimp esión del o iginal de 1974
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[18] L. Eule ,Va iae obse a iones ci ca se ies in ini as, p esen ado a la Acade-
mia de San Pe e sbu go el 25 de ab il de 1737. Índice Enes om E72. El o iginal
(en la ín) puede ob ene se ía h p://ma h.da mou h.edu/~eule /. Tam-
bién podemos encon a una aducción al inglés.
[19] W. Gabcke,Neue He lei ung und explizi e Res abschä zung de Riemann-
Siegel-Fo mel, Disse a ion, Gö ingen, 1979.
[20] X. Gou don,The 1013 i s ze os o he Riemann Ze a unc ion, and ze-
os compu a ion a e y la ge heigh ,h p://numbe s.compu a ion. ee. /
Cons an s/Miscellaneous/ze aze os1e13-1e24.pd

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130 El diablo de los núme os
[21] X. Gou don y P. Sebah,h p://numbe s.compu a ion. ee. /
[22] J. P. G am,No e su le calcul de la onc ion ζ(s)de Riemann, Bull. de
l’Academie de Copenhague (1895), 303.
[23] J. P. G am,No e su les ze os de la onc ion ζ(s)de Riemann, Ac a Ma h.
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[24] J. Hadama d,É ude su les P op ié és des Fonc ions En iè es e en Pa iculie
d’une Fonc ion Considé ée pa Riemann, J. Ma h. Pu es Appl. (4) 9(1893),
171–215. (También en las Ob as de Hadama d.)
[25] G. H. Ha dy,Su les Ze os de la Fonc ion ζ(s)de Riemann, C. R. Acad. Sci.
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