13
CAPÍTULO 2
El p oblema de los
pun os pa a jugado es
con desigual des eza:
la solución de Mon mo
(1713)
JESÚS BASULTO SANTOS
JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ
FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO
Mª DOLORES PÉREZ HIDALGO
Uni e sidad de Se illa
In oducción
Pie e Rémond de Mon mo nació en Pa ís en 1678 y alleció en es a misma ciudad,
de i uela, en 1719. En su o mación u o una ue e in luencia su guía y amigo Ma-
leb anche, con el que es udió eligión, iloso ía y ma emá icas. Su apo ación al cam-
po del cálculo de p obabilidades ue su lib o Essay d’analyse su les jeux de haza d,
publicado en 1708. Se a a de un ex o sob e juegos de aza p opiamen e dicho en el
que se abo dan di e sos p oblemas, odos ellos inme sos en los juegos “ eales” que se
p ac icaban en su época. Así, nos encon amos con juegos como el Pha aon, la Basse-
e, el Lansquene , el T eize, en los que, según él mismo esc ibe, “he de e minado cuál
es la en aja o des en aja de los jugado es en odas las ci cuns ancias posibles de
es os juegos”, o juegos como el Homb e, el Pique , el Impe ial, el B elan, el Quin-
queno e, el Juego de los es dados, el Juego del haza d (dice que és e, no p ac icado
14 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III)
en F ancia, e a muy conocido en Ingla e a), el He , la Ton ine, el que él mismo llama
el Juego de la Espe anza, el T ic ac, o el que juegan los “Sal ajes” del Canadá. En
odos es os in oduce y esuel e di e sos p oblemas, mos ando cla amen e que el
ex o es de una di e sidad inusual has a el momen o. Sólo el p eceden e lib o de Ca -
dano se le pa ece un poco, pe o el que nos ocupa es mucho más ex enso y, desde lue-
go, nada pe sonal, en el sen ido de que Mon mo no incluye e lexiones pa icula es
sob e la mo al del juego o sob e sus p opias expe iencias como jugado , como sí lo
hicie a Ca dano.
La p ime a edición con iene 189 páginas además de un p e acio de 24 páginas. En
1713 apa ece una segunda edición, e isada y aumen ada, con 414 páginas y con un
p e acio e in oducción de 42 páginas. El inc emen o de páginas en és a se debe, p in-
cipalmen e, a la in oducción de un a ado sob e combinaciones y de una se ie de
ca as que in e cambia on el au o y Nicholas Be noulli, además de una ca a de Jean
Be noulli. Es a segunda edición des aca po su cuidada p esen ación, con g abados
ma a illosos en las cabece as de los capí ulos y, ambién, po que el nomb e del au o
no apa ece en la página inicial que incluye el í ulo, luga , edi o y echa.
Po ada de la 2ª edición del lib o de Mon mo
EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 15
Una de las secciones del ex o es á dedicada al ya clásico P oblema de los Pun os. Lo
hace en p ime luga pa a jugado es con igual des eza (la p obabilidad de cada jugado
de gana cada pa ida es la misma) y luego (y es a es la impo an e no edad de Mon mo )
lo ex iende al caso de jugado es con desigual p obabilidad de gana en cada pa ida (con
desigual des eza). Nos p oponemos como obje i o de es e abajo, analiza los pá a os
que es e au o dedica a es e asun o en su comple o lib o sob e juegos de aza .
Solución pa a jugado es con igual des eza
En la edición de 1708, el au o abo da es a solución. En p ime luga , se dedica a
comen a las soluciones de sus an eceso es, Pascal y Fe ma . Llama mé odo analí ico
al empleado po Pascal, mé odo que conside a “el más na u al y el más ácil”, aunque
“ iene el de ec o de se excesi amen e la go”, dado que pa a esol e un caso algo
complejo hay que eco e p e iamen e odos los casos más simples. En cambio, el
mé odo de Fe ma lo conside a “más sabio” y “exige mayo des eza”. A i ma que
es e mé odo esuel e el p oblema de una o ma muy gene al. Pa a en ende las di i-
cul ades de comp esión de es e úl imo mé odo, Mon mo inco po a la ca a comple a
que Pascal en ió a Fe ma el 24 de agos o de 1654, ca a que él encon ó en las ob as
pós umas de Fe ma publicadas en Toulouse. En es a ca a, Pascal econoce la alía
del mé odo de Fe ma pa a dos jugado es y, as a ias conside aciones o dudas, aca-
ba aplicando el mé odo de o ma co ec a pa a el caso de es jugado es.
T as la ca a, Mon mo esc ibe: El espe o que enemos po la epu ación y po la
memo ia del S . Pascal, no nos pe mi e hace no a aquí con de alle odos los allos
de azonamien o que hay en es a ca a; nos bas a á ad e i que la causa de su e o
es á en no ene en conside ación las di e sas o denaciones de las le as.
Es as palab as de Mon mo pa ecen insinua que la ca a de Pascal con enía una
la ga lis a de e o es cuando, ealmen e, la única inexac i ud que hemos encon ado es
la que él mismo ci a en el pá a o de a iba, inexac i ud que después ue co egida po
el mismo Pascal as la ca a espues a de Fe ma .
A con inuación, Mon mo comienza una sección bajo el epíg a e de P oblemas, y
en el pun o 188 (como No a I) esuel e a la mane a de Fe ma el P oblema de los
Pun os pa a es jugado es en la si uación (1, 2, 3), es ableciendo la egla gene al del
núme o máximo de pa idas en las que el juego conclui ía, (1 2 3) (3 1) 4,
+
+−−= e
inco po a una abla simila a la que p opo ciona Pascal, en la mencionada ca a, de
los posibles esul ados en el caso de que se jugasen odas esas pa idas. Es a abla le
si e pa a con a los casos que son a o ables a cada jugado y, así, esol e el p o-
blema. La misma nos ecue da una Dis ibución Mul inomial en la que 4=n y hay
es ca ego ías con igual p obabilidad, aunque la iden i icación exac a con es e mode-
lo pod ía esul a un poco o zada. Es cu ioso el hecho de que Pascal, en la ca a del
24 de agos o de 1654, hace uso de un hipo é ico dado de dos ca as pa a jus i ica el
mé odo de Fe ma pa a dos jugado es mien as que Mon mo , en es e ex o, usa un
dado de es ca as pa a jus i ica la solución de Fe ma pa a es jugado es.
16 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III)
Es e pun o e mina con un in en o sa is ac o io de educción del mé odo. En luga
de analiza los esul ados de las 4 pa idas, p opone hace lo mismo, pe o sólo con las
3 p ime as de esas 4, dado que la cua a, o sea, la úl ima pa ida, ha de se pa a el
jugado que gane el juego. La idea de la dis ibución Binomial Nega i a subyace en
es a o ma de esolución.
En una segunda No a, Mon mo comen a el p oblema pa a el caso de más de dos
jugado es pe o sin en a en un análisis exhaus i o. De alguna o ma, se con adice al
c i ica el mé odo de Fe ma en es a si uación: Cuando hay a ios jugado es a los que
les al an a ios pun os, el mé odo que p ocede po las combinaciones y los cambios
de o den es bas an e la go, y cae ambién en an o de alle como aquél que p ocede
po el análisis, pues al pode se a o able a di e en es jugado es un mismo lanza-
mien o de dados, pa ece que no se puede deja de conside a lo que p opo ciona
cada lanzamien o di e en e de dados en pa icula , y es e examen no puede se nada
más que muy la go y muy moles o;…Aho a bien, es a no a e mina e o zando su opi-
nión inicial pa a el caso de dos jugado es: Pe o el mé odo del S . Fe ma , además de
las di e sas en ajas que iene sob e el del S . Pascal, iene la de esol e de una
mane a ápida y simple el p oblema en cues ión, cuando sólo se a a de dos jugado-
es. Y, en onces, p esen a una solución gene al del p oblema pa a jugado es con igual
des eza: Sea p el núme o de pun os que le al an a Ped o, q el núme o de pun os que
le al an a Pablo. Se pide una ó mula que exp ese la sue e de los jugado es. Solu-
ción: Sea 1,+−=
p
qm la sue e de Ped o se á exp esada po una acción donde el
denominado se á 2 ele ado al exponen e m, y cuyo nume ado es a á compues o po
an os é minos de es a se ie
112123
112 123 1234
⋅− ⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅−
++ + + +
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
mm mm m mm m m
m & así,
como q exp ese de unidades. La sue e de Pablo se á el complemen o de la unidad.
En el T a ado del T iángulo A i mé ico de Pascal encon amos dos mé odos equi-
alen es apo ados po es e úl imo pa a la esolución del p oblema. Pues bien, el se-
gundo de ellos, explicado bajo el epíg a e Mé odo pa a hace el epa o en e dos
jugado es que juegan a a ias pa idas po medio del T iangulo A i mé ico, o ece la
solución que a con inuación exponemos usando un lenguaje más ac ualizado que el
que Pascal p esen ó en su a ado:
Si el juego es ( , ),
p
q con 0>p y 0,>q es deci , al p ime jugado le al an p
pa idas y al o o q pa idas, la solución es:
1. Se oma la base 1=+−
pq del T iángulo A i mé ico.
2. Se suman los alo es de las q p ime as celdas si uadas en la base .
Es deci , calculamos
1
0
(, 1),
−
=
−
+
∑
q
i
i i siendo ( , )
⋅
⋅ el alo de la co espon-
dien e celda del T iángulo A i mé ico.
EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 17
3. La p obabilidad de que el juego lo gane el p ime jugado es
1
0
(, 1)
,
2
−
=
−
+
∑
q
i
i i
donde el denominado , 2,
es, como demues a Pascal, el alo de la suma de
odas las celdas si uadas en esa base .
Compa ando ambas soluciones, la de Mon mo y Pascal, eniendo en cuen a lo
que ep esen a el alo de cada celda en el T iángulo A i mé ico, obse amos que son
idén icas, azón po la cual Todhun e (1865) esc ibe: En la p ime a edición de
Mon mo , él se limi a al caso de igual des eza y sólo da la p ime a ó mula1 po lo
que, ealmen e, no ha a anzado más que Pascal, aunque la ó mula sea más adecua-
da que el uso del T iángulo A i mé ico.
Añadimos noso os y lo de alla emos en el siguien e apa ado que, en el p oceso
de esolución es á la en e una modelización de la si uación median e la dis ibución
Binomial con pa áme os: = “núme o de pa idas que se juga ían como máximo” y
con p obabilidad de éxi o en cada pa ida igual a 1
2
⋅
Con es o e mina lo que Mon mo incluyó en la p ime a edición de su a ado, so-
b e el asun o del P oblema de los Pun os.
P ime a solución pa a jugado es con desigual des eza
Una copia de es a p ime a edición ue en iada a Jean Be noulli quien, en ma zo de
1710, le emi e una ex ensa ca a donde, además de alaba las “di e sas cosas bellísi-
mas” que con enía el a ado, le apo a e lexiones p opias y juicios c í icos. En pa i-
cula , Be noulli le en ía, sin demos ación, la solución del P oblema de los Pun os
pa a jugado es con desigual des eza. Lo enuncia y da la solución de la siguien e
o ma:
Ped o y Pablo juegan a a ias pa idas a un juego desigual donde el núme o de
casos a o ables a Ped o es al de casos a o ables a Pablo::a.b; y después de habe
jugado algún iempo el núme o de pa idas que aún le al an a Ped o es p, y el núme-
o de pa idas que le al an a Pablo es q. Se pide la azón de sus sue es. Ele ad el
binomio +ab a la po encia 1.
+
−=
p
q El núme o de é minos se á .+
p
q Yo digo
que la suma de los p ime os é minos cuyo núme o sea q, es a la suma del es o de
é minos cuyo núme o se á p, como la sue e de Ped o es a la de Pablo; aho a bien,
es as dos sumas son como sigue:
1 Pa a la solución gene al del p oblema, Mon mo apo a dos ó mulas equi alen es y aquí, Todhun e ,
hace e e encia a la p ime a de ellas.

18 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III)
11 2 2 33
112
&
112 123
−− −
⋅− ⋅−⋅−
++ + +
⋅⋅⋅
pp p p
ppp ppp
a a b a b a b así, con inuando has a
el núme o de é minos exp esado po q.
Y 11 2 2 33
112
&
112 123
−− −
⋅− ⋅−⋅−
++ + +
⋅⋅⋅
bba ba ba así, con inuando has a el
núme o de é minos exp esado po p.
Obse amos que, si b uese la p obabilidad del segundo jugado de gana una pa -
ida (en la no ación de Be noulli dicha p obabilidad se ía
+
b
ab
), al ándole a dicho
jugado q pa idas pa a gana el juego, y es el núme o o al de pa idas que se juga-
ían, la a iable alea o ia X: “núme o de pa idas ganadas po ese jugado de un o al
de ”, sigue una dis ibución Binomial de pa áme os y b, cuya unción de cuan ía es
.
−



x
x
ba
x Es e jugado gana á el juego si consigue gana , como mínimo, las q pa i-
das que le al an. Po an o, la p obabilidad de consegui lo se á
11
[][][ 1] []
,
1
−+−−
≥= =+ =+++ ==
   
=+ ++
   
+
   
"
"
q q q q
PX q PX q PX q PX
ba b a b
qq
esul ado equi alen e al expues o po Be noulli en la segunda igualdad. Po an o, es e
au o iden i ica la si uación con lo que hoy conocemos como la dis ibución Binomial
de pa áme o cualquie a y o ece como solución la unción de dis ibución de la mis-
ma. Respec o a la p ime a exp esión que esc ibe Be noulli, sob e la chance del p ime
jugado , pensamos que hay una e a a en los sucesi os exponen es de a que se esc i-
ben a pa i de p y sus alo es dec ecien es, cuando lo co ec o es a pa i de como
ocu e con la segunda exp esión pa a la sue e del segundo jugado . P obablemen e,
ue una e a a del mismo Jean Be noulli al ansc ibi sus p opias no as a la ca a que
en ió a Mon mo .
En la segunda edición del a ado, la de 1713, Mon mo inco po a es a solución
con una o mulación simila y con su demos ación. La demos ación, con no ación
ac ualizada, sigue los siguien es pasos:
1. El juego ha de conclui necesa iamen e en 1
=
+− pq pa idas.
2. Disponemos de dados con dos ca as cada uno: una ca a blanca, que a o ece
al p ime jugado y o a ca a neg a que a o ece al segundo, y con p obabilida-
des a y b de apa ece una y o a. En es e pun o, el au o nos emi e a la p ime a
pa e del a ado donde, en el A . 27, se demues a que los coe icien es del de-
sa ollo de la po encia de un binomio coinciden con los núme os de la co es-
pondien e columna del T iángulo A i mé ico y con los que exp esan “las di e -
sas combinaciones de un núme o cualquie a de ichas o dados que ienen dos
EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 19
ca as di e en es”. Es o le lle a a esc ibi que los sucesi os sumandos que in e -
ienen en el cálculo de la p obabilidad de que el p ime jugado gane el juego
son:
()
11
22 22
"que salgan ca as blancas",
:"que salgan 1 ca as blancas y 1 neg a",
1
1:"que salgan 2 ca as blancas y 2 neg as",
2
12
−−
−−

==



⋅= −

−

−
=−

−
⋅
aa
a b a b
ab ab
y así has a euni q sumandos, po lo que el úl imo de ellos se á ,
−



p p
ab
p
dado que 1 .−−= q p
3. Son equi alen es los sucesos “consegui p éxi os en p uebas” y “consegui p
ca as blancas al lanza dados de las ca ac e ís icas an e io es”. Po an o, la
p obabilidad de que gane el juego el p ime jugado (que le al an p pa idas)
es: .
−
=



∑
i i
ip
ab
i
Podemos esc ibi :
11
[de que gane el p ime jugado ]
+−
+
−−
=
+−

=

∑
pq
ipqii
ip
pq
Pab
i (1)
Segunda solución pa a jugado es con desigual des eza
Bajo el í ulo de O a Fó mula, Mon mo añade una segunda solución a es e p oble-
ma. La jus i icación de la misma es como sigue:
• En el T a ado del T iángulo A i mé ico de Pascal hay un anexo i ulado “Uso
del T iángulo A i mé ico pa a las combinaciones”. En dicho anexo encon a-
mos, bajo el epíg a e de Lema IV, la siguien e igualdad: 1,
1
+

=+

−

kkk
ii i
que Pascal demues a conside ando que los 1
+
k elemen os son k elemen os
p ime os más uno úl imo y conside ando que el núme o combina o io del p i-
me miemb o es el esul ado de suma dos núme os: el núme o de combinacio-
nes de k que no con ienen al úl imo y el núme o de aquellas que sí lo con ienen.
Mon mo conocía pe ec amen e es a igualdad como lo demues a la p ime a
pa e de su segunda edición del T a ado dedicada a las “combinaciones”.
20 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III)
• Mul iplicando los dos miemb os de la igualdad an e io po 1+−ik i
ab y despe-
jando el p ime sumando del segundo miemb o nos queda:
11
1,
1
+− − +−
+
  
−=
  
−
  
ik i iki ik i
kkk
ab b ab ab
iii
donde los dos é minos del p ime
miemb o se pueden in e p e a como
{}
{}
{}
p uebaúl imalaenéxi oconsegui nodeP
p uebaskenéxi osiconsegui deP
p uebaskenéxi osiconsegui deP
=
−
+
1
Po an o, esa di e encia de p obabilidades nos lle a a la p obabilidad de que el
i-ésimo éxi o (el úl imo éxi o) se p oduzca en la ( 1)-ésima
+
k p ueba (en la úl-
ima p ueba). Si hacemos 1 ,
+
−=kij la exp esión del segundo miemb o se
ans o ma en 1,
1
−+


−

ij
ij
ab
i que se in e p e a como la “p obabilidad de que el
p ime jugado consiga j acasos an es de consegui su i-ésimo éxi o. Pues
bien, es o es lo que usa Mon mo pa a cons ui su segunda solución, pues la
p obabilidad de que el p ime jugado gane el juego (al que le al an p pa idas),
se puede esc ibi a pa i de la a iable alea o ia X: “núme o de acasos del
p ime jugado an es de su -ésimopéxi o”, a iable que sigue una dis ibución
Binomial Nega i a de pa áme os p y a, como:
1
1
0
[que gane el p ime jugado ] [ 0] [ 1] [ 1]
12
11 1
1.
1
−
−
=
=
=+ =+ + =−=
−+−
  
=+ ++ =
  
−− −
  
−+

=⋅

−

∑
"
"
pp pq
q
pi
i
PPXPXPXq
pp pq
aab ab
pp p
pi
ab
p
Es a suma, bajo, su p opia o mulación, es la que es e au o p opone como so-
lución en su O a Fó mula. Podemos esc ibi , pues, que la segunda solución de
Mon mo es:
1
0
1
[de que gane el p ime jugado ] 1
−
=
−+

=
−

∑
q
pi
i
p
i
Pab
p (2)
Le al a po demos a la igualdad en e ambas soluciones, la igualdad en e (1) y
(2). Lo hace sólo pa a el caso pa icula donde 5
=
p y 3
=
q median e una simple
educción a común denominado de las acciones que apa ecen en los sumandos de
la exp esión (2), acciones p oducidas po las p obabilidades que in e ienen con sus
espec i as po encias. Esa educción a común denominado le lle a a la exp esión (1).
EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 21
Es e agmen o e mina con dos no as. En la p ime a de ellas Mon mo nos ad-
ie e que, aunque pueda imagina se que las “sue es” de los dos jugado es son las
mismas en el caso en el que necesi en consegui p y q pa idas, espec i amen e, y en
el caso en que necesi en np⋅ y
⋅
nq, es o no es cie o, ni incluso en el caso en que
ambos jugado es engan igual p obabilidad de éxi o en cada pa ida. Sabemos po el
eo ema de Be noulli que si el núme o de p uebas independien es se hace su icien e-
men e g ande hay una al a p obabilidad de que el núme o de éxi os conseguidos po
uno y o o jugado es é en una azón simila a la de sus p opias p obabilidades. Po
an o, si la azón en e p y q uese meno que la de sus co espondien es p obabilida-
des, inc emen ando el alo de n podemos consegui una p obabilidad an g ande
como que amos de que el p ime jugado consiga gana
⋅
np pa idas an es de que el
segundo consiga las ⋅nq que necesi a. Es o es lo que pa ece insinua Mon mo
cuando dice que “la sue e de Ped o se á siemp e an o mejo , en cuan o que c & d
designen a los núme os más g andes, en compa ación con p & q; de mane a que si
un jugado puede da ocho pun os de dieciséis al illa a o o jugado : no se puede
conclui que él pueda, sin des en aja, da le cua o de ocho”.
En la segunda no a inal el au o mani ies a su deseo de encon a ó mulas simila-
es pa a la esolución del p oblema de los pun os en el caso en el que el núme o de
jugado es uese es, cua o,… pe o “hay azones pa a c ee que es a in es igación
es ex emadamen e di ícil, y hay la apa iencia de que no se puede añadi nada a la
que hemos dado an es”.
Conclusión
Nos encon amos con un au o , Pie e Rémond de Mon mo que, sin se de los más
enomb ados en la His o ia de la P obabilidad, apo a la solución de ini i a al P o-
blema de los Pun os pa a dos jugado es en cualquie ci cuns ancia (con igual y des-
igual des eza) median e dos ó mulas al e na i as y equi alen es (demos ando la
equi alencia en e ambas en un ejemplo conc e o) que hoy iden i icamos pe ec a-
men e con las modelizaciones Binomial y Binomial Nega i a.