El problema de los puntos para jugadores con desigual destreza: la solución de Montmort (1713)

13 CAPÍTULO 2 El p oblema de los pun os pa a jugado es con desigual des eza: la solución de Mon mo (1713) JESÚS BASULTO SANTOS JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Mª DOLORES PÉREZ HIDALGO Uni e sidad de Se illa In oducción Pie e Rémond de Mon mo nació en Pa ís en 1678 y alleció en es a misma ciudad, de i uela, en 1719. En su o mación u o una ue e in luencia su guía y amigo Ma- leb anche, con el que es udió eligión, iloso ía y ma emá icas. Su apo ación al cam- po del cálculo de p obabilidades ue su lib o Essay d’analyse su les jeux de haza d, publicado en 1708. Se a a de un ex o sob e juegos de aza p opiamen e dicho en el que se abo dan di e sos p oblemas, odos ellos inme sos en los juegos “ eales” que se p ac icaban en su época. Así, nos encon amos con juegos como el Pha aon, la Basse- e, el Lansquene , el T eize, en los que, según él mismo esc ibe, “he de e minado cuál es la en aja o des en aja de los jugado es en odas las ci cuns ancias posibles de es os juegos”, o juegos como el Homb e, el Pique , el Impe ial, el B elan, el Quin- queno e, el Juego de los es dados, el Juego del haza d (dice que és e, no p ac icado 14 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) en F ancia, e a muy conocido en Ingla e a), el He , la Ton ine, el que él mismo llama el Juego de la Espe anza, el T ic ac, o el que juegan los “Sal ajes” del Canadá. En odos es os in oduce y esuel e di e sos p oblemas, mos ando cla amen e que el ex o es de una di e sidad inusual has a el momen o. Sólo el p eceden e lib o de Ca - dano se le pa ece un poco, pe o el que nos ocupa es mucho más ex enso y, desde lue- go, nada pe sonal, en el sen ido de que Mon mo no incluye e lexiones pa icula es sob e la mo al del juego o sob e sus p opias expe iencias como jugado , como sí lo hicie a Ca dano. La p ime a edición con iene 189 páginas además de un p e acio de 24 páginas. En 1713 apa ece una segunda edición, e isada y aumen ada, con 414 páginas y con un p e acio e in oducción de 42 páginas. El inc emen o de páginas en és a se debe, p in- cipalmen e, a la in oducción de un a ado sob e combinaciones y de una se ie de ca as que in e cambia on el au o y Nicholas Be noulli, además de una ca a de Jean Be noulli. Es a segunda edición des aca po su cuidada p esen ación, con g abados ma a illosos en las cabece as de los capí ulos y, ambién, po que el nomb e del au o no apa ece en la página inicial que incluye el í ulo, luga , edi o y echa. Po ada de la 2ª edición del lib o de Mon mo EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 15 Una de las secciones del ex o es á dedicada al ya clásico P oblema de los Pun os. Lo hace en p ime luga pa a jugado es con igual des eza (la p obabilidad de cada jugado de gana cada pa ida es la misma) y luego (y es a es la impo an e no edad de Mon mo ) lo ex iende al caso de jugado es con desigual p obabilidad de gana en cada pa ida (con desigual des eza). Nos p oponemos como obje i o de es e abajo, analiza los pá a os que es e au o dedica a es e asun o en su comple o lib o sob e juegos de aza . Solución pa a jugado es con igual des eza En la edición de 1708, el au o abo da es a solución. En p ime luga , se dedica a comen a las soluciones de sus an eceso es, Pascal y Fe ma . Llama mé odo analí ico al empleado po Pascal, mé odo que conside a “el más na u al y el más ácil”, aunque “ iene el de ec o de se excesi amen e la go”, dado que pa a esol e un caso algo complejo hay que eco e p e iamen e odos los casos más simples. En cambio, el mé odo de Fe ma lo conside a “más sabio” y “exige mayo des eza”. A i ma que es e mé odo esuel e el p oblema de una o ma muy gene al. Pa a en ende las di i- cul ades de comp esión de es e úl imo mé odo, Mon mo inco po a la ca a comple a que Pascal en ió a Fe ma el 24 de agos o de 1654, ca a que él encon ó en las ob as pós umas de Fe ma publicadas en Toulouse. En es a ca a, Pascal econoce la alía del mé odo de Fe ma pa a dos jugado es y, as a ias conside aciones o dudas, aca- ba aplicando el mé odo de o ma co ec a pa a el caso de es jugado es. T as la ca a, Mon mo esc ibe: El espe o que enemos po la epu ación y po la memo ia del S . Pascal, no nos pe mi e hace no a aquí con de alle odos los allos de azonamien o que hay en es a ca a; nos bas a á ad e i que la causa de su e o es á en no ene en conside ación las di e sas o denaciones de las le as. Es as palab as de Mon mo pa ecen insinua que la ca a de Pascal con enía una la ga lis a de e o es cuando, ealmen e, la única inexac i ud que hemos encon ado es la que él mismo ci a en el pá a o de a iba, inexac i ud que después ue co egida po el mismo Pascal as la ca a espues a de Fe ma . A con inuación, Mon mo comienza una sección bajo el epíg a e de P oblemas, y en el pun o 188 (como No a I) esuel e a la mane a de Fe ma el P oblema de los Pun os pa a es jugado es en la si uación (1, 2, 3), es ableciendo la egla gene al del núme o máximo de pa idas en las que el juego conclui ía, (1 2 3) (3 1) 4, + +−−= e inco po a una abla simila a la que p opo ciona Pascal, en la mencionada ca a, de los posibles esul ados en el caso de que se jugasen odas esas pa idas. Es a abla le si e pa a con a los casos que son a o ables a cada jugado y, así, esol e el p o- blema. La misma nos ecue da una Dis ibución Mul inomial en la que 4=n y hay es ca ego ías con igual p obabilidad, aunque la iden i icación exac a con es e mode- lo pod ía esul a un poco o zada. Es cu ioso el hecho de que Pascal, en la ca a del 24 de agos o de 1654, hace uso de un hipo é ico dado de dos ca as pa a jus i ica el mé odo de Fe ma pa a dos jugado es mien as que Mon mo , en es e ex o, usa un dado de es ca as pa a jus i ica la solución de Fe ma pa a es jugado es. 16 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) Es e pun o e mina con un in en o sa is ac o io de educción del mé odo. En luga de analiza los esul ados de las 4 pa idas, p opone hace lo mismo, pe o sólo con las 3 p ime as de esas 4, dado que la cua a, o sea, la úl ima pa ida, ha de se pa a el jugado que gane el juego. La idea de la dis ibución Binomial Nega i a subyace en es a o ma de esolución. En una segunda No a, Mon mo comen a el p oblema pa a el caso de más de dos jugado es pe o sin en a en un análisis exhaus i o. De alguna o ma, se con adice al c i ica el mé odo de Fe ma en es a si uación: Cuando hay a ios jugado es a los que les al an a ios pun os, el mé odo que p ocede po las combinaciones y los cambios de o den es bas an e la go, y cae ambién en an o de alle como aquél que p ocede po el análisis, pues al pode se a o able a di e en es jugado es un mismo lanza- mien o de dados, pa ece que no se puede deja de conside a lo que p opo ciona cada lanzamien o di e en e de dados en pa icula , y es e examen no puede se nada más que muy la go y muy moles o;…Aho a bien, es a no a e mina e o zando su opi- nión inicial pa a el caso de dos jugado es: Pe o el mé odo del S . Fe ma , además de las di e sas en ajas que iene sob e el del S . Pascal, iene la de esol e de una mane a ápida y simple el p oblema en cues ión, cuando sólo se a a de dos jugado- es. Y, en onces, p esen a una solución gene al del p oblema pa a jugado es con igual des eza: Sea p el núme o de pun os que le al an a Ped o, q el núme o de pun os que le al an a Pablo. Se pide una ó mula que exp ese la sue e de los jugado es. Solu- ción: Sea 1,+−= p qm la sue e de Ped o se á exp esada po una acción donde el denominado se á 2 ele ado al exponen e m, y cuyo nume ado es a á compues o po an os é minos de es a se ie 112123 112 123 1234 ⋅− ⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ++ + + + ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ mm mm m mm m m m & así, como q exp ese de unidades. La sue e de Pablo se á el complemen o de la unidad. En el T a ado del T iángulo A i mé ico de Pascal encon amos dos mé odos equi- alen es apo ados po es e úl imo pa a la esolución del p oblema. Pues bien, el se- gundo de ellos, explicado bajo el epíg a e Mé odo pa a hace el epa o en e dos jugado es que juegan a a ias pa idas po medio del T iangulo A i mé ico, o ece la solución que a con inuación exponemos usando un lenguaje más ac ualizado que el que Pascal p esen ó en su a ado: Si el juego es ( , ), p q con 0>p y 0,>q es deci , al p ime jugado le al an p pa idas y al o o q pa idas, la solución es: 1. Se oma la base 1=+− pq del T iángulo A i mé ico. 2. Se suman los alo es de las q p ime as celdas si uadas en la base . Es deci , calculamos 1 0 (, 1), − = − + ∑ q i i i siendo ( , ) ⋅ ⋅ el alo de la co espon- dien e celda del T iángulo A i mé ico. EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 17 3. La p obabilidad de que el juego lo gane el p ime jugado es 1 0 (, 1) , 2 − = − + ∑ q i i i donde el denominado , 2, es, como demues a Pascal, el alo de la suma de odas las celdas si uadas en esa base . Compa ando ambas soluciones, la de Mon mo y Pascal, eniendo en cuen a lo que ep esen a el alo de cada celda en el T iángulo A i mé ico, obse amos que son idén icas, azón po la cual Todhun e (1865) esc ibe: En la p ime a edición de Mon mo , él se limi a al caso de igual des eza y sólo da la p ime a ó mula1 po lo que, ealmen e, no ha a anzado más que Pascal, aunque la ó mula sea más adecua- da que el uso del T iángulo A i mé ico. Añadimos noso os y lo de alla emos en el siguien e apa ado que, en el p oceso de esolución es á la en e una modelización de la si uación median e la dis ibución Binomial con pa áme os: = “núme o de pa idas que se juga ían como máximo” y con p obabilidad de éxi o en cada pa ida igual a 1 2 ⋅ Con es o e mina lo que Mon mo incluyó en la p ime a edición de su a ado, so- b e el asun o del P oblema de los Pun os. P ime a solución pa a jugado es con desigual des eza Una copia de es a p ime a edición ue en iada a Jean Be noulli quien, en ma zo de 1710, le emi e una ex ensa ca a donde, además de alaba las “di e sas cosas bellísi- mas” que con enía el a ado, le apo a e lexiones p opias y juicios c í icos. En pa i- cula , Be noulli le en ía, sin demos ación, la solución del P oblema de los Pun os pa a jugado es con desigual des eza. Lo enuncia y da la solución de la siguien e o ma: Ped o y Pablo juegan a a ias pa idas a un juego desigual donde el núme o de casos a o ables a Ped o es al de casos a o ables a Pablo::a.b; y después de habe jugado algún iempo el núme o de pa idas que aún le al an a Ped o es p, y el núme- o de pa idas que le al an a Pablo es q. Se pide la azón de sus sue es. Ele ad el binomio +ab a la po encia 1. + −= p q El núme o de é minos se á .+ p q Yo digo que la suma de los p ime os é minos cuyo núme o sea q, es a la suma del es o de é minos cuyo núme o se á p, como la sue e de Ped o es a la de Pablo; aho a bien, es as dos sumas son como sigue: 1 Pa a la solución gene al del p oblema, Mon mo apo a dos ó mulas equi alen es y aquí, Todhun e , hace e e encia a la p ime a de ellas. 18 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) 11 2 2 33 112 & 112 123 −− − ⋅− ⋅−⋅− ++ + + ⋅⋅⋅ pp p p ppp ppp a a b a b a b así, con inuando has a el núme o de é minos exp esado po q. Y 11 2 2 33 112 & 112 123 −− − ⋅− ⋅−⋅− ++ + + ⋅⋅⋅ bba ba ba así, con inuando has a el núme o de é minos exp esado po p. Obse amos que, si b uese la p obabilidad del segundo jugado de gana una pa - ida (en la no ación de Be noulli dicha p obabilidad se ía + b ab ), al ándole a dicho jugado q pa idas pa a gana el juego, y es el núme o o al de pa idas que se juga- ían, la a iable alea o ia X: “núme o de pa idas ganadas po ese jugado de un o al de ”, sigue una dis ibución Binomial de pa áme os y b, cuya unción de cuan ía es . −    x x ba x Es e jugado gana á el juego si consigue gana , como mínimo, las q pa i- das que le al an. Po an o, la p obabilidad de consegui lo se á 11 [][][ 1] [] , 1 −+−− ≥= =+ =+++ ==     =+ ++     +     " " q q q q PX q PX q PX q PX ba b a b qq esul ado equi alen e al expues o po Be noulli en la segunda igualdad. Po an o, es e au o iden i ica la si uación con lo que hoy conocemos como la dis ibución Binomial de pa áme o cualquie a y o ece como solución la unción de dis ibución de la mis- ma. Respec o a la p ime a exp esión que esc ibe Be noulli, sob e la chance del p ime jugado , pensamos que hay una e a a en los sucesi os exponen es de a que se esc i- ben a pa i de p y sus alo es dec ecien es, cuando lo co ec o es a pa i de como ocu e con la segunda exp esión pa a la sue e del segundo jugado . P obablemen e, ue una e a a del mismo Jean Be noulli al ansc ibi sus p opias no as a la ca a que en ió a Mon mo . En la segunda edición del a ado, la de 1713, Mon mo inco po a es a solución con una o mulación simila y con su demos ación. La demos ación, con no ación ac ualizada, sigue los siguien es pasos: 1. El juego ha de conclui necesa iamen e en 1 = +− pq pa idas. 2. Disponemos de dados con dos ca as cada uno: una ca a blanca, que a o ece al p ime jugado y o a ca a neg a que a o ece al segundo, y con p obabilida- des a y b de apa ece una y o a. En es e pun o, el au o nos emi e a la p ime a pa e del a ado donde, en el A . 27, se demues a que los coe icien es del de- sa ollo de la po encia de un binomio coinciden con los núme os de la co es- pondien e columna del T iángulo A i mé ico y con los que exp esan “las di e - sas combinaciones de un núme o cualquie a de ichas o dados que ienen dos EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 19 ca as di e en es”. Es o le lle a a esc ibi que los sucesi os sumandos que in e - ienen en el cálculo de la p obabilidad de que el p ime jugado gane el juego son: () 11 22 22 "que salgan ca as blancas", :"que salgan 1 ca as blancas y 1 neg a", 1 1:"que salgan 2 ca as blancas y 2 neg as", 2 12 −− −−  ==    ⋅= −  −  − =−  − ⋅ aa a b a b ab ab y así has a euni q sumandos, po lo que el úl imo de ellos se á , −    p p ab p dado que 1 .−−= q p 3. Son equi alen es los sucesos “consegui p éxi os en p uebas” y “consegui p ca as blancas al lanza dados de las ca ac e ís icas an e io es”. Po an o, la p obabilidad de que gane el juego el p ime jugado (que le al an p pa idas) es: . − =    ∑ i i ip ab i Podemos esc ibi : 11 [de que gane el p ime jugado ] +− + −− = +−  =  ∑ pq ipqii ip pq Pab i (1) Segunda solución pa a jugado es con desigual des eza Bajo el í ulo de O a Fó mula, Mon mo añade una segunda solución a es e p oble- ma. La jus i icación de la misma es como sigue: • En el T a ado del T iángulo A i mé ico de Pascal hay un anexo i ulado “Uso del T iángulo A i mé ico pa a las combinaciones”. En dicho anexo encon a- mos, bajo el epíg a e de Lema IV, la siguien e igualdad: 1, 1 +  =+  −  kkk ii i que Pascal demues a conside ando que los 1 + k elemen os son k elemen os p ime os más uno úl imo y conside ando que el núme o combina o io del p i- me miemb o es el esul ado de suma dos núme os: el núme o de combinacio- nes de k que no con ienen al úl imo y el núme o de aquellas que sí lo con ienen. Mon mo conocía pe ec amen e es a igualdad como lo demues a la p ime a pa e de su segunda edición del T a ado dedicada a las “combinaciones”. 20 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) • Mul iplicando los dos miemb os de la igualdad an e io po 1+−ik i ab y despe- jando el p ime sumando del segundo miemb o nos queda: 11 1, 1 +− − +− +    −=    −    ik i iki ik i kkk ab b ab ab iii donde los dos é minos del p ime miemb o se pueden in e p e a como {} {} {} p uebaúl imalaenéxi oconsegui nodeP p uebaskenéxi osiconsegui deP p uebaskenéxi osiconsegui deP = − + 1 Po an o, esa di e encia de p obabilidades nos lle a a la p obabilidad de que el i-ésimo éxi o (el úl imo éxi o) se p oduzca en la ( 1)-ésima + k p ueba (en la úl- ima p ueba). Si hacemos 1 , + −=kij la exp esión del segundo miemb o se ans o ma en 1, 1 −+   −  ij ij ab i que se in e p e a como la “p obabilidad de que el p ime jugado consiga j acasos an es de consegui su i-ésimo éxi o. Pues bien, es o es lo que usa Mon mo pa a cons ui su segunda solución, pues la p obabilidad de que el p ime jugado gane el juego (al que le al an p pa idas), se puede esc ibi a pa i de la a iable alea o ia X: “núme o de acasos del p ime jugado an es de su -ésimopéxi o”, a iable que sigue una dis ibución Binomial Nega i a de pa áme os p y a, como: 1 1 0 [que gane el p ime jugado ] [ 0] [ 1] [ 1] 12 11 1 1. 1 − − = = =+ =+ + =−= −+−    =+ ++ =    −− −    −+  =⋅  −  ∑ " " pp pq q pi i PPXPXPXq pp pq aab ab pp p pi ab p Es a suma, bajo, su p opia o mulación, es la que es e au o p opone como so- lución en su O a Fó mula. Podemos esc ibi , pues, que la segunda solución de Mon mo es: 1 0 1 [de que gane el p ime jugado ] 1 − = −+  = −  ∑ q pi i p i Pab p (2) Le al a po demos a la igualdad en e ambas soluciones, la igualdad en e (1) y (2). Lo hace sólo pa a el caso pa icula donde 5 = p y 3 = q median e una simple educción a común denominado de las acciones que apa ecen en los sumandos de la exp esión (2), acciones p oducidas po las p obabilidades que in e ienen con sus espec i as po encias. Esa educción a común denominado le lle a a la exp esión (1). EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 21 Es e agmen o e mina con dos no as. En la p ime a de ellas Mon mo nos ad- ie e que, aunque pueda imagina se que las “sue es” de los dos jugado es son las mismas en el caso en el que necesi en consegui p y q pa idas, espec i amen e, y en el caso en que necesi en np⋅ y ⋅ nq, es o no es cie o, ni incluso en el caso en que ambos jugado es engan igual p obabilidad de éxi o en cada pa ida. Sabemos po el eo ema de Be noulli que si el núme o de p uebas independien es se hace su icien e- men e g ande hay una al a p obabilidad de que el núme o de éxi os conseguidos po uno y o o jugado es é en una azón simila a la de sus p opias p obabilidades. Po an o, si la azón en e p y q uese meno que la de sus co espondien es p obabilida- des, inc emen ando el alo de n podemos consegui una p obabilidad an g ande como que amos de que el p ime jugado consiga gana ⋅ np pa idas an es de que el segundo consiga las ⋅nq que necesi a. Es o es lo que pa ece insinua Mon mo cuando dice que “la sue e de Ped o se á siemp e an o mejo , en cuan o que c & d designen a los núme os más g andes, en compa ación con p & q; de mane a que si un jugado puede da ocho pun os de dieciséis al illa a o o jugado : no se puede conclui que él pueda, sin des en aja, da le cua o de ocho”. En la segunda no a inal el au o mani ies a su deseo de encon a ó mulas simila- es pa a la esolución del p oblema de los pun os en el caso en el que el núme o de jugado es uese es, cua o,… pe o “hay azones pa a c ee que es a in es igación es ex emadamen e di ícil, y hay la apa iencia de que no se puede añadi nada a la que hemos dado an es”. Conclusión Nos encon amos con un au o , Pie e Rémond de Mon mo que, sin se de los más enomb ados en la His o ia de la P obabilidad, apo a la solución de ini i a al P o- blema de los Pun os pa a dos jugado es en cualquie ci cuns ancia (con igual y des- igual des eza) median e dos ó mulas al e na i as y equi alen es (demos ando la equi alencia en e ambas en un ejemplo conc e o) que hoy iden i icamos pe ec a- men e con las modelizaciones Binomial y Binomial Nega i a.