Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no27(2004), 89–93
El “Cu so 0” en la Uni e sidad de Se illa
M. Delgado
Depa amen o de Ecuaciones Di e enciales y An´alisis Num´e ico,
Uni e sidad de Se illa
[email p o ec ed]
Se ha con e ido en un ´opico habla de la si uaci´on en que acceden los
alumnos a la Uni e sidad p oceden es de las an e io es e apas de o maci´on.
Debido a un amplio conjun o de causas muy complejas y sin que es o suponga
c ´ı ica nega i a alguna pa a unos p o esionales docen es no uni e si a ios que
ealizan su abajo en ci cuns ancias a eces du ´ısimas, la ealidad es que es a
si uaci´on es conside ada ealmen e insa is ac o ia po quienes deben ocupa se
de la cues i´on. En es e a ´ıculo nos ocupa emos de la si uaci´on que hemos
encon ado en la Facul ad de Ma em´a icas de la Uni e sidad de Se illa y las
en a i as ealizadas en los es ´ul imos a˜nos pa a abo da la. Indiquemos pa a
empeza que en e quienes se ma iculan en nues a Facul ad hay m´as alumnas
que alumnos; si a es a decla aci´on pa a ea i ma el sen ido gen´e ico que iene
el masculino que se u iliza en odo lo que sigue.
Pa a cen a el p oblema, comenzamos indicando algunas ealidades con las
que nos encon amos:
•De una o ma amplia, los alumnos in e p e an los eo emas de
Ma em´a icas como las leyes de la Qu´ımica. De igual o ma que no han
comp obado la ecuaci´on de los gases pe ec os, pe o la c een cie a, la
ap enden y la u ilizan pa a esol e p oblemas, ap enden la ´o mula que
esuel e la ecuaci´on de segundo g ado o acep an que un sis ema lineal en
el que la ma iz del sis ema y la ma iz ampliada ienen ango di e en e es
incompa ible. Pe o no pa ecen ap ecia que hay una se ie de azonamien os
que nos pe suaden, en el caso de las Ma em´a icas, de que las cosas son
as´ı y no de o a mane a.
•Como no han ap endido a hace azonamien os, ampoco conocen
las eglas que hay pa a hace los co ec amen e. Las exp esiones
“ azonamien o po inducci´on” o “ educci´on al absu do” son pa a muchos
de los alumnos absolu amen e desconocidas; y su u ilizaci´on no mal po
pa e de los p o eso es que impa en clase en P ime o no p e enidos iene
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las consecuencias que se puede uno imagina . Un alumno desc ib´ıa lo
sucedido en una clase de An´alisis Ma em´a ico diciendo que el p o eso
que ´ıa demos a una cosa, dijo: “po educci´on al absu do”, empez´o con
algo que no en´ıa nada que e con lo que en´ıa esc i o y dijo al inal:
“¡Con adicci´on!”.
•Hemos llegado a pensa que el ´exi o en la ense˜nanza p e-uni e si a ia iene
dado po la supe aci´on holgada de la p ueba de acceso a la uni e sidad
y l´ogicamen e la mayo pa e del iempo y del es ue zo se dedica a
p epa a dicha p ueba. Es o iene algunas consecuencias pe e sas de las
que podemos ci a algunos ejemplos:
1. Son ecuen es las p egun as ela i as a la geome ´ıa del espacio a ´ın y
eucl´ıdeo, po lo que los alumnos suelen p epa a bien es os p oblemas
que ienen incluidos en el p og ama de 2ode Bachille a o, pe o son
bas an es m´as in ecuen es las p egun as ela i as a la geome ´ıa del
plano, que se es udia en 1ode Bachille a o. Puede c ee se el lec o que
si, po alguna az´on ( e aso en el desa ollo del p og ama, ausencia
de sus i u o de un p o eso en e mo, e c.), el alumno no es udi´o la
geome ´ıa del plano en 1o, no la es udia ´a ampoco en 2opo al a de
iempo; pe o eso no se ´a obs ´aculo pa a que “es udie” la geome ´ıa
del espacio. Y as´ı apa ecen en la Facul ad algunos alumnos que saben
halla la pe pendicula com´un a dos ec as que se c uzan, pe o que
igno an la ecuaci´on gene al de la ec a en el plano o que echan en al a
la e ce a coo denada cuando se les dan los ´e ices de un i´angulo
en el plano.
2. Sin llega a casos an ex emos, se encuen an muy ol idadas de
o ma gene al aquellas pa es de los p og amas de 1ode Bachille a o
que suelen p egun a se menos en las p uebas de acceso, como po
ejemplo la igonome ´ıa.
•A muchos de nues os alumnos les ha bas ado has a el momen o de su
ing eso en la Uni e sidad con un epaso a los p oblemas alg´un d´ıa an es
del examen pa a supe a el mismo, con lo que es ´es a su idea del es udio
de las Ma em´a icas cuando llegan.
•La g an mayo ´ıa de las p uebas de Ma em´a icas que han debido supe a
los alumnos han sido ex´amenes de eje cicios o p oblemas en donde
p ´ac icamen e nada ienen que esc ibi . De modo que aen una nula
p ´ac ica de c´omo se esc iben las Ma em´a icas. A las gene ales di icul ades
de exp esi´on o al y esc i a que suelen ene los uni e si a ios, se a˜naden las
di icul ades espec´ı icas del lenguaje ma em´a ico. Desg aciadamen e, es e
g a e p oblema no se esuel e en muchos casos en oda la Licencia u a.
•Los alumnos que supe an las p uebas de acceso en la 1aFase (examen
de junio) y desean eni a la Facul ad de Ma em´a icas se ma iculan en
julio o en los p ime os d´ıas de sep iemb e y comienzan el cu so en los
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p ime os d´ıas de oc ub e. Los alumnos que ap ueban en la 2aFase (examen
de sep iemb e) conocen su p ime a adjudicaci´on de plazas en la segunda
quincena de oc ub e. De modo que es os alumnos, que l´ogicamen e ienen
menos ni el y que muchas eces llegan a la Facul ad po no pode accede
a la i ulaci´on que desean, se inco po an con un e aso de dos o es
semanas a sus clases, lo que supone pa a muchos un obs ´aculo insal able.
Un alumno ing esa en la Facul ad con la idea de que sabe Ma em´a icas
consis e en sabe esol e p oblemas y se encuen a con una a alancha de eo ´ıa
que lo desbo da, po que su casi nula exigencia de igo hace que le esul e
incomp ensible e in´u il que alguien demues e que odas las bases de un espacio
ec o ial de dimensi´on ini a ienen el mismo n´ume o de ec o es (se dice:
“¡pues cla o!”) o que alguien dedique ho as a la de inici´on axiom´a ica del n´ume o
eal (se p egun a: “¿es o a qu´e iene?”). Y al mismo iempo no sabe si aquello es
pa a ap end´e selo de memo ia o si si e pa a algo m´as. Quiz´a haya que dedica
m´as iempo a mo i a el es udio de la eo ´ıa. Y se puede ci a po ´ul imo lo que
sucede en ocasiones con la u ilizaci´on po pa e de los p o eso es del al abe o
g iego (que muchos alumnos no saben lee ni esc ibi ) o de los s´ımbolos especiales
( ac o ial, pe enencia, inclusi´on,. . . ), que un alumnado muy pasi o ecibe como
cualquie o a cosa, sin siquie a p egun a po la denominaci´on.
Po odos es os mo i os, desde hace es a˜nos se lle a impa iendo en la
Facul ad de Ma em´a icas de la Uni e sidad de Se illa una asigna u a de lib e
con igu aci´on, el llamado “Cu so 0”, que p e ende ayuda a esol e algunas
de las cues iones plan eadas an e io men e. Es a asigna u a es el p ocedimien o
que se encon ´o pa a da alidez acad´emica (4,5 c ´edi os en mues o caso) al
abajo que deben ealiza los alumnos pa a adqui i el ni el inicial adecuado
pa a abo da los es udios supe io es, an o en lo ela i o a conocimien os b´asicos
y a la amilia izaci´on con un cie o o malismo ma em´a ico como en lo ela i o
a h´abi os y m´e odos de es udio.
Es e in en o pa a palia el g a e p oblema que supone ac ualmen e el
sal o que los alumnos encuen an al inicia los es udios de la Licencia u a en
Ma em´a icas o la Diploma u a en Es ad´ıs ica (que son las i ulaciones que ienen
P ime Ciclo de nues a Facul ad) es muy limi ado po a ias azones:
•Es una asigna u a olun a ia pa a los alumnos. De modo que los p o eso es
que impa en las asigna u as de P ime o no pueden supone que odos sus
alumnos la han cu sado.
•En pa e, se desa olla simul ´aneamen e con las asigna u as de P ime
Cu so, es deci , no es p e io a ´es as. Los alumnos que p oceden de la
1aFase de la p ueba de acceso pueden comenza es a asigna u a de o ma
in ensi a an es del inicio o icial del cu so, de modo que el “Cu so 0” no
les qui e mucho iempo del que necesi an pa a es udia las asigna u as de
P ime o, que es su obje i o. Pe o los alumnos que p oceden de la 2aFase
no pueden empeza la has a inales de oc ub e, po que ´ısicamen e no se
encuen an en la Facul ad.
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•Tiene una escasa du aci´on pa a cub i sus obje i os.
•El hecho de que se impa a no a aca los p oblemas de ondo exis en es,
algunos de los cuales exigi ´ıan o as medidas que inclui ´ıan una e isi´on
a ondo de los p og amas y la me odolog´ıa.
Los obje i os que la asigna u a pe sigue expl´ıci amen e son, en e o os, los
siguien es:
1. Insis i en la necesidad del es udio con inuado de las Ma em´a icas,
in en ando con ence a los alumnos de la inu ilidad del abajo excesi o
en las ´ıspe as de los ex´amenes pa a compensa el que no se ha hecho a
lo la go del cua imes e, an es de que la ozuda ealidad se imponga.
2. Insis i en la necesidad de abo da desde el p incipio los p oblemas que
se p oponen. Muchos alumnos adop an una ac i ud pasi a y espe an a
la clase de p oblemas donde el p o eso a esol iendo eje cicios que
los es udian es an en endiendo y an c eyendo que ya saben hace los;
as´ı llega el momen o de la p ueba en el que el alumno debe esol e ´el
s´olo po ez p ime a un p oblema. . . y, na u almen e, no lo hace. Hay que
in en a que el alumno se pe suada de que solo ap ende ´a Ma em´a icas
haciendo Ma em´a icas ´el mismo.
3. Insis i en la impo ancia de la u o ´ıa como medio de esol e las dudas
que se le plan ean al alumno as habe es udiado y como o ien aci´on
pa a dicho es udio. En elaci´on con los pun os an e io es, la u o ´ıa debe
lle a se a cabo a lo la go de odo el cu so, y no s´olo en las ´ıspe as de los
ex´amenes.
4. Indica a los alumnos que, as el es udio indi idual, el abajo en equipo
educido puede se una buena me odolog´ıa pa a ap ende a esol e
p oblemas.
5. Obliga a los alumnos a explica a sus compa˜ne os los p oblemas y a
esc ibi eje cicios o cues iones que son en egadas al p o eso y co egidas
po ´es e en el ondo y en la exp esi´on.
Hemos di idido la asigna u a que impa imos en dos pa es de igual
ex ensi´on. La p ime a se ocupa de aspec os que los alumnos mayo i a iamen e
no han es udiado en la ense˜nanza p e-uni e si a ia. As´ı, se es udian las leyes del
azonamien o o mal y el m´e odo de inducci´on, las ´ecnicas de enume aci´on (con
un epaso de la combina o ia), la u ilizaci´on de las Ma em´a icas pa a abo da el
es udio del aza (con un epaso del concep o de p obabilidad) y una in oducci´on
a la eo ´ıa de conjun os que, aunque no incluida en los planes de es udio del
Bachille a o, ha sido conside ada necesa ia, a la is a de nues o p opio plan de
es udios. Incluimos algunos eje cicios pa a que, de o ma heu ´ıs ica, median e
ejemplos y p egun as, los alumnos ayan de iniendo concep os ma em´a icos a
pa i de ideas in ui i as; po ejemplo, u ilizamos la on e a de un conjun o del
plano.
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La segunda pa e se ocupa de aspec os que los alumnos han es udiado
mayo i a iamen e. En an aqu´ı la igonome ´ıa (muy ol idada, aunque
es udiada en su momen o), las geome ´ıas del plano y del espacio, el ´algeb a
lineal y el c´alculo (concep os de l´ımi e, con inuidad, de i abilidad, es udio de
unciones, c´alculo de p imi i as, eo ema undamen al del c´alculo in eg al y
´a eas de igu as planas sencillas).
Ha sido in enci´on expl´ıci a de quienes hemos dise˜nado es a asigna u a que los
con enidos de la misma no solapen con los que se impa en en las asigna u as del
p ime cu so de las i ulaciones; ello nos lle ´o a la con icci´on, as el p ime a˜no
de impa ici´on de la misma, de que no e a adecuada pa a alumnos epe ido es
que se mani es a on decepcionados de ella.
An es de comenza el cu so, a los alumnos se les asigna un u o , que es
siemp e uno de los p o eso es que impa e es a asigna u a. Los u o es, que han
p epa ado un gui´on de u o ´ıa pa a ecaba los mismos da os sob e los alumnos,
llaman a ias eces a los alumnos a lo la go de la du aci´on de la asigna u a y
pos e io men e pa a hace les un seguimien o. En endemos es a u o ´ıa como
una he amien a de o ien aci´on gene al del es udian e y no como un medio que
pe mi a esol e las dudas que puedan ene en las o as asigna u as. Y as´ı,
pa a que el u o enga una idea de la si uaci´on del es udian e, ponemos una
p ueba inicial an es de comenza cada una de las pa es de la asigna u a sob e
cues iones muy gene ales sob e la que u o y u elado ienen un cambio de
imp esiones en las p ime as en e is as que ealizan.
La me odolog´ıa de las clases es lo m´as ac i a posible, debiendo los alumnos
esol e los p oblemas en la piza a, explica las dudas a los compa˜ne os,
busca en su caso la in o maci´on ol idada en los ex os del bachille a o, e c.
En ocasiones en egan eje cicios po esc i o al p o eso .
El n´ume o de alumnos de cada uno de los g upos (no m´as de 20) pe mi e
un seguimien o e ec i o del abajo de cada uno con un poco de es ue zo po
pa e del p o eso , y es e abajo es la componen e p incipal pa a supe a la
asigna u a.
Con odas sus limi aciones, la asigna u a es ´u il pa a los alumnos. Llegamos
a es a con icci´on a a ´es de las imp esiones de los p opios alumnos y
de los p ime os da os, oda ´ıa no depu ados, que amos ob eniendo de las
cali icaciones ob enidas en las es an es asigna u as de P ime o. De lo que
s´ı podemos da e es de la ilusi´on y el abajo in e ido en su o ganizaci´on
y desa ollo po un g upo de p o eso es de odos los Depa amen os con sede
en la Facul ad y de los que el coo dinado de la asigna u a que susc ibe es s´olo
el ep esen an e. Po cie o, que la asigna u a se i ula “Cu so p elimina de
Ma em´a icas: ´ecnicas y he amien as”.