XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
An´alisis num´e ico de soluciones au osemejan es de un lujo
dispe si o de cu as planas
F ancisco de la Hoz1
1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada, Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a,
Facul ad de Ciencia y Tecnolog´ıa,
Uni e sidad del Pa´ıs Vasco - Euskal He iko Unibe si a ea,
Ap do. 644, 48080 Bilbao (Spain).
E-mail: [email p o ec ed].
Palab as cla e: Flujo geom´e ico de la KdV, es udio num´e ico
Resumen
En [2], Pe elman y Vega es udian el siguien e lujo geom´e ico de cu as planas
e e sible en el iempo, que puede desa olla singula idades en iempo ini o
z =−zsss +3
2¯zsz2
ss,
|zs|2= 1, 6= 0.
(1)
con sel pa ´ame o de a co. Deno ando po kla cu a u a de z, es a sa is ace la mKdV
k +ksss +3
2k2ks= 0.(2)
Pe elman y Vega conside an soluciones au osemejan es de (2) de la o ma
k(s, ) = 2
(3 )1/3uµs
(3 )1/3¶, > 0; (3)
lo cual conduce a es udia la EDO
uxx −xu + 2u3=µ, x ∈R, µ ∈R.(4)
En es a comunicaci´on, conside a emos µ= 0. Aunque necesi amos conoce u(0) y
ux(0), pa a esol e (4), imponiendo limx→∞ u(x) = 0, los da os iniciales pa a (4) o -
man una amilia unipa am´e ica, que ob end emos num´e icamen e. Adem´as, da emos
e idencia num´e ica de que las soluciones de (4) co espondien es sa is acen
−π
2≤Z∞
−∞
u(x)dx ≤π
2.(5)
Po (3), a cada ule co esponde un da o inicial zpa a (1) en = 1. Conside ando
da os iniciales sin in e secciones, mos a emos num´e icamen e su e oluci´on, as´ı como
la o maci´on de una singula idad en = 0.
1
F ancisco de la Hoz
1. In oducci´on
En es a comunicaci´on, conside a emos el siguien e lujo geom´e ico e e sible en el
iempo de cu as planas que puede desa olla singula idades en iempo ini o
z =−zsss +3
2¯zsz2
ss,
|zs|2= 1, 6= 0,
(1)
con sel pa ´ame o de a co. Es e lujo es e e sible en el iempo po que si z(s, ) es soluci´on,
ambi´en lo es z(−s, − ). Dicho lujo, ue ob enido po Golds ein y Pe ich [1] al conside a
la e oluci´on de un pa che de o icidad en el plano suje o a las ecuaciones de Eule .
Tambi´en es conocido como el lujo geom´e ico de la KdV.
La e oluci´on del lujo iene de e minada po la e oluci´on de su cu a u a, k(s, ), sal o
un mo imien o ´ıgido que a ia con el iempo y que se ´a ijado po las condiciones iniciales.
Dicha cu a u a sa is ace la KdV modi icada
k +ksss +3
2k2ks= 0; (2)
obs´e ese que el ´ul imo sumando es una de i ada pe ec a
k =−ksss −1
2(k3)s; (3)
po lo cual
Z+∞
−∞
k(s, )ds (4)
es una can idad conse ada. Asimismo, de iniendo
θ(s, ) = θ(−∞, s) + Zs
−∞
k(s0, )ds0,(5)
la ecuaci´on (3) se con ie e en
θ (s, ) = −θsss(s, )−1
2(θs)3(s, ).(6)
Siguiendo a Pe elman y Vega [2] a lo la go de es a comunicaci´on, conside a emos soluciones
au osemejan es de la KdV modi icada de la o ma
k(s, ) = 2
(3 )1/3uµs
(3 )1/3¶, > 0.(7)
lo que nos lle a a es udia la EDO [2]
uxx −xu + 2u3=µ, x ∈R, µ ∈R,(8)
con µuna cons an e de in eg aci´on. En es a comunicaci´on conside a emos el caso µ= 0.
A pa i de u(x) ob end emos k(s, 1) y, po an o, θ(s, 1), que u iliza emos como da o
inicial pa a (6), calculando la e oluci´on num´e ica de θ(s, ), yendo hacia a ´as en el iempo.
2
An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o
Es inmedia o ob ene z(s, ) a pa i de θ(s, ), haciendo zs(s, ) = exp(iθ(s, )), sal o un
mo imien o ´ıgido que iene de e minado po
z(0, ) = −2(3 )1/3£iu0(0) + u2(0)¤zs(0, ),(9)
con zs(0, ) una cons an e de m´odulo unidad que no depende del iempo. Tan o θ(s, )
como k(s, ) y z(s, ) desa olla ´an una singula idad en = 0.
Debido a que las u(x) conside adas, que sa is acen limx→∞ u(x)→0, o man una
amilia unipa am´e ica, enemos que las z(s, ) co espondien es son ambi´en amilias uni-
pa am´e icas de soluciones de (1).
2. In eg aci´on de u(x)
Vol amos a
uxx =xu −2u3, x ∈R.(10)
Pa a in eg a es a o dina ia de segundo o den, la eesc ibimos como
(ux= ,
x=xu −2u3,(11)
y u ilizamos un Runge-Ku a de cua o o den, necesi ando dos da os iniciales u(0) y
ux(0) = (0).
Si ues soluci´on de (10), en onces, pa a xnega i os su icien emen es g andes, u(x) iene
el mismo compo amien o oscila o io que las soluciones de la ecuaci´on de Ai y uxx −xux=
0. Asimismo, cuando x→ ∞, las soluciones de (10) se ca ac e izan po se muy sensibles
espec o a peque˜nas a iaciones de da os iniciales, que pueden hace que pasemos de
soluciones u(x)→ ∞, cuando x→ ∞ a soluciones u(x)→ −∞, cuando x→ ∞ y a la
in e sa. Conside emos, po ejemplo, u(0) = 0.024, as´ı como cua o elecciones posibles de
ux(0) e in eg emos num´e icamen e (10).
Las soluciones pa a ux(0) = −0.018 y ux(0) = −0.017, pin adas con ama discon inua
( igu a 1), ienden espec i amen e a −∞ y +∞; asimismo, las soluciones ux(0) = −0.0175
yux(0) = −0.0174, pin adas con ama con inua, ienden espec i amen e a −∞ y∞. No
obs an e, emos que pa a es os dos alo es, la explosi´on se p oduce algo m´as a de.
−5 0 5 10 15 20
−3
−2
−1
0
1
2
3
u(x)
Figu a 1: Dependencia sensi i a de u(x) espec o de las condiciones iniciales.
3
F ancisco de la Hoz
Si con inu´a amos con el p oceso, en e ux(0) = −0.0175 y ux(0) = −0.0174 exis e
un ux(0) al que limx→∞ u(x) = 0. Dicho alo , ob enido median e New on-Rapson, es
ap oximadamen e ux(0) = −0.0174881944 ... En la igu a 1, po cues iones de escala, no
se ap ecian bien las oscilaciones en el eje eal nega i o; la igu a 2, pa a dicho ux(0) limi e,
mues a dichas oscilaciones.
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
u(x), u(0) = .024, ux(0) = −.0174881944...
Figu a 2: u(x), con limx→∞ u(x) = 0.
Debido a la dependencia sensi i a espec o de las condiciones iniciales, an s´olo pode-
mos calcula num´e icamen e an os decimales del ux(0) deseado como el εde la m´aquina,
lo que implica que ´unicamen e es amos e asando el iempo de explosi´on de u(x). Dicho
de o a o ma, las condiciones que hacen
lim
x→∞ u(x) = 0,(12)
son sumamen e ines ables. Sin emba go, pa a nues os p op´osi os, bas a con conside a
u(x)≡0 a pa i de un xsu icien emen e g ande, ya que u(x)→0 de o ma exponencial.
Pues o que u(x) es in eg able en e (−∞,0], debido a que las oscilaciones en x < 0 se
cancelan, la condici´on (12) es equi alen e a ¯¯¯R+∞
−∞ u(x)dx¯¯¯<∞.
Figu a 3: Pa es (u(0), ux(0)), con lim
x→∞u(x) = +∞(neg o) y lim
x→∞u(x) = −∞ (blanco).
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An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o
En la igu a 3, los pun os de la egi´on en neg o, omados como condiciones iniciales
(u(0), ux(0)) de (10), hacen que las soluciones de (10) co espondien es u(x)→+∞, cuan-
do x→ ∞. Pa a los pun os de la egi´on en blanco, las soluciones de (10) co espondien es
u(x)→ −∞, cuando x→ ∞. La on e a en e ambas egiones son los pa es (u(0), ux(0))
cuyas soluciones sa is acen (12), que en adelan e denomina emos pa es admisibles. Dicha
on e a es una cu a conexa no aco ada de dimensi´on uno que di ide al plano en dos
mi ades. Cada uno de los pun os de dicha cu a de e minan una ´unica k(s, ), una ´unica
θ(s, ) y una ´unica z(s, ) au osemejan es que son soluciones de (2), (6) y (1), espec i a-
men e. Po an o, enemos sendas amilias unipa am´e icas de soluciones de (2), (6) y (1)
que desa ollan una singula idad en iempo ini o.
3. Un m´e odo num´e ico pa a la e oluci´on de (1)
Las k(s, ), θ(s, ) y z(s, ) conside adas se ca ac e izan po
k(−∞, ) = 0, k(+∞, ) = 0,
θ(−∞, ) = θ−, θ(+∞, ) = θ+,
lim
s→−∞ |z(s, )−seiθ−
|= 0,lim
s→+∞|z(s, )−seiθ−
|= 0.
El u iliza θ(s, ) en la e oluci´on, en luga de k(s, ), iene la en aja de p ese a (4) y
|zs(s, )|= 1. La EDP pa a θ, con condiciones de on e a, es
θ (s, ) = −θsss(s, )−1
2(θs)3(s, ), s ∈R,
θ(−∞, ) = θ−,
θ(+∞, ) = θ+.
(13)
Al no pode conside a odo s∈R, nos limi a emos a s∈[sa, sb], con sa<< −1 y sb>> 1
θ (s, ) = −θsss(s, )−1
2(θs)3(s, ), s ∈[sa, sb],
θ(sa, ) = θ−,
θ(sb, ) = θ+.
(14)
Es a ´ul ima ecuaci´on se puede in eg a median e un Runge-Ku a de cua o o den con
ac o in eg an e.
3.1. C´alculo de k(s, 1) yθ(s, 1)
Ya que kno es pe i´odica, conside a emos s∈[sa, sb], sa<< −1, sb>> 1, de al o ma
que k(sa,1) sea su icien emen e peque˜no y k(s, 1) = 0, ∀s > sb−ε. Conside amos N1+ 1
pun os equiespaciados en [sa, sb],
sj=sa+j∆s, ∆s=sb−sa
N1
, j = 0, . . . , N1.
Las elecciones de sa,sbyN1se hacen de al o ma que 0 ∈ {sj}N1
j=0.
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F ancisco de la Hoz
Pa a in eg a θ(s, 1) con exac i ud espec al a pa i de k(s, 1), ob enida a su ez de
(7), in e esa o za que k(s, 1) sea pe i´odica. Pa a ello, localizamos el sjcon meno ´ındice
al que k(sj,1) >0 y ks(sj,1) >0, es deci , escogemos el p ime sjen el que k(sj,1) sea
posi i a y c ecien e. Acopla emos a k(s, 1) en s=sjuna unci´on que enga un con ac o de
o den uno y decaimien o exponencial; pos e io men e, median e un il o, aumen a emos
la egula idad del con ac o. La unci´on que acoplamos a k(s, 1) en s=sjes
kle (s, 1) = k(sj,1) exp ·ks(sj,1)
k(sj,1) (s−sj)¸, s ≤sj.(15)
−117 −116 −115 −114 −113 −112
−0.5
0
0.5
zoom de k(s)
−250 −200 −150 −100 −50 0 50 100
−2
−1
0
1
2k(s)
Figu a 4: Pe iodizaci´on de k(s).
En la igu a 4 emos c´omo hemos acoplado k(s, 1) con la exponencial adecuada. G ´a i-
camen e emos que en la in e secci´on ambas cu as ienen la misma pendien e, pe o la
exponencial decae ´apidamen e a ce o. De aho a en adelan e, nos e e i emos a k(s, 1)
como la uni´on de ambas cu as. Asimismo, designa emos su pun o de uni´on como sjoin .
Como es amos conside ando k(s, 1) pe i´odica, cuando ealmen e no lo es, a˜nadimos
ce os en ambos ex emos (g ´a ica in e io ), de al o ma que la in o maci´on a de en llega
a los bo des. Al inal del p oceso, end emos N+ 1 pun os, siendo Nuna po encia de dos,
pa a pode aplica e icien emen e la FFT. Asimismo, ede inimos sa≡s0ysb≡sN. Po
´ul imo, egula izamos kaplicando un il o espec al sua e
ˆ
k(ξ) = ˆ
k(ξ) exp "−10 µ2.5|ξ|
N¶25#,(16)
que egula iza k(s, 1) en un en o no del pun o de empalme sjoin , siendo inocuo lejos de
dicho en o no.
El habe ob enido una k(s, 1) egula y pe i´odica pe mi e in eg a θ(s, 1) con exac-
i ud espec al, median e la FFT. Como enemos un g ado de libe ad, ija emos θ+=
lims→∞ θ(s, 1) = θ(sb,1) ≡0.
En la igu a 5, obse amos que θ(s, 1), asin ´o icamen e, no iende al alo co ec o cuan-
do s→ −∞. Sin emba go, podemos de e mina con bas an e exac i ud lims→−∞ θ(s, 1)
como la media del p ime m´aximo y el p ime m´ınimo de θ(s, 1), con s > sjoin , can idad
que en la g ´a ica supe io pin amos con azado m´as ino. Es o da una buena ap oximaci´on
de (4).
Po ´ul imo, ob ando exac amen e como en el caso de la cu a u a, o zamos que θ(s, 1)
ienda exponencialmen e al θ−p edicho, ol iendo a il a θ(s, ) al inal del p oceso.
6
An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o
−250 −200 −150 −100 −50 0 50 100
−6
−4
−2
0
2θ(s, 1)
−122 −120 −118 −116 −114 −112 −110 −108 −106
−3.1
−3
−2.9
−2.8
−2.7 zoom de θ(s, 1)
Figu a 5: θ(s, ).
3.1.1. Expe imen os num´e icos
El obje i o del m´e odo que hemos desa ollado es in en a desc ibi la o maci´on de
una singula idad en iempo ini o de un lujo egula de cu as. En e ec o, en = 0, (1)
desa olla una singula idad en o ma de esquina [2]
z(s, 0) = (z0+seiθ+, s ≥0,
z0+seiθ−
, s ≤0.(17)
Aqu´ı nos es amos limi ando a s∈[sa, sb] y hemos ijado el ´angulo de la cu a en saysb,
po lo que impedimos que en e ene g´ıa, que se de ine como
Zsb
sa
k2(s0, )ds0.
En la soluci´on exac a, dicha ene g´ıa c ece con o me nos ace camos a = 0, concen ´andose
en un en o no de s= 0. Po el con a io, las simulaciones mues an que con nues o m´e odo
la ene g´ıa se conse a con a ios decimales de exac i ud. Sin emba go, el m´e odo es ´alido
cuali a i amen e, ya que la ene g´ıa ini a iende ambi´en a concen a se en un en o no
de s= 0, ap oxim´andose k(s, ) a una del a de Di ac, cuando →0+. Asimismo, hemos
obse ado que es a ap oximaci´on mejo a al aumen a el ama˜no del sopo e de k(s, 1).
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0z(s, ), con = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001
Figu a 6: z(s, ).
Una ez ob enido θ(s, ), es inmedia o ecupe a z(s, ), median e zs(s, ) = exp(iθ(s, ))
y (9). En la igu a 6, hemos supe pues o las g ´a icas de z(s, ) en los ins an es de iempo
7
F ancisco de la Hoz
= 1, = 0.5, = 0.1, = 0.01 y = 0.001, en un en o no de s= 0. Se obse a cla amen e
el ca ´ac e au osemejan e de las soluciones.
4. Rk(s0, )d en unci´on de u(0) yux(0)
Hemos in eg ado (10) con un conjun o bas an e g ande de pa es admisibles (u(0), ux(0))
omados como condiciones iniciales; a pa i de cada soluci´on u(x) hemos de inido su k(s, 1)
co espondien e y hemos es imado R∞
−∞ k(s0,1)ds0.
En la igu a 7, pin amos cada pa admisible (u(0), ux(0)) jun o con el alo de la in eg al
de k(s, 1) co espondien e; la cu a as´ı pin ada es an isim´e ica espec o del o igen. Pues o
que
max µZ∞
−∞
k(s0,1, u(0), u0(0))ds0−π¶<3·10−3,(18)
enemos que
−π−ε < Z∞
−∞
k(s0,1, u(0), u0(0))ds0< π +ε, 0< ε << 1.(19)
Po an o, hay a nues o juicio, e idencia num´e ica se ia pa a acep a que
Z∞
−∞
u(x)dx ∈³−π
2,π
2´⇐⇒ Z∞
−∞
k(s0, )ds0∈(−π, π),∀ . (20)
−5 05
−10
0
10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−4 −2 0 2 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figu a 7: In eg al de la cu a u a.
Pa a alo es de la in eg al en e [−3−ε, 3 + ε], es e iden e po la g ´a ica de echa, que
ep esen a la p ime a y e ce a componen es, que s´olo hay una condici´on inicial de (10)
adecuada. Los alo es de la in eg al pa ecen con e ge de o ma exponencial a π. Nos
inclinamos a pensa que hay una ´unica condici´on inicial pa a cada alo (−π, π), si bien,
en caso de ene con e gencia exponencial, se ´a mucho m´as di ´ıcil da e idencia num´e ica.
Re e encias
[1] R. E. Golds ein, D. M. Pe ich, Soli on’s, Eule ’s Equa ions, and Vo ex Pa ch Dynamics, Phys. Re .
Le e s. 69, 4 (1992) 555-558.
[2] G. Pe elman, L. Vega, Sel -simila plana cu es ela ed o modi ied Ko eweg-de V ies equa ion, To
appea in J. o Di . Eqns.
8
