Análisis numérico de soluciones autosemejantes de un flujo dispersivo de curvas planas

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) An´alisis num´e ico de soluciones au osemejan es de un lujo dispe si o de cu as planas F ancisco de la Hoz1 1Dp o. de Ma em´a ica Aplicada, Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a, Facul ad de Ciencia y Tecnolog´ıa, Uni e sidad del Pa´ıs Vasco - Euskal He iko Unibe si a ea, Ap do. 644, 48080 Bilbao (Spain). E-mail: [email p o ec ed]. Palab as cla e: Flujo geom´e ico de la KdV, es udio num´e ico Resumen En [2], Pe elman y Vega es udian el siguien e lujo geom´e ico de cu as planas e e sible en el iempo, que puede desa olla singula idades en iempo ini o    z =−zsss +3 2¯zsz2 ss, |zs|2= 1, 6= 0. (1) con sel pa ´ame o de a co. Deno ando po kla cu a u a de z, es a sa is ace la mKdV k +ksss +3 2k2ks= 0.(2) Pe elman y Vega conside an soluciones au osemejan es de (2) de la o ma k(s, ) = 2 (3 )1/3uµs (3 )1/3¶, > 0; (3) lo cual conduce a es udia la EDO uxx −xu + 2u3=µ, x ∈R, µ ∈R.(4) En es a comunicaci´on, conside a emos µ= 0. Aunque necesi amos conoce u(0) y ux(0), pa a esol e (4), imponiendo limx→∞ u(x) = 0, los da os iniciales pa a (4) o - man una amilia unipa am´e ica, que ob end emos num´e icamen e. Adem´as, da emos e idencia num´e ica de que las soluciones de (4) co espondien es sa is acen −π 2≤Z∞ −∞ u(x)dx ≤π 2.(5) Po (3), a cada ule co esponde un da o inicial zpa a (1) en = 1. Conside ando da os iniciales sin in e secciones, mos a emos num´e icamen e su e oluci´on, as´ı como la o maci´on de una singula idad en = 0. 1 F ancisco de la Hoz 1. In oducci´on En es a comunicaci´on, conside a emos el siguien e lujo geom´e ico e e sible en el iempo de cu as planas que puede desa olla singula idades en iempo ini o    z =−zsss +3 2¯zsz2 ss, |zs|2= 1, 6= 0, (1) con sel pa ´ame o de a co. Es e lujo es e e sible en el iempo po que si z(s, ) es soluci´on, ambi´en lo es z(−s, − ). Dicho lujo, ue ob enido po Golds ein y Pe ich [1] al conside a la e oluci´on de un pa che de o icidad en el plano suje o a las ecuaciones de Eule . Tambi´en es conocido como el lujo geom´e ico de la KdV. La e oluci´on del lujo iene de e minada po la e oluci´on de su cu a u a, k(s, ), sal o un mo imien o ´ıgido que a ia con el iempo y que se ´a ijado po las condiciones iniciales. Dicha cu a u a sa is ace la KdV modi icada k +ksss +3 2k2ks= 0; (2) obs´e ese que el ´ul imo sumando es una de i ada pe ec a k =−ksss −1 2(k3)s; (3) po lo cual Z+∞ −∞ k(s, )ds (4) es una can idad conse ada. Asimismo, de iniendo θ(s, ) = θ(−∞, s) + Zs −∞ k(s0, )ds0,(5) la ecuaci´on (3) se con ie e en θ (s, ) = −θsss(s, )−1 2(θs)3(s, ).(6) Siguiendo a Pe elman y Vega [2] a lo la go de es a comunicaci´on, conside a emos soluciones au osemejan es de la KdV modi icada de la o ma k(s, ) = 2 (3 )1/3uµs (3 )1/3¶, > 0.(7) lo que nos lle a a es udia la EDO [2] uxx −xu + 2u3=µ, x ∈R, µ ∈R,(8) con µuna cons an e de in eg aci´on. En es a comunicaci´on conside a emos el caso µ= 0. A pa i de u(x) ob end emos k(s, 1) y, po an o, θ(s, 1), que u iliza emos como da o inicial pa a (6), calculando la e oluci´on num´e ica de θ(s, ), yendo hacia a ´as en el iempo. 2 An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o Es inmedia o ob ene z(s, ) a pa i de θ(s, ), haciendo zs(s, ) = exp(iθ(s, )), sal o un mo imien o ´ıgido que iene de e minado po z(0, ) = −2(3 )1/3£iu0(0) + u2(0)¤zs(0, ),(9) con zs(0, ) una cons an e de m´odulo unidad que no depende del iempo. Tan o θ(s, ) como k(s, ) y z(s, ) desa olla ´an una singula idad en = 0. Debido a que las u(x) conside adas, que sa is acen limx→∞ u(x)→0, o man una amilia unipa am´e ica, enemos que las z(s, ) co espondien es son ambi´en amilias uni- pa am´e icas de soluciones de (1). 2. In eg aci´on de u(x) Vol amos a uxx =xu −2u3, x ∈R.(10) Pa a in eg a es a o dina ia de segundo o den, la eesc ibimos como (ux= , x=xu −2u3,(11) y u ilizamos un Runge-Ku a de cua o o den, necesi ando dos da os iniciales u(0) y ux(0) = (0). Si ues soluci´on de (10), en onces, pa a xnega i os su icien emen es g andes, u(x) iene el mismo compo amien o oscila o io que las soluciones de la ecuaci´on de Ai y uxx −xux= 0. Asimismo, cuando x→ ∞, las soluciones de (10) se ca ac e izan po se muy sensibles espec o a peque˜nas a iaciones de da os iniciales, que pueden hace que pasemos de soluciones u(x)→ ∞, cuando x→ ∞ a soluciones u(x)→ −∞, cuando x→ ∞ y a la in e sa. Conside emos, po ejemplo, u(0) = 0.024, as´ı como cua o elecciones posibles de ux(0) e in eg emos num´e icamen e (10). Las soluciones pa a ux(0) = −0.018 y ux(0) = −0.017, pin adas con ama discon inua ( igu a 1), ienden espec i amen e a −∞ y +∞; asimismo, las soluciones ux(0) = −0.0175 yux(0) = −0.0174, pin adas con ama con inua, ienden espec i amen e a −∞ y∞. No obs an e, emos que pa a es os dos alo es, la explosi´on se p oduce algo m´as a de. −5 0 5 10 15 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 u(x) Figu a 1: Dependencia sensi i a de u(x) espec o de las condiciones iniciales. 3 F ancisco de la Hoz Si con inu´a amos con el p oceso, en e ux(0) = −0.0175 y ux(0) = −0.0174 exis e un ux(0) al que limx→∞ u(x) = 0. Dicho alo , ob enido median e New on-Rapson, es ap oximadamen e ux(0) = −0.0174881944 ... En la igu a 1, po cues iones de escala, no se ap ecian bien las oscilaciones en el eje eal nega i o; la igu a 2, pa a dicho ux(0) limi e, mues a dichas oscilaciones. −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 u(x), u(0) = .024, ux(0) = −.0174881944... Figu a 2: u(x), con limx→∞ u(x) = 0. Debido a la dependencia sensi i a espec o de las condiciones iniciales, an s´olo pode- mos calcula num´e icamen e an os decimales del ux(0) deseado como el εde la m´aquina, lo que implica que ´unicamen e es amos e asando el iempo de explosi´on de u(x). Dicho de o a o ma, las condiciones que hacen lim x→∞ u(x) = 0,(12) son sumamen e ines ables. Sin emba go, pa a nues os p op´osi os, bas a con conside a u(x)≡0 a pa i de un xsu icien emen e g ande, ya que u(x)→0 de o ma exponencial. Pues o que u(x) es in eg able en e (−∞,0], debido a que las oscilaciones en x < 0 se cancelan, la condici´on (12) es equi alen e a ¯¯¯R+∞ −∞ u(x)dx¯¯¯<∞. Figu a 3: Pa es (u(0), ux(0)), con lim x→∞u(x) = +∞(neg o) y lim x→∞u(x) = −∞ (blanco). 4 An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o En la igu a 3, los pun os de la egi´on en neg o, omados como condiciones iniciales (u(0), ux(0)) de (10), hacen que las soluciones de (10) co espondien es u(x)→+∞, cuan- do x→ ∞. Pa a los pun os de la egi´on en blanco, las soluciones de (10) co espondien es u(x)→ −∞, cuando x→ ∞. La on e a en e ambas egiones son los pa es (u(0), ux(0)) cuyas soluciones sa is acen (12), que en adelan e denomina emos pa es admisibles. Dicha on e a es una cu a conexa no aco ada de dimensi´on uno que di ide al plano en dos mi ades. Cada uno de los pun os de dicha cu a de e minan una ´unica k(s, ), una ´unica θ(s, ) y una ´unica z(s, ) au osemejan es que son soluciones de (2), (6) y (1), espec i a- men e. Po an o, enemos sendas amilias unipa am´e icas de soluciones de (2), (6) y (1) que desa ollan una singula idad en iempo ini o. 3. Un m´e odo num´e ico pa a la e oluci´on de (1) Las k(s, ), θ(s, ) y z(s, ) conside adas se ca ac e izan po k(−∞, ) = 0, k(+∞, ) = 0, θ(−∞, ) = θ−, θ(+∞, ) = θ+, lim s→−∞ |z(s, )−seiθ− |= 0,lim s→+∞|z(s, )−seiθ− |= 0. El u iliza θ(s, ) en la e oluci´on, en luga de k(s, ), iene la en aja de p ese a (4) y |zs(s, )|= 1. La EDP pa a θ, con condiciones de on e a, es        θ (s, ) = −θsss(s, )−1 2(θs)3(s, ), s ∈R, θ(−∞, ) = θ−, θ(+∞, ) = θ+. (13) Al no pode conside a odo s∈R, nos limi a emos a s∈[sa, sb], con sa<< −1 y sb>> 1        θ (s, ) = −θsss(s, )−1 2(θs)3(s, ), s ∈[sa, sb], θ(sa, ) = θ−, θ(sb, ) = θ+. (14) Es a ´ul ima ecuaci´on se puede in eg a median e un Runge-Ku a de cua o o den con ac o in eg an e. 3.1. C´alculo de k(s, 1) yθ(s, 1) Ya que kno es pe i´odica, conside a emos s∈[sa, sb], sa<< −1, sb>> 1, de al o ma que k(sa,1) sea su icien emen e peque˜no y k(s, 1) = 0, ∀s > sb−ε. Conside amos N1+ 1 pun os equiespaciados en [sa, sb], sj=sa+j∆s, ∆s=sb−sa N1 , j = 0, . . . , N1. Las elecciones de sa,sbyN1se hacen de al o ma que 0 ∈ {sj}N1 j=0. 5 F ancisco de la Hoz Pa a in eg a θ(s, 1) con exac i ud espec al a pa i de k(s, 1), ob enida a su ez de (7), in e esa o za que k(s, 1) sea pe i´odica. Pa a ello, localizamos el sjcon meno ´ındice al que k(sj,1) >0 y ks(sj,1) >0, es deci , escogemos el p ime sjen el que k(sj,1) sea posi i a y c ecien e. Acopla emos a k(s, 1) en s=sjuna unci´on que enga un con ac o de o den uno y decaimien o exponencial; pos e io men e, median e un il o, aumen a emos la egula idad del con ac o. La unci´on que acoplamos a k(s, 1) en s=sjes kle (s, 1) = k(sj,1) exp ·ks(sj,1) k(sj,1) (s−sj)¸, s ≤sj.(15) −117 −116 −115 −114 −113 −112 −0.5 0 0.5 zoom de k(s) −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100 −2 −1 0 1 2k(s) Figu a 4: Pe iodizaci´on de k(s). En la igu a 4 emos c´omo hemos acoplado k(s, 1) con la exponencial adecuada. G ´a i- camen e emos que en la in e secci´on ambas cu as ienen la misma pendien e, pe o la exponencial decae ´apidamen e a ce o. De aho a en adelan e, nos e e i emos a k(s, 1) como la uni´on de ambas cu as. Asimismo, designa emos su pun o de uni´on como sjoin . Como es amos conside ando k(s, 1) pe i´odica, cuando ealmen e no lo es, a˜nadimos ce os en ambos ex emos (g ´a ica in e io ), de al o ma que la in o maci´on a de en llega a los bo des. Al inal del p oceso, end emos N+ 1 pun os, siendo Nuna po encia de dos, pa a pode aplica e icien emen e la FFT. Asimismo, ede inimos sa≡s0ysb≡sN. Po ´ul imo, egula izamos kaplicando un il o espec al sua e ˆ k(ξ) = ˆ k(ξ) exp "−10 µ2.5|ξ| N¶25#,(16) que egula iza k(s, 1) en un en o no del pun o de empalme sjoin , siendo inocuo lejos de dicho en o no. El habe ob enido una k(s, 1) egula y pe i´odica pe mi e in eg a θ(s, 1) con exac- i ud espec al, median e la FFT. Como enemos un g ado de libe ad, ija emos θ+= lims→∞ θ(s, 1) = θ(sb,1) ≡0. En la igu a 5, obse amos que θ(s, 1), asin ´o icamen e, no iende al alo co ec o cuan- do s→ −∞. Sin emba go, podemos de e mina con bas an e exac i ud lims→−∞ θ(s, 1) como la media del p ime m´aximo y el p ime m´ınimo de θ(s, 1), con s > sjoin , can idad que en la g ´a ica supe io pin amos con azado m´as ino. Es o da una buena ap oximaci´on de (4). Po ´ul imo, ob ando exac amen e como en el caso de la cu a u a, o zamos que θ(s, 1) ienda exponencialmen e al θ−p edicho, ol iendo a il a θ(s, ) al inal del p oceso. 6 An´alisis num´e ico de soluciones de un lujo dispe si o −250 −200 −150 −100 −50 0 50 100 −6 −4 −2 0 2θ(s, 1) −122 −120 −118 −116 −114 −112 −110 −108 −106 −3.1 −3 −2.9 −2.8 −2.7 zoom de θ(s, 1) Figu a 5: θ(s, ). 3.1.1. Expe imen os num´e icos El obje i o del m´e odo que hemos desa ollado es in en a desc ibi la o maci´on de una singula idad en iempo ini o de un lujo egula de cu as. En e ec o, en = 0, (1) desa olla una singula idad en o ma de esquina [2] z(s, 0) = (z0+seiθ+, s ≥0, z0+seiθ− , s ≤0.(17) Aqu´ı nos es amos limi ando a s∈[sa, sb] y hemos ijado el ´angulo de la cu a en saysb, po lo que impedimos que en e ene g´ıa, que se de ine como Zsb sa k2(s0, )ds0. En la soluci´on exac a, dicha ene g´ıa c ece con o me nos ace camos a = 0, concen ´andose en un en o no de s= 0. Po el con a io, las simulaciones mues an que con nues o m´e odo la ene g´ıa se conse a con a ios decimales de exac i ud. Sin emba go, el m´e odo es ´alido cuali a i amen e, ya que la ene g´ıa ini a iende ambi´en a concen a se en un en o no de s= 0, ap oxim´andose k(s, ) a una del a de Di ac, cuando →0+. Asimismo, hemos obse ado que es a ap oximaci´on mejo a al aumen a el ama˜no del sopo e de k(s, 1). −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0z(s, ), con = 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001 Figu a 6: z(s, ). Una ez ob enido θ(s, ), es inmedia o ecupe a z(s, ), median e zs(s, ) = exp(iθ(s, )) y (9). En la igu a 6, hemos supe pues o las g ´a icas de z(s, ) en los ins an es de iempo 7 F ancisco de la Hoz = 1, = 0.5, = 0.1, = 0.01 y = 0.001, en un en o no de s= 0. Se obse a cla amen e el ca ´ac e au osemejan e de las soluciones. 4. Rk(s0, )d en unci´on de u(0) yux(0) Hemos in eg ado (10) con un conjun o bas an e g ande de pa es admisibles (u(0), ux(0)) omados como condiciones iniciales; a pa i de cada soluci´on u(x) hemos de inido su k(s, 1) co espondien e y hemos es imado R∞ −∞ k(s0,1)ds0. En la igu a 7, pin amos cada pa admisible (u(0), ux(0)) jun o con el alo de la in eg al de k(s, 1) co espondien e; la cu a as´ı pin ada es an isim´e ica espec o del o igen. Pues o que max µZ∞ −∞ k(s0,1, u(0), u0(0))ds0−π¶<3·10−3,(18) enemos que −π−ε < Z∞ −∞ k(s0,1, u(0), u0(0))ds0< π +ε, 0< ε << 1.(19) Po an o, hay a nues o juicio, e idencia num´e ica se ia pa a acep a que Z∞ −∞ u(x)dx ∈³−π 2,π 2´⇐⇒ Z∞ −∞ k(s0, )ds0∈(−π, π),∀ . (20) −5 05 −10 0 10 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −4 −2 0 2 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figu a 7: In eg al de la cu a u a. Pa a alo es de la in eg al en e [−3−ε, 3 + ε], es e iden e po la g ´a ica de echa, que ep esen a la p ime a y e ce a componen es, que s´olo hay una condici´on inicial de (10) adecuada. Los alo es de la in eg al pa ecen con e ge de o ma exponencial a π. Nos inclinamos a pensa que hay una ´unica condici´on inicial pa a cada alo (−π, π), si bien, en caso de ene con e gencia exponencial, se ´a mucho m´as di ´ıcil da e idencia num´e ica. Re e encias [1] R. E. Golds ein, D. M. Pe ich, Soli on’s, Eule ’s Equa ions, and Vo ex Pa ch Dynamics, Phys. Re . Le e s. 69, 4 (1992) 555-558. [2] G. Pe elman, L. Vega, Sel -simila plana cu es ela ed o modi ied Ko eweg-de V ies equa ion, To appea in J. o Di . Eqns. 8