Q¨
UESTII´
O, ol. 24, 3, p. 425-448, 2000
VARIABLES FINITAS
CONDICIONALMENTE ESPECIFICADAS
ROM ´
AN P´
EREZ-VILLALTA
Uni e sidad de Se illa

En es e abajo se es udia la exis encia y unicidad de ec o es bidimensio-
nales de a iables disc e a con eco ido ini o, cuando se ijan sus dis-
ibuciones condicionadas. Pa a ello, as epasa la li e a u a exis en e
sob e el ema, p opo cionamos di e sos esul ados que elacionan di e -
sos emas de ´
algeb a ma icial, especialmen e la descomposici´
on singula ,
con el p oblema que nos ocupa.
Fini e condi ionally speci ied a iables
Palab as cla e: Dis ibucionescondicionadas,especi icaci´oncondicional,
ango de una ma iz, descomposici´on singula , cadenas
de Ma ko
Clasi icaci´
on AMS (MSC 2000): 60E05, 62E10
*Facul ad de Econ´omicas y Emp esa iales. Dp o. de Econom´ıa Aplicada I. A da. Ram´on y Cajal, 1.
41018 Se illa. Espa˜na. [email p o ec ed]
–Recibido en diciemb e de 1999.
–Acep ado en sep iemb e de 2000.
425
1. INTRODUCCI ´
ON
Dado un ec o alea o io bidimensional
(
X
;
Y
)
podemosespeci ica su unci´on de cuan-
´ıa o densidadde di e sas o mas: da di ec amen e esa unci´on, da una ma ginaly una
condicionada (en la misma o dis in a componen e), da dos ma ginales... Dependiendo
del caso la densidad o cuan ´ıa del ec o exis i ´a o no y, adem´as, se ´a´unica o no.
El caso en el que se dan dos condicionadas, obje o de es e abajo, ha sido es udiado
ex ensamen e po A nold y P ess (1989) y A nold, Cas illo y Sa abia (1992) aunque
se pueden nomb a abajos pione os como Gou ie oux y Mon o (1979) y Ab ahams
y Thomas (1984). Se˜nalemos an es de con inua que la lis a an e io no cub e oda la
li e a u a al espec o.
Respec o a las aplicaciones, cabe des aca la cons ucci´on de modelos bi a ian es (p.e.
A nold, Cas illo y Sa abia, 1992), es udios ela i os a la con e genciadel algo i mo del
mues eo de Gibbs (Casella y Geo ge, 1992 y Casella, 1996), en Es ad´ıs ica Bayesiana
(A nold, Cas illo y Sa abia, 1996 y Basul o, 1995) en e o as.
Es e abajo epasa los esul ados exis en es pa a el caso en que las a iables alea o ias
son ini as y apo a alg´un esul ado adicional u ilizando elemen os de c´alculo ma icial
y ejemplos que cla i ican los dis in os m´e odos expues os
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y NOTACI ´
ON
Sean dos ma ices A
=(
ai
;
j
)
yB
=(
bi
;
j
)
de o den L

Mque e i ican ai
;
j

0
;
bi
;
j

0
8
i
=
1
;::: ;
L;
8
j
=
1
;::: ;
Myadem´as
L
∑
i
=
1ai
;
j
=
1
;
M
∑
j
=
1bi
;
j
=
1
:
Es o es, AyB son ma ices es oc´as icas po columnas. La cues i´on a dilucida es,
bajo que condiciones dos ma ices AyB, de dimensiones L

M, en las condiciones
an e io es, pueden se conside adas dis ibuciones condicionadas de cie o ec o alea-
o io
(
X
;
Y
)
de a iables disc e as con eco ido ini o. Es o es, si x1
;
x2
;

;
xLson los
posibles alo es de Xey1
;
y2
;

;
yMlos de Y, cuando
ai
;
j
=
P
[
X
=
xi
j
Y
=
yj
]
i
=
1
:::
L
bi
;
j
=
P
[
Y
=
yj
j
X
=
xi
]
j
=
1
:::
M
Equi alen emen e, bajo qu´e condiciones exis en dos ec o es τyη, de dimensiones
LyM espec i amen e, no nega i os y de o ma que la e si´on no malizada (la suma
de coo denadas unidad) de τyηsean las dis ibuciones ma ginales co espondien es.
426
N´o ese que podemos supone τibi
;
j
=
ηjai
;
ji
=
1
;::: ;
Lj
=
1
;::: ;
M, ya que si un
τiounηjes nulo, el alo xioyj iene odas sus p obabilidades nulas y puede se
eliminado del p oblema.
Es a p ime a cues i´on ecibe el nomb e de p oblema de compa ibilidad y, en ese con-
ex o, las ma ices AyBse denominan candida as a dis ibuciones condicionadas, y
adem´as, si la espues a al p oblema es a i ma i a se dice que AyBson compa ibles.
Un segundo p oblema a a a es, supues o que exis an, la unicidad de es as a iables X
eYo ec o es τyη.
Pa a las ma ices AyBde inimos los conjun os
NA
=

(
i
;
j
)
:ai
;
j
>
0

;
NB
=

(
i
;
j
)
:bi
;
j
>
0

Cuando se enga NA
=
NBlos deno a emos, indis in amen e, po N.
3. COMPATIBILIDAD
Un p ime esul ado sob e la compa ibilidad de dis ibuciones puede encon a se en
A nold y P ess (1989) cuya aducci´on a ma ices es el siguien e.
Teo ema 1. (A nold y P ess, 1989) Dos ma ices AyBen las condiciones de la sec-
ci´
on an e io son compa ibles si y s´
olo si NA
=
NB
=
N y adem´
as exis en dos ec o es,
u
=(
u1
;
u2
;::: ;
uL
)
y
=(
1
;
2
;::: ;
M
)
ales que
ci
;
j
=
ai
;
j
bi
;
j
=
ui j;
8
(
i
;
j
)
2
N
La p ime a condici´on e leja el hecho de que las cuan ´ıas condicionadas se anulan en
los mismos pun os que coinciden con los pun os en los que se anula la unci´on de
cuan ´ıa conjun a. Po su pa e, la segunda condici´on hace e e encia a la elaci´on en e
ma ginales y condicionadas τibi
;
j
=
ηjai
;
ji
=
1
;::: ;
L;j
=
1
;::: ;
Mde es a o ma
ui
=
τiy j
=
1
=
ηj.
En el caso que nos ocupa, a iables ini as, es posible u iliza esul ados de ´algeb a
ma icial pa a analiza la compa ibilidad de las ma ices AyB. En e ec o, supongamos
queN
=
1
;::: ;
L
g
1
;::: ;
M
g
y deno emospo Cla ma iz de elemen os ci
;
j
=
ai
;
j
bi
;
j,
en esas condiciones se iene el siguien e
Teo ema 2. En las condiciones an e io es AyBson compa ibles si y s´
olo si el ango
de Ces uno.
427
Demos aci´
on
Si ango de Ces uno, exis en dos ma ices o ogonales UyVde ´o denes LyM es-
pec i amen e de o ma que C
=
U∑V donde ∑es una ma iz L

Mcuyo elemen o
(
1
;
1
)
es no nulo y el es o nulos. Obs´e ese que es o no es m´as que la descomposi-
ci´on en alo es singula es de la ma iz Cy el elemen o no nulo de ∑el ´unico alo
singula de C( e p.e. Scho , 1997). Dada la o ma de la ma iz ∑podemos esc i-
bi C
=
uσ donde uy son las p ime as columnas de UyV espec i amen e. As´ı
ci
;
j
=
uiσ j
;
8
(
i
;
j
)
2
N, y po an o,incluyendoel alo singula en uno de los ec o es
uo , se iene la ac o izaci´on ci
;
j
=
ui j
;
8
(
i
;
j
)
2
N.
Po o a pa e, pues o que ues au o ec o de CC , que es no nega i a, y es ´a asociado
al au o alo σ
>
0, puede se elegido con coo denadas no nega i as y pues o que ∝
C u ambi´en es no nega i o, las ma ices AyBson compa ibles y, en es e caso, una
adecuada elecci´on de las dis ibuciones ma ginales es
P
[
X
=
xi
]=
τi
=
ui
L
∑
i
=
1ui
i
=
1
;::: ;
L
P
[
Y
=
yj
]=
ηj
=

1
j
M
∑
j
=
1

1
j
j
=
1
::: :;
M
Rec´ıp ocamen e, si las ma ices AyBson compa ibles,el ango de Ces la unidad pues,
si omamos un meno de dimensi´on dos cualquie a, ”




ci
;
jci
;
k
cl
;
jcl
;
k




=








ai
;
j
bi
;
j
ai
;
k
bi
;
k
al
;
j
bl
;
j
al
;
k
bl
;
k








=




ui jui k
ul jul k




=
ui jul k

ui kul j
=
0
8
i
;
l
=
1
;::: ;
Ly
8
j
;
k
=
1
;::: ;
M.

El esul ado an e io puede encon a se, bajo o a pe spec i a en A nold y Gokhale
(1994) y A nold, Cas illo y Sa abia (1999).
Obse emos que, en es e caso, la condici´on de compa ibilidad ´ıa descomposici´on sin-
gula se simpli ica no ablemen epues, como obse an A nold y P ess (1989) y A nold,
Cas illo y Sa abia (1992), se e i ica que:
ci
;
jc
::
=
ci
:
c
:
j
8
(
i
;
j
)
2
N
428
donde
c
::
=
∑
i
;
jci
;
j
;
c
;
j
=
∑
ici
;
jyci
:
=
∑
jci
;
j
y en consecuencia: ui∝ci
:
y j∝c
:
j
;
8
(
i
;
j
)
2
N
Ejemplo 1. Conside emos las ma ices:
A
=
2
4
1
21
2
4
51
5
3
5
B
=
2
4
1
32
3
2
31
3
3
5
La ma iz de cocien es es
C
=
2
4
15
10 15
20
24
20 6
10
3
5
=
3
20

10 5
84

;
iene ango unidad y po an o AyBson compa ibles. Luego 1∝15
10
+
24
20
=
54
20 y
2∝15
20
+
6
10
=
27
20. Po o a pa e, u1∝15
10
+
15
20
=
45
20 yu
2∝24
20
+
6
10
=
36
20: Podemos
oma po an o
(
1
;
2
)
∝
(
2
;
1
)
y
(
u1
;
u2
)
∝
(
5
;
4
)
El p oduc o
(
5
;
4
)
(
2
;
1
)
debe se una ma iz que, elemen o a elemen o, es p opo cional
aC.

4
5

[
2
;
1
]=

10 5
84

Mul iplicando es a ma iz po 3
20 se ob iene C.
Ejemplo 2. Las ma ices
A
=
2
4
1
21
2
3
52
5
3
5
B
=
2
4
1
32
3
2
31
3
3
5
son incompa ibles pues la ma iz de cocien es C iene, cla amen e, ango dos:
C
=
2
4
15
10 15
20
18
20 12
10
3
5
=
3
20

10 5
68

Es udiamos el caso gene al. Supongamosque NA
=
NB
=
N(lo con a io indica incom-
pa ibilidad), pe o Ndis in o del p oduc o ca esiano
1
;::: ;
L
g
1
;::: ;
M
g
.
429

Obse emos que, en es e caso, la ma iz de los cocien es Cno es ´a comple amen e
de e minada po las ma ices candida as a dis ibuciones condicionadas AyB.As´ısi,
po ejemplo, (A nold Cas illo y Sa abia 1992)
A
=
2
6
6
6
6
4
1
Æ
603
Æ
14
01
Æ
44
Æ
14
5
Æ
63
Æ
47
Æ
14
3
7
7
7
7
5
B
=
2
6
6
6
4
1
Æ
403
Æ
4
01
Æ
32
Æ
3
5
Æ
18 6
Æ
18 7
Æ
18
3
7
7
7
5
Los elemen os c12 yc21 de Ces ´an inde e minados, al se cocien e de dos elemen os
nulos. La obse aci´on undamen al es que, bajo la hip´o esis de compa ibilidad, esos
elemen os inde e minados de Ces ´an de inidos, pues son cocien es de p obabilidades
ma ginales no nulas (pues, en o o caso el elemen o se elimina), y pueden se de e mi-
nados, bajo cie as condiciones, a pa i de AyB.
Teo ema 3. Si AyBde e minan la dis ibuci´
on conjun a de un ec o
(
X
;
Y
)
disc e o
y ini o en onces, la ma iz Cpuede comple a se de o ma que enga ango unidad.
Demos aci´
on
Pa a cada
(
i
;
j
)
=
2
Nnos bas a oma
ci
;
j
=
P
[
X
=
xi
]
P
[
Y
=
yj
]
=
τi
ηj
Obs´e ese que es os ci
;
jes ´an de inidos pues P
[
Y
=
yj
]
6
=
0 pues, en o o caso, yjse
hab ´ıa eliminado del p oblema.

La u ilidad del esul ado que acabamos de ob ene queda pa en e en el siguien e
ejemplo
Ejemplo 3. Consid´
e ese
A
=
10

1
2
6
6
6
6
6
4
1211
0422
5024
4453
3
7
7
7
7
7
5
yB
=
10

1
2
6
6
6
6
6
4
2161
0424
4033
1234
3
7
7
7
7
7
5
430
en onces la ma iz C iene dada (pa cialmen e) po
C
=
2
6
6
6
6
6
6
4
1
Æ
221
Æ
61

111
Æ
2
5
Æ
4

2
Æ
34
Æ
3
42
5
Æ
33
Æ
4
3
7
7
7
7
7
7
5
AyBson incompa ibles pues, po ejemplo





21
Æ
6
11





6
=
0
N´o esequesi Cpuedecomple a sede o maque enga angounidadpod emosaplica le
el Teo ema 2 y enemos el siguien e
Co ola io 1. En las condicionesan e io es si Cpuedecomple a sede o ma que enga
ango unidad en onces, AyBson compa ibles.
U iliza emos da os de A nold, Cas illo y Sa abia, (1992) pa a ilus a el uso del co ola-
io que acabamos de ob ene .
Ejemplo 4. Si omamos las ma ices
A
=
2
6
6
6
6
4
1
603
14
01
44
14
5
63
47
14
3
7
7
7
7
5
B
=
2
6
6
6
6
4
1
403
4
01
32
3
5
18 6
18 7
18
3
7
7
7
7
5
En onces
C
=
2
6
6
6
6
4
4
6

4
14

3
46
14
18
69
418
14
3
7
7
7
7
5
Haciendo






4
6c12
18
69
4






=
0






c21 3
4
18
69
4






=
0
431
Ob enemos c12
=
1
2yc
21
=
1yas
´
ılama izCes de ango unidad.
C
=
2
6
6
6
6
4
4
61
24
14
13
46
14
18
69
418
14
3
7
7
7
7
5
y aplicando esul ados an e io es se iene u∝

61
42
;
61
28
;
183
28

y ∝

28
6
;
14
4
;
28
14

:
En ocasiones, no es posible comple a Cde mane a ´unica y de o ma que enga ango
unidad.
Ejemplo 5. Conside amos las ma ices
A
=
2
6
6
6
6
6
6
4
02
301
3
1
201
40
01
302
3
1
203
40
3
7
7
7
7
7
7
5
B
=
2
6
6
6
6
6
6
4
04
501
5
1
201
20
01
201
2
1
403
40
3
7
7
7
7
7
7
5
La ma iz (pa cial) de cocien es es
C
=
2
6
6
6
6
6
4

5
6

5
3
1

1
2


2
3

4
3
2

3

3
7
7
7
7
7
5
Si hacemos c11
=
λ
6
=
0ob enemos
C
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
λ5
6λ
25
3
15
6λ1
25
3λ
4
5λ2
32
5λ4
3
25
3λ110
3λ
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
432
sin m´
as que impone que enga ango 1. Pa a cada alo de λse ob ienen dis in as Cy
po an o es a ma iz no se puede comple a de mane a ´
unica de o ma que enga ango
unidad. Adem´
as, pa a cada λse end ´
an dis in os ec o es uy . En es e caso,
u∝

5
2
+
3
2λ
;
3
2
+
5
2λ
;
2
+
6
5λ
;
3
+
5
λ

∝

3
+
9
5λ
;
3
2
+
1
λ
5
2
;
3
2
+
9
10λ
;
3
+
5
λ

O o esul ado de in e ´es, debido a Gup a y Va gas (1990), que da una condici´on ne-
cesa ia y su icien e pa a el caso en que las ma ices AyB ienen una ila (pongamos
i0) y una columna (po ejemplo j0) de elemen os no nulos. Fo malmen e podemos
enuncia lo en los siguien es ´e minos:
Teo ema 4. (Gup a y Va gas, 1990) Sean AyBdos ma ices en las condiciones ha-
bi uales NA
=
NB
=
N y supongamos que
9
(
i0
;
j0
)
2
N al que, pa a cada j
=
1
;::: ;
M
(
i0
;
j
)
2
N y que pa a cada i
=
1
;::: ;
L
(
i
;
j0
)
2
N. En onces, AyBson compa ibles si
ys´
olo si
bijai
;
j0
bi
;
j0
=
κai
;
jbi0
;
j
ai0
;
j
8
(
i
;
j
)
2
N
donde κes una cons an e que depende ´
unicamen e de i0ydej
0y es dis in a pa a cada
elecci´
on de es os ´
ındices.
Puede comp oba se que si AyBson compa ibles la igualdad se iene omando
κ
=
2
6
6
6
4
M
∑
j
=
1c

1
i0
;
j
L
∑
i
=
1ci
;
j0
3
7
7
7
5

1
mien as que el ec´ıp oco se ob iene omando la dis ibuci´on conjun a
pi
;
j
=
κ
0
bi
;
jai
;
j0
bi
;
j0
pa a
(
i
;
j
)
2
N
pi
;
j
=
0pa a
(
i
;
j
)
=
2
N
siendo
κ
0
=
"
L
∑
i
=
1
ci
;
j0
#

1
433
ma iz Cy
0
con iene los componen es 6 7del ec o que esuel e el p oblema en
la ma iz C,as
´
ı se iene:
u1
=
λ 6
=
1
2λ 7
=
1
2λ
T abajando aho a con la subma iz que ocupa el luga 2,1 en C1
;
2ob enemos
2
4
1
Æ
2
1
Æ
2
3
5
=
µ
"
1
2µ
1
2µ
#
y como an es se iene
u2
=
µ
4
=
1
2µ 5
=
1
2µ
con es os ec o es es posible econs ui C1
;
2
C1
;
2
=

u1
u2

(
4 5 6 7
)=

λ
µ

1
2µ
;
1
2µ
;
1
2λ
;
1
2λ

=
"
λ
2µλ
2µ1
21
2
1
21
2µ
2λµ
2λ
#
En consecuencia, la ma iz C adop a la o ma
C
=
2
6
6
6
6
6
4
  
λ
2µλ
2µ1
21
2
  
1
21
2µ
2λµ
2λ
2
31
32
3
   
11
21
   
3
7
7
7
7
7
5
Pa a comple a uy necesi amos u3
;
u4
;
1
;
2
;
y
3, los ob end emos de la descompo-
sici´
on en alo es singula es de la ma iz C2
;
1
"
2
31
32
3
11
21
#
=
"
1
Æ
3
1
Æ
2
#
(
2
;
1
;
2
)=
"
1
3ω
1
2ω
#

2
ω
;
1
ω
;
2
ω

en consecuencia
u3
=
1
3ω
;
u4
=
1
2ω
;
1
=
2
ω
;
2
=
1
ω
;
y 3
=
2
ω
=

2
ω
;
1
ω
;
2
ω
;
1
2µ
;
1
2µ
;
1
2λ
;
1
2λ

440

As´
ı se ob iene
C
=
2
6
6
6
6
4
λ
µ
1
3ω
1
2ω
3
7
7
7
7
5

2
ω
;
1
ω
;
2
ω
;
1
2µ
;
1
2µ
;
2
2λ
;
2
2λ

=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
2λ
ωλ
ω2λ
ωλ
2µλ
2µ1
21
2
2µ
ωµ
ω2µ
ω1
21
2µ
2λµ
2λ
2
31
32
3ω
6µω
6µω
6λω
6λ
11
21ω
4µω
4µω
4λω
4λ
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
Pa a ob ene dis ibuciones ma ginales, bas a ´
a con no maliza los ec o es uy ,sin
emba go, a´
un en ese caso, dando alo es posi i os a λ
;
µyωob enemos dis in as de
es as dis ibuciones con lo que se iene la no unicidad.
Una ´ıa al e na i a en el es udio de la unicidad es el uso de las cadenas de Ma ko al y
como p oponenA nold y P ess (1989). Es e en oque su ge de la siguien e obse aci´on:
Si AyBson compa ibles exis e un ec o bidimensional
(
X
;
Y
)
de a iables alea o ias
ini as al que pa a cada i
=
1
;
2
;::: ;
Ly pa a cada j
=
1
;
2
;::: ;
M.
a1
;
j
=
P
[
X
=
xi
j
Y
=
yj
]
bi
;
j
=
P
[
Y
=
yj
j
X
=
xi
]
deno amos, como en la secci´on p eceden e:
τi
=
P
[
X
=
xi
]
ηj
=
P
[
Y
=
yj
]
que son las dis ibuciones ma ginales, en onces se ienen los siguien es esul ados po
aplicaci´on de eo ema de la p obabilidad o al.
P
[
X
=
xi
]=
M
∑
j
=
1
P
[
X
=
xi
j
Y
=
yj
]
P
[
Y
=
yj
]=
M
∑
j
=
1
ai
;
jηj
=(
ai
;
1ai
;
2
:::
ai
;
M
)
2
6
6
6
6
4
η1
η2
:
:
ηM
3
7
7
7
7
5
es deci la ila i-´esima de A, po el ec o de p obabilidad ma ginal, en consecuencia
τ
=
Aη
Po o a pa e
P
[
Y
=
yj
]=
L
∑
i
=
1P
[
Y
=
yj
j
X
=
xi
]
P
[
X
=
xi
]=
L
∑
i
=
1bi
;
jτi
=(
b1
;
j
;
b2
;
j
;::: ;
bL
;
j
)
2
6
6
6
6
4
τ1
τ2
:
:
τL
3
7
7
7
7
5
441
es o es la columna j-´esima de Bpo la dis ibuci´on ma ginal de X;as´ı
η
=
B τ
Combinando lo an e io τ
=
Aη
=
AB τ
pues o que AB es una ma iz es oc´as ica po columnas, al se lo AyB ,AB puede
se conside ada como la ma iz de ansici´on de una cadena de Ma ko de Les ados y,
consecuen emen e, τse in e p e a como una dis ibuci´on in a ian e o es aciona ia de la
cadena.
A nold, y P ess (1989) obse an que si Ay po an o B ienen sus elemen os no nulos
se iene la unicidad, esul ado que ob u imos m´as a iba.
Los esul ados an e io es se pueden gene aliza al a amien o de dis ibuciones disc e-
as de eco ido in ini o con un n´ume o ini o de elemen os ( e P´e ez-Villal a, 1997).
5. REFERENCIAS
Ab ahams J. y Thomas J.B. (1984). «A no e on he cha ac e iza ion o bi a ia e densi-
ies by condi ional densi ies».Comunica ions in S a is ics: Theo y and Me hods,
13(3), 395-400
A nold B.C., Cas illo E. y Sa abia J.M. (1992). Condi ionally speci ied dis ibu ions.
Lec u es No es in S a is ics, Volume 73, Sp inge Ve lang. Be lin.
(1996) «Bayesian analysis o classical dis ibu ions using condi ionally speci ied
p io s».Sankhy˜a,Se . B, 60, 228-245.
(1999). Condi ional speci ica ion o s a is ical model. Sp inge Se ies in S a is ics.
Sp inge . New Yo k.
A nold B.C. y Gokhale, D.V. (1994). «On uni o m ma ginal ep esen a ions o con in-
gency ables».S a is ics and P obabili y Le e , 21, 311-316
A nold B.C. y P ess S.J. (1989). «Compa ible condi ional dis ibu ions».Jou nal o
he Ame ican S a is ical Associa ion, 84, 152-156
Basul o J. (1995). «Una p opues a pa a ob ene dis ibuciones a p io i p´ublicas».Pu-
blicaci´
on del Depa amen o de Econom´
ıa Aplicada I de la Uni e sidad de Se illa.
Casella G. y Geo ge E.I. (1992). «Explaining he Gibbssampling».TheAme ican S a-
is ician, 46(3), 167-174.
Casella G. (1996). «S a is ical in e ence and Mon eCa lo algo i hms».Tes , 5, 249-
344.
Gou ie oux Ch. y Mon o A. (1979). «On he cha ac e iza ion o a join p obabili y
dis ibu ion by condi ional dis ibu ions».Jou nal o Econome ics, 10 115-118.
442
Gup a A.K. y Va ga T. (1990). «Cha ac e iza ion o join densi y by condi ionaldensi-
ies».Comunica ions in S a is ics: Theo y and Me hods, 19(12), 4643-4659.
P´e ez-Villal a, R. (1997). Dis ibuciones bi a ian es especi icadas con condicionadas
o Ma ginales. T abajo de In es igaci´on. Depa amen o de Econom´ıa Aplicada I
Uni e sidad de Se illa.
Scho , J.R. (1997). Ma ix analysis o s a is ics. John Wiley and sons. New Yo k.
443
ENGLISH SUMMARY
FINITE CONDITIONALLY
SPECIFIED VARIABLES
ROM ´
AN P´
EREZ-VILLALTA
Uni e sidad de Se illa

In his esea ch, he exis ence and uniqueness o bidimensional ec o s o
disc e e a iables wi h ini e ank is s udied when hei condi ion dis ibu-
ion a e se . To do ha and a e e ising he li e a u e abou he subjec ,
we p o ide se e al esul s ha ela e some issues o ma icial algeb a, spe-
cially he singula descomposi ion, o he p oblem ha we a e in e es ed in.
Keywo ds: Condi ionaldis ibu ion,condi ionalspeci ica ion,ma ix an-
ge, singula descomposi ion, Ma ko chain
AMS Classi ica ion (MSC 2000): 60E05, 62E10
*Facul ad de Econ´omicas y Emp esa iales. Dp o. de Econom´ıa Aplicada I. A da. Ram´on y Cajal, 1.
41018 Se illa. Espa˜na. illal [email protected]
–Recei ed Decembe 1999.
–Accep ed Sep embe 2000.
444
1. INTRODUCTION
Gi en a bi a ia e andom ec o
(
X
;
Y
)
we can speci y i s densi y unc ion in se e al
ways: p o iding ei he ha unc ion di ec ly, a ma ginal and a condi ional unc ion (in
he same o di e en componen ), wo ma ginal densi ies... Depending o he case, he
densi y unc ion o he ec o will exis o no , and mo eo e , i will be he unique one
o no .
The case whe e wo condi ional unc ions a e gi en,objec i e o his esea ch, has been
s udied ex ensi elyby A nold and P ess(1989),andA nold, Cas illo and Sa abia(1979),
al hough i can been men ioned pionee ing esea ch such as Gou ie oux and Mon o
(1979), Ab ahams and Thomas (1984). Le ’s no e be o e con inuing ha , he p e ious
lis o esea ches do no co e he ex en li e a u e in he ma e (wi h ega d o he
subjec unde discussion).
This esea ch e iews he exis ing esul s in he case whe e he andom a iables a e
ini e and con ibu es(illus a es) some addi ional esul using elemen s o ma icial cal-
culus (calculos ma iciales) and examples ha cla i y he di e en me hods exposed.
2. POSING THE PROBLEM AND NOTATION
Le wo ma ices be A
=(
ai
;
j
)
yB
=(
bi
;
j
)
(de o den) L

M ha e i ies ai
;
j

0
;
bi
;
j

0
8
i
=
1
;::: ;
L;
8
j
=
1
;::: ;
Mand mo eo e ,
L
∑
i
=
1
ai
;
j
=
1
;
M
∑
j
=
1
bi
;
j
=
1
:
The ques ion o elucida eis, unde wha condi ions wo ma ices AyB, wi h dimensions
L

M, in he condi ionsbe o e, can be conside edcondi ional dis ibu ions o a ce ain
andom ec o
(
X
;
Y
)
o disc e e a iables wi h ini e ange. Tha is, i x1
;
x2
;

;
xLa e
he possible alues o Xand y1
;
y2
;

;
yM hose o Y, when can he ollowing exp es-
sions be e i y?
ai
;
j
=
P
[
X
=
xi
j
Y
=
yj
]
i
=
1
:::
L
bi
;
j
=
P
[
Y
=
yj
j
X
=
xi
]
j
=
1
:::
M
In he same way, we a e in e es ed in knowing unde wha condi ions can exis wo
ec o s τand η, wi h dimensions Land M espec i ely, non nega i e y so ha he
no malized e sion ( he sum o he coo dina es a e he uni y)o τand ηcons i u es
he espec i e ma ginal dis ibu ions. No e ha we can suppose τibi
;
j
=
ηjai
;
ji
=
1
;::: ;
Lj
=
1
;::: ;
M, since i a τio a ηjis null, he alue xio yjhas all o i s
p obabili ies null and can be elimina ed o he p oblem.
445

This i s ques ion is called compa ibili y p oblem and, in ha con ex , he ma ices
Aand Ba e denomina ed candida es o condi ional dis ibu ions, and mo eo e , i he
answe he p oblem is a i ma i e i can be said ha Aand Ba e compa ible.
A second p oblem o be conside ed is he uniqueness o hese a iables Xand Yo
ec o es τyη, when i exis s.
Fo he ma ices Aand B, we de ine he se s
NA
=

(
i
;
j
)
:ai
;
j
>
0

;
NB
=

(
i
;
j
)
:bi
;
j
>
0

when NA
=
NBa e ob ained, i will be deno ed by Nindis inc ly
3. COMPATIBILITY
In his sec ion we s udy he ollowing esul s:
Theo em 1. (A nold y P ess, 1989) Two ma ices AyBunde he condi ions o he
sec ion be o e a e compa ible i and only i NA
=
NB
=
N an mo eo e he e exis wo
ec o s, u
=(
u1
;
u2
;::: ;
uL
)
y
=(
1
;
2
;::: ;
M
)
so ha
ci
;
j
=
ai
;
j
bi
;
j
=
ui j;
8
(
i
;
j
)
2
N
Theo em 2. Unde he p e ious condi ions Aand Ba e compa ibles i and only i he
ank o Cis equal o one.
The esul be o e can be ound, unde o he pe spec i e in A nold and Gokhale (1994),
and A nold, Cas illo and Sa abia (1999). When he e exis null elemen s in AyB,
he ma ix Ccon ains unde e mined (inde e minados) elemen os, howe e hese can be
calcula ed:
Theo em 3. I Aand Bde e min he join dis ibu ion o a disc e e and ini e ec o
(
X
;
Y
)
hen, he ma ix Ccan be comple ed so ha i has ank equal o one ( ango
unidad).
Co olla y 1. Unde he p e ious condi ions i Ccan be comple ed so ha i has ank
equal o one hen, Aand Ba e compa ibles.
446
Theo em 4. (Gup a y Va gas, 1990) Le Aand Bbe wo ma ices in he usual condi-
ions NA
=
NB
=
N and le ’s suppose ha
9
(
i0
;
j0
)
2
N such ha , o e e y j
=
1
;::: ;
M
(
i0
;
j
)
2
N and o e e y i
=
1
;::: ;
L
(
i
;
j0
)
2
N.Then,Aand Ba e compa ible i (i and
only i )
bijai
;
j0
bi
;
j0
=
κai
;
jbi0
;
j
ai0
;
j
8
(
i
;
j
)
2
N
whe e κis a cons an ha depends only o i0and j0and i is di e en o e e y choice
o hese indexes.
4. UNIQUENESS
Theo em 5. (Gup a y Va ga 1990) I Aand Bha e a leas a ow and a column o no
null elemen s, he join dis ibu ion ha Aand Bde e mine is unique.
Theo em 6. Le Aand Bbe wo compa ible ma ices. I he ma ix o he quo ien s
can be comple ed in a unique way so ha i has ank equal o one, hen he dis ibu ion
ha Aand Bde e mine is unique.
I is no always possible o comple e Cin a unique way wi h he condi ion gC
=
1.
So, a his poin , he necessi y o ypi ying such ma ices seems ob ious. To ge ha
and wi h he objec i e o making he no a ion easie , we will suppose ha by changes
o ows and columns, he mos possible numbe o elemen s o Chas been mo ed o a
sub-ma ix o i , se a he op le co ne .
Mo eo e , we will suppose ha all hose unknown alues o C ha can be calcula ed
uniquely, acco ding o he condi ion gC
=
1, ha e been calcula ed. These elemen s
will be denomina ed de e minable o calcula able. In summa y, he o m o he ma ix
Cis
C
=

C11 C12
C21 C22

whe e C11 is a ma ix wi h dimension

s, wi h all o i s elemen s unde e mined.
Besides he elemen s o C11, i is possible ha o he unde e mined elemen s exis in
C12
;
C21 yC22.
Theo em 7. I C22 has all o hei elemen s unde e mined and C12,C21 ha e all o i s
elemen s de e mined, hen he dis ibu ion ha de e mines Aand Bis no unique.
447
Theo em 8. I he join dis ibu ion ha de e mines Aand Bis no unique, he ma ix
o quo ien s Ccan be w i en pe mu a ing ows and columns, such as
C
=

C11 C12
C21 C22

wi h C11 and C22 ma ices o unde e mined elemen s.
448