Variables finitas condicionalmente especificadas

Q¨ UESTII´ O,vol. 24, 3, p. 425-448, 2000 VARIABLES FINITAS CONDICIONALMENTE ESPECIFICADAS ROM ´ AN P´ EREZ-VILLALTA Universidad de Sevilla  En este trabajo se estudia la existencia y unicidad de vectores bidimensionales de variables discreta con recorrido finito, cuando se fijan sus distribuciones condicionadas. Para ello, tras repasar la literatura existente sobre el tema, proporcionamos diversos resultados que relacionan diversos temas de ´ algebra matricial, especialmente la descomposici´ on singular, con el problema que nos ocupa. Finite conditionally specified variables Palabras clave: Distribucionescondicionadas,especificaci´oncondicional, rango de una matriz, descomposici´on singular, cadenas de Markov Clasificaci´ on AMS (MSC 2000): 60E05, 62E10 *Facultad de Econ´omicas y Empresariales. Dpto. de Econom´ıa Aplicada I. Avda. Ram´on y Cajal, 1. 41018 Sevilla. Espa˜na. [email protected] –Recibido en diciembre de 1999. –Aceptado en septiembre de 2000. 425 1. INTRODUCCI ´ ON Dado un vectoraleatorio bidimensional ( X ; Y ) podemosespecificar su funci´on de cuant´ıa o densidadde diversas formas: dar directamente esa funci´on, dar una marginaly una condicionada (en la misma o distinta componente), dar dos marginales... Dependiendo del caso la densidad o cuant´ıa del vector existir´a o no y, adem´as, ser´a´unica o no. El caso en el que se dan dos condicionadas, objeto de este trabajo, ha sido estudiado extensamente por Arnold y Press (1989) y Arnold, Castillo y Sarabia (1992) aunque se pueden nombrar trabajos pioneros como Gourieroux y Monfort (1979) y Abrahams y Thomas (1984). Se˜nalemos antes de continuar que la lista anterior no cubre toda la literatura al respecto. Respecto a las aplicaciones, cabe destacar la construcci´on de modelos bivariantes (p.e. Arnold, Castillo y Sarabia, 1992), estudios relativos a la convergenciadel algoritmo del muestreo de Gibbs (Casella y George, 1992 y Casella, 1996), en Estad´ıstica Bayesiana (Arnold, Castillo y Sarabia, 1996 y Basulto, 1995) entre otras. Este trabajo repasa los resultados existentes para el caso en que las variables aleatorias son finitas y aporta alg´un resultado adicional utilizando elementos de c´alculo matricial y ejemplos que clarifican los distintos m´etodos expuestos 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y NOTACI ´ ON Sean dos matrices A =( ai ; j ) yB =( bi ; j ) de orden L  Mque verifican ai ; j  0 ; bi ; j  0 8 i = 1 ;::: ; L; 8 j = 1 ;::: ; Myadem´as L ∑ i = 1ai ; j = 1 ; M ∑ j = 1bi ; j = 1 : Esto es, AyBtson matrices estoc´asticas por columnas. La cuesti´on a dilucidar es, bajo que condiciones dos matrices AyB, de dimensiones L  M, en las condiciones anteriores, pueden ser consideradas distribuciones condicionadas de cierto vector aleatorio ( X ; Y ) de variables discretas con recorrido finito. Esto es, si x1 ; x2 ;  ; xLson los posibles valores de Xey1 ; y2 ;  ; yMlos de Y, cuando ai ; j = P [ X = xi j Y = yj ] i = 1 ::: L bi ; j = P [ Y = yj j X = xi ] j = 1 ::: M Equivalentemente, bajo qu´e condiciones existen dos vectores τyη, de dimensiones LyMrespectivamente, no negativos y de forma que la versi´on normalizada (la suma de coordenadas unidad) de τyηsean las distribuciones marginales correspondientes. 426 N´otese que podemos suponer τibi ; j = ηjai ; ji = 1 ;::: ; Lj = 1 ;::: ; M, ya que si un τiounηjes nulo, el valor xioyjtiene todas sus probabilidades nulas y puede ser eliminado del problema. Esta primera cuesti´on recibe el nombre de problema de compatibilidad y, en ese contexto, las matrices AyBse denominan candidatas a distribuciones condicionadas, y adem´as, si la respuesta al problema es afirmativa se dice que AyBson compatibles. Un segundo problema a tratar es, supuesto que existan, la unicidad de estas variables X eYo vectores τyη. Para las matrices AyBdefinimos los conjuntos NA =  ( i ; j ) :ai ; j > 0  ; NB =  ( i ; j ) :bi ; j > 0  Cuando se tenga NA = NBlos denotaremos, indistintamente, por N. 3. COMPATIBILIDAD Un primer resultado sobre la compatibilidad de distribuciones puede encontrarse en Arnold y Press (1989) cuya traducci´on a matrices es el siguiente. Teorema 1. (Arnold y Press, 1989) Dos matrices AyBen las condiciones de la secci´ on anterior son compatibles si y s´ olo si NA = NB = N y adem´ as existen dos vectores, u =( u1 ; u2 ;::: ; uL ) yv =( v1 ; v2 ;::: ; vM ) tales que ci ; j = ai ; j bi ; j = uivj; 8 ( i ; j ) 2 N La primera condici´on refleja el hecho de que las cuant´ıas condicionadas se anulan en los mismos puntos que coinciden con los puntos en los que se anula la funci´on de cuant´ıa conjunta. Por su parte, la segunda condici´on hace referencia a la relaci´on entre marginales y condicionadas τibi ; j = ηjai ; ji = 1 ;::: ; L;j = 1 ;::: ; Mde esta forma ui = τiyvj = 1 = ηj. En el caso que nos ocupa, variables finitas, es posible utilizar resultados de ´algebra matricial para analizar la compatibilidad de las matrices AyB. En efecto, supongamos queN = f 1 ;::: ; L gf 1 ;::: ; M g y denotemosporCla matriz de elementos ci ; j = ai ; j bi ; j, en esas condiciones se tiene el siguiente Teorema 2. En las condiciones anteriores AyBson compatibles si y s´ olo si el rango de Ces uno. 427 Demostraci´ on Si rango de Ces uno, existen dos matrices ortogonales UyVde ´ordenes LyMrespectivamente de forma que C = U∑Vtdonde ∑es una matriz L  Mcuyo elemento ( 1 ; 1 ) es no nulo y el resto nulos. Obs´ervese que esto no es m´as que la descomposici´on en valores singulares de la matriz Cy el elemento no nulo de ∑el ´unico valor singular de C(ver p.e. Schott, 1997). Dada la forma de la matriz ∑podemos escribir C = uσvtdonde uyvson las primeras columnas de UyVrespectivamente. As´ı ci ; j = uiσvj ; 8 ( i ; j ) 2 N, y por tanto,incluyendoel valor singularen uno de los vectores uov, se tiene la factorizaci´on ci ; j = uivj ; 8 ( i ; j ) 2 N. Por otra parte, puesto que ues autovector de CCt, que es no negativa, y est´a asociado al autovalor σ > 0, puede ser elegido con coordenadas no negativas y puesto que v∝ Ctutambi´en es no negativo, las matrices AyBson compatibles y, en este caso, una adecuada elecci´on de las distribuciones marginales es P [ X = xi ]= τi = ui L ∑ i = 1ui i = 1 ;::: ; L P [ Y = yj ]= ηj = v  1 j M ∑ j = 1 v  1 j j = 1 ::: :; M Rec´ıprocamente, si las matrices AyBson compatibles,el rango de Ces la unidad pues, si tomamos un menor de dimensi´on dos cualquiera, ”     ci ; jci ; k cl ; jcl ; k     =         ai ; j bi ; j ai ; k bi ; k al ; j bl ; j al ; k bl ; k         =     uivjuivk ulvjulvk     = uivjulvk  uivkulvj = 0 8 i ; l = 1 ;::: ; Ly 8 j ; k = 1 ;::: ; M.  El resultado anterior puede encontrarse, bajo otra perspectiva en Arnold y Gokhale (1994) y Arnold, Castillo y Sarabia (1999). Observemos que, en este caso, la condici´on de compatibilidad v´ıa descomposici´on singular se simplifica notablementepues, como observan Arnold y Press (1989) y Arnold, Castillo y Sarabia (1992), se verifica que: ci ; jc :: = ci : c : j 8 ( i ; j ) 2 N 428 donde c :: = ∑ i ; jci ; j ; c ; j = ∑ ici ; jyci : = ∑ jci ; j y en consecuencia: ui∝ci : yvj∝c : j ; 8 ( i ; j ) 2 N Ejemplo 1. Consideremos las matrices: A = 2 4 1 21 2 4 51 5 3 5 B = 2 4 1 32 3 2 31 3 3 5 La matriz de cocientes es C = 2 4 15 10 15 20 24 20 6 10 3 5 = 3 20  10 5 84  ; tiene rango unidad y por tanto AyBson compatibles. Luego v1∝15 10 + 24 20 = 54 20 y v2∝15 20 + 6 10 = 27 20. Por otra parte, u1∝15 10 + 15 20 = 45 20 yu 2∝24 20 + 6 10 = 36 20: Podemos tomar por tanto ( v1 ; v2 ) ∝ ( 2 ; 1 ) y ( u1 ; u2 ) ∝ ( 5 ; 4 ) El producto ( 5 ; 4 ) t ( 2 ; 1 ) debe ser una matriz que, elemento a elemento, es proporcional aC.  4 5  [ 2 ; 1 ]=  10 5 84  Multiplicando esta matriz por 3 20 se obtiene C. Ejemplo 2. Las matrices A = 2 4 1 21 2 3 52 5 3 5 B = 2 4 1 32 3 2 31 3 3 5 son incompatibles pues la matriz de cocientes Ctiene, claramente, rango dos: C = 2 4 15 10 15 20 18 20 12 10 3 5 = 3 20  10 5 68  Estudiamos el caso general. Supongamosque NA = NB = N(lo contrario indica incompatibilidad), pero Ndistinto del producto cartesiano f 1 ;::: ; L gf 1 ;::: ; M g . 429 Observemos que, en este caso, la matriz de los cocientes Cno est´a completamente determinada por las matrices candidatas a distribuciones condicionadas AyB.As´ısi, por ejemplo, (Arnold Castillo y Sarabia 1992) A = 2 6 6 6 6 4 1 Æ 603 Æ 14 01 Æ 44 Æ 14 5 Æ 63 Æ 47 Æ 14 3 7 7 7 7 5 B = 2 6 6 6 4 1 Æ 403 Æ 4 01 Æ 32 Æ 3 5 Æ 18 6 Æ 18 7 Æ 18 3 7 7 7 5 Los elementos c12 yc21 de Cest´an indeterminados, al ser cociente de dos elementos nulos. La observaci´on fundamental es que, bajo la hip´otesis de compatibilidad, esos elementos indeterminados de Cest´an definidos, pues son cocientes de probabilidades marginales no nulas (pues, en otro caso el elemento se elimina), y pueden ser determinados, bajo ciertas condiciones, a partir de AyB. Teorema 3. Si AyBdeterminan la distribuci´ on conjunta de un vector ( X ; Y ) discreto y finito entonces, la matriz Cpuede completarse de forma que tenga rango unidad. Demostraci´ on Para cada ( i ; j ) = 2 Nnos basta tomar ci ; j = P [ X = xi ] P [ Y = yj ] = τi ηj Obs´ervese que estos ci ; jest´an definidos pues P [ Y = yj ] 6 = 0 pues, en otro caso, yjse habr´ıa eliminado del problema.  La utilidad del resultado que acabamos de obtener queda patente en el siguiente ejemplo Ejemplo 3. Consid´ erese A = 10  1 2 6 6 6 6 6 4 1211 0422 5024 4453 3 7 7 7 7 7 5 yB = 10  1 2 6 6 6 6 6 4 2161 0424 4033 1234 3 7 7 7 7 7 5 430 entonces la matriz Cviene dada (parcialmente) por C = 2 6 6 6 6 6 6 4 1 Æ 221 Æ 61  111 Æ 2 5 Æ 4  2 Æ 34 Æ 3 42 5 Æ 33 Æ 4 3 7 7 7 7 7 7 5 AyBson incompatibles pues, por ejemplo      21 Æ 6 11      6 = 0 N´otesequesi Cpuedecompletarsede formaquetengarangounidadpodremosaplicarle el Teorema 2 y tenemos el siguiente Corolario 1. En las condicionesanteriores si Cpuedecompletarsede forma quetenga rango unidad entonces, AyBson compatibles. Utilizaremos datos de Arnold, Castillo y Sarabia, (1992) para ilustrar el uso del corolario que acabamos de obtener. Ejemplo 4. Si tomamos las matrices A = 2 6 6 6 6 4 1 603 14 01 44 14 5 63 47 14 3 7 7 7 7 5 B = 2 6 6 6 6 4 1 403 4 01 32 3 5 18 6 18 7 18 3 7 7 7 7 5 Entonces C = 2 6 6 6 6 4 4 6  4 14  3 46 14 18 69 418 14 3 7 7 7 7 5 Haciendo       4 6c12 18 69 4       = 0       c21 3 4 18 69 4       = 0 431 Obtenemos c12 = 1 2yc 21 = 1yas ´ ılamatrizCes de rango unidad. C = 2 6 6 6 6 4 4 61 24 14 13 46 14 18 69 418 14 3 7 7 7 7 5 y aplicando resultados anteriores se tiene u∝  61 42 ; 61 28 ; 183 28  yv∝  28 6 ; 14 4 ; 28 14  : En ocasiones, no es posible completar Cde manera ´unica y de forma que tenga rango unidad. Ejemplo 5. Consideramos las matrices A = 2 6 6 6 6 6 6 4 02 301 3 1 201 40 01 302 3 1 203 40 3 7 7 7 7 7 7 5 B = 2 6 6 6 6 6 6 4 04 501 5 1 201 20 01 201 2 1 403 40 3 7 7 7 7 7 7 5 La matriz (parcial) de cocientes es C = 2 6 6 6 6 6 4  5 6  5 3 1  1 2   2 3  4 3 2  3  3 7 7 7 7 7 5 Si hacemos c11 = λ 6 = 0obtenemos C = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 λ5 6λ 25 3 15 6λ1 25 3λ 4 5λ2 32 5λ4 3 25 3λ110 3λ 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 432 sin m´ as que imponer que tenga rango 1. Para cada valor de λse obtienen distintas Cy por tanto esta matriz no se puede completar de manera ´ unica de forma que tenga rango unidad. Adem´ as, para cada λse tendr´ an distintos vectores uyv. En este caso, u∝  5 2 + 3 2λ ; 3 2 + 5 2λ ; 2 + 6 5λ ; 3 + 5 λ  v∝  3 + 9 5λ ; 3 2 + 1 λ 5 2 ; 3 2 + 9 10λ ; 3 + 5 λ  Otro resultado de inter´es, debido a Gupta y Vargas (1990), que da una condici´on necesaria y suficiente para el caso en que las matrices AyBtienen una fila (pongamos i0) y una columna (por ejemplo j0) de elementos no nulos. Formalmente podemos enunciarlo en los siguientes t´erminos: Teorema 4. (Gupta y Vargas, 1990) Sean AyBdos matrices en las condiciones habituales NA = NB = N y supongamos que 9 ( i0 ; j0 ) 2 N tal que, para cada j = 1 ;::: ; M ( i0 ; j ) 2 N y que para cada i = 1 ;::: ; L ( i ; j0 ) 2 N. Entonces, AyBson compatibles si ys´ olo si bijai ; j0 bi ; j0 = κai ; jbi0 ; j ai0 ; j 8 ( i ; j ) 2 N donde κes una constante que depende ´ unicamente de i0ydej 0y es distinta para cada elecci´ on de estos ´ ındices. Puede comprobarse que si AyBson compatibles la igualdad se tiene tomando κ = 2 6 6 6 4 M ∑ j = 1c  1 i0 ; j L ∑ i = 1ci ; j0 3 7 7 7 5  1 mientras que el rec´ıproco se obtiene tomando la distribuci´on conjunta pi ; j = κ 0 bi ; jai ; j0 bi ; j0 para ( i ; j ) 2 N pi ; j = 0para ( i ; j ) = 2 N siendo κ 0 = " L ∑ i = 1 ci ; j0 #  1 433 matriz Cyv 0 contiene los componentes v6v7del vector vque resuelve el problema en la matriz C,as ´ ı se tiene: u1 = λv6 = 1 2λv7 = 1 2λ Trabajando ahora con la submatriz que ocupa el lugar 2,1 en C1 ; 2obtenemos 2 4 1 Æ 2 1 Æ 2 3 5 t = µ " 1 2µ 1 2µ # t y como antes se tiene u2 = µv 4 = 1 2µv5 = 1 2µ con estos vectores es posible reconstruir C1 ; 2 C1 ; 2 =  u1 u2  ( v4v5v6v7 )=  λ µ  1 2µ ; 1 2µ ; 1 2λ ; 1 2λ  = " λ 2µλ 2µ1 21 2 1 21 2µ 2λµ 2λ # En consecuencia, la matriz C adopta la forma C = 2 6 6 6 6 6 4    λ 2µλ 2µ1 21 2    1 21 2µ 2λµ 2λ 2 31 32 3     11 21     3 7 7 7 7 7 5 Para completar uyvnecesitamos u3 ; u4 ; v1 ; v2 ; yv 3, los obtendremos de la descomposici´ on en valores singulares de la matriz C2 ; 1 " 2 31 32 3 11 21 # = " 1 Æ 3 1 Æ 2 # ( 2 ; 1 ; 2 )= " 1 3ω 1 2ω #  2 ω ; 1 ω ; 2 ω  en consecuencia u3 = 1 3ω ; u4 = 1 2ω ; v1 = 2 ω ; v2 = 1 ω ; yv3 = 2 ω vt =  2 ω ; 1 ω ; 2 ω ; 1 2µ ; 1 2µ ; 1 2λ ; 1 2λ  440 As´ ı se obtiene C = 2 6 6 6 6 4 λ µ 1 3ω 1 2ω 3 7 7 7 7 5  2 ω ; 1 ω ; 2 ω ; 1 2µ ; 1 2µ ; 2 2λ ; 2 2λ  = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 2λ ωλ ω2λ ωλ 2µλ 2µ1 21 2 2µ ωµ ω2µ ω1 21 2µ 2λµ 2λ 2 31 32 3ω 6µω 6µω 6λω 6λ 11 21ω 4µω 4µω 4λω 4λ 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 Para obtener distribuciones marginales, bastar´ a con normalizar los vectores uyv,sin embargo, a´ un en ese caso, dando valores positivos a λ ; µyωobtenemos distintas de estas distribuciones con lo que se tiene la no unicidad. Una v´ıa alternativa en el estudio de la unicidad es el uso de las cadenas de Markov tal y como proponenArnold y Press (1989). Este enfoque surge de la siguiente observaci´on: Si AyBson compatibles existe un vector bidimensional ( X ; Y ) de variables aleatorias finitas tal que para cada i = 1 ; 2 ;::: ; Ly para cada j = 1 ; 2 ;::: ; M. a1 ; j = P [ X = xi j Y = yj ] bi ; j = P [ Y = yj j X = xi ] denotamos, como en la secci´on precedente: τi = P [ X = xi ] ηj = P [ Y = yj ] que son las distribuciones marginales, entonces se tienen los siguientes resultados por aplicaci´on de teorema de la probabilidad total. P [ X = xi ]= M ∑ j = 1 P [ X = xi j Y = yj ] P [ Y = yj ]= M ∑ j = 1 ai ; jηj =( ai ; 1ai ; 2 ::: ai ; M ) 2 6 6 6 6 4 η1 η2 : : ηM 3 7 7 7 7 5 es decir la fila i-´esima de A, por el vector de probabilidad marginal, en consecuencia τ = Aη Por otra parte P [ Y = yj ]= L ∑ i = 1P [ Y = yj j X = xi ] P [ X = xi ]= L ∑ i = 1bi ; jτi =( b1 ; j ; b2 ; j ;::: ; bL ; j ) 2 6 6 6 6 4 τ1 τ2 : : τL 3 7 7 7 7 5 441 esto es la columna j-´esima de Bpor la distribuci´on marginal de X;as´ı η = Btτ Combinando lo anterior τ = Aη = ABtτ puesto que ABtes una matriz estoc´astica por columnas, al serlo AyBt,ABtpuede ser considerada como la matriz de transici´on de una cadena de Markov de Lestados y, consecuentemente, τse interpreta como una distribuci´on invariante o estacionaria de la cadena. Arnold, y Press (1989) observan que si Ay por tanto Btienen sus elementos no nulos se tiene la unicidad, resultado que obtuvimos m´as arriba. Los resultados anteriores se pueden generalizar al tratamiento de distribuciones discretas de recorrido infinito con un n´umero finito de elementos (ver P´erez-Villalta, 1997). 5. REFERENCIAS Abrahams J. y Thomas J.B. (1984). «A note on the characterization of bivariate densities by conditional densities».Comunications in Statistics: Theory and Methods, 13(3), 395-400 Arnold B.C., Castillo E. y Sarabia J.M. (1992). Conditionally specified distributions. Lectures Notes in Statistics, Volume 73, Springer Verlang. Berlin. (1996) «Bayesian analysis for classical distributions using conditionally specified priors».Sankhy˜a,Ser. B, 60, 228-245. (1999). Conditional specification of statistical model. Springer Series in Statistics. Springer. New York. Arnold B.C. y Gokhale, D.V. (1994). «On uniform marginal representations of contingency tables».Statistics and Probability Letter, 21, 311-316 Arnold B.C. y Press S.J. (1989). «Compatible conditional distributions».Journal of the American Statistical Association, 84, 152-156 Basulto J. (1995). «Una propuesta para obtener distribuciones a priori p´ublicas».Publicaci´ on del Departamento de Econom´ ıa Aplicada I de la Universidad de Sevilla. Casella G. y George E.I. (1992). «Explainingthe Gibbssampling».TheAmerican Statistician, 46(3), 167-174. Casella G. (1996). «Statistical inference and MonteCarlo algorithms».Test, 5, 249344. Gourieroux Ch. y Monfort A. (1979). «On the characterization of a joint probability distribution by conditional distributions».Journal of Econometrics, 10 115-118. 442 Gupta A.K. y Varga T. (1990). «Characterization of joint density by conditionaldensities».Comunications in Statistics: Theory and Methods, 19(12), 4643-4659. P´erez-Villalta, R. (1997). Distribuciones bivariantes especificadas con condicionadas o Marginales. Trabajo de Investigaci´on. Departamento de Econom´ıa Aplicada I Universidad de Sevilla. Schott, J.R. (1997). Matrix analysis for statistics. John Wiley and sons. New York. 443 ENGLISH SUMMARY FINITE CONDITIONALLY SPECIFIED VARIABLES ROM ´ AN P´ EREZ-VILLALTA Universidad de Sevilla  In this research, the existence and uniqueness of bidimensional vectors of discrete variables with finite rank is studied when their condition distribution are set. To do that and after revising the literature about the subject, we provide several results that relate some issues of matricial algebra, specially the singulardescomposition,to the problem that we are interested in. Keywords: Conditionaldistribution,conditionalspecification,matrixrange, singular descomposition, Markov chain AMS Classification (MSC 2000): 60E05, 62E10 *Facultad de Econ´omicas y Empresariales. Dpto. de Econom´ıa Aplicada I. Avda. Ram´on y Cajal, 1. 41018 Sevilla. Espa˜na. [email protected] –Received December 1999. –Accepted September 2000. 444 1. INTRODUCTION Given a bivariate random vector ( X ; Y ) we can specify its density function in several ways: providing either that function directly, a marginal and a conditional function (in the same o different component), two marginal densities... Depending of the case, the density function of the vector will exist or not, and moreover, it will be the unique one or not. The case where two conditional functions are given,objective of this research, has been studied extensivelyby Arnold and Press(1989),andArnold, Castillo and Sarabia(1979), although it can been mentioned pioneering research such as Gourieroux and Monfort (1979), Abrahams and Thomas (1984). Let’s note before continuing that, the previous list of researches do not cover the extent literature in the matter (with regard to the subject under discussion). This research reviews the existing results in the case where the random variables are finite and contributes(illustrates) some additional result using elements of matricial calculus (calculos matriciales) and examples that clarify the different methods exposed. 2. POSING THE PROBLEM AND NOTATION Let two matrices be A =( ai ; j ) yB =( bi ; j ) (de orden) L  Mthat verifies ai ; j  0 ; bi ; j  0 8 i = 1 ;::: ; L; 8 j = 1 ;::: ; Mand moreover, L ∑ i = 1 ai ; j = 1 ; M ∑ j = 1 bi ; j = 1 : The question to elucidateis, underwhat conditionstwo matrices AyB, with dimensions L  M, in the conditionsbefore, can be consideredconditional distributions of a certain random vector ( X ; Y ) of discrete variables with finite range. That is, if x1 ; x2 ;  ; xLare the possible values of Xand y1 ; y2 ;  ; yMthose of Y, when can the following expressions be verify? ai ; j = P [ X = xi j Y = yj ] i = 1 ::: L bi ; j = P [ Y = yj j X = xi ] j = 1 ::: M In the same way, we are interested in knowing under what conditions can exist two vectors τand η, with dimensions Land Mrespectively, non negative y so that the normalized version (the sum of the coordinates are the unity)of τand ηconstitutes the respective marginal distributions. Note that we can suppose τibi ; j = ηjai ; ji = 1 ;::: ; Lj = 1 ;::: ; M, since if a τior a ηjis null, the value xior yjhas all of its probabilities null and can be eliminated of the problem. 445 This first question is called compatibility problem and, in that context, the matrices Aand Bare denominated candidates to conditional distributions, and moreover, if the answer the problem is affirmative it can be said that Aand Bare compatible. A second problem to be considered is the uniqueness of these variables Xand Yor vectores τyη, when it exists. For the matrices Aand B, we define the sets NA =  ( i ; j ) :ai ; j > 0  ; NB =  ( i ; j ) :bi ; j > 0  when NA = NBare obtained, it will be denoted by Nindistinctly 3. COMPATIBILITY In this section we study the following results: Theorem 1. (Arnold y Press, 1989) Two matrices AyBunder the conditions of the section before are compatible if and only if NA = NB = N an moreover there exist two vectors, u =( u1 ; u2 ;::: ; uL ) yv =( v1 ; v2 ;::: ; vM ) so that ci ; j = ai ; j bi ; j = uivj; 8 ( i ; j ) 2 N Theorem 2. Under the previous conditions Aand Bare compatibles if and only if the rank of Cis equal to one. The result before can be found, under other perspective in Arnold and Gokhale (1994), and Arnold, Castillo and Sarabia (1999). When there exist null elements in AyB, the matrix Ccontains undetermined (indeterminados) elementos, however these can be calculated: Theorem 3. If Aand Bdetermin the joint distribution of a discrete and finite vector ( X ; Y ) then, the matrix Ccan be completed so that it has rank equal to one (rango unidad). Corollary 1. Under the previous conditions if Ccan be completed so that it has rank equal to one then, Aand Bare compatibles. 446 Theorem 4. (Gupta y Vargas, 1990) Let Aand Bbe two matrices in the usual conditions NA = NB = N and let’s suppose that 9 ( i0 ; j0 ) 2 N such that, for every j = 1 ;::: ; M ( i0 ; j ) 2 N and for every i = 1 ;::: ; L ( i ; j0 ) 2 N.Then,Aand Bare compatible iff(if and only if) bijai ; j0 bi ; j0 = κai ; jbi0 ; j ai0 ; j 8 ( i ; j ) 2 N where κis a constant that depends only of i0and j0and it is different for every choice of these indexes. 4. UNIQUENESS Theorem 5. (Gupta y Varga 1990) If Aand Bhave at least a row and a column of no null elements, the joint distribution that Aand Bdetermine is unique. Theorem 6. Let Aand Bbe two compatible matrices. If the matrix of the quotients can be completed in a unique way so that it has rank equal to one, then the distribution that Aand Bdetermine is unique. It is not always possible to complete Cin a unique way with the condition rgC = 1. So, at this point, the necessity of typifying such matrices seems obvious. To get that and with the objective of making the notation easier, we will suppose that by changes of rows and columns, the most possible number of elements of Chas been moved to a sub-matrix of it, set at the top left corner. Moreover, we will suppose that all those unknown values of Cthat can be calculated uniquely, according to the condition rgC = 1, have been calculated. These elements will be denominated determinable or calculatable. In summary, the form of the matrix Cis C =  C11 C12 C21 C22  where C11 is a matrix with dimension r  s, with all of its elements undetermined. Besides the elements of C11, it is possible that other undetermined elements exist in C12 ; C21 yC22. Theorem 7. If C22 has all of their elements undetermined and C12,C21 have all of its elements determined, then the distribution that determines Aand Bis not unique. 447 Theorem 8. If the joint distribution that determines Aand Bis not unique, the matrix of quotients Ccan be written permutating rows and columns, such as C =  C11 C12 C21 C22  with C11 and C22 matrices of undetermined elements. 448