T´
ECNICAS DE CONTROL A TRAV´
ES DE RED
INAL ´
AMBRICA DE VEH´
ICULO BASADO EN P´
ENDULO
INVERTIDO
J. A iaga, P. Mill´an, I. Ju ado, C. Vi as y F.R. Rubio
Depa amen o de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Uni e sidad de Se illa, Espa˜na
a iaga,pmillan,iju ado, i [email p o ec ed] y [email p o ec ed]
Resumen
Es e abajo p esen a la aplicaci´on de una ´ecnica
de con ol obus o H∞en el con ex o de sis emas
con olados a a ´es de edes (NCS). La aplicaci´on
se lle a a cabo sob e un Veh´ıculo pe sonal basa-
do en P´endulo In e ido (PPCa ) que se con ola
emo amen e a a ´es de una ed de comunicacio-
nes inal´amb ica ipo Blue oo h. El abajo ealiza
un es udio compa a i o del compo amien o de es-
a ´ecnica de con ol en e a un con ol cl´asico
LQR, p esen ando esul ados expe imen ales que
ponen de mani ies o las di icul ades in ´ınsecas de
con ol a a ´es de edes.
Palab as cla e: P´endulo In e ido, Con ol a
a ´es de edes, Con ol Robus o.
1. INTRODUCCI ´
ON
Es a ´ul ima d´ecada ha sido es igo de un no a-
ble desa ollo de las ecnolog´ıas de comunicaci´on
inal´amb icas, que han mo i ado la apa ici´on de
una amplia a iedad de aplicaciones en mul i ud
de disciplinas. La ingenie ´ıa de con ol no es ajena
a es os desa ollos y podemos obse a c´omo en los
´ul imos iempos son cada ez m´as ecuen es los
abajos y sesiones ´ecnicas especializadas dedica-
das al con ol de sis emas din´amicos a a ´es de
edes de comunicaciones, o NCS (Ne wo ked Con-
ol Sys ems) en su denominaci´on anglosajona.
Los sis emas NCS son aquellos en los cuales los
di e en es elemen os del lazo de con ol (senso es,
con olado es y ac uado es) se encuen an ´ısica-
men e dis ibuidos y unidos a una ed de comuni-
caciones de p op´osi o gene al, compa iendo ancho
de banda con o as aplicaciones, no necesa iamen-
e elacionadas con el con ol.
El empleo de ecnolog´ıas de con ol a a ´es de
edes de comunicaciones p esen a m´ul iples en-
ajas espec o a los sis emas adicionales, como
son a qui ec u as m´as lexibles, educci´on de cos-
es de ins alaci´on y man enimien o, posibilidades
de con ol emo o de disposi i os m´o iles median-
e enlaces inal´amb icos, e c.
Consecuen emen e, las ecnolog´ıas NCS encuen-
an aplicaci´on en la ac ualidad en campos an
a iados como el con ol de ´a ico en au o ´ıas [9]
o in e enciones qui ´u gicas emo as [8].
Sin emba go el uso de edes de comunicaci´on no
dedicadas, en con as e con los adicionales en-
laces de comunicaciones independien es dedica-
dos a con ol, in oduce una se ie de in e esan-
es desa ´ıos desde el pun o de is a del dise˜no de
con olado es, p o ocolos de comunicaciones, a -
qui ec u as de con ol, y en gene al odos los ele-
men os asociados al lazo de con ol.
El con ol NCS su ge as´ı como una disciplina
h´ıb ida de las, hoy d´ıa bien es ablecidas, eo ´ıa
de con ol au om´a ico y ecnolog´ıa de elecomu-
nicaciones. T adicionalmen e la eo ´ıa de con ol
se ocupa de sis emas din´amicos in e conec ados
a a ´es de enlaces de comunicaciones ideales
(ins an ´aneos, sin p´e didas, e c), mien as que la
ecnolog´ıa de elecomunicaciones se ocupa de la
ansmisi´on de in o maci´on sob e canales impe -
ec os. Una combinaci´on de ambos ma cos es ne-
cesa io pa a modela ap opiadamen e un sis ema
NCS.
El p esen e abajo a a de pone mani ies o algu-
nas de las peculia idades asociadas a los sis emas
de con ol NCS, p esen ando un an´alisis compa a-
i o sob e esul ados expe imen ales del compo -
amien o del compo amien o de una ´ecnica de
con ol cl´asico en e a ´ecnicas espec´ı icas NCS.
Conc e amen e, se plan ea el con ol de un Veh´ıcu-
lo pe sonal basado en P´endulo In e ido (PPCa )
a a ´es de una ed de comunicaciones inal´amb ica
ipo Blue oo h. El sis ema es especialmen e ap o-
piado pa a ejempli ica los p oblemas asociados al
con ol NCS, debido a que se a a de un sis ema
de din´amica ines able ela i amen e simple, aun-
que ´acil de es abiliza si se aplican las hip´o esis
del con ol cl´asico. La di icul ad de con ol se pone
de mani ies o en es e abajo al compa a el com-
po amien o de un con ol cl´asico LQR dise˜nado
bajo la hip´o esis de enlace de comunicaciones pe -
ec o en e a una ´ecnica de con ol H∞adap ado
a las condiciones de iempo de mues eo a iable y
p´e dida de in o maci´on asociado a sis emas NCS.
El a ´ıculo se ha es uc u ado del siguien e modo:
En p ime luga , en la secci´on 2, se desc iben los
aspec os m´as ele an es de las a qui ec u a ha d-
wa e y so wa e del sis ema PPCa . A con inua-
ci´on, la secci´on 3 desc ibe el modelo din´amico no
lineal del sis ema que se emplea ´a pa a el dise˜no
de con olado es. En la secci´on 4 se desc iben las
es a egias de con ol local LQR y con ol NCS
H∞que se ensayan en es e abajo. Pa a inaliza ,
la secci´on 5 desc ibe los esul ados expe imen a-
les ob enidos y ealiza una b e e discusi´on de los
mismos.
2. DESCRIPCI ´
ON DEL
SISTEMA
Se ha abajado con un eh´ıculo pe sonal basado
en p´endulo in e ido, el PPCa -Pe sonal Pendu-
lum Ca -, desc i o en [5]. Dicho eh´ıculo, des ina-
do al anspo e de pe sonas, es ´a mon ado sob e
dos uedas pa alelas donde el p´endulo es ´a cons-
i uido po la pe sona que es ´a sob e el eh´ıculo,
que se apoya sob e una ba a de con ol. En la ig.
1 se ep esen a un esquema del eh´ıculo. El mo i-
mien o de a ance es ´a p o ocado po la inclinaci´on
de la pe sona con espec o a la posici´on de equi-
lib io, la e icalidad. De hecho, los con olado es
calculados pa a log a la e icalidad se han di-
se˜nado eniendo en cuen a an s´olo el mo imien o
en l´ınea ec a del eh´ıculo, mien as que el mo i-
mien o de o aci´on es con olado di ec amen e po
el pilo o median e un disposi i o el´ec ico ubicado
en el pu˜no.
En los abajos an e io es con es e eh´ıculo, se a-
baj´o siemp e u ilizando como n´ucleo del sis ema
un mic ocon olado ubicado en el p opio eh´ıcu-
lo, que ecog´ıa la in o maci´on de los senso es y
a pa i de dicha in o maci´on calculaba las accio-
nes de con ol. Adicionalmen e, el mic ocon ola-
do se comunicaba con una es aci´on base (un PC)
median e un so wa e dise˜nado a al e ec o que
pe mi ´ıa ajus a los pa ´ame os de los con ola-
do es en l´ınea y cap u a in o maci´on ele an e.
Sin emba go, en es e abajo el mic ocon olado
ha quedado como simple in ´e p e e de ´o denes: al
PC le sigue llegando la in o maci´on, pe o es ´es e
(median e un nue o so wa e) que calcula las ac-
ciones de con ol. El PC ansmi e las consignas
al mic ocon olado , que se limi a a ans e i las
a los mo o es. De hecho, si se dispusie a de sen-
so es ex e nos pa a ob ene el es ado del sis ema,
pod ´ıamos en ia di ec amen e las consignas a la
con olado a de los mo o es sin necesidad de in-
e enci´on del mic ocon olado .
Figu a 1: Esquema del eh´ıculo
2.1. ARQUITECTURA HARDWARE
La pla a o ma donde debe mon a se el pilo o a
sos enida po el eje de las uedas, de adio 17.5
cm, cada una de ellas conec ada a un mo o ali-
men ado a 24 V y capaces de llega a 240 pm.
Figu a 2: Diag ama de bloques del sis ema
La ig. 2 ep esen a un diag ama de bloques del
conjun o. El n´ucleo del sis ema es un mic ocon-
olado de 8 bi s de bajo cos e, el modelo A me-
ga128 de A mel, que se comunica con los dis in os
pe i ´e icos a a ´es de di e en es pue os. El mi-
c ocon olado lle a inco po ado un eloj in e no
de 16 Mhz, lo que ha pe mi ido en abajos an e-
io es u iliza iempos de mues eo de decenas de
milisegundos.
Al mic ocon olado se conec an:
Dos encode s, uno po cada ueda. Se em-
plean pa a medi las elocidades de ambas.
Un senso de inclinaci´on Mic oS ain, que in-
co po a p ep ocesamien o de se˜nal basada en
il o de Kalman.
Un senso pa a indica la consigna de gi o,
o denada po el pilo o a a ´es de un pu˜no
con esis encia a iable.
Una con olado a conec ada a los dos mo o-
es, Robo eq AX1550, se comunica con el con-
olado a a ´es de una de las dos UARTs
que posee.
Finalmen e, un adio-m´odem blue oo h
HandyPo HPS-120 que abaja en la banda
de 2.4 Ghz, se conec a al mic ocon olado
a a ´es de la segunda UART y al PC en
el o o ex emo median e el pue o se ie
( ambi´en con in e az RS-232).
Una caja de con ol conec ada an o a la con-
olado a de los mo o es como al mic ocon-
olado y que iene la po es ad de de ene la
acci´on de ambos.
El equipo PC de la es aci´on base es un Pen ium
IV a 2.80 Ghz de ecuencia de eloj con 512 MB
de memo ia RAM.
La con olado a AX1550 pe mi e ob ia el p o-
blema de la alimen aci´on de los mo o es: ecibe
las consignas del mic ocon olado y se ocupa de
man ene la consigna a ambos mo o es. En la ig.
3 se ilus a la a qui ec u a comple a del sis ema.
Figu a 3: A qui ec u a del sis ema
2.2. SOFTWARE DEL
MICROCONTROLADOR
El so wa e pa a el mic ocon olado se ha basado
en el sis ema ope a i o pa a sis emas embebidos
TinyOS, p og amando en lenguaje nescC. Se pa -
i´o de la base del abajo o iginal eu ilizando g an
pa e del c´odigo.
TinyOS es un so wa e de c´odigo abie o con una
es uc u a de m´odulos je ´a quica que pe mi e al
p og amado abs ae se del ha dwa e, as´ı como e-
u iliza c´odigo de mane a sencilla.
NesC pe mi e desa olla p og amas compac os
que consuman poca memo ia, basados en un
n´ucleo mul ihilo con dos ipos de es uc u as: a-
eas y e en os.
Pa a pode ene un sis ema de con ol en iempo
eal se p og am´o un eloj de iempo eal de 10ms
de pe ´ıodo que do a al sis ema de una base de
iempo pa a pode ealiza las a eas necesa ias.
Pa a las comunicaciones po pue o se ie, an o
pa a lec u a de da os de los senso es como pa a
la comunicaci´on con el PC, se han u ilizado in e-
upciones.
Pa a el desa ollo del so wa e empleado se ap o-
ech´o el desa ollo o iginal; al y como es aba
p e is o, la es uc u a basada en m´odulos aci-
li ´o eno memen e la ep og amaci´on al abs ae -
nos del ni el de ha dwa e. De es e modo, emplea-
mos los m´odulos de con e ido anal´ogico/digi al,
pue o se ie, encode y empo izaci´on.
2.3. SOFTWARE DE PLATAFORMA
PC
Como ya se ha mencionado, la comunicaci´on en-
e mic ocon olado y PC se lle a a cabo me-
dian e comunicaci´on inal´amb ica siguiendo el p o-
ocolo Blue oo h en su e si´on 1.1 (no ma IEEE
802.15.1-2002); sin emba go, al es a conec ado ese
m´odem al pue o se ie, el p og amado abaja di-
ec amen e sob e el in e az RFCOMM. La capa
de con ol y adap aci´on del enlace l´ogico (L2CAP)
y la capa ´ısica quedan abs aidas del p og ama-
do . La asa de bi s (con igu able) elegida ue de
19200 bi s/s.
Se es udi´o la posibilidad de emplea TCP/IP sob e
PPP, sin emba go eso hubie a implicado la ins a-
laci´on de dichos p o ocolos en el sis ema ope a i o
TinyOS y hubie a complicado innecesa iamen e el
sis ema: en su luga , c eamos un p o ocolo simple
de comunicaci´on que no posee con ol de lujo ni
de e o es (aunque s´ı de ecci´on de ´es os).
El p o ocolo implemen ado cons a de es ipos de
PDUs: las amas de conexi´on, las de asen imien o
y las de da os.
PDU de conexi´on: son amas simples, de un
s´olo oc e o, cuyo obje i o es a anca o de e-
ne el eh´ıculo; debido a su na u aleza c ´ı ica
son las ´unicas que equie en asen imien o.
PDU de asen imien o: s´olo se u ilizan en es-
pues a a las an e io es. Tambi´en de un s´olo
oc e o.
PDU de da os: compues as po una cabece a,
un pie, un n´ume o pa de oc e os de in o ma-
ci´on (si hace al a se a˜nade un oc e o nulo al
inal pa a log a un n´ume o pa ) y dos oc e os
de checksum.
El so wa e ins alado en la es aci´on base (PC) se
desa oll´o en C empleando el en o no de desa o-
llo De -C++. Pa a la comunicaci´on con el pue -
o se ie se u iliz´o la biblio eca LnxComm [3], que
pe mi e de o ma sencilla la p og amaci´on mul-
ipla a o ma (windows o *NIX) del pue o se ie
abs ayendo al p og amado de las pa icula ida-
des del sis ema ope a i o. El p og ama cons a de
dos hilos, el de ecepci´on de da os (p io i a io) y
el de gene aci´on de consignas: el hilo de ecep-
ci´on con ola el lujo del p og ama, escuchando el
pue o se ie a la espe a de una ama de da os;
al ecibi la, cede b e emen e el con ol del lujo al
hilo de gene aci´on de consignas pa a que, a pa i
de la in o maci´on que acaba de ecoge (y p oce-
sa ), pueda calcula y en ia la se˜nal de con ol de
uel a al eh´ıculo. Pa a la c eaci´on de los hilos y
la sinc onizaci´on en e ´es os se emple´o el sis ema
de e en os de Win32; se plan ea la con eniencia
de emplea hilos POSIX pa a asegu a la po abi-
lidad del c´odigo a pla a o mas *NIX.
Ambos hilos compa en in o maci´on a a ´es de
una es uc u a de ipo CARRO, que con iene in-
o maci´on sob e el pue o l´ogico que sopo a la co-
nexi´on, el es ado ac ual del eh´ıculo y la consigna
que se en ´ıa. Dicha es uc u a puede se ampliada
de acue do con las necesidades del momen o con
es ados (y consignas) an e io es o u u as.
El p og ama ecibe la in o maci´on y en ´ıa la o den
de con ol de o ma con ´ınua has a que se cumple
un m´aximo de i e aciones p ees ablecido o bien
has a que el ope ado de la es aci´on base decida
e mina . Cuando eso ocu e, se almacena en un
iche o de egis o oda la in o maci´on ob enida
(ins an e de iempo en que se ecogen mues as,
con enido de ´es as, se˜nal de con ol en iada) en un
o ma o adecuado pa a su lec u a y p ocesamien o
con so wa e espec´ı ico (MATLAB, Oc a e).
Es impo an e esal a el hecho de que no exis e
empo izaci´on en la pla a o ma PC: s´olo el mic o-
con olado lle a su p opio empo izado que cada
10 ms (un ciclo de eloj) ecaba da os, y cada cie -
o n´ume o de ciclos en ´ıa in o maci´on. En el desa-
ollo del so wa e de con ol y moni o izaci´on an
s´olo hemos de p eocupa nos de que el p og ama
eciba la in o maci´on y p ocese y en ´ıe la espues-
a lo an es posible: el mic ocon olado aplica ´a la
se˜nal de con ol de o ma as´ınc ona. Si una de las
amas llega con e o es, se desecha y se espe a
a la siguien e; pues o que el iempo es c ´ı ico en
nues o sis ema, no podemos pe mi i nos pedi y
espe a un een ´ıo. El p og ama inco po a un me-
canismo de segu idad de al o ma que si llega un
n´ume o de e minado (y con igu able) de amas
e ´oneas, se de iene el eh´ıculo y se co a la cone-
xi´on.
El p og ama incluye una unci´on “con olado ”
que de uel e una se˜nal de con ol en e a a pa i
de los da os que ob iene; dichos da os, que con o -
man el es ado y es ´an almacenados en la es uc u-
a de ipo CARRO, son empleados pa a calcula la
se˜nal de con ol. Si se desea p og ama un nue o
con olado , es an sencillo como implemen a lo
en dicha unci´on.
3. OBTENCI ´
ON DEL MODELO
DIN ´
AMICO DEL SISTEMA
En es a secci´on se de alla el p oceso de ob enci´on
del modelo ma em´a ico del sis ema. En la ig. 1
se ha ep esen ado el subsis ema cons i uido po
el p´endulo in e ido sob e pla a o ma m´o il.
Del balance de ue zas sob e el eje ho izon al, se
ob ienen la ecuaci´on (1).
(M+m)¨x+Ml¨
θcosθ −Ml ˙
θ2sinθ =F(1)
donde:
M = 70 Kg, masa del p´endulo (incluyendo al
pilo o).
l = 1m, longi ud del b azo del p´endulo.
m = 35 Kg, masa del ca o.
g = 9.81 m/s2, acele aci´on de la g a edad.
F = ue za aplicada po los mo o es sob e el
ca o.
x= desplazamien o lineal del ca o.
θ= ´angulo de inclinaci´on del p´endulo.
Del balance de momen os se ob iene la ecuaci´on
(2).
¨xMlcosθ +Ml2¨
θ−Mglsinθ = 0 (2)
Combinando las ecuaciones an e io es pueden des-
peja se las segundas de i adas de la posici´on y la
inclinaci´on. Resul a sencillo comp oba que es e
sis ema iene dos equilib ios, el es able (´angulo de
inclinaci´on 180o), y el ines able (´angulo 0o), que
co esponde al p´endulo en posici´on e ical. Si se
linealiza en o no al pun o de equilib io ines able,
se ob iene el siguien e sis ema desc i o ya en es-
pacio de es ados:


˙
θ
¨
θ
¨x

=

0 1 0
(M+m)g
ml 0 0
−Mg
m0 0



θ
˙
θ
˙x

+

0
−1
ml
1
m

F(3)
3.1. MODELADO DE LA RED
A la ho a de dise˜na cualquie con olado a a ´es
de la ed, esul a imp escindible conoce el e a-
so de la ed. A lo la go de a ias p uebas, se han
ecabado da os de iempos de p opagaci´on de pa-
que es simples (un oc e o) a a ´es de la ed.
P og amamos el PC y el eh´ıculo pa a en ia y e-
cibi paque es de o ma ins an ´anea, con el meno
p ocesamien o posible. Se hizo un m´ınimo de 200
en ´ıos y ecepciones pa a cada una de las ba e ´ıas
de p uebas, en las que el eh´ıculo ue desplazado
pa a simula dis in as posiciones con o sin isi´on
di ec a.
Finalmen e se almacen´o un o al de 2500 mues as
de iempos; comoquie a que en ese iempo se in-
cluyen an o el en ´ıo como el asen imien o, hubo
que di idi cada una de esas medidas po la mi ad.
As´ımismo, hubo que es a le el iempo de en ´ıo
asociado al ´egimen bina io. Una ez p ocesados,
los da os a oja on los siguien es esul ados:
Valo medio: 23.34 ms.
Des iaci´on ´ıpica: 1.8662.
Valo m´ınimo del e aso: 18 ms.
Paque es pe didos: 0.04
La igu a ig: e asos mues a c´omo los da os si-
guen una dis ibuci´on no mal con la media y la
dis ibuci´on ´ıpica calculada.
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Dis ibucion de los e asos de la ed
Re aso (ms)
Figu a 4: Dis ibuci´on de los e a dos en la ed
4. DISE ˜
NO DE
CONTROLADORES
Pa a pone de mani ies o las peculia idades de
con ol a a ´es de edes, se plan ea en es e aba-
jo una compa aci´on del compo amien o un con-
ol cl´asico LQR, dise˜nado pa a el PPCa bajo
la hip´o esis de enlace pe ec o de comunicaciones
en e a un con ol obus o H∞que si iene en
cuen a aspec os p opios de NCS, al como iempos
de mues eo no uni o mes y e en uales p´e didas de
paque es de in o maci´on. Se desc ibe a con inua-
ci´on el p ocedimien o de dise˜no de cada una de
es as ´ecnicas de con ol.
4.1. DISE ˜
NO DE CONTROLADOR
LOCAL
El con olado LQR es un con ol po ealimen a-
ci´on de es ados de la o ma:
u=−Kx (4)
donde la se˜nal de con ol u, y la cons an e de eali-
men aci´on Kse ob iene a pa i de un p oblema
de minimizaci´on del uncional de cos es J, de inido
en (5).
J=Z∞
0
(x0Qx +u0Ru)d .(5)
Las ma ices Q y R penalizan espec i amen e el
e o del es ado y el es ue zo de con ol.
La soluci´on del p oblema LQR pa a el sis ema (3)
ob iene el siguien e con olado :
u=F=−Kx =−K1θ−K2˙
θ−K3˙x(6)
donde los pa ´ame os K a ´ıan en unci´on de los
pa ´ame os de las ma ices Q y R.
En es e caso, con el obje i o de compa a un con-
olado cl´asico dise˜nado sin ene en cuen a la ed
de comunicaciones, se adop a el dise˜no ecogido en
[5]:
Q=

100 0 0
0 100 0
0 0 1

R= 0,1,(7)
lo que nos lle a a la siguien e soluci´on:
K1= 2070 K2= 385 K3= 3,2.(8)
La ig. 5 mues a el buen compo amien o del con-
olado LQR ob enido en simulaciones de con ol
local. An e io es expe iencias aplicando es e con-
ol en el mic ocon olado die on luga a esul a-
dos cohe en es con la simulaci´on.

Figu a 5: Simulaci´on del con olado LQR
4.2. DISE ˜
NO BASADO EN RED DE UN
CONTROLADOR ROBUSTO H∞
En es a secci´on se desc ibe el p oceso de dise˜no y
aplicaci´on al de un con olado obus o H∞basa-
do en ed, p opues o en [6]. En la secci´on 4.2.1,
se de alla el modelado de sis emas pa a el dise˜no
del con olado , y se enuncian las hip´o esis unda-
men ales. En la secci´on 4.2.2 se de alla el p oce-
dimien o de dise˜no del con olado . Po ´ul imo en
la secci´on 4.2.3, se esuel e el p oblema de con ol
pa a el caso del PPca .
4.2.1. Modelado pa a el con ol
En es a secci´on se a a conside a un sis ema con
ince idumb es pa am´e icas de la o ma:
˙x( )=[A+4A( )]x( )+[B+4B( )]u( ) +
Bww( ) (9)
x( 0) = x0
z( ) = Cx( ) + Du( )
donde x( )∈Rnxn,u( )∈Rm,z( )∈Rqson el
ec o de es ados, la se˜nal de con ol y la salida
con olada espec i amen e. x0∈Rndeno a la
condici´on inicial; A,B,Bw,CyDson ma ices
cons an es de dimensiones ap opiadas y 4A( ) y
4B( ) son las ince idumb es pa am´e icas, que
sa is acen:
[4A( )4B( )] = GF( )[EaEb],(10)
donde G,EayEbson ma ices cons an es de di-
mensiones ap opiadas y F( ) es una ma iz desco-
nocida a iable en el iempo, que es medible en el
sen ido de Lebesque en y sa is ace FT( )F( )≤
I. Po o a pa e w( )∈L2[ 0,∞) deno a a las
pe u baciones ex e nas.
La p esencia de una ed en e el con olado y la
plan a causa a menudo e asos de ansmisi´on y
p´e dida de da os que pueden deg ada el compo -
amien o en bucle ce ado del sis ema [7]. En p e-
sencia de una ed de con ol, bajo ley de con ol
lineal, el sis ema (9) se puede esc ibi de la siguien-
e o ma:
˙x( )=[A+4A( )]x( )+[B+4B( )]u( ) +
Bww( ) (11)
z( ) = Cx( ) + Du( ), ∈[ikh+τk, ik+1h+τk+1)
u( +) = Kx( −τk), ∈ikh+τk, k = 1,2, ...
donde h es el pe iodo de mues eo, ik(k=
1,2,3, ...) son en e os al que {i1, i2, i3} ⊂
{1,2,3, ...}. Po o a pa e τkdeno a el e aso
empo al desde el ins an e ikhcuando el senso
mues ea la plan a has a el ins an e en el que el ac-
uado aplica la se˜nal de con ol co espondien e.
Se asume que u( ) = 0 has a que la p ime a se˜nal
de con ol alcanza la plan a. Ob iamen e se iene
que S∞
k=1[ikh+τk, ik+1h+τk+1) = [ 0,∞), 0⩾0.
Es impo an e ema ca que {i1, i2, i3, ...}es
un subconjun o de {1,2,3, ...}. No se equie-
e po an o la condici´on ik+1 > ik. Cuando
i1, i2, i3= 1,2,3, ... signi ica que no se han p odu-
cido p´e didas de paque es du an e la asmisi´on.
Si ik+1 =ik+ 1 es o implica necesa iamen e que
h+τk+1 > τk, caso que incluye como condiciones
pa icula es τk= ˆτyτk< h, con ˆτcons an e.
A con inuaci´on se enuncian las dos hip´o esis en las
que se basa el desa ollo pos e io :
Hip´o esis 1. El senso es pe i´odico, mien as que
el con olado y el ac uado se ejecu an an p on o
como disponen de una nue a se˜nal (basados en
e en os).
Hip´o esis 2. Exis en dos cons an es η > 0 y τm>
0 al que:
(ik+1 −ik)h+τk+1 ⩽η, k = 1,2, ... (12)
τm⩽τk, k = 1,2, ... (13)
donde η⩽τm. Bajo la Hip´o esis 2, el sis ema (11)
puede se esc i o de o ma equi alen e como sigue:
˙x( )=[A+4A( )]x( ) + [B+4B( )]
×Kx(ikh) + Bww( ),(14)
x( ) = Φ( , 0−η)x( 0−η)
.
=φ( ), ∈[ 0−η, 0],(15)
z( ) = Cx( ) + DKx(ikh),
∈[ikh+τk, ik+1h+τk+1) (16)
donde Φ( , 0−η) es una soluci´on de ˙
Φ( , 0−η) =
[A+4A( )]Φ( , 0−η), ∈[ 0−η, 0].
De inici´on. El sis ema (14)-(16) es exponencial-
men e es able y obus o con no ma H∞aco ada
po γsi se cumplen las siguien es condiciones:
1. El sis ema (14)-(16) con w( )≡0 es expo-
nencialmen e es able de mane a obus a, es
deci , exis en unas cons an es α > 0 y β > 0
al que kx( )k ≤ α sup 0−η≤s≤ 0kΦ(s)ke−β ,
≥ 0, pa a odas las ince idumb es admisi-
bles 4A( ) y 4B( ).
2. Bajo condiciones iniciales nulas, la salida con-
olada z( ) sa is ace kz( )k2≤γkw( )k2pa a
oda pe u baci´on w( )∈L2[0,∞).
4.2.2. Dise˜no del con olado obus o
A con inuaci´on se enuncia un eo ema que pe mi e
dise˜na , eniendo en cuen a la ed de comunicacio-
nes, el con olado Kdel sis ema esol iendo un
sis ema de LMIs.
Teo ema 1 [6]: Dados los escala es ρl(l=
1,2,3,4), τm,ηyγ, si exis en ma ices ˜
Pk(k=
1,2,3), ˜
Tj>0, ˜
Rj>0 (j= 1,2), una ma-
iz no singula Xy cualesquie a ma ices ˜
Ni˜
Si
(i= 1,2,3,4) de dimensiones ap opiadas, as´ı co-
mo un escala µ > 0 al que:
µΦ11 ∗
Φ21 Φ22 ¶<0 (17)
µ˜
P1˜
P2
˜
PT
2˜
P3¶>0 (18)
donde
Φ11 =



Σ11 ∗∗∗
Σ21 Σ22 ∗ ∗
Σ31 Σ32 Σ33 ∗
Σ41 Σ42 Σ43 Σ44




Φ21 =








τ0˜
P30−τ0˜
P3τ0˜
PT
2
η˜
NT
1η˜
NT
2η˜
NT
3η˜
NT
4
δ˜
ST
1δ˜
ST
2δ˜
ST
3δ˜
ST
4
CXTDY 0 0
−BT
w−ρ2BT
w−ρ3BT
w−ρ4BT
w
EaXTEbY0 0








Φ22 =diag(−τ0˜
T2−η˜
R1−δ˜
R2−I
−γ2I−µI)
Σ11 =˜
P2+˜
PT
2+˜
T1+τ0˜
T2+˜
N1
+˜
NT
1−AXT−XAT+µGGT,
Σ21 =˜
N2−˜
NT
1+˜
ST
1−ρ2AXT
−YTBT+µρ2GGT,
Σ31 =˜
N3−˜
PT
2−˜
ST
1−ρ3AXT+µρ3GGT,
Σ41 =X−˜
N4−˜
PT
1−ρ4AXT+µρ4GGT,
Σ22 =−˜
N2−˜
NT
2+˜
S2+˜
ST
2−ρ2BY
−ρ2BTYT+µρ2
2GGT,
Σ32 =−˜
N3+˜
S3−˜
ST
2−ρ3BY +µρ3ρ2GGT,
Σ42 =−˜
N4+˜
S4+ρ2X−ρ4BY +µρ4ρ2GGT,
Σ43 =−˜
S4+ρ3X+µρ4ρ3GGT,
Σ44 =ρ4X+ρ4XT+η˜
R1+ 2, δ ˜
R2+µρ2
4GGT,
en onces, bajo el con olado u( ) = Kx( ), con
K=Y X−T, el sis ema (11) con una ed de con ol
sa is aciendo la Hip´o esis 2 es exponencialmen e
es able y obus o con no ma H∞aco ada po γ.
Demos aci´on: La demos aci´on del Teo ema 1
se encuen a desa ollada en de alle en [6].
4.2.3. Aplicaci´on del con olado al
PPca
El sis ema bajo es udio, desc i o po (3), puede
esc ibi se di ec amen e en la o ma (9) con s´olo
de ini de o ma adecuada las ma ices ∆A, ∆B
yBw, seg´un las pe u baciones e ince idumb es
que deseen inclui se. En es e es udio, se a a consi-
de a ince idumb e en la masa del pilo o M, que
se deno a ´a po ∆M. Como pe u baci´on p inci-
pal se a a conside a el ien o, que in luye sob e
el ca o y el pilo o. Es o se puede modela como
una ue za esul an e Wdel pe il de ien o, que
se epa i ´a en e la base del ca o con un po cen-
aje cmy el cen o de g a edad del p´endulo en un
po cen aje cM. La ig. 6 ilus a es e en´omeno. De
Figu a 6: Vien o incidiendo sob e el eh´ıculo
es a o ma se ob iene:
∆A=

0 0 0
∆Mg
ml 0 0
−∆Mg
m0 0


∆B=

0
0
0


Bw=

0
cM
ml −cm
ml
cm
l

W
Pa a una ince idumb e de ∆M= 1Kg, se ob ie-
ne, esol iendo el p oblema de LMI plan eado en
el Teo ema 2, el siguien e con olado :
K1= 1550 K2= 412 K3= 53 (19)
5. PRUEBAS Y RESULTADOS
T as las simulaciones, se lle a on a cabo dos p ue-
bas eales con el eh´ıculo: en ambas, el obje i o
ue, pa iendo de unas condiciones de con o no,
es udia el compo amien o de ambos con olado-
es a ando de es abiliza el sis ema.
Es impo an e ad e i que nues o modelo ma-
em´a ico adolece de una g a ´ısima debilidad: no
modela adecuadamen e el e ec o del pilo o. ´
Es e
eje ce un pa de ue zas sob e la base y el p´endu-
lo, haciendo que su compo amien o sea imp ede-
cible; es po eso que endemos a conside a lo como
una pe u baci´on, y se ´a la esis encia en e a la
pe u baci´on la que nos in o me de la bondad de
nues o con ol.
La p ime a p ueba se lle ´o a cabo p og amando en
la aplicaci´on de PC un con ol po ealimen aci´on
po espacio de es ados: conc e amen e, el LQR ya
expues o.
Puede ap ecia se que la pe u baci´on hace imposi-
ble es abiliza el sis ema: al man ene la consigna
du an e 30 ms en luga de los 10 ms del con ol
local, ´es a no puede eacciona lo su icien emen-
e ´apido a los cambios en el sis ema. El sis ema
no se ines abiliza, pe o ampoco log a alcanza el
eposo que ma ca ´ıa la es abilidad asin ´o ica.
La segunda p ueba consis i´o en la p og amaci´on,
ambi´en po ealimen aci´on del espacio de es ados,
del con olado H∞median e LMI ya calculado.
0 5 10 15
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1 Es abilizacion del pendulo en e a pe u baciones
iempo (s)
inclinacion ( ad)
LQR
LMI
Figu a 7: Es abilizaci´on del p´endulo
La compa aci´on en e ambas cu as (LQR en l´ınea
pun eada, LMI con l´ınea con ´ınua) mues a c´omo
el con olado H∞log a es abiliza el sis ema de
o ma m´as ´apida, siendo mucho menos sensible a
las pe u baciones. Comoquie a que las pe u ba-
ciones son consus anciales al sis ema, debido a la
ine i able acci´on del pilo o, el con olado esul-
a mucho m´as con enien e. Na u almen e, los e-
a dos asociados a la ed inal´amb ica son los que
con ie en en c ´ı icas las pe u baciones, ya que
el sis ema no es capaz de eacciona a ´es as con
an a apidez como en el caso del con ol local.
Ag adecimien os
Los au o es ag adecen a CICYT po inancia es e
abajo bajo el p oyec o DPI2007-64697.
Re e encias
[1] As ¨om, K.J., Fu u a, K., (1996) “Swinging-
up a pendulum by ene gy con ol”, P oc.
IFAC Cong ess, pp. 37-95.
[2] Cla k, M.A., Field, J.B., McMahon, S.G.,
Philps, P.S., Cazzola o, B.S., (2005) “Edga ,
a sel -balancing scoo e ”, P ojec Final Re-
po . Uni e si y o Adelaide, Aus alia
[3] Pujaico F., “LnxComm, Linux Communica-
ion: Tu o ial y Gu´ıa de Re e encia”
[4] Rubio, F.R., L´opez, M.J., “Con ol adap a i-
o y obus o” (2006), Uni e sidad de Se illa
[5] Vigu ia, A., P ie o, M., Fiacchini, M., Cano,
R., Rubio, F.R., A acil, J., Canudas-de-Wi ,
C., (2006) “Desa ollo y expe imen aci´on de
un eh´ıculo basado en p´endulo in e ido (PP-
Ca )”, Re is a Ibe oame icana de Au om´a ica
e In o m´a ica Indis ial. Vol. 3, Num. 4, pp.
54-66,
[6] Yue, Dong and Han, Qing-Long and Lam, Ja-
mes, (2005) “Ne wo k-based obus H∞con-
ol o sys ems wi h unce ain y”, Au oma i-
ca. Vol. 41, Num. 6, pp. 999-1007,
[7] ,Zhang, W. and B anicky, MS and Phillips,
SM, “S abili y o ne wo ked con ol sys ems”
(2001) Con ol Sys ems Magazine, IEEE.
Vol. 21, Num. 1, pp. 84-99,
[8] C. Meng, T. Wang, W. Chou, S. Luan, Y.
Zhang, and Z. Tian, “Remo e su ge y ca-
se: Robo -assis ed eleneu osu ge y”,in IEEE
In . Con . Robo . and Au o. (ICRA’04), Ap .
2004, ol. 1, pp. 819–823.
[9] P. Seile and R. Sengup a, “Analysis o
communica ion losses in ehicle con ol p o-
blems”,in P oc. 2001 Ame . Con . Con .,
Jun. 2001, ol. 2, pp. 1491–1496.