Técnicas de control a través de red inalámbrica de vehículo basado en péndulo invertido

T´ ECNICAS DE CONTROL A TRAV´ ES DE RED INAL ´ AMBRICA DE VEH´ ICULO BASADO EN P´ ENDULO INVERTIDO J. A iaga, P. Mill´an, I. Ju ado, C. Vi as y F.R. Rubio Depa amen o de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica, Uni e sidad de Se illa, Espa˜na a iaga,pmillan,iju ado, i [email p o ec ed] y [email p o ec ed] Resumen Es e abajo p esen a la aplicaci´on de una ´ecnica de con ol obus o H∞en el con ex o de sis emas con olados a a ´es de edes (NCS). La aplicaci´on se lle a a cabo sob e un Veh´ıculo pe sonal basa- do en P´endulo In e ido (PPCa ) que se con ola emo amen e a a ´es de una ed de comunicacio- nes inal´amb ica ipo Blue oo h. El abajo ealiza un es udio compa a i o del compo amien o de es- a ´ecnica de con ol en e a un con ol cl´asico LQR, p esen ando esul ados expe imen ales que ponen de mani ies o las di icul ades in ´ınsecas de con ol a a ´es de edes. Palab as cla e: P´endulo In e ido, Con ol a a ´es de edes, Con ol Robus o. 1. INTRODUCCI ´ ON Es a ´ul ima d´ecada ha sido es igo de un no a- ble desa ollo de las ecnolog´ıas de comunicaci´on inal´amb icas, que han mo i ado la apa ici´on de una amplia a iedad de aplicaciones en mul i ud de disciplinas. La ingenie ´ıa de con ol no es ajena a es os desa ollos y podemos obse a c´omo en los ´ul imos iempos son cada ez m´as ecuen es los abajos y sesiones ´ecnicas especializadas dedica- das al con ol de sis emas din´amicos a a ´es de edes de comunicaciones, o NCS (Ne wo ked Con- ol Sys ems) en su denominaci´on anglosajona. Los sis emas NCS son aquellos en los cuales los di e en es elemen os del lazo de con ol (senso es, con olado es y ac uado es) se encuen an ´ısica- men e dis ibuidos y unidos a una ed de comuni- caciones de p op´osi o gene al, compa iendo ancho de banda con o as aplicaciones, no necesa iamen- e elacionadas con el con ol. El empleo de ecnolog´ıas de con ol a a ´es de edes de comunicaciones p esen a m´ul iples en- ajas espec o a los sis emas adicionales, como son a qui ec u as m´as lexibles, educci´on de cos- es de ins alaci´on y man enimien o, posibilidades de con ol emo o de disposi i os m´o iles median- e enlaces inal´amb icos, e c. Consecuen emen e, las ecnolog´ıas NCS encuen- an aplicaci´on en la ac ualidad en campos an a iados como el con ol de ´a ico en au o ´ıas [9] o in e enciones qui ´u gicas emo as [8]. Sin emba go el uso de edes de comunicaci´on no dedicadas, en con as e con los adicionales en- laces de comunicaciones independien es dedica- dos a con ol, in oduce una se ie de in e esan- es desa ´ıos desde el pun o de is a del dise˜no de con olado es, p o ocolos de comunicaciones, a - qui ec u as de con ol, y en gene al odos los ele- men os asociados al lazo de con ol. El con ol NCS su ge as´ı como una disciplina h´ıb ida de las, hoy d´ıa bien es ablecidas, eo ´ıa de con ol au om´a ico y ecnolog´ıa de elecomu- nicaciones. T adicionalmen e la eo ´ıa de con ol se ocupa de sis emas din´amicos in e conec ados a a ´es de enlaces de comunicaciones ideales (ins an ´aneos, sin p´e didas, e c), mien as que la ecnolog´ıa de elecomunicaciones se ocupa de la ansmisi´on de in o maci´on sob e canales impe - ec os. Una combinaci´on de ambos ma cos es ne- cesa io pa a modela ap opiadamen e un sis ema NCS. El p esen e abajo a a de pone mani ies o algu- nas de las peculia idades asociadas a los sis emas de con ol NCS, p esen ando un an´alisis compa a- i o sob e esul ados expe imen ales del compo - amien o del compo amien o de una ´ecnica de con ol cl´asico en e a ´ecnicas espec´ı icas NCS. Conc e amen e, se plan ea el con ol de un Veh´ıcu- lo pe sonal basado en P´endulo In e ido (PPCa ) a a ´es de una ed de comunicaciones inal´amb ica ipo Blue oo h. El sis ema es especialmen e ap o- piado pa a ejempli ica los p oblemas asociados al con ol NCS, debido a que se a a de un sis ema de din´amica ines able ela i amen e simple, aun- que ´acil de es abiliza si se aplican las hip´o esis del con ol cl´asico. La di icul ad de con ol se pone de mani ies o en es e abajo al compa a el com- po amien o de un con ol cl´asico LQR dise˜nado bajo la hip´o esis de enlace de comunicaciones pe - ec o en e a una ´ecnica de con ol H∞adap ado a las condiciones de iempo de mues eo a iable y p´e dida de in o maci´on asociado a sis emas NCS. El a ´ıculo se ha es uc u ado del siguien e modo: En p ime luga , en la secci´on 2, se desc iben los aspec os m´as ele an es de las a qui ec u a ha d- wa e y so wa e del sis ema PPCa . A con inua- ci´on, la secci´on 3 desc ibe el modelo din´amico no lineal del sis ema que se emplea ´a pa a el dise˜no de con olado es. En la secci´on 4 se desc iben las es a egias de con ol local LQR y con ol NCS H∞que se ensayan en es e abajo. Pa a inaliza , la secci´on 5 desc ibe los esul ados expe imen a- les ob enidos y ealiza una b e e discusi´on de los mismos. 2. DESCRIPCI ´ ON DEL SISTEMA Se ha abajado con un eh´ıculo pe sonal basado en p´endulo in e ido, el PPCa -Pe sonal Pendu- lum Ca -, desc i o en [5]. Dicho eh´ıculo, des ina- do al anspo e de pe sonas, es ´a mon ado sob e dos uedas pa alelas donde el p´endulo es ´a cons- i uido po la pe sona que es ´a sob e el eh´ıculo, que se apoya sob e una ba a de con ol. En la ig. 1 se ep esen a un esquema del eh´ıculo. El mo i- mien o de a ance es ´a p o ocado po la inclinaci´on de la pe sona con espec o a la posici´on de equi- lib io, la e icalidad. De hecho, los con olado es calculados pa a log a la e icalidad se han di- se˜nado eniendo en cuen a an s´olo el mo imien o en l´ınea ec a del eh´ıculo, mien as que el mo i- mien o de o aci´on es con olado di ec amen e po el pilo o median e un disposi i o el´ec ico ubicado en el pu˜no. En los abajos an e io es con es e eh´ıculo, se a- baj´o siemp e u ilizando como n´ucleo del sis ema un mic ocon olado ubicado en el p opio eh´ıcu- lo, que ecog´ıa la in o maci´on de los senso es y a pa i de dicha in o maci´on calculaba las accio- nes de con ol. Adicionalmen e, el mic ocon ola- do se comunicaba con una es aci´on base (un PC) median e un so wa e dise˜nado a al e ec o que pe mi ´ıa ajus a los pa ´ame os de los con ola- do es en l´ınea y cap u a in o maci´on ele an e. Sin emba go, en es e abajo el mic ocon olado ha quedado como simple in ´e p e e de ´o denes: al PC le sigue llegando la in o maci´on, pe o es ´es e (median e un nue o so wa e) que calcula las ac- ciones de con ol. El PC ansmi e las consignas al mic ocon olado , que se limi a a ans e i las a los mo o es. De hecho, si se dispusie a de sen- so es ex e nos pa a ob ene el es ado del sis ema, pod ´ıamos en ia di ec amen e las consignas a la con olado a de los mo o es sin necesidad de in- e enci´on del mic ocon olado . Figu a 1: Esquema del eh´ıculo 2.1. ARQUITECTURA HARDWARE La pla a o ma donde debe mon a se el pilo o a sos enida po el eje de las uedas, de adio 17.5 cm, cada una de ellas conec ada a un mo o ali- men ado a 24 V y capaces de llega a 240 pm. Figu a 2: Diag ama de bloques del sis ema La ig. 2 ep esen a un diag ama de bloques del conjun o. El n´ucleo del sis ema es un mic ocon- olado de 8 bi s de bajo cos e, el modelo A me- ga128 de A mel, que se comunica con los dis in os pe i ´e icos a a ´es de di e en es pue os. El mi- c ocon olado lle a inco po ado un eloj in e no de 16 Mhz, lo que ha pe mi ido en abajos an e- io es u iliza iempos de mues eo de decenas de milisegundos. Al mic ocon olado se conec an: Dos encode s, uno po cada ueda. Se em- plean pa a medi las elocidades de ambas. Un senso de inclinaci´on Mic oS ain, que in- co po a p ep ocesamien o de se˜nal basada en il o de Kalman. Un senso pa a indica la consigna de gi o, o denada po el pilo o a a ´es de un pu˜no con esis encia a iable. Una con olado a conec ada a los dos mo o- es, Robo eq AX1550, se comunica con el con- olado a a ´es de una de las dos UARTs que posee. Finalmen e, un adio-m´odem blue oo h HandyPo HPS-120 que abaja en la banda de 2.4 Ghz, se conec a al mic ocon olado a a ´es de la segunda UART y al PC en el o o ex emo median e el pue o se ie ( ambi´en con in e az RS-232). Una caja de con ol conec ada an o a la con- olado a de los mo o es como al mic ocon- olado y que iene la po es ad de de ene la acci´on de ambos. El equipo PC de la es aci´on base es un Pen ium IV a 2.80 Ghz de ecuencia de eloj con 512 MB de memo ia RAM. La con olado a AX1550 pe mi e ob ia el p o- blema de la alimen aci´on de los mo o es: ecibe las consignas del mic ocon olado y se ocupa de man ene la consigna a ambos mo o es. En la ig. 3 se ilus a la a qui ec u a comple a del sis ema. Figu a 3: A qui ec u a del sis ema 2.2. SOFTWARE DEL MICROCONTROLADOR El so wa e pa a el mic ocon olado se ha basado en el sis ema ope a i o pa a sis emas embebidos TinyOS, p og amando en lenguaje nescC. Se pa - i´o de la base del abajo o iginal eu ilizando g an pa e del c´odigo. TinyOS es un so wa e de c´odigo abie o con una es uc u a de m´odulos je ´a quica que pe mi e al p og amado abs ae se del ha dwa e, as´ı como e- u iliza c´odigo de mane a sencilla. NesC pe mi e desa olla p og amas compac os que consuman poca memo ia, basados en un n´ucleo mul ihilo con dos ipos de es uc u as: a- eas y e en os. Pa a pode ene un sis ema de con ol en iempo eal se p og am´o un eloj de iempo eal de 10ms de pe ´ıodo que do a al sis ema de una base de iempo pa a pode ealiza las a eas necesa ias. Pa a las comunicaciones po pue o se ie, an o pa a lec u a de da os de los senso es como pa a la comunicaci´on con el PC, se han u ilizado in e- upciones. Pa a el desa ollo del so wa e empleado se ap o- ech´o el desa ollo o iginal; al y como es aba p e is o, la es uc u a basada en m´odulos aci- li ´o eno memen e la ep og amaci´on al abs ae - nos del ni el de ha dwa e. De es e modo, emplea- mos los m´odulos de con e ido anal´ogico/digi al, pue o se ie, encode y empo izaci´on. 2.3. SOFTWARE DE PLATAFORMA PC Como ya se ha mencionado, la comunicaci´on en- e mic ocon olado y PC se lle a a cabo me- dian e comunicaci´on inal´amb ica siguiendo el p o- ocolo Blue oo h en su e si´on 1.1 (no ma IEEE 802.15.1-2002); sin emba go, al es a conec ado ese m´odem al pue o se ie, el p og amado abaja di- ec amen e sob e el in e az RFCOMM. La capa de con ol y adap aci´on del enlace l´ogico (L2CAP) y la capa ´ısica quedan abs aidas del p og ama- do . La asa de bi s (con igu able) elegida ue de 19200 bi s/s. Se es udi´o la posibilidad de emplea TCP/IP sob e PPP, sin emba go eso hubie a implicado la ins a- laci´on de dichos p o ocolos en el sis ema ope a i o TinyOS y hubie a complicado innecesa iamen e el sis ema: en su luga , c eamos un p o ocolo simple de comunicaci´on que no posee con ol de lujo ni de e o es (aunque s´ı de ecci´on de ´es os). El p o ocolo implemen ado cons a de es ipos de PDUs: las amas de conexi´on, las de asen imien o y las de da os. PDU de conexi´on: son amas simples, de un s´olo oc e o, cuyo obje i o es a anca o de e- ne el eh´ıculo; debido a su na u aleza c ´ı ica son las ´unicas que equie en asen imien o. PDU de asen imien o: s´olo se u ilizan en es- pues a a las an e io es. Tambi´en de un s´olo oc e o. PDU de da os: compues as po una cabece a, un pie, un n´ume o pa de oc e os de in o ma- ci´on (si hace al a se a˜nade un oc e o nulo al inal pa a log a un n´ume o pa ) y dos oc e os de checksum. El so wa e ins alado en la es aci´on base (PC) se desa oll´o en C empleando el en o no de desa o- llo De -C++. Pa a la comunicaci´on con el pue - o se ie se u iliz´o la biblio eca LnxComm [3], que pe mi e de o ma sencilla la p og amaci´on mul- ipla a o ma (windows o *NIX) del pue o se ie abs ayendo al p og amado de las pa icula ida- des del sis ema ope a i o. El p og ama cons a de dos hilos, el de ecepci´on de da os (p io i a io) y el de gene aci´on de consignas: el hilo de ecep- ci´on con ola el lujo del p og ama, escuchando el pue o se ie a la espe a de una ama de da os; al ecibi la, cede b e emen e el con ol del lujo al hilo de gene aci´on de consignas pa a que, a pa i de la in o maci´on que acaba de ecoge (y p oce- sa ), pueda calcula y en ia la se˜nal de con ol de uel a al eh´ıculo. Pa a la c eaci´on de los hilos y la sinc onizaci´on en e ´es os se emple´o el sis ema de e en os de Win32; se plan ea la con eniencia de emplea hilos POSIX pa a asegu a la po abi- lidad del c´odigo a pla a o mas *NIX. Ambos hilos compa en in o maci´on a a ´es de una es uc u a de ipo CARRO, que con iene in- o maci´on sob e el pue o l´ogico que sopo a la co- nexi´on, el es ado ac ual del eh´ıculo y la consigna que se en ´ıa. Dicha es uc u a puede se ampliada de acue do con las necesidades del momen o con es ados (y consignas) an e io es o u u as. El p og ama ecibe la in o maci´on y en ´ıa la o den de con ol de o ma con ´ınua has a que se cumple un m´aximo de i e aciones p ees ablecido o bien has a que el ope ado de la es aci´on base decida e mina . Cuando eso ocu e, se almacena en un iche o de egis o oda la in o maci´on ob enida (ins an e de iempo en que se ecogen mues as, con enido de ´es as, se˜nal de con ol en iada) en un o ma o adecuado pa a su lec u a y p ocesamien o con so wa e espec´ı ico (MATLAB, Oc a e). Es impo an e esal a el hecho de que no exis e empo izaci´on en la pla a o ma PC: s´olo el mic o- con olado lle a su p opio empo izado que cada 10 ms (un ciclo de eloj) ecaba da os, y cada cie - o n´ume o de ciclos en ´ıa in o maci´on. En el desa- ollo del so wa e de con ol y moni o izaci´on an s´olo hemos de p eocupa nos de que el p og ama eciba la in o maci´on y p ocese y en ´ıe la espues- a lo an es posible: el mic ocon olado aplica ´a la se˜nal de con ol de o ma as´ınc ona. Si una de las amas llega con e o es, se desecha y se espe a a la siguien e; pues o que el iempo es c ´ı ico en nues o sis ema, no podemos pe mi i nos pedi y espe a un een ´ıo. El p og ama inco po a un me- canismo de segu idad de al o ma que si llega un n´ume o de e minado (y con igu able) de amas e ´oneas, se de iene el eh´ıculo y se co a la cone- xi´on. El p og ama incluye una unci´on “con olado ” que de uel e una se˜nal de con ol en e a a pa i de los da os que ob iene; dichos da os, que con o - man el es ado y es ´an almacenados en la es uc u- a de ipo CARRO, son empleados pa a calcula la se˜nal de con ol. Si se desea p og ama un nue o con olado , es an sencillo como implemen a lo en dicha unci´on. 3. OBTENCI ´ ON DEL MODELO DIN ´ AMICO DEL SISTEMA En es a secci´on se de alla el p oceso de ob enci´on del modelo ma em´a ico del sis ema. En la ig. 1 se ha ep esen ado el subsis ema cons i uido po el p´endulo in e ido sob e pla a o ma m´o il. Del balance de ue zas sob e el eje ho izon al, se ob ienen la ecuaci´on (1). (M+m)¨x+Ml¨ θcosθ −Ml ˙ θ2sinθ =F(1) donde: M = 70 Kg, masa del p´endulo (incluyendo al pilo o). l = 1m, longi ud del b azo del p´endulo. m = 35 Kg, masa del ca o. g = 9.81 m/s2, acele aci´on de la g a edad. F = ue za aplicada po los mo o es sob e el ca o. x= desplazamien o lineal del ca o. θ= ´angulo de inclinaci´on del p´endulo. Del balance de momen os se ob iene la ecuaci´on (2). ¨xMlcosθ +Ml2¨ θ−Mglsinθ = 0 (2) Combinando las ecuaciones an e io es pueden des- peja se las segundas de i adas de la posici´on y la inclinaci´on. Resul a sencillo comp oba que es e sis ema iene dos equilib ios, el es able (´angulo de inclinaci´on 180o), y el ines able (´angulo 0o), que co esponde al p´endulo en posici´on e ical. Si se linealiza en o no al pun o de equilib io ines able, se ob iene el siguien e sis ema desc i o ya en es- pacio de es ados:   ˙ θ ¨ θ ¨x  =  0 1 0 (M+m)g ml 0 0 −Mg m0 0    θ ˙ θ ˙x  +  0 −1 ml 1 m  F(3) 3.1. MODELADO DE LA RED A la ho a de dise˜na cualquie con olado a a ´es de la ed, esul a imp escindible conoce el e a- so de la ed. A lo la go de a ias p uebas, se han ecabado da os de iempos de p opagaci´on de pa- que es simples (un oc e o) a a ´es de la ed. P og amamos el PC y el eh´ıculo pa a en ia y e- cibi paque es de o ma ins an ´anea, con el meno p ocesamien o posible. Se hizo un m´ınimo de 200 en ´ıos y ecepciones pa a cada una de las ba e ´ıas de p uebas, en las que el eh´ıculo ue desplazado pa a simula dis in as posiciones con o sin isi´on di ec a. Finalmen e se almacen´o un o al de 2500 mues as de iempos; comoquie a que en ese iempo se in- cluyen an o el en ´ıo como el asen imien o, hubo que di idi cada una de esas medidas po la mi ad. As´ımismo, hubo que es a le el iempo de en ´ıo asociado al ´egimen bina io. Una ez p ocesados, los da os a oja on los siguien es esul ados: Valo medio: 23.34 ms. Des iaci´on ´ıpica: 1.8662. Valo m´ınimo del e aso: 18 ms. Paque es pe didos: 0.04 La igu a ig: e asos mues a c´omo los da os si- guen una dis ibuci´on no mal con la media y la dis ibuci´on ´ıpica calculada. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Dis ibucion de los e asos de la ed Re aso (ms) Figu a 4: Dis ibuci´on de los e a dos en la ed 4. DISE ˜ NO DE CONTROLADORES Pa a pone de mani ies o las peculia idades de con ol a a ´es de edes, se plan ea en es e aba- jo una compa aci´on del compo amien o un con- ol cl´asico LQR, dise˜nado pa a el PPCa bajo la hip´o esis de enlace pe ec o de comunicaciones en e a un con ol obus o H∞que si iene en cuen a aspec os p opios de NCS, al como iempos de mues eo no uni o mes y e en uales p´e didas de paque es de in o maci´on. Se desc ibe a con inua- ci´on el p ocedimien o de dise˜no de cada una de es as ´ecnicas de con ol. 4.1. DISE ˜ NO DE CONTROLADOR LOCAL El con olado LQR es un con ol po ealimen a- ci´on de es ados de la o ma: u=−Kx (4) donde la se˜nal de con ol u, y la cons an e de eali- men aci´on Kse ob iene a pa i de un p oblema de minimizaci´on del uncional de cos es J, de inido en (5). J=Z∞ 0 (x0Qx +u0Ru)d .(5) Las ma ices Q y R penalizan espec i amen e el e o del es ado y el es ue zo de con ol. La soluci´on del p oblema LQR pa a el sis ema (3) ob iene el siguien e con olado : u=F=−Kx =−K1θ−K2˙ θ−K3˙x(6) donde los pa ´ame os K a ´ıan en unci´on de los pa ´ame os de las ma ices Q y R. En es e caso, con el obje i o de compa a un con- olado cl´asico dise˜nado sin ene en cuen a la ed de comunicaciones, se adop a el dise˜no ecogido en [5]: Q=  100 0 0 0 100 0 0 0 1  R= 0,1,(7) lo que nos lle a a la siguien e soluci´on: K1= 2070 K2= 385 K3= 3,2.(8) La ig. 5 mues a el buen compo amien o del con- olado LQR ob enido en simulaciones de con ol local. An e io es expe iencias aplicando es e con- ol en el mic ocon olado die on luga a esul a- dos cohe en es con la simulaci´on. Figu a 5: Simulaci´on del con olado LQR 4.2. DISE ˜ NO BASADO EN RED DE UN CONTROLADOR ROBUSTO H∞ En es a secci´on se desc ibe el p oceso de dise˜no y aplicaci´on al de un con olado obus o H∞basa- do en ed, p opues o en [6]. En la secci´on 4.2.1, se de alla el modelado de sis emas pa a el dise˜no del con olado , y se enuncian las hip´o esis unda- men ales. En la secci´on 4.2.2 se de alla el p oce- dimien o de dise˜no del con olado . Po ´ul imo en la secci´on 4.2.3, se esuel e el p oblema de con ol pa a el caso del PPca . 4.2.1. Modelado pa a el con ol En es a secci´on se a a conside a un sis ema con ince idumb es pa am´e icas de la o ma: ˙x( )=[A+4A( )]x( )+[B+4B( )]u( ) + Bww( ) (9) x( 0) = x0 z( ) = Cx( ) + Du( ) donde x( )∈Rnxn,u( )∈Rm,z( )∈Rqson el ec o de es ados, la se˜nal de con ol y la salida con olada espec i amen e. x0∈Rndeno a la condici´on inicial; A,B,Bw,CyDson ma ices cons an es de dimensiones ap opiadas y 4A( ) y 4B( ) son las ince idumb es pa am´e icas, que sa is acen: [4A( )4B( )] = GF( )[EaEb],(10) donde G,EayEbson ma ices cons an es de di- mensiones ap opiadas y F( ) es una ma iz desco- nocida a iable en el iempo, que es medible en el sen ido de Lebesque en y sa is ace FT( )F( )≤ I. Po o a pa e w( )∈L2[ 0,∞) deno a a las pe u baciones ex e nas. La p esencia de una ed en e el con olado y la plan a causa a menudo e asos de ansmisi´on y p´e dida de da os que pueden deg ada el compo - amien o en bucle ce ado del sis ema [7]. En p e- sencia de una ed de con ol, bajo ley de con ol lineal, el sis ema (9) se puede esc ibi de la siguien- e o ma: ˙x( )=[A+4A( )]x( )+[B+4B( )]u( ) + Bww( ) (11) z( ) = Cx( ) + Du( ), ∈[ikh+τk, ik+1h+τk+1) u( +) = Kx( −τk), ∈ikh+τk, k = 1,2, ... donde h es el pe iodo de mues eo, ik(k= 1,2,3, ...) son en e os al que {i1, i2, i3} ⊂ {1,2,3, ...}. Po o a pa e τkdeno a el e aso empo al desde el ins an e ikhcuando el senso mues ea la plan a has a el ins an e en el que el ac- uado aplica la se˜nal de con ol co espondien e. Se asume que u( ) = 0 has a que la p ime a se˜nal de con ol alcanza la plan a. Ob iamen e se iene que S∞ k=1[ikh+τk, ik+1h+τk+1) = [ 0,∞), 0⩾0. Es impo an e ema ca que {i1, i2, i3, ...}es un subconjun o de {1,2,3, ...}. No se equie- e po an o la condici´on ik+1 > ik. Cuando i1, i2, i3= 1,2,3, ... signi ica que no se han p odu- cido p´e didas de paque es du an e la asmisi´on. Si ik+1 =ik+ 1 es o implica necesa iamen e que h+τk+1 > τk, caso que incluye como condiciones pa icula es τk= ˆτyτk< h, con ˆτcons an e. A con inuaci´on se enuncian las dos hip´o esis en las que se basa el desa ollo pos e io : Hip´o esis 1. El senso es pe i´odico, mien as que el con olado y el ac uado se ejecu an an p on o como disponen de una nue a se˜nal (basados en e en os). Hip´o esis 2. Exis en dos cons an es η > 0 y τm> 0 al que: (ik+1 −ik)h+τk+1 ⩽η, k = 1,2, ... (12) τm⩽τk, k = 1,2, ... (13) donde η⩽τm. Bajo la Hip´o esis 2, el sis ema (11) puede se esc i o de o ma equi alen e como sigue: ˙x( )=[A+4A( )]x( ) + [B+4B( )] ×Kx(ikh) + Bww( ),(14) x( ) = Φ( , 0−η)x( 0−η) . =φ( ), ∈[ 0−η, 0],(15) z( ) = Cx( ) + DKx(ikh), ∈[ikh+τk, ik+1h+τk+1) (16) donde Φ( , 0−η) es una soluci´on de ˙ Φ( , 0−η) = [A+4A( )]Φ( , 0−η), ∈[ 0−η, 0]. De inici´on. El sis ema (14)-(16) es exponencial- men e es able y obus o con no ma H∞aco ada po γsi se cumplen las siguien es condiciones: 1. El sis ema (14)-(16) con w( )≡0 es expo- nencialmen e es able de mane a obus a, es deci , exis en unas cons an es α > 0 y β > 0 al que kx( )k ≤ α sup 0−η≤s≤ 0kΦ(s)ke−β , ≥ 0, pa a odas las ince idumb es admisi- bles 4A( ) y 4B( ). 2. Bajo condiciones iniciales nulas, la salida con- olada z( ) sa is ace kz( )k2≤γkw( )k2pa a oda pe u baci´on w( )∈L2[0,∞). 4.2.2. Dise˜no del con olado obus o A con inuaci´on se enuncia un eo ema que pe mi e dise˜na , eniendo en cuen a la ed de comunicacio- nes, el con olado Kdel sis ema esol iendo un sis ema de LMIs. Teo ema 1 [6]: Dados los escala es ρl(l= 1,2,3,4), τm,ηyγ, si exis en ma ices ˜ Pk(k= 1,2,3), ˜ Tj>0, ˜ Rj>0 (j= 1,2), una ma- iz no singula Xy cualesquie a ma ices ˜ Ni˜ Si (i= 1,2,3,4) de dimensiones ap opiadas, as´ı co- mo un escala µ > 0 al que: µΦ11 ∗ Φ21 Φ22 ¶<0 (17) µ˜ P1˜ P2 ˜ PT 2˜ P3¶>0 (18) donde Φ11 =    Σ11 ∗∗∗ Σ21 Σ22 ∗ ∗ Σ31 Σ32 Σ33 ∗ Σ41 Σ42 Σ43 Σ44     Φ21 =         τ0˜ P30−τ0˜ P3τ0˜ PT 2 η˜ NT 1η˜ NT 2η˜ NT 3η˜ NT 4 δ˜ ST 1δ˜ ST 2δ˜ ST 3δ˜ ST 4 CXTDY 0 0 −BT w−ρ2BT w−ρ3BT w−ρ4BT w EaXTEbY0 0         Φ22 =diag(−τ0˜ T2−η˜ R1−δ˜ R2−I −γ2I−µI) Σ11 =˜ P2+˜ PT 2+˜ T1+τ0˜ T2+˜ N1 +˜ NT 1−AXT−XAT+µGGT, Σ21 =˜ N2−˜ NT 1+˜ ST 1−ρ2AXT −YTBT+µρ2GGT, Σ31 =˜ N3−˜ PT 2−˜ ST 1−ρ3AXT+µρ3GGT, Σ41 =X−˜ N4−˜ PT 1−ρ4AXT+µρ4GGT, Σ22 =−˜ N2−˜ NT 2+˜ S2+˜ ST 2−ρ2BY −ρ2BTYT+µρ2 2GGT, Σ32 =−˜ N3+˜ S3−˜ ST 2−ρ3BY +µρ3ρ2GGT, Σ42 =−˜ N4+˜ S4+ρ2X−ρ4BY +µρ4ρ2GGT, Σ43 =−˜ S4+ρ3X+µρ4ρ3GGT, Σ44 =ρ4X+ρ4XT+η˜ R1+ 2, δ ˜ R2+µρ2 4GGT, en onces, bajo el con olado u( ) = Kx( ), con K=Y X−T, el sis ema (11) con una ed de con ol sa is aciendo la Hip´o esis 2 es exponencialmen e es able y obus o con no ma H∞aco ada po γ. Demos aci´on: La demos aci´on del Teo ema 1 se encuen a desa ollada en de alle en [6]. 4.2.3. Aplicaci´on del con olado al PPca El sis ema bajo es udio, desc i o po (3), puede esc ibi se di ec amen e en la o ma (9) con s´olo de ini de o ma adecuada las ma ices ∆A, ∆B yBw, seg´un las pe u baciones e ince idumb es que deseen inclui se. En es e es udio, se a a consi- de a ince idumb e en la masa del pilo o M, que se deno a ´a po ∆M. Como pe u baci´on p inci- pal se a a conside a el ien o, que in luye sob e el ca o y el pilo o. Es o se puede modela como una ue za esul an e Wdel pe il de ien o, que se epa i ´a en e la base del ca o con un po cen- aje cmy el cen o de g a edad del p´endulo en un po cen aje cM. La ig. 6 ilus a es e en´omeno. De Figu a 6: Vien o incidiendo sob e el eh´ıculo es a o ma se ob iene: ∆A=  0 0 0 ∆Mg ml 0 0 −∆Mg m0 0   ∆B=  0 0 0   Bw=  0 cM ml −cm ml cm l  W Pa a una ince idumb e de ∆M= 1Kg, se ob ie- ne, esol iendo el p oblema de LMI plan eado en el Teo ema 2, el siguien e con olado : K1= 1550 K2= 412 K3= 53 (19) 5. PRUEBAS Y RESULTADOS T as las simulaciones, se lle a on a cabo dos p ue- bas eales con el eh´ıculo: en ambas, el obje i o ue, pa iendo de unas condiciones de con o no, es udia el compo amien o de ambos con olado- es a ando de es abiliza el sis ema. Es impo an e ad e i que nues o modelo ma- em´a ico adolece de una g a ´ısima debilidad: no modela adecuadamen e el e ec o del pilo o. ´ Es e eje ce un pa de ue zas sob e la base y el p´endu- lo, haciendo que su compo amien o sea imp ede- cible; es po eso que endemos a conside a lo como una pe u baci´on, y se ´a la esis encia en e a la pe u baci´on la que nos in o me de la bondad de nues o con ol. La p ime a p ueba se lle ´o a cabo p og amando en la aplicaci´on de PC un con ol po ealimen aci´on po espacio de es ados: conc e amen e, el LQR ya expues o. Puede ap ecia se que la pe u baci´on hace imposi- ble es abiliza el sis ema: al man ene la consigna du an e 30 ms en luga de los 10 ms del con ol local, ´es a no puede eacciona lo su icien emen- e ´apido a los cambios en el sis ema. El sis ema no se ines abiliza, pe o ampoco log a alcanza el eposo que ma ca ´ıa la es abilidad asin ´o ica. La segunda p ueba consis i´o en la p og amaci´on, ambi´en po ealimen aci´on del espacio de es ados, del con olado H∞median e LMI ya calculado. 0 5 10 15 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Es abilizacion del pendulo en e a pe u baciones iempo (s) inclinacion ( ad) LQR LMI Figu a 7: Es abilizaci´on del p´endulo La compa aci´on en e ambas cu as (LQR en l´ınea pun eada, LMI con l´ınea con ´ınua) mues a c´omo el con olado H∞log a es abiliza el sis ema de o ma m´as ´apida, siendo mucho menos sensible a las pe u baciones. Comoquie a que las pe u ba- ciones son consus anciales al sis ema, debido a la ine i able acci´on del pilo o, el con olado esul- a mucho m´as con enien e. Na u almen e, los e- a dos asociados a la ed inal´amb ica son los que con ie en en c ´ı icas las pe u baciones, ya que el sis ema no es capaz de eacciona a ´es as con an a apidez como en el caso del con ol local. Ag adecimien os Los au o es ag adecen a CICYT po inancia es e abajo bajo el p oyec o DPI2007-64697. 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