QÜESTIIÓ,
Vol15,
2.
pp.
211-229, 1991
,
PLANIFICACION
MULTINIVEL
CON
LIMITACIONES
DE
CAPACIDAD
S.
LOZANO,
J.
LARRAÑETA,
L.
ONIEVA
Escuela Supe io de Ingenie os
Indus iales
de Se illa
Es e
abajo es udia el p oblema
de
la
plani icación
de
la
p oducción
en
sis emas
de
ab icación mul ini el, con un cuello
de
bo ella.
El
p oblema se ha abo dado
median e
una
ap oximación
heu ís ica,
e-
sol iendo el p oblema esul an e
empleando
el
mé odo
p imal
dual.
El
abajo incluye
un
algo i mo pa a
la
selección sucesi a
de
los p e-
cios
de
los ecu sos que ga an icen
una
mejo a
monó ona
hacia
la
solución óp ima.
P imal
dual
app oach
o
he
mul ile el
capaci a ed
lo -sizing
p oblem.
Keywo ds:
Mul ile el
p oduc ion
planning, conca e cos ,
p imal-
dual,
se up
imes, Lag angean elaxa ion.
l.
INTRODUCCIÓN
El
p oblema
es udiado
es el de
la
plani icación de las ó denes de
p oducción
en
un
sis ema
de ab icación mul ini el de
ipo
gene al (se
pe mi e
la
exis encia
de
componen es
comunes a di e en es i ems)
conside ando
limi aciones de
capacidad
en
uno
de los cen os de
abajo.
Es e
p oblema
se
p esen a
con
g an
ecuencia
en
la
p ác ica.
-A icle
ebu
el
desemb e
de
1990.
211
No malmen e
es sólo
uno
de los cen os de
abajo
(a
eces
un
pa
de ellos)
el que
cons i uye
al
cuello de bo ella. Su
exis encia
puede
debe se al ele ado
p ecio de cie os equipos
-que
impide
amplia
la
capacidad
de los
mismos-,
o a
la
ejecución de
de e minadas
ope aciones
-secado,
po
ejemplo-
en
ins alaciones
cuya
capacidad
es
limi ada.
Los cuellos de
bo ella
mencionados
ienen
una
g an
in luencia
en
la
plani icación, ejecución y con ol de las ope aciones del alle .
Pa a
educi
Jos
iempos
mue os
en
dichos equipos c í icos se ab ican se ies
la gas, lo que
da
luga a
un
aumen o
de los in en a ios
in e medios
y de los
plazos de ab icación. Las pe niciosas consecuencias de es os hechos
han
sido
ex ensamen e
es udiadas
en la
li e a u a.
En
es e
abajo
se
ha
educido el
núme o
de
p og amas
admisibles de p o-
ducción a los que sa is acen cie as
ca ac e ís icas
na u ales.
El
modelo
esul-
an e
es
una
ap oximación que se analiza
median e
el
mé odo
p imal
dual. Sin
emba go,
exis en
muy
pocos
mé odos
pa a
esol e el p oblema.
En
Onie a
e
al.
[11)
y Lozano
[8)
se desa olla
un
plan eamien o
análogo al de
es e
abajo
pa a
el caso
más
simple de
un
solo ni el.
El
p oblema
de selección de lo es de ab icación
en
es uc u as
mul ini el
con limi aciones de
capacidad
es
NP-comple o.
En
Billing on e
al.
[2)
se p e-
sen a
un
modelo
gene al que incluye los
iempos
de
p epa ación
y las elaciones
mul ini el,
pe o
no
se
p opone
un
mé odo
de esolución. Es
uno
de los pocos
abajos
publicados que
con emplan
el
p oblema
gene al,
pues
la
mayo ía
abo -
dan
es uc u as
especiales. Así, en Zaho ik e
al.
[13)
se
es udian
es uc u as
pa alelas,
cada
una
de ellas en se ie.
Gabbay
[5)
p esen ó
un
e icien e
algo i mo
de
un
solo paso,
pe o
asumiendo
p ocesado uni o me,
és o
es,
cada
p oduc o
consume
la
misma
can idad
ela i a
de los ecu sos
en
los que
hay
limi ación de
capacidad.
Es a
hipó esis no e leja
la
ealidad en
la
mayo ía
de los casos.
Billing on
[1)
es udia
el
p oblema
que se
analiza
en
es e
abajo,
denominado
el
p oblema
del "cuello de
bo ella".
P opone
un
algo i mo
de explo ación
di igida
cuyas aco aciones son
ap oximadas
median e
la
solución de
una
secuencia de
elajaciones de
p oduc o
a
p oduc o
y la ac ualización de los
mul iplicado es
del
dual.
Finalmen e,
me ece ci a se el
mé odo
OPT
de
Gold a
[6)
debido
a
su
amplia
di usión.
Su
p incipal
ca ac e ís ica
es el én asis en los cuellos de bo ella, que
se iden i ican a
pa i
de
un
plan
maes o
de
p oducción
p e io. Se
u iliza
un
algo i mo,
no
publicado,
pa a
p og ama
los cuellos de
bo ella
y el
es o
de
la
plan a
se
p og ama
median e
un
mé odo
ipo
MRP,
espondiendo
a las
necesidades
señaladas
po
la
p og amación
de los cuellos de bo ella.
212
2.
TERMINOLOGÍA,
NOTACIÓN
Y
MODELO
La
no ación
empleada
es
la
siguien e:
N el
núme o
de
a ículos
en
la
plani icación.
i, k índices
co espondien es
a
cada
a ículo
(i,
k=
1, 2,
...
,
N).
L el
núme o
de
pe íodos
en
el
ho izon e de plani icación.
',
índices
co espondien es
a
cada
pe íodo
( ', =
1,
2,
...
, L ).
X;
unidades
p oducidas
del
a ículo
i en
el
pe íodo
.
Yi
indicado
de p oducción del
a ículo
i en
el
pe íodo
.
d;
demanda
ex e na
a
la
que
es á
some ido
el
p oduc o
i en el
pe íodo
.
;j
núme o
de
unidades
del
p oduc o
i que
o man
pa e
del
p oduc o
j.
S;
cos e ijo en
el
que se
incu e
al inicia
un
lo e de ab icación del
p oduc o
l.
h; cos e de
man enimien o
del s ock (de
sis ema)
po
unidad
del
p oduc o
i.
K
capacidad
disponible (en
ho as)
en el
pe íodo
.
a;
consumo
ijo de
capacidad
(en
ho as)
debido al inicio de
una
se ie
de
a-
b icación del
p oduc o
i.
b;
consumo
a iable
de
capacidad
(en
ho as)
po
cada
unidad
ab icada
del
p oduc o
i.
S(
i)
conjun o
de
p oduc os
suceso es
inmedia os
del i en el
á bol
de ab icación.
Indica
de
qué
p oduc os
o ma
pa e
i como
componen e
en el ni el inme-
dia amen e
supe io .
P(
i)
conjun o
de
p oduc os
p edeceso es
inmedia os
del i en el
á bol
de
ab i-
cación.
Indica
qué
p oduc os
o man
pa e
de i como
componen es
en
el
ni el
inmedia amen e
in e io .
En
Billing on
(1]
se
mues a
que
el
p oblema
conocido como el del "cuello
de bo ella"
pa a
ob ene
un
p og ama
óp imo
de ab icación (que minimice los
cos es de p oducción e in en a ios) puede
modela se
como:
213
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
N L
M in
LL
[S;
Yi +
h;
(L-
+
1)
X;1]
i=1
1=1
s.a.
(xi '-
L
;kXk ')
~
di ';
Vi
1'=1
kE8(i)
11
=1
N
L(a;1i
+b;Xi )::;
K1;
V
i=1
X;
::;
M Yi ;
Vi,
V
X;
~O,
Y;
=O,
1;
Vi,
La
unción
obje i o
( 1)
minimiza
la
suma
de los cos es ijos
de
p oducción
y
los de
man enimien o
del
in en a io
en
odo
el
ho izon e.
Las es icciones
(2)
ga an izan
que las necesidades
b u as
de
cada
p oduc o
se
sa is acen
en
cada
pe íodo,
ya
sea
po
ab icación
inmedia a
o a
a és
del s ock. Las es icciones
(3) obligan a que no se
sob epase
la
capacidad
del cuello
de
bo ella.
Final-
men e
( 4) y (5)
imponen
elaciones de cohe encia
en e
los
indicado es
Yi y las
p oducciones Xi
pa a
cada
p oduc o
en
cada
pe íodo,
siendo M
un
núme o
su icien emen e
g ande.
El
g an
núme o
de a iables
en e as,
N*
L,
imposibili a
la
esolución
di ec a
del modelo.
Po
ello, sólo se conside an los
p og amas
de ab icación
compues os
po
secuencias
dominan es.
És as
se de inen como las que
sa is acen
la
p opiedad,
pa a
cada
a ículo
i y
pe íodo
,
(6)
donde
(7)
1-1
X;¡
L(X; '-
D; ')
=o
'=!
D;
=
d;
+ L
ij
Dj
jES(i)
es
la
demanda
o al
del
p oduc o
í en el
pe íodo
. Así pues, las secuencias domi-
nan es
son aquellas en las que sólo se
p oduce
en los
pe íodos
que se inician con
s ock
nulo.
Dado
que exis en L pe íodos,
el
núme o
de secuencias
dominan es
pa a
cada
a ículo
es F =
2L-l.
Cada
secuencia
X;j
=
(Xij1,
Xij2,
...
, X;jL) =
214
(Xij )
de ine
un
p og ama
comple o
de
p oducción
pa a
un
a ículo. Reesc i-
biendo
el
modelo
an e io
con es os
elemen os
esul a:
(P) N F
M in
¿¿c;i
B;i
i=li=l
F F
s.a.¿oij
¿xij '-
L
¿okl
¿xkl '
;:::
Ld; ';
Vi,
j=l
'=l
kES(i)l=l
'=l
'=l
N F
LLmij Bij
~
J ¡;
V
i=lj=l
F
¿oij
=
1:
Vj
j=l
Las
nue as
a iables indicado es son
(}ij,
que
oman
el alo 1 si se escoge
la
secuencia
j
pa a
la
p oducción
del
a ículo
i y O en caso
con a io.
Además,
L
(8) C;j = L
[S;
b(Xij )
+
h;
(L-
+ 1) Xij ]
=l
es el cos e, en
odo
el
ho izon e,
asociado a
emplea
la
secuencia
j
pa a
la
p oducción
del
a ículo
i. Y,
(9)
es el
consumo
de
capacidad
en
el
pe íodo
de
la
secuencia
j
pa a
el
a ículo
i.
La
elajación
con inua
del
modelo
an e io ,
con
B;j
;:::
O,
se
analiza
como
la
ap oximación
heu ís ica
a
la
solución del
p oblema
del cuello de
bo ella.
Es el
p oblema
p imal
(P)
al que se le aplica
pa a
su análisis el
mé odo
p imal
dual.
215

3.
MODELOS
PRlMAL
DUAL
A
pa i
de
la
elajación del modelo
an e io ,
llamando
A1, = 1, 2,
...
, L a
las a iables asociadas a las es icciones de
capacidad
en
el cuello de bo ella,
y 7 ¡, i = 1, 2,
...
, N a las co espondien es a
la
imposición de que las a iables
del
p imal
sumen
la
unidad
pa a
cada
a ículo
y 'Yi a las que co esponden a
la elación mul ini el d(' la
es uc u a
de ab icación.
esul a
el
p oblema:
N L N L
(D)
Max
L'~~"i-
L
A
+
LL'Yi Ldi '
i=l
=l
i=l
=l
'=!
L L ( )
s.a.1 ;-
Lmij A
+ L
"'i -
L.
1'ki
lk
=!
=l
kEP(,,)
¿xij '
:=:;
C;j;
'=l
Vi,j
A
;:::
O,
íi
;:::
0:
Vi,
Nó ese que
an o
en
el
p oblema
p imal
(P)
como en el
dual
(D) el
é mino
Xij
no
se e ie e a
una
a iable, sino a
la
can idad
a ab ica
asignada
en
la
secuencia j del
p oduc o
i al pe íodo . Es deci , las a iables que
egulan
la
p oducción son las
O;j
y no las X;j ·
Una
solución admisible del
p oblema
dual,
('I ,
A,
1)
pe mi e
de ini los con-
jun os
de índices:
Ü;(
1)
{ :
A1 >O}
{ :
li
>O}
{j :
1 ;
= C;i +
Émii
A
+
(li -
L
ki/k )
" ,xii '}
=l
=l
kEP(i)
11
=1
A
pa i
de es os índices se de ine
el
p imal
educido,
L N L N
(PR) M
in
¿w
+ L
Z
+
¿¿ui
+ L L
V;
=l
EA+
i=l
=l
i=l
E ;
s.a.
L
O;j
¿xij '-
L L
Ok¡1'ik
¿xkl '
+U;¡-
V;¡=
Ld¡¡ ;
Vi,
jEO;
'=l
kE.5'(i)IE0•
'=l
'=l
216
N
LL
ijj ()ij
+
Z -
W
=
K ;
V
i:lj
EO;
L ()¡j =
1;
Vi
jEO;
O;i,
W ,
Z ,
Ui ,
Vi
2:
O;
Vi,j,
La
es uc u a
del
p imal
educido es
análoga
a
la
del
p imal,
pe o
in e i-
niendo
un
meno
núme o
de a iables. Además,
elaja
las es icciones sob e el
uso de
la
capacidad
y el
cumplimien o
de las elaciones mul ini el.
Como
es bien
conocido
(La añe a
[7])
si
la
unción
obje i o
del
p imal
educido
se
anula,
se
ha
alcanzado
la
solución
óp ima
del
p oblema
p imal. Si
no
es así, se modi ican
los p ecios (1 ,.A,¡) en base a
la
solución
óp ima
del
dual
educido
(DR).
És e
es:
(DR)
N L N L
Max¿a¡-
LK .B
+
LLPi Ldi '
i=l
=l
i=l
=l
'=l
-1
:S
.B
:S
1 ; E A+
O
:S
,8
1
:S
1 ;
~
A+
-1
:S
Pi
:S
1;
E
o
:::;
Pi
:::;
1;
.
Vi,j
Las condiciones de
complemen a iedad
en e
el
p imal
y el
dual
educidos
(PR
y
DR)
ienen
una
in e p e ación económica
in ui i a:
a)
Las a iables W1 y Z1 del
p imal
educido y
,8
1 del
dual
educido
indican
que
pa a
aquellos pe íodos en los que se
sob epasa
la
capacidad
disponible
deben
inc emen a se
los p ecios
in e nos
del dual.
En
caso
con a io
deben
disminui se, sal o que
ya
sean
ce o
(ya
que no
pueden
se nega i os).
b) Las a iables
U;
1 y
Vi
del p imal educido y
Pi
del
dual
educido
in-
dican que los p ecios
in e nos
del
dual
deben
inc emen a se
en
aquellos
pe íodos en los que
hay
in en a io. Y disminui se
cuando
hay
e asos
en
la
ab icación.
217
De
es a
o ma,
la
ac ualización de la solución admisible
pa a
el dual
{7 ,A,¡)nue a = {7 ,A,¡)an igua+ {a*,/3*,p*)
ga an iza
la con e gencia hacia
el
óp imo, eligiendo el mayo
amaño
del paso
que
man enga
la
admisibilidad en
el
dual
{D)
{Fishe
e
al.
[4]).
4.
ALGORITMO
PRIMAL
DUAL
La igu a 1
mues a
el
diag ama de bloques del algo i mo p imal dual.
~---8-'-------~
Figu a
l.
Diag ama
de
bloques
del
algo i mo
p imal
dual.
218
4.1
Soluciones
admisibles
pa a
el
p oblema
dual
(D)
Se inicializan los alo es de los p ecios
in e nos
A y
li
asociados a las
limi aciones de
capacidad
y al
s ock
espec i amen e.
Se esuel e
pa a
11"¡
:
11"¡
=
min
j
Es o
es,
11"¡
min
{(S;
+ a¡A )
b(Xij )
+
biA Xij -
J
=l
xii '
+
h;(L-
+
l)Xij }
'=l
sa is aciéndose
pa a
las secuencias conside adas:
¿xij '
~
¿ i '
'=l '=l
(
li
-L
ki/k )
·
kEP(i)
Una
ez ijados los p ecios de los ecu sos
A
y
li
se seleccionan, inde-
pendien emen e
pa a
cada
a ículo,
p og amas
de p oducción sin limi aciones de
ecu sos.
La
aplicación del
mé odo
de
p og amación
dinámica
de Wagne -
Whi in
[12],
en
una
implemen ación
al
como
la
p opues a
po
E ans
[3],
es su icien e.
Son necesa ias
odas
las soluciones
óp imas
al e na i as
pa a
la
o mulación del
p imal
educido.
4.2
Soluciones
del
p oblema
educido
(PR)
El
núme o
de es icciones mul ini el del
p oblema
(PR)
es N *
L,
sin e-
ducción con espec o al
p oblema
p imal
(P).
Pa a
su esolución se
emplea
el
mé odo
simplex.
En
las sucesi as i e aciones del
algo i mo
p imal
dual, se ap o-
echa
el
óp imo
de
la
i e ación
an e io
como solución inicial
pa a
la
siguien e
(Fishe
e al.
[4]).
4.3
Solución
del
p oblema
dual
educido
(DR)
La
solución del
p oblema
(PR)
p opo ciona, de o ma
inmedia a,
la
del p o-
blema
(DR)
a a és de las condiciones de
complemen a iedad.
Es a
ase del
219
Nó ese que el ni el de u ilización de CU hace e e encia a los consumos de capa-
cidad que son p opo cionales a los lo es a ab ica . El ni el de u ilización eal es
mayo debido a
la
exis encia de
iempos
de
pues a
a
pun o
al inicio de las se ies.
Los
da os
conc e os u ilizados
pa a
es os p oblemas pueden consul a se en
Billing on
[1].
Los p oblemas
han
sido esuel os
median e
el
mé odo
p imal
dual,
compa ando
los esul ados con los ob enidos
po
la
heu ís ica
LR
de Billing on
[1].
En
las
ablas
111
y IV se p esen an los esul ados espec o a los siguien es
a ios:
a)
LR/LBPD
es el cocien e
en e
la
solución de
la
heu ís ica
LR
y
la
mejo
co a
in e io
p opo cionada
po el p imal dual.
b)
LBPD/LBLR
es el cocien e
en e
la
mejo
co a
in e io
suminis ada
po
el
p imal dual y
la
solución
óp ima
del co espondien e
p oblema
mul ini el
sin limi aciones de capacidad.
e)
LBLR/LBO
es el cocien e
en e
la
solución
óp ima
del
p oblema
mul i-
ni el sin limi aciones de capacidad y el
p oblema
elajado
sin ni siquie a
es icciones mul ini el.
C
Bajo
C
Medio
C
Al o
LR/LBPD
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
LR/LBPD
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
LR/LBPD
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
Tabla
III
Mé odo p imal dual
e sus
LR
es
i ems inales
Cuello
Bo ella
Cuello
Bo ella
Ni el 5 Ni el 3
cu cu
Bajo
Medio
Al o
Bajo
Medio
Al o
1.065 1.206 1.593 1.053 1.183 1.407
1.052 1.066 1.060 1.035 1.069 1.045
1.047 1.047 1.047 1.047 1.047 1.047
1.133 1.138
--
1.079 1.272
--
1.078 1.129 1.311 1.053 1.094 1.177
1.045 1.045 1.045 1.045 1.045 1.045
1.048 1.228 1.404 1.037 1.139 1.454
1.027 1.041 1.093 1.028 1.044 1.051
1.039 1.039 1.039 1.039 1.039 1.039
Cuello
Bo ella
Ni el 1
cu
Bajo
Medio
Al o
1.036 1.064 1.144
1.023 1.037 1.056
1.047 1.047 1.047
1.047 1.154
--
1.029 1.045 1.166
1.045 1.045 1.045
1.039 1.165 1.216
1.023 1.026 1.053
1.039 1.039 1.039
Cada
en ada
co esponde
a
la
media
de
es
p oblemas
226

C
LR/LBPD
Bajo
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
C
LR/LBPD
Medio
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
C
LR/LBPD
Al o
LBPD/LBLR
LBLR/LBO
Tabla
IV
Mé odo
p imal
dual
e sus
LR
cinco
i ems
inales
Cuello
Bo ella
Cuello
Bo ella
Ni el 5 Ni el 3
cu
cu
Bajo
Medio
Al o
Bajo
Medio
Al o
1.241 1.418 2.050 1.079 1.504
l.
724
1.044 1.065 1.031 1.027 1.029 1.011
1.109 1.109 1.109 1.109 1.109 1.109
1.095 1.404
--
1.067 1.483
--
1.034 1.058 1.124 1.021 1.039 1.020
1.112 1.112 1.112 1.112 1.112 1.112
1.130 1.159 1.253 1.107 1.163 1.546
0.984 1.029 1.077 0.988 1.017 1.074
1.132 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132
Cuello
Bo ella
Ni el 1
cu
Bajo
Medio
Al o
1.075 1.377 1.279
1.008 1.004 1.010
1.109 1.109 1.109
1.050 1.380
--
1.006 1.017 1.109
1.112 1.112 1.112
1.059 1.146 1.242
0.976 0.988 1.035
1.132 1.132 1.132
Cada
en ada
co esponde
a
la
media
de
es
p oblemas
Se
obse a
que:
1)
Cuando
el ni el de ocupación de
la
capacidad
es
al o
y el coe icien e de
a iación es medio, el algo i mo
LR
no
iene solución.
Es o
no
es so p en-
den e,
ya
que debido a
la
exis encia de
iempos
de
pues a
a
pun o
es
muy
p obable
que dichos p ohlemas no
engan
solución admisible.
2)
LBPD
es
consis en emen e
mejo que LBLR,
especialmen e
cuando
el ni-
el de u ilización de
la
capacidad
es
al o
y el cuello de
bo ella
es á
aguas
a iba
en
la
es uc u a
de ab icación.
Es o
es
azonable
pues o
que
LBLR
no
iene en
cuen a
las es icciones de
capacidad,
siendo en dichos p oble-
mas
donde
el e ec o de las limi aciones de
capacidad
sob e el
conjun o
del
sis ema
es mayo .
3)
LBPD/LBLR
disminuye al
aumen a
el
núme o
de
i ems
inales, lo cual
se debe a que
cuan o
mayo
es el
núme o
de és os
meno
es
la
in luencia
de las es icciones de
capacidad
y
más
ap opiado
es
ob ia las
como hace
LBLR.
4)
LR/LBPD,
que es
una
es imación del
gap
exis en e
en e
la
solución
óp ima
del
p oblema
y
el
óp imo
lag angiano,
aumen a
con el ni el de u ilización
de
la
capacidad,
con lo aguas
a iba
que es é el cuello de
bo ella
y con
la
uni o midad de la
demanda.
227
5)
LBLR/LBO
es insensible al ni el de u ilización de
la
capacidad
y a
la
posición del cuello de
bo ella
(lo cual
esul a
lógico,
ya
que
an o
LBLR
como LB no ienen en
cuen a
las limi aciones de
capacidad)
y
aumen a
con
el
núme o
de i ems inales (debido a que en ese caso es menos
ap opiado
desp ecia las es icciones mul ini el como hace LBO).
No se
p esen an
los
iempos
de ejecución co espondien es a es os p oblemas
ya
que no se disponía de los del algo i mo LR.
Po
lo que
espec a
al
mé odo
p imal
dual, és os y el núme o de i e aciones son máximos
cuando
la
capaci-
dad
es á
muy
ajus ada,
el cuello de bo ella
es á
aguas
a iba
y
la
demanda
es
uni o me.
6.
CONCLUSIONES
Se
ha
p esen ado
una
o ma de esolución del
p oblema
de plani icación mul-
ini el con limi aciones de capacidad
la
cual se
basa
en
la
elajación
lag angiana
de las es icciones del p oblema
( an o
mul ini el como de capacidad). El algo-
i mo
de op imización que se p opone es el
mé odo
p imal dual.
Las expe iencias compu acionales ealizadas con i man
la
iabilidad del en o-
que u ilizado, el cual
pe mi e
ob ene
co as in e io es mejo es que las
p opues as
po
o os
mé odos al e na i os.
También
han
pe mi ido
iden i ica cuáles son los
pa áme os
que con ie en mayo di icul ad al p oblema:
la
sa u ación
del cuello
de bo ella,
la
ampli icación de su e ec o a a és de
la
es uc u a
de ab icación
y
la
uni o midad de
la
demanda
de los
p oduc os
inales.
Finalmen e,
y como con inuación a es e
abajo
de in es igación, al
mé odo
p esen ado
se le puede
añadi
una
heu ís ica p imal que
pe mi a
ob ene
una
solución admisible lo su icien emen e
buena
en
cada
i e ación.
7.
AGRADECIMIENTOS
Se ag adece al p o eso P. Billing on
la
gen ileza de
suminis a
los esul ados
de su algo i mo.
Los au o es ambién ag adecen a
A hu
Ande sen &
Cía
la
ayuda
inancie a
que
pe mi ió
la
ealización de es e
abajo
de in es igación.
228
8.
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