Planificación multinivel con limitaciones de capacidad

QÜESTIIÓ, Vol15, 2. pp. 211-229, 1991 , PLANIFICACION MULTINIVEL CON LIMITACIONES DE CAPACIDAD S. LOZANO, J. LARRAÑETA, L. ONIEVA Escuela Supe io de Ingenie os Indus iales de Se illa Es e abajo es udia el p oblema de la plani icación de la p oducción en sis emas de ab icación mul ini el, con un cuello de bo ella. El p oblema se ha abo dado median e una ap oximación heu ís ica, e- sol iendo el p oblema esul an e empleando el mé odo p imal dual. El abajo incluye un algo i mo pa a la selección sucesi a de los p e- cios de los ecu sos que ga an icen una mejo a monó ona hacia la solución óp ima. P imal dual app oach o he mul ile el capaci a ed lo -sizing p oblem. Keywo ds: Mul ile el p oduc ion planning, conca e cos , p imal- dual, se up imes, Lag angean elaxa ion. l. INTRODUCCIÓN El p oblema es udiado es el de la plani icación de las ó denes de p oducción en un sis ema de ab icación mul ini el de ipo gene al (se pe mi e la exis encia de componen es comunes a di e en es i ems) conside ando limi aciones de capacidad en uno de los cen os de abajo. Es e p oblema se p esen a con g an ecuencia en la p ác ica. -A icle ebu el desemb e de 1990. 211 No malmen e es sólo uno de los cen os de abajo (a eces un pa de ellos) el que cons i uye al cuello de bo ella. Su exis encia puede debe se al ele ado p ecio de cie os equipos -que impide amplia la capacidad de los mismos-, o a la ejecución de de e minadas ope aciones -secado, po ejemplo- en ins alaciones cuya capacidad es limi ada. Los cuellos de bo ella mencionados ienen una g an in luencia en la plani icación, ejecución y con ol de las ope aciones del alle . Pa a educi Jos iempos mue os en dichos equipos c í icos se ab ican se ies la gas, lo que da luga a un aumen o de los in en a ios in e medios y de los plazos de ab icación. Las pe niciosas consecuencias de es os hechos han sido ex ensamen e es udiadas en la li e a u a. En es e abajo se ha educido el núme o de p og amas admisibles de p o- ducción a los que sa is acen cie as ca ac e ís icas na u ales. El modelo esul- an e es una ap oximación que se analiza median e el mé odo p imal dual. Sin emba go, exis en muy pocos mé odos pa a esol e el p oblema. En Onie a e al. [11) y Lozano [8) se desa olla un plan eamien o análogo al de es e abajo pa a el caso más simple de un solo ni el. El p oblema de selección de lo es de ab icación en es uc u as mul ini el con limi aciones de capacidad es NP-comple o. En Billing on e al. [2) se p e- sen a un modelo gene al que incluye los iempos de p epa ación y las elaciones mul ini el, pe o no se p opone un mé odo de esolución. Es uno de los pocos abajos publicados que con emplan el p oblema gene al, pues la mayo ía abo - dan es uc u as especiales. Así, en Zaho ik e al. [13) se es udian es uc u as pa alelas, cada una de ellas en se ie. Gabbay [5) p esen ó un e icien e algo i mo de un solo paso, pe o asumiendo p ocesado uni o me, és o es, cada p oduc o consume la misma can idad ela i a de los ecu sos en los que hay limi ación de capacidad. Es a hipó esis no e leja la ealidad en la mayo ía de los casos. Billing on [1) es udia el p oblema que se analiza en es e abajo, denominado el p oblema del "cuello de bo ella". P opone un algo i mo de explo ación di igida cuyas aco aciones son ap oximadas median e la solución de una secuencia de elajaciones de p oduc o a p oduc o y la ac ualización de los mul iplicado es del dual. Finalmen e, me ece ci a se el mé odo OPT de Gold a [6) debido a su amplia di usión. Su p incipal ca ac e ís ica es el én asis en los cuellos de bo ella, que se iden i ican a pa i de un plan maes o de p oducción p e io. Se u iliza un algo i mo, no publicado, pa a p og ama los cuellos de bo ella y el es o de la plan a se p og ama median e un mé odo ipo MRP, espondiendo a las necesidades señaladas po la p og amación de los cuellos de bo ella. 212 2. TERMINOLOGÍA, NOTACIÓN Y MODELO La no ación empleada es la siguien e: N el núme o de a ículos en la plani icación. i, k índices co espondien es a cada a ículo (i, k= 1, 2, ... , N). L el núme o de pe íodos en el ho izon e de plani icación. ', índices co espondien es a cada pe íodo ( ', = 1, 2, ... , L ). X; unidades p oducidas del a ículo i en el pe íodo . Yi indicado de p oducción del a ículo i en el pe íodo . d; demanda ex e na a la que es á some ido el p oduc o i en el pe íodo . ;j núme o de unidades del p oduc o i que o man pa e del p oduc o j. S; cos e ijo en el que se incu e al inicia un lo e de ab icación del p oduc o l. h; cos e de man enimien o del s ock (de sis ema) po unidad del p oduc o i. K capacidad disponible (en ho as) en el pe íodo . a; consumo ijo de capacidad (en ho as) debido al inicio de una se ie de a- b icación del p oduc o i. b; consumo a iable de capacidad (en ho as) po cada unidad ab icada del p oduc o i. S( i) conjun o de p oduc os suceso es inmedia os del i en el á bol de ab icación. Indica de qué p oduc os o ma pa e i como componen e en el ni el inme- dia amen e supe io . P( i) conjun o de p oduc os p edeceso es inmedia os del i en el á bol de ab i- cación. Indica qué p oduc os o man pa e de i como componen es en el ni el inmedia amen e in e io . En Billing on (1] se mues a que el p oblema conocido como el del "cuello de bo ella" pa a ob ene un p og ama óp imo de ab icación (que minimice los cos es de p oducción e in en a ios) puede modela se como: 213 (1) (2) (3) (4) (5) N L M in LL [S; Yi + h; (L- + 1) X;1] i=1 1=1 s.a. (xi '- L ;kXk ') ~ di '; Vi 1'=1 kE8(i) 11 =1 N L(a;1i +b;Xi )::; K1; V i=1 X; ::; M Yi ; Vi, V X; ~O, Y; =O, 1; Vi, La unción obje i o ( 1) minimiza la suma de los cos es ijos de p oducción y los de man enimien o del in en a io en odo el ho izon e. Las es icciones (2) ga an izan que las necesidades b u as de cada p oduc o se sa is acen en cada pe íodo, ya sea po ab icación inmedia a o a a és del s ock. Las es icciones (3) obligan a que no se sob epase la capacidad del cuello de bo ella. Final- men e ( 4) y (5) imponen elaciones de cohe encia en e los indicado es Yi y las p oducciones Xi pa a cada p oduc o en cada pe íodo, siendo M un núme o su icien emen e g ande. El g an núme o de a iables en e as, N* L, imposibili a la esolución di ec a del modelo. Po ello, sólo se conside an los p og amas de ab icación compues os po secuencias dominan es. És as se de inen como las que sa is acen la p opiedad, pa a cada a ículo i y pe íodo , (6) donde (7) 1-1 X;¡ L(X; '- D; ') =o '=! D; = d; + L ij Dj jES(i) es la demanda o al del p oduc o í en el pe íodo . Así pues, las secuencias domi- nan es son aquellas en las que sólo se p oduce en los pe íodos que se inician con s ock nulo. Dado que exis en L pe íodos, el núme o de secuencias dominan es pa a cada a ículo es F = 2L-l. Cada secuencia X;j = (Xij1, Xij2, ... , X;jL) = 214 (Xij ) de ine un p og ama comple o de p oducción pa a un a ículo. Reesc i- biendo el modelo an e io con es os elemen os esul a: (P) N F M in ¿¿c;i B;i i=li=l F F s.a.¿oij ¿xij '- L ¿okl ¿xkl ' ;::: Ld; '; Vi, j=l '=l kES(i)l=l '=l '=l N F LLmij Bij ~ J ¡; V i=lj=l F ¿oij = 1: Vj j=l Las nue as a iables indicado es son (}ij, que oman el alo 1 si se escoge la secuencia j pa a la p oducción del a ículo i y O en caso con a io. Además, L (8) C;j = L [S; b(Xij ) + h; (L- + 1) Xij ] =l es el cos e, en odo el ho izon e, asociado a emplea la secuencia j pa a la p oducción del a ículo i. Y, (9) es el consumo de capacidad en el pe íodo de la secuencia j pa a el a ículo i. La elajación con inua del modelo an e io , con B;j ;::: O, se analiza como la ap oximación heu ís ica a la solución del p oblema del cuello de bo ella. Es el p oblema p imal (P) al que se le aplica pa a su análisis el mé odo p imal dual. 215 3. MODELOS PRlMAL DUAL A pa i de la elajación del modelo an e io , llamando A1, = 1, 2, ... , L a las a iables asociadas a las es icciones de capacidad en el cuello de bo ella, y 7 ¡, i = 1, 2, ... , N a las co espondien es a la imposición de que las a iables del p imal sumen la unidad pa a cada a ículo y 'Yi a las que co esponden a la elación mul ini el d(' la es uc u a de ab icación. esul a el p oblema: N L N L (D) Max L'~~"i- L A + LL'Yi Ldi ' i=l =l i=l =l '=! L L ( ) s.a.1 ;- Lmij A + L "'i - L. 1'ki lk =! =l kEP(,,) ¿xij ' :=:; C;j; '=l Vi,j A ;::: O, íi ;::: 0: Vi, Nó ese que an o en el p oblema p imal (P) como en el dual (D) el é mino Xij no se e ie e a una a iable, sino a la can idad a ab ica asignada en la secuencia j del p oduc o i al pe íodo . Es deci , las a iables que egulan la p oducción son las O;j y no las X;j · Una solución admisible del p oblema dual, ('I , A, 1) pe mi e de ini los con- jun os de índices: Ü;( 1) { : A1 >O} { : li >O} {j : 1 ; = C;i + Émii A + (li - L ki/k ) " ,xii '} =l =l kEP(i) 11 =1 A pa i de es os índices se de ine el p imal educido, L N L N (PR) M in ¿w + L Z + ¿¿ui + L L V; =l EA+ i=l =l i=l E ; s.a. L O;j ¿xij '- L L Ok¡1'ik ¿xkl ' +U;¡- V;¡= Ld¡¡ ; Vi, jEO; '=l kE.5'(i)IE0• '=l '=l 216 N LL ijj ()ij + Z - W = K ; V i:lj EO; L ()¡j = 1; Vi jEO; O;i, W , Z , Ui , Vi 2: O; Vi,j, La es uc u a del p imal educido es análoga a la del p imal, pe o in e i- niendo un meno núme o de a iables. Además, elaja las es icciones sob e el uso de la capacidad y el cumplimien o de las elaciones mul ini el. Como es bien conocido (La añe a [7]) si la unción obje i o del p imal educido se anula, se ha alcanzado la solución óp ima del p oblema p imal. Si no es así, se modi ican los p ecios (1 ,.A,¡) en base a la solución óp ima del dual educido (DR). És e es: (DR) N L N L Max¿a¡- LK .B + LLPi Ldi ' i=l =l i=l =l '=l -1 :S .B :S 1 ; E A+ O :S ,8 1 :S 1 ; ~ A+ -1 :S Pi :S 1; E o :::; Pi :::; 1; . Vi,j Las condiciones de complemen a iedad en e el p imal y el dual educidos (PR y DR) ienen una in e p e ación económica in ui i a: a) Las a iables W1 y Z1 del p imal educido y ,8 1 del dual educido indican que pa a aquellos pe íodos en los que se sob epasa la capacidad disponible deben inc emen a se los p ecios in e nos del dual. En caso con a io deben disminui se, sal o que ya sean ce o (ya que no pueden se nega i os). b) Las a iables U; 1 y Vi del p imal educido y Pi del dual educido in- dican que los p ecios in e nos del dual deben inc emen a se en aquellos pe íodos en los que hay in en a io. Y disminui se cuando hay e asos en la ab icación. 217 De es a o ma, la ac ualización de la solución admisible pa a el dual {7 ,A,¡)nue a = {7 ,A,¡)an igua+ {a*,/3*,p*) ga an iza la con e gencia hacia el óp imo, eligiendo el mayo amaño del paso que man enga la admisibilidad en el dual {D) {Fishe e al. [4]). 4. ALGORITMO PRIMAL DUAL La igu a 1 mues a el diag ama de bloques del algo i mo p imal dual. ~---8-'-------~ Figu a l. Diag ama de bloques del algo i mo p imal dual. 218 4.1 Soluciones admisibles pa a el p oblema dual (D) Se inicializan los alo es de los p ecios in e nos A y li asociados a las limi aciones de capacidad y al s ock espec i amen e. Se esuel e pa a 11"¡ : 11"¡ = min j Es o es, 11"¡ min {(S; + a¡A ) b(Xij ) + biA Xij - J =l xii ' + h;(L- + l)Xij } '=l sa is aciéndose pa a las secuencias conside adas: ¿xij ' ~ ¿ i ' '=l '=l ( li -L ki/k ) · kEP(i) Una ez ijados los p ecios de los ecu sos A y li se seleccionan, inde- pendien emen e pa a cada a ículo, p og amas de p oducción sin limi aciones de ecu sos. La aplicación del mé odo de p og amación dinámica de Wagne - Whi in [12], en una implemen ación al como la p opues a po E ans [3], es su icien e. Son necesa ias odas las soluciones óp imas al e na i as pa a la o mulación del p imal educido. 4.2 Soluciones del p oblema educido (PR) El núme o de es icciones mul ini el del p oblema (PR) es N * L, sin e- ducción con espec o al p oblema p imal (P). Pa a su esolución se emplea el mé odo simplex. En las sucesi as i e aciones del algo i mo p imal dual, se ap o- echa el óp imo de la i e ación an e io como solución inicial pa a la siguien e (Fishe e al. [4]). 4.3 Solución del p oblema dual educido (DR) La solución del p oblema (PR) p opo ciona, de o ma inmedia a, la del p o- blema (DR) a a és de las condiciones de complemen a iedad. Es a ase del 219 Nó ese que el ni el de u ilización de CU hace e e encia a los consumos de capa- cidad que son p opo cionales a los lo es a ab ica . El ni el de u ilización eal es mayo debido a la exis encia de iempos de pues a a pun o al inicio de las se ies. Los da os conc e os u ilizados pa a es os p oblemas pueden consul a se en Billing on [1]. Los p oblemas han sido esuel os median e el mé odo p imal dual, compa ando los esul ados con los ob enidos po la heu ís ica LR de Billing on [1]. En las ablas 111 y IV se p esen an los esul ados espec o a los siguien es a ios: a) LR/LBPD es el cocien e en e la solución de la heu ís ica LR y la mejo co a in e io p opo cionada po el p imal dual. b) LBPD/LBLR es el cocien e en e la mejo co a in e io suminis ada po el p imal dual y la solución óp ima del co espondien e p oblema mul ini el sin limi aciones de capacidad. e) LBLR/LBO es el cocien e en e la solución óp ima del p oblema mul i- ni el sin limi aciones de capacidad y el p oblema elajado sin ni siquie a es icciones mul ini el. C Bajo C Medio C Al o LR/LBPD LBPD/LBLR LBLR/LBO LR/LBPD LBPD/LBLR LBLR/LBO LR/LBPD LBPD/LBLR LBLR/LBO Tabla III Mé odo p imal dual e sus LR es i ems inales Cuello Bo ella Cuello Bo ella Ni el 5 Ni el 3 cu cu Bajo Medio Al o Bajo Medio Al o 1.065 1.206 1.593 1.053 1.183 1.407 1.052 1.066 1.060 1.035 1.069 1.045 1.047 1.047 1.047 1.047 1.047 1.047 1.133 1.138 -- 1.079 1.272 -- 1.078 1.129 1.311 1.053 1.094 1.177 1.045 1.045 1.045 1.045 1.045 1.045 1.048 1.228 1.404 1.037 1.139 1.454 1.027 1.041 1.093 1.028 1.044 1.051 1.039 1.039 1.039 1.039 1.039 1.039 Cuello Bo ella Ni el 1 cu Bajo Medio Al o 1.036 1.064 1.144 1.023 1.037 1.056 1.047 1.047 1.047 1.047 1.154 -- 1.029 1.045 1.166 1.045 1.045 1.045 1.039 1.165 1.216 1.023 1.026 1.053 1.039 1.039 1.039 Cada en ada co esponde a la media de es p oblemas 226 C LR/LBPD Bajo LBPD/LBLR LBLR/LBO C LR/LBPD Medio LBPD/LBLR LBLR/LBO C LR/LBPD Al o LBPD/LBLR LBLR/LBO Tabla IV Mé odo p imal dual e sus LR cinco i ems inales Cuello Bo ella Cuello Bo ella Ni el 5 Ni el 3 cu cu Bajo Medio Al o Bajo Medio Al o 1.241 1.418 2.050 1.079 1.504 l. 724 1.044 1.065 1.031 1.027 1.029 1.011 1.109 1.109 1.109 1.109 1.109 1.109 1.095 1.404 -- 1.067 1.483 -- 1.034 1.058 1.124 1.021 1.039 1.020 1.112 1.112 1.112 1.112 1.112 1.112 1.130 1.159 1.253 1.107 1.163 1.546 0.984 1.029 1.077 0.988 1.017 1.074 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132 1.132 Cuello Bo ella Ni el 1 cu Bajo Medio Al o 1.075 1.377 1.279 1.008 1.004 1.010 1.109 1.109 1.109 1.050 1.380 -- 1.006 1.017 1.109 1.112 1.112 1.112 1.059 1.146 1.242 0.976 0.988 1.035 1.132 1.132 1.132 Cada en ada co esponde a la media de es p oblemas Se obse a que: 1) Cuando el ni el de ocupación de la capacidad es al o y el coe icien e de a iación es medio, el algo i mo LR no iene solución. Es o no es so p en- den e, ya que debido a la exis encia de iempos de pues a a pun o es muy p obable que dichos p ohlemas no engan solución admisible. 2) LBPD es consis en emen e mejo que LBLR, especialmen e cuando el ni- el de u ilización de la capacidad es al o y el cuello de bo ella es á aguas a iba en la es uc u a de ab icación. Es o es azonable pues o que LBLR no iene en cuen a las es icciones de capacidad, siendo en dichos p oble- mas donde el e ec o de las limi aciones de capacidad sob e el conjun o del sis ema es mayo . 3) LBPD/LBLR disminuye al aumen a el núme o de i ems inales, lo cual se debe a que cuan o mayo es el núme o de és os meno es la in luencia de las es icciones de capacidad y más ap opiado es ob ia las como hace LBLR. 4) LR/LBPD, que es una es imación del gap exis en e en e la solución óp ima del p oblema y el óp imo lag angiano, aumen a con el ni el de u ilización de la capacidad, con lo aguas a iba que es é el cuello de bo ella y con la uni o midad de la demanda. 227 5) LBLR/LBO es insensible al ni el de u ilización de la capacidad y a la posición del cuello de bo ella (lo cual esul a lógico, ya que an o LBLR como LB no ienen en cuen a las limi aciones de capacidad) y aumen a con el núme o de i ems inales (debido a que en ese caso es menos ap opiado desp ecia las es icciones mul ini el como hace LBO). No se p esen an los iempos de ejecución co espondien es a es os p oblemas ya que no se disponía de los del algo i mo LR. Po lo que espec a al mé odo p imal dual, és os y el núme o de i e aciones son máximos cuando la capaci- dad es á muy ajus ada, el cuello de bo ella es á aguas a iba y la demanda es uni o me. 6. CONCLUSIONES Se ha p esen ado una o ma de esolución del p oblema de plani icación mul- ini el con limi aciones de capacidad la cual se basa en la elajación lag angiana de las es icciones del p oblema ( an o mul ini el como de capacidad). El algo- i mo de op imización que se p opone es el mé odo p imal dual. Las expe iencias compu acionales ealizadas con i man la iabilidad del en o- que u ilizado, el cual pe mi e ob ene co as in e io es mejo es que las p opues as po o os mé odos al e na i os. También han pe mi ido iden i ica cuáles son los pa áme os que con ie en mayo di icul ad al p oblema: la sa u ación del cuello de bo ella, la ampli icación de su e ec o a a és de la es uc u a de ab icación y la uni o midad de la demanda de los p oduc os inales. Finalmen e, y como con inuación a es e abajo de in es igación, al mé odo p esen ado se le puede añadi una heu ís ica p imal que pe mi a ob ene una solución admisible lo su icien emen e buena en cada i e ación. 7. AGRADECIMIENTOS Se ag adece al p o eso P. Billing on la gen ileza de suminis a los esul ados de su algo i mo. Los au o es ambién ag adecen a A hu Ande sen & Cía la ayuda inancie a que pe mi ió la ealización de es e abajo de in es igación. 228 8. REFERENCIAS (1] Billing on, P. (1983). "Mul ile el Lo Sizing wi h a Bo leneck Wo k Cen e ". Ph. D. Disse a ion. Co nell Uni e si y. (2] Billing on, P., McLain, J. y Thomas, L. (1983). "Ma hema ical P og amming App oaches o Capaci y-Cons ained MRP Sys ems: Re- iew, Fo mula ion and P oblem Reduc ion". Managemen Science, Vol. 29, 1126-1141. (3] E ans, J. (1985). "An E icien Implemen a ion o he Wagne -Whi in Algo i hm o o Dynamic Lo Sizing". J. o Ope a ions Managemen , Vol. 5, 229-233. (4] Fishe , M., No hup, W. y Shapi o, J. (1975). "Using Duali y o Sol e Disc e e Op imiza ion P oblems: Theo y and Compu a ional Expe ience". Ma hema ical P og amming S udies, n° 3, 56-94. [5] Gabbay, H. (1979). "Mul is age P oduc ion Planning". Managemen Science, Vol. 25, 1138-1148. [6] Gold a , E. (1980). "Op imized P oduc ion Time able: A Re olucio- na y P og amm o lndus y". APICS Con e ence P oceedings, 172-176. [7] La añe a, J. (1987). P og amación Lineal y G a os. Publicaciones Uni e sidad de Se illa. [8] Lozano, S. (1987). "Plani icación de la P oducción de Cos es Fijos. So- luciones Heu ís icas de Tipo P imal-Dual". Tesis Doc o al. Uni e sidad de Se illa. (9] Lozano, S. (1988). "Mul ile el Lo Sizing wi h One Bo leneck Wo k Cen e ". Unpublished Mas e Tesis, Ka holieke Uni e si ei Leu en. [10] MeLa en, B. (1975). "A S udy o Mul iple Le el Lo Sizing P ocedu- es o Ma e ial Requi emen s Planning". Ph. D. Disse a ion, Pu due U ni e si y. [11] Onie a, L., Lozano, S. y La añe a, J. (1987). "Mé odo P imal Dual pa a Modelos de Plani icación con Cos es Cónca os y Limi aciones de Capacidad". Qües iió, Vol. 11, n° 2, 117-133. [12] Wagne , H. y Whi in, T. (1958). "A Dynamic Ve sion o he Econo- mic Lo Size Model". Managemen Science, Vol. 5, 89-96. [13] Zaho ik, A., Thomas, L. y T iguei o, W. (1984). "Ne wo k P o- g amming Models o P oduc ion.Scheduling in Mul is age, Mul i i e o Capaci a ed Sys em". Managemen Science, Vol. 30, 308-325. 229