Axiomá ica pa a el g ado mui i aluado
Po GENARO LÓPEZ ACEDO
Recibido: 4 mayo 1988
P esen ado po el académico co espondien e D. An onio de Cas o B zezicki
Abs ac
In his pape we de elop an axioma ic heo y o he mul i alued deg ee ha p ese es he basic
p ope ies o he classical deg ee. We apply i o ob ain ixed poin he oems and exis ence o solu ion
ix) = p. We gi e a me hod o ex end his deg ee.
INTRODUCCIÓN y NOTACIÓN
En el abajo que se p esen a se cons uye una axiomá ica pa a un g ado
mui i aluado. El hecho de oma és e alo sob e conjun os nos ha obligado
a in oduci de e minados cambios espec o de la axiomá ica del g ado uni-
aluado ( éase [2]), cuidando que és os no a ec a an la deducción de las p o-
piedades más impo an es. La modi icación undamen al se in oduce en el
axioma de descomposición en el que, en de e minados casos, se ha enido
que cambia la igualdad po una con ención; lo cual pe mi e aún ob ene eo-
emas de exis encia pa a la ecuacuón (x) = p o análogamen e la ob ención
de pun os ijos. En la segunda pa e del abajo cons uimos un mé odo ge-
ne al de ex ensión, que pe mi e, de inido el g ado sob e una clase de uncio-
nes,
ex ende lo au omá icamen e a una clase más amplia o mada po lími-
es pun uales de la an e io clase. Como ejemplo de aphcación de inimos un
g ado pa a las unciones p opias de inidas en abie os no aco ados de espa-
cios de dimensión ini a.
A lo la go de es e abajo (X, 7) ep esen a á un espacio ec o ial opo-
lógico. Pa a un subconjun o G de X, Gl{G) deno a á el cie e de G y F {G)
la on e a de G.
Conside a emos los siguien es conjun os.
1.
C{G) = {F : Cl{G) C Z —> 7 Fes con inua 1.
2.
P{G) = {F : Cl{G) C R^—> R"" Fes p opia y con inua } .
Po Z deno a emos el conjun o de los núme os en e os y Z* ep esen-
a á aZU { + 00} U {-oo}.
SiA,B CZ* en onces yl +B= {a EZ'^la =
a^
+ a2,a^ eAa2^B].
Po de inición
{
+ 00
].-|-{—
00
}=Z*.
Po úl imo II •
11^
ep esen a á la no ma euclídea.
250 GENARO LOPEZ ACEDO
1 AXIOMÁTICA
En es a sección se cons uye un sis ema axiomá ico que ecoge los di-
e sos modelos de g ado de inidos has a aho a.
De inición 1.1: Sean (X, T) e (F, T') dos espacios ec o iales opológi-
cos,
W una amila de abie os de T de o ma que 0EH/yPi/9^{0}. Pa a
cada G á W seaM(G) un subconjun o de C(G) e i icando:
1./
ELMÍG) pa a odo G de W donde / se á una aplicación dis inguida
que,
en el caso de se Z = F, coincidi á con la iden idad.
2.
SiGi,GGW/, Gi C G y FGM(G) se iene F/a(Gi)^ilí(Gi).
3.
Si F EiMiG), pa a odo p pe enecien e a X se iene F
—
p E:M{G).
A la amilia M{W) = {MiG)/G G Pi^ } se denomina á una clase admisi-
ble de aplicaciones.
Sea H(G) una clase de homopa ías de inidas del conjun o M(G) y que
incluyen a las de la o ma F
—
p donde F G M{G), p EXy E:[0,
1
].
A la
amilia H{W) = {H(G)/G G )V } la denomina emos una clase admisible de
homopa ías pa aikí(íi/).
De inición 1.2: Sean (X, T), (7, T'),
W,M{W)
en las condiciones de la
de inición (1.1), si a cada iple a (F, G, p) donde p E G, F ^ M(G) y
p ^ Cl{F{F {G)) le asociamos un subconjun o de Z*, di emos que esa apli-
cación es un mul i aluado si e i ica los siguien es axiomas:
l.Z)(/,G,p)= {1} si/?GGyZ)(/,G,p) = Osip^G.
2.
Si G G PJ/ y d, G2 son subconjun os abie os y disjun os de G y
FEM{G) conp^ aiCl(G) - (Gi U G2)) se iene:
DiF, G,p) C D(F/CKGO, G,,p)-¥DiFICKG^), G^,?)
dándose la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la o ma {a}
con
aEiZ.
3.
Si G G K/,
iiT :
[O,
1 ] X
Xl{G) —> Y pe enece a H{G) e {y ) es una
cu a con inua en Y que e i ica y ¿ Cl(H( x F (G)) pa a odo
de [O, 1] se iene que D{H{ ,.), G, y ) es cons an e pa a odo de
[0,1].
AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 251
P oposición LI: El sis ema axiomá ico an e io es compa ible y los
axiomas (1), (2) y (3) son independien es.
Demos ación: Pa a p oba que es compa ible bas a conside a el g ado
de B ouwe y de ini D{F, G, p) = {CÍBÍF, G,p)}. Veamos la independencia
de los axiomas:
1.
El axioma (1) es independien e de los axiomas (2) y (3) como se ob-
se a de iniendo D( , G,p) = + ^ pa a cualquie /, Gyp.
2.
El axioma (2) es independien e de (1) y de (3) como se comp ueba
de iniendo D{F, G,p)= {ds (F, G, p }.
3.
El axioma (3) es-independien e de los axiomas (1) y (2). De inimos
el g ado de la siguien e o ma: D(F, G, p) = {1} si p ^ G y pa a
odo abie o U
E:
W do o ma que p E í/ se iene F/Cl(U) = I y
D(F, G, p) = {0}en o os casos. Es e g ado e i ica los axiomas (1)
y (2) pe o no e i ica el axioma (3) pues si se e i ica es e axioma
se ía álida la igualdad D{I, G, p) = D(I
—
p, G, p), que en es e caso
no lo es.
Teo ema 1.1: En las condiciones de la de inición (1.2) son cie os los
siguien es enunciados:
1.
Si exis en GEK/ypGFde o ma que D{F, G, p) es á bien de inido
se iene /)(F, (l),p)= {O}.
2.
Si K es un subconjun o de G de o ma que G
—
K^Wysip^ F{K)
se iene D(F, G, p) = D(F, G - K, p).
3.
Si p ^ aiF(G)) se iene DiF, G, p) = {O}.
4.
Se iene F{G) es ce ado y D{F, G, p) =# {0}exis e x de G e i ican-
do F(x) = p.
5.
Pa a odo ç de 7 se iene D{F, G, p) = D{F ~p,G,p-q).
Demos ación.
1.
Si se aplica el axioma (2) con Gj = G, G2 = 0 y F = / se deduce que
D{I,
(p,
p) = {O} y, aplicando el axioma (3), se ob iene el esul ado.
2.
En el axioma (2) se conside a Gi = G
—
K y G2 =0. Bas a p oba
que p ^ Cl(F{Cl(G) ~ {G, U G2))) o sea que p ^ CKF{CKG) -
(G - K)) lo que es cie o al se CJ{G) ~ {G ~ K) = F (G) U Ky
sabe po hipó esis que p í Cl{F{F {G)) y que p í F{K).
252 GENARO LOPEZ ACEDO
3.
Se deduce del axioma (2) y del apa ado uno del eo ema conside-
ando Gi = G2 =0.
4.
Se deduce di ec amen e del apa ado an e io .
5.
Bas a aplica el axioma (3) conside ando la homopa ía H{ , x) =
F(x)
—
qyh cu a y = P
—
q.
Teo ema 1.2: Sea G un subconjun o abie o y aco ado de Z y F una
unción de Cl{G) C Z en Z de o ma que F E M{G) y
O
E G. Si se cumplen
las es condicones siguien es:
1.
(/ - íF) E M{G) pa a odo del in e alo
[O,-1
].
2.
(/ - F)iF (G)) e (/ - F)(C/(G)) son ce ados,
3.Fix)i^mxsim>
1
yxEF (G).
exis e un pun o ijo de F en G.
Demos ación: Vamos a p oba que (*) Z)(/, G, 0) = /)(/
—
F, G, 0) de
donde se ob iene ácilmen e el esul ado. De las hipó esis dos y es se dedu-
ce que O í C/((/
—
F)(F {G)). Po an o se puede aplica el axioma (3) a la
homo opía /
—
íF y a la cu a
j;^
=
O
de donde se ob iene (*).
2 EXTENSION DEL GRADO
En es a sección se con uye un mé odo gene al de ex ensión del g ado
que ecoge las di e sas ideas u ilizadas pa a la ex ensión del g ado an o en
el caso uni aluado como en el mul i aluado.
De inición 2.1: (Z, D, (7, T') espacios opo lógicos, W, M{W) y H{W)
amilias admisibles de abie os, unciones y homopa ías espec i amen e. Un
esquema admisible de ap oximación de g ado iene dado po una amilia
nume able de conjun os {(Z„, „), (7„, Tj,),
H^„
,M„(H/),^„(H/),i)„ }don-
de (X„, „) y (F„, T^) son espacios ec o iales opológicos y Wn, Hn(W),
Mn(.W) son espec i amen e amilias admisibles de conjun os, unciones y
homo opías y Z)„ un g ado mul i aluado de inido sob e ellas de o ma que
dados GeW,Fe MiG) y pG 7exis enF„ ^M^iW), G„ E H/„ y p„ E F„
e i icando:
1.
Si G' y G pe enecen a MiW) y G' E F se iene Gj, E G„ y además
iF/CliG'))n=FJCKG'^).
AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 253
2.
Si / es la aplicación dis inguida de Z en Fen F,/„ son las aplicacio-
nes dis inguidas de Z„ en F„.
3.
Si p ^ Cl{F{F {G))) exis e un
UQ
de o ma que si n >
WQ
se iene que
p„€a(F,(F (GJ)).
4.
Si Gi y G2 son disjun os G m y G2 son disjun os.
5.
Si Gj y
G2
son dos subconjun os abie os y disjun os de un abie o
G á W y p € Cl{F{Cl{G) - (G^ U G2))) exis e un n^ de o ma que
si n > no se iene que p € CliF^iCliGn) - G„) - (Gi„ U ^2^))).
6. Si G G W, H E H{G) e
j^
es una cu a con inua en Y de o ma que
y € Cl{H{
X
F iG))) exis e un w^ de o ma que si
w
> ^^ se iene
Hn eH.iGn) e y , € CHH^i x FKG„))).
De inición 2.2: Sean (X, J), (7, T') dos espacios opológicos,
W,M{W)
y
iy(IV)
amilias admisibles de conjun os, unciones y homopa ías espec i-
amen e y {{Xn, Tn), {Yn, T^), Wn, Mn{^^^),Hni^V), Dn } uua ap oximación
admisible. Sean G G W, FEMiG) y p ë Cl{F{F {G))). De inimos:
D{F, G,p)= {zEZ^ Exis e {z,.}
con e gen e a z donde nj es una sucesión monó ona c ecien e de núme os
na u ales y
z„^.
ED,.{FnpPnj))•
Teo ema 2.2: En las condiciones de la de inición an e io i) es un g ado
mul i aluado pa a (Z, T) (F, T'W, M{W) y H(W).
Demos ación: De las p opiedades dos, es y cua o se deduce di ec a-
men e que el g ado es á bien de inido, D(F, G, p)
¥=
W, y la e i icación de
los axiomas (1) y (3). Pasamos a demos a que se e i ica el axioma (2).
Sean G?i y G2 subconjun os abie os y disjun os de Gy p €
Cl{F{Cl{G)—
(Gi U ^2)))- Tenemos que pa a odo n se e i ica que Gi, y ^2^ son dis-
jun os y que exis e un
WQ
al que si n >
nQ
se iene p ¿ Cl{Fn{Cl{Gn)
—
(Gi„ U G2„))) y po an o
D{Fn,Gn.Pn)QD{FjG,n.G,,Pn)' D{FlG2n.Pn)'
y pa i de aquí p oba emos que
D{F, G, p)CDiF/CliG, lG,,p) + DiFlCKG^), G^.p)
y que se da la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la o ma {a }con
aE.Z.

254 GENARO LOPEZ ACEDO
Si +.00 G D(F/CKG, l Gi,p) y-00 e DÍFICKG2
),
G2, P el esul a-
do se ía i ial, luego a pa i de aho a, suponemos que no se da es a si ua-
ción (que llama emos si uación (*)).
Sea a G D{F, G, p) siendo a un núme o en e o. En onces exis e { ij} de
o ma que a E D^ÁFn-, Pn,) Y po lo an o se iene que a^. + à^. = a„
.
con
),
al. G
D„¡{.F„.ICl{G^
siendo las sucesiones {a
.}
y {a^.} aco adas, pues en caso con a io es a ía-
mos en la si uación (*), po an o ambas sucesiones ienen subsucesiones
con e gen es y sin pe de gene alidad podemos supone que ellas mismas
con e gen hacia a^ y
a?"
e i icándose a^ + a^ = a, a^ E D^
-(Fn
JCliGmj),
GinpPnj)Ya^ e D^./CKG2n^l G2np Pn^l Así a' E DiF/CKG,), G,, p)
Y
a^ G D(F/aiG2), G2, p) con lo que a E D)F/CliG2), G2P) como que-
íamos e .
Si + 00 G D{F, G, p) (el caso - 00 G D{F,
G,
p) es análogo) en onces
exis e una sucesión {a„.} di e gen e a + 00 donde a^. ED^XF^., G„.,p„.)
y 4y + cilj- = dn con a¿. E DnjiF^j.ICKG^^.), G^^p Pnj)^ ^Ij ^
DniFnlGl{G2n)^ ^2«? Pn') pasando a subsucesión de nue o debe exis i
al menos una de {u^.} o de {.a^ .} que di e ge a + «> con lo que en es e caso
ambién queda ía p obado.
Po úl imo eamos que si uno de los sumandos, po ejemplo D(F/Cl
(Gi ), Gi, p), es de la o ma
{a }
con a G Z se da la igualdad, o lo que es lo
mismo que en es e caso ambién se iene Z)(F/C/(Gi), Gi p) + DÍF/CIÍG2),
G2,
p) C D{D{F, G, p). En la hipó esis que suponemos se iene que a pa i
de un cie o alo de n DniF^/CliGín), G^, p) = {a}, pudiendo supone
que es o es cie o pa a odo n. Aho a bien si A: G D(F/Cl(Gi), Gi, p) +
D(F/Cl{G2), G2, p) Y k E Z (en o o caso la demos ación se ía la misma)
exis i á { ij} e i icando k — a E Dn(FnCl(G2nX G2nj^ Pnu con lo que
aEDn{Fnj-ICl{G,^. G,^., p^^) + D,{F^.ICl{G2ni G2„,-,p«p y de aquí el
esul ado es inmedia o.
Po úl imo damos como ejemplo de es e mé odo de ex ensión la de ini-
ción del g ado en abie os no aco ados de i?" pa a unciones p opias; pa -
iendo del g ado de B ouwe que como sabemos es á de inido pa a abie os
aco ados de
i?
^.
Ejemplo.— Conside emos el esquema de ap oximación dado po :
l.(X T) = {R II • hy^W = {G Ci?« I G abie odei?M;M(G) =
P(G);HiG) = odas enM(G).
2.
(Z„, Tn) = (i?", II '
WE);
Wn = {GCR^G abie o y aco ado de
R^};DniFn,Gn,Pn)= {dBÍFn,Gn,Pn)}-
AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 255
Po Úl imo de inimos G„ = B(0, n) ñ G,Fn = F/Cl(Gn) y
Pn —
P-
Es inmedia o comp oba que el esquema de ap oximación e i ica odas
las p opiedades exigidas en la de inición (2.1).
BIBLIOGRAFÍA
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Depa amen o de Análisis Ma emá ico
Uni e sidad de Se illa