Axiomática para el grado muitivaluado

Axiomá ica pa a el g ado mui i aluado Po GENARO LÓPEZ ACEDO Recibido: 4 mayo 1988 P esen ado po el académico co espondien e D. An onio de Cas o B zezicki Abs ac In his pape we de elop an axioma ic heo y o he mul i alued deg ee ha p ese es he basic p ope ies o he classical deg ee. We apply i o ob ain ixed poin he oems and exis ence o solu ion ix) = p. We gi e a me hod o ex end his deg ee. INTRODUCCIÓN y NOTACIÓN En el abajo que se p esen a se cons uye una axiomá ica pa a un g ado mui i aluado. El hecho de oma és e alo sob e conjun os nos ha obligado a in oduci de e minados cambios espec o de la axiomá ica del g ado uni- aluado ( éase [2]), cuidando que és os no a ec a an la deducción de las p o- piedades más impo an es. La modi icación undamen al se in oduce en el axioma de descomposición en el que, en de e minados casos, se ha enido que cambia la igualdad po una con ención; lo cual pe mi e aún ob ene eo- emas de exis encia pa a la ecuacuón (x) = p o análogamen e la ob ención de pun os ijos. En la segunda pa e del abajo cons uimos un mé odo ge- ne al de ex ensión, que pe mi e, de inido el g ado sob e una clase de uncio- nes, ex ende lo au omá icamen e a una clase más amplia o mada po lími- es pun uales de la an e io clase. Como ejemplo de aphcación de inimos un g ado pa a las unciones p opias de inidas en abie os no aco ados de espa- cios de dimensión ini a. A lo la go de es e abajo (X, 7) ep esen a á un espacio ec o ial opo- lógico. Pa a un subconjun o G de X, Gl{G) deno a á el cie e de G y F {G) la on e a de G. Conside a emos los siguien es conjun os. 1. C{G) = {F : Cl{G) C Z —> 7 Fes con inua 1. 2. P{G) = {F : Cl{G) C R^—> R"" Fes p opia y con inua } . Po Z deno a emos el conjun o de los núme os en e os y Z* ep esen- a á aZU { + 00} U {-oo}. SiA,B CZ* en onces yl +B= {a EZ'^la = a^ + a2,a^ eAa2^B]. Po de inición { + 00 ].-|-{— 00 }=Z*. Po úl imo II • 11^ ep esen a á la no ma euclídea. 250 GENARO LOPEZ ACEDO 1 AXIOMÁTICA En es a sección se cons uye un sis ema axiomá ico que ecoge los di- e sos modelos de g ado de inidos has a aho a. De inición 1.1: Sean (X, T) e (F, T') dos espacios ec o iales opológi- cos, W una amila de abie os de T de o ma que 0EH/yPi/9^{0}. Pa a cada G á W seaM(G) un subconjun o de C(G) e i icando: 1./ ELMÍG) pa a odo G de W donde / se á una aplicación dis inguida que, en el caso de se Z = F, coincidi á con la iden idad. 2. SiGi,GGW/, Gi C G y FGM(G) se iene F/a(Gi)^ilí(Gi). 3. Si F EiMiG), pa a odo p pe enecien e a X se iene F — p E:M{G). A la amilia M{W) = {MiG)/G G Pi^ } se denomina á una clase admisi- ble de aplicaciones. Sea H(G) una clase de homopa ías de inidas del conjun o M(G) y que incluyen a las de la o ma F — p donde F G M{G), p EXy E:[0, 1 ]. A la amilia H{W) = {H(G)/G G )V } la denomina emos una clase admisible de homopa ías pa aikí(íi/). De inición 1.2: Sean (X, T), (7, T'), W,M{W) en las condiciones de la de inición (1.1), si a cada iple a (F, G, p) donde p E G, F ^ M(G) y p ^ Cl{F{F {G)) le asociamos un subconjun o de Z*, di emos que esa apli- cación es un mul i aluado si e i ica los siguien es axiomas: l.Z)(/,G,p)= {1} si/?GGyZ)(/,G,p) = Osip^G. 2. Si G G PJ/ y d, G2 son subconjun os abie os y disjun os de G y FEM{G) conp^ aiCl(G) - (Gi U G2)) se iene: DiF, G,p) C D(F/CKGO, G,,p)-¥DiFICKG^), G^,?) dándose la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la o ma {a} con aEiZ. 3. Si G G K/, iiT : [O, 1 ] X Xl{G) —> Y pe enece a H{G) e {y ) es una cu a con inua en Y que e i ica y ¿ Cl(H( x F (G)) pa a odo de [O, 1] se iene que D{H{ ,.), G, y ) es cons an e pa a odo de [0,1]. AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 251 P oposición LI: El sis ema axiomá ico an e io es compa ible y los axiomas (1), (2) y (3) son independien es. Demos ación: Pa a p oba que es compa ible bas a conside a el g ado de B ouwe y de ini D{F, G, p) = {CÍBÍF, G,p)}. Veamos la independencia de los axiomas: 1. El axioma (1) es independien e de los axiomas (2) y (3) como se ob- se a de iniendo D( , G,p) = + ^ pa a cualquie /, Gyp. 2. El axioma (2) es independien e de (1) y de (3) como se comp ueba de iniendo D{F, G,p)= {ds (F, G, p }. 3. El axioma (3) es-independien e de los axiomas (1) y (2). De inimos el g ado de la siguien e o ma: D(F, G, p) = {1} si p ^ G y pa a odo abie o U E: W do o ma que p E í/ se iene F/Cl(U) = I y D(F, G, p) = {0}en o os casos. Es e g ado e i ica los axiomas (1) y (2) pe o no e i ica el axioma (3) pues si se e i ica es e axioma se ía álida la igualdad D{I, G, p) = D(I — p, G, p), que en es e caso no lo es. Teo ema 1.1: En las condiciones de la de inición (1.2) son cie os los siguien es enunciados: 1. Si exis en GEK/ypGFde o ma que D{F, G, p) es á bien de inido se iene /)(F, (l),p)= {O}. 2. Si K es un subconjun o de G de o ma que G — K^Wysip^ F{K) se iene D(F, G, p) = D(F, G - K, p). 3. Si p ^ aiF(G)) se iene DiF, G, p) = {O}. 4. Se iene F{G) es ce ado y D{F, G, p) =# {0}exis e x de G e i ican- do F(x) = p. 5. Pa a odo ç de 7 se iene D{F, G, p) = D{F ~p,G,p-q). Demos ación. 1. Si se aplica el axioma (2) con Gj = G, G2 = 0 y F = / se deduce que D{I, (p, p) = {O} y, aplicando el axioma (3), se ob iene el esul ado. 2. En el axioma (2) se conside a Gi = G — K y G2 =0. Bas a p oba que p ^ Cl(F{Cl(G) ~ {G, U G2))) o sea que p ^ CKF{CKG) - (G - K)) lo que es cie o al se CJ{G) ~ {G ~ K) = F (G) U Ky sabe po hipó esis que p í Cl{F{F {G)) y que p í F{K). 252 GENARO LOPEZ ACEDO 3. Se deduce del axioma (2) y del apa ado uno del eo ema conside- ando Gi = G2 =0. 4. Se deduce di ec amen e del apa ado an e io . 5. Bas a aplica el axioma (3) conside ando la homopa ía H{ , x) = F(x) — qyh cu a y = P — q. Teo ema 1.2: Sea G un subconjun o abie o y aco ado de Z y F una unción de Cl{G) C Z en Z de o ma que F E M{G) y O E G. Si se cumplen las es condicones siguien es: 1. (/ - íF) E M{G) pa a odo del in e alo [O,-1 ]. 2. (/ - F)iF (G)) e (/ - F)(C/(G)) son ce ados, 3.Fix)i^mxsim> 1 yxEF (G). exis e un pun o ijo de F en G. Demos ación: Vamos a p oba que (*) Z)(/, G, 0) = /)(/ — F, G, 0) de donde se ob iene ácilmen e el esul ado. De las hipó esis dos y es se dedu- ce que O í C/((/ — F)(F {G)). Po an o se puede aplica el axioma (3) a la homo opía / — íF y a la cu a j;^ = O de donde se ob iene (*). 2 EXTENSION DEL GRADO En es a sección se con uye un mé odo gene al de ex ensión del g ado que ecoge las di e sas ideas u ilizadas pa a la ex ensión del g ado an o en el caso uni aluado como en el mul i aluado. De inición 2.1: (Z, D, (7, T') espacios opo lógicos, W, M{W) y H{W) amilias admisibles de abie os, unciones y homopa ías espec i amen e. Un esquema admisible de ap oximación de g ado iene dado po una amilia nume able de conjun os {(Z„, „), (7„, Tj,), H^„ ,M„(H/),^„(H/),i)„ }don- de (X„, „) y (F„, T^) son espacios ec o iales opológicos y Wn, Hn(W), Mn(.W) son espec i amen e amilias admisibles de conjun os, unciones y homo opías y Z)„ un g ado mul i aluado de inido sob e ellas de o ma que dados GeW,Fe MiG) y pG 7exis enF„ ^M^iW), G„ E H/„ y p„ E F„ e i icando: 1. Si G' y G pe enecen a MiW) y G' E F se iene Gj, E G„ y además iF/CliG'))n=FJCKG'^). AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 253 2. Si / es la aplicación dis inguida de Z en Fen F,/„ son las aplicacio- nes dis inguidas de Z„ en F„. 3. Si p ^ Cl{F{F {G))) exis e un UQ de o ma que si n > WQ se iene que p„€a(F,(F (GJ)). 4. Si Gi y G2 son disjun os G m y G2 son disjun os. 5. Si Gj y G2 son dos subconjun os abie os y disjun os de un abie o G á W y p € Cl{F{Cl{G) - (G^ U G2))) exis e un n^ de o ma que si n > no se iene que p € CliF^iCliGn) - G„) - (Gi„ U ^2^))). 6. Si G G W, H E H{G) e j^ es una cu a con inua en Y de o ma que y € Cl{H{ X F iG))) exis e un w^ de o ma que si w > ^^ se iene Hn eH.iGn) e y , € CHH^i x FKG„))). De inición 2.2: Sean (X, J), (7, T') dos espacios opológicos, W,M{W) y iy(IV) amilias admisibles de conjun os, unciones y homopa ías espec i- amen e y {{Xn, Tn), {Yn, T^), Wn, Mn{^^^),Hni^V), Dn } uua ap oximación admisible. Sean G G W, FEMiG) y p ë Cl{F{F {G))). De inimos: D{F, G,p)= {zEZ^ Exis e {z,.} con e gen e a z donde nj es una sucesión monó ona c ecien e de núme os na u ales y z„^. ED,.{FnpPnj))• Teo ema 2.2: En las condiciones de la de inición an e io i) es un g ado mul i aluado pa a (Z, T) (F, T'W, M{W) y H(W). Demos ación: De las p opiedades dos, es y cua o se deduce di ec a- men e que el g ado es á bien de inido, D(F, G, p) ¥= W, y la e i icación de los axiomas (1) y (3). Pasamos a demos a que se e i ica el axioma (2). Sean G?i y G2 subconjun os abie os y disjun os de Gy p € Cl{F{Cl{G)— (Gi U ^2)))- Tenemos que pa a odo n se e i ica que Gi, y ^2^ son dis- jun os y que exis e un WQ al que si n > nQ se iene p ¿ Cl{Fn{Cl{Gn) — (Gi„ U G2„))) y po an o D{Fn,Gn.Pn)QD{FjG,n.G,,Pn)' D{FlG2n.Pn)' y pa i de aquí p oba emos que D{F, G, p)CDiF/CliG, lG,,p) + DiFlCKG^), G^.p) y que se da la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la o ma {a }con aE.Z. 254 GENARO LOPEZ ACEDO Si +.00 G D(F/CKG, l Gi,p) y-00 e DÍFICKG2 ), G2, P el esul a- do se ía i ial, luego a pa i de aho a, suponemos que no se da es a si ua- ción (que llama emos si uación (*)). Sea a G D{F, G, p) siendo a un núme o en e o. En onces exis e { ij} de o ma que a E D^ÁFn-, Pn,) Y po lo an o se iene que a^. + à^. = a„ . con ), al. G D„¡{.F„.ICl{G^ siendo las sucesiones {a .} y {a^.} aco adas, pues en caso con a io es a ía- mos en la si uación (*), po an o ambas sucesiones ienen subsucesiones con e gen es y sin pe de gene alidad podemos supone que ellas mismas con e gen hacia a^ y a?" e i icándose a^ + a^ = a, a^ E D^ -(Fn JCliGmj), GinpPnj)Ya^ e D^./CKG2n^l G2np Pn^l Así a' E DiF/CKG,), G,, p) Y a^ G D(F/aiG2), G2, p) con lo que a E D)F/CliG2), G2P) como que- íamos e . Si + 00 G D{F, G, p) (el caso - 00 G D{F, G, p) es análogo) en onces exis e una sucesión {a„.} di e gen e a + 00 donde a^. ED^XF^., G„.,p„.) y 4y + cilj- = dn con a¿. E DnjiF^j.ICKG^^.), G^^p Pnj)^ ^Ij ^ DniFnlGl{G2n)^ ^2«? Pn') pasando a subsucesión de nue o debe exis i al menos una de {u^.} o de {.a^ .} que di e ge a + «> con lo que en es e caso ambién queda ía p obado. Po úl imo eamos que si uno de los sumandos, po ejemplo D(F/Cl (Gi ), Gi, p), es de la o ma {a } con a G Z se da la igualdad, o lo que es lo mismo que en es e caso ambién se iene Z)(F/C/(Gi), Gi p) + DÍF/CIÍG2), G2, p) C D{D{F, G, p). En la hipó esis que suponemos se iene que a pa i de un cie o alo de n DniF^/CliGín), G^, p) = {a}, pudiendo supone que es o es cie o pa a odo n. Aho a bien si A: G D(F/Cl(Gi), Gi, p) + D(F/Cl{G2), G2, p) Y k E Z (en o o caso la demos ación se ía la misma) exis i á { ij} e i icando k — a E Dn(FnCl(G2nX G2nj^ Pnu con lo que aEDn{Fnj-ICl{G,^. G,^., p^^) + D,{F^.ICl{G2ni G2„,-,p«p y de aquí el esul ado es inmedia o. Po úl imo damos como ejemplo de es e mé odo de ex ensión la de ini- ción del g ado en abie os no aco ados de i?" pa a unciones p opias; pa - iendo del g ado de B ouwe que como sabemos es á de inido pa a abie os aco ados de i? ^. Ejemplo.— Conside emos el esquema de ap oximación dado po : l.(X T) = {R II • hy^W = {G Ci?« I G abie odei?M;M(G) = P(G);HiG) = odas enM(G). 2. (Z„, Tn) = (i?", II ' WE); Wn = {GCR^G abie o y aco ado de R^};DniFn,Gn,Pn)= {dBÍFn,Gn,Pn)}- AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 255 Po Úl imo de inimos G„ = B(0, n) ñ G,Fn = F/Cl(Gn) y Pn — P- Es inmedia o comp oba que el esquema de ap oximación e i ica odas las p opiedades exigidas en la de inición (2.1). BIBLIOGRAFÍA [1] BROWDER F: B. AND PETRYSHIN. W. V. The opological deg ee and Gale kin app oxima- ion o no compac ope a o s in Banach spaces. Bw// Ame , Ma h, Soc. 74(1968), 641-646. [2] LLOYD. N. G. "Deg ee Theo y" Camb idge Uni e si y P ess, London, (1978). Depa amen o de Análisis Ma emá ico Uni e sidad de Se illa