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INMUNIZACIÓN FINANCIERA Y M2: COMPORTAMIENTO EN EL MERCADO
ESPAÑOL DE DEUDA PUBLICA148
Miguel Angel Pé ez Ma ínez
Juan Félix Jáu egui A abu u Ceni agoya
Oska Villa eal La ínaga
ABSTRACT
The objec i e o he inancial inmuniza ion’s s a egies is o a oid he isk due o possible a ia ions
on he in e es a es. The inancial inmuniza ion models p oposed o his aim can be classi ied in h ee
g opus: single- ac o models based on unique du a ion measu es, mul i ac o ial models based on a se
o du a ion measu es and models based on sp ead measu es. In his wo k, om Spanish go e nmen
bond ma ke da a, we simula e he sp ead model based in he use o M2 measu e and compa a e he
esul s wi h hose ob ained applyng single- ac o models, based on addi i e, mul iplica i e and
mul iplica i e depending on e m shi s o yield cu e.
KEY WORDS: Du a ion, Financial inmuniza ion, M2
1.- INTRODUCCIÓN
La inmunización inancie a es una es a egia de ges ión de ca e as de en a ija cuyo obje i o es a a de
elimina el iesgo de i ado de posibles cambios en los ipos de in e és en sus dos e ien es: iesgo de p ecio y
iesgo de ein e sión. La implemen ación de es a es a egia se undamen a en el concep o de du ación
in oducido en 1938 po Macaulay.
Los plan eamien os iniciales basados en medidas únicas de du ación han dado paso a modelos mul i ac o iales
más complejos, que es án basados en un conjun o de medidas de du ación inmunizado a, así como a modelos
basados en la educción de la dispe sión de los lujos de caja de las ca e as con elación al ho izon e de
in e sión.
En es e abajo p e endemos analiza el compo amien o del modelo basado en la u ilización de la medida de
dispe sión M2. Tomando como base in o mación del me cado español de deuda pública en e ene o de 1993 y
diciemb e de 2003, hemos o mado una se ie de ca e as inmunizadas aplicando, an o el modelo basado en la
M2, como modelos basados en medidas de du ación única, y hemos analizado los esul ados ob enidos. En
148 Es e abajo se enma ca den o del p oyec o de in es igación 1/UPV 00166.321-H-15324/2003 de la Uni e sidad del País Vasco.
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pos e io es abajos p e endemos compa a es os esul ados con los ob enidos median e la aplicación de modelos
mul i ac o iales de inmunización, de mayo complejidad y más cos osos de pone en p ác ica.
En el siguien e apa ado de es e abajo hacemos una some a p esen ación de los plan eamien os eó icos
ealizados en o no a la inmunización inancie a. A con inuación, plan eamos el desa ollo ma emá ico seguido
pa a la ob ención de la medida de iesgo M2. Pos e io men e, plan eamos los é minos en los que hemos lle ado
a cabo la simulación de las ca e as y el análisis de los esul ados ob enidos. Finalizamos el abajo p esen ado
las conclusiones más impo an es alcanzadas.
2.- MODELOS DE INMUNIZACIÓN FINANCIERA
Los ges o es de ca e as de bonos deben ene en conside ación a la ho a de desa olla su abajo que es as
ca e as es án expues as a di e en es elemen os de iesgo, en e los que des aca po su impo ancia el de i ado de
los posibles cambios que puedan acon ece en la es uc u a empo al de ipos de in e és (ETTI). Es e elemen o de
iesgo iene dos e ien es, a sabe :
- El iesgo de p ecio, de i ado de los posibles cambios en los p ecios de los bonos como consecuencia de las
a iaciones en los ipos de in e és. Un inc emen o en los ipos de in e és da luga a una educción en los p ecios
de los bonos y ice e sa.
- El iesgo de ein e sión, de i ado del desconocimien o del endimien o que se puede ob ene a a és de la
ein e sión de los lujos de caja in e medios gene ados po es as ca e as. Un inc emen o en los ipos de in e és
da luga a un aumen o en la en abilidad ob enida po la ein e sión de los lujos de caja in e medios y ice e sa.
Se obse a que ambos elemen os de iesgo ac úan en sen ido con a io. Así, un inc emen o en los ipos de in e és
iene un e ec o bene icioso sob e el alo de las ca e as, a a és de la ein e sión de los lujos de caja
in e medios a ipos de in e és más al os, y un e ec o pe judicial, a a és del e ec o que al inc emen o iene sob e
el p ecio de los bonos. Lo con a io sucede cuan o iene luga una educción en los ipos de in e és.
La inmunización inancie a es una es a egia de ges ión pasi a pa a ca e as de bonos cuyo obje i o es a a de
elimina el iesgo de in e és en sus dos e ien es, a a és de la compensación de los e ec os comen ados,
a ando de ga an iza la en abilidad de las ca e as du an e un de e minado pe iodo de iempo.
El eo ema de la inmunización inancie a, p opues o po Fishe y Weil (1971), es ablece que la condición que
debe una cumpli una ca e a de bonos pa a pode ga an iza una de e minada en abilidad en un plazo de iempo
es que su du ación coincida con dicho pe iodo de iempo u ho izon e de in e sión. Pa a llega a es a conclusión
es os au o es pa ie on de dos supues os excesi amen e es ic i os ela i os al compo amien o de los ipos de
in e és, cuales son el cumplimien o de la eo ías de las expec a i as pu as y la limi ación de los posibles
desplazamien os de la es uc u a empo al de ipos de in e és a a iaciones en pa alelo.
Con pos e io idad a las apo aciones de Fishe y Weil y al obje o de a a de supe a las limi aciones de su
modelo, se han p opues o di e en es modelos al e na i os de inmunización, que podemos clasi ica en es
g upos:
1.- Modelos uni ac o iales de inmunización basados en medidas únicas de du ación, ob enidas siguiendo el
mismo desa ollo que Fishe y Weil, pe o pa iendo de di e en es supues os ace ca del ipo de desplazamien o
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que puede acon ece en la ETTI. Des acan en e es os modelos las p opues as ealizadas po au o es como
Bie wag (1977), Bie wag y Kau man (1977), Khang (1979) y Bie wag, Kau man, Schwei ze y Toe s (1981).
Es os modelos ienen a su a o su sencillez, azón po la cual son ampliamen e u ilizados en el ámbi o
p o esional. Po el con a io, no pe mi en cap a en su o alidad los mo imien os de la es uc u a ipo-plazo,
mo i o po el cual no p opo cionan una cobe u a comple a del iesgo de in e és. La pues a en p ác ica de
es a egias de inmunización basándose en medidas únicas de du ación no ga an iza la eliminación comple a del
iesgo de in e és.
2.- Modelos mul i ac o iales de inmunización, basados en la u ilización de un conjun o de medidas de du ación,
a a és de las cuales se p e ende alcanza una mayo p ecisión en la medición del iesgo de in e és y, po ende,
de alcanza esul ados más p ecisos en la cobe u a del mismo. Des acan den o de es e g upo las apo aciones
ealizadas, en e o os, po P isman y Sho es (1988), Rei ano (1991) y Ba be y Coope (1996). El p oblema que
p esen an es os modelos es que, si bien es posible que pe mi an una mejo cobe u a del iesgo de in e és,
ambién es cie o que son más complicados de implemen a que los modelos uni ac o iales.
3.-Po úl imo, se ha p opues o es ablece las es a egias de inmunización inancie a a a és de la minimización
de alguna medida que cuan i ique la dispe sión de los lujos de caja de las ca e as espec o al ho izon e de
in e sión. Es os modelos ijan su a ención en el modo en que se es uc u an los lujos de caja de las ca e as
espec o al ho izon e de in e sión. Así, dado que los obje i os pe seguidos con la inmunización inancie a se ían
ácilmen e alcanzables si exis iesen bonos cupón ce o cuyo plazo de encimien o coincidiese con el ho izon e de
in e sión, es os modelos plan ean la búsqueda de la ap oximación más ce cana posible al ideal del bono cupón
ce o, azón po la cual lo que p e enden es minimiza la dispe sión de los lujos de caja con elación al ho izon e
de in e sión. Siguiendo es e plan eamien o des acan las p opues as ealizadas po Fong y Vasicek (1984), con su
medida M2 y el modelo de la M-Absolu a p opues o po Nawalkha y Chambe s (1996). El p incipal p oblema
que p esen an es os modelos es que sin e izan en una única medida el iesgo o al de las ca e as de bonos, no
pe mi iendo a a de o ma indi idualizada el iesgo de dichas ca e as asociado a cada posible desplazamien o
de la ETTI.
En es e abajo p e endemos compa a los esul ados ob enidos aplicando el modelo basado en la medida de
iesgo M2 con los ob enidos aplicando modelos uni ac o iales basados en medidas únicas de du ación. A
con inuación exponemos el desa ollo eó ico p opues o pa a la ob ención de la medida del iesgo de
inmunización M2.
3.- LA MEDIDA DEL RIESGO DE INMUNIZACIÓN M2.
Los modelos de inmunización inancie a basados en la u ilización de medidas únicas de du ación no eliminan de
o ma comple a el iesgo de in e és de las ca e as de bonos. Fong y Vasicek (1984) ue on los p ime os au o es
que a a on de cuan i ica y de educi la exposición al iesgo de in e és de ca e as inmunizadas empleando
es os modelos. Conc e amen e a a on de cuan i ica el iesgo de in e és que pe manece en ca e as de bonos
inmunizadas u ilizando la medida de du ación inmunizado a ob enida a pa i de supone desplazamien os de la
ETTI de ipo pa alelo.
Así, supues o que (1) una ca e a de bonos es á inmunizada en e a desplazamien os en pa alelo de la ETTI pa a
un ho izon e de in e sión de e minado H y (2) que los ipos de implíci os ins an áneos cambian inmedia amen e
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as cons i ui se la ca e a de i( ) a i´( )=i( )+∆i( ) donde d∆i( )/d ≤ k, pa a odo ≥0, siendo k una cons an e
a bi a ia, Fong y Vasicek demos a on que la a iación ela i a en el alo inal, IH, de una ca e a inmunizada
en e a desplazamien os en pa alelo de la es uc u a empo al de ipos de in e és, en caso de que se p oduzcan
desplazamien os di e en es al supues o, iene dada po la siguien e exp esión:
2
2
1kM
I
I
H
H−≥
∆
siendo M2:
()
∑
=
−−= n
H FC
P
M
1
2
2)exp(
1
τ
donde:
P: Valo de la ca e a de bonos.
FC : Flujos de caja gene ados po el bono en que cada pe iodo , pa a =1,2,...n.
H: Ho izon e de in e sión.
τ: Es uc u a empo al de ipos de in e és de capi alización con inua.
Así como la du ación ep esen a la media ponde ada del iempo que se a da en ecibi cada uno de los lujos de
caja de una ca e a de bonos, la medida de iesgo M2 ep esen a la a ianza ponde ada del iempo que se a da en
ecibi cada lujo de caja en elación al ho izon e de in e sión, siendo la ponde ación en ambos casos el alo de
cada uno de los lujos de caja con elación al alo o al de la ca e a. M2 es, po an o, una medida de la
dispe sión que p esen an los lujos de caja de una ca e a con elación al ho izon e de in e sión.
Se obse a que la a iación posible en el alo de una ca e a de bonos al inal de ho izon e de in e sión H, con
elación a la inicialmen e p e is a si se p oducen desplazamien o en pa alelo de la ETTI, depende de dos
é minos:
- La medida de iesgo M2, que es á bajo con ol del ges o de las ca e as.
- Una a iable k imp e isible y, po an o, no con olable po pa e del ges o .
La exposición al iesgo de las ca e as inmunizadas es meno cuan o meno es la dispe sión de sus lujos de caja
con elación al ho izon e de in e sión, es deci , cuan o meno es el alo de M2. P oponen po an o, busca las
ca e as inmunizadas óp imas a a és de un p og ama lineal cuya unción obje i o es la minimización del alo
del M2 de la ca e a, suje o a que la du ación de la ca e a sea igual al ho izon e de in e sión.
Como hemos comen ado, el p oblema que plan ean es os modelos es que esumen el iesgo de inmunización de
las ca e as en una medida única, no posibili ando la desag egación del iesgo asociado a cada mo imien o de la
ETTI pa a su a amien o de o ma indi idualizada, hecho que si pe mi en los modelos basados en medidas de
du ación.
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4.- INMUNIZACIÓN CON MODELOS UNIFACTORIALES VERSUS INMUNIZACIÓN CON EL
MODELO M2
En es e abajo p e endemos es ablece una compa a i a en e los esul ados que se pueden alcanza aplicando el
modelo de inmunización basado en la medida M2, con los que se pueden ob ene aplicando modelo
uni ac o iales de inmunización, basados en medidas únicas de du ación. Pa a ello simulamos cual hab ía sido el
compo amien o de ca e as de bonos negociados en el me cado español de Deuda Pública inmunizadas
siguiendo ambos ipos de modelos. A con inuación exponemos la in o mación u ilizada pa a hace la simulación.
Pos e io men e, de allamos cuales son los modelos con as ado, pa a inaliza con la exposición de los esul ados
más ele an es ob enidos de la in es igación.
4.1. DATOS UTILIZADOS
Pa a ealiza el es udio empí ico hemos empleado da os publicados po el Banco de España e e en es a
ope aciones de comp a en a simple al con ado ealizadas sob e bonos y obligaciones emi idos po el Teso o
Público español, en e ene o de 1993 y diciemb e de 2003. No hemos empleado da os an e io es a ene o de 1993
debido a que es a pa i de ese momen o cuando los olúmenes de negociación en el me cado de deuda pública
español alcanzan ni eles su icien emen e signi ica i os. No obs an e, c eemos que el pe iodo conside ado es
su icien emen e amplio y du an e el mismo los mo imien os habidos en los ipos de in e és han sido
su icien emen e signi ica i os, como pa a pode ex ae de nues o es udio conclusiones ele an es. Los p ecios
u ilizados en la simulación son los p ecios medios de negociación dia ia co espondien es a las ope aciones de
comp a en a simple al con ado de dichos í ulos149.
Además, en la simulación no hemos u ilizado la o alidad de ac i os disponibles, sino únicamen e aquellos con
un ni el de liquidez su icien emen e ele ado. P e endemos con ello e i a que los p ecios de los bonos se ean
in luenciados po la exis encia de p imas que compensen la al a de liquidez, así como posibles p oblemas a la
ho a de lle a a cabo la ees uc u ación de las ca e as. El p ocedimien o que hemos u ilizado pa a selecciona
los bonos y obligaciones que pueden o ma pa e de las ca e as, es á basado en la ecuencia mensual de
negociación de los mismos. En es e sen ido, se ha calculado pa a cada í ulo el po cen aje de días e ec i amen e
negociados espec o del núme o o al de días hábiles pa a cada mes, desde ene o de 1993 has a diciemb e de
2003, siemp e y cuando es u iese i o. Una ez conocido es e pa áme o, los c i e ios que se han u ilizado pa a
conside a un alo lo su icien emen e líquido, siemp e desde un pun o de is a semes al150, son los siguien es:
- Po una pa e, pa a que un í ulo puede se conside ado líquido en un semes e, se le exige que el alo haya
sido negociado con una ecuencia supe io al ochen a po cien o al menos cua o meses en el semes e an e io
(conside ando po semes es los pe iodos comp endidos de ene o a junio, y de julio a diciemb e de cada año).
Es e pod ía conside a se un c i e io de liquidez desde un pun o de is a e ospec i o.
- En segundo luga , al bono u obligación se le exige que la ida del mismo no concluya en el mismo semes e
en que se conside a líquido y po lo an o suscep ible de se elegido como ac i o que con o me una hipo é ica
149 En algunos casos, y an e la ausencia de negociación de algunos alo es en algunas echas conc e as, nos hemos is o obligados a calcula
los p ecios eó icos de dichos alo es aplicando los ipos de in e és al con ado, calculados po el mé odo de S ensson (1994). Dichos ipos de
in e és al con ado ambién nos han se ido pa a de e mina el endimien o obje i o a alcanza con cada una de las ca e as inmunizadas.
150 Hemos conside ado líquido aquel bono u obligación que cumple una se ie de equisi os en un semes e de e minado. Se ha omado el
semes e como pe iodo de e aluación dado que la ees uc u ación de las ca e as obje o de es udio ambién es semes al.

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ca e a de en a ija. Es e c i e io p ospec i o se undamen a en que las ca e as se deben o ma con bonos y
obligaciones que no expi en inmedia amen e, ya que en caso con a io no apo a ían ninguna u ilidad a la
ca e a, en an o en cuan o una ez adqui idos, debe ían se seguidamen e sus i uidos po o os alo es que
engan una ida esidual supe io .
Con es os dos c i e ios se ha buscado con o ma ca e as con bonos y obligaciones que sean áciles se negocia
y que pe manezcan en la ca e a un iempo mínimo an es de que enzan.
4.2. MODELOS TESTADOS
Hemos es ado el uncionamien o de es modelos uni a iables de inmunización inancie a basados,
espec i amen e, en desplazamien os de la es uc u a empo al de ipos de in e és de ipo adi i o, mul iplica i o
y mul iplica i o en unción del encimien o. En la abla 1 apa ecen e lejadas las ca ac e ís icas de es os es
modelos. En las columnas 1 y 2 igu an, de o ma analí ica y g á ica, el ipo desplazamien o que p esuponen an
a acon ece en la es uc u a empo al de ipos de in e és. Po su pa e, en la segunda columna igu a la medida
de du ación inmunizado a u ilizada pa a la implemen ación de cada una de las es es a egias.
Tabla 1: Modelos uni a iables de inmunización inancie a.
Va iación en la ETTI Desplazamien o en la ETTI Medida du ación
Adi i o
λ+= ) ,0(h) ,0(h*
()
P
) ,0(h1
FC
)HI,0(h1
HI 1
n
1
+
=
+
=
+
∑
Mul iplica i o
[
]
[
]
) ,0(h1) ,0(h1 ** +λ=+
()
P
) ,0(h1
FC
HI
n
1
+
=
∑
=
Mul iplica i o según el plazo de
encimien o
[][]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
α+λ
++=+
1(Ln
1) ,0(h1) ,0(h1 **
()
P
) ,0(h1
) 1(LnFC
)HI1(Ln
n
1
+
α+
=α+
∑
=
En la abla:
h(o, ) es el ipo de in e és al con ado a un plazo .
λ es la a iación alea o ia en los ipos de in e és.
P es el p ecio de los bonos
-λ
+
λ
h
(
0
,
-λ
+
λ
h
(
0
,
-λ
+
λ
h
(
0
,
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FC : lujos de caja gene ados en cada momen o , siendo =1,...n.
α
: elación en e la a iación de los ipos de in e és a co o y a la go plazo151.
El p ime o de los modelos, pa e del supues o de que los posibles desplazamien os de la ETTI, sucede án en
pa alelo, al igual que la p opues a ealizada po Fishe y Weil 152 . El segundo modelo supone que los
mo imien os en los ipos de in e és son más p onunciados cuan o mayo es el pe iodo de iempo. Po úl imo, el
e ce o de los modelos supone jus amen e lo con a io, que la ola ilidad en los ipos de in e és es mayo en
pe iodos más co os de iempo.
Al obje o de comp oba la impo ancia que iene la dispe sión de los lujos de caja de las ca e as de bonos con
elación al ho izon e de in e sión, pa a cada uno de los es modelos con as ados y pa a cada uno de los plazos
supues os, hemos compues o es ipos de ca e as:
- Ca e as “bulle ” o concen adas, compues as únicamen e po aquellos dos bonos de en e los
disponibles cuyas du aciones es én más ce canas al ho izon e de in e sión.
- Ca e as “ba bell” o dispe sas, compues as ambién po dos bonos, pe o en es e caso aquellos
con mayo y meno du ación de en e los disponibles.
- Ca e as “ladde ” o escalonadas, compues as po la o alidad de los bonos disponibles
siguiendo el c i e io de máxima di e si icación.
Po o o lado, hemos o mado ca e as inmunizadas aplicando el modelo M2. Como hemos is o, es e modelo
busca en e odas las ca e as posibles con una du ación de e minada, calculada en base a un desplazamien o
adi i o de la ETTI, aquella cuya dispe sión de los lujos de caja con elación al ho izon e de in e sión, medida
po M2 sea más educida. Pa a ello aplica el siguien e p og ama de inmunización
Función obje i o: Minimiza ∑
=
n
iMw
1
2
Res icciones: ∑
=
=
n
i
w
1
1
∑
=
=
n
adi i HDw
1
0≥
i
w pa a odo I=1,2,…n
donde: wi ep esen a la ponde ación de cada uno de los alo es sob e el alo o al de la ca e a
D
adi : es la du ación adi i a de la ca e a.
Además, si bien Fong y Vasicek en su abajo no es ablecie on ninguna elación en e los esul ados alcanzados
con ca e as o madas aplicando modelos de inmunización basados en medidas de du ación calculadas a pa i
de mo imien os no pa alelos de la ETTI y la M2, hemos conside ado in e esan e comp oba el uncionamien o
de es os modelos basados en medidas únicas de du ación, es ableciendo como c i e io pa a la elección de los
151 Suponemos un alo de α=0,1
152 A di e encia de aquellos u ilizamos como ley de capi alización la capi alización compues a y no la con inua.
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bonos que o man pa e de la ca e a la minimización de la M2 igual que hemos hecho pa a el caso de
desplazamien os pa alelo.
En lo e e en e a los plazos, hemos con as ado el compo amien o de es os modelos pa a ho izon es de
in e sión de 2, 3 y 5 años. Al obje o de dispone de un núme o su icien emen e signi ica i o de esul ados pa a
cada es a egia, los plazos de in e sión de las ca e as se solapan en e si excep o en pe iodos de un semes e.
Como consecuencia, el núme o de ca e as cuyos esul ados analizamos en es e abajo es de 18 si
conside amos un ho izon e de in e sión de 2 años, de 16 si el ho izon e es de 3 años y de 12 pa a un plazo de 5
años. En la abla 2 apa ecen esumidas las es a egias de inmunización que p e endemos es a en es e abajo
Tabla 2: Es a egias de inmunización es adas
Plazos es ados Modelos de inmunización Es uc u a de las ca e as
Modelos uni ac o iales de inmunización
Du ación adi i a
Du ación mul iplica i a
Du ación mul iplica i a s/ o.
- Bulle : 2 bonos, los de du aciones más
p óximas al ho izon e de in e sión.
- Ba bell: 2 bonos, los de mayo y meno
du ación de en e los disponibles.
- Ladde : odos los bonos con máxima
di e si icación.
Modelo M2
2 años
3 años
5 años Minimización M2 y du ación adi i a
Minimización M2 y du ación mul iplica i a
Minimización M2 y du ación mul iplica i a
s/ o.
Ca e as compues as po dos bonos con M2
mínimo.
El es ablecimien o de es a egias de inmunización conlle an la necesidad de ees uc u a pe iódicamen e las
ca e as al obje o de a a de cumpli en odo momen o la condición necesa ia pa a alcanza los esul ados
p e is os, es o es, la igualdad en e la du ación y el ho izon e de in e sión. Cuan o mayo sea la pe iodicidad con
que se lle en a cabo la ees uc u aciones de las ca e as, meno se á el pe iodo de iempo du an e el cual no se
cumpla con el equisi o an e io men e mencionado. Po el con a io, una mayo pe iodicidad en las
ees uc u aciones conlle a unos mayo es cos es de ansacción. En es e abajo no abo damos la p oblemá ica
que plan ea la pe iodicidad en la ees uc u ación de las ca e as. Hemos seguido el c i e io empleado en abajos
simila es ealizados po o os au o es de ees uc u a las ca e as con una pe iodicidad semes al. Además, los
lujos de caja in e medios gene ados po las ca e as, bien po el pago de cupones o po el eembolso del
p incipal de alguno de los bonos llegada su echa de encimien o, se han ein e ido en las p opias ca e as
man eniendo la es uc u a de las mismas en el momen o de ecibi es os lujos de caja.
4.3. RESULTADOS ALCANZADOS
Hemos empleado la ley inancie a de in e és compues o pa a de e mina , an o el endimien o
inicialmen e espe ado de las ca e as como el endimien o inalmen e alcanzado, en ambos
casos en é minos anuales. Además hemos empleado como base empo al pa a ealiza los
cálculos 365/365. La en abilidad obje i o de las ca e as la hemos calculado aplicando el
FINANCE MANAGEMENT CHALLENGES
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modelo de S ensson (1994) que pe mi e el cálculo de ipos al con ado pa a di e en es plazos a
pa i de los p ecios de bonos que pagan pe iódicamen e cupones.
La cobe u a del iesgo de in e és se á más e ec i a cuan o más ce cano es é la en abilidad
inal ob enida po las ca e as a la en abilidad inicialmen e p e is a en el momen o de su
composición. Des iaciones en la en abilidad inal, po exceso o po de ec o, implican el
incumplimien o de los obje i os p e is os. Po es o mo i o, analizamos la e icacia de la
cobe u a en base a la di e encia exis en e en e la en abilidad alcanzada y la en abilidad
inicialmen e p e is a pa a las ca e as. Conc e amen e, hemos calculado pa a cada una de las
ca e as simuladas la di e encia en é minos absolu os en e es os alo es, di idiendo dicha
di e encia en e la en abilidad inicialmen e p e is a, pa a dispone de una medida que indique,
en é minos ela i os, el po cen aje de des iación, en sen ido posi i o o nega i o, que se
p oduce en e la en abilidad espe ada y la inalmen e alcanzada.
e
e
R
RR
DR −
=
Siendo:
DR: Des iación ela i a en e en abilidad espe ada y eal
Re: Ren abilidad espe ada
R : Ren abilidad eal
Pa a pode analiza conjun amen e el compo amien o de cada uno de los modelos con as ados, hemos calculado
pa a cada plazo de iempo y pa a cada modelo con as ado, la media y la des iación ípica de las des iaciones
ela i as en e los endimien os eales y los p e is os. Los esul ados alcanzados pa a cada uno de los modelos de
du ación inmunizado a apa ecen e lejados en las ablas 3, 4 y 5.