Las geome ías de las es uc u as abo edadas
Un eco ido po la His o ia de la A qui ec u a, anali-
zando los elemen os cons uc i os en conexión con
las cubie as, mues a una es echa co elación con
los acon ecimien os que, de mane a pa adigmá ica,
han ma cado la His o ia de los pueblos y cómo és a
gua da in e encias en e los di e en es ámbi os, éo i-
cos y p ác icos, de las di e en es disciplinas.
Sin ex endemos en el desa ollo his ó ico de las
es uc u as abo edadas, pe o eniendo en conside a-
ción los elemen os que han inspi ado las cons uc-
ciones, se á necesa io ene en cuen a, como da o
ob io, que las es uc u as pueden en ende se como
pe enecien es a las dos clases siguien es: es uc u-
as esis en es po masa y es uc u as esis en es po
o ma.
Po mo i os e iden es, en es a exposición hab e-
mos de exclui las e e encias ela i as a las es uc u-
as esis en es po masa; las es uc u as esis en es
po o ma, p ecisamen e po que su esis encia depen-
de de la o ma que adquie en en la ealidad de la
cons ucción his ó ica y en las hipó esis y concepcio-
nes que las con ienen, emi en, necesa iamen e, a los
signos que pe mi en ep esen a lo que oda ía no se
da o se ha dado ya como pe enecien e a la His o ia
de la A qui ec u a.
La a iedad y complejidad de las es uc u as abo-
edadas induce a cues iona sus posibilidades esis-
en es, desde di e sos pun os de is a; es a in es iga-
ción sólo se puede ealiza median e una
in e p e ación a iculada de las ipologías más habi-
uales y de sus a ian es. Sin emba go, el hecho de
Ma cello D' Anselmo
que el pa imonio edilicio his ó ico an sólo se haya
dado a conoce en con adas ocasiones, pa a la pe se-
cución de es e in se á condición p io i a ia y obliga-
da ealiza un análisis que in eg e de las desc ipcio-
nes que los a ados y los manuales ecogen de
di e sas o mas de las es uc u as abo edadas con
los di e en es ejemplos ealizaciones del pa imonio
edilicio.
Pa a ob ene las indispensables educciones a es-
quemas y ipos, y compa a e in e p e a sus co es-
pondien es ejemplos, es necesa io ealiza una conci-
sa selección de ellos. Po lo an o, ales esquemas
esul an menos abundan es que los nume osos ejem-
plos que de i an de una in e p e ación analí ica de la
ealidad de la cons ucción his ó ica.
Cuando la geome ía de las es uc u as abo edadas
es sencilla, po ejemplo, cuando se a a de a cos, es
deci cuando son geome ías planas, con an solo
unos pocos elemen os se pueden desc ibi sis emas
abo edados que, si bien p esen an o mas y ma e ia-
les di e en es, son a ibuibles a cu a u as y cen os
de cu a u a ácilmen e econocibles. Sin emba go,
en el caso de las es uc u as abo edades espaciales,
la de e minación de sus ca ac e ís icas y su desc p-
ción así como su desc ipción exigen de un mayo
cuidado a la ho a de analiza las leyes cons i u i as
que han egido su ma e ialización.
Un código de in e p e ación que pe mi e es able-
ce una clasi icación su icien emen e sencilla de las
es uc u as abo edadas espaciales, in e p e adas
como supe icies lamina es, es el que se basa en la
Ac as del Te ce Cong eso Nacional de His o ia de la Cons ucción, Se illa, 26-28 oc ub e 2000, eds. A. G aciani, S. Hue a,
E. Rabasa, M. Tabales, Mad id: I. Juan de He e a, SEdHC, U. Se illa, Jun a Andalucía, COAAT G anada, CEHOPU, 2000.
24 M. D'Anselmo
Figu a 1
cu a u a de Gauss. Es a cu a u a incula el p o-
duc o de las dos cu a u as p incipales medidas en
co espondencia de un pun o gené ico pe enecien e
a la supe icie media de la lámina.
En el caso en que una supe icie lamina cu a
p esen e, en co espondencia de uno de sus pun os,
una cu a u a del mismo signo en cualquie a de las
di ecciones conside adas, és a se de ine sinclás ica
en aquél pun o y su cu a de Gauss se á de signo po-
si i o. La lámina de e olución es un ípico ep esen-
an e de las supe icies lamina es sinclás icas. Las
supe icies sinclás icas no son supe icies desa olla-
hles; po con a, se puede desa olla la supe icie la-
mina po la cual la cu a, en co espondencia de un
pun o, aunque admi a el mismo signo en odas las di-
ecciones, esul e nula en una de e minada di ección.
En es e caso la supe icie conside ada p esen a cu -
a u a de Gauss nula; la supe icie cilínd ica, po
ejemplo, es una supe icie desa ollab]e en odos sus
pun os.
En el caso en que la supe icie lamina cu a ad-
mi a, en co espondencia de uno de sus pun os y con-
empo áneamen e, dos cu a u as de signo opues o
en e e encia a dos di ecciones dis in as, és a se de i-
ne, en co espondencia de ese pun o, an iclás ica o
de ensillado, con la consiguien e cu a u a de Gauss
de signo nega i o. Al igual que las supe icies sin-
clás icas, ampoco se pueden desa olla las supe i-
cies an iclás icas.
O o código de in e p e ación, apa en emen e un
poco más sencillo, y que iene como inalidad una
clasi icación di e en e de las supe icies lamina es
cu as, la da el modo con el que és as se c ean. Los
p ocesos undamen a]es que c ean las supe icies de
lámina cu a se pueden clasi ica de es a mane a:
a) po o ación o po e olución de una cu a di ec-
iz al ededo de un eje ijo;
b) po anslación de una di ec iz, an o ec ilínea
como cu ilínea, a lo la go de una gene a iz,
ec ilínea o cu ilínea, casi siemp e pe enecien e
a un plano o ogonal al que pe enece la di ec iz;
c) po anslación de una di ec iz, an o ec ilínea
como cu ilínea, que se apoya en dos líneas, cu -
as o ec as, planas u oblicuas y que en cualquie
caso es án o ien adas en el espacio.
Hay que sub aya que, si se quisie a cen a ]a
a ención en las es uc u as abo edadas que han ma -
cado la a qui ec u a ealizada con ma e iales y écni-
cas adicionales, es deci , excluyendo los ma e iales
mode nos como el ho migón a mado y el ace o, se ía
bas an e e iden e que sólo las es uc u as abo edadas
que ienen cu a de Gauss equi alen e a ce o o ma-
yo de ce o se ían el obje o de dicha a ención. Ello
po que, en unción a las leyes ela i as al compo a-
mien o mecánico de las es uc u as, has a que no se
descub ie on los nue os ma e iales, no e a posib]e
ealiza es uc u as abo edadas cuya o ma e iden-
cia a una esis encia po masa. Las es uc u as esis-
en es po onna sólo pueden exis i en caso de habe
sido ealizadas con ma e iales adicionales, po an-
o, inculadas a los alo es posi i os o nulos de la
cu a de Gauss.
En esumen; se puede a i ma , sin ninguna duda,
que las es uc u as abo edadas que se ea]iza on con
an e io idad al siglo XIX son compa abJes a supe i-
cies sinclás icas. Es a obse ación lle a a op a po la
clasi icación de Gauss como a] e na i a a la e]a i a
La geome ía de las es uc u as abo edadas 25
al modo en que és as se gene an, ya que esul a más
e iden e la de e minación de los pe íodos his ó icos
que, g acias al descub imien o de los nue os ma e-
iales y de la pues a a pun o de nue as écnicas de
p oducción y elabo ación, han pe mi ido el ánsi o
de una época a o a. La segunda clasi icación desc i-
be de mane a más analí ica los elemen os geomé i-
cos que de e minan las es uc u as abo edadas; en al
caso, se p oduce una especie de simbiosis en e los
elemen os geomé icos, di ec iz-gene a iz, desc ip-
ciones de la o ma es uc u al y los p ocedimien os
de cons ucción que penni en ealizada.
En cualquie caso, an es de plan ea o as considc-
aciones sob e las es uc u as esis en es po o ma,
se á ú il de ene los en las más scncillas de ellas. El
a co es un elemen o de cons ucción que ha p o oca-
do no ables desa ollos en la His o ia de la A qui ec-
u a; dejando a un lado la cues ión de sus o ígenes,
cabe señala que és e es la espues a a un p oblema
que el homb e se ha plan eado desde siemp e, an o
cuando que ía ma ca una pa ed, na u al o a i icial,
con anos, como cuando que ía supe a un obs áculo
na u al, un ío o un p ecipicio, median e es uc u as
más sólidas de las que p obablemen e, y con azón,
se pueden conside a las p ime as es uc u as suspen-
didas; en el segundo caso en especial, pe o ambién
en el p ime o, se mani ies a una ac i idad humana
que iola la in angibilidad del cosmos pa a uni lo
que es á di idido en la na u aleza.
El a co ha sido, y 10 es aún, la p ime a g an in en-
ción que, op imizando los eco idos de las ue zas
que desde las co as más ele adas de una cons uc-
ción alcanzan los cimien os, ha pe mi ido des ia los
es ue zos a los mu os de mane a, sa is aciendo las
exigencias de los pueblos de épocas muy di e sas;
sob e odo, ha penni ido descodi ica las concepcio-
nes espaciales de quienes lo han u ilizado. Ac ual-
men e, es ácil a i ma la lo an e io men e indicado:
el a co esis e po o ma, és o es, conside ándolo con
un g oso no in ini ésimo, una po ción de supe icie
de una lámina que iene una cu a nula en una di ec-
ción y, po lo an o, una supe icie con cu a u a de
Gauss igual a ce o. Po ello, se puede desa olla en
el plano, pe o és o conlle a el hecho de que la longi-
ud del ec ángulo ob enido, en el caso en que se a e
de un a co de medio pun o y se conside e la supe i-
cie de desa ollo de la supe icie de in adós, es igual
a ap oximadamen e una ez y media la abe u a
de
un a qui abe co espondien e ealizado con un ma e-
ial gené ico. Pe o el a qui abe de pied a o de made-
a que ma ca la cons ucción adicional no puede so-
po a ca gas exceden es que di icul an la capacidad
de esis encia; los esul ados o males y, po lo an o,
las geome ías de la a qui ec u a ealizada con ma e-
iales adicionales, es a ían condicionados, como de
hecho ha sucedido.
Además, el a qui abe es á necesa iamen e ealiza-
do con un elemen o monolí ico, pied a o made a, a
di e encia del a co, que puede ealiza se con un ma-
e ial disc e o como la a cilla o la pied a elabo ada
en silla es de di e en es dimensiones y o mas. Po lo
an o, lo que en un p incipio pa ecía una desecono-
mía, es deci , la elación en e la longi ud de la su-
pc icie de in adós del a co y su p oyección en el
plano ho izon al, esul a, en ealidad, la condición
que gene a la supe ación de los lími es impues os
an o po la esis encia de los ma e iales como po la
posibilidad de elabo ación de los mismos.
La subdi isión de la ma e ia u ilizada en las cons-
ucciones o o ga a los mu os, an o planos como
cu os, una mayo maleabilidad espec o a las eali-
zadas con silla es megalí icos, es ableciendo una p e-
misa que conc e iza desa ollos condicionados, no
an o po la esis encia de los ma e iales sino po
como las ue zas ac uando en un silla se asladan al
que se encuen a debajo de és e.
Teó icamen e, si el mo e o no unie a las jun as,
dado que se a a de si1la es cuyas supe icies de con-
ac o son comple amen e lisas, pod íamos de ennina
que la capacidad po an e de una sille ía de es e ipo
pod ía pe mi i la ealización de es uc u as que se
ele an cien os de me os; pe o no es así, an o po que
los mu os nonnalmen e se ealizan u ilizando mo e-
o, lo que educe la capacidad po an e, como po que
en an en juego o os ac o es de na u aleza écnica y
de cons ucción.
Realmen e, la mampos e ía es un ma e ial com-
pues o como el ho migón, aunque muy poco e-
sis en e a acción; se pod ía de ini un no sólido pa-
ecido a un hilo de lana, como a i ma S. di Pasquale,
o un ma e ial no con olable mecánicamen e como
a i ma A. Giu é.
Lo más ascinan e de lo que has a aho a se ha a i -
mado es la sín esis exis en e en e ciencia, écnica y
cons ucción. Las obse aciones e ec uadas a añen al
econocimien o de los di e en es ipos de es uc u as
abo edadas, que ienen dados po las onnalizacio-
nes eó icas que ue on codi icadas mucho más a de
26 M. D'Anselmo
Figu a 2
de que se hicie a e ec i a la cons ucción de las es-
uc u as abo edadas.
Sin duda, en el pasado, la cons ucción de una es-
uc u a abo edada puso en juego más conocimien os
écnicos que cien í icos, más p ác ica que ciencia. En
e ec o, si se quisie an analiza las es uc u as abo e-
dadas con los ins umen os y los códigos de in e p e-
ación que se disponen en la ac ualidad, se pod ía de-
ci que muchas de esas es uc u as se pueden a ibui
a o mas y po lo an o geome ías, que mal ep esen-
an las leyes de la mecánica; A menudo, encon amos
si uaciones en las que la es abilidad de una bó eda o
de una cúpula se emi e a ac o es poco ponde able s
pe o que copa icipando ma e ializan lo que la lec u-
a uní oca de la ciencia pond ía en c isis.
Todo lo an e io men e dicho, nos lle a necesa ia-
men e a e ec ua análisis más exhaus i os del pa i-
monio his ó ico cons uido, y, sob e odo, nos obliga
a ac ua alo ando las peculia idades, an o las más
mani ies as como las menos e iden es, pa a cap a
las co elaciones in ínsecas.
La iden i icación de una bó eda o de una cúpula
se puede e ec ua inmedia amen e median e conside-
aciones geomé icas, aunque esul a más complejo
es ablece la elación que ha habido en las di e en es
épocas en e la adición cons uc i a y los conoci-
mien os écnicos. Sin duda, du an e muchos siglos, la
adición, en endida como ansmisión de la expe-
iencia cons uc i a acumulada po un pueblo, ha e-
p esen ado odo el pa imonio écnico que, seleccio-
nado y en iquecido p ecisamen e po las expe iencias
conc e as en la cons ucción, ha pe mi ido en en a
y esol e los p oblemas de la edi icación.
Con el nacimien o del mundo mode no, la adi-
ción, basada en la expe iencia ansmisible, cada ez
pie de más consis encia y se es ablece un clima espe-
cula i o undado sob e el expe imen o epe ible sos-
enido po p oposiciones cien í icas que ienen un a-
lo demos a i o.
Dejando a un lado las conside aciones sob e el
a co, nos e e i emos a la bó eda de cañón como el
conjun o de muchos a cos unidos. El a amien o es-
á ico de la bó eda de medio cañón, al menos has a
el siglo XVII, se e ec uaba median e la u ilización de
eglas geomé icas; el mismo Rondele con espec o
a es e a gumen o a i ma: «se ha empezado a dísimo
a sen i la necesidad de some e el p oblema del
equilib io de las bó edas a las leyes de la Mecánica.
Pa ece que los an iguos a qui ec os, como los de la
época del enacimien o, no es u ie an guiados po
p incipios cie os y geomé ico s a la búsqueda de los
medios empleados pa a asegu a la solidez de a ias
pa es de sus edi icios, y en especial de las bó edas.
La expe iencia, la imi ación, y una mecánica na u al
les se ían de guía.. .»; de es e modo, se c eía que es-
uc u as geomé icamen e simila es enían las mis-
mas p opiedades es á icas, debido a que la p ác ica
cons uc i a es aba elacionada con un código o mal
que se aplicaba independien emen e de las dimensio-
nes, como a i ma el mismo L.B. Albe i a p opósi o
del a co de medio pun o que hab ía enido que mos-
a la máxima es abilidad.
En sus ancia, Albe i y o os a adis as emi en a
la geome ía la de inición de la o ma de las bó edas
yde las p opo ciones de los elemen os cons uc i os
de mane a que la es á ica y la es é ica se con igu an
en un cue po único de p incipios.
Ob iamen e, és o no es cie o. Una egla cons uc-
i a con sólo p opo ciones no puede exis i ; además,
desde el pun o de is a eó ico, no puede concilia se
con cons ucciones cuyas dimensiones implosionan o
se ex ienden desmedidamen e. Pe o es e dad que
aún hoy en día es di ícil comp ende las no mas o e-
gias seguidas po los cons uc o es de ca ed ales gó-
icas pa a dimensiona sus ob as, aunque algunas in-
dicaciones han sido dadas po Violle Le Duc y,
úl imamen e, po A. Giu é; ambién esul an e i-
den es las apo aciones de in es igado es como L. da
Vinci, de La Hi e, de Belido , Couple , C. Bossu , L.
Salimbeni, C. Coulomb, L. Masche oni y o os que
han con ibuido a ans o ma lo que an es se eía
como un p oblema de p oyec o en uno de e i ica-
La geome ía de las es uc u as abo edadas 27
ción; el paso del p oyec o a la e i icación ocupa á,
de mane a más consis en e, a los cien í icos a pa i
del siglo XIX con los esul ados que ya conocemos.
Pe o no podemos decan amos exclusi amen e po
a a o un análisis desde el pun o de is a mecánico.
Al con a io; la His o ia de la Cons ucción no se
puede in e p e a sólo desde el pun o de is a de los
esquemas es uc u ales y de los algo i mos ma emá i-
cos; és a, más allá de las cons ucciones más impo -
an es y signi ica i as de las que se conoce bien su
impo ancia, mues a cons ucciones ealizadas con
ma e iales adicionales que se p esen an de mane a
muy a iada y que, desde el pun o de is a mecánico,
son muy di íciles de des codi ica .
Así, las geome ías que ca ac e izan las es uc u as
abo edadas, desde la más sencilla bó eda de a is a a
las más complejas bó edas sob e pechinas o claus a-
les, ambién son complejas y, un análisis exhaus i o
de los exis en es en di e sas zonas e idencia á la ex-
emada iqueza y a iedad de ejempla es. Bas e con-
side a las es uc u as abo edadas del su de I alia.
Geome ías que con ienen elemen os a qui ec ónicos
de indudable alo es imonial que, dadas las condi-
ciones y la consis encia de las es uc u as abo e-
dadas exis en es, no pueden se conside ados desde
un único pun o de is a o educi se a esquemas sim-
ples. És os no pueden analiza se con a]go i mos ma-
emá icos que di ícilmen e esponden al compo a-
mien o eal que ienen con espec o a las acciones a
las que se some en.
E] mismo V. Le Duc, cuando a i ma que no hay
supe icie, po i egula que sea, que no se pueda
cub i sin di icul ad..., co obo a que las o mas a -
qui ec ónicas, con una geome ía cualquie a, se pue-
den ealiza sin ninguna limi ación; dicha a i mación,
de hecho, ep esen a ]a consis encia eal de la cons-
ucción his ó ica, pe o ambién, y po de echo, la
casi ilimi ada posibilidad p oyec ua] que hoy se o e-
ce a los a qui ec os dependiendo de los adelan os que
se han log ado en e] campo de la ciencia y de ]a éc-
nica.
También es cie o, como indica Musil, que en los
malos iempos se pueden hace casas ho ibles y ho-
ibles poesías siguiendo los mismos y bellísimos
p incipios de los buenos iempos..., y és o pe mi e
ol e a obse a los p incipios, las eglas de la geo-
me ía y de las ciencias en gene al como un uni e so
al que nos podemos e e i pe o sin ende a una
elección que p e alezca ins umen almen e, edu-
Figu a 3
ciendo la complejidad, la iqueza de la cons ucción
his ó ica.
En la a qui ec u a his ó ica, no hay es uc u as
abo edadas de o mas inco ec as y, aunque las hu-
bie a habido, el iempo anscu ido desde su cons-
ucción hab ía e idenciado e] es ado p eca io y las
debilidades in ínsecas; las ob as his ó icas que nos
han llegado han supe ado la p ueba del iempo. Te-
nemos el debe de conse a las, pe o pa a ello es ne-
cesa io e ec ua una in e p e ación de las mismas que
pueda saca a la luz las leyes cons i u i as que las ge-
ne a on. En ealidad és o a ala al hecho de que, aun-
que los es udios de la mecánica, nue a ciencia in o-
ducida po G. Galilei con la inalidad de sus i ui la
egla geomé ica pa a e] dimensionamien o de las es-
uc u as, alcanza on una g an di usión, el p oceso de
la His o ia de la Cons ucción u o luga con mayo
len i ud, po lo menos en odas aquellas cons uccio-
nes que ma can el e i o io de mane a casi sumisa,
pe o que ambién con ibuyen a comp ende mejo la
His o ia de los pueblos.
Además, ecuen emen e, a pa i de las medicio-
nes y análisis e ec uados en es as es uc u as, se des-
cub e que hay una pe ec a conco dancia en e e i i-
caciones es á icas de ipo g á ico y las ealizadas con
p ocedimien os analí icos, lo que con i ma que los
p incipios y las eglas de la cons ucción p emode na
no son uní ocos y que, si exis ió el a e de cons ui ,
que ha sido sus i uido po la ciencia de las cons uc-
ciones, és e necesa iamen e debía posee un epe o-
io de leyes y eglas que pe mi ían ob a bien. Hay

28 M.D'Anselmo
que hace se ca go, a ea no de poca impo ancia, de
las leyes y eglas que aún hoy no se han descubie o
comple amen e.
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