114
Vil
CONGRESO NACIONAL DB
INGBNIERIA
MECANICA Año
Vl
Vol.
m
Ga ido,
J.A.*,
Cal o, F.* y Pa í
s,
F.**
* Escuela
de
I
ng
en
ie
os
Indus iales
de
Valladolid
**Escue
la de Ingenie os
Indu
s
iales
de
Se
ill
a
RESUMEN:
Se
p opone
un
a
es a eg
ia
pa a
d
e e
m1n
a
un
a
s
i u
ación
com
pa
ible inicial
que
pe mi a
comenza
el
anál
i
sis
de
p
ob
l
emas
donde
la
zona
de
con ac o
di
sm
1nuye
al
ac ua
la
ca
ga
,
pe o
no
depende
de la
can idad
de
ca ga
ap
!1
cada.
Se
analiza
el
c
aso
de
comp esión
de
una
pl
aca
delgada
sob e
un
a
cimen ac
i
ón
es udiando
con
d
e a
lle
pa a
es e
c
aso,
la i
n luencia
que
en
los
esui cdos
i
ene
n l
as
cons an
es
elás ic
as
ela i as
de
amb
os
sol
i
dos,
.:si
como
la
p esenc1a
de
jcc:ón
en
la
zo .a
ce
con ac o
.
1.-
INTROOUCCION
Ex
i
s en
en
la
In
genie
ía Ci il y
Mecá
n
ica
un
g
an
núm
e
o
de
caso
en
l
es
q
ue
a 1
ac ua
una
so
1
ici ació
n
se
o o: uce
Jm
e acc
i
ón
en e
sóli
dos
a
a
és
de
su
co
n
o
no
~e an00se
en
e
ll
os
un
es ooo
ens1onal.
La
i
n e acción
se
p oduce
a
a és
de
un
a
zona
de
~ ac o
Y
en
unc
ión
de
cómo
és a
a olucio
ne
con
la
ca ga
y
Oln
espec o
a
la
si u
ac
ió
n i
nicial
, se
dan
a
i
os
cases
.
El
COn ac o
co
n
o m
e
es
~uél
en
qu
e
las
c
u
a u as
de
~bos
SóliOOs
en
la
zona
de
co
n ac
o
coinciden
y
el
ama
no
de
a
ZOn
a
de
con ac o
no
a
ia
con
la
ca
ga
.
Con ac
cases
whe e
he
inal
con ac
zone
is J
ess
h
an
he
ini ial
con ac
zone
a e
called
eca:Jing
con ac .
A
p ocedu e
o
deal
wi h
such
ceses
is
p oposed
.
An
especial
a en
i
on
is
dedica ed
o
cases
when
h
e
con ac
zone
c
hanges
a e
h
e
app
lic
a ion
o
h
e l
oad
,
bu
do
n
o
chan~
wi h
he
amoun
o
l
oad
.
The
comp ession
o a
pla e
on
a
squa e
egion
is
s
udied
,
ha
i
ng
in o
conside a ion
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in luence
h
a
he
el
as ic
cons an!s
o
bo h
booies
and
h
e
p esence
oí
ic ion
ha e
on
he
es
u
l s
En
el
con ac o
con
a ance
l
as
cu
a
u
as
son
di e
en es
y
al
aplica
la
ca ga
la
zona
e
con ac o
aumen a.
En
gene al,
cuanoo
la
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inal
de
con ac o
es
meno
que
la
inicial,
se
dice
que
es
un
p oblema
con
e oceso
.
Si
uac
i
ones
de
con ac o
i
nicia
l
men e
con o me
oom
i en
es a
e
o
lu
ci
ón.
Sob e
es a
s1 uación
de
co
n ac o
con
e
oc
eso
caben
aún
oos
pos b lid0035
,
según
que
la
zona
de
con ac o
cambie
p og esi amen e
con
el
aumen o
de
la
solici ación
o
que
camb
ie
b uscamen e
con
la
aplicación
de
la
ca ga,
po
p
eQueña
que
sea.
y
lu
e })
no
se
medi i
que
cuanoo
la
ca ga
aumen a
de
m
ódulo
.
La
p ime a
de
es as
005
si uaciones,
desde
un
pu
n
o
de
1s a
numénco,
no
se
di
e enc1a
naoa
de
la
sl uac
i
ón
de
a ance
.
Adm1 en
una
o mulac
i
ón
1nc emen al
que
aunque
pu
ede
se
cos osa
compu ac10nalmen e,
no
p esen a
dl icul ades
de
d
e
inición
del
p ocec 1m1en o
a
segu
1
,
Ga idO/
11
.
La
segunda
si uación,
i
ene
la
ai lcul ad
de
que
no
es
posible
aplica
desde
el
p
i
ncipiO
un
p ocedimien o
1nc eme
n al,
ya
qu
e
no
se
conoce
una
si uacion
1n1c1al
compa ible
soo e
a
qu
e
apl1ca lo
.
La
oo ención
de
dicha
s1 uación
inicial
de
un
a
mane a
iable
y
e icien e
es
ob¡e
o
undamen al
de
es e
aba¡
o.
Tal
como
queda
de 1moo
el
p ob
l
ema
,
un
a
ez
encon ada
dicha
si uación
Oda
la
ca ga
puede
se
ap
l1
cada
en
un
único
i c
emen
o
pa
a
ob ene
la
con igu ac
i
ón
inal
de
e
nsiones
y
deSP
lazam
1en os
.
Pa a
abo da
es a
clase
de
p oblemas,
no
s
cen amos
en
la
s1 uación
más
usual
: C
omp es1ón
de
una
ca
ga
de
lgada
sob e
una
cimen ación
. s1
endo
ge
ne
a
lizables
las
conclusiones
a
o
as
sl uac1ones
que
cumplan
las
p emisas
gene ales
enume adaS
.
Exis en
algunas
publ
i
cac
i
ones
,
Kee ,
Dundu s
y
Tsa1
121,
Tsa1
,
Dundu s
y K
ee
/ 3
/,
Solech1
/4/
,
sob e
soluc10nes
anal
í
icas
1
je
es a
cl
ase
de
p ob
l
emas
,
pe o
en
odos
los
casos
se
e 1e en
a
c1om1
m
os
m lm os
y
si uaciones
s1n
1cción
.
Desde
e
oun u
ae
i
s a
numé
1
co,
Mahmoud
,
S
alamon
and
Ma l<.s
1
5/,
es ue11a
on el
p
obl
ema
de
una
1ga
s
ob e
c1men ac1ón
elás
1
ca.
~o
med
io
del
.m
é odo
de l
os
El
emen os
Fm
i
cs,
dando
el
a
l
o
de
ia
zona
inal
de
con ac o
.
En
el
apa ado
2 se
ae 1ne
el p
oo
l
ema
soo e
el
que
se
a
a
aba¡a ,
es ablec1endo
las
cond1c10
n
es
que
deb
e
cumpli
la
s
oluc
1
ón
.
En
el
apa aoo
3
se
s
umanza
el
Mé có:l
de
los
El
emen os
de
C
on o no,
u
1 l
zooo
~a a
el
Anális
is.
En
el
apa ado
4
se
es ablece
la
es :-a eg
ia
pa a
al
canza
la
si uació
n
ln1Cial!XImpa lb1e
.
En
el
Apa ado
5
se
aplica
dicha
es a egia
pa
a
el
anál1sis
ae
un
p o
bl
ema
conc e o.
2.
-COHSIDERACIOHES
GENERALES
S
OBRE
El
PROBLEMA
A
ANALIZAR.
A
in
de
explica ,
de
un
medo
sencillo,
aquellos
aspec os
que
ca ac e
i
z"n
el
p oblema
de
con ac o
con
e oceso
.
nos
apoya emos
en
el
caso
plano
simp
le
ep esen OO:l
en
la
i
gu a
1. Si
los
com
i
mos
oA
y
oB,
que
inic
l
almen e
es án
en
con ac o
a
a és
de
la
in e ase
na u al
común
aD
0c
son
comp 1mioos
po
la
acc
ión
de
la
ue
za
P,
es
conocioo
el
hecho
de
qu
e
el
p oceso
de
de o mación
elás ica,
en
es a
es uc u a,
conduci á
al
despegue
pa cial
de
sus
el
emen
os
Es e
e ec o
es
espec1al
m
en e
1n u1 1VO
pa a
pequeños
alo es
de
h y en
co
n
ac o
en e
ma
e
i
ales
de
ca ac e ís i
cas
elás icas
s1mi
la
es
.
o·
y
o
o'
e
p
T
....;---8
-
~
Fig.
1.
De inición
del
p
obl
ema
Sea
ll
el
coe icien e
de
ozam1en o
en e
amoas
supe icies
(admi i emos
po
simplicidad
la l
ey
local
elás ica)
y
oDc
la
zona
inal
de
con ac o
(cuyo
amaño
y
ubicacló
n
exac a
desconocemos).
Es
un
h
echO
bi
en
conocioo
que
el
am
año
de
oDc
depende
de
las
ca ac e ís icas
(elás icas
y
930mé icasl
de
los
cue pos
que
con o man
la
es uc u a
de
co
n
ac
o,
del
pun o
de
aplicac1ón
de
P y
de
su
di ección
,
pe o
no
C€
su
módulo
( e ,
po
ejemplo,
las
e e encias
/2/
,
131' /
4/'
/6/
y 17
/).
La
inde
pendenc
ia
de
oDc
espec o
del
módulo
de
P,
plan ea
un
se io
inco
n en
ien e
pa a
su
de e m
i
nación
median e
cu
alqu
ie
p c:cOOímien o
numénco,
da<Xl
que
no
es
pos
ib
le
u iliza
un
~uema
de
esoluc1ón
basa:Xl
en
una
o mulación
in eg
al
(de
oominio
o
con o no
)
en
é minos
oo
in
c e
men os,
que
puedan
alo
a se
es ablecienoo
condic
i
ones
l
ími es
en
los
alo es
de
P.
Es,
oo
an o,
necesa
io
abo da
el
p oblema
median e
cualquie
p
ocedim
i
en o
au oco ec i o
q
ue
posib1li e
es ablece
con
e ic};;ia,
la
ub1cacién
de
la
zona
de
con ac o
que
pe manece
as
el
e oceso
1nicial
al
aplica
la
ca ga.
Hacemos
no a
que
las
implic
ac
iones
de
la
s1luación
plan eada
sob e
c
ualquie
esquem
a
oo
esolución
numé 1ca
de
p oblemas
oo
con ac o,
es án
elacionadas
con
la
de inición
de
las
condiciones
e
con o
no
in
icia
les
.
116
An es
de
pasa
a esc ibi ,
en
los
oos
apa aOOS
qu
e
siguen,
el
mé c:OO
de
anál
i
sis
(
M.E
C.) y
undamen almen e
la
es a egia
oo
esolución
qu
e
p oponemos
,
expond emos
a
con inuació
n
aquellas
elaciones,
que
necesa iamen e
han
de
e
1
ica
se,
en e
las
a iables
p
i
ma
i
as
en
un
pl
an eamien o
de
con o no
( ensiones
y
deSplazamien os)
aue
supues amen e
o ma
í
an
pa
e
de
la
so uc1ón
co ec
a.
Si 1 y
ui
ep esen an
a
as
espec
i
as
co
mponen es
(j=
1
,2)
de
la
ensión
Y
el
desplazamien o
de
pun os
del
con o ne
podemos
con
e
. 1 .
. , . . ,
e encla
a a
lgu a
! ,
esc
ibi
las
Slgulen es
el
aciones
i
nclu
i
das
en
la
solución
.
Tensiones
a
ni el
ge
o
un o
1 1
~
(
X)
1 l 1
2k(
X)
1
/ll
1k(
y)
=
l(y)
=O
( J.
a)
( 1
b)
( 1 e)
do
Me
x e Y
ep esen an
pu
n os
del
con o no
del
cue po
k
(
k=A,~)
incluidos
en
oDc
Y
oDoc_
oDc
espec JVamen e.
La
ecuacwn
( l.b
) ecoge
la
iey
iocal
de
ozamien o.
En
ella,
el
slgn.,o
Igual
mdl
ca a
que
a
a es
del
pun
o x (
pe
de
pun os
maL
~
ales
de
uno
u
o o
cue po
que
ocupan
la
misma
pos1e1on)
se
pueae
o od
·
.
uel
des
l
lzamlen o
en e
ambos
con o nos
Po
el
con a io
Sl
la
igualdad
en
( l.
b)
no
se
e
l
lca
,
ambas
supe icies
es a án
adhe
í
"~
en
x E l
.
uo;,
. n o
que
sigue,
eonsice
a emos
es e
doble
.
. . .
compo
am
1e
n o,
exp
ll
Ci amen e
, I
n oduciendo
la
pa ¡c·ón
oD
= D D
,, e
ca
u o
cd,
en
la
que
el
segundo
subíndice
deno a
adhesión
Y
des
il
zamien o
espec i amen e.
A
ni
el
de
o®
l
~
?o
oa
® é
on ac o
la
solución
de
ens
ion
es
d
ebe
á
de
se
al
aue
:
...
( 1.
d)
2
k(x)
ds=J
?k
(:
l
)d
s+
J (+'
k()d
oDc
.)0 -!' -i 1 X S = 0
ca
o
ucd
( l.e)
El
s
igno
(
)
en
la
ecuac
i
ón
de
equ
ili
b
io
angencial
se
Incluye
pa a
ca
· '
. .
ae
en
za
cua
l
qu¡e
posib
le s
en ido
de
1
enslon
l
oca
l
de
. . a
. .
.
ozamien o,
I
ndependien emen e
de
10
es 1cc1on
( 1
a)
·
~olazam1en 0$..
P oo
Sea
g(
Z)
una
unc
i
ón
oue
ecoge
la
sepa
ac
ión
que
se
P
uce
en e
pun os
(
z)
Inicialmen e
en
con ac o
,
al
aolica
g(
zl = g ( u
A
p)
B(
·
CO
. . j ,
z,
·
uj
z,P)
l.
Es ablecemos
las
nd1c1ones
a . .
q
ue
es a
su¡e a
la
solución
de
desplazam
.
a
a es
de
1
en
os,
g(
z). A
si
pa a
pun os
x e
oDc,
e y e
oDc
o_
oDc
( 2.
a)
( 2.b)
g(
x)
=O
g(
y)
> o
Anaim..
"".i"men e
si
(
)
C opo
1 z
ep esen a
u
na
unc
i
ón
que
e
ona
el
desliz
;
am
,
en o
que
se
p oduca
en a
pa
es
de
pun os
(2)
(z)= (uj
A'Uj
8
l.
la
solución
debe á
e
iíi
ca
que:
(
z)
=O
sizcoDca (
2.c
i
y k
(z) 2
(z)~
O sizcoDcd (
2d)
La
es icción
( 2.d)
ecOQe
el
ca ec e
d!sloa ! o
del
abciO
de
ozamien o.
.
Recalcamos
aue
con
la
s
ecuaciones
( 1) Y
las
(
2)
no
se
QUJ
e e
ep esen a
una
elac
ión
de
condiciones
de
con o n
nlde
. o
ecuaciones
básicas
del
mOOelo
ma ema' ico
si
1 • ,
son
.
mp
em~n e
un
conjun o
de
es icciones
Y
elaciOnes
au
e
sabemos
cebe
de
e l 1ca
la
solución
del
p oblema.
En
es e
co
n ex o,
an
solo
la (
l.d)
y
(le)
~n
elocion
equ1llb lo
global.
es
de
3.-
AlGUNAS
REFERENCIAS
Al
ANALISIS
MHODO
DE
Aunoue
el
obj
e
i o
de
es e
abajo
es
p ooone
una
es a egia
a
seQUJ
pa a
de ini
co ec amen e
las
condiciones
de
con o
no
Iniciales
en
p oblemas
en
los
q
ue
el
p ime
sis ema
de
ca gas
que
ec uan
Implica
una
si uació
n
de
con ac o
de
:e
~
en e
sólidos,
a a
emos
b e emen e,
en
o i
me
l
uga ,
algunos
aspec os
so
b e
el
mé cóJ
oo
analls1s
(
M.E
.C.)
que
amos
a
aplica .
Co
nc e amen e,
se
ac úa
es ablecienoo
el
sis ema
lineal
qu
e esul a ía
al
plan ea
la
compa ibilidad
cinemá ica
Y
el
equilib io
es á ico
de
les
ncms
ubicaoos
en
los
elemen os
de
con o
no
que
OOsc iben
el
compo amien o
de
las
zonas
de
co~ ac o
(
30
c·
oDcd,
3D
ca)
que
suponemos
soluc
1
ón
con
dichO
me cm
ap oximaoo
.
Una
desc ipción
exhaus i a
sob e
los
aspec os
especí icos
de
la
apllcoc:ión
del
M E e
bl
de
· . . a
p o
amas
con
ac o
pueOOn
encon a se
en
Ga
i
oo
/1/
P .
Ga
.,.,..
18
,
a 1s
y
~w
1,
Pa ís
y
Ga ioo
/9/
.
En
gene al,
Y
ol ienoo
a
las
no
lineal
idOOes
p opias
del
p oblema
(conocidas
oO
30
Y
ao
)
se
puede
11
. '
Cl.l
cd
•
ega
a
un
Sls ~ma
lin
eal
co
mo
el
ep esan OO:J
po
la
ecuación
(
3.c),
pa .enoo
de
sis emas
como
el
( 3.
a)
Y ( 3
b)
de
.
. . . · ,
que
sc 1ben
el
es ado
elas lco
ap oximado
del
con o
no
de
e""
~
e
(A
8)
· . ouo
ue po
, ,
lmpomenoo,
además
oo
l
as
condiciones
de
. 1
con
o no
p opias
de
modelo,
aquellas
o as
especí icas
c-e
las
zonas
ce
con ac:o.
La
solución
de
( 3 e)
oobe é
de
sa is ace
las
cond1c1ones
Implíci as
00
l
as
ecuaciones
( 1) Y ( 2).
= y_a
(3.
a)
!:!.8
y_B
=
Q.B
y_B
(
3.
b)
(3
.
c)
Los
si
s emas
( 3 a) y (
3.b
)
i
enen.
en
el
caso
!Jl
dimens
1o
nal,
o den
2 . y 2NB
e
spec i amen e,
ep esen anoo
.
y
NB
l
os
n
odOs
u ilizados
en
lo
s
con
o
nos
de
c
ada
cue po
pa a
ll
e a
a
cabo
la
ap ox
i
moc
1
ón
m
a emá ica
con
el
M
.E
.C..
Los
ec o es
Y.
k. lk (k
=A,B
)
con ienen
las
componen es
del
desp
l
azamien o
y la
ensión
en
los
noOOs.
El
sis ema
inal
que
esul a
del
acoplam
i
en o(
3.c)
es
de
o den
2(
.+NB
).
Su
ma iz
de
coe icien
es
K y
el
ec o
de
ca ga
dei
sis ema
E.
se
cons
u
ye
n a
pa 1
de
l:ik
y
0_k
al
i
mpone
l
as
condic
i
ones
de
con o no
p esc i as
y
aquellas
que
son
gspeci icas
del
con ac o
El
ec o
;i
in
clui á
l
as
2( .+
NB)
a iables
que
en e
de
splazam
i
en
os
y
ens
i
ones
se
desconocen.
p
a a
de ini
comple amen e
el
es aoo
el
ás
ico
ap oximaoo
del
con o
no
de
c
ada
cue po.
4.-
ESTRATEGIA
PARA
LA
DETERMINACION
EFICIENTE
DE
LAS
ZONAS
DE
CONTACTO
EN
PROBLEMAS
CON
RETROCESO
.
La
soluc1ón
ce
cualqui
e
p oo
l
ema
ce
con ac
o
con
e oceso
pasa
po
e
s ab
l
ece
el
sis ema
(
3.c)
que
se
de
i
a
de
la
de inición
co
ec a
de
3Dc(
oDca
y
oDcd).
Pa a
llega
a
loc
al
iz
a
las
zo
nas
de
c
on ac o
es
p eciso
.
al
y
como
h
emos
expl1c
ado
,
di
seña
un
p
oced
imien o
de
ap ox1mac1ones
suc
es
i
as.
que
s
e
á
más
e icaz
en
la
medida
en
que
se
cons
1
ge
educi
el
núme o
de
eces
qu
e
ha
de
se
es
uel o
el
sis ema
( 3.
c)
.
La
es a egia
que
, a
al
e ec o
, p
opo
nemos
.
iene
sie
mp e
ga an izada
la
con e gencia
y
en
sin es1s
co
ns a
de
los
sigu1
en es
pasos
.
G-
De e mmación
de
oDc
pa a
el
p ime
ensayo
(3Dc(
1
)]
Un
a
bu~na
de in
ición
de
oDc
(
l)
pu
ede
se
es imada
hacie
ndo
uso
de
la
co
noc
i
aa
elac ón
de
Kee
.
Dund
u s y
Tsai
(
e e encias
121 y 131)
qu
e
p opo c
iona
p
a a
un
mooelo
simple
y
en
ausencia
de
icc1ón.
el
amañ
o
de
la
zona
de
con ac o
en
unción
de
un
pa ame o
de
ajus e
(a )
que
depende
exclusi a
men e
ce
l
as
ca ac e ís
ica
s
elás icas
de
los
ma
e iales
en
con ac o.
Conc
e
am
en
e,
si
a
es
la
semi
l
ongi ud
de
con
ac
o.
hes
el
can
o
del
elemen o
C€l
g00:J
y
Glc
y
k
los
moou
los
oo
igidez
y
de
Po
isson
espec
i
amen
e
del
cu
e po
K
(K=
A,B
),
po Jem
os
u
il
iza
:
a
/h
=
(
a)
( 4. 1 ) :
sienoo
a:
Es
e
al
o
ée
a
puede
adop
a se
como
semilongi ud
de
con ac
o
pe a
la
p ueba
inici
al,
cmada
a
un
o y
o o
l
ado
del
pun o
de
oDco
que
en
la
con igu ación
in
de o
m
ada.
es
á
i
ncluido
en
la
lin
ea
de
acción
de
P
Al e na i amen e
puede
de ini se
un
amaño
de
o
De<
1)
pa ienoo
de
la
soluc
1
ón
que
apo a
la
eo
ía
de
lexión
de
placas.
No
obs an e,
con iene
aoop a
al
o es
inici
ales
de
oDc
( 1)
algo
m
ayo es
que
Jos
qu
e
se
ob ienen
con
es as
eo
í
as
y
ello
deb
i
do
a
dos
h
echos
conc e os
:
que
la
zona
de
con ac o
es
lige amen e
mayo
en
p esencia
de
icción
y
que
Gene almen e
se
p oduce
una
con e gencia
más
iápida
cuanoo
se
oma
una
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imc1al
de
co
n oc o
po
exceso.
Pa ece,
po
an o.
lógi
co
p opone
3Dc(
1) =
3Dca<
1)
y
cons
i
de a
que
inicialmen e
no
exis e
zona
de
des!
izam
ien o
cuanoo
¡¡
,.
O.
En
el
caso
de
con ac o
sin
icci
ón
el
ú
nico
p ob
l
ema
que
se
plan ea
es
encon a
el
amaño
de
oD
0,
pues o
q
ue
en
cu
alquie
ensayo
i
oDc(i);
3Dcd(i),
pudienOOse,
po
lo
demás,
aplica
el
esquema
qu
e
sigue
eniendo
p esen e
es a
ci cuns ancia.
G-
Anál
isi
s
de
a
solución
del
ensayo
Pa imos
de
unos
esul al:JS
ob enioos
de
(
3.c)
sob e
una
zona
o0
0( 1 ) •
3D
ca(
1 ) ,
9S o'Jida
po
exceso
(o
bsé ese
que
co
n In
dependencia
de
l
as
ecomendociones
an ~
i
o
es
si
emp e
pu
ede
om
a se
oD
c(
1) •
30ca(
1) •
oDc
0
l.
La
solución
se
conside a
admisible,
en
p ime a
ins a
ncia
s1
se
e
i i
can
las
elaciones
( 1
a)
. ( 1
e).
( 2.al. (
2.b)
y (
2.c)
o
lo
qu
e
es
lo mi
smo
si
no
se
p oducen
in
e pene acio
nes
en e
los
00s
oom1mos
y l
as
ens10nes
de
con ac o
son
odas
de
comp esión
.
Hó ese
que
al
conside a
oO¡;aoDca
no
se
iene
n
en
conside ación
en
es e
p
ime
ni el,
posibles
lnco
mpa
ibili
daOOs
en
la
di
ecc
ió
n
eel
ec o
ensión
en
pun os
de
la
zona
de
con ac o
(
ecuoción
l .b).
Si
la
solución
que
se
ha
ob enioo
p esen a
acciones
en
30
0,
se á
p eciso
p ocede
a
un
nue o
ensayo
conside aná>
q
ue
a
les
n(X))S
no
pe
enecen
e la
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de
con ac o.
Po
el
con
a i
o.
si
se
ha
pa
i
oo
de
u
na
zona
de
co
n ac o
po
de ec o.
la
soluc
ión
incl
u
i á
i
ncompa ib
i
lidOOeS
cj
nema
i
cas
(n
o
se
e i
ica
á
la
ecuac
i
ón
2.b)
po
in
e
pene ación
en e
ambos
oominios,
po
lo
que
en
un
nue o
ensayo
hab
á
qu
e i
nclui
esos
pun os
en
la
zona
de
con
ac o.
No
o
bs
an
e
con iene
esal a
que
omanoo
oDc<
l )
;;;
a
Oca
( 1) •
oDc
0,
se
llega
siemp e
ácilmen e
a
una
solució
n
compa ible
a
e ec os
de
amaM
de
la
zona
de
con ac o.
co
ns
1
de anoo
~
ez
zonas
más
o
eauellas
en
unc
ió
n
de
los
pa es
de
ncóJS
que
esul en
acc
ionaoos.
E
s a
opción
solo
es
necesa
ia
cua
noo
no
sea
posible
hoce
es imaciones
in
icia
les.
a
pa
i
de
casos
más
simples
.
co ,ocldo
el
amai1o
ap oximado
ae
3Dc,
se
p ocede
a la
pa lc
l
on
de
oDca
Y
30cd
ch
equeando
en
cada
pa
de
pun os
en
con ac o
la
d~ ecclón
del
ec
o
ensión
(ecu
ac
ió
n l.b
).
Es e
p oc
eso
es
ap
i
do
Y
gene a
lm
en e
no
a ec a
al
al
o
de
30
o
b emdo
en
el
paso
p eceó3n e.
e
0-
Mejo a
de
la
solución
lógi
camen e.
la
solución
numé ~ca
on
el
M E e
P
Od
. . . .
no
pu~
UCl
ensiones
nulas
en
l
os
pa es
de
.
pun
os
de
con ac o
s1 u
ados
en
los
ex emos
de
aD
1 .
e•
o
que
s1
emp e
ocu e
si
se
p odu
ce
el
e oceso.
Así.
co
n
e e enc
ia a la
i
gu a
2,
que
ecoge
esquema
J
camen e
la
Si uación
alcanzada
con
el
p o
cesodesc l o
,
amosaob ene
¡(i)
=O
y 1(j)=O
Fig 2· Es
quema
de
la
con igu ación
ina
l
La
solució
n
pue
de
mejo
a se
consi
de anoo
nue os
elemen o
s
de
con o no
comp endidos
en
e
: ( i e i-1 ) Y ( j Y
J + 1 ) .
cons
ide ando
los
nue o
s
pa
es
"n
-D E
es , .
~
e
cd·
s a
e apa
a,
po
,
an a,
solo
su¡
e a
a ia
pnme a
ase
an e
io
.
es
decl
e
llmma
de
la
solución
aquel
ios
pa
es
que
esul ~n
acc10nados
E
s
. e
esquema
puede
ep
e
i se h
as a
alcanza
un os
~
lo es
mí
ni
mos
de
las
e
nslOnes
p
e
ia
men e
es
ab
lec1cos.
S-
.
.
APLICACION:
COMPORTAMIENTO
DE
LAS
~ARI
ABLE
S
DE
DISERO
EN
UN
PROBLEMA
TIPO
DE
ON
TACT
O
CON
RETROCESO
Sob e
la
Fig
1 ·
so
l . . . · .
1m
pond emos
po
simplicldOO
qu
e
la
1Cl ac10n
con
cen
ada
P .
delgax,
. .
se
a
plica
en
el
pun o
del
elem
en
o
~
(domlmo
oA)
q
ue
pe enece
al
eje
de
sime í
a
de
la
·~
uc u a
As·
· .
cons
. 1 m
ismo,
conslde a emos
qu
e el
can o
(h)
es
an e
a
lo
l
a ~
de
la
long
¡ ud
.
Con
e e en
c
ia
a ia
Fi
ca ac e ís ica
del
g 1 .
las
dimensiones
8==2
s
mOdelo
so
n:
h=lO(L),
H=205(L),
OO(L)
,
30
o/2=160(L)
L
han
. . e .
os
con o nos
de
cada
cue po
Slcb
d1sc e i
zaíls
QUe
se h .
con
elemen os
no
con o
m
es
so
b e
los
a
cons!OO OCIJ
una
e olució
n 1 i
neal
de
ensiones
Y
desplazamien
os,
e .
¡¡
1, 181. ;g;.
La
c
a ga
P
se
ha
m"""!
.
u :
003
con
un
a
a!s lbucJón
na~gula
simé ica
sob e
dos
e
lem
en
os
b
""'~
s1me
i . . . u
IC
GwS
camen
e,
de
dlmenslon
lo
su icien emen e
pequeña
co~o
pa a
e
l
a
posibles
in lu
encias
sob e
lo
s
amaños
~lmm_os
de
la
zona
ae
con ac o
que
se
ha
n
deducioo
(la
'
elaclOn
en e
la
lo
ngi
ud
de
apl
ic
ación
de
la
ca ga
Y
la
zona
de
con ac
o
en
el
caso
mayo
es
del
o den
de
1
a 1
S
).
Po
2e
un
p oblema
in e namen e
i
sos á
i
co
la
s
soluciones
de
ensión
que
se
p esen an.
no
dependen
e~
l
as
cons an es
elás icas
de
COOa
cue po,
aunque
sí
son
unc
l
ón
ce
l
as
zonas
de
con ac o
qua
se
p ooucen.
Ello
I
mplica
un
a
dependencia
an
solo
i
nái ec a.
a
a és
del
coe
icie
n
e a
(ecuoclOnes
4.1
Y
4.2),
pues o
que
a
es
un
p
a éme o
ca ac e ís
i
co
del
conjun o
oo
la
es uc u a.
Los
esul e005
ela i os
a
sepa oc
i
ones
en e
l
os
cue pos
han
si
oo
ob
enioos,
pa a
cada
alo
de
a.
conslde anoo
un
módulo
de
Young
unidOO
pa a
oA
si
a>
O (
EA=
E = 1 F /L
2)
y (
EB
= E = 1 ( F /L
2)
si
a <
O.
Se
ha
omaoo
s1
emp e
'V
A=
8
En
la i
g.
3
se
ep esen an
l
as
dis ibuciones
de
ens
ió
n
no
ma
l
de
co
n ac
o
sin i
cción
pa a
el
caso
de
m
a e
. 1
idén i
cos
( - .
1a
es
a
-0),
asl
como
p
a a
oos
a
lo es
ex emos(a=0.964ya=-o
923
)
Los
_ .
o
b
. · ·
amenos
de
1
as
zonas
.
emdas
(
a/h)
Y
sus
co espondien es
di
s i
buc
ion
es
se
a¡us an
excelen
em
en e
a
los
esul ems
la
~
que
se
p esen an
en
e.e enc
· 2 · ·
la
'SI
bl
en
aquellos
co espon
......
n a
......
m . .
""
y.;
1 .1o
s
no
aco <ms
Y
en
ausencia
de
i
cción
.
F
ig.
3.
Te
nsi
on
es
no
m
al
es
en
aO
e
La
in lu
enc
ia
001
ozamien o
so
b e
el
am
año
de
la
zon
a
~
~n ac o
es
más
e
le
an e
pa a
a
l
o es
nega i os
cel
pa
am
e o a (
EB
<
EA)
Fig
u a
4
En
1 1
. · · o
que
a
as
zonas
ae
adheslOn
se
e ie e
( ensiones
an(J:nciales
de
con ac
)
obse a
que
pa a
ob e
ne
una
su
pe
icie
adhe
ida
de
:m·a:
ap ec
1
ao
le
son
necesa
10s
alo es
al os
del
coe
i
cien e
ce
1cc:ón
en e
amoas
supe 1c1es,
Fig.
5
w
,_
.
z
~
u
G:'
w
••
o
V
a..,.
Ol• .l
,.
..
''
• '
J
ZONA
DE
CONTACTO
a In
F1g.
4.
Tamai' o
de
la
zona
de
con ac o
.
~
:·c.[ "'
..
~
~
;
~
'
.,
o.•
1
-:J
:
)(~
'
l
--
z 1
1
UJ
1
,_
1
o.
......
F1g.
5.
Tens1ones
no mal
es
y
angen
c
1ales
en
oDc.
,,
En
la Fi
g.
6 se
mues a
la
a iación
de
!e
ensión
m
áxima
de
co
n
ac o
con
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cuanoo
el
con ac o
se
ealiza
si
n
i
cc
i
ón.
En
Jo
que
a l
as
maqni uees
cinemá icas
se
e ie e,
se
ep esen
a en
la
igu a
7
la
a iación
ae
la
sepa ación
máxima
con
a,
y
en
la
igu a
8
las
sepa aciones
ela i
as
que,
a
Jo
la 9)
ae
oda
la
long
i ud,
se
p ooucen
en e
los
pun os
in
cluidos
en
las
zonas
que
su :en
e oceso,
pa a
algunos
alo es
conc e os
de
a.
Hay
que
hace
no a
qua
es os
esul aoos
de
desplazamien o
120
son
u lles
umcamen e
pa a
los
a
lo es
ce
l
as
cons an es
elás icas
u ilizadas
en
la
soluc1ón
ce!
p oD
!
ema
Y
no
pa a
cualquie
comDinación
que
p oouzca
el
mismo
alo
ae a.
u
• 1 •
...
•
...
.u
...
,
"'
"
~·
...
F g.
6.
a 1ac1ón
de
la
ensión
no mal
con
a.
Es
azonable
que
l
as
mínimas
seoa ac10nes
máximas
(
endienco
a
ce o)
se
p oouzcan
pa a
alo es
de
a
endienco
a
- 1,
ccnoo
el
sólido
A
es
muy
igioo y
el
sólido
8
es
muy
l
exible,
ooap andose
a
la
con igu ación
ool
A.
F i
g.
7.
Sepa aciones
máximas
an
la
zona
de
005pegue.
Fig.
8.
Sepa ac
i
ones
en
la
zona
oo
despegue
.
6.-
CONCLUSIONES.
Se
ha
o opues o
una
li
nea
ae
ac uación
pa a
esol e ,
con
el
M.E.C.,
p oblemas
de
con ac o
con
icción
en e
sólidos
que
p esen an
e oceso
Inici
al
,
que
en
sin esls
cons a
de
es
ases
:
*
Encon a
un
amaño
de
zona
ce
con ac o
comple amen e
adhe ida
que
o me
pa e
de
una
soluc
i
ón
exen a
de
1n
compa 1D111dedes
cinemá lcas
( l
n e pene aciones
en e
con o nos)
y
es á icas
(ausencia
de
acc
i
ones).
*A
j
us a
l
as
zonas
de
adhesión
y d
es
l
izamien o
o z
ando
la
compa !DilidOO
ae
la
di ección
de
Jos
di e en es
ec o
es
ensión
en
los
naoos
ae
la
zona
de
con ac o
.
*
Mejo a
la
solución
conside ando
más
g aoos
de
libe oo
en
los
espec i os
en o nos
de
i
os
nooos
ex emos
de
la
solución
oo enlda,
h
as a
encon a
unos
alo es,
que
en endamos
su icien es,
de
las
ensiones
mínimas.
Co
n
el
ME.C.,
se
ouece
ac ua
e icien emen e
combina
ndo
posibles
ace camien os
a
la
solución
en
los
sen idos
de
a ance
y
e oceso.
Así,
po
e¡
emp
lo
pcxiemos
encon a
oDca
en
la
p ime a
e apa
aumen ando
el
ama~o
oo
l
as
zonas
p e i
amen e
ob enida
s (
ncompa ibllidades
cinemá icas).
Con
es a
es a egia
se
ha
n
encon ado
siemp e
soluciones
inic al
es
compa ibles
y
ello
en
un
núme o
educioo
de
p uebas.
Pu
ede
se
apl
i
cada
a
cualquie
combinació
n
oo
geome ía
y
ca gas
que
o o oque
s1 uac10nes
cuali a
i
amen e
equi alen
es
a la
que
se
p oouce
en
el
p obl
ema
aqui
analizado,
Pa
ís y
Ga
1do
11
0/.
El
p oblema
conc e o
analizado
pued
e
aplica
se
a
muchas
-si uaciones
usuales
en
la I
ngenie
ía
siendo
la
más
común
la
de
cimen eciones
lexibles.
en
l
as
que
puede
p oduci se
el
despegue
y
ansmi
i
se
la
ca ga
al
e eno
en
zonas
educ
idas
con
e
spec
o a la
zona
o ig nal.
En
a
l
es
casos,
el
sólido
A
ep esen a
ía !a
zapa a
y
el
8
e!
e eno,
o oouc
i
enoose,
po
ejemplo,
alo
es
de
a
muy
p óximos
a -
cuanoo
es e
sea
a cilloso.
.
REFERENCIAS
:
111
Ga ioo,
JA
"El
P ob
l
ema
oo
con ac o
en
Elas icidOO
median e
Ecuaciones
In eg ales"
Tesis
Doc o
al
Un
i e s
idOO
Poli écnica
de
las
Pa
lmas
, 1
986
1
21
Kee ,
L.,
Dundu
s, J. y
Tsai
, K.
"P oblem
s
ln ol ing a
Receding
con ac
be ween
a
la e
and
a
hai
Space"Jou nal
o
Applied
Mecnamcs,
op
1
11
5-
1
120,
Decembe
1972.
131
Tsal,
K.
Dundu s
, J y
Kee
,
L.
"Eles ic
!aye
P essed
Agains
a
Hal
Soace"
Jou
nal
o
Applied
Mechanics,
pp
703-707,
Sep embe
-1974.
/4/
Solecki,
R.
"l
n-Plane
lden
a on
and
Seoa a lon
o
a
Fla
Space"
Jou nal
o
Aopl1ed
Mechan1cs,
pp
785-789,
Decembe
1.
986
.
/5/
Mahmoud,
FJ.,
5aiamon,
N.J.,
Ma ks,
N.
R.,
"A ái ec
au oma ed
o oeedu e
o
ic 1onless
con ac
p oolems"
!n .
J.
o
Num.
Me .
in
Eng.,
Vol.
18,
pp
245-257, 1982.
/6/
Gladwell,
G.
"Co
n ac
P oblems
in
h
e
Clasical
iheo y
o
Elas ici y"
SiJ hO
end
Noo dho ,
1.
980.
171
Johnson,
K.
"Con ac
Mechan
l
es"
.
Cam
b 1á}:l
Unl e sl y
P ess"
, l.
985
.
181
Pa is
y
Ga
ido.
"O
n
he
use
o
Discon 1nous
Elemen s
in
wo
Dimens
io
nal
Con ac
P oblems"
.
8ounda y
E
le
men s
VIl.
Sp lnge - e li}J ,pp 13-
30,
13-39,1.985.
191
Pa ís
y
Ga
i
do
.
"Aspec os
Numé
i
cos
de
la
Aplicoción
del
M.
E.C.,
a
P oblemas
de
Con ac o".
Re is a
In e nacional
de
Mé odos
Numé icos
pa a
Cálculo
y
Diseño
de
1
ngenle ía,
Vol2, l,pp43-62,1.986.
/1
O/
Pa ís
y
Ga ioo.
"F ic ion
Mu
l lcon
ac
P ob
l
ems
wi h
8
E.M
."
.
Bounda y
El
emen s
X,
Vol
3.
Sp inge
Ve
ii}J,
pp
305-319, 1.
988.