Sobre problemas de contacto con retroceso usando el método de los elementos de contorno

114 Vil CONGRESO NACIONAL DB INGBNIERIA MECANICA Año Vl Vol. m Garrido, J.A.*, Calvo, F.* y Parí s, F.** * Escuela de I ng en ie r os Industriales de Valladolid **Escue la de Ingenieros Indu str iales de Sev ill a RESUMEN: Se propone un a estrateg ia para d eter m1n ar un a s itu ación com pat ible inicial que permita comenzar el anál i sis de p rob l emas donde la zona de contacto di sm 1nuye al actuar la car ga , pero no depende de la cantidad de carga ap !1 cada. Se analiza el c aso de compresión de una pl aca delgada sobre un a cimentac i ón estudiando con d eta lle para este c aso, la i nfluencia que en los resuitcdos ti ene n l as constan t es elástic as relarivas de amb os sol i dos, .:si como la presenc1a de frjcc:ón en la zor.a ce contacto . 1.- INTROOUCCION Ex i sten en la In genier ía Civil y Mecá n ica un g ran núm er o de caso en l es q ue a 1 actuar una so 1 icitació n se oro:tuce Jm eracc i ón entre sóli dos a t ra vés de su co n to r no ~eran00se en e ll os un estooo tens1onal. La i nteracción se produce a través de un a zona de ~tacto Y en func ión de cómo ésta avolucio ne con la carga y Oln respecto a la situ ac ió n i nicial , se dan va ri os cases . El COntacto co n form e es ~uél en qu e las c ur v aturas de ~bos SóliOOs en la zona de co ntac to coinciden y el tama no de a ZOn a de contacto no var ia con la ca rga . Contact cases where the final contact zone is J ess th an the initial contact zone are called reca:Jing contact. A procedure to deal with such ceses is proposed . An especial attent i on is dedicated to cases when th e contact zone c hanges after th e app lic ation of th e l oad , but do n ot chan~ with the amount of l oad . The compression of a plate on a square region is st udied , hav i ng into consideration the influence th at the el astic constan!s of both booies and th e presence oí friction have on the r es u lts En el contacto con avance l as cu rva tu ras son dife rentes y al aplicar la carga la zona re contacto aumenta. En general, cuanoo la zona final de contacto es menor que la inicial, se dice que es un problema con retroceso . Sit uac i ones de contacto i nicia l mente conforme oom iten esta ev o lu ci ón. Sobre esta s1tuación de co ntacto con retr oc eso caben aún oos posfbflid0035 , según que la zona de contacto cambie progresivamente con el aumento de la solicitación o que camb ie bruscamente con la aplicación de la carga, por p eQueña que sea. y lu et}) no se medifi que cuanoo la carga aumenta de m ódulo . La primera de estas 005 situaciones, desde un pu n to de v1sta numénco, no se di ferenc1a naoa de la sltuac i ón de avance . Adm1ten una formulac i ón 1ncremental que aunque pu ede ser costosa computac10nalmente, no presenta dlficultades de d ef inición del procect1m1ento a segu 1r , GarridO/ 11 . La segunda situación, ti ene la aiflcultad de que no es posible aplicar desde el pr i ncipiO un procedimiento 1ncreme ntal, ya qu e no se conoce una situacion 1n1c1al compatible soore \a qu e apl1carlo . La ootención de dicha s1tuación inicial de un a manera fiable y eficiente es ob¡e to fundamental de este traba¡ o. Tal como queda def1moo el prob l ema , un a vez encontrada dicha situación tOda la carga puede ser ap l1 cada en un único ircr emen to pa ra obtener la configurac i ón final de te nsiones y deSP lazam 1entos . Para abordar esta clase de problemas, no s centramos en la s1tuación más usual : C ompres1ón de una ca rga de lgada sobre una cimentación . s1 endo ge ner a lizables las conclusiones a ot ras sltuac1ones que cumplan las premisas generales enumeradaS . Existen algunas publ i cac i ones , Keer, Dundurs y Tsa1 121, Tsa1 , Dundurs y K eer / 3 /, Solech1 /4/ , sobre soluc10nes anal í ticas 1 je esta cl ase de prob l emas , pero en todos los casos se ref1eren a c1om1 m os mflmtos y situaciones s1n fr1cción . Desde e\ ountu ae vi sta numér 1 co, Mahmoud , S alamon and Marl<.s 1 5/, estue11ar on el pr obl ema de una v1ga s obre c1mentac1ón elást 1 ca. ~or med io del .m étodo de l os El ementos Fm i tcs, dando el va l or de ia zona final de contacto . En el apartado 2 se aef1ne el p roo l ema soore el que se va a traba¡ar, establec1endo las cond1c10 n es que deb e cumplir la s oluc 1 ón . En el apartaoo 3 se s umanza el Métcó:l de los El ementos de C ontorno, ut 1\l zooo ~ara el Anális is. En el apartado 4 se establece la est:-ateg ia para al canzar la situació n ln1Cial!XImpatlb1e . En el Apartado 5 se aplica dicha estrategia pa ra el anál1sis ae un pro bl ema concreto. 2. -COHSIDERACIOHES GENERALES S OBRE El PROBLEMA A ANALIZAR. A fin de explicar, de un medo sencillo, aquellos aspectos que caracter i z"n el problema de contacto con retroceso . nos apoyaremos en el caso plano simp le representOO:l en la fi gura 1. Si los com i mos oA y oB, que inic l almente están en contacto a través de la interfase natural común aD 0c son compr1mioos por la acc ión de la fuer za P, es conocioo el hecho de qu e el proceso de deformación elástica, en esta estructura, conducirá al despegue parcial de sus el emen t os Este efecto es espec1al m ente 1ntu1t1VO para pequeños valores de h y en co n tacto entre mat er i ales de característi cas elásticas s1mi la res . o· y o o' e p T ....;---8 - ~ Fig. 1. Definición del pr obl ema Sea ll el coeficiente de rozam1ento entre amoas superficies (admitiremos por simplicidad la l ey local elástica) y oDc la zona final de contacto (cuyo tamaño y ubicacló n exacta desconocemos). Es un h echO bi en conocioo que el tam año de oDc depende de las características (elásticas y 930métricasl de los cuerpos que conforman la estructura de co n tac to, del punto de aplicac1ón de P y de su dirección , pero no C€ su módulo (ver, por ejemplo, las referencias /2/ , 131' / 4/' /6/ y 17 /). La inde pendenc ia de oDc respecto del módulo de P, plantea un serio inco nven iente para su determ i nación mediante cu alqu ie r prc:cOOímiento numénco, da<Xl que no es pos ib le utilizar un ~uema de resoluc1ón basa:Xl en una f ormulación integ ral (de oominio o contorno ) en términos oo in cre mentos, que puedan valo rarse establecienoo condic i ones l ímites en los valores de P. Es, oor tanto, necesa r io abordar el problema mediante cualquier pr ocedim i ento autocorrectivo q ue posib1lite establecer con efic};;ia, la ub1cacién de la zona de contacto que permanece t ras el retroceso 1nicial al aplicar la carga. Hacemos notar que las implic ac iones de la s1luación planteada sobre c ualquier esquem a oo resolución numér1ca de problemas oo contacto, están relacionadas con la definición de las condiciones re conto rno in icia les . 116 Antes de pasar a escribir, en los oos apartaOOS qu e siguen, el métc:OO de anál i sis ( M.E C.) y fundamentalmente la estrategia oo resolución qu e proponemos , expondremos a continuació n aquellas relaciones, que necesariamente han de ver 1 fica rse, entre las variables pr i mar i as en un pl anteamiento de contorno (tensiones y deSplazamientos) aue supuestamente formar í an pa rte de la so\uc1ón correc t a. Si t1 y ui representan a \as respec ti vas co mponentes (j= 1 ,2) de la t ensión Y el desplazamiento de puntos del contorne podemos con ref . 1 . . , . . , erencla a a flgura ! , escr ibir las Slgulentes rel aciones i nclu i das en la solución . Tensiones a nivel ge o unto 1 t 1 ~ ( X) 1 l 1 t2k( X) 1 /ll t1k( y) = tl(y) =O ( J. a) ( 1 b) ( 1 e) do Me x e Y representan pu ntos del contorno del cuerpo k ( k=A,~) incluidos en oDc Y oDoc_ oDc respectJVamente. La ecuacwn ( l.b )recoge la iey iocal de rozamiento. En ella, el slgn.,o Igual mdl cara que a traves del punt o x ( per de puntos maLr ~ ales de uno u otro cuerpo que ocupan la misma pos1e1on) se pueae orod · . uelr des l lzamlento entre ambos contornos Po r el contrario Sl la igualdad en ( l. b) no se ver l flca , ambas superficies estarán adher í "~ en x E l . uo;, . n o que sigue, eonsice raremos este doble t . . . . compor am 1e nto, exp ll Citamente , I ntroduciendo la part¡c·ón oD = D D ,, e ca u o cd, en la que el segundo subíndice denota adhesión Y des il zamiento respectivamente. A ni vel de to® l ~ ?o oa ® é ontacto la solución de t ens ion es d ebe rá de ser tal aue : ... ( 1. d) f t2 k(x) ds=J t?k (: l )d s+ J (+' tk()d oDc .)0 -!'\ -i 1 X S = 0 ca o ucd ( l.e) El s igno ( t) en la ecuac i ón de equ ili br io t angencial se Incluye para ca t · ' . . rae en zar cua l qu¡er posib le s entido de 1 tenslon l oca l de . . a . . . rozamiento, I ndependientemente de 10 restr1cc1on ( 1 a) · ~olazam1ent0$.. Proo Sea g( Z) una func i ón oue recoge la sepa rac ión que se P uce entre puntos ( z) Inicialmente en contacto , al aolicar g( zl = g ( u Ar p) B( · CO . . j , z, · uj z,P) l. Establecemos las nd1c1ones a . . q ue esta su¡eta la solución de desplazam . t a traves de 1 en os, g( z). A si para puntos x e oDc, e y e oDc o_ oDc ( 2. a) ( 2.b) g( x) =O g( y) > o Anaim.. "".i"mente si v( ) Cropor 1 z representa u na func i ón que e ona el desliz ; am , ento que se produca entra pa r es de puntos (2) v(z)=v(uj A'Uj 8 l. la solución deberá v er iíi car que: v( z) =O sizcoDca ( 2.c i y k v(z)t2 (z)~ O sizcoDcd ( 2d) La restricción ( 2.d) recOQe el carecter d!sloat!vo del trabciO de rozamiento. . Recalcamos aue con la s ecuaciones ( 1) Y las ( 2) no se QUJ ere representar una relac ión de condiciones de contorn nlde . o ecuaciones básicas del mOOelo matema'tico si 1 • , son . mp em~nte un conjunto de restricciones Y relaciOnes au e sabemos cebe de verlf1car la solución del problema. En este co ntexto, tan solo la ( l.d) y (le) r~n relocion equ1llbrlo global. es de 3.- AlGUNAS REFERENCIAS Al ANALISIS MHODO DE Aunoue el obj et ivo de este trabajo es proooner una estrategia a seQUJr para definir correctamente las condiciones de conto rno Iniciales en problemas en los q ue el primer sistema de cargas que ectuan Implica una situació n de contacto de :et r~ entre sólidos, trata remos brevemente, en ori me r l ugar, algunos aspectos so bre el métcóJ oo analls1s ( M.E .C.) que vamos a aplicar. Co ncretamente, se actúa establecienoo el sistema lineal qu e resultaría al plantear la compatibilidad cinemática Y el equilibrio estático de les ncms ubicaoos en los elementos de conto r no que OOscriben el comportamiento de las zonas de co~tacto ( 30 c· oDcd, 3D ca) que suponemos soluc 1 ón con dichO metcm aproximaoo . Una descripción exhaustiva sobre los aspectos específicos de la apllcoc:ión del M E e bl de t · . . a pro amas con acto pueOOn encontrarse en Ga rr i oo /1/ P . Ga .,.,.. 18 , ar1s y rr ~w 1, París y Garrioo /9/ . En general, Y volvienoo a las no lineal idOOes propias del problema (conocidas oO 30 Y ao ) se puede 11 . ' Cl.l cd • egar a un Slst~ma lin eal co mo el represantOO:J por la ecuación ( 3.c), part.enoo de sistemas como el ( 3. a) Y ( 3 b) de . . . . · , que scr1ben el estado elastlco aproximado del conto r no de e"" ~ e (A 8) · . ouo uerpo , , lmpomenoo, además oo l as condiciones de t . 1 con orno propias de modelo, aquellas otras específicas c-e las zonas ce contac:o. La solución de ( 3 e) ooberé de satisfacer las cond1c1ones Implícitas 00 l as ecuaciones ( 1) Y ( 2). rff=rfy_a (3. a) !:!.8 y_B = Q.B y_B ( 3. b) (3 . c) Los si stemas ( 3 a) y ( 3.b ) ti enen. en el caso !Jl dimens 1o nal, orden 2tf. y 2NB re spectivamente, representanoo tf. y NB l os n odOs utilizados en lo s con to rnos de c ada cuerpo para ll evar a cabo la aprox i moc 1 ón m atemática con el M .E .C.. Los vectores Y. k. lk (k =A,B ) contienen las componentes del desp l azamiento y la tensión en los noOOs. El sistema final que resulta del acoplam i ento( 3.c) es de orden 2( tf.+NB ). Su matriz de coeficien t es K y el vector de carga dei sistema E. se const ru ye n a part1r de l:ik y 0_k al i mponer l as condic i ones de contorno prescritas y aquellas que son gspecificas del contacto El vecto r ;i in cluirá l as 2( tf.+ NB) variables que entre de splazam i en tos y t ens i ones se desconocen. p ara definir completamente el estaoo el ást ico aproximaoo del conto rno de c ada cuerpo. 4.- ESTRATEGIA PARA LA DETERMINACION EFICIENTE DE LAS ZONAS DE CONTACTO EN PROBLEMAS CON RETROCESO . La soluc1ón ce cualqui er proo l ema ce contac to con r etroceso pasa por e stab l ecer el sistema ( 3.c) que se der i va de la definición co rrecta de 3Dc( oDca y oDcd). Para llegar a loc al iz ar las zo nas de c ontacto es preciso . tal y como h emos expl1c ado , di señar un p roced imiento de aprox1mac1ones suc es iv as. que s er á más eficaz en la medida en que se cons 1 ge reducir el número de veces qu e ha de se r res uelto el sistema ( 3. c) . La estrategia que , a tal efecto , pr opo nemos . tiene sie mpre garantizada la convergencia y en sintes1s co nsta de los sigu1 entes pasos . G- Determmación de oDc para el prime r ensayo (3Dc( 1 )] Un a bu~na defin ición de oDc ( l) pu ede ser estimada hacie ndo uso de la co noc i aa relactón de Kee r. Dund urs y Tsai (r eferencias 121 y 131) qu e proporc iona p ara un mooelo simple y en ausencia de fricc1ón. el tamañ o de la zona de contacto en función de un parametro de ajuste (a ) que depende exclusiva mente ce l as característ ica s elásticas de los mat eriales en contacto. Conc ret am en te, si a es la semi l ongitud de cont ac to. hes el cant o del elemento C€l g00:J y Glc y vk los moou los oo rigidez y de Po isson respec tiv amen te del cu erpo K (K= A,B ), potJem os ut il izar : a /h = f( a) ( 4. 1 ) : sienoo a: Es te val or ée a puede adop t arse como semilongitud de contac to pera la prueba inici al, tcmada a un o y otro l ado del punto de oDco que en la configuración in defor m ada. est á i ncluido en la lin ea de acción de P Alternativamente puede definirse un tamaño de o De< 1) partienoo de la soluc 1 ón que aporta la t eor ía de flexión de placas. No obstante, conviene aooptar val ores inici ales de oDc ( 1) algo m ayores que Jos qu e se obtienen con estas t eor í as y ello deb i do a dos h echos concretos : que la zona de contacto es ligeramente mayor en presencia de fricción y que Generalmente se produce una convergencia más iápida cuanoo se toma una zona imc1al de co ntocto por exceso. Parece, por tanto. lógi co proponer 3Dc( 1) = 3Dca< 1) y cons i derar que inicialmente no existe zona de des! izam iento cuanoo ¡¡ ,. O. En el caso de contacto sin fricci ón el ú nico prob l ema que se plantea es encontrar el t amaño de oD 0, puesto q ue en cu alquier ensayo i oDc(i); 3Dcd(i), pudienOOse, por lo demás, aplicar el esquema qu e sigue teniendo presente esta circunstancia. G- Anál isi s de \a solución del ensayo Partimos de unos resultal:JS obtenioos de ( 3.c) sobre una zona o0 0( 1 ) • 3D ca( 1 ) , 9Sro'Jida por exceso (o bsérvese que co n In dependencia de l as recomendociones ant~r i or es si empre pu ede tom arse oD c( 1) • 30ca( 1) • oDc 0 l. La solución se considera admisible, en primera insta ncia s1 se v er ifi can las relaciones ( 1 a) . ( 1 e). ( 2.al. ( 2.b) y ( 2.c) o lo qu e es lo mi smo si no se producen int erpenetracio nes entre los 00s oom1mos y l as t ens10nes de contacto son todas de compresión . Hótese que al considerar oO¡;aoDca no se tiene n en consideración en este p rimer nivel, posibles lnco mpat ibili daOOs en la di recc ió n eel vector tensión en puntos de la zona de contacto ( ecuoción l .b). Si la solución que se ha obtenioo presenta tracciones en 30 0, será preciso proceder a un nuevo ensayo consideraná> q ue ta les n(X))S no per t enecen e la zona de contacto. Por el con trari o. si se ha part i oo de u na zona de co ntacto po r defecto. la soluc ión incl u irá i ncompatib i lidOOeS cj nemat i cas (n o se veri fica rá la ecuac i ón 2.b) por in ter penetración entre ambos oominios, por lo que en un nuevo ensayo hab rá qu e i ncluir esos puntos en la zona de con tacto. No o bs t an te conviene resalta r que tomanoo oDc< l ) ;;; a Oca ( 1) • oDc 0, se llega siempre f ácilmente a una solució n compatible a efectos de tamaM de la zona de contacto. co ns 1 deranoo ~ v ez zonas más o eauellas en func ió n de los pares de ncóJS que resulten tracc ionaoos. E sta opción solo es necesa r ia cua noo no sea posible hoce r estimaciones in icia les. a pa rtir de casos más simples . cor,ocldo el tamai1o aproximado ae 3Dc, se procede a la partlc l on de oDca Y 30cd ch equeando en cada par de puntos en contacto la d~recclón del v ec to r tensión (ecu ac ió n l.b ). Este proc eso es rap i do Y genera lm ente no afecta al val or de 30 o btemdo en el paso preceó3nte. e 0- Mejora de la solución lógi camente. la solución numér~ca ron el M E e P Od . . . . no pu~ r UClr tensiones nulas en l os pares de t . pun os de contacto s1tu ados en los extremos de aD 1 . e• o que s1 empre ocurre si se produ ce el retroceso. Así. co n referenc ia a la fi gura 2, que r ecoge esquemat J camente la Situación alcanzada con el pro cesodescrlto ,v amosaobtener t¡(i) =O y t1(j)=O Fig 2· Es quema de la configuración fina l La solució n pue de mejo rarse consi deranoo nuevos elemento s de contorno comprendidos en tre : ( i e i-1 ) Y ( j Y J + 1 ) . cons iderando los nuevo s pa res "n -D E t esr , . ~ e cd· s a etapa a, por , anta, solo su¡ eta a ia pnmera f ase anter io r. es declr e llmmar de la solución aquel ios pa res que result~n tracc10nados E st . e esquema puede rep et irse h asta alcanzar untos v~ lores mí ni mos de las te nslOnes p rev ia mente es ab lec1cos. S- . . APLICACION: COMPORTAMIENTO DE LAS ~ARI ABLE S DE DISERO EN UN PROBLEMA TIPO DE ON TACT O CON RETROCESO Sobre la Fig 1 · so l . . . · . 1m pondremos po r simplicldOO qu e la 1Cltac10n con cent ada P . delgax, . . r se a plica en el punto del elem en to ~t (domlmo oA) q ue pertenece al eje de simetrí a de la ·~ r uctura As· · . const . 1 m ismo, conslderaremos qu e el canto (h) es ante a lo l ar~ de la long ¡tud . Con referen c ia a ia Fi característica del g 1 . las dimensiones 8==2 s mOdelo so n: h=lO(L), H=205(L), OO(L) , 30 o/2=160(L) L han . . e . os contornos de cada cuerpo Slcb d1screti zaíls QUe se h . con elementos no confo rm es so bre los a cons!OOrOCIJ una evolució n 1 i neal de tensiones Y desplazamien t os, r ef. ¡¡ 1, 181. ;g;. La c arga P se ha m"""! . uv: 003 con un a a!strlbucJón tna~gular simétrica sobre dos e lem en tos b ""'~ s1metr i t . . . u IC GwS camen e, de dlmenslon lo suficientemente pequeña co~o para ev l tar posibles influ encias sobre lo s t amaños ~lmm_os de la zona ae contacto que se ha n deducioo (la ' elaclOn entre la lo ngit ud de apl ic ación de la carga Y la zona de contac to en el caso mayor es del orden de 1 a 1 S ). Por 2er un problema internamente i sostát i co la s soluciones de t ensión que se presentan. no dependen e~ l as constantes elásticas de COOa cuerpo, aunque sí son func l ón ce l as zonas de contacto qua se prooucen. Ello I mplica un a dependencia tan solo i náirecta. a través del coef icie nt e a (ecuoclOnes 4.1 Y 4.2), puesto que a es un p arémetro caracterís ti co del conjunto oo la estructura. Los resulte005 relativos a separoc i ones entre l os cuerpos han si oo obt enioos, para cada valor de a. conslderanoo un módulo de Young unidOO para oA si a> O ( EA= E = 1 F /L 2) y ( EB = E = 1 ( F /L 2) si a < O. Se ha t omaoo s1 empre 'V A= v8 En la fi g. 3 se representan l as distribuciones de tens ió n nor ma l de co ntac to sin fri cción para el caso de m ate . 1 idénti cos ( - . r1a es a -0), asl como p ara oos va lores extremos(a=0.964ya=-o 923 ) Lost _ . o bt . · · amenos de 1 as zonas . emdas ( a/h) Y sus correspondientes di stri buc ion es se a¡ustan excelen tem ente a los resultems la ~ que se presentan en re.erenc · 2 · · la 'SI bl en aquellos correspon ...... n a ...... m . . "" y.; 1r.1o s no acot<ms Y en ausencia de fr i cción . F ig. 3. Te nsi on es no rm al es en aO e La influ enc ia 001 rozamiento so bre el tam año de la zon a ~ ~ntacto es más re le vante para va l ores negativos cel pa r am etro a ( EB < EA) Fig ura 4 En 1 1 . · · o que a as zonas ae adheslOn se refiere (tensiones tan(J:nciales de contact ) observa que para obte ner una su perf icie adher ida de t:m·a: aprec 1 ao le son necesa r 10s valores altos del coef i ciente ce fr1cc:ón entre amoas superf1c1es, Fig. 5 w ,_ . z ~ u G:' w •• o V a..,. Ol•t.l ,. .. '' • ' \J ZONA DE CONTACTO a In F1g. 4. Tamai'\o de la zona de contacto . ~ :·c.[\"' .. \ ~ ~ ; ~ ' ., o.• 1 -:J : )(~ ' l -- t z 1 1 UJ 1 ,_ 1 o. ...... F1g. 5. Tens1ones normal es y tangen c 1ales en oDc. ,, En la Fi g. 6 se muestra la variación de !e tensión m áxima de co n tacto con a, cuanoo el contacto se realiza si n fri cc i ón. En Jo que a l as maqnituees cinemáticas se refiere, se represent a en la figura 7 la variación ae la separación máxima con a, y en la figura 8 las separaciones relativ as que, a Jo lar9) ae toda la long itud, se prooucen entre los puntos in cluidos en las zonas que suf:en r etroceso, para algunos valores concretos de a. Hay que hacer notar qua estos resultaoos de desplazamiento 120 son utlles umcamente para los va lores ce l as constantes elásticas utilizadas en la soluc1ón ce! proD ! ema Y no para cualquier comDinación que proouzca el mismo valor ae a. u • 1 • ... • ... .u ... , "' " ~· ... Ftg. 6. var1ac1ón de la tensión normal con a. Es razonable que l as mínimas seoarac10nes máximas ( tendienco a cero) se proouzcan para valores de a tendienco a - 1, ccnoo el sólido A es muy rigioo y el sólido 8 es muy fl exible, ooaptandose a la configuración ool A. F i g. 7. Separaciones máximas an la zona de 005pegue. Fig. 8. Separac i ones en la zona oo despegue . 6.- CONCLUSIONES. Se ha oropuesto una li nea ae actuación para resolver, con el M.E.C., problemas de contacto con fricción entre sólidos que presentan retroceso Inici al , que en sintesls consta de tres f ases : * Encontrar un tamaño de zona ce contacto completamente adherida que forme parte de una soluc i ón exenta de 1n compat1D111dedes cinemátlcas ( l nterpenetraciones entre contornos) y estáticas (ausencia de tr acc i ones). *A j ustar l as zonas de adhesión y d es l izamiento forz ando la compat!DilidOO ae la dirección de Jos diferentes vecto res t ensión en los naoos ae la zona de contacto . * Mejorar la solución considerando más graoos de libertoo en los respectivos entornos de i os nooos extremos de la solución ootenlda, h asta encontrar unos valores, que entendamos suficientes, de las tensiones mínimas. Co n el ME.C., se ouece actuar eficientemente combina ndo posibles acercamientos a la solución en los sentidos de avance y retroceso. Así, por e¡ emp lo pcxiemos encontrar oDca en la primera etapa aumentando el tama~o oo l as zonas previ amente obtenida s ( r ncompatibllidades cinemáticas). Con esta estrategia se ha n encontrado siempre soluciones inicral es compatibles y ello en un número reducioo de pruebas. Pu ede ser apl i cada a cualquier combinació n oo geometría y cargas que orovoque s1tuac10nes cualita t iv amente equivalen tes a la que se proouce en el probl ema aqui analizado, Par ís y Ga rr 1do 11 0/. El problema concreto analizado pued e aplica rse a muchas -situaciones usuales en la I ngenier ía siendo la más común la de cimenteciones flexibles. en l as que puede producirse el despegue y transmit i rse la carga al terreno en zonas reduc idas con re spect o a la zona origrnal. En ta l es casos, el sólido A representar ía !a zapata y el 8 e! t erreno, oroouc i enoose, por ejemplo, valo res de a muy próximos a - t cuanoo este sea arcilloso. . 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