Imagen de po ada: Plasma, de Ca la Isabel Ribei o.
Equipo Amazings
Ja ie Peláez
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An onio Ma ínez
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Miguel A ime
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José Cues a
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Diseño g áfi co y edi o ial
Alejand o Polanco
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#2 e ano 2012
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inT oducción
Cuando uno e un núme o, au omá ica-
men e piensa en Ma emá icas. Se pod ía
deci que son el al abe o de es a ciencia. Sin
emba go, cuando uno se aden a en su cono-
cimien o le p oduce algo de espe o. En es e
a ículo p e endemos despoja los de ese emo
que suelen in undi y p esen a los al y como
su gie on. Pa a ello, amos a e su cons uc-
ción y a con empla la e dade a his o ia de
los núme os, de la o ma más c onológica po-
sible. ¿Es áis p epa ados pa a conoce (una
pa e) de la e dad?
¿Qué es un núme o?
Comencemos po el p incipio, que pa a algo
amos a con a . ¿Qué es un núme o? Se a a
de una p egun a muy simple… pe o cuya es-
pues a no pa ece se lo.
Los núme os son esos símbolos que u iliza-
mos pa a con a , pod íamos pensa . Es a de-
i nición, quizás la más in ui i a (la que da ía
cualquie niño), puede sa is ace a muchos,
pe o si lo pensamos bien, sólo con empla a los
núme os na u ales (1, 2, 3,…) ¿Qué pasa con
los nega i os? ¿Y con el 0? ¿Qué ocu e con las
acciones? Hay que amplia es e concep o.
Según la Real Academia Española, en su
p ime a acepción (la co espondien e a ma-
emá icas), un núme o es la exp esión de una
can idad con elación a su unidad. Es a de i nición
puede esul a bas an e sa is ac o ia. Nues a
in uición puede que nos deje anquilos: ya e-
nemos la espues a. Pe o si uno busca la de i -
nición de can idad, la sex a acepción (de nue o,
la ma emá ica) nos dice que se a a del núme o
que esul a de una medida u ope ación. Vaya, una
de i nición ci cula : un núme o es una can idad,
y una can idad es un núme o. Bueno, no nos
pongamos quisquillosos. Todo iene a eglo.
La ida sec e a
de los núme os
sob e la consT ucción Y la
e dade a hisTo ia de los
di e enTes Tipos de núme os
José An onio P ado Bassas
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Pa a cen a ideas, podemos pensa que un
núme o es la ep esen ación ma emá ica de una
cie a magni ud (longi ud, á ea, olumen…),
y en cie o modo es a de inición sí apa ece en
el Dicciona io de la Real Academia Española
(p ime a acepción de can idad: po ción de una
magni ud). Pe o si la acep amos, ¿qué signi ica
una longi ud o un á ea nega i a? Pa ece que
algo sigue allando.
Tene una de inición conc e a y exac a de
lo que es un núme o pa ece, pues, una a dua
a ea. Lo es. Euclides, Leibniz, Kan … son es
ejemplos de pensado es que a a on de da
una espues a. Según el Nobel de Li e a u a
Be and Russell, la espues a no llega has a
que F ege la p opo ciona en sus Fundamen os
de la A i mé ica (1884). Pe o es a de inición es
poco manejable. Un núme o es cualquie cosa que
es el núme o-de-clase de alguna clase, donde un
núme o-de-clase es la clase de odas aquellas clases
que son semejan es a ellas.
De la necesidad de con a , a la iloso ía, pa-
sando po la geome ía. El concep o de núme-
o esul a algo esqui o. Vamos a con o ma nos
con i cons uyendo nues os núme os de una
o ma consis en e y luego e emos cómo an
su giendo his ó icamen e.
la consT ucción de los núme os
Pa a cons ui nues o edi icio, debemos pa i
de lo más básico. Y en nues o caso se a a de
los núme os na u ales. Dijo Leopold K onec-
ke que Dios in en ó los na u ales, el es o es cosa
del homb e. Posiblemen e, K onecke u ie a en
men e lo que amos a e a con inuación.
Nues a cons ucción pa e de los núme os
na u ales (que se deno an po N), es deci , 1, 2,
3, 4,… Es os núme os su gen de la necesidad
que iene el homb e de con a (de ahí la ausen-
cia del 0). Sin emba go, a la ho a de cons ui
un edi icio consis en e, con iene inclui el 0 en
es e conjun o.
Va ios han sido los ma emá icos que han in-
en ado undamen a el concep o de núme o
na u al. En pa icula , des acamos a Can o ,
quien se basó en su Teo ía de Conjun os pa a
de ini los na u ales a pa i del conjun o a-
cío; y a Peano, quien desa olló una de inición
axiomá ica de los na u ales, pa iendo de la
exis encia de un p ime elemen o (el ce o, po
ejemplo) y es ableciendo una se ie de eglas de
suceso es.
Los núme os na u ales los podemos suma
y el esul ado es o o núme o na u al (más
g ande, ob iamen e). Podemos deci que la
suma es una ope ación que se compo a bien
con los núme os na u ales. El siguien e paso
consis e en es a . Si a un núme o na u al le
es amos o o más pequeño ol emos a ob e-
ne un núme o na u al. Pe o si le es amos o o
más g ande, el esul ado ya no es un na u al:
ob enemos un núme o nega i o. En es e caso,
decimos que la es a no es una ope ación in e na
en el conjun o de los na u ales.
La solución a es e p oblema es in en a un
nue o conjun o numé ico, los núme os en e-
os (que ep esen a emos po Z). Es e nue o
conjun o con iene a odos los na u ales y odos
los núme os nega i os. Aho a sí que podemos
hace es as de odo ipo en e los núme os en-
e os con la segu idad de que el esul ado se-
gui á es ando en Z. En es e conjun o, la es a sí
es una ope ación in e na.
Pe ec o, los núme os en e os los podemos
suma y es a . Incluso los podemos mul ipli-
ca , si a endemos a la egla de los signos. Pe o,
¿qué ocu e si que emos epa i cosas? O di-
cho de o o modo, ¿qué pasa con la di isión?
En Z hay muchas di isiones cuyo esul ado
son de nue o en e os, po ejemplo 4/2=2, 6/
(-3)= -2 ó 27852969751/115327=241513. Pe o
hay muchos o os cocien es, cuyo esul ado se
escapa de nues o conjun o Z y ¿cuál es la so-
lución? C ea un nue o conjun o.
En e ec o, como la di isión no es una ope-
ación in e na en los en e os, su gen los núme-
os acionales y que deno a emos po Q. Es os
núme os son aquéllos que se pueden esc ibi
como cocien e ( acciones) de dos núme os
en e os, con la sal edad de que el 0 no puede
se el di iso (denominado ). De es a o ma, la
di isión se con ie e en una ope ación in e na
en los acionales (excep uando el 0, que siem-
p e se qui a al habla de cocien e pa a e i a
p oblemas).
Con los acionales hemos llegado a una de
las me as p incipales: aho a enemos un con-
jun o de núme os en el que podemos suma ,
La ida sec e a de los núme os
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es a mul iplica y di idi (excep o en e ce o)
sin necesidad de p eocupa nos po si el esul-
ado se sale ue a de nues os lími es. Además,
es as ope aciones se compo an muy bien unas
con o as, an o que el conjun o Q con las ope-
aciones + (suma) y * (p oduc o) adquie e una
es uc u a de cue po. Y es o en ma emá icas
implica que iene buenas p opiedades.
Pe o los acionales, a pesa de odo lo dicho,
no son lo mejo que podemos consegui , ya
que siguen eniendo p oblemas. Quizás el más
impo an e apa ece cuando e ec uamos las di-
isiones. Si p ocedemos po el mé odo que nos
enseñan a odos en el colegio (el de Euclides),
nos damos cuen a de que los decimales que
ob enemos o son i ni os o son pe iódicos. An-
es o después se epi en los mismos decima-
les. ¿Qué ocu e si pienso en un núme o cuyos
decimales es én deso denados? O mejo dicho,
¿qué ocu e si los decimales ca ecen o almen-
e de un pa ón de epe ición de e minado?
Así, el núme o 0,1234567891011121314151617
1819202122… no es un núme o acional, pues
ni es i ni o, ni sus decimales se epi en a pa i
de cie o momen o. Nos hemos salido de los
acionales.
Si hacemos un eje cicio men al y ponemos
a odos los elemen os de Q en línea ec a, nos
pe ca amos de que és a iene aguje os. Aguje-
os muy pequeños, in i ni esimales, pe o agu-
je os. Eso sí, siemp e se emos capaces de en-
con a un acional an ce ca como que amos
de cada aguje o. Y ice e sa, an ce ca como
que amos de un acional, hay un aguje o. Los
ma emá icos decimos que an o los acionales
como los aguje os son densos en la ec a.
El p oblema de los aguje os pone de mani i es-
o que se hace necesa io amplia el conjun o de
los acionales. Y la idea de e mina de llena
la ec a se nos p esen a como la más adecuada.
Aho a disponemos de un nue o conjun o, los
núme os eales R, en el que es án incluidos los
acionales y cualquie decimal in i ni o y sin
pa ón de epe ición de i nido. Es os úl imos
núme os, los i acionales, son p ecisamen e es-
os aguje os que al aban a los acionales pa a
comple a la ec a.
Pe o los eales, a pesa de segui eniendo
buenas p opiedades ( ambién ienen es uc-
u a de cue po), no esuel en odos los p o-
blemas. Ele a un núme o eal al cuad ado
es ácil, bas a mul iplica lo po sí mismo. Sin
emba go, si p e endemos ex ae aíces cua-
d adas, es o no siemp e es posible. Y el allo
su ge con ejemplos muy sencillos: . Es a
simple ope ación no puede esol e se den o
del cue po eal y se hace necesa io amplia
nues o conjun o.
Los núme os complejos, que se deno an
po C, son la suma de un núme o eal y o o
imagina io. Si llamamos i a la unidad ima-
gina ia (i = ), los pod emos esc ibi como
a+bi, donde a y b son núme os eales. Los com-
plejos con ienen a los eales y además ambién
ienen es uc u a de cue po. Po el camino no
hemos enido que paga un p ecio demasiado
al o. Los complejos son un cue po no o dena-
do. Podemos encon a o mas de o dena los
complejos, pe o es os ó denes no pueden se
compa ibles con el p oduc o (más conc e a-
men e, con la egla de los signos).
La llegada de los complejos ae consigo uno
de esos esul ados que debe ían enma ca se
en cualquie clase de ma emá icas: el Teo ema
Fundamen al del Álgeb a. Es e eo ema a i -
ma que cualquie polinomio (una exp esión
del ipo -5x4+3x3-2x+3) con coe i cien es com-
plejos, posee exac amen e an as aíces (solu-
ciones, iguales o no, de la ecuación esul an e
de iguala el polinomio a 0) como g ado enga
el polinomio.
Vamos a de ene nos aquí. La cons ucción
que hemos is o de los di e en es conjun os
numé icos, a eces se cuen a como his o ia.
Quizás desde un pun o de is a didác ico y a
ni eles básicos de enseñanza, pueda esul a
in e esan e con a es a cons ucción de o ma
simpli i cada. Sin emba go, lo que hemos is o
Esquema de los di e en es conjun os de núme os.

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es una abs acción ma emá ica. El esul ado i-
nal de un elabo ado p oceso de pensamien o.
La c onología de la apa ición de los di e en es
ipos de núme os no sigue es a lógica ma emá-
ica. ¿Quie es hace un iaje a a és de los nú-
me os y del iempo?
una hisTo ia c onológica
de los núme os
Ya os he dicho que lo que acabáis de lee no
es la e dade a c onología de la apa ición de
los núme os. Lo que ais a lee a con inuación
ampoco lo se á en un sen ido es ic o. Los di-
e en es concep os numé icos han enido muy
di e sos o ígenes an o en el espacio como en
el iempo. Desde un pun o de is a o mal, se-
ía una his o ia de los núme os bajo la mi ada
de occiden al (de Eu opa, conc e amen e). Y es
que aunque nos sin amos el cen o de la his o-
ia, al menos en ma emá icas (que es de lo que
yo sé, y no demasiado) esul a que hay muchas
cul u as con apo aciones emendamen e im-
po an es y sin las cuales las ma emá icas no
pod ían habe se desa ollado.
Y el homb e c eó los
núme os naTu ales
His ó icamen e, los p ime os núme os de los
que se ienen noción son los na u ales y su -
gen de la necesidad del homb e de con a . Pe o
es os núme os no apa ecen al y como los co-
nocemos aho a, es deci , como odos los miem-
b os de la sucesión 1, 2, 3, 4… sin in. An e las
necesidades p opias del homb e p imi i o, an
sólo los p ime os na u ales son los que e da-
de amen e se hacen necesa ios. Más allá del 7
o el 8, odo se con ie e en un simple muchos.
Hoy en día se pueden encon a ibus ais-
ladas cuyo sis ema de nume ación (o mejo
dicho, su o ma de exp esa e balmen e los
núme os) es bas an e udimen a io. Así, algu-
nos na i os del Es echo de To es (que sepa a
Aus alia de Nue a Guinea) u ilizan el oca-
blo u apun pa a ep esen a la unidad y okosa
pa a ep esen a la pa idad (el dos); cuando
quie en deci es no iene más que suma y
deci okosa-u apun y si lo que les p eocupa son
5 pescados, bas a con deci okosa-okosa-u apun.
Es muy posible que algo simila ocu ie a con
nues os an epasados.
De odas o mas, el hecho de que los hom-
b es p imi i os sólo u ie an pe cepción de
unos pocos núme os na u ales no es nada ex-
año. También nos pasa a odos noso os. Va-
mos a pone a p ueba nues a p opia pe cep-
ción de los núme os.
A con inuación oy a mos a un dibujo di-
idido en dos pa es. En cada una de ellas hay
una can idad de e minada de obje os (manza-
nas, en pa icula ). El obje i o es el siguien e:
sin con a los, es deci , a simple is a, ¿cuán as
manzanas hay en la imagen de la izquie da?
¿Y en la de la de echa?
P ác icamen e a odos los lec o es les hab á
esul ado sencillo e que e an 3 las manzanas de
la imagen de la izquie da, mien as que no c eo
que hayáis sido muchos los que hayáis dicho que
en la imagen de la de echa había 9. Y si lo habéis
dicho, muchos de oso os sois unos men i osos
po habe con ado.
Pues es o mismo ocu ía en la an igüedad. El
hecho de que no seamos capaces de pe cibi i-
sualmen e las can idades hizo necesa io el su gi-
mien o de los núme os: los na u ales. Pod íamos
deci que el dedo es más pode oso que el ojo.
Poco a poco, las necesidades del homb e hicie-
on que se necesi a a algo más elabo ado que los
sis emas okosa-u apun. Es a nue a con abilidad se
lle aba a cabo median e pied as: 1 po cada obje-
o a se con ado. El uso de pied as o calculi en el
con eo, da o igen e imológico a nues o cálculo
ac ual.
La ida sec e a de los núme os
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amazings.es
Y as la con abilidad llega la esc i u a nu-
mé ica. P on o se ap endió que en ez de po-
ne pied as po cada obje o a con a , e a posi-
ble hace señales en algún o o obje o, como
un hueso de animal o u iliza cue das con pie-
d as (p ecu so as del ábaco). Uno de los más
impo an es ejemplos es el Hueso de Ishango
(hueso de babuino con insc ipciones, hallado
en el á ea de Ishango –en e Uganda y Congo-,
da a del paleolí ico supe io y se encuen a
en el Royal Belgian Ins i u e o Na u al Scien-
ces de B uselas). Según algunos expe os, las
insc ipciones an más allá de la me a con a-
bilidad y sugie en el conocimien o de algunas
ope aciones a i mé icas. Pe o epi o, es o úl i-
mo es sólo una hipó esis.
Con es a o ma de lle a la con abilidad es
cla o que se impone i ag upando los símbolos
(o pied as) pa a no acaba con un buen mon-
ón de ellas. Así su gen los sis emas de nume-
ación que combinan el p incipio adi i o (i
sumando símbolos de la unidad) con el mul-
iplica i o, c eando símbolos nue os pa a g u-
pos de 5, 10, 50, 60… unidades. Uno de los más
conocidos es el clásico sis ema de nume ación
omano (aunque con eglas más complicadas
en las que ambién in e iene, en cie o modo,
la posición).
IMAGEN Hueso de Ishango
Y llega on los acionales:
acciones babilónicas Y egipcias
En cuan o las ci ilizaciones a anza on, p on o
su gió la necesidad de exp esa numé icamen-
e pa es de un odo. No pensemos en los ípi-
cos ozos de a a, po que dudo que a o illas
del Nilo hubiese. Pensemos mejo en pa es de
e enos, o cualquie o a cues ión elacionada
con la ag imensu a.
En los pueblos mesopo ámicos, en con-
c e o en la Babilonia de Hammu abi, ya hay
cons ancia del uso de acciones. En algunas
ablillas de la época (es amos hablando de los
años 1800 a 1600 an es de nues a e a) se pue-
de obse a cómo los babilonios disponían de
un sis ema de nume ación posicional en base
60. Tenían un símbolo pa a la unidad y o o
pa a el 10 y median e yux aposición de ellos,
o maban los símbolos pa a los núme os del
1 al 59.
A pa i de aquí, la posición del símbolo in-
dica su alo (cla e del sis ema posicional): en
p ime a posición el símbolo signi ica el núme-
o que ep esen a; en segunda (a la izquie da
de la p ime a), signi ica ese alo mul iplicado
po 60; en e ce a, mul iplicado po 602=3600,
e c… Pe o lo más cu ioso es que, según el
con ex o, podían ene una (o incluso a ias)
posición p e ia a la p ime a, es deci , a la de-
echa de és a, y que ep esen a ía el núme o
mul iplicado po 60-1. Es o es, u ilizaban ac-
ciones con denominado 60 o decimales esc i-
os en base 60. Sin emba go, se les p esen aba
un g a e p oblema: no disponían de coma de-
Ejemplo de ablilla babilonia: Plimp on 322.
Hueso de
Ishango.
amazings.es
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cimal pa a sepa a la pa e en e a de la deci-
mal. Además, du an e casi oda su exis encia
ca ecie on de símbolo pa a el ce o, lo que les
supuso un p oblema añadido, ya que no po-
dían ma ca la ausencia de una posición. Pa a
en ende es o mejo , eamos un ejemplo esc i-
o con nues os núme os (y posiciones) ac ua-
les. El núme o 1-0-59 ep esen a, en base 60,
a 1*3600+0*60+59=3659. Pe o como los babi-
lonios ca ecían del símbolo ce o, lo esc ibi ían
1-59 (a lo más deja ían un hueco mayo en e el
1 y el 59), lo que pod ía con undi se con el nú-
me o 1*60+59=119. El con ex o, en es a cul u a,
e a undamen al pa a di e encia un núme o
de o o. Y lo mismo pod íamos habla de la au-
sencia de la coma decimal. El con ex o dice si
el p ime dígi o de la izquie da es la p ime a
posición o la posición p e ia.
El segundo luga en el que apa ecen las
acciones es en Egip o al ededo del año 1600
an es de nues a e a. El Papi o de Rhind es
p obablemen e uno de los documen os ma e-
má icos esc i os más impo an es de la época.
Los egipcios disponían de un sis ema de nu-
me ación en base 10 (cu iosamen e, el símbolo
pa a 1.000.000 es un homb e a odillado con
los b azos le an ados: ¿Quién no se pon-
d ía así al e 1.000.000 € hoy en día?), pe o
ambién e an capaces de esc ibi algunas ac-
ciones. Las más habi uales (y las que hoy se
conocen como acciones egipcias) son las de
nume ado 1 (1/2, 1/3, 1/4…), aunque am-
bién conside aban las acciones 2/3, 3/4 y al-
gunas más del ipo n/(n+1). A a és de sumas
de es e ipo de acciones se puede exp esa
cualquie acional en e 0 y 1, po lo que los
Papi o de Rhind ( ambién conocido como de Ahmes).
egipcios enían la capacidad de abaja con
cualquie acción. Hoy en día se puede u ili-
za un mé odo basado en la llamada sucesión
de Syl es e pa a encon a la o ma de esc i-
bi una acción como suma de acciones con
nume ado 1. Sin emba go, los egipcios, según
indican algunos es udiosos de los di e en es
papi os ma emá icos, u ilizaban o o ipo de
écnicas en las que se di e enciaban los casos
en que el denominado es un p imo pequeño,
un p imo g ande o un núme o compues o. Pe o
sin duda lo más cu ioso de odo es que la o -
ma de deno a es as acciones es muy simila
a la nues a: un je oglí i co en o ma de boca
abie a se si uaba encima del núme o co-
espondien e al denominado .
Y se pe dió la azón:
los núme os i acionales
Acabamos de e que los egipcios, a a és de
su pa icula o ma de esc ibi las acciones,
podían abaja con cualquie a de ellas. Las
bases de los núme os acionales es aban sen-
adas. Es os concep os ue on poco a poco ex-
endiéndose has a llega a la cul u a g iega, en
donde adqui ie on una nue a dimensión.
En la G ecia clásica, los núme os enían un
cla o signi i cado geomé ico al i asociados a
medidas. Los núme os acionales, es deci , las
Ejemplos de acciones egipcias.
La ida sec e a de los núme os
31
amazings.es
acciones, e an algo na u al en es a cul u a,
pues ep esen aban azones (cocien es) en e
medidas. Pe o las azones no e an cualesquie-
a, sino que enían que se exac as, es deci , del
ipo 2:1, 4:3 ó 5:7.
Un g upo que se signi i có mucho en las
cues iones numé icas (y en o as menos cien-
í i cas) ue on los in eg an es de la escuela pi-
agó ica, seguido es de Pi ágo as de Samos.
El lema de los pi agó icos es “ odo es núme-
o”, lo que podemos in e p e a como “ odo
e a mensu able” o exp esable en é minos de
núme os na u ales y sus azones, los núme os
acionales. Es a pa i de es e momen o que la
azón en e dos medidas, es deci , una medida
acional, pasa a se algo común en la cul u a
g iega. Los acionales ya se han in eg ado en
nues as idas.
Pe o la g an apo ación de los g iegos y de
los pi agó icos en pa icula (en o no al año
500 an es de nues a e a), es el descub imien o
de los núme os i acionales. La i loso ía pi a-
gó ica, hemos is o, es ipulaba que odo en el
mundo e a exp esable a a és de na u ales o
sus azones. Sin emba go la apa ición del a-
moso Teo ema de Pi ágo as cambia ía es a i-
sión del mundo.
El Teo ema de Pi ágo as es ablece que si e-
nemos un iángulo ec ángulo y le an amos
un cuad ado sob e cada uno de los es lados,
la suma de las á eas de los cuad ados le an-
ados sob e los ca e os (los que o man el án-
gulo ec o) coincide con el á ea del cuad ado
le an ado sob e la hipo enusa (la diagonal).
Es e esul ado ya apa ece en algunas ablillas
babilónicas como me a enume ación de e nas
pi agó icas (es deci , núme os na u ales m, n
y p que cumplen p2=m2+n2). Pe o no es has-
a la llegada de la ma emá ica g iega (y de la
escuela pi agó ica) cuando se es ablece como
enunciado gene al. Pasa de se una colección
de casos pa icula es a se un eo ema cie o en
odos los casos.
Si omamos un cuad ado de lado 1, el Teo-
ema de Pi ágo as asegu a que su diagonal es
un núme o cuyo cuad ado es 2. Hoy en día lo
conocemos como , pe o en aquella época e a
algo bas an e ex año. Du an e mucho iempo,
Demos ación isual del Teo ema de Pi ágo as.
Bus o de Pi ágo as. Ja dines de la Villa Bo ghese,
Roma.