La vida secreta de los números

Imagen de po ada: Plasma, de Ca la Isabel Ribei o. Equipo Amazings Ja ie Peláez www.i educ ible.es | @I educ ible | [email p o ec ed] An onio Ma ínez www. ogonazos.es | @abe on | [email p o ec ed] Miguel A ime www.maikelnai.es | @Maikelnaiblog | [email p o ec ed] José Cues a www.ine ciac ea i a.com | @ine ciac ea i a | [email p o ec ed] Diseño g áfi co y edi o ial Alejand o Polanco www.alpoma.ne | @alpoma | [email p o ec ed] www.amazings.es #2 e ano 2012 www.amazings.es 25 amazings.es inT oducción Cuando uno e un núme o, au omá ica- men e piensa en Ma emá icas. Se pod ía deci que son el al abe o de es a ciencia. Sin emba go, cuando uno se aden a en su cono- cimien o le p oduce algo de espe o. En es e a ículo p e endemos despoja los de ese emo que suelen in undi y p esen a los al y como su gie on. Pa a ello, amos a e su cons uc- ción y a con empla la e dade a his o ia de los núme os, de la o ma más c onológica po- sible. ¿Es áis p epa ados pa a conoce (una pa e) de la e dad? ¿Qué es un núme o? Comencemos po el p incipio, que pa a algo amos a con a . ¿Qué es un núme o? Se a a de una p egun a muy simple… pe o cuya es- pues a no pa ece se lo. Los núme os son esos símbolos que u iliza- mos pa a con a , pod íamos pensa . Es a de- i nición, quizás la más in ui i a (la que da ía cualquie niño), puede sa is ace a muchos, pe o si lo pensamos bien, sólo con empla a los núme os na u ales (1, 2, 3,…) ¿Qué pasa con los nega i os? ¿Y con el 0? ¿Qué ocu e con las acciones? Hay que amplia es e concep o. Según la Real Academia Española, en su p ime a acepción (la co espondien e a ma- emá icas), un núme o es la exp esión de una can idad con elación a su unidad. Es a de i nición puede esul a bas an e sa is ac o ia. Nues a in uición puede que nos deje anquilos: ya e- nemos la espues a. Pe o si uno busca la de i - nición de can idad, la sex a acepción (de nue o, la ma emá ica) nos dice que se a a del núme o que esul a de una medida u ope ación. Vaya, una de i nición ci cula : un núme o es una can idad, y una can idad es un núme o. Bueno, no nos pongamos quisquillosos. Todo iene a eglo. La ida sec e a de los núme os sob e la consT ucción Y la e dade a hisTo ia de los di e enTes Tipos de núme os José An onio P ado Bassas elia on.blogspo .com.es | @elia on amazings.es 26 Pa a cen a ideas, podemos pensa que un núme o es la ep esen ación ma emá ica de una cie a magni ud (longi ud, á ea, olumen…), y en cie o modo es a de inición sí apa ece en el Dicciona io de la Real Academia Española (p ime a acepción de can idad: po ción de una magni ud). Pe o si la acep amos, ¿qué signi ica una longi ud o un á ea nega i a? Pa ece que algo sigue allando. Tene una de inición conc e a y exac a de lo que es un núme o pa ece, pues, una a dua a ea. Lo es. Euclides, Leibniz, Kan … son es ejemplos de pensado es que a a on de da una espues a. Según el Nobel de Li e a u a Be and Russell, la espues a no llega has a que F ege la p opo ciona en sus Fundamen os de la A i mé ica (1884). Pe o es a de inición es poco manejable. Un núme o es cualquie cosa que es el núme o-de-clase de alguna clase, donde un núme o-de-clase es la clase de odas aquellas clases que son semejan es a ellas. De la necesidad de con a , a la iloso ía, pa- sando po la geome ía. El concep o de núme- o esul a algo esqui o. Vamos a con o ma nos con i cons uyendo nues os núme os de una o ma consis en e y luego e emos cómo an su giendo his ó icamen e. la consT ucción de los núme os Pa a cons ui nues o edi icio, debemos pa i de lo más básico. Y en nues o caso se a a de los núme os na u ales. Dijo Leopold K onec- ke que Dios in en ó los na u ales, el es o es cosa del homb e. Posiblemen e, K onecke u ie a en men e lo que amos a e a con inuación. Nues a cons ucción pa e de los núme os na u ales (que se deno an po N), es deci , 1, 2, 3, 4,… Es os núme os su gen de la necesidad que iene el homb e de con a (de ahí la ausen- cia del 0). Sin emba go, a la ho a de cons ui un edi icio consis en e, con iene inclui el 0 en es e conjun o. Va ios han sido los ma emá icos que han in- en ado undamen a el concep o de núme o na u al. En pa icula , des acamos a Can o , quien se basó en su Teo ía de Conjun os pa a de ini los na u ales a pa i del conjun o a- cío; y a Peano, quien desa olló una de inición axiomá ica de los na u ales, pa iendo de la exis encia de un p ime elemen o (el ce o, po ejemplo) y es ableciendo una se ie de eglas de suceso es. Los núme os na u ales los podemos suma y el esul ado es o o núme o na u al (más g ande, ob iamen e). Podemos deci que la suma es una ope ación que se compo a bien con los núme os na u ales. El siguien e paso consis e en es a . Si a un núme o na u al le es amos o o más pequeño ol emos a ob e- ne un núme o na u al. Pe o si le es amos o o más g ande, el esul ado ya no es un na u al: ob enemos un núme o nega i o. En es e caso, decimos que la es a no es una ope ación in e na en el conjun o de los na u ales. La solución a es e p oblema es in en a un nue o conjun o numé ico, los núme os en e- os (que ep esen a emos po Z). Es e nue o conjun o con iene a odos los na u ales y odos los núme os nega i os. Aho a sí que podemos hace es as de odo ipo en e los núme os en- e os con la segu idad de que el esul ado se- gui á es ando en Z. En es e conjun o, la es a sí es una ope ación in e na. Pe ec o, los núme os en e os los podemos suma y es a . Incluso los podemos mul ipli- ca , si a endemos a la egla de los signos. Pe o, ¿qué ocu e si que emos epa i cosas? O di- cho de o o modo, ¿qué pasa con la di isión? En Z hay muchas di isiones cuyo esul ado son de nue o en e os, po ejemplo 4/2=2, 6/ (-3)= -2 ó 27852969751/115327=241513. Pe o hay muchos o os cocien es, cuyo esul ado se escapa de nues o conjun o Z y ¿cuál es la so- lución? C ea un nue o conjun o. En e ec o, como la di isión no es una ope- ación in e na en los en e os, su gen los núme- os acionales y que deno a emos po Q. Es os núme os son aquéllos que se pueden esc ibi como cocien e ( acciones) de dos núme os en e os, con la sal edad de que el 0 no puede se el di iso (denominado ). De es a o ma, la di isión se con ie e en una ope ación in e na en los acionales (excep uando el 0, que siem- p e se qui a al habla de cocien e pa a e i a p oblemas). Con los acionales hemos llegado a una de las me as p incipales: aho a enemos un con- jun o de núme os en el que podemos suma , La ida sec e a de los núme os 27 amazings.es es a mul iplica y di idi (excep o en e ce o) sin necesidad de p eocupa nos po si el esul- ado se sale ue a de nues os lími es. Además, es as ope aciones se compo an muy bien unas con o as, an o que el conjun o Q con las ope- aciones + (suma) y * (p oduc o) adquie e una es uc u a de cue po. Y es o en ma emá icas implica que iene buenas p opiedades. Pe o los acionales, a pesa de odo lo dicho, no son lo mejo que podemos consegui , ya que siguen eniendo p oblemas. Quizás el más impo an e apa ece cuando e ec uamos las di- isiones. Si p ocedemos po el mé odo que nos enseñan a odos en el colegio (el de Euclides), nos damos cuen a de que los decimales que ob enemos o son i ni os o son pe iódicos. An- es o después se epi en los mismos decima- les. ¿Qué ocu e si pienso en un núme o cuyos decimales es én deso denados? O mejo dicho, ¿qué ocu e si los decimales ca ecen o almen- e de un pa ón de epe ición de e minado? Así, el núme o 0,1234567891011121314151617 1819202122… no es un núme o acional, pues ni es i ni o, ni sus decimales se epi en a pa i de cie o momen o. Nos hemos salido de los acionales. Si hacemos un eje cicio men al y ponemos a odos los elemen os de Q en línea ec a, nos pe ca amos de que és a iene aguje os. Aguje- os muy pequeños, in i ni esimales, pe o agu- je os. Eso sí, siemp e se emos capaces de en- con a un acional an ce ca como que amos de cada aguje o. Y ice e sa, an ce ca como que amos de un acional, hay un aguje o. Los ma emá icos decimos que an o los acionales como los aguje os son densos en la ec a. El p oblema de los aguje os pone de mani i es- o que se hace necesa io amplia el conjun o de los acionales. Y la idea de e mina de llena la ec a se nos p esen a como la más adecuada. Aho a disponemos de un nue o conjun o, los núme os eales R, en el que es án incluidos los acionales y cualquie decimal in i ni o y sin pa ón de epe ición de i nido. Es os úl imos núme os, los i acionales, son p ecisamen e es- os aguje os que al aban a los acionales pa a comple a la ec a. Pe o los eales, a pesa de segui eniendo buenas p opiedades ( ambién ienen es uc- u a de cue po), no esuel en odos los p o- blemas. Ele a un núme o eal al cuad ado es ácil, bas a mul iplica lo po sí mismo. Sin emba go, si p e endemos ex ae aíces cua- d adas, es o no siemp e es posible. Y el allo su ge con ejemplos muy sencillos: . Es a simple ope ación no puede esol e se den o del cue po eal y se hace necesa io amplia nues o conjun o. Los núme os complejos, que se deno an po C, son la suma de un núme o eal y o o imagina io. Si llamamos i a la unidad ima- gina ia (i = ), los pod emos esc ibi como a+bi, donde a y b son núme os eales. Los com- plejos con ienen a los eales y además ambién ienen es uc u a de cue po. Po el camino no hemos enido que paga un p ecio demasiado al o. Los complejos son un cue po no o dena- do. Podemos encon a o mas de o dena los complejos, pe o es os ó denes no pueden se compa ibles con el p oduc o (más conc e a- men e, con la egla de los signos). La llegada de los complejos ae consigo uno de esos esul ados que debe ían enma ca se en cualquie clase de ma emá icas: el Teo ema Fundamen al del Álgeb a. Es e eo ema a i - ma que cualquie polinomio (una exp esión del ipo -5x4+3x3-2x+3) con coe i cien es com- plejos, posee exac amen e an as aíces (solu- ciones, iguales o no, de la ecuación esul an e de iguala el polinomio a 0) como g ado enga el polinomio. Vamos a de ene nos aquí. La cons ucción que hemos is o de los di e en es conjun os numé icos, a eces se cuen a como his o ia. Quizás desde un pun o de is a didác ico y a ni eles básicos de enseñanza, pueda esul a in e esan e con a es a cons ucción de o ma simpli i cada. Sin emba go, lo que hemos is o Esquema de los di e en es conjun os de núme os. amazings.es 28 es una abs acción ma emá ica. El esul ado i- nal de un elabo ado p oceso de pensamien o. La c onología de la apa ición de los di e en es ipos de núme os no sigue es a lógica ma emá- ica. ¿Quie es hace un iaje a a és de los nú- me os y del iempo? una hisTo ia c onológica de los núme os Ya os he dicho que lo que acabáis de lee no es la e dade a c onología de la apa ición de los núme os. Lo que ais a lee a con inuación ampoco lo se á en un sen ido es ic o. Los di- e en es concep os numé icos han enido muy di e sos o ígenes an o en el espacio como en el iempo. Desde un pun o de is a o mal, se- ía una his o ia de los núme os bajo la mi ada de occiden al (de Eu opa, conc e amen e). Y es que aunque nos sin amos el cen o de la his o- ia, al menos en ma emá icas (que es de lo que yo sé, y no demasiado) esul a que hay muchas cul u as con apo aciones emendamen e im- po an es y sin las cuales las ma emá icas no pod ían habe se desa ollado. Y el homb e c eó los núme os naTu ales His ó icamen e, los p ime os núme os de los que se ienen noción son los na u ales y su - gen de la necesidad del homb e de con a . Pe o es os núme os no apa ecen al y como los co- nocemos aho a, es deci , como odos los miem- b os de la sucesión 1, 2, 3, 4… sin in. An e las necesidades p opias del homb e p imi i o, an sólo los p ime os na u ales son los que e da- de amen e se hacen necesa ios. Más allá del 7 o el 8, odo se con ie e en un simple muchos. Hoy en día se pueden encon a ibus ais- ladas cuyo sis ema de nume ación (o mejo dicho, su o ma de exp esa e balmen e los núme os) es bas an e udimen a io. Así, algu- nos na i os del Es echo de To es (que sepa a Aus alia de Nue a Guinea) u ilizan el oca- blo u apun pa a ep esen a la unidad y okosa pa a ep esen a la pa idad (el dos); cuando quie en deci es no iene más que suma y deci okosa-u apun y si lo que les p eocupa son 5 pescados, bas a con deci okosa-okosa-u apun. Es muy posible que algo simila ocu ie a con nues os an epasados. De odas o mas, el hecho de que los hom- b es p imi i os sólo u ie an pe cepción de unos pocos núme os na u ales no es nada ex- año. También nos pasa a odos noso os. Va- mos a pone a p ueba nues a p opia pe cep- ción de los núme os. A con inuación oy a mos a un dibujo di- idido en dos pa es. En cada una de ellas hay una can idad de e minada de obje os (manza- nas, en pa icula ). El obje i o es el siguien e: sin con a los, es deci , a simple is a, ¿cuán as manzanas hay en la imagen de la izquie da? ¿Y en la de la de echa? P ác icamen e a odos los lec o es les hab á esul ado sencillo e que e an 3 las manzanas de la imagen de la izquie da, mien as que no c eo que hayáis sido muchos los que hayáis dicho que en la imagen de la de echa había 9. Y si lo habéis dicho, muchos de oso os sois unos men i osos po habe con ado. Pues es o mismo ocu ía en la an igüedad. El hecho de que no seamos capaces de pe cibi i- sualmen e las can idades hizo necesa io el su gi- mien o de los núme os: los na u ales. Pod íamos deci que el dedo es más pode oso que el ojo. Poco a poco, las necesidades del homb e hicie- on que se necesi a a algo más elabo ado que los sis emas okosa-u apun. Es a nue a con abilidad se lle aba a cabo median e pied as: 1 po cada obje- o a se con ado. El uso de pied as o calculi en el con eo, da o igen e imológico a nues o cálculo ac ual. La ida sec e a de los núme os 29 amazings.es Y as la con abilidad llega la esc i u a nu- mé ica. P on o se ap endió que en ez de po- ne pied as po cada obje o a con a , e a posi- ble hace señales en algún o o obje o, como un hueso de animal o u iliza cue das con pie- d as (p ecu so as del ábaco). Uno de los más impo an es ejemplos es el Hueso de Ishango (hueso de babuino con insc ipciones, hallado en el á ea de Ishango –en e Uganda y Congo-, da a del paleolí ico supe io y se encuen a en el Royal Belgian Ins i u e o Na u al Scien- ces de B uselas). Según algunos expe os, las insc ipciones an más allá de la me a con a- bilidad y sugie en el conocimien o de algunas ope aciones a i mé icas. Pe o epi o, es o úl i- mo es sólo una hipó esis. Con es a o ma de lle a la con abilidad es cla o que se impone i ag upando los símbolos (o pied as) pa a no acaba con un buen mon- ón de ellas. Así su gen los sis emas de nume- ación que combinan el p incipio adi i o (i sumando símbolos de la unidad) con el mul- iplica i o, c eando símbolos nue os pa a g u- pos de 5, 10, 50, 60… unidades. Uno de los más conocidos es el clásico sis ema de nume ación omano (aunque con eglas más complicadas en las que ambién in e iene, en cie o modo, la posición). IMAGEN Hueso de Ishango Y llega on los acionales: acciones babilónicas Y egipcias En cuan o las ci ilizaciones a anza on, p on o su gió la necesidad de exp esa numé icamen- e pa es de un odo. No pensemos en los ípi- cos ozos de a a, po que dudo que a o illas del Nilo hubiese. Pensemos mejo en pa es de e enos, o cualquie o a cues ión elacionada con la ag imensu a. En los pueblos mesopo ámicos, en con- c e o en la Babilonia de Hammu abi, ya hay cons ancia del uso de acciones. En algunas ablillas de la época (es amos hablando de los años 1800 a 1600 an es de nues a e a) se pue- de obse a cómo los babilonios disponían de un sis ema de nume ación posicional en base 60. Tenían un símbolo pa a la unidad y o o pa a el 10 y median e yux aposición de ellos, o maban los símbolos pa a los núme os del 1 al 59. A pa i de aquí, la posición del símbolo in- dica su alo (cla e del sis ema posicional): en p ime a posición el símbolo signi ica el núme- o que ep esen a; en segunda (a la izquie da de la p ime a), signi ica ese alo mul iplicado po 60; en e ce a, mul iplicado po 602=3600, e c… Pe o lo más cu ioso es que, según el con ex o, podían ene una (o incluso a ias) posición p e ia a la p ime a, es deci , a la de- echa de és a, y que ep esen a ía el núme o mul iplicado po 60-1. Es o es, u ilizaban ac- ciones con denominado 60 o decimales esc i- os en base 60. Sin emba go, se les p esen aba un g a e p oblema: no disponían de coma de- Ejemplo de ablilla babilonia: Plimp on 322. Hueso de Ishango. amazings.es 30 cimal pa a sepa a la pa e en e a de la deci- mal. Además, du an e casi oda su exis encia ca ecie on de símbolo pa a el ce o, lo que les supuso un p oblema añadido, ya que no po- dían ma ca la ausencia de una posición. Pa a en ende es o mejo , eamos un ejemplo esc i- o con nues os núme os (y posiciones) ac ua- les. El núme o 1-0-59 ep esen a, en base 60, a 1*3600+0*60+59=3659. Pe o como los babi- lonios ca ecían del símbolo ce o, lo esc ibi ían 1-59 (a lo más deja ían un hueco mayo en e el 1 y el 59), lo que pod ía con undi se con el nú- me o 1*60+59=119. El con ex o, en es a cul u a, e a undamen al pa a di e encia un núme o de o o. Y lo mismo pod íamos habla de la au- sencia de la coma decimal. El con ex o dice si el p ime dígi o de la izquie da es la p ime a posición o la posición p e ia. El segundo luga en el que apa ecen las acciones es en Egip o al ededo del año 1600 an es de nues a e a. El Papi o de Rhind es p obablemen e uno de los documen os ma e- má icos esc i os más impo an es de la época. Los egipcios disponían de un sis ema de nu- me ación en base 10 (cu iosamen e, el símbolo pa a 1.000.000 es un homb e a odillado con los b azos le an ados: ¿Quién no se pon- d ía así al e 1.000.000 € hoy en día?), pe o ambién e an capaces de esc ibi algunas ac- ciones. Las más habi uales (y las que hoy se conocen como acciones egipcias) son las de nume ado 1 (1/2, 1/3, 1/4…), aunque am- bién conside aban las acciones 2/3, 3/4 y al- gunas más del ipo n/(n+1). A a és de sumas de es e ipo de acciones se puede exp esa cualquie acional en e 0 y 1, po lo que los Papi o de Rhind ( ambién conocido como de Ahmes). egipcios enían la capacidad de abaja con cualquie acción. Hoy en día se puede u ili- za un mé odo basado en la llamada sucesión de Syl es e pa a encon a la o ma de esc i- bi una acción como suma de acciones con nume ado 1. Sin emba go, los egipcios, según indican algunos es udiosos de los di e en es papi os ma emá icos, u ilizaban o o ipo de écnicas en las que se di e enciaban los casos en que el denominado es un p imo pequeño, un p imo g ande o un núme o compues o. Pe o sin duda lo más cu ioso de odo es que la o - ma de deno a es as acciones es muy simila a la nues a: un je oglí i co en o ma de boca abie a se si uaba encima del núme o co- espondien e al denominado . Y se pe dió la azón: los núme os i acionales Acabamos de e que los egipcios, a a és de su pa icula o ma de esc ibi las acciones, podían abaja con cualquie a de ellas. Las bases de los núme os acionales es aban sen- adas. Es os concep os ue on poco a poco ex- endiéndose has a llega a la cul u a g iega, en donde adqui ie on una nue a dimensión. En la G ecia clásica, los núme os enían un cla o signi i cado geomé ico al i asociados a medidas. Los núme os acionales, es deci , las Ejemplos de acciones egipcias. La ida sec e a de los núme os 31 amazings.es acciones, e an algo na u al en es a cul u a, pues ep esen aban azones (cocien es) en e medidas. Pe o las azones no e an cualesquie- a, sino que enían que se exac as, es deci , del ipo 2:1, 4:3 ó 5:7. Un g upo que se signi i có mucho en las cues iones numé icas (y en o as menos cien- í i cas) ue on los in eg an es de la escuela pi- agó ica, seguido es de Pi ágo as de Samos. El lema de los pi agó icos es “ odo es núme- o”, lo que podemos in e p e a como “ odo e a mensu able” o exp esable en é minos de núme os na u ales y sus azones, los núme os acionales. Es a pa i de es e momen o que la azón en e dos medidas, es deci , una medida acional, pasa a se algo común en la cul u a g iega. Los acionales ya se han in eg ado en nues as idas. Pe o la g an apo ación de los g iegos y de los pi agó icos en pa icula (en o no al año 500 an es de nues a e a), es el descub imien o de los núme os i acionales. La i loso ía pi a- gó ica, hemos is o, es ipulaba que odo en el mundo e a exp esable a a és de na u ales o sus azones. Sin emba go la apa ición del a- moso Teo ema de Pi ágo as cambia ía es a i- sión del mundo. El Teo ema de Pi ágo as es ablece que si e- nemos un iángulo ec ángulo y le an amos un cuad ado sob e cada uno de los es lados, la suma de las á eas de los cuad ados le an- ados sob e los ca e os (los que o man el án- gulo ec o) coincide con el á ea del cuad ado le an ado sob e la hipo enusa (la diagonal). Es e esul ado ya apa ece en algunas ablillas babilónicas como me a enume ación de e nas pi agó icas (es deci , núme os na u ales m, n y p que cumplen p2=m2+n2). Pe o no es has- a la llegada de la ma emá ica g iega (y de la escuela pi agó ica) cuando se es ablece como enunciado gene al. Pasa de se una colección de casos pa icula es a se un eo ema cie o en odos los casos. Si omamos un cuad ado de lado 1, el Teo- ema de Pi ágo as asegu a que su diagonal es un núme o cuyo cuad ado es 2. Hoy en día lo conocemos como , pe o en aquella época e a algo bas an e ex año. Du an e mucho iempo, Demos ación isual del Teo ema de Pi ágo as. Bus o de Pi ágo as. Ja dines de la Villa Bo ghese, Roma.