La vida secreta de los números

Imagen de portada: Plasma, de Carla Isabel Ribeiro. Equipo Amazings Javier Peláez www.irreductible.es | @Irreductible | [email protected] Antonio Martínez www.fogonazos.es | @aberron | [email protected] Miguel Artime www.maikelnai.es | @Maikelnaiblog | [email protected] José Cuesta www.inerciacreativa.com | @inerciacreativa | [email protected] Diseño gráfi co y editorial Alejandro Polanco www.alpoma.net | @alpoma | [email protected] www.amazings.es #2 verano 2012 www.amazings.es 25 amazings.es inTroducción Cuando uno ve un número, automáticamente piensa en Matemáticas. Se podría decir que son el alfabeto de esta ciencia. Sin embargo, cuando uno se adentra en su conocimiento le produce algo de respeto. En este artículo pretendemos despojarlos de ese temor que suelen infundir y presentarlos tal y como surgieron. Para ello, vamos a ver su construcción y a contemplar la verdadera historia de los números, de la forma más cronológica posible. ¿Estáis preparados para conocer (una parte) de la verdad? ¿Qué es un número? Comencemos por el principio, que para algo vamos a contar. ¿Qué es un número? Se trata de una pregunta muy simple… pero cuya respuesta no parece serlo. Los números son esos símbolos que utilizamos para contar, podríamos pensar. Esta defi nición, quizás la más intuitiva (la que daría cualquier niño), puede satisfacer a muchos, pero si lo pensamos bien, sólo contempla a los números naturales (1, 2, 3,…) ¿Qué pasa con los negativos? ¿Y con el 0? ¿Qué ocurre con las fracciones? Hay que ampliar este concepto. Según la Real Academia Española, en su primera acepción (la correspondiente a matemáticas), un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. Esta defi nición puede resultar bastante satisfactoria. Nuestra intuición puede que nos deje tranquilos: ya tenemos la respuesta. Pero si uno busca la defi - nición de cantidad, la sexta acepción (de nuevo, la matemática) nos dice que se trata del número que resulta de una medida u operación. Vaya, una defi nición circular: un número es una cantidad, y una cantidad es un número. Bueno, no nos pongamos quisquillosos. Todo tiene arreglo. La vida secreta de los números sobre la consTrucción Y la verdadera hisToria de los diferenTes Tipos de números José Antonio Prado Bassas eliatron.blogspot.com.es | @eliatron amazings.es 26 Para centrar ideas, podemos pensar que un número es la representación matemática de una cierta magnitud (longitud, área, volumen…), y en cierto modo esta definición sí aparece en el Diccionario de la Real Academia Española (primera acepción de cantidad: porción de una magnitud). Pero si la aceptamos, ¿qué significa una longitud o un área negativa? Parece que algo sigue fallando. Tener una definición concreta y exacta de lo que es un número parece, pues, una ardua tarea. Lo es. Euclides, Leibniz, Kant… son tres ejemplos de pensadores que trataron de dar una respuesta. Según el Nobel de Literatura Bertrand Russell, la respuesta no llega hasta que Frege la proporciona en sus Fundamentos de la Aritmética (1884). Pero esta definición es poco manejable. Un número es cualquier cosa que es el número-de-clase de alguna clase, donde un número-de-clase es la clase de todas aquellas clases que son semejantes a ellas. De la necesidad de contar, a la filosofía, pasando por la geometría. El concepto de número resulta algo esquivo. Vamos a conformarnos con ir construyendo nuestros números de una forma consistente y luego veremos cómo van surgiendo históricamente. la consTrucción de los números Para construir nuestro edificio, debemos partir de lo más básico. Y en nuestro caso se trata de los números naturales. Dijo Leopold Kronecker que Dios inventó los naturales, el resto es cosa del hombre. Posiblemente, Kronecker tuviera en mente lo que vamos a ver a continuación. Nuestra construcción parte de los números naturales (que se denotan por N), es decir, 1, 2, 3, 4,… Estos números surgen de la necesidad que tiene el hombre de contar (de ahí la ausencia del 0). Sin embargo, a la hora de construir un edificio consistente, conviene incluir el 0 en este conjunto. Varios han sido los matemáticos que han intentado fundamentar el concepto de número natural. En particular, destacamos a Cantor, quien se basó en su Teoría de Conjuntos para definir los naturales a partir del conjunto vacío; y a Peano, quien desarrolló una definición axiomática de los naturales, partiendo de la existencia de un primer elemento (el cero, por ejemplo) y estableciendo una serie de reglas de sucesores. Los números naturales los podemos sumar y el resultado es otro número natural (más grande, obviamente). Podemos decir que la suma es una operación que se comporta bien con los números naturales. El siguiente paso consiste en restar. Si a un número natural le restamos otro más pequeño volvemos a obtener un número natural. Pero si le restamos otro más grande, el resultado ya no es un natural: obtenemos un número negativo. En este caso, decimos que la resta no es una operación interna en el conjunto de los naturales. La solución a este problema es inventar un nuevo conjunto numérico, los números enteros (que representaremos por Z). Este nuevo conjunto contiene a todos los naturales y todos los números negativos. Ahora sí que podemos hacer restas de todo tipo entre los números enteros con la seguridad de que el resultado seguirá estando en Z. En este conjunto, la resta sí es una operación interna. Perfecto, los números enteros los podemos sumar y restar. Incluso los podemos multiplicar, si atendemos a la regla de los signos. Pero, ¿qué ocurre si queremos repartir cosas? O dicho de otro modo, ¿qué pasa con la división? En Z hay muchas divisiones cuyo resultado son de nuevo enteros, por ejemplo 4/2=2, 6/ (-3)= -2 ó 27852969751/115327=241513. Pero hay muchos otros cocientes, cuyo resultado se escapa de nuestro conjunto Z y ¿cuál es la solución? Crear un nuevo conjunto. En efecto, como la división no es una operación interna en los enteros, surgen los números racionales y que denotaremos por Q. Estos números son aquéllos que se pueden escribir como cociente (fracciones) de dos números enteros, con la salvedad de que el 0 no puede ser el divisor (denominador). De esta forma, la división se convierte en una operación interna en los racionales (exceptuando el 0, que siempre se quita al hablar de cociente para evitar problemas). Con los racionales hemos llegado a una de las metas principales: ahora tenemos un conjunto de números en el que podemos sumar, La vida secreta de los números 27 amazings.es restar multiplicar y dividir (excepto entre cero) sin necesidad de preocuparnos por si el resultado se sale fuera de nuestros límites. Además, estas operaciones se comportan muy bien unas con otras, tanto que el conjunto Q con las operaciones + (suma) y * (producto) adquiere una estructura de cuerpo. Y esto en matemáticas implica que tiene buenas propiedades. Pero los racionales, a pesar de todo lo dicho, no son lo mejor que podemos conseguir, ya que siguen teniendo problemas. Quizás el más importante aparece cuando efectuamos las divisiones. Si procedemos por el método que nos enseñan a todos en el colegio (el de Euclides), nos damos cuenta de que los decimales que obtenemos o son fi nitos o son periódicos. Antes o después se repiten los mismos decimales. ¿Qué ocurre si pienso en un número cuyos decimales estén desordenados? O mejor dicho, ¿qué ocurre si los decimales carecen totalmente de un patrón de repetición determinado? Así, el número 0,1234567891011121314151617 1819202122… no es un número racional, pues ni es fi nito, ni sus decimales se repiten a partir de cierto momento. Nos hemos salido de los racionales. Si hacemos un ejercicio mental y ponemos a todos los elementos de Q en línea recta, nos percatamos de que ésta tiene agujeros. Agujeros muy pequeños, infi nitesimales, pero agujeros. Eso sí, siempre seremos capaces de encontrar un racional tan cerca como queramos de cada agujero. Y viceversa, tan cerca como queramos de un racional, hay un agujero. Los matemáticos decimos que tanto los racionales como los agujeros son densos en la recta. El problema de los agujeros pone de manifi es- to que se hace necesario ampliar el conjunto de los racionales. Y la idea de terminar de llenar la recta se nos presenta como la más adecuada. Ahora disponemos de un nuevo conjunto, los números reales R, en el que están incluidos los racionales y cualquier decimal infi nito y sin patrón de repetición defi nido. Estos últimos números, los irracionales, son precisamente estos agujeros que faltaban a los racionales para completar la recta. Pero los reales, a pesar de seguir teniendo buenas propiedades (también tienen estructura de cuerpo), no resuelven todos los problemas. Elevar un número real al cuadrado es fácil, basta multiplicarlo por sí mismo. Sin embargo, si pretendemos extraer raíces cuadradas, esto no siempre es posible. Y el fallo surge con ejemplos muy sencillos: . Esta simple operación no puede resolverse dentro del cuerpo real y se hace necesario ampliar nuestro conjunto. Los números complejos, que se denotan por C, son la suma de un número real y otro imaginario. Si llamamos i a la unidad imaginaria (i = ), los podremos escribir como a+bi, donde a y b son números reales. Los complejos contienen a los reales y además también tienen estructura de cuerpo. Por el camino no hemos tenido que pagar un precio demasiado alto. Los complejos son un cuerpo no ordenado. Podemos encontrar formas de ordenar los complejos, pero estos órdenes no pueden ser compatibles con el producto (más concretamente, con la regla de los signos). La llegada de los complejos trae consigo uno de esos resultados que deberían enmarcarse en cualquier clase de matemáticas: el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema afi rma que cualquier polinomio (una expresión del tipo -5x4+3x3-2x+3) con coefi cientes complejos, posee exactamente tantas raíces (soluciones, iguales o no, de la ecuación resultante de igualar el polinomio a 0) como grado tenga el polinomio. Vamos a detenernos aquí. La construcción que hemos visto de los diferentes conjuntos numéricos, a veces se cuenta como historia. Quizás desde un punto de vista didáctico y a niveles básicos de enseñanza, pueda resultar interesante contar esta construcción de forma simplifi cada. Sin embargo, lo que hemos visto Esquema de los diferentes conjuntos de números. amazings.es 28 es una abstracción matemática. El resultado final de un elaborado proceso de pensamiento. La cronología de la aparición de los diferentes tipos de números no sigue esta lógica matemática. ¿Quieres hacer un viaje a través de los números y del tiempo? una hisToria cronológica de los números Ya os he dicho que lo que acabáis de leer no es la verdadera cronología de la aparición de los números. Lo que vais a leer a continuación tampoco lo será en un sentido estricto. Los diferentes conceptos numéricos han tenido muy diversos orígenes tanto en el espacio como en el tiempo. Desde un punto de vista formal, sería una historia de los números bajo la mirada de occidental (de Europa, concretamente). Y es que aunque nos sintamos el centro de la historia, al menos en matemáticas (que es de lo que yo sé, y no demasiado) resulta que hay muchas culturas con aportaciones tremendamente importantes y sin las cuales las matemáticas no podrían haberse desarrollado. Y el hombre creó los números naTurales Históricamente, los primeros números de los que se tienen noción son los naturales y surgen de la necesidad del hombre de contar. Pero estos números no aparecen tal y como los conocemos ahora, es decir, como todos los miembros de la sucesión 1, 2, 3, 4… sin fin. Ante las necesidades propias del hombre primitivo, tan sólo los primeros naturales son los que verdaderamente se hacen necesarios. Más allá del 7 o el 8, todo se convierte en un simple muchos. Hoy en día se pueden encontrar tribus aisladas cuyo sistema de numeración (o mejor dicho, su forma de expresar verbalmente los números) es bastante rudimentario. Así, algunos nativos del Estrecho de Torres (que separa Australia de Nueva Guinea) utilizan el vocablo urapun para representar la unidad y okosa para representar la paridad (el dos); cuando quieren decir tres no tiene más que sumar y decir okosa-urapun y si lo que les preocupa son 5 pescados, basta con decir okosa-okosa-urapun. Es muy posible que algo similar ocurriera con nuestros antepasados. De todas formas, el hecho de que los hombres primitivos sólo tuvieran percepción de unos pocos números naturales no es nada extraño. También nos pasa a todos nosotros. Vamos a poner a prueba nuestra propia percepción de los números. A continuación voy a mostrar un dibujo dividido en dos partes. En cada una de ellas hay una cantidad determinada de objetos (manzanas, en particular). El objetivo es el siguiente: sin contarlos, es decir, a simple vista, ¿cuántas manzanas hay en la imagen de la izquierda? ¿Y en la de la derecha? Prácticamente a todos los lectores les habrá resultado sencillo ver que eran 3 las manzanas de la imagen de la izquierda, mientras que no creo que hayáis sido muchos los que hayáis dicho que en la imagen de la derecha había 9. Y si lo habéis dicho, muchos de vosotros sois unos mentirosos por haber contado. Pues esto mismo ocurría en la antigüedad. El hecho de que no seamos capaces de percibir visualmente las cantidades hizo necesario el surgimiento de los números: los naturales. Podríamos decir que el dedo es más poderoso que el ojo. Poco a poco, las necesidades del hombre hicieron que se necesitara algo más elaborado que los sistemas okosa-urapun. Esta nueva contabilidad se llevaba a cabo mediante piedras: 1 por cada obje- to a ser contado. El uso de piedras o calculi en el conteo, da origen etimológico a nuestro cálculo actual. La vida secreta de los números 29 amazings.es Y tras la contabilidad llega la escritura numérica. Pronto se aprendió que en vez de poner piedras por cada objeto a contar, era posible hacer señales en algún otro objeto, como un hueso de animal o utilizar cuerdas con piedras (precursoras del ábaco). Uno de los más importantes ejemplos es el Hueso de Ishango (hueso de babuino con inscripciones, hallado en el área de Ishango –entre Uganda y Congo-, data del paleolítico superior y se encuentra en el Royal Belgian Institute of Natural Sciences de Bruselas). Según algunos expertos, las inscripciones van más allá de la mera contabilidad y sugieren el conocimiento de algunas operaciones aritméticas. Pero repito, esto último es sólo una hipótesis. Con esta forma de llevar la contabilidad es claro que se impone ir agrupando los símbolos (o piedras) para no acabar con un buen montón de ellas. Así surgen los sistemas de numeración que combinan el principio aditivo (ir sumando símbolos de la unidad) con el multiplicativo, creando símbolos nuevos para grupos de 5, 10, 50, 60… unidades. Uno de los más conocidos es el clásico sistema de numeración romano (aunque con reglas más complicadas en las que también interviene, en cierto modo, la posición). IMAGEN Hueso de Ishango Y llegaron los racionales: fracciones babilónicas Y egipcias En cuanto las civilizaciones avanzaron, pronto surgió la necesidad de expresar numéricamente partes de un todo. No pensemos en los típicos trozos de tarta, porque dudo que a orillas del Nilo hubiese. Pensemos mejor en partes de terrenos, o cualquier otra cuestión relacionada con la agrimensura. En los pueblos mesopotámicos, en concreto en la Babilonia de Hammurabi, ya hay constancia del uso de fracciones. En algunas tablillas de la época (estamos hablando de los años 1800 a 1600 antes de nuestra era) se puede observar cómo los babilonios disponían de un sistema de numeración posicional en base 60. Tenían un símbolo para la unidad y otro para el 10 y mediante yuxtaposición de ellos, formaban los símbolos para los números del 1 al 59. A partir de aquí, la posición del símbolo indica su valor (clave del sistema posicional): en primera posición el símbolo significa el número que representa; en segunda (a la izquierda de la primera), significa ese valor multiplicado por 60; en tercera, multiplicado por 602=3600, etc… Pero lo más curioso es que, según el contexto, podían tener una (o incluso varias) posición previa a la primera, es decir, a la derecha de ésta, y que representaría el número multiplicado por 60-1. Esto es, utilizaban fracciones con denominador 60 o decimales escritos en base 60. Sin embargo, se les presentaba un grave problema: no disponían de coma de- Ejemplo de tablilla babilonia: Plimpton 322. Hueso de Ishango. amazings.es 30 cimal para separar la parte entera de la decimal. Además, durante casi toda su existencia carecieron de símbolo para el cero, lo que les supuso un problema añadido, ya que no podían marcar la ausencia de una posición. Para entender esto mejor, veamos un ejemplo escri- to con nuestros números (y posiciones) actuales. El número 1-0-59 representa, en base 60, a 1*3600+0*60+59=3659. Pero como los babilonios carecían del símbolo cero, lo escribirían 1-59 (a lo más dejarían un hueco mayor entre el 1 y el 59), lo que podría confundirse con el número 1*60+59=119. El contexto, en esta cultura, era fundamental para diferenciar un número de otro. Y lo mismo podríamos hablar de la ausencia de la coma decimal. El contexto dice si el primer dígito de la izquierda es la primera posición o la posición previa. El segundo lugar en el que aparecen las fracciones es en Egipto alrededor del año 1600 antes de nuestra era. El Papiro de Rhind es probablemente uno de los documentos matemáticos escritos más importantes de la época. Los egipcios disponían de un sistema de numeración en base 10 (curiosamente, el símbolo para 1.000.000 es un hombre arrodillado con los brazos levantados: ¿Quién no se pondría así al ver 1.000.000 € hoy en día?), pero también eran capaces de escribir algunas fracciones. Las más habituales (y las que hoy se conocen como fracciones egipcias) son las de numerador 1 (1/2, 1/3, 1/4…), aunque también consideraban las fracciones 2/3, 3/4 y algunas más del tipo n/(n+1). A través de sumas de este tipo de fracciones se puede expresar cualquier racional entre 0 y 1, por lo que los Papiro de Rhind (también conocido como de Ahmes). egipcios tenían la capacidad de trabajar con cualquier fracción. Hoy en día se puede utilizar un método basado en la llamada sucesión de Sylvester para encontrar la forma de escribir una fracción como suma de fracciones con numerador 1. Sin embargo, los egipcios, según indican algunos estudiosos de los diferentes papiros matemáticos, utilizaban otro tipo de técnicas en las que se diferenciaban los casos en que el denominador es un primo pequeño, un primo grande o un número compuesto. Pero sin duda lo más curioso de todo es que la forma de denotar estas fracciones es muy similar a la nuestra: un jeroglífi co en forma de boca abierta se situaba encima del número correspondiente al denominador. Y se perdió la razón: los números irracionales Acabamos de ver que los egipcios, a través de su particular forma de escribir las fracciones, podían trabajar con cualquiera de ellas. Las bases de los números racionales estaban sentadas. Estos conceptos fueron poco a poco extendiéndose hasta llegar a la cultura griega, en donde adquirieron una nueva dimensión. En la Grecia clásica, los números tenían un claro signifi cado geométrico al ir asociados a medidas. Los números racionales, es decir, las Ejemplos de fracciones egipcias. La vida secreta de los números 31 amazings.es fracciones, eran algo natural en esta cultura, pues representaban razones (cocientes) entre medidas. Pero las razones no eran cualesquiera, sino que tenían que ser exactas, es decir, del tipo 2:1, 4:3 ó 5:7. Un grupo que se signifi có mucho en las cuestiones numéricas (y en otras menos científi cas) fueron los integrantes de la escuela pitagórica, seguidores de Pitágoras de Samos. El lema de los pitagóricos es “todo es número”, lo que podemos interpretar como “todo era mensurable” o expresable en términos de números naturales y sus razones, los números racionales. Es a partir de este momento que la razón entre dos medidas, es decir, una medida racional, pasa a ser algo común en la cultura griega. Los racionales ya se han integrado en nuestras vidas. Pero la gran aportación de los griegos y de los pitagóricos en particular (en torno al año 500 antes de nuestra era), es el descubrimiento de los números irracionales. La fi losofía pitagórica, hemos visto, estipulaba que todo en el mundo era expresable a través de naturales o sus razones. Sin embargo la aparición del famoso Teorema de Pitágoras cambiaría esta visión del mundo. El Teorema de Pitágoras establece que si tenemos un triángulo rectángulo y levantamos un cuadrado sobre cada uno de los tres lados, la suma de las áreas de los cuadrados levantados sobre los catetos (los que forman el ángulo recto) coincide con el área del cuadrado levantado sobre la hipotenusa (la diagonal). Este resultado ya aparece en algunas tablillas babilónicas como mera enumeración de ternas pitagóricas (es decir, números naturales m, n y p que cumplen p2=m2+n2). Pero no es hasta la llegada de la matemática griega (y de la escuela pitagórica) cuando se establece como enunciado general. Pasa de ser una colección de casos particulares a ser un teorema cierto en todos los casos. Si tomamos un cuadrado de lado 1, el Teorema de Pitágoras asegura que su diagonal es un número cuyo cuadrado es 2. Hoy en día lo conocemos como , pero en aquella época era algo bastante extraño. Durante mucho tiempo, Demostración visual del Teorema de Pitágoras. Busto de Pitágoras. Jardines de la Villa Borghese, Roma.