PRECISION DEL SISTEMA DE MEDIDA
-Resolución del
disposi i o elec
nico al ni el de la
malla ............. .
-P ecisión del
disposi i o elec
nico al ni el de la
malla ............. .
-Ampliación del
disposi i o Óp ico_
pa a un únel de Sm
de diáme o ....... .
-Resolución del
disposi i o op o-
elec ónico al ni -
el del únel ..... .
-P ecisión ela
i a del disposi i
o
op o-elec onico
al ni el del pe il
del únel (caso es-
á ico, agón inmó-
il) .............. .
-Pa a la adqui-
sición y egis o -
de cada pun o del -
pe il se dispone -
una elocidad s an-
da d máxima del e-
hículo de ......... .
-Cadencia máxi-
ma de adquisición ..
-Espacio mínimo
en e dos adquisi -
iones (pa a una e
locidad de 1 m/s).
-Dispe sión me-
dia en e 2 adquisi
ciones
............ .
20 µ m
40 µ m
g = 1/500
10 mm
0,40% del diáme o
del únel.
1 m/s
4 pe iles po se-
gundo.
0,25 m
0,2% del diáme o
del únel medido.-
I
68
ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982
EL USO DE UNA SOLUCION FUNDAMENTAL COMPUESTA PARA EL CALCULO DE RIGIDECES DE
CIMENTACIONES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO
J , D , 1
ose ominguez
Ramón Abascal 2
1P o eso Ag egado de Es uc u as de a E.T.S.I.I. de Las Palmas
2P o eso Ayudan e de la Cá ed a de Es uc u as de la E.T.S.I.I. de Se illa
Resumen.- El p oblema de las igideaes dinámicas de cimen aciones en e a-
das puede se abo dado po di e sos mé odos analí icos y numé icos más o me
nos ap oximados. Se p esen a en p ime luga la o mulación dinámica del Me
odo de los Elemen os de Con o no pa a es e ipo de p oblemas. Se es udia
cómo el empleo de una solución undamen al compues a disminuye el núme o de
é minos desp eciados al unca la disc e ización de la supe icie lib e.-
Se es udian algunos de los alo es de las igideces es á icas y dinámicas,-
ob enidos con la solución undamen al compues a, y se compa an con los ---
co espondien es a la simple. Se ap cia que en la mayo pa e de los casos,
con la solución compues a, se p oduce una educción del e o debido al - -
uncamien o en la disc e ización de la supe icie lib e del suelo.
INTRODUCCION
El es udio de la p opagación de on-
das en medios elás icos, y iscoelas i-
cos en gene al, cons i uye un á ea de -
in e és y ac ualidad pe manen e den o
de la mecánica de los medios con inuos.
Si bien los a ances han sido impo an í
simas desde el lejano 1766 cuando --
EULER publicó su no a "De Sano Campana
um" sob e las ib aciones en las campa
nas, nos encon amos aún lejos de dispo
ne de soluciones explici as pa a lama
yo pa e de los p oblemas eales plan
eados. No obs an e la exis encia de --
compu ado es, ha pe mi ido en los Úl i-
mos años la pues a a pun o de mé odos -
numé icos median e los cuales se ob ie-
nen soluciones ap oximadas pa a muchos
de es os p oblemas. Uno de los mé odos
es el de los Elemen os de Con o no, que
aunque no ha alcanzado el g ado de des
ollo del de los Elemen os Fini os, e
sul a muy adecuado en de e minadas si-
uaciones, como po ejemplo aquellas --
que implican el es udio de g andes domi
nios.
Un p oblema que ha ocupado adicio
nalmen e a los sismologos, y con pos e
io idad ambién a los ingenie os ci i-
les, es el de la p opagación de ondas -
en un semiespacio elás ico, el cual,
cons i uye la base del modelo pa a el -
69
es udio del compo amien o del suelo y -
las cons ucciones en e adas en él, o -
en su supe icie, cuando se p oduce un -
mo imien o sísmico o una exci ación diná
mica de o o ipo.
A con inuación se plan ea en p ime
luga y muy b e emen e, la o mulación -
del mé odo de los elemen os de con o no
(M.E.C.) en p oblemas dinámicos, y se --
p esen a el p oblema de in e acción sue-
lo es uc u a. Pos e io men e, se es u--
dia cómo el empleo de una solución und
men al de i ada a pa i de la del p o--
blema de KELVIN, pe mi e una mejo a en -
la conside ación de la supe icie in ini
a de un semiespacio. Po Úl imo se p e-
sen an alo es de igideces es á icas y
dinámicas de cimen aciones, ob enidos --
con la solución undamen al p opues a, y
se compa an con los que se ob ienen em--
pleando la solución de una ca ga a móni-
ca concen ada.
EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO
EN PROBLEMAS ELASTODINAMICOS
La o mulación del M.E.C., de mane a
semejan e a la del caso es á ico, puede
hace se a pa i del eo ema de ecip o-
cidad de BETTI-RAYLEIGH (demos ado, po
ejemplo en i1J que es ablece que:
J
! * u' d
S
+p
J
é
* u'
+Ü' � +
u' dV
a
SI
V
J
o o
= !' ,·,1:;1dS+p · *1::1·+ 1::1'+ ::'.' dV (l)
S V
donde!, , son espec
i am en
e los
ec o es de ensión en el con o no, ---
ue zas de olumen y mo
i
m ien os,de un
cie o es
ado dinámico. El pun o indica
de i ada espec o al
iempo . Las condi-
ciones in
i
ciales pa a al es
ado son:
u ( ,o)
=
o
u
+
o
u( ,o)
=
V
-
o
Las a iables p imas ' , ' , ' , 'y
ienen el mismo signi icado, pa a
es ado di e en e.
(
2
)
o
'.:!
o o
El s
i
gno * ep esen a el p oduc o -
de con olución, que pa a dos unciones
g( , ) y h( , ) iene dado po :
g * h
a
J!( ,
-s) h( , s)ds V x , V·T+
g ,., h = o V
X
E
V. T-
(3)
Si empleamos unu ans o mada in eg al
sob e la ecuación (
1
), po ejemplo la -
de FOURIER, y suponemos cond
i
ciones in
i
ciales nulas, la elación de ecip oci=
dad se
ans o ma en:
I
J.
'·
'"ds +p
(4)
dV
+ p
J(
u''
donde el supe índice (*)
o mada de FOURIER. indica ans-
Podemos oma como es ado p
i
ma (')
el dinámico análogo al p oblema de KEL-
VIN que co esponde a la ca ga a mónica
en un pun o y cuya solución en mo im
i
en
os y ensiones ué ob
en
i
da po DOYLE-
[
2
] y CRUSE [3].
En el caso
idimensional, el mo i-
mien o y la ensión en un pun o sob e -
una supe
i
cie de no mal n cuando la --
ca ga es
á di igida en d
i
ección j
ie
nen la o ma:
1
u ..
=----
Jl 4
11
P
c
2
s
[
1/J
ó
..
-X i J
l] , 'j (5)
70
T.·
=
Jl
1
2
[
di)! 1 ó
C - --xHó .. -+
c lJ ón
ó dx
n.
)-
J
ó
--xCn. ,j-2 ,i ,j -)-2- ,. ,. -+
ón d i J ón
2
+e cP -dljJ
2
)( dljJ
2
-¡
-x) ,.n·J
(6)
----
c
2
d d J l
s
donde el é mino e
i w
ha sido sup imido
y las unciones
x y 1jJ
son de la o ma:
3C
2
3C
X = ( s
2
+ 1)
-
w2
..,,
2
+
L
iw
i
w
3C -C
+-1: + 1)
_:__E
i
w
c
2
s
i
w
1jJ
= (1 -22 +
w
C
e-e
2)---
iw
lW
c
··e
+-2) _e _
_.R
i
w
3C
2
p
22
+
w
(7)
En las exp esiones
Cs son espec i amen
e
pun o de apl
i
cación de
le idades de las ondas
an
e io es ,C y
la dis ancia Pal
la ca ga y las ce
p
y s.
Con el uso de es a solución
al y suponiendo las ue zas de
= O se ob iene pa a cualquie
del in e io de V, una ecuación
de la iden idad de SO
M
IGLIANA .
u
-p ds -dS
undamen
olumen-
pun o p
del
ipo
( 8)
donde los supe índices (*) han sido su--
p imidos po comodidad.
En el caso de conside a un pun o --
del con o no S apa ece una singula
i
dad
en las in eg ales y la ecuación se
ans
o ma en: -·
c
u
-p -p ds -dS
( 9)
Ecuación en la que las
i
n
eg ales no in-
cluyen el pun o singula y la pa e no -
in
eg able ha dado luga a la ma iz de
..
coe icien es, C , que depende de la
geome
ía de s-Pen p.
La aplicación de las cond
i
ciones de
con o no sob e la ecuación (9) da luga
a una ecúación in eg al. La solución de
es
a nos pe mi e conoce y en
o
do el con o no.
M
edian e (8) puede cal
cula se u en cualquie pun o del domi
nio y po -de i ac
i
ón el enso de
en-
siones.
Pa a esol e la ecuación in eg al,
se ealiza una disc e ización del con--
o no Sen elemen os, exp esandose las
ens
i
ones y mo imien os sob e es os en
é minos de sus alo es en cie os pun-
o s ("Nodos") y de unas unciones de i
e polación de ipo polinomico (" unc
i
o
nes de Fo ma").
u.
=
N
1 1
u.
l + N
2 2
U,
l +
....
+
J1
u1:1
=
N'1
u
l ll (
1
0)
. = N
1
+i
+
....
+
J1
1:1
=
N'1
l l l
l
l
siendo N
J
la unción de o ma asociada
al nodo J y uJ, las componen
es --
del mo imien o
l
y c o ensión en d
i
--
cho nodo.
De acue do con la disc e
ización an
e io , la ecuación (9) puede se esc I
a pa a cada nodo K, en la o ma:
N
[
J:
i
nl
ds ] u(n)
g.K1::1K
+
I: =
n=
1
elem.
N
[
I
(n)
dS
J
(
n)
=
E (
1
1)
n
=1
sn
elem.
siendo
N
1
o o
NL
o
º· ...
N
M
o ol
N(n)
·[:
N
1
o o
N2
o .... o
N
M
º'
N
1
o o
2
o
O N
M
J
o
N
....
u(n) =
(u
1 1 1 2
2
2 MM
M
T
1
u2 U3 u
1
u2 U3 u
1
u
2
u3)
(n) -(
1
-
1 1
2 1
3
2
1
2
2
2
3
M
M
M
?
1 2
3
M =
..
nume o de nodos po elemen
o
La ecuación (
1 1
) ímplica suma o
i
os
sob e odos los nodos del con
o no , de
71
mane a que se puede esc ibi :
g
l<
1::lK
+ E !i;J 1::1j
= E §KJ J (1
2
)
nodos nodos
donde. u. y!· son los ec o es de m9.
mien os-Jy
aóciones en el nodo J. !ikj
es una suma ex endida a los elemen os
a que pe enece J, de in eg ales de la -
o ma:
siendo
nodo J
minos
e.
dS
N
L
= I N
L
y L la posición del
den
o del elemen o n. Los é -
G ienen s
i
gni icado semejan--
-1:(J
Haciendo,
!iKJ = ·'·
H"
KJ K
-¡.
J
!i10
=
.,.
H"
-K
J +
CK K
=
J
la ecuación (12) se
ans o ma en
E !iKJ 1::!J
=
E §KJ !J
nodos nodos
(13)
(
1
4)
Es ableciendo (
1
4 ) pa a
odos los no
dos del con o no se ob iene un sis ema
=
de ecuaciones;
H u = G
(15)
cuya solución nos esuel e el p oblema -
de con
o no . La solución en cualquie --
pun o in e no puede ob
ene se a a es
de la ecuación (8) una ez disc e
izada .
Si el p oblema dinám
i
co que se a a
de esol e no es de ipo a mónico, p e-
iamen e al p oceso de solución med
i
an
e
el M.E.C. hab á de ob ene se la ans o
mada de Fou ie de los alo es conocidos
y inalmen e la ans o mada in e sa de
la solución ob en
i
da median e (
1
5).
INTERACCION DINA
M
ICA SUELO-ESTRUCTURA
Las ca ac e ís icas p opias del sue-
lo sob e el que se encuen a una es
c-
u a , ienen una in luencia muy ap ecia-
ble sob e su espues
a dinámica, pa
icu
la men
e cuando s
á some ida a una solI
ci
ación sísmica. Es
e hecho ha dado lu
=
ga a p ocedimien
os de cálculo so is i-
cados que ha
n
o igi
n
ado a su ez comple
jos p og amas de compu ado . Exis e
n
-=
u
n
dam e
n
a lm e
n
e dos mé odos de cálculo
pa a e
n
e e
n
cue
n
a la in lue
n
c ia de -
las ca ac e ís icas del suelo sob e la
espues a di
n
ámi ca de u
n
a es uc u a; -
el mé odo di ec o y el mé odo de los --
es pasos. E
n
el p ime o, el sis ema -
suelo-es uc u a co
n
ju
n
ame
n
e , es mode
lado media
n
e Eleme
n
o s Fi
n
i os y a
n
a lI
zada su espues a a
n
e u
n
a solici acióñ.
E
n
el mé odo de los es pasos, se de--
e mi
n
a
n
sepa adame
n
e : el mo imie
n
o
al
n
i e l de u
n
cimie
n
o ígido y si
n
ma
sa, la ma iz de igidez (impedancia)=
de la cime
n
a ció
n
a
n
e u
n
a solici ació
n
a mó
n
ica . po Gl imo, se ealiza el --
a
n
á li si s di
n
ám ico de la es uc u a so ne
ida al mo imie
n
o calculado e
n
el p i=
me paso y sob e u
n
cimie
n
o co
n
la i-
gidez calculada e
n
el segu
n
d o . E
n
[4]-
puede e
n
con a se u
n
es udio compa a i-
o de ambos mé odos,
El a
n
á li sis de la igidez di
n
ámica
de imen ación co
n
di e sa geome ia es
n
o sólo uno de los es pasos del mé o-
do i
n
d i ec o , si
n
o que cons i uye e
n
sí
mismo u
n
p oblema de i
n
e és pa a el di
seño de cimie
n
o s de máqui
n
as . Es e p o
blema ha sido abo dado co
n
éxi o de o
ma a
n
a lí i ca po VELETSOS y WEI [5] p
a el caso pa icula de u
n
cimie
n
o --
ci cula supe icial. La exis e
n
cia de
e
n
e am i e
n
o o o mas a bi a ias ha -
sido e
n
i da en cue
n
a media
n
e a iados
mé odos
n
um é ico s , habida cue
n
a de que
el más ex e
n
d i do de los mé odos
n
umé i-
cos, el de los Eleme
n
o s Fi
n
i o s , esul
a muy ca o e
n
los casos idime
n
sio
n
a=
les. WO G y LU O [6J calcula on i id
ces de cime
n
a cio
n
e s e
n
la supe icie -
de u
n
semiespacio elás ico i
n
e g an d o -
la solució
n
u
n
dam e
n
a l de LAMB; lo - -
cual ímplica g a
n
ca
n
id a d de iempo de
compu ado dado que la solució
n n
o se -
e
n
cu en a e
n
o ma explíci a si
n
o e
n
--
u
n
ció
n
de una doble in eg al sob e u
n
dominio i
n
i
n
i o . Tambié
n
emplea o
n
es-
e mé odo pa a esol e el p oblema de
di acció
n
[7] . U
n
p ocedimie
n
o seme-
ja
n
e ha sido empleado po KITAMURA y -
SAKURAI e
n
[BJ . De e e
n
e se e
n
cue
n
-
a ademas, que los me odos que hacen --
uso de la solució
n
de LAMB solo son á
lides pa a cimie
n
o s supe iciales.
E
n
el p ese
n
e a ículo se calcula
n
igideces di
n
ámicas de cimen aciones --
cuad adas co
n
dis i
n
o s g ados de e
n
e -
amie
n
o e
n
u
n
semiespacio elás ico, -
hacie
n
do uso del mé odo de los eleme
n
- -
os de con o
n
o . Es o pe mi e el em- -
pleo de la solució
n
u
n
dam e
n
a l de ---
DOYLE y CRUSE que puede se i
n
e g a da
co
n
acilidad sob e los eleme
n
o s . La -
exis e
n
c ia de amo iguamie
n
o his e e ico
e
n
el suelo puede se e
n
ida e
n
cue
n
a
co
n
solo conside a el modulo de elas i
cidad ans e sal co
n
u
n
a compo
n
en e -
72
imagi
n
a ia .
El uso de u
n
a solució
n
u
n
dam e
n
a l ,
pa a el espacio comple o obliga a i
n
e-
g a sob e la supe icie i
n
i
n
i a del -
semiespacio, lo cual implica ía u
n
a <lis
c e izació
n
de dicha supe icie. Es a-
da luga a ap oximacio
n
e s ob e
n
ida s di
c e iza
n
d o G
n
icam e
n
e u
n
a pa e de la
supe icie p oxima al cimie
n
o . Si dis
pusie amos de u
n
a solució
n
undame
n
a l-
pa a el semiespacio que ue a ácilme
n
-
e i
n
eg ab le ,
n
o se ía p ecisa la dis-
c e izació
n
de la su e icie lib e del
suelo. Au
n
qu e APSEL L9] ha es ablecido
u
n
a pa a el semiespacio es a i icado,-
esul a muy labo iosa ya que hace uso,-
de u
n
desa ollo del mo imie
n
o de los
es a os, e
n
el domi
n
io de los
n
Gm e o s
de·o
n
da s de los modos p opios de ib a-
ció
n
, lo que da luga a que la solució
n
undame
n
al quede e
n
u
n
c ió
n
de i
n
e g a
les ex e
n
d id a s sob e u
n
domi
n
io i
n
i
n
i=
o y que la e aluació
n
e i
n
eg ac ió
n
de
dicha solució
n
co
n
sum a mucho iempo de
compu ado .
E
n
las e e encias [
1
0 , 11] ya se -
ob u ie o
n
igideces de cime
n
a c io
n
es -
hacie
n
do uso del Mé odo de los Eleme
n
--
os de Co
n
o
n
o . E
n
Í12J u
n
o de los au-
o es empleó el Mé odo pa a p oblemas -
de di acció
n
. A co
n
i
n
ua c ió
n
se p ese
n
a, u
n
a o ma combi
n
a
da , media
n
e-e l me
odo de las image
n
e s , de la solució
n
-=
u
n
dam e
n
a l de DOYLE y CRUSE, que pe mi
e educi los e o es come idos po la
elimi
n
a c ió
n
de pa e de la supe icie -
sob e la que se ex ie
n
d e
n
las i
n
e g a- -
les de co
n
o n o .
EMPLEO DEL METODO DE LAS IMAGENES PARA
LA OBTENCION DE UNA NUEVA SOLUCION FUN-
DAMENTAL
E
n
los p oblemas de igideces de ci-
me
n
a cio n e s , la supe icie S del domi--
n
io, que debe se disc e izada, se compo
n
e de dos pa es
(
F igu a 1
)
: S1 de i
n
-=
e ase en e semiespacio elás ico y ci-
mie
n
o , y S2 que co espo
n
d e a la supe
icie lib e del suelo y se ex iende has-
a el i
n
i
n
i o . Dado que se cumple
n
las
X
Figu a 1. Domi
n
io
co
n
d ic io
n
e s de egula idad, las in eg a-
1.
1
les sob e la supe icie de adio in ini
o que ce a ía el
dominio,
son nulas.-
En es e caso, la ecuación (9) puede
se esc i a e
n
la o ma:
e
u =
J!:!
_ dS
-p -p
S1
ya que!
=
Q sob e s2.
(16)
La ecuació
n
pa a un nodo k
u
n
a ez
disc e izada, se á de la o ma:
k +
1
[ JT i
n)
ds]u
<n
E [
JT N
(n )
ds]u
(n)
=
n
=
1
n=
N1
elem. 8n elem. 3n
•n [
N
(
nl
a s J
(
n
)
(17)
elem.
n
do
n
d
e N1 es el
n
Gme o de eleme
n
o s en
s
1
, y el segu
n
do suma o io se ex iende
has a in ini o, supues o que los eleme
n
os de con o no so
n
ini os. Es e suma
o io es el que ha de se uncado,
in-
oduciendo asi u
n
e o , además del ya
inhe e
n
e al p oceso de disc e ización.
La ma iz T iene la o ma:
T
=
(18)
Es ácil comp oba en la ecuacio
n
(6), que si el
n
o
d o k se e
n
cu e
n
a so--
b e el plano z
=
O, la ma iz T ·pa a un
eleme
n
o en ese mismo plano, }ene cin-
co de sus eleme
n
o s nulos, siendo de la
o ma:
o
.
T
=
O (
1
9
)
Es e hecho a oja luz sob e los p o
blemas co espondie
n
e s a cimen aciones
supe iciales, en los que sob e odos -
los elemen os, la ma iz! es de la --
o ma
(
1 9 ) , y pa a los que se ob ienen
bue
n
o s esul ados aG
n
co
n
side ando muy
pocos eleme
n
o s sob e la supe icie S2,
Cuando se a a de cimen aciones en
73
e adas, en las ecuaciones co espon--
dien es a nudos de la in e ase suelo--
es uc u a, la ma iz T pa a los ele--
men as de S2 es lle
n
a .-Ah o a bie
n
, si -
en ez de u iliza la solución undame
n
al de DOYLE y CRUSE, empleamos, pa a=
pu
n
o s de z # O, la compues a po , una
ca ga a mó
n
ica u
n
idad concen ada e
n
el
pun (xP? Yp, Zp)
o a i ual e
n
mod
lo di eccion y se
n
i
do , aplicada en el
pu
n
o (xp, Yp, -zp) como se indica e
n
la igu a 2, la ma iz I,
'1
-z
p
X
y/!
z
z
p
Figu a 2. Solución Fundamen al
e
n
los pu
n
o
s de la supe icie z = 0,-
iene sus é minos T11
=
T22= T12
=
T2
1=
T
3
3
=
O
y los es an es son de la o ma:
T13
=
A[-2c<n
3
,1 -2 ,1 ' 3ó )-
on
-2D ,
1
,"3 ó + 2E n
3
J
on
,
1
T2
3=
T3
1
=
T32
=
do
n
de
:
A =
A[-2c<n
3
'
2 -2
• 3ó )-
,2 on
2D 2 ó + 2E n
3
J
3
,2
' '
on
A [
2B '1 n
3
+(4C -2D) ,1 ó ]
,
3
A[ 2B 2 n3+
(
4C -2D) 2
' ,
ó ]
,
3
1
4
(20)
c21a)
B
=
c
=
D
=
E
=
iw
(-
c
s
2
+
2
x
c x
2
d
iw
3
-y
-) e s
+
iw
e
-cP
C 6C
( )
2
(
cp iw
[c:P)
2
_
2
]
s
[
c ijJ
_ c x _
d d c]
6C
2
p
+
w
(
2
1
b)
Con el uso de dos ca gas an imé i-
cas se ha conseguido que, ambién en ci
men aciones en e adas, la ma iz T pa=-
alos elemen os sob e la supe icle
s
2
,
o ne la o ma indicada en (19). No ese
que odos los é minos de la diagonal -
son nulos y que cuando se dé un no i- -
mien o, po ejemplo según x, al cimien-
o el mo imien o de la supe icie se á
undamen almen e según x, siendo de me-
no impo ancia u ; que es p ecisamen-
e el que nul
ipli a a la componen e
de T
no nula en la supe icie lib e del sue
lo. Cabe espe a pues, que el e o co-
me ido al desp ecia é minos del segun
do suma o io de (17) a pa i de un -=-
cie o núme o de elemen os, disminuya -
sensiblemen e po el hecho de emplea -
la solución compues a en ez de la sim-
ple.
RIGIDECES DINAMICAS DE CIMENTACIONES
TRIDIMENSIONALES ENTERRADAS
A con inuación, se analizan algunos
de los esul ados ob enidos haciendo --
uso de la solución compues a, y se com-
pa an con los de la simple. Se han a-
ado cimen aciones de plan a cuad ada -
con dis in o g ado de en e amien o. --
Las dimensiones de las mismas ue on
2
Bx2BxE , y se o na on dis in as elacio
nes
EíB.
Se emplea án elemen os de coñ
o no con o ma ec angula , con un só=-
lo nodo en su cen o y unción de o ma
c ns an e. En la igu a 3, puede ap e-
cia se el ipo de disc e ización de la
supe icie empleado. (Se mues a 1/4 de
bido a la sime ía exis en e).
Se ob u ie on esul ados, haciendo
uso de la solución undamen al de DOYLE
y CRUSE. (Solución G)) y empleando la so
lución compues a median e el mé odo ,de-
74
Figu a 3. Disc e ización
las i nágenes.(Solución (2) ). Además, pa
alos dos ipos de solución undamen a
se abo dó ambién el p oblema en la hipo
esis de que la coo denada z es indepen=-
dien e de x e y,las cuales po su pa e,
sí es án acopladas en e si. Llama emos
Solución ® a la co espondien e a la -
solución undamen al simple y @ a la -
compues a.
En la igu a 4 pueden ap ecia se
ejemplos de co no a ia el alo de las -
componen es de la igidez es á ica - -
(w = O, 01), dependiendo de la can idad
de supe icie
s
2 disc e izada. Debe --
des aca se cómo las solucion2s (2) y@ -
man ienen, desde una disc e ización nula
de S
2
, un alo p óximo a aquél que i--
nal nen e ienden G) y
®.
Es e hecho -
congue da de mane a excelen e con lo que
cabia espe a del uso de la solución un
da nen al compues a. Cuando E/B =
o,
las
soluciones G) y ® coinciden lógicamen
e con las (2) y
@ espec i amen e. -
Pa a el es udio de la a iación de -
la igidez con la ecuencia, los é mi-
nos de K son esc i os en la o ma ípi
ca
o
K
.. = K, .(k .. + i a
0
c, .) (
2 2
)
l] l] l] l]
donde a
0
= B/·Cs es la ecuencia adi-
mensional.
Comen a emos b e emen e, de en e --
los esul ados ob enidos, algunos que --
conside a nos ep esen a i os. En las i-
gu as 5 y 6, puede ap ecia se como a iill
!
i .
1
1
27.95
K
K
XX
24.73
21. 50
15;05
O.OB
57.21
<P
1
<P
1
50.61
44.00
37.40
30.80
O.OB
0.8B
0.8B
1. 7B
(a)
1. 78
(c)
o
Sol.
<D
Sol.
85
<1
*
Sol.
+
Sol.
@
2.5B 3.3B
Disc . Sup.
oSol.
1
<l
Sol.
Sol.
+
Sol.
®
2.5B 3. 3B
Disc . Sup.
13 .1
2
K
zz
11.61
10.10
8. 58
7.07
O. OB 0.8B 1. 7B
(b)
o
Sol.
<D
Sol. (2)
*
Sol. ®
+
Sol. ®
2.SB 3 3B
Disc . Sup.
2
1
5 .11
- -
,
K
<P3
<P
3
190.
2
7
1
165.43
140.SS
115.75
O.OB 0,8B 1. 7B
(d)
oSol.
<1
Sol.
•Sol.
+Sol.
2,SB 3.3B
Disc . Sup.
Fig. 4.- Rigi eces es á icas.
y cxx con la ecuencia, en un ci--
nien o con E/B =
2
, cuando se o na una
disc e ización nula de
s
2
( ig. 5) y -
cuando se disc e iza S2 has a una di
ancia 3.3 B del bo de del cimien o -
( ig. 6). Puede ap ecia se co no pa a -
kxx se ienen en odos los casos esu!
ac os de p ecisión acep able, mien as
que pa a Cxx,
al aumen a la disc e i-
zación, las soluciones (j) y @ se --
ap oximan a (2) y @ que a ia poco. -
En las igu as 7 y 8, puede ap ecia se
una e olución semejan e pa a kzz y Czz
en un cimien o con g ado de en e amien
o meno (E/B =
2
/3). En el caso de-=-
c
<P <P
, siendo E/B = 4/3, p esen ado -
1 1 en las igu as 9b · y 10b, los -
esul ados a ian poco de una solución
a o a. El é mino k
<P
<P , igu a 9a
y 10a, sin emba go, se 1 1 compo a de
mane a muy semejan e pa a las solucio--
nes (l) y (2) en la mejo de las disc e
75
c e izaciones quedando las soluciones®
y @ sepa adas de o ma ap eciable.Los
alo es de las _soluciones G) y (2) se -
modi ican con la educción de la disc e
ización de
s
2 de o ma semejan e -=
aunque en sen ido con a io. Es e da o
que se ap ecia pa a la igidez de bala
ceo en cimen aciones muy en e adas, no
mues a ninguna mejo a en los esul a--
dos po el hecho de emplea la solución
compues a. Sin emba go el g ado de en-
e amien o es meno , po ejemplo --
-
E/B = 2/3, cla amen e se ob iene meno
a iación en los esul ados, al educi
la can idad de
s
2
disc e izada, con -
la solución (2) que con la <1) . La al
a de mejo a en los esul ados an es cI
ada, puede se debida al hecho de que
en el mo imien o de balanceo de cimen a
ciones muy en e adas, los no i nien ós-
ho izon ales y é icales son de magni-
ud semejan e y los é minos de ue a -
K
XX
1. 2 5
1. 00
0.7
o
<I
0.5 •
Sol.
Sol.
Sol.
Sol. @
®
a
o
0.25+- .-- --.-
-.- -
--j
o.o
0.4 0.8
(a)
1. 21. 6
2. 00
c
XX
1. 5
O
1. 00
o.so
0.00
o. o
,.
Sol.
Sol.
;o¡ Sol.
+Sol.
0.4
G)
@
0.8
(b) 1.2 1.6
Fig. 5.- In luencia del ip<;> de.solución emJ.?l ada sob e
Kxx Y Cxx·(E/B=2. Sin disc . supe icial)
de la diagonal de T adquie en mayo im-
po ancia ela i a En al caso, los -
esul ados ob enidos con la solución
(2), mejo a án conside ando como p oble
mas independien es los de aplica suce
si amen e las componen es ho izon al y
e ical, del mo imien o de las pa edes
del cimien o.
En las igu as 11 y 12, puede ap e-
cia se cla amen e como, en el caso de -
K
1. 2
5
XX
1. 00
0.75
Cl
<I
o.so
ll'
Sol.
Sol.
Sol.
Sol.
G)
a
o
0.25 . -,- --,.-- -.- --J
o. o
0.4 O. 8
(a)
1. 21. 6
la igidez ho izon al, la solución un-
damen al compues a (2) , se e sensible
men e menos a ec ada po la can idad de
supe icie
s
2 disc e izada que la G).
Po úl imo, la igu a 13 mues a la in-
luencia p ac icamen e nula de la can i
dad de supe icie lib e disc e izada,
sob e la igidez dinámica de o sión --
cuando se emplea la solución undamen--
al compues a. Es a in luencia, si - -
bien no es muy g ande, es ap eciable en
2. O
O
c
XX
1. 50
1. 00
o
<I
o.so
•
+
º·ºº
o. o
Sol. (j)
Sol.
(2)
Sol. @
Sol.
®
0.4
O. 8
(b)
1. 21. 6
Fig. 6.- In luencia del ipo de solución empleada sob e
Kxx Y Cxx·(E/B=2. Disc . supe icial 3.3 B)
76
1. 25
K
zz
1. 00
0.75
o
Sol.
<J Sol.
w
Sol.
O.óO + Sol.
O. 2 5
o. o
0.4
<D
(2)
@
®
O. 8
(a)
1.2 1.6
2.00
c
zz
1. 50
1. 00
o.so
º·ºº
.
" .
.. ...
e
Sol.
<I Sol.
(2)
Sol. @
+Sol. @
o. o
0.4 O. 8 1. 21. 6
(b)
Fig. 7.- In luencia del ipo de solución empleada sob e
K y C .(E/B=2/3. Sin disc . supe icial)
zz zz
cimen aciones en e adas, cuando se em-
plea la solución simple.
CONCLUSIONES
Se ha p esen ado en p ime u
9
a , -
como median e el mé odo de las imagenes
se puede ob ene una solución undamen-
al que educe sensiblemen e, en los --
p oblemas de cimen aciones, el núme o -
1. 25
K
zz
1. 00
0.75
o
•
o.so
+
0.25
o.o
Sol.
Sol.
Sol..
@
Sol.
®
0,4 0.8
(a)
1. 2 1. 6
de componen es no nulas sob e la supe -
icie _lib e del suelo, de los ec o es
ensión p oducidas po las ca gas con--
cen adas según las es di ecciones x,
y, z. Es e hecho ha pe mi ido ob ene
buenos esul ados pa a las igideces es
á icas aún con un núme o muy educido-
de elemen os en la supe icie lib e del
suelo. También ha pe mi ido disminui
la in luencia del uncamien o de la --
disc e ización de la supe icie lib e -
2.00
zz
1. 50
1. 00
ll
4
•
o.so
+
O.DO
o. o
--:-- ::.
Sol.
Sol.
Sol.
®
Sol.
®
0.4 0.8
(b)
;:..---: --
1. 21. 6
Fig. 8.- In luencia del ipo de solución empleada sob e
K y C ,(E/B=2/3. Disc . supe icial 3.3B)
zz zz
77

1.
2 5
K
<P
1
<P
1
1. 00
(a) 0.75
o.so
o. o
0.4
1.
2 5
K
<P
1
<P1
1. 00
(a)0.75
o.so
2
.00
o
Sol.
<D o
Sol.
Sol.
(2)
Sol.
q
<P1
<P1
Sol.
$•
Sol.
•
+
Sol. 1. 50
+
Sol.
:b) 1. 00
o.so
0.00 a
,..,
0.8 1.2 1.6
o.o
0.4 0.8 1.
2
Fig. 9.- In luencia el ipo de solución empleada sob e
K
<P <P
y C
<P
<P ,(E/S=4/3. Sin disc . supe icial)
1 1 1 1
2
.00
o
Sol.
o
Sol.
e
q
Sol. <P1
<P1
-4
Sol.
•Sol.
$
1.
5
0
•
Sol.
+Sol.
+
Sol.
(b)1.00
0.
5
0
<D
(2)
®
®
1. 6
a
0,
2 5
+- ..- ...- -º
--
0.00 a
K
XX
i. 2
5
(a) 0.75
0.
5
0
o.o
0.4 0.8 1.2 1.6
o.o
0.4 0.8 1.
2
Fig. 10. -In luenci den. ipo de solución empleada sob e
K
<P
1<P1 Y C
<P
1<Pi.(E {B=4/3 . Disc . supe icial 3.3B)
oDisc. 0.0B
<I Disc. 0.88
•Disc. 1.7B
+Disc. 3.3B
2.00
1. 50
(b)
1.00
0.
5
0
oDisc.
<1
Disc.
*
Disc.
+Disc.
O. 2 5 · ,----
---,
- - --,--------1
º·ºº
o.o
0.4 0.8 1.2 1.6
o.o
0.4 0.8
Fig. 11.- In luencia de la can idad de supe icie
lib e disc izdlda sob e K y C (Sol. <D
)
XX XX
78
1. 2
1.
e
0.0B
O. 8B
1. 7B
3. 3B
1. 6
j'
1.
2
5
K
XX
1. 00
o.
75
o.so
o.o
0.4
o
<l
•
+
0.8
(a)
Disc.
Disc.
Disc .
Disc.
1. 2
O.OB
0.8B
1. 7B
3.3B
1. 6
2.00
e
XX
1.
5
0
1.
.oo
o.so
º·ºº
o. o
0.4 O
.·8
(b)
..
oDisc. O.OB
4
Disc. 0.8B
*
Disc. 1.7B
+Disc. 3.3B
1. 2
.::
1. 6
F. 12.- In luencia de la can idad de supe icie
ig. ( 1
,,¡,,)
lib e disc e izada sob e Kxx Y Cxx So
• i./
1. 2
5
K
<P3<P3
1. 00
0.75
o.so
o.o
0.4
a
4
•
-+
0.8
(a)
Disc. O.OB
Disc. 0.8B
Disc
. 1.7B
Disc. 3.3B
1.2 1.6
e
2.00
<P
3<P3
1.
5
0
1. Oíl
o.so
º·ºº
o.o
0.4
oDisc.
4
Disc.
.- Disc.
Disc.
O. 8
(b)
1. 2
O.OB
0.8B
1. 7B
3.3B
1. 6
· 13.- In luencia de la can idad de supe icie lib e
ig. disc e izad'3. sob e K
,i_
.+.
y C
<P
<ji"
(Solución
(2)
)
,
del suelo, sob e los coe icien es diná-
micos de las igideces, en la mayo pa
e de los casos.
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80
ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982
DIRECCION DE BUSQUEDA EN PROGRA-
MACION NOLINEAL EN GRAN ESCALA
CON CONDICIONES LINEALES Y POCA
DENSIDAD. METODO NEWTON-TRUNCADO
REDUCIDO (NTR) .
Lau eano F. Escude o
Cen o de In es igación UAM-IBM, Mad id
Resumen.- Una de las me odologías
más u ilizadas en p og amaci6n ng
lineal con condiciones lineales
u iliza los mé odos de educci6n
de a iables de p og amación li-
neal y los mé odos Quasi-New on
je p og amaci6n nolineal sin es
icciones. El p incipal incon e-
nien e consis e en que la Hessia-
na educida, gene almen e, es muy
densa y de g andes dimensiones.
Se p esen a una al e na i a en la
que se man iene la con e gencia
supe lineal pe o no se exige ob-
ene explíci amen e dicha ma iz.
INTRODUCCION
Un p oblema de p og amaci6n ñolineal
con condiciones lineales y a iables aco
adas consis e en
(1¡
donde
(
2)
donde A es la ma iz m.n de condiciones,
by b son
los ec o es de dimensión m
que de inen los lími es de las condicio-
nes, y U y 1 son los ec o es de dimen-
sión n que aco an las a iables. Sea M
el conjun o de condiciones con ca dinal
m. Sea E el conjun o de condicion s de
igualdad (y, po an o, i€E pa a bi=ei),
y M-E el conjun o de condici9nes de des-
igualdad al que
i€M-E
pa a b
i
>
e
i
• Sea J
el conjun o de a iables con ca dinal n.
El sis ema AX-Y
=
b pa a b-b Y O,donde
y es el ec o de a iables de holgu a,
siendo X el ec o de a iables es uc-
u ales, es equi alen e al sis emab AX
y, pa a una exposición eó ica, es más
con enien e.
El pun o
X
se á s9l ci6n ac ibl al
p oblema (1)-(2) si AX-Y=e pa a b-e Y O.
Sea w el conjun o de condiciones ac i as
pa a el pun o
X;
una condición es ac i a
si se cumple es ic ame e e! signo_de
igualdad. Po an o, i€W si Yi=O ó Yi
=
b.-b.; es p eciso no a que E W. De o -
l. -l.
81
ma análoga, el conjun o de a iables ac-
i as
V
en el pun o
X
es el conjun o de
a iables qÚe oman el al9 de_uno de
sus lími es; po an o, j€V si_Xj=Uj 6
Kj=lj. Sean, espec i amen eL i los
ca dinales de los conjun os W y V.
La unción obje i o F(X) es una un-
ción nolineal con las siguien es p opie-
dades: F(X) es con ínua y dos eces di e-
enciable; al menos pa a X'€F ( odo pun-
o ac i le), los ni eles L(X') es án !
ni amen e aco ados.
L(X')á {X€F, F(X)$F(X')}
(3)
El obje i o consis e n ob ene un
pun o mínimo local debil R; es deci , un
pun o €F pa a el cual exis e ó>O al
que
(4)
El pun o
es mínimo local ue e
cuando ia elación
an e io es de es íe
a desigualdad.
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD
Condiciones necesa ias, pe o no su i-
cien es, pa a el pun o pueden e se en
[1,2]. Condiciones equi alen es a las an-
e io es, pe o que ienen la en aja de
que son más ácilmen e u ilizables, son
las siguien es [3,4].
(i) €F ( ac iblel. * .
(ii) El g adien e g=g(X) es una
combi ·
nación lineal de
los g adien es (cons an-
es, en es e caso) de las condiciones y
a iables ac i as, al que
* * * * * (
)
g=Aµ+I>.. 5
* * a· .
donde A es la subma iz .n de con icio-
nes ac i as en l.que el* ec o ila
A. oe enece al si l.€ , e I es la sub-
m! iz .n esul an e de elimina de la
ma iz iden idad las ilas co espondie
es a las a iables {j} al que j/V.
Se denomina ec o es mul iplicado es
de Lag ange, espec i amen e, de las c
diciones (6 a iables de holiu y a i
bles ac i as a los ec o esµ y A.
(ii')
Se demues a acilmen e [3] que
la condición (ii) es equi alen e a la