El uso de una solución fundamental compuesta para el cálculo de rigideces de cimentaciones mediante el método de los elementos de contorno

PRECISION DEL SISTEMA DE MEDIDA -Resolución del dispositivo electr nico al nivel de la malla ............. . -Precisión del dispositivo electr nico al nivel de la malla ............. . -Ampliación del dispositivo Óptico_ para un túnel de Sm de diámetro ....... . -Resolución del dispositivo optoelectrónico al ni - vel del túnel ..... . -Precisión rela tiva del dispositi vo opto-electronico al nivel del perfil del túnel (caso estático, vagón inmóvil) .............. . -Para la adquisición y registro - de cada punto del - perfil se dispone - una velocidad standard máxima del vehículo de ......... . -Cadencia máxima de adquisición .. -Espacio mínimo entre dos adquisi - iones (para una ve locidad de 1 m/s). -Dispersión media entre 2 adquisi ciones ............ . 20 µ m 40 µ m g = 1/500 10 mm 0,40% del diámetro del túnel. 1 m/s 4 perfiles por segundo. 0,25 m 0,2% del diámetro del túnel medido.- I 68 ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982 EL USO DE UNA SOLUCION FUNDAMENTAL COMPUESTA PARA EL CALCULO DE RIGIDECES DE CIMENTACIONES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO J , D , 1 ose ominguez Ramón Abascal 2 1Profesor Agregado de Estructuras de a E.T.S.I.I. de Las Palmas 2Profesor Ayudante de la Cátedra de Estructuras de la E.T.S.I.I. de Sevilla Resumen.- El problema de las rigideaes dinámicas de cimentaciones enterradas puede ser abordado por diversos métodos analíticos y numéricos más o me nos aproximados. Se presenta en primer lugar la formulación dinámica del Me todo de los Elementos de Contorno para este tipo de problemas. Se estudia cómo el empleo de una solución fundamental compuesta disminuye el número de términos despreciados al truncar la discretización de la superficie libre.- Se estudian algunos de los valores de las rigideces estáticas y dinámicas,- obtenidos con la solución fundamental compuesta, y se comparan con los --- correspondientes a la simple. Se apr cia que en la mayor parte de los casos, con la solución compuesta, se produce una reducción del error debido al - - truncamiento en la discretización de la superficie libre del suelo. INTRODUCCION El estudio de la propagación de ondas en medios elásticos, y viscoelasticos en general, constituye un área de - interés y actualidad permanente dentro de la mecánica de los medios continuos. Si bien los avances han sido importantí simas desde el lejano 1766 cuando -- EULER publicó su nota "De Sano Campana rum" sobre las vibraciones en las campa nas, nos encontramos aún lejos de dispo ner de soluciones explicitas para lama yor parte de los problemas reales plan teados. No obstante la existencia de -- computadores, ha permitido en los Últimos años la puesta a punto de métodos - numéricos mediante los cuales se obtienen soluciones aproximadas para muchos de estos problemas. Uno de los métodos es el de los Elementos de Contorno, que aunque no ha alcanzado el grado de des rrollo del de los Elementos Finitos, re sulta muy adecuado en determinadas situaciones, como por ejemplo aquellas -- que implican el estudio de grandes domi nios. Un problema que ha ocupado tradicio nalmente a los sismologos, y con poste rioridad también a los ingenieros civiles, es el de la propagación de ondas - en un semiespacio elástico, el cual, constituye la base del modelo para el - 69 estudio del comportamiento del suelo y - las construcciones enterradas en él, o - en su superficie, cuando se produce un - movimiento sísmico o una excitación diná mica de otro tipo. A continuación se plantea en primer lugar y muy brevemente, la formulación - del método de los elementos de contorno (M.E.C.) en problemas dinámicos, y se -- presenta el problema de interacción suelo estructura. Posteriormente, se estu-- dia cómo el empleo de una solución fund mental derivada a partir de la del pro-- blema de KELVIN, permite una mejora en - la consideración de la superficie infini ta de un semiespacio. Por Último se presentan valores de rigideces estáticas y dinámicas de cimentaciones, obtenidos -- con la solución fundamental propuesta, y se comparan con los que se obtienen em-- pleando la solución de una carga armónica concentrada. EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO EN PROBLEMAS ELASTODINAMICOS La formulación del M.E.C., de manera semejante a la del caso estático, puede hacerse a partir del teorema de reciprocidad de BETTI-RAYLEIGH (demostrado, por ejemplo en i1J que establece que: J ! * u' d S +p J é * u' +Ü' � + u' dV a SI V J o o = !' ,·,1:;1dS+p · *1::1·+ 1::1'+ ::'.' dV (l) S V donde!, f, son respec t ivam en t e los vectores de tensión en el contorno, --- fuerzas de volumen y mov i m ientos,de un cierto es t ado dinámico. El punto indica derivada respecto al t iempo . Las condiciones in i ciales para tal es t ado son: u ( ,o) = o u + o u( ,o) = V - o Las variables primas t' ,f' , ' , 'y tienen el mismo significado, para estado diferente. ( 2 ) o '.:! otro El s i gno * representa el producto - de convolución, que para dos funciones g( ,t) y h( ,t) viene dado por: g * h a J!( , t-s) h( , s)ds V x , V·T+ g ,., h = o V X E V. T- (3) Si empleamos unu transformada integral sobre la ecuación ( 1 ), por ejemplo la - de FOURIER, y suponemos cond i ciones in i ciales nulas, la relación de reciproci= dad se t ransforma en: I J. t'· '"ds +p (4) dV + p J( u'' donde el superíndice (*) formada de FOURIER. indica trans- Podemos tomar como estado pr i ma (') el dinámico análogo al problema de KELVIN que corresponde a la carga armónica en un punto y cuya solución en movim i en tos y tensiones fué ob t en i da por DOYLE- [ 2 ] y CRUSE [3]. En el caso t ridimensional, el movimiento y la tensión en un punto sobre - una superf i cie de normal n cuando la -- carga es t á dirigida en d i rección j t ie nen la forma: 1 u .. =---- Jl 4 11 P c 2 s [ 1/J ó .. -X r i r J l] , 'j (5) 70 T.· = Jl 1 2 [ di)! 1 ór C - --xHó .. -+ ctr r lJ ón ór dx n. )- J ór --xCn. r,j-2r,i r,j -)-2- r,. r,. -+ ón dr i J ón r 2 +e cP -dljJ 2 )( dljJ 2 -¡ -x)r,.n·J (6) ---- c 2 dr dr r J l s donde el término e i w t ha sido suprimido y las funciones x y 1jJ son de la forma: 3C 2 3C X = ( s 2 + 1) - w2 ..,, 2 + L iwr i w r 3C -C +-1: + 1) _:__E i w r r r c 2 s i w r 1jJ = (1 -22 + w r C e-e 2)--- iwr r lWr c ··e +-2) _e _ _.R i w r r 3C 2 p 22 + w r (7) En las expresiones Cs son respectivamen t e punto de apl i cación de leridades de las ondas an t eriores r,C y la distancia Pal la carga y las ce p y s. Con el uso de esta solución tal y suponiendo las fuerzas de f = O se obtiene para cualquier del interior de V, una ecuación de la identidad de SO M IGLIANA . u -p t ds -dS fundamen volumenpunto p del t ipo ( 8) donde los superíndices (*) han sido su-- primidos por comodidad. En el caso de considerar un punto -- del contorno S aparece una singular i dad en las integrales y la ecuación se t rans forma en: -· c u -p -p t ds -dS ( 9) Ecuación en la que las i n t egrales no incluyen el punto singular y la parte no - in t egrable ha dado lugar a la matriz de .. coeficientes, C , que depende de la geome t ría de s-Pen p. La aplicación de las cond i ciones de contorno sobre la ecuación (9) da lugar a una ecúación integral. La solución de es t a nos permite conocer y ten t o do el contorno. M ediante (8) puede cal cularse u en cualquier punto del domi nio y por-derivac i ón el tensor de t ensiones. Para resolver la ecuación integral, se realiza una discretización del con-- torno Sen elementos, expresandose las tens i ones y movimientos sobre estos en t érminos de sus valores en ciertos punt o s ("Nodos") y de unas funciones de i terpolación de tipo polinomico ("func i o nes de Forma"). u. = N 1 1 u. l + N 2 2 U, l + .... + J1 u1:1 = N'1 u l ll ( 1 0) t. = N 1 t +i t + .... + J1 t 1:1 = N'1 l l l l l siendo N J la función de forma asociada al nodo J y uJ, t las componen t es -- del movimiento l y v ctor tensión en d i -- cho nodo. De acuerdo con la discre t ización an terior, la ecuación (9) puede ser escrI t a para cada nodo K, en la forma: N [ J: i nl ds ] u(n) g.K1::1K + I: = n= 1 elem. N [ I (n) dS J t ( n) = E ( 1 1) n =1 sn elem. siendo rN 1 o o NL o º· ... N M o ol N(n) ·[: N 1 o o N2 o .... o N M º' N 1 o o 2 o O N M J o N .... u(n) = (u 1 1 1 2 2 2 MM M T 1 u2 U3 u 1 u2 U3 u 1 u 2 u3) t (n) -(t 1 - 1t1 2t1 3 t 2 1 t 2 2 t 2 3 t Mt M tM ? 1 2 3 M = .. numero de nodos por elemen t o La ecuación ( 1 1 ) ímplica sumator i os sobre todos los nodos del con t orno , de 71 manera que se puede escribir: g l< 1::lK + E !i;J 1::1j = E §KJ tJ (1 2 ) nodos nodos donde. u. y!· son los vectores de m9.v mientos-Jy t raóciones en el nodo J. !ikj es una suma extendida a los elementos a que pertenece J, de integrales de la - forma: siendo nodo J minos te. dS N L = I N L y L la posición del den t ro del elemento n. Los tér- G tienen s i gnificado semejan-- -1:(J Haciendo, !iKJ = ·'· H" KJ K -¡. J !i10 = .,. H" -K J + CK K = J la ecuación (12) se t ransforma en E !iKJ 1::!J = E §KJ !J nodos nodos (13) ( 1 4) Estableciendo ( 1 4 ) para t odos los no dos del contorno se obtiene un sistema = de ecuaciones; H u = G t (15) cuya solución nos resuelve el problema - de con t orno . La solución en cualquier -- punto interno puede ob t ener se a traves de la ecuación (8) una vez discre t izada . Si el problema dinám i co que se trata de resolver no es de tipo armónico, previamente al proceso de solución med i an t e el M.E.C. habrá de obtenerse la transfor mada de Fourier de los valores conocidos y finalmente la transformada inversa de la solución obten i da mediante ( 1 5). INTERACCION DINA M ICA SUELO-ESTRUCTURA Las características propias del suelo sobre el que se encuentra una es t r ct ura , tienen una influencia muy apreciable sobre su respues t a dinámica, par t icu larmen t e cuando s t á sometida a una solI ci t ación sísmica. Es t e hecho ha dado lu = gar a procedimien t os de cálculo sofisti- cados que ha n origi n ado a su vez comple jos programas de computador. Existe n -= fu n dam e n ta lm e n t e dos métodos de cálculo para te n er e n cue n t a la influe n c ia de - las características del suelo sobre la respuesta di n ámi ca de u n a estructura; - el método directo y el método de los -- tres pasos. E n el primero, el sistema - suelo-estructura co n ju n tame n t e , es mode lado media n t e Eleme n to s Fi n i tos y a n a lI zada su respuesta a n t e u n a solicitacióñ. E n el método de los tres pasos, se de-- termi n a n separadame n t e : el movimie n to al n iv e l de u n cimie n to rígido y si n ma sa, la matriz de rigidez (impedancia)= de la cime n ta ció n a n t e u n a solicitació n armó n ica . por Gltimo, se realiza el -- a n á li si s di n ám ico de la estructura sorne tida al movimie n to calculado e n el pri= mer paso y sobre u n cimie n to co n la rigidez calculada e n el segu n d o . E n [4]- puede e n cont r ar se u n estudio comparativo de ambos métodos, El a n á li sis de la rigidez di n ámica de imentación co n diversa geometria es n o sólo uno de los tres pasos del método i n d ir ect o , si n o que constituye e n sí mismo u n problema de i n t erés para el di seño de cimie n to s de máqui n as . Este pro blema ha sido abordado co n éxito de for ma a n a lít i ca por VELETSOS y WEI [5] p ra el caso particular de u n cimie n to -- circular superficial. La existe n cia de e n t err am i e n to o formas arbitrarias ha - sido te n i da en cue n ta media n t e variados métodos n um ér ico s , habida cue n ta de que el más exte n d i do de los métodos n umér icos, el de los Eleme n to s Fi n it o s , resul ta muy caro e n los casos tridime n sio n a= les. WO G y LU O [6J calcularon i id ces de cime n ta cio n e s e n la superficie - de u n semiespacio elástico i n t e gr an d o - la solució n fu n dam e n ta l de LAMB; lo - - cual ímplica gra n ca n t id a d de tiempo de computador dado que la solució n n o se - e n cu en tr a e n forma explícita si n o e n -- fu n ció n de una doble integral sobre u n dominio i n fi n ito . Tambié n emplearo n este método para resolver el problema de difracció n [7] . U n procedimie n t o seme- ja n t e ha sido empleado por KITAMURA y - SAKURAI e n [BJ . De e te n er se e n cue n - ta ademas, que los metodos que hacen -- uso de la solució n de LAMB solo son vá lides para cimie n t o s superficiales. E n el prese n t e artículo se calcula n rigideces di n ámicas de cimentaciones -- cuadradas co n disti n to s grados de e n te - rramie n to e n u n semiespacio elástico, - hacie n do uso del método de los eleme n - - tos de contor n o . Esto permite el em- - pleo de la solució n fu n dam e n ta l de --- DOYLE y CRUSE que puede ser i n t e gr a da co n facilidad sobre los eleme n to s . La - existe n c ia de amortiguamie n t o histeretico e n el suelo puede ser te n ida e n cue n ta co n solo considerar el modulo de elasti cidad transve sal co n u n a compo n en te - 72 imagi n a r ia . El uso de u n a solució n fu n dam e n ta l , para el espacio completo obliga a i n tegrar sobre la superficie i n fi n ita del - semiespacio, lo cual implicaría u n a <lis cretizació n de dicha superficie. Estada lugar a aproximacio n e s obte n ida s di cretiza n d o G n icam e n t e u n a parte de la superficie proxima al cimie n t o . Si dis pusieramos de u n a solució n fundame n ta lpara el semiespacio que fuera fácilme n - te i n tegrab le , n o sería precisa la discretizació n de la su erficie libre del suelo. Au n qu e APSEL L9] ha establecido u n a para el semiespacio estratificado,- resulta muy laboriosa ya que hace uso,- de u n desarrollo del movimie n t o de los estratos, e n el domi n io de los n Gm ero s de·o n da s de los modos propios de vibració n , lo que da lugar a que la solució n fundame n t al quede e n fu n c ió n de i n t e gr a les exte n d id a s sobre u n domi n io i n fi n i= to y que la evaluació n e i n tegr ac ió n de dicha solució n co n sum a mucho tiempo de computador. E n las referencias [ 1 0 , 11] ya se - obtuviero n rigideces de cime n ta c io n es - hacie n do uso del Método de los Eleme n -- tos de Co n tor n o . E n Í12J u n o de los autores empleó el Método para problemas - de difracció n . A co n ti n ua c ió n se prese n ta, u n a forma combi n a da , media n te-e l me todo de las image n e s , de la solució n -= fu n dam e n ta l de DOYLE y CRUSE, que permi te reducir los errores cometidos por la elimi n a c ió n de parte de la superficie - sobre la que se extie n d e n las i n t e gra- - les de co n tor n o . EMPLEO DEL METODO DE LAS IMAGENES PARA LA OBTENCION DE UNA NUEVA SOLUCION FUNDAMENTAL E n los problemas de rigideces de cime n ta cio n e s , la superficie S del domi-- n io, que debe ser discretizada, se compo n e de dos partes ( F igur a 1 ) : S1 de i n -= terfase entre semiespacio elástico y cimie n t o , y S2 que correspo n d e a la supe ficie libre del suelo y se extiende hasta el i n fi n it o . Dado que se cumple n las X Figura 1. Domi n io co n d ic io n e s de regularidad, las integra- 1. 1 les sobre la superficie de radio infini to que cerraría el dominio, son nulas.- En este caso, la ecuación (9) puede ser escrita e n la forma: e u = J!:! t_ dS -p -p S1 ya que! = Q sobre s2. (16) La ecuació n para un nodo k u n a vez discretizada, será de la forma: k + 1 [ JT i n) ds]u <n \ E [ JT N (n ) ds]u (n) = n = 1 n= N1 elem. 8n elem. 3n •nr [ f N ( nl a s Jt ( n ) (17) elem. n do n d e N1 es el n Gmer o de eleme n to s en s 1 , y el segu n do sumatorio se extiende hasta infinito, supuesto que los eleme n tos de contorno so n finitos. Este suma torio es el que ha de ser truncado, introduciendo asi u n error, además del ya inhere n t e al proceso de discretización. La matriz T tiene la forma: T = (18) Es fácil comprobar en la ecuacio n (6), que si el n o d o k se e n cu e n tr a so-- bre el plano z = O, la matriz T ·para un eleme n to en ese mismo plano, t}ene cinco de sus eleme n to s nulos, siendo de la forma: o . T = O ( 1 9 ) Este hecho arroja luz sobre los pro blemas correspondie n te s a cimentaciones superficiales, en los que sobre todos - los elementos, la matriz! es de la -- forma ( 1 9 ) , y para los que se obtienen bue n o s resultados aG n co n sider ando muy pocos eleme n t o s sobre la superficie S2, Cuando se trata de cimentaciones en 73 terradas, en las ecuaciones correspon-- dientes a nudos de la interfase suelo-- estructura, la matriz T para los ele-- mentas de S2 es lle n a .-Ah or a bie n , si - en vez de utilizar la solución fundame n tal de DOYLE y CRUSE, empleamos, para= pu n t o s de z # O, la compuesta por, una carga armó n ica u n idad concentrada e n el punt (xP? Yp, Zp) r otra i ual e n mod lo direccion y se n ti do , aplicada en el pu n t o (xp, Yp, -zp) como se indica e n la figura 2, la matriz I, '1 -z p X y/! z z p Figura 2. Solución Fundamental e n los pu n to s de la superficie z = 0,- tiene sus términos T11 = T22= T12 = T2 1= T 3 3 = O y los restantes son de la forma: T13 = A[-2c<n 3 r,1 -2r,1 r' 3ór)- on -2D r, 1 r,"3 ór + 2E n 3 J on r, 1 T2 3= T3 1 = T32 = do n de : A = A[-2c<n 3 r' 2 -2r r • 3ór)- ,2 on 2D r 2 ór + 2E n 3 J r 3 r ,2 ' ' on A [ 2B r '1 n 3 +(4C -2D)r,1 ór] r , 3 A[ 2B r 2 n3+ ( 4C -2D)r 2 ' , ór] r, 3 1 4 rr (20) c21a) B = c = D = E = iw (- c s 2 + r 2 x r ctx 2 dr iwr 3 -y -) e s + r r iwr e -cP r C 6C ( ) 2 ( cp iwr [c:P) 2 _ 2 ] s [ ctijJ _ ctx _ dr dr c] 6C 2 p + wr ( 2 1 b) Con el uso de dos cargas antimétricas se ha conseguido que, también en ci mentaciones enterradas, la matriz T pa=- ralos elementos sobre la superficle s 2 , torne la forma indicada en (19). Notese que todos los términos de la diagonal - son nulos y que cuando se dé un rnovi- - miento, por ejemplo según x, al cimien- to el movimiento de la superficie será fundamentalmente según x, siendo de me- nor importancia u ; que es precisamente el que rnul tipli a a la componente de T no nula en la superficie libre del sue lo. Cabe esperar pues, que el error cometido al despreciar términos del segun do sumatorio de (17) a partir de un -=- cierto número de elementos, disminuya - sensiblemente por el hecho de emplear - la solución compuesta en vez de la simple. RIGIDECES DINAMICAS DE CIMENTACIONES TRIDIMENSIONALES ENTERRADAS A continuación, se analizan algunos de los resultados obtenidos haciendo -- uso de la solución compuesta, y se comparan con los de la simple. Se han tratado cimentaciones de planta cuadrada - con distinto grado de enterramiento. -- Las dimensiones de las mismas fueron 2 Bx2BxE , y se tornaron distintas relacio nes EíB. Se emplearán elementos de coñ torno con forma rectangular, con un só=- lo nodo en su centro y función de forma c nstante. En la figura 3, puede apreciarse el tipo de discretización de la superficie empleado. (Se muestra 1/4 de bido a la simetría existente). Se obtuvieron resultados, haciendo uso de la solución fundamental de DOYLE y CRUSE. (Solución G)) y empleando la so lución compuesta mediante el método ,de- 74 Figura 3. Discretización las irnágenes.(Solución (2) ). Además, pa ralos dos tipos de solución fundamenta se abordó también el problema en la hipo tesis de que la coordenada z es indepen=- diente de x e y,las cuales por su parte, sí están acopladas entre si. Llamaremos Solución ® a la correspondiente a la - solución fundamental simple y @ a la - compuesta. En la figura 4 pueden apreciarse ejemplos de corno varia el valor de las - componentes de la rigidez estática - - (w = O, 01), dependiendo de la cantidad de superficie s 2 discretizada. Debe -- destacarse cómo las solucion2s (2) y@ - mantienen, desde una discretización nula de S 2 , un valor próximo a aquél que fi-- nalrnente tienden G) y ®. Este hecho - conguerda de manera excelente con lo que cabia esperar del uso de la solución fun darnental compuesta. Cuando E/B = o, las soluciones G) y ® coinciden lógicamen te con las (2) y @ respectivamente. - Para el estudio de la variación de - la rigidez con la frecuencia, los términos de K son escritos en la forma típi ca o K .. = K, .(k .. + i a 0 c, .) ( 2 2 ) l] l] l] l] donde a 0 = B/·Cs es la frecuencia adimensional. Comentaremos brevemente, de entre -- los esultados obtenidos, algunos que -- considerarnos representativos. En las figuras 5 y 6, puede apreciarse como variill ! i . 1 1 27.95 K K XX 24.73 21. 50 15;05 O.OB 57.21 <P 1 <P 1 50.61 44.00 37.40 30.80 O.OB 0.8B 0.8B 1. 7B (a) 1. 78 (c) o Sol. <D Sol. 85 <1 * Sol. + Sol. @ 2.5B 3.3B Discr. Sup. oSol. 1 <l Sol. Sol. + Sol. ® 2.5B 3. 3B Discr. Sup. 13 .1 2 K zz 11.61 10.10 8. 58 7.07 O. OB 0.8B 1. 7B (b) o Sol. <D Sol. (2) * Sol. ® + Sol. ® 2.SB 3 3B Discr. Sup. 2 1 5 .11 -r- , K <P3 <P 3 190. 2 7 1 165.43 140.SS 115.75 O.OB 0,8B 1. 7B (d) oSol. <1 Sol. •Sol. +Sol. 2,SB 3.3B Discr. Sup. Fig. 4.- Rigi eces estáticas. y cxx con la frecuencia, en un ci-- rniento con E/B = 2 , cuando se torna una discretización nula de s 2 (fig. 5) y - cuando se discretiza S2 hasta una di tancia 3.3 B del borde del cimiento - (fig. 6). Puede apreciarse corno para - kxx se tienen en todos los casos resu! tactos de precisión aceptable, mientras que para Cxx, al aumentar la discretización, las soluciones (j) y @ se -- aproximan a (2) y @ que varia poco. - En las figuras 7 y 8, puede apreciarse una evolución semejante para kzz y Czz en un cimiento con grado de enterramien to menor (E/B = 2 /3). En el caso de-=- c <P <P , siendo E/B = 4/3, presentado - 1 1 en las figuras 9b · y 10b, los - resultados varian poco de una solución a otra. El término k <P <P , figura 9a y 10a, sin embargo, se 1 1 comporta de manera muy semejante para las solucio-- nes (l) y (2) en la mejor de las discre 75 cretizaciones quedando las soluciones® y @ separadas de forma apreciable.Los valores de las _soluciones G) y (2) se - modifican con la reducción de la discre tización de s 2 de forma semejante -= aunque en sentido contrario. Este dato que se aprecia para la rigidez de bala ceo en cimentaciones muy enterradas, no muestra ninguna mejora en los resulta-- dos por el hecho de emplear la solución compuesta. Sin embargo el grado de enterramiento es menor, por ejemplo -- - E/B = 2/3, claramente se obtiene menor variación en los resultados, al reducir la cantidad de s 2 discretizada, con - la solución (2) que con la <1) . La fal ta de mejora en los resultados antes cI tada, puede ser debida al hecho de que en el movimiento de balanceo de cimenta ciones muy enterradas, los rnovirnientóshorizontales y vérticales son de magnitud semejante y los términos de fuera - K XX 1. 2 5 1. 00 0.7 o <I 0.5 • Sol. Sol. Sol. Sol. @ ® a o 0.25+- .-- --.- -.- - --j o.o 0.4 0.8 (a) 1. 21. 6 2. 00 c XX 1. 5 O 1. 00 o.so 0.00 o. o ,. Sol. Sol. ;o¡ Sol. +Sol. 0.4 G) @ 0.8 (b) 1.2 1.6 Fig. 5.- Influencia del tip<;> de.solución emJ.?l ada sobre Kxx Y Cxx·(E/B=2. Sin discr. superficial) de la diagonal de T adquieren mayor importancia relativa En tal caso, los - resultados obtenidos con la solución (2), mejorarán considerando como proble mas independientes los de aplicar suce sivamente las componentes horizontal y vertical, del movimiento de las paredes del cimiento. En las figuras 11 y 12, puede apreciarse claramente como, en el caso de - K 1. 2 5 XX 1. 00 0.75 Cl <I o.so ll' Sol. Sol. Sol. Sol. G) a o 0.25 . -,- --,.-- -.- --J o. o 0.4 O. 8 (a) 1. 21. 6 la rigidez horizontal, la solución fundamental compuesta (2) , se ve sensible mente menos afectada por la cantidad de superficie s 2 discretizada que la G). Por último, la figura 13 muestra la influencia practicamente nula de la canti dad de superficie libre discretizada, sobre la rigidez dinámica de torsión -- cuando se emplea la solución fundamen-- tal compuesta. Esta influencia, si - - bien no es muy grande, es apreciable en 2. O O c XX 1. 50 1. 00 o <I o.so • + º·ºº o. o Sol. (j) Sol. (2) Sol. @ Sol. ® 0.4 O. 8 (b) 1. 21. 6 Fig. 6.- Influencia del tipo de solución empleada sobre Kxx Y Cxx·(E/B=2. Discr. superficial 3.3 B) 76 1. 25 K zz 1. 00 0.75 o Sol. <J Sol. w Sol. O.óO + Sol. O. 2 5 o. o 0.4 <D (2) @ ® O. 8 (a) 1.2 1.6 2.00 c zz 1. 50 1. 00 o.so º·ºº . " . .. ... e Sol. <I Sol. (2) Sol. @ +Sol. @ o. o 0.4 O. 8 1. 21. 6 (b) Fig. 7.- Influencia del tipo de solución empleada sobre K y C .(E/B=2/3. Sin discr. superficial) zz zz cimentaciones enterradas, cuando se emplea la solución simple. CONCLUSIONES Se ha presentado en primer u 9 ar , - como mediante el método de las imagenes se puede obtener una solución fundamental que reduce sensiblemente, en los -- problemas de cimentaciones, el número - 1. 25 K zz 1. 00 0.75 o • o.so + 0.25 o.o Sol. Sol. Sol.. @ Sol. ® 0,4 0.8 (a) 1. 2 1. 6 de componentes no nulas sobre la superficie _libre del suelo, de los vectores tensión producidas por las cargas con-- centradas según las tres direcciones x, y, z. Este hecho ha permitido obtener buenos resultados para las rigideces es táticas aún con un número muy reducidode elementos en la superficie libre del suelo. También ha permitido disminuir la influencia del truncamiento de la -- discretización de la superficie libre - 2.00 zz 1. 50 1. 00 r ll 4 • o.so + O.DO o. o --:-- ::. Sol. Sol. Sol. ® Sol. ® 0.4 0.8 (b) ;:..---: --r 1. 21. 6 Fig. 8.- Influencia del tipo de solución empleada sobre K y C ,(E/B=2/3. Discr. superficial 3.3B) zz zz 77 1. 2 5 K <P 1 <P 1 1. 00 (a) 0.75 o.so o. o 0.4 1. 2 5 K <P 1 <P1 1. 00 (a)0.75 o.so 2 .00 o Sol. <D o Sol. Sol. (2) Sol. q <P1 <P1 Sol. $• Sol. • + Sol. 1. 50 + Sol. :b) 1. 00 o.so 0.00 a ,.., 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 1. 2 Fig. 9.- Influencia el tipo de solución empleada sobre K <P <P y C <P <P ,(E/S=4/3. Sin discr. superficial) 1 1 1 1 2 .00 o Sol. o Sol. e q Sol. <P1 <P1 -4 Sol. •Sol. $ 1. 5 0 • Sol. +Sol. + Sol. (b)1.00 0. 5 0 <D (2) ® ® 1. 6 a 0, 2 5 +- ..- ...- -º -- 0.00 a K XX i. 2 5 (a) 0.75 0. 5 0 o.o 0.4 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 1. 2 Fig. 10. -Influencif den. tipo de solución empleada sobre K <P 1<P1 Y C <P 1<Pi.(E {B=4/3 . Discr. superficial 3.3B) oDisc. 0.0B <I Disc. 0.88 •Disc. 1.7B +Disc. 3.3B 2.00 1. 50 (b) 1.00 0. 5 0 oDisc. <1 Disc. * Disc. +Disc. O. 2 5 · ,---- ---, - - --,--------1 º·ºº o.o 0.4 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 Fig. 11.- Influencia de la cantidad de superficie libre discr tizdlda sobre K y C (Sol. <D ) XX XX 78 1. 2 1. e 0.0B O. 8B 1. 7B 3. 3B 1. 6 j' 1. 2 5 K XX 1. 00 o. 75 o.so o.o 0.4 o <l • + 0.8 (a) Disc. Disc. Disc . Disc. 1. 2 O.OB 0.8B 1. 7B 3.3B 1. 6 2.00 e XX 1. 5 0 1. .oo o.so º·ºº o. o 0.4 O .·8 (b) .. oDisc. O.OB 4 Disc. 0.8B * Disc. 1.7B +Disc. 3.3B 1. 2 .:: 1. 6 F. 12.- Influencia de la cantidad de superficie ig. ( 1 r,,¡,,) libre discretizada sobre Kxx Y Cxx So •\i./ 1. 2 5 K <P3<P3 1. 00 0.75 o.so o.o 0.4 a 4 • -+ 0.8 (a) Disc. O.OB Disc. 0.8B Disc . 1.7B Disc. 3.3B 1.2 1.6 e 2.00 <P 3<P3 1. 5 0 1. Oíl o.so º·ºº o.o 0.4 oDisc. 4 Disc. .- Disc. Disc. O. 8 (b) 1. 2 O.OB 0.8B 1. 7B 3.3B 1. 6 r· 13.- Influencia de la cantidad de superficie libre ig. discretizad'3. sobre K ,i_ .+. y C <P <ji" (Solución (2) ) , del suelo, sobre los coeficientes dinámicos de las rigideces, en la mayor par te de los casos. REFERENCIAS 1. Achenbach J. D. nwave Progation in -7 3 Elastic Solids !r, North-Holland, 19 • 2 . Doyle J.M. "Integration of the LaJ?l ce Transformed Equations of Class.ical Elastokinetics, Journ. of Math. Anal. and Appl., 13, 1966. 3. Cruse T.A. y Rizzo F.J. "A Dire t -- Formulation and Numerical Solution - 79 't'3't'3 3 3 of the General Transient Elastodynamic Problem I", Journ. of Math. Anal. and Appl., 22 , 1968. 4. Kausel E. y Roesset J.M. "Soil Stru ture Interaction Problerns for Nuclear Containrnent Structures", ASCE Power Division Specialty Conference, Boulder, Colorado, 1974. 5. Veletsos A.S. y Wei Y.T. "Lat ral - and Rocking Vibration of Footings ,: Journ. of Solil Mech. and Found Divi sion, ASCE, 97, 1971. 6. Wong H. L. and Luco J. E: "DynafrnAicb e ponse of Rigid Foundations o r i-- trary Shape", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 4, 1976. 7. Wong H.L. and Luco J.E. 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Research Report R 78-24, Dept. of Civil Engineering, 1978. 80 ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982 DIRECCION DE BUSQUEDA EN PROGRAMACION NOLINEAL EN GRAN ESCALA CON CONDICIONES LINEALES Y POCA DENSIDAD. METODO NEWTON-TRUNCADO REDUCIDO (NTR) . Laureano F. Escudero Centro de Investigación UAM-IBM, Madrid Resumen.- Una de las metodologías más utilizadas en programaci6n ng lineal con condiciones lineales utiliza los métodos de reducci6n de variables de programación lineal y los métodos Quasi-Newton je programaci6n nolineal sin res tricciones. El principal inconveniente consiste en que la Hessiana reducida, generalmente, es muy densa y de grandes dimensiones. Se presenta una alternativa en la que se mantiene la convergencia superlineal pero no se exige obtener explícitamente dicha matriz. INTRODUCCION Un problema de programaci6n ñolineal con condiciones lineales y variables aco tadas consiste en (1¡ donde ( 2) donde A es la matriz m.n de condiciones, by b son los vectores de dimensión m que definen los límites de las condiciones, y U y 1 son los vectores de dimensión n que acotan las variables. Sea M el conjunto de condiciones con cardinal m. Sea E el conjunto de condicion s de igualdad (y, por tanto, i€E para bi=ei), y M-E el conjunto de condici9nes de desigualdad tal que i€M-E para b i > e i • Sea J el conjunto de variables con cardinal n. El sistema AX-Y = b para b-b Y O,donde y es el vector de variables de holgura, siendo X el vector de variables es ructurales, es equivalente al sistemab AX y, para una exposición teórica, es más conveniente. El punto X será s9l ci6n fac ibl al problema (1)-(2) si AX-Y=e para b-e Y O. Sea w el conjunto de condiciones activas para el punto X; una condición es activa si se cumple estrictame te e! signo_de igualdad. Por tanto, i€W si Yi=O ó Yi = b.-b.; es preciso notar que E W. De forl. -l. 81 ma análoga, el conjunto de variables activas V en el punto X es el conjunto de variables qÚe toman el val9r de_uno de sus límites; por tanto, j€V si_Xj=Uj 6 Kj=lj. Sean, respectivamenteL ti r los cardinales de los conjuntos W y V. La función objetivo F(X) es una función nolineal con las siguientes propiedades: F(X) es contínua y dos veces diferenciable; al menos para X'€F (todo pun- to facti le), los niveles L(X') están f! nitamente acotados. L(X')á {X€F, F(X)$F(X')} (3) El objetivo consiste n obtener un punto mínimo local debil R; es decir, un punto €F para el cual existe ó>O tal que (4) El punto es mínimo local fuerte cuando ia relación anterior es de estríe ta desigualdad. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Condiciones necesarias, pero no suficientes, para el punto pueden verse en [1,2]. Condiciones equivalentes a las anteriores, pero que tienen la ventaja de que son más fácilmente utilizables, son las siguientes [3,4]. (i) €F (factiblel. * . (ii) El gradiente g=g(X) es una combi · nación lineal de los gradientes (constantes, en este caso) de las condiciones y variables activas, tal que * *t* *t* ( ) g=Aµ+I>.. 5 * * a· . donde A es la submatriz t.n de con iciones activas en t l.que el*vector fila A. oertenece al si l.€ , e I es la subm!t iz .n resultante de eliminar de la matriz identidad las filas correspondie tes a las variables {j} tal que j/V. Se denomina vectores multiplicadores de Lagrange, respectivamente, de las c diciones (6 variables de holiur y vari bles activas a los vectoresµ y A. (ii') Se demuestra facilmente [3] que la condición (ii) es equivalente a la