El uso de una solución fundamental compuesta para el cálculo de rigideces de cimentaciones mediante el método de los elementos de contorno

PRECISION DEL SISTEMA DE MEDIDA -Resolución del disposi i o elec nico al ni el de la malla ............. . -P ecisión del disposi i o elec nico al ni el de la malla ............. . -Ampliación del disposi i o Óp ico_ pa a un únel de Sm de diáme o ....... . -Resolución del disposi i o op o- elec ónico al ni - el del únel ..... . -P ecisión ela i a del disposi i o op o-elec onico al ni el del pe il del únel (caso es- á ico, agón inmó- il) .............. . -Pa a la adqui- sición y egis o - de cada pun o del - pe il se dispone - una elocidad s an- da d máxima del e- hículo de ......... . -Cadencia máxi- ma de adquisición .. -Espacio mínimo en e dos adquisi - iones (pa a una e locidad de 1 m/s). -Dispe sión me- dia en e 2 adquisi ciones ............ . 20 µ m 40 µ m g = 1/500 10 mm 0,40% del diáme o del únel. 1 m/s 4 pe iles po se- gundo. 0,25 m 0,2% del diáme o del únel medido.- I 68 ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982 EL USO DE UNA SOLUCION FUNDAMENTAL COMPUESTA PARA EL CALCULO DE RIGIDECES DE CIMENTACIONES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO J , D , 1 ose ominguez Ramón Abascal 2 1P o eso Ag egado de Es uc u as de a E.T.S.I.I. de Las Palmas 2P o eso Ayudan e de la Cá ed a de Es uc u as de la E.T.S.I.I. de Se illa Resumen.- El p oblema de las igideaes dinámicas de cimen aciones en e a- das puede se abo dado po di e sos mé odos analí icos y numé icos más o me nos ap oximados. Se p esen a en p ime luga la o mulación dinámica del Me odo de los Elemen os de Con o no pa a es e ipo de p oblemas. Se es udia cómo el empleo de una solución undamen al compues a disminuye el núme o de é minos desp eciados al unca la disc e ización de la supe icie lib e.- Se es udian algunos de los alo es de las igideces es á icas y dinámicas,- ob enidos con la solución undamen al compues a, y se compa an con los --- co espondien es a la simple. Se ap cia que en la mayo pa e de los casos, con la solución compues a, se p oduce una educción del e o debido al - - uncamien o en la disc e ización de la supe icie lib e del suelo. INTRODUCCION El es udio de la p opagación de on- das en medios elás icos, y iscoelas i- cos en gene al, cons i uye un á ea de - in e és y ac ualidad pe manen e den o de la mecánica de los medios con inuos. Si bien los a ances han sido impo an í simas desde el lejano 1766 cuando -- EULER publicó su no a "De Sano Campana um" sob e las ib aciones en las campa nas, nos encon amos aún lejos de dispo ne de soluciones explici as pa a lama yo pa e de los p oblemas eales plan eados. No obs an e la exis encia de -- compu ado es, ha pe mi ido en los Úl i- mos años la pues a a pun o de mé odos - numé icos median e los cuales se ob ie- nen soluciones ap oximadas pa a muchos de es os p oblemas. Uno de los mé odos es el de los Elemen os de Con o no, que aunque no ha alcanzado el g ado de des ollo del de los Elemen os Fini os, e sul a muy adecuado en de e minadas si- uaciones, como po ejemplo aquellas -- que implican el es udio de g andes domi nios. Un p oblema que ha ocupado adicio nalmen e a los sismologos, y con pos e io idad ambién a los ingenie os ci i- les, es el de la p opagación de ondas - en un semiespacio elás ico, el cual, cons i uye la base del modelo pa a el - 69 es udio del compo amien o del suelo y - las cons ucciones en e adas en él, o - en su supe icie, cuando se p oduce un - mo imien o sísmico o una exci ación diná mica de o o ipo. A con inuación se plan ea en p ime luga y muy b e emen e, la o mulación - del mé odo de los elemen os de con o no (M.E.C.) en p oblemas dinámicos, y se -- p esen a el p oblema de in e acción sue- lo es uc u a. Pos e io men e, se es u-- dia cómo el empleo de una solución und men al de i ada a pa i de la del p o-- blema de KELVIN, pe mi e una mejo a en - la conside ación de la supe icie in ini a de un semiespacio. Po Úl imo se p e- sen an alo es de igideces es á icas y dinámicas de cimen aciones, ob enidos -- con la solución undamen al p opues a, y se compa an con los que se ob ienen em-- pleando la solución de una ca ga a móni- ca concen ada. EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO EN PROBLEMAS ELASTODINAMICOS La o mulación del M.E.C., de mane a semejan e a la del caso es á ico, puede hace se a pa i del eo ema de ecip o- cidad de BETTI-RAYLEIGH (demos ado, po ejemplo en i1J que es ablece que: J ! * u' d S +p J é * u' +Ü' � + u' dV a SI V J o o = !' ,·,1:;1dS+p · *1::1·+ 1::1'+ ::'.' dV (l) S V donde!, , son espec i am en e los ec o es de ensión en el con o no, --- ue zas de olumen y mo i m ien os,de un cie o es ado dinámico. El pun o indica de i ada espec o al iempo . Las condi- ciones in i ciales pa a al es ado son: u ( ,o) = o u + o u( ,o) = V - o Las a iables p imas ' , ' , ' , 'y ienen el mismo signi icado, pa a es ado di e en e. ( 2 ) o '.:! o o El s i gno * ep esen a el p oduc o - de con olución, que pa a dos unciones g( , ) y h( , ) iene dado po : g * h a J!( , -s) h( , s)ds V x , V·T+ g ,., h = o V X E V. T- (3) Si empleamos unu ans o mada in eg al sob e la ecuación ( 1 ), po ejemplo la - de FOURIER, y suponemos cond i ciones in i ciales nulas, la elación de ecip oci= dad se ans o ma en: I J. '· '"ds +p (4) dV + p J( u'' donde el supe índice (*) o mada de FOURIER. indica ans- Podemos oma como es ado p i ma (') el dinámico análogo al p oblema de KEL- VIN que co esponde a la ca ga a mónica en un pun o y cuya solución en mo im i en os y ensiones ué ob en i da po DOYLE- [ 2 ] y CRUSE [3]. En el caso idimensional, el mo i- mien o y la ensión en un pun o sob e - una supe i cie de no mal n cuando la -- ca ga es á di igida en d i ección j ie nen la o ma: 1 u .. =---- Jl 4 11 P c 2 s [ 1/J ó .. -X i J l] , 'j (5) 70 T.· = Jl 1 2 [ di)! 1 ó C - --xHó .. -+ c lJ ón ó dx n. )- J ó --xCn. ,j-2 ,i ,j -)-2- ,. ,. -+ ón d i J ón 2 +e cP -dljJ 2 )( dljJ 2 -¡ -x) ,.n·J (6) ---- c 2 d d J l s donde el é mino e i w ha sido sup imido y las unciones x y 1jJ son de la o ma: 3C 2 3C X = ( s 2 + 1) - w2 ..,, 2 + L iw i w 3C -C +-1: + 1) _:__E i w c 2 s i w 1jJ = (1 -22 + w C e-e 2)--- iw lW c ··e +-2) _e _ _.R i w 3C 2 p 22 + w (7) En las exp esiones Cs son espec i amen e pun o de apl i cación de le idades de las ondas an e io es ,C y la dis ancia Pal la ca ga y las ce p y s. Con el uso de es a solución al y suponiendo las ue zas de = O se ob iene pa a cualquie del in e io de V, una ecuación de la iden idad de SO M IGLIANA . u -p ds -dS undamen olumen- pun o p del ipo ( 8) donde los supe índices (*) han sido su-- p imidos po comodidad. En el caso de conside a un pun o -- del con o no S apa ece una singula i dad en las in eg ales y la ecuación se ans o ma en: -· c u -p -p ds -dS ( 9) Ecuación en la que las i n eg ales no in- cluyen el pun o singula y la pa e no - in eg able ha dado luga a la ma iz de .. coe icien es, C , que depende de la geome ía de s-Pen p. La aplicación de las cond i ciones de con o no sob e la ecuación (9) da luga a una ecúación in eg al. La solución de es a nos pe mi e conoce y en o do el con o no. M edian e (8) puede cal cula se u en cualquie pun o del domi nio y po -de i ac i ón el enso de en- siones. Pa a esol e la ecuación in eg al, se ealiza una disc e ización del con-- o no Sen elemen os, exp esandose las ens i ones y mo imien os sob e es os en é minos de sus alo es en cie os pun- o s ("Nodos") y de unas unciones de i e polación de ipo polinomico (" unc i o nes de Fo ma"). u. = N 1 1 u. l + N 2 2 U, l + .... + J1 u1:1 = N'1 u l ll ( 1 0) . = N 1 +i + .... + J1 1:1 = N'1 l l l l l siendo N J la unción de o ma asociada al nodo J y uJ, las componen es -- del mo imien o l y c o ensión en d i -- cho nodo. De acue do con la disc e ización an e io , la ecuación (9) puede se esc I a pa a cada nodo K, en la o ma: N [ J: i nl ds ] u(n) g.K1::1K + I: = n= 1 elem. N [ I (n) dS J ( n) = E ( 1 1) n =1 sn elem. siendo N 1 o o NL o º· ... N M o ol N(n) ·[: N 1 o o N2 o .... o N M º' N 1 o o 2 o O N M J o N .... u(n) = (u 1 1 1 2 2 2 MM M T 1 u2 U3 u 1 u2 U3 u 1 u 2 u3) (n) -( 1 - 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 M M M ? 1 2 3 M = .. nume o de nodos po elemen o La ecuación ( 1 1 ) ímplica suma o i os sob e odos los nodos del con o no , de 71 mane a que se puede esc ibi : g l< 1::lK + E !i;J 1::1j = E §KJ J (1 2 ) nodos nodos donde. u. y!· son los ec o es de m9. mien os-Jy aóciones en el nodo J. !ikj es una suma ex endida a los elemen os a que pe enece J, de in eg ales de la - o ma: siendo nodo J minos e. dS N L = I N L y L la posición del den o del elemen o n. Los é - G ienen s i gni icado semejan-- -1:(J Haciendo, !iKJ = ·'· H" KJ K -¡. J !i10 = .,. H" -K J + CK K = J la ecuación (12) se ans o ma en E !iKJ 1::!J = E §KJ !J nodos nodos (13) ( 1 4) Es ableciendo ( 1 4 ) pa a odos los no dos del con o no se ob iene un sis ema = de ecuaciones; H u = G (15) cuya solución nos esuel e el p oblema - de con o no . La solución en cualquie -- pun o in e no puede ob ene se a a es de la ecuación (8) una ez disc e izada . Si el p oblema dinám i co que se a a de esol e no es de ipo a mónico, p e- iamen e al p oceso de solución med i an e el M.E.C. hab á de ob ene se la ans o mada de Fou ie de los alo es conocidos y inalmen e la ans o mada in e sa de la solución ob en i da median e ( 1 5). INTERACCION DINA M ICA SUELO-ESTRUCTURA Las ca ac e ís icas p opias del sue- lo sob e el que se encuen a una es c- u a , ienen una in luencia muy ap ecia- ble sob e su espues a dinámica, pa icu la men e cuando s á some ida a una solI ci ación sísmica. Es e hecho ha dado lu = ga a p ocedimien os de cálculo so is i- cados que ha n o igi n ado a su ez comple jos p og amas de compu ado . Exis e n -= u n dam e n a lm e n e dos mé odos de cálculo pa a e n e e n cue n a la in lue n c ia de - las ca ac e ís icas del suelo sob e la espues a di n ámi ca de u n a es uc u a; - el mé odo di ec o y el mé odo de los -- es pasos. E n el p ime o, el sis ema - suelo-es uc u a co n ju n ame n e , es mode lado media n e Eleme n o s Fi n i os y a n a lI zada su espues a a n e u n a solici acióñ. E n el mé odo de los es pasos, se de-- e mi n a n sepa adame n e : el mo imie n o al n i e l de u n cimie n o ígido y si n ma sa, la ma iz de igidez (impedancia)= de la cime n a ció n a n e u n a solici ació n a mó n ica . po Gl imo, se ealiza el -- a n á li si s di n ám ico de la es uc u a so ne ida al mo imie n o calculado e n el p i= me paso y sob e u n cimie n o co n la i- gidez calculada e n el segu n d o . E n [4]- puede e n con a se u n es udio compa a i- o de ambos mé odos, El a n á li sis de la igidez di n ámica de imen ación co n di e sa geome ia es n o sólo uno de los es pasos del mé o- do i n d i ec o , si n o que cons i uye e n sí mismo u n p oblema de i n e és pa a el di seño de cimie n o s de máqui n as . Es e p o blema ha sido abo dado co n éxi o de o ma a n a lí i ca po VELETSOS y WEI [5] p a el caso pa icula de u n cimie n o -- ci cula supe icial. La exis e n cia de e n e am i e n o o o mas a bi a ias ha - sido e n i da en cue n a media n e a iados mé odos n um é ico s , habida cue n a de que el más ex e n d i do de los mé odos n umé i- cos, el de los Eleme n o s Fi n i o s , esul a muy ca o e n los casos idime n sio n a= les. WO G y LU O [6J calcula on i id ces de cime n a cio n e s e n la supe icie - de u n semiespacio elás ico i n e g an d o - la solució n u n dam e n a l de LAMB; lo - - cual ímplica g a n ca n id a d de iempo de compu ado dado que la solució n n o se - e n cu en a e n o ma explíci a si n o e n -- u n ció n de una doble in eg al sob e u n dominio i n i n i o . Tambié n emplea o n es- e mé odo pa a esol e el p oblema de di acció n [7] . U n p ocedimie n o seme- ja n e ha sido empleado po KITAMURA y - SAKURAI e n [BJ . De e e n e se e n cue n - a ademas, que los me odos que hacen -- uso de la solució n de LAMB solo son á lides pa a cimie n o s supe iciales. E n el p ese n e a ículo se calcula n igideces di n ámicas de cimen aciones -- cuad adas co n dis i n o s g ados de e n e - amie n o e n u n semiespacio elás ico, - hacie n do uso del mé odo de los eleme n - - os de con o n o . Es o pe mi e el em- - pleo de la solució n u n dam e n a l de --- DOYLE y CRUSE que puede se i n e g a da co n acilidad sob e los eleme n o s . La - exis e n c ia de amo iguamie n o his e e ico e n el suelo puede se e n ida e n cue n a co n solo conside a el modulo de elas i cidad ans e sal co n u n a compo n en e - 72 imagi n a ia . El uso de u n a solució n u n dam e n a l , pa a el espacio comple o obliga a i n e- g a sob e la supe icie i n i n i a del - semiespacio, lo cual implica ía u n a <lis c e izació n de dicha supe icie. Es a- da luga a ap oximacio n e s ob e n ida s di c e iza n d o G n icam e n e u n a pa e de la supe icie p oxima al cimie n o . Si dis pusie amos de u n a solució n undame n a l- pa a el semiespacio que ue a ácilme n - e i n eg ab le , n o se ía p ecisa la dis- c e izació n de la su e icie lib e del suelo. Au n qu e APSEL L9] ha es ablecido u n a pa a el semiespacio es a i icado,- esul a muy labo iosa ya que hace uso,- de u n desa ollo del mo imie n o de los es a os, e n el domi n io de los n Gm e o s de·o n da s de los modos p opios de ib a- ció n , lo que da luga a que la solució n undame n al quede e n u n c ió n de i n e g a les ex e n d id a s sob e u n domi n io i n i n i= o y que la e aluació n e i n eg ac ió n de dicha solució n co n sum a mucho iempo de compu ado . E n las e e encias [ 1 0 , 11] ya se - ob u ie o n igideces de cime n a c io n es - hacie n do uso del Mé odo de los Eleme n -- os de Co n o n o . E n Í12J u n o de los au- o es empleó el Mé odo pa a p oblemas - de di acció n . A co n i n ua c ió n se p ese n a, u n a o ma combi n a da , media n e-e l me odo de las image n e s , de la solució n -= u n dam e n a l de DOYLE y CRUSE, que pe mi e educi los e o es come idos po la elimi n a c ió n de pa e de la supe icie - sob e la que se ex ie n d e n las i n e g a- - les de co n o n o . EMPLEO DEL METODO DE LAS IMAGENES PARA LA OBTENCION DE UNA NUEVA SOLUCION FUN- DAMENTAL E n los p oblemas de igideces de ci- me n a cio n e s , la supe icie S del domi-- n io, que debe se disc e izada, se compo n e de dos pa es ( F igu a 1 ) : S1 de i n -= e ase en e semiespacio elás ico y ci- mie n o , y S2 que co espo n d e a la supe icie lib e del suelo y se ex iende has- a el i n i n i o . Dado que se cumple n las X Figu a 1. Domi n io co n d ic io n e s de egula idad, las in eg a- 1. 1 les sob e la supe icie de adio in ini o que ce a ía el dominio, son nulas.- En es e caso, la ecuación (9) puede se esc i a e n la o ma: e u = J!:! _ dS -p -p S1 ya que! = Q sob e s2. (16) La ecuació n pa a un nodo k u n a ez disc e izada, se á de la o ma: k + 1 [ JT i n) ds]u <n E [ JT N (n ) ds]u (n) = n = 1 n= N1 elem. 8n elem. 3n •n [ N ( nl a s J ( n ) (17) elem. n do n d e N1 es el n Gme o de eleme n o s en s 1 , y el segu n do suma o io se ex iende has a in ini o, supues o que los eleme n os de con o no so n ini os. Es e suma o io es el que ha de se uncado, in- oduciendo asi u n e o , además del ya inhe e n e al p oceso de disc e ización. La ma iz T iene la o ma: T = (18) Es ácil comp oba en la ecuacio n (6), que si el n o d o k se e n cu e n a so-- b e el plano z = O, la ma iz T ·pa a un eleme n o en ese mismo plano, }ene cin- co de sus eleme n o s nulos, siendo de la o ma: o . T = O ( 1 9 ) Es e hecho a oja luz sob e los p o blemas co espondie n e s a cimen aciones supe iciales, en los que sob e odos - los elemen os, la ma iz! es de la -- o ma ( 1 9 ) , y pa a los que se ob ienen bue n o s esul ados aG n co n side ando muy pocos eleme n o s sob e la supe icie S2, Cuando se a a de cimen aciones en 73 e adas, en las ecuaciones co espon-- dien es a nudos de la in e ase suelo-- es uc u a, la ma iz T pa a los ele-- men as de S2 es lle n a .-Ah o a bie n , si - en ez de u iliza la solución undame n al de DOYLE y CRUSE, empleamos, pa a= pu n o s de z # O, la compues a po , una ca ga a mó n ica u n idad concen ada e n el pun (xP? Yp, Zp) o a i ual e n mod lo di eccion y se n i do , aplicada en el pu n o (xp, Yp, -zp) como se indica e n la igu a 2, la ma iz I, '1 -z p X y/! z z p Figu a 2. Solución Fundamen al e n los pu n o s de la supe icie z = 0,- iene sus é minos T11 = T22= T12 = T2 1= T 3 3 = O y los es an es son de la o ma: T13 = A[-2c<n 3 ,1 -2 ,1 ' 3ó )- on -2D , 1 ,"3 ó + 2E n 3 J on , 1 T2 3= T3 1 = T32 = do n de : A = A[-2c<n 3 ' 2 -2 • 3ó )- ,2 on 2D 2 ó + 2E n 3 J 3 ,2 ' ' on A [ 2B '1 n 3 +(4C -2D) ,1 ó ] , 3 A[ 2B 2 n3+ ( 4C -2D) 2 ' , ó ] , 3 1 4 (20) c21a) B = c = D = E = iw (- c s 2 + 2 x c x 2 d iw 3 -y -) e s + iw e -cP C 6C ( ) 2 ( cp iw [c:P) 2 _ 2 ] s [ c ijJ _ c x _ d d c] 6C 2 p + w ( 2 1 b) Con el uso de dos ca gas an imé i- cas se ha conseguido que, ambién en ci men aciones en e adas, la ma iz T pa=- alos elemen os sob e la supe icle s 2 , o ne la o ma indicada en (19). No ese que odos los é minos de la diagonal - son nulos y que cuando se dé un no i- - mien o, po ejemplo según x, al cimien- o el mo imien o de la supe icie se á undamen almen e según x, siendo de me- no impo ancia u ; que es p ecisamen- e el que nul ipli a a la componen e de T no nula en la supe icie lib e del sue lo. Cabe espe a pues, que el e o co- me ido al desp ecia é minos del segun do suma o io de (17) a pa i de un -=- cie o núme o de elemen os, disminuya - sensiblemen e po el hecho de emplea - la solución compues a en ez de la sim- ple. RIGIDECES DINAMICAS DE CIMENTACIONES TRIDIMENSIONALES ENTERRADAS A con inuación, se analizan algunos de los esul ados ob enidos haciendo -- uso de la solución compues a, y se com- pa an con los de la simple. Se han a- ado cimen aciones de plan a cuad ada - con dis in o g ado de en e amien o. -- Las dimensiones de las mismas ue on 2 Bx2BxE , y se o na on dis in as elacio nes EíB. Se emplea án elemen os de coñ o no con o ma ec angula , con un só=- lo nodo en su cen o y unción de o ma c ns an e. En la igu a 3, puede ap e- cia se el ipo de disc e ización de la supe icie empleado. (Se mues a 1/4 de bido a la sime ía exis en e). Se ob u ie on esul ados, haciendo uso de la solución undamen al de DOYLE y CRUSE. (Solución G)) y empleando la so lución compues a median e el mé odo ,de- 74 Figu a 3. Disc e ización las i nágenes.(Solución (2) ). Además, pa alos dos ipos de solución undamen a se abo dó ambién el p oblema en la hipo esis de que la coo denada z es indepen=- dien e de x e y,las cuales po su pa e, sí es án acopladas en e si. Llama emos Solución ® a la co espondien e a la - solución undamen al simple y @ a la - compues a. En la igu a 4 pueden ap ecia se ejemplos de co no a ia el alo de las - componen es de la igidez es á ica - - (w = O, 01), dependiendo de la can idad de supe icie s 2 disc e izada. Debe -- des aca se cómo las solucion2s (2) y@ - man ienen, desde una disc e ización nula de S 2 , un alo p óximo a aquél que i-- nal nen e ienden G) y ®. Es e hecho - congue da de mane a excelen e con lo que cabia espe a del uso de la solución un da nen al compues a. Cuando E/B = o, las soluciones G) y ® coinciden lógicamen e con las (2) y @ espec i amen e. - Pa a el es udio de la a iación de - la igidez con la ecuencia, los é mi- nos de K son esc i os en la o ma ípi ca o K .. = K, .(k .. + i a 0 c, .) ( 2 2 ) l] l] l] l] donde a 0 = B/·Cs es la ecuencia adi- mensional. Comen a emos b e emen e, de en e -- los esul ados ob enidos, algunos que -- conside a nos ep esen a i os. En las i- gu as 5 y 6, puede ap ecia se como a iill ! i . 1 1 27.95 K K XX 24.73 21. 50 15;05 O.OB 57.21 <P 1 <P 1 50.61 44.00 37.40 30.80 O.OB 0.8B 0.8B 1. 7B (a) 1. 78 (c) o Sol. <D Sol. 85 <1 * Sol. + Sol. @ 2.5B 3.3B Disc . Sup. oSol. 1 <l Sol. Sol. + Sol. ® 2.5B 3. 3B Disc . Sup. 13 .1 2 K zz 11.61 10.10 8. 58 7.07 O. OB 0.8B 1. 7B (b) o Sol. <D Sol. (2) * Sol. ® + Sol. ® 2.SB 3 3B Disc . Sup. 2 1 5 .11 - - , K <P3 <P 3 190. 2 7 1 165.43 140.SS 115.75 O.OB 0,8B 1. 7B (d) oSol. <1 Sol. •Sol. +Sol. 2,SB 3.3B Disc . Sup. Fig. 4.- Rigi eces es á icas. y cxx con la ecuencia, en un ci-- nien o con E/B = 2 , cuando se o na una disc e ización nula de s 2 ( ig. 5) y - cuando se disc e iza S2 has a una di ancia 3.3 B del bo de del cimien o - ( ig. 6). Puede ap ecia se co no pa a - kxx se ienen en odos los casos esu! ac os de p ecisión acep able, mien as que pa a Cxx, al aumen a la disc e i- zación, las soluciones (j) y @ se -- ap oximan a (2) y @ que a ia poco. - En las igu as 7 y 8, puede ap ecia se una e olución semejan e pa a kzz y Czz en un cimien o con g ado de en e amien o meno (E/B = 2 /3). En el caso de-=- c <P <P , siendo E/B = 4/3, p esen ado - 1 1 en las igu as 9b · y 10b, los - esul ados a ian poco de una solución a o a. El é mino k <P <P , igu a 9a y 10a, sin emba go, se 1 1 compo a de mane a muy semejan e pa a las solucio-- nes (l) y (2) en la mejo de las disc e 75 c e izaciones quedando las soluciones® y @ sepa adas de o ma ap eciable.Los alo es de las _soluciones G) y (2) se - modi ican con la educción de la disc e ización de s 2 de o ma semejan e -= aunque en sen ido con a io. Es e da o que se ap ecia pa a la igidez de bala ceo en cimen aciones muy en e adas, no mues a ninguna mejo a en los esul a-- dos po el hecho de emplea la solución compues a. Sin emba go el g ado de en- e amien o es meno , po ejemplo -- - E/B = 2/3, cla amen e se ob iene meno a iación en los esul ados, al educi la can idad de s 2 disc e izada, con - la solución (2) que con la <1) . La al a de mejo a en los esul ados an es cI ada, puede se debida al hecho de que en el mo imien o de balanceo de cimen a ciones muy en e adas, los no i nien ós- ho izon ales y é icales son de magni- ud semejan e y los é minos de ue a - K XX 1. 2 5 1. 00 0.7 o <I 0.5 • Sol. Sol. Sol. Sol. @ ® a o 0.25+- .-- --.- -.- - --j o.o 0.4 0.8 (a) 1. 21. 6 2. 00 c XX 1. 5 O 1. 00 o.so 0.00 o. o ,. Sol. Sol. ;o¡ Sol. +Sol. 0.4 G) @ 0.8 (b) 1.2 1.6 Fig. 5.- In luencia del ip<;> de.solución emJ.?l ada sob e Kxx Y Cxx·(E/B=2. Sin disc . supe icial) de la diagonal de T adquie en mayo im- po ancia ela i a En al caso, los - esul ados ob enidos con la solución (2), mejo a án conside ando como p oble mas independien es los de aplica suce si amen e las componen es ho izon al y e ical, del mo imien o de las pa edes del cimien o. En las igu as 11 y 12, puede ap e- cia se cla amen e como, en el caso de - K 1. 2 5 XX 1. 00 0.75 Cl <I o.so ll' Sol. Sol. Sol. Sol. G) a o 0.25 . -,- --,.-- -.- --J o. o 0.4 O. 8 (a) 1. 21. 6 la igidez ho izon al, la solución un- damen al compues a (2) , se e sensible men e menos a ec ada po la can idad de supe icie s 2 disc e izada que la G). Po úl imo, la igu a 13 mues a la in- luencia p ac icamen e nula de la can i dad de supe icie lib e disc e izada, sob e la igidez dinámica de o sión -- cuando se emplea la solución undamen-- al compues a. Es a in luencia, si - - bien no es muy g ande, es ap eciable en 2. O O c XX 1. 50 1. 00 o <I o.so • + º·ºº o. o Sol. (j) Sol. (2) Sol. @ Sol. ® 0.4 O. 8 (b) 1. 21. 6 Fig. 6.- In luencia del ipo de solución empleada sob e Kxx Y Cxx·(E/B=2. Disc . supe icial 3.3 B) 76 1. 25 K zz 1. 00 0.75 o Sol. <J Sol. w Sol. O.óO + Sol. O. 2 5 o. o 0.4 <D (2) @ ® O. 8 (a) 1.2 1.6 2.00 c zz 1. 50 1. 00 o.so º·ºº . " . .. ... e Sol. <I Sol. (2) Sol. @ +Sol. @ o. o 0.4 O. 8 1. 21. 6 (b) Fig. 7.- In luencia del ipo de solución empleada sob e K y C .(E/B=2/3. Sin disc . supe icial) zz zz cimen aciones en e adas, cuando se em- plea la solución simple. CONCLUSIONES Se ha p esen ado en p ime u 9 a , - como median e el mé odo de las imagenes se puede ob ene una solución undamen- al que educe sensiblemen e, en los -- p oblemas de cimen aciones, el núme o - 1. 25 K zz 1. 00 0.75 o • o.so + 0.25 o.o Sol. Sol. Sol.. @ Sol. ® 0,4 0.8 (a) 1. 2 1. 6 de componen es no nulas sob e la supe - icie _lib e del suelo, de los ec o es ensión p oducidas po las ca gas con-- cen adas según las es di ecciones x, y, z. Es e hecho ha pe mi ido ob ene buenos esul ados pa a las igideces es á icas aún con un núme o muy educido- de elemen os en la supe icie lib e del suelo. También ha pe mi ido disminui la in luencia del uncamien o de la -- disc e ización de la supe icie lib e - 2.00 zz 1. 50 1. 00 ll 4 • o.so + O.DO o. o --:-- ::. Sol. Sol. Sol. ® Sol. ® 0.4 0.8 (b) ;:..---: -- 1. 21. 6 Fig. 8.- In luencia del ipo de solución empleada sob e K y C ,(E/B=2/3. Disc . supe icial 3.3B) zz zz 77 1. 2 5 K <P 1 <P 1 1. 00 (a) 0.75 o.so o. o 0.4 1. 2 5 K <P 1 <P1 1. 00 (a)0.75 o.so 2 .00 o Sol. <D o Sol. Sol. (2) Sol. q <P1 <P1 Sol. $• Sol. • + Sol. 1. 50 + Sol. :b) 1. 00 o.so 0.00 a ,.., 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 1. 2 Fig. 9.- In luencia el ipo de solución empleada sob e K <P <P y C <P <P ,(E/S=4/3. Sin disc . supe icial) 1 1 1 1 2 .00 o Sol. o Sol. e q Sol. <P1 <P1 -4 Sol. •Sol. $ 1. 5 0 • Sol. +Sol. + Sol. (b)1.00 0. 5 0 <D (2) ® ® 1. 6 a 0, 2 5 +- ..- ...- -º -- 0.00 a K XX i. 2 5 (a) 0.75 0. 5 0 o.o 0.4 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 1. 2 Fig. 10. -In luenci den. ipo de solución empleada sob e K <P 1<P1 Y C <P 1<Pi.(E {B=4/3 . Disc . supe icial 3.3B) oDisc. 0.0B <I Disc. 0.88 •Disc. 1.7B +Disc. 3.3B 2.00 1. 50 (b) 1.00 0. 5 0 oDisc. <1 Disc. * Disc. +Disc. O. 2 5 · ,---- ---, - - --,--------1 º·ºº o.o 0.4 0.8 1.2 1.6 o.o 0.4 0.8 Fig. 11.- In luencia de la can idad de supe icie lib e disc izdlda sob e K y C (Sol. <D ) XX XX 78 1. 2 1. e 0.0B O. 8B 1. 7B 3. 3B 1. 6 j' 1. 2 5 K XX 1. 00 o. 75 o.so o.o 0.4 o <l • + 0.8 (a) Disc. Disc. Disc . Disc. 1. 2 O.OB 0.8B 1. 7B 3.3B 1. 6 2.00 e XX 1. 5 0 1. .oo o.so º·ºº o. o 0.4 O .·8 (b) .. oDisc. O.OB 4 Disc. 0.8B * Disc. 1.7B +Disc. 3.3B 1. 2 .:: 1. 6 F. 12.- In luencia de la can idad de supe icie ig. ( 1 ,,¡,,) lib e disc e izada sob e Kxx Y Cxx So • i./ 1. 2 5 K <P3<P3 1. 00 0.75 o.so o.o 0.4 a 4 • -+ 0.8 (a) Disc. O.OB Disc. 0.8B Disc . 1.7B Disc. 3.3B 1.2 1.6 e 2.00 <P 3<P3 1. 5 0 1. Oíl o.so º·ºº o.o 0.4 oDisc. 4 Disc. .- Disc. Disc. O. 8 (b) 1. 2 O.OB 0.8B 1. 7B 3.3B 1. 6 · 13.- In luencia de la can idad de supe icie lib e ig. disc e izad'3. sob e K ,i_ .+. y C <P <ji" (Solución (2) ) , del suelo, sob e los coe icien es diná- micos de las igideces, en la mayo pa e de los casos. REFERENCIAS 1. Achenbach J. D. nwa e P oga ion in -7 3 Elas ic Solids ! , No h-Holland, 19 • 2 . Doyle J.M. "In eg a ion o he LaJ?l ce T ans o med Equa ions o Class.ical Elas okine ics, Jou n. o Ma h. Anal. and Appl., 13, 1966. 3. C use T.A. y Rizzo F.J. "A Di e -- Fo mula ion and Nume ical Solu ion - 79 ' '3' '3 3 3 o he Gene al T ansien Elas odyna- mic P oblem I", Jou n. o Ma h. Anal. and Appl., 22 , 1968. 4. Kausel E. y Roesse J.M. "Soil S u u e In e ac ion P oble ns o Nuclea Con ain nen S uc u es", ASCE Powe Di ision Special y Con e ence, Boul- de , Colo ado, 1974. 5. Vele sos A.S. y Wei Y.T. "La al - and Rocking Vib a ion o Foo ings ,: Jou n. o Solil Mech. and Found Di i sion, ASCE, 97, 1971. 6. Wong H. L. and Luco J. E: "Dyna nAicb e ponse o Rigid Founda ions o i-- a y Shape", Ea hquake Enginee ing and S uc u al Dynamics, 4, 1976. 7. Wong H.L. and Luco J.E. 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Resea ch Repo R 78-24, Dep . o Ci il Enginee ing, 1978. 80 ANALES DE INGENIERIA MECANICA. AÑO O. Nº 1. 1982 DIRECCION DE BUSQUEDA EN PROGRA- MACION NOLINEAL EN GRAN ESCALA CON CONDICIONES LINEALES Y POCA DENSIDAD. METODO NEWTON-TRUNCADO REDUCIDO (NTR) . Lau eano F. Escude o Cen o de In es igación UAM-IBM, Mad id Resumen.- Una de las me odologías más u ilizadas en p og amaci6n ng lineal con condiciones lineales u iliza los mé odos de educci6n de a iables de p og amación li- neal y los mé odos Quasi-New on je p og amaci6n nolineal sin es icciones. El p incipal incon e- nien e consis e en que la Hessia- na educida, gene almen e, es muy densa y de g andes dimensiones. Se p esen a una al e na i a en la que se man iene la con e gencia supe lineal pe o no se exige ob- ene explíci amen e dicha ma iz. INTRODUCCION Un p oblema de p og amaci6n ñolineal con condiciones lineales y a iables aco adas consis e en (1¡ donde ( 2) donde A es la ma iz m.n de condiciones, by b son los ec o es de dimensión m que de inen los lími es de las condicio- nes, y U y 1 son los ec o es de dimen- sión n que aco an las a iables. Sea M el conjun o de condiciones con ca dinal m. Sea E el conjun o de condicion s de igualdad (y, po an o, i€E pa a bi=ei), y M-E el conjun o de condici9nes de des- igualdad al que i€M-E pa a b i > e i • Sea J el conjun o de a iables con ca dinal n. El sis ema AX-Y = b pa a b-b Y O,donde y es el ec o de a iables de holgu a, siendo X el ec o de a iables es uc- u ales, es equi alen e al sis emab AX y, pa a una exposición eó ica, es más con enien e. El pun o X se á s9l ci6n ac ibl al p oblema (1)-(2) si AX-Y=e pa a b-e Y O. Sea w el conjun o de condiciones ac i as pa a el pun o X; una condición es ac i a si se cumple es ic ame e e! signo_de igualdad. Po an o, i€W si Yi=O ó Yi = b.-b.; es p eciso no a que E W. De o - l. -l. 81 ma análoga, el conjun o de a iables ac- i as V en el pun o X es el conjun o de a iables qÚe oman el al9 de_uno de sus lími es; po an o, j€V si_Xj=Uj 6 Kj=lj. Sean, espec i amen eL i los ca dinales de los conjun os W y V. La unción obje i o F(X) es una un- ción nolineal con las siguien es p opie- dades: F(X) es con ínua y dos eces di e- enciable; al menos pa a X'€F ( odo pun- o ac i le), los ni eles L(X') es án ! ni amen e aco ados. L(X')á {X€F, F(X)$F(X')} (3) El obje i o consis e n ob ene un pun o mínimo local debil R; es deci , un pun o €F pa a el cual exis e ó>O al que (4) El pun o es mínimo local ue e cuando ia elación an e io es de es íe a desigualdad. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Condiciones necesa ias, pe o no su i- cien es, pa a el pun o pueden e se en [1,2]. Condiciones equi alen es a las an- e io es, pe o que ienen la en aja de que son más ácilmen e u ilizables, son las siguien es [3,4]. (i) €F ( ac iblel. * . (ii) El g adien e g=g(X) es una combi · nación lineal de los g adien es (cons an- es, en es e caso) de las condiciones y a iables ac i as, al que * * * * * ( ) g=Aµ+I>.. 5 * * a· . donde A es la subma iz .n de con icio- nes ac i as en l.que el* ec o ila A. oe enece al si l.€ , e I es la sub- m! iz .n esul an e de elimina de la ma iz iden idad las ilas co espondie es a las a iables {j} al que j/V. Se denomina ec o es mul iplicado es de Lag ange, espec i amen e, de las c diciones (6 a iables de holiu y a i bles ac i as a los ec o esµ y A. (ii') Se demues a acilmen e [3] que la condición (ii) es equi alen e a la