TRABAJOS DE ESTA llSTICA
Vol. 5, n6 n.
2,
1990, pp. 73 a 81
DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA
POBLACION FINITA: UNA PERSPECTIVA BAYESIANA
J. BASULTO SANTOS
Uni . de Se illa
S. MURGUI IZQUIERDO
Uni . de Valencia
(Facul ad de Ciencias Econ micas y Emp esa iales)
A da. Blasco Ib:~ ' ez, 30. 46010 Valencia.
RESUMEN
Se plan ea la es imaci n de la media de una poblaci6n ini a bajo el
supues o de un modelo de supe poblaci n. Se conside a la exis encia de una
a iable auxilia cuyo cos e de obse aci n es in e io al de in e s y un dise io
en dos ases, En la p ime a ase se obse a inicamen e la a iable auxilia ,
mien as queen la segunda se hace 1o p opio con la de in e s. En el abajo se
de e mina el es imado 6p imo, asi como el ama io y la mues a a selecciona
en cada ase.
Palab as cla es:
Modelo de supe poblaci6n, Pe spec i a bayesiana, Dise lo
mues al en dos ases.
ABSTRACT
The es ima ion o he mean in a ini e popula ion is conside ed wi h a
supe popula ion model. We use an auxilia y a iable which has an obse a ion
cos in e io o he co esponding cos o he a iable we wan o s udy. The
design is made in wo phases. The auxilia y a iable is obse ed i s . In his
essay he op imal es ima o is de e mined as well as he samples o be selec ed
in each phase.
Reeibido: Diciemb 1989.
Re isado: Julio 1990.
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TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Ndm. 2. 1990
1. INTRODUCCION
E1 obje i o p opues o en es e abajo es la cons ucci6n de un
N
es imado pa a la media 37 = ~
yi/N,
de los alo es que oma una
i=1
ca ac e is ica Y sob e un colec i o ini o, cuyas unidades se encuen an
iden i icadas po los en e os 1, 2, 3, ..., N. Se supone pa a ello que las Yi
son alo es de a iables alea o ias Yi que e i ican el modelo Y/= ~xi
+ e~x~/2,
pa a i= 1 ..... N; siendo las ei a iables independien es e
id6n icamen e dis ibuidas con media ce o y a ianza 0 -2, 7 un pa ime-
o desconocido y las xi alo es de a iables posi i as X~ independien es
2
e id6n icamen e dis ibuidas con media /~ y a ianza 0-x.
En lo que sigue, se admi i i que el cos e de obse a .cada alo x~ es
una can idad ija c y que 6s a es meno que el co espondien e cos e c 2
de obse a cada alo yl. Es e supues o conduce a selecciona la
mues a en dos ases (Coch an, 1978). En la p ime a se elige una
mues a s~ de ama io n y sob e sus unidades se obse an lnicamen e
los alo es x~. En la segunda se elige una mues a s 2 de ama io m
(m ~< n) de en e las unidades ya seleccionadas en s , obse ando en es e
caso los co espondien es alo es y~.
Bajo una pe spec i a bayesiana, la ince idumb e asociada con las
can idades desconocidas del modelo debe se desc i a median e dis ibu-
ciones de p obabilidad adecuadas. En la secci6n 2 se especi ican 6s as y
en la secci6n 3 se esuel e el p oblema de es imaci6n.
La de e minaci6n del dise io mues al exige conoce an o los ama-
ios n y m de las mues as como la o ma en que deben se seleccionadas
las unidades. Tales cues iones son abo dadas en las secciones 4 y 5.
2. ESPECIFICACION DEL MODELO DE SUPERPOBLACION
Repa ame izando el modelo en h 1/o -2 y 6 =
1/a~,
supond emos
quec , h,/~ y 6 son a iables alea o ias, ales que los ec o es (~, h) y (/~, 6)
siguen dis ibuciones No males-Gammas (DeG oo , 1970), independien-
es y con pa ime os conocidos
(~', h', a', b') y (#', 6', u', '),
espec i a-
men e.
Admi iendo aho a una dis ibuci6n No mal an o pa a las a iables
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BASULTO SANTOS. J., Y MORGUI IZQUIERDO, S.
DISEIO0 MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION..,
e~ como X~, las an e io es hip6 esis suponen la in e cambiabilidad de los
ec o es (X~, Y~) pa a i= 1,..., N (Sugden, 1978).
La especi icaci6n del modelo conside ado pe mi e deduci como
N
dis ibuci6n de la a iable ?" = ~
YJN,
condicionada a las obse acio-
i=l
nes x~, una de S uden con media g , p ecisi6n
Nh' a'
h'2 + N22 b'
N
y g ados de libe ad a', siendo ~ = ~
xi/N.
i=1
La unci6n de densidad de al dis ibuci6n la ep esen a emos po
(~12).
3. ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL
Seleccionada una mues a sl de n unidades y obse ados los da os
~ -(xi;iesl),
la media puede descompone se en la o ma
Y, = [n~ + (N - n)~,. ]/N,
donde 2~, = ~
xi/n
iesl
es un ac o conocido y -/,'1 = ~
xi/(N--n)
el alo de una a iable g~;.
iCsl
Se comp ueba que la dis ibuci6n de g~i condicionada a los da os
~1 es una de S uden de media
p ecisi6n
C~' l a' + nx~ 1
Is 6' +n
(N - n)6" u"
N-n+6" "
y g ados de libe ad u". Siendo 6" = 6' + n; u" = n;
n ~,(~e~Sl __
]~,)2
" = ' + nS 2, + 6'+n
y S~2,, la a ianza de los da os 2~,.
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TRABAJOS OE ESTADISTICA. Vol. 5. N ~m. 2, 1990
La dis ibuci6n de la media Y" condicionada a los da os 2s, puede
exp esa se a a 6s de su unci6n de densidad
"
(YlY+') = Ja (Y/2) " (~s;12") d~,,~
(1)
po lo que se a a de la in eg al del p oduc o de dos densidades de
S uden .
Supongamos aho a que de en e las unidades que cons i uyen la
mues a sz se ha seleccionado una mues a s 2 de ama io m (m ~< n) y
que sob e la misma se han obse ado los da os y~--(yl;ie $2). La
unci6n de densidad de la a iable
YY,
~ s, 2 -- i
(N -- m)
condicionada a los da os 2+, y y+~ puede exp esa se median e la in eg al
(y~,Jx~,, yJ = (ys,Jx, yJ . (x~,llxo~ ) dx~,,
(2)
donde
(~,,~/,2, ~+~)
co esponde a una dis ibuei6n de S uden con
media
~ "[(n -- m)~s,-,2 + (N -- n)2j,
p ecisi6n
(N - n)h"
h"~s, 2 + (N -- m)~2~
y g ados de libe ad a". Siendo
h"
~ "= + m~2 , h"= h' + m~s~
h' + m~
a
b,,
, a"=a'+n y
b" =b'4
donde
h' + mY~s2
(h'(Z (y,
-
Cx,)21xD + ( y+
y2/x,)m~s2
--
i~s2 iEs2
2-2
m Ys 2),
~,~ = Y+ x,lm, ~,2 = Y+ ydm; ~,,_+~ = Y+ xd(n- m)
icsl
icsl
i(~si
~s2
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BASULTO SANTOS. J.. Y MURGUI IZQUIERO0. S.
DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION...
Y
Xs'~ = (n -- m)~_s2 + (N - n)~si)/(N - m).
La dis ibuci6n de )7 condicionada al conjun o de odos los da os ~1
Y Ys2 se ob iene / cilmen e eniendo en cuen a la descomposici6n )7
= (m)7~ + (N - m))7~)/N
y la elaci6n (2).
Como es imado de )7 puede adop a se la media de la dis ibuci6n
()7/~,,
yJ cuya exp esi6n es
(m)7s2 + ~"((n -- m)~,~-~2 + (N - n)#"))/N.
Si se conside a como dis ibuci6n inicial pa a los pa ~me os una no-
in o ma i a como
(p, 6, ~, h) oc 6- X.h- ~,
la exp esi6n an e io se educe
a 37~_ x~,, que es el es imado de az6n p opues o po Coch an (1978).
Xs 2
E1 e o de la es imaci6n iene exp esado po la a ianza de la
dis ibuci6n
()7/x~,,
y,~). Su alo se ob iene ope ando po condicionali-
dad, siendo el esul ado
1( b"
-~ h"(a ~-
2)(h"(n
- m)Ycsl_s~ + h"(N - n)#" + ((N - n)g" +
+ (n - m)~s,_J2) + (N - n) 2 e,,2 + h"(a" - 2) "Va
(X~,Jx~,)),
siendo
" N-n+c5"
Va (X~,~/~x) = u" - 2 (N - n)~"
4. SELECCION DE LAS MUESTRAS
Suponiendo ijados los ama ios mues ales n y m, al a ia po
esol e el p oblema de c6mo selecciona las unidades que cons i uyen
sly s2.
Pues o que el cos e de obse aci6n cl es ijo pa a odas las unidades
de sl, un c i e io 6 il pa a decidi la elecci6n de la mues a consis e en
minimiza el alo espe ado de la a ianza de
()7/~s,).
Se comp ueba
que dicho alo espe ado es cons an e pa a oda mues a Sl de ama io
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TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Nbm. 2. 1990
n, po lo que dicho c i e io es compa ible con la selecci6n de s~
median e un dise lo alea o io simple.
Razonando de igual mane a con la mues a s 2 debe calcula se el
alo espe ado espec o de (yJ~,) de la a ianza de
(~/~,, Y~2).
Su
alo iene exp esado po :
k~
+ k 2 ~, x i + k 2
i~sl _s2
donde
((N - Z X,)
i~$z _$2
h' + ~.
X i
iEs2
Y
kl N - n h,, , (N - n)2 ( b' )
_ N 2 + N 2 ~,2 + h'(a' -
2) Va (Y?sa/~,
b
!
k2 - N2(a ' --
2)"
Se obse a que dicho alo espe ado alcanza su minimo cuando la
mues a s2 se o ma con aquellas unidades de s~ con los alo es de xi
m~ s g andes. Es a elecci6n ex ema, que es 6p ima, no es po o a pa e
obus a en e a iolaciones en el modelo. Una o ma de elecci6n
al e na i a que o ece cie as ga an ias de obus ez es la que oma
mues as <<equilib adas)> en el sen ido que de inen Royall y He son
(1973a) de que ~ = x~2. A la a ianza de la dis ibuci6n
(~/~,, x~2)
pa a es e ipo de mues as las deno a emos po Veq.
5. DETERMINACION DE LOS TAMAI~IOS MUESTRALES
Si como sugie en los esul ados es ablecidos en la secci6n 4 se decide
selecciona la mues a sl median e un dise io alea o io simple y la s 2 de
o ma que sea equilib ada, al a ~ po de e mina los ama ios n y m de
ambas mues as.
Sea L = K Veq (Y/xs,, Ys2) +
cl n + c2m + Co
una unci6n de p6 dida
en la que c o es un cos e ijo y K una cons an e de p opo cionalidad que
pe mi e medi el e o de es imaci6n en 6 minos de cos e mone a io.
Pa a e mina m se p ocedeH a minimiza el alo espe ado espec o
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BASULTO SANTOS, J., Y MURGUI IZQUIERDO, S.
DISE~O MUESTRAL EN OOS FASES SOBRE UNA POBLACION...
de
(y~2/~).
Conside ando un alo ele ado pa a N, dicho minimo se
ob iene pa a:
m -~-
0 si p~<0
np
si 0 ~< ~< 1
P
n si p>~l
donde
= (#"__ k~ /ab' " h')/n
P ~
~/ C 2
' -- 2 ~-~,"
Pa a de e mina el alo de n debe sus i ui se el alo calculado pa a
men la p6 dida espe ada y de nue o calcula el alo espe ado en es e
caso espec o de los da os ~1. Desg aciadamen e el p ocedimien o
p esen a di icul ades anali icas impo an es. Una soluci6n ap oximada
al p oblema se ob iene al impone las es icci6n n = m. E1 alo 6p imo
es en onces:
n = 2
+ ~,2 + h'(a' -
2)
c 1 + c2
6. DISCUSION
E1 modelo de supe poblaci6n p opues o en la secci6n 2 puede no se
el m/ s adecuado pa a el es udio de cie a poblaci6n. En al caso se ia
deseable dispone de ecu sos que pe mi ie an una in e encia obus a
en e alas posibles iolaciones del modelo. En nues o caso, si admi i-
mos que el modelo de eg esi6n p opues o no pasa po el o igen,
azonamien os an ilogos a los de la secci6n 3 pe mi en conclui que la
media de Y conocidos los da os ~, y Y~2 es:
y~ ~
x: ~- ~.
yJx,
i~82 ies2
E x:;1--m
i6s2
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TRABAJOS
DE ESTADISTICA. Vol. 5. N im. 2,
1990
Es inmedia o comp oba que ambos es imado es coinciden si se
selecciona s2 de mane a que sea <<equilib ada~. Es a es la az6n po la
que se ha op ado po dicho dise io.
Las conclusiones es ablecidas pueden ex ende se hcilmen e a pobla-
ciones es a i icadas. Los modelos a u iliza en onces p esen a ian
analogias con espec o a los es udiados po Royall y He son (1973b) y
Mu gui (1984) pa a dise los en una ase.
E1 an~disis de dise ios mues ales en dos ases median e los modelos
de supe poblaci6n ha sido an e io men e ealizado po o os au o es.
Singh y Sed ansk (1976) conside an una a iable X que oma un
n6me o ini o de alo es y E icson (1967) y Basul o y Mu gui (1982)
pa icula izan a un caso en el que X s61o oma dos alo es 6nicos.
Resul a in e esan e po o o lado, la compa aci6n de los esul ados aqui
expues os con los ob enidos po Mu gui (1983) en el supues o de que los
alo es x i, i= 1 .... ,N uesen conocidos.
REFERENCES
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