Diseño muestral en dos fases sobre una población finita: una perspectiva bayesiana

TRABAJOS DE ESTA llSTICA Vol. 5, n6 n. 2, 1990, pp. 73 a 81 DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION FINITA: UNA PERSPECTIVA BAYESIANA J. BASULTO SANTOS Uni . de Se illa S. MURGUI IZQUIERDO Uni . de Valencia (Facul ad de Ciencias Econ micas y Emp esa iales) A da. Blasco Ib:~ ' ez, 30. 46010 Valencia. RESUMEN Se plan ea la es imaci n de la media de una poblaci6n ini a bajo el supues o de un modelo de supe poblaci n. Se conside a la exis encia de una a iable auxilia cuyo cos e de obse aci n es in e io al de in e s y un dise io en dos ases, En la p ime a ase se obse a inicamen e la a iable auxilia , mien as queen la segunda se hace 1o p opio con la de in e s. En el abajo se de e mina el es imado 6p imo, asi como el ama io y la mues a a selecciona en cada ase. Palab as cla es: Modelo de supe poblaci6n, Pe spec i a bayesiana, Dise lo mues al en dos ases. ABSTRACT The es ima ion o he mean in a ini e popula ion is conside ed wi h a supe popula ion model. We use an auxilia y a iable which has an obse a ion cos in e io o he co esponding cos o he a iable we wan o s udy. The design is made in wo phases. The auxilia y a iable is obse ed i s . In his essay he op imal es ima o is de e mined as well as he samples o be selec ed in each phase. Reeibido: Diciemb 1989. Re isado: Julio 1990. 73 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Ndm. 2. 1990 1. INTRODUCCION E1 obje i o p opues o en es e abajo es la cons ucci6n de un N es imado pa a la media 37 = ~ yi/N, de los alo es que oma una i=1 ca ac e is ica Y sob e un colec i o ini o, cuyas unidades se encuen an iden i icadas po los en e os 1, 2, 3, ..., N. Se supone pa a ello que las Yi son alo es de a iables alea o ias Yi que e i ican el modelo Y/= ~xi + e~x~/2, pa a i= 1 ..... N; siendo las ei a iables independien es e id6n icamen e dis ibuidas con media ce o y a ianza 0 -2, 7 un pa ime- o desconocido y las xi alo es de a iables posi i as X~ independien es 2 e id6n icamen e dis ibuidas con media /~ y a ianza 0-x. En lo que sigue, se admi i i que el cos e de obse a .cada alo x~ es una can idad ija c y que 6s a es meno que el co espondien e cos e c 2 de obse a cada alo yl. Es e supues o conduce a selecciona la mues a en dos ases (Coch an, 1978). En la p ime a se elige una mues a s~ de ama io n y sob e sus unidades se obse an lnicamen e los alo es x~. En la segunda se elige una mues a s 2 de ama io m (m ~< n) de en e las unidades ya seleccionadas en s , obse ando en es e caso los co espondien es alo es y~. Bajo una pe spec i a bayesiana, la ince idumb e asociada con las can idades desconocidas del modelo debe se desc i a median e dis ibu- ciones de p obabilidad adecuadas. En la secci6n 2 se especi ican 6s as y en la secci6n 3 se esuel e el p oblema de es imaci6n. La de e minaci6n del dise io mues al exige conoce an o los ama- ios n y m de las mues as como la o ma en que deben se seleccionadas las unidades. Tales cues iones son abo dadas en las secciones 4 y 5. 2. ESPECIFICACION DEL MODELO DE SUPERPOBLACION Repa ame izando el modelo en h 1/o -2 y 6 = 1/a~, supond emos quec , h,/~ y 6 son a iables alea o ias, ales que los ec o es (~, h) y (/~, 6) siguen dis ibuciones No males-Gammas (DeG oo , 1970), independien- es y con pa ime os conocidos (~', h', a', b') y (#', 6', u', '), espec i a- men e. Admi iendo aho a una dis ibuci6n No mal an o pa a las a iables 74 BASULTO SANTOS. J., Y MORGUI IZQUIERDO, S. DISEIO0 MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION.., e~ como X~, las an e io es hip6 esis suponen la in e cambiabilidad de los ec o es (X~, Y~) pa a i= 1,..., N (Sugden, 1978). La especi icaci6n del modelo conside ado pe mi e deduci como N dis ibuci6n de la a iable ?" = ~ YJN, condicionada a las obse acio- i=l nes x~, una de S uden con media g , p ecisi6n Nh' a' h'2 + N22 b' N y g ados de libe ad a', siendo ~ = ~ xi/N. i=1 La unci6n de densidad de al dis ibuci6n la ep esen a emos po (~12). 3. ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL Seleccionada una mues a sl de n unidades y obse ados los da os ~ -(xi;iesl), la media puede descompone se en la o ma Y, = [n~ + (N - n)~,. ]/N, donde 2~, = ~ xi/n iesl es un ac o conocido y -/,'1 = ~ xi/(N--n) el alo de una a iable g~;. iCsl Se comp ueba que la dis ibuci6n de g~i condicionada a los da os ~1 es una de S uden de media p ecisi6n C~' l a' + nx~ 1 Is 6' +n (N - n)6" u" N-n+6" " y g ados de libe ad u". Siendo 6" = 6' + n; u" = n; n ~,(~e~Sl __ ]~,)2 " = ' + nS 2, + 6'+n y S~2,, la a ianza de los da os 2~,. 75 TRABAJOS OE ESTADISTICA. Vol. 5. N ~m. 2, 1990 La dis ibuci6n de la media Y" condicionada a los da os 2s, puede exp esa se a a 6s de su unci6n de densidad " (YlY+') = Ja (Y/2) " (~s;12") d~,,~ (1) po lo que se a a de la in eg al del p oduc o de dos densidades de S uden . Supongamos aho a que de en e las unidades que cons i uyen la mues a sz se ha seleccionado una mues a s 2 de ama io m (m ~< n) y que sob e la misma se han obse ado los da os y~--(yl;ie $2). La unci6n de densidad de la a iable YY, ~ s, 2 -- i (N -- m) condicionada a los da os 2+, y y+~ puede exp esa se median e la in eg al (y~,Jx~,, yJ = (ys,Jx, yJ . (x~,llxo~ ) dx~,, (2) donde (~,,~/,2, ~+~) co esponde a una dis ibuei6n de S uden con media ~ "[(n -- m)~s,-,2 + (N -- n)2j, p ecisi6n (N - n)h" h"~s, 2 + (N -- m)~2~ y g ados de libe ad a". Siendo h" ~ "= + m~2 , h"= h' + m~s~ h' + m~ a b,, , a"=a'+n y b" =b'4 donde h' + mY~s2 (h'(Z (y, - Cx,)21xD + ( y+ y2/x,)m~s2 -- i~s2 iEs2 2-2 m Ys 2), ~,~ = Y+ x,lm, ~,2 = Y+ ydm; ~,,_+~ = Y+ xd(n- m) icsl icsl i(~si ~s2 76 BASULTO SANTOS. J.. Y MURGUI IZQUIERO0. S. DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION... Y Xs'~ = (n -- m)~_s2 + (N - n)~si)/(N - m). La dis ibuci6n de )7 condicionada al conjun o de odos los da os ~1 Y Ys2 se ob iene / cilmen e eniendo en cuen a la descomposici6n )7 = (m)7~ + (N - m))7~)/N y la elaci6n (2). Como es imado de )7 puede adop a se la media de la dis ibuci6n ()7/~,, yJ cuya exp esi6n es (m)7s2 + ~"((n -- m)~,~-~2 + (N - n)#"))/N. Si se conside a como dis ibuci6n inicial pa a los pa ~me os una no- in o ma i a como (p, 6, ~, h) oc 6- X.h- ~, la exp esi6n an e io se educe a 37~_ x~,, que es el es imado de az6n p opues o po Coch an (1978). Xs 2 E1 e o de la es imaci6n iene exp esado po la a ianza de la dis ibuci6n ()7/x~,, y,~). Su alo se ob iene ope ando po condicionali- dad, siendo el esul ado 1( b" -~ h"(a ~- 2)(h"(n - m)Ycsl_s~ + h"(N - n)#" + ((N - n)g" + + (n - m)~s,_J2) + (N - n) 2 e,,2 + h"(a" - 2) "Va (X~,Jx~,)), siendo " N-n+c5" Va (X~,~/~x) = u" - 2 (N - n)~" 4. SELECCION DE LAS MUESTRAS Suponiendo ijados los ama ios mues ales n y m, al a ia po esol e el p oblema de c6mo selecciona las unidades que cons i uyen sly s2. Pues o que el cos e de obse aci6n cl es ijo pa a odas las unidades de sl, un c i e io 6 il pa a decidi la elecci6n de la mues a consis e en minimiza el alo espe ado de la a ianza de ()7/~s,). Se comp ueba que dicho alo espe ado es cons an e pa a oda mues a Sl de ama io 77 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Nbm. 2. 1990 n, po lo que dicho c i e io es compa ible con la selecci6n de s~ median e un dise lo alea o io simple. Razonando de igual mane a con la mues a s 2 debe calcula se el alo espe ado espec o de (yJ~,) de la a ianza de (~/~,, Y~2). Su alo iene exp esado po : k~ + k 2 ~, x i + k 2 i~sl _s2 donde ((N - Z X,) i~$z _$2 h' + ~. X i iEs2 Y kl N - n h,, , (N - n)2 ( b' ) _ N 2 + N 2 ~,2 + h'(a' - 2) Va (Y?sa/~, b ! k2 - N2(a ' -- 2)" Se obse a que dicho alo espe ado alcanza su minimo cuando la mues a s2 se o ma con aquellas unidades de s~ con los alo es de xi m~ s g andes. Es a elecci6n ex ema, que es 6p ima, no es po o a pa e obus a en e a iolaciones en el modelo. Una o ma de elecci6n al e na i a que o ece cie as ga an ias de obus ez es la que oma mues as <<equilib adas)> en el sen ido que de inen Royall y He son (1973a) de que ~ = x~2. A la a ianza de la dis ibuci6n (~/~,, x~2) pa a es e ipo de mues as las deno a emos po Veq. 5. DETERMINACION DE LOS TAMAI~IOS MUESTRALES Si como sugie en los esul ados es ablecidos en la secci6n 4 se decide selecciona la mues a sl median e un dise io alea o io simple y la s 2 de o ma que sea equilib ada, al a ~ po de e mina los ama ios n y m de ambas mues as. Sea L = K Veq (Y/xs,, Ys2) + cl n + c2m + Co una unci6n de p6 dida en la que c o es un cos e ijo y K una cons an e de p opo cionalidad que pe mi e medi el e o de es imaci6n en 6 minos de cos e mone a io. Pa a e mina m se p ocedeH a minimiza el alo espe ado espec o 78 BASULTO SANTOS, J., Y MURGUI IZQUIERDO, S. DISE~O MUESTRAL EN OOS FASES SOBRE UNA POBLACION... de (y~2/~). Conside ando un alo ele ado pa a N, dicho minimo se ob iene pa a: m -~- 0 si p~<0 np si 0 ~< ~< 1 P n si p>~l donde = (#"__ k~ /ab' " h')/n P ~ ~/ C 2 ' -- 2 ~-~," Pa a de e mina el alo de n debe sus i ui se el alo calculado pa a men la p6 dida espe ada y de nue o calcula el alo espe ado en es e caso espec o de los da os ~1. Desg aciadamen e el p ocedimien o p esen a di icul ades anali icas impo an es. Una soluci6n ap oximada al p oblema se ob iene al impone las es icci6n n = m. E1 alo 6p imo es en onces: n = 2 + ~,2 + h'(a' - 2) c 1 + c2 6. DISCUSION E1 modelo de supe poblaci6n p opues o en la secci6n 2 puede no se el m/ s adecuado pa a el es udio de cie a poblaci6n. En al caso se ia deseable dispone de ecu sos que pe mi ie an una in e encia obus a en e alas posibles iolaciones del modelo. En nues o caso, si admi i- mos que el modelo de eg esi6n p opues o no pasa po el o igen, azonamien os an ilogos a los de la secci6n 3 pe mi en conclui que la media de Y conocidos los da os ~, y Y~2 es: y~ ~ x: ~- ~. yJx, i~82 ies2 E x:;1--m i6s2 79 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. N im. 2, 1990 Es inmedia o comp oba que ambos es imado es coinciden si se selecciona s2 de mane a que sea <<equilib ada~. Es a es la az6n po la que se ha op ado po dicho dise io. Las conclusiones es ablecidas pueden ex ende se hcilmen e a pobla- ciones es a i icadas. Los modelos a u iliza en onces p esen a ian analogias con espec o a los es udiados po Royall y He son (1973b) y Mu gui (1984) pa a dise los en una ase. E1 an~disis de dise ios mues ales en dos ases median e los modelos de supe poblaci6n ha sido an e io men e ealizado po o os au o es. Singh y Sed ansk (1976) conside an una a iable X que oma un n6me o ini o de alo es y E icson (1967) y Basul o y Mu gui (1982) pa icula izan a un caso en el que X s61o oma dos alo es 6nicos. Resul a in e esan e po o o lado, la compa aci6n de los esul ados aqui expues os con los ob enidos po Mu gui (1983) en el supues o de que los alo es x i, i= 1 .... ,N uesen conocidos. REFERENCES BASULTO, J., y MURGUI, J. S. (1982): ~ Dise lo Mues al 6p imo en el caso de no espues a~, T abajos de Es adls ica y de ln es igaci6n Ope a i a, ol. 33, n im. 2, pp. 3 a 15. COCHRAN, W. G. (1978): Sampling Techniques, Wiley, New Yo k. DEGROOT, M. H. (1970): Op imal S a is ical Decision, McG aw-Hill Book Co., Inc., New Yo k. ERICSON, W. A. ( 967): ~Op imal sample design wi h non- esponse~, J. Ame . S a is . Ass. Ma ch, pp. 62 a 78. MURGUI, J. S. (1983): ~Es imado es de az6n y de eg esi6n en poblaciones ini as: modelos de supe poblaci6m~, Es adis ica Espa~ola, n6m. 99, pp. 61 a 72. MURGUI, J. S. (1984): ~Un modelo de eg esi6n pa a poblaciones ini as es a i icadas~, Es adis ica Espa~ola, n im. 101. ROYALL, R. M., y HERSON, J. (1973a): ~Robus Es ima ion in ini e popula- ions b~, d. Ame . S a is . Ass., Vol. 68, pp. 880 a 889. ROYALL, R. M., y HERSON, J. (1973b): <<Robus es ima ion in ni e popula- ions II: S a i ica ions on a size a iable,s, J. Ame . S a is . Ass., ol. 68, pp. 890 a 893. 80 BASULTO SANTOS, J., Y MURGUI IZQUIERDO, S. DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACIOiV.,. SINGH, B., and SEDRANSK, K. (1976): <<A wo phase sample design o es ima ing he ini e popula ion mean: pos s a i ica ion)~, Technical epo , n im. 39, S a is ical Science Di ision, Suny a Ba alo. SUGDEN, R. A. (1978): ~ Exchangeabili y and he ounda ions o su ey sampling)), Unpublished Ph.D. Thesis, Uni e si y o Sou hamp on. 81