Diseño muestral en dos fases sobre una población finita: una perspectiva bayesiana

TRABAJOS DE ESTAfllSTICA Vol. 5, n6rn. 2, 1990, pp. 73 a 81 DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION FINITA: UNA PERSPECTIVA BAYESIANA J. BASULTO SANTOS Univ. de Sevilla S. MURGUI IZQUIERDO Univ. de Valencia (Facultad de Ciencias Econrmicas y Empresariales) Avda. Blasco Ib:~t'tez, 30. 46010 Valencia. RESUMEN Se plantea la estimacirn de la media de una poblaci6n finita bajo el supuesto de un modelo de superpoblacirn. Se considera la existencia de una variable auxiliar cuyo coste de observacirn es inferior al de interrs y un disefio en dos fases, En la primera fase se observa finicamente la variable auxiliar, mientras queen la segunda se hace 1o propio con la de interrs. En el trabajo se determina el estimador 6ptimo, asi como el tamafio y la muestra a seleccionar en cada fase. Palabras claves: Modelo de superpoblaci6n, Perspectiva bayesiana, Diseflo muestral en dos fases. ABSTRACT The estimation of the mean in a finite population is considered with a superpopulation model. We use an auxiliary variable which has an observation cost inferior to the corresponding cost of the variable we want to study. The design is made in two phases. The auxiliary variable is observed first. In this essay the optimal estimator is determined as well as the samples to be selected in each phase. Reeibido: Diciembrr 1989. Revisado: Julio 1990. 73 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Ndm. 2. 1990 1. INTRODUCCION E1 objetivo propuesto en este trabajo es la construcci6n de un N estimador para la media 37 = ~ yi/N, de los valores que toma una i=1 caracteristica Y sobre un colectivo finito, cuyas unidades se encuentran identificadas por los enteros 1, 2, 3, ..., N. Se supone para ello que las Yi son valores de variables aleatorias Yi que verifican el modelo Y/= ~xi + e~x~/2, para i= 1 ..... N; siendo las ei variables independientes e id6nticamente distribuidas con media cero y varianza 0 -2, 7 un parfimetro desconocido y las xi valores de variables positivas X~ independientes 2 e id6nticamente distribuidas con media /~ y varianza 0-x. En lo que sigue, se admitirfi que el coste de observar.cada valor x~ es una cantidad fija c t y que 6sta es menor que el correspondiente coste c 2 de observar cada valor yl. Este supuesto conduce a seleccionar la muestra en dos fases (Cochran, 1978). En la primera se elige una muestra s~ de tamafio n y sobre sus unidades se observan flnicamente los valores x~. En la segunda se elige una muestra s 2 de tamafio m (m ~< n) de entre las unidades ya seleccionadas en s t, observando en este caso los correspondientes valores y~. Bajo una perspectiva bayesiana, la incertidumbre asociada con las cantidades desconocidas del modelo debe ser descrita mediante distribuciones de probabilidad adecuadas. En la secci6n 2 se especifican 6stas y en la secci6n 3 se resuelve el problema de estimaci6n. La determinaci6n del disefio muestral exige conocer tanto los tamafios n y m de las muestras como la forma en que deben ser seleccionadas las unidades. Tales cuestiones son abordadas en las secciones 4 y 5. 2. ESPECIFICACION DEL MODELO DE SUPERPOBLACION Reparametrizando el modelo en h 1/o -2 y 6 = 1/a~, supondremos quect, h,/~ y 6 son variables aleatorias, tales que los vectores (~, h) y (/~, 6) siguen distribuciones Normales-Gammas (DeGroot, 1970), independientes y con parfimetros conocidos (~', h', a', b') y (#', 6', u', v'), respectivamente. Admitiendo ahora una distribuci6n Normal tanto para las variables 74 BASULTO SANTOS. J., Y MORGUI IZQUIERDO, S. DISEIO0 MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION.., e~ como X~, las anteriores hip6tesis suponen la intercambiabilidad de los vectores (X~, Y~) para i= 1,..., N (Sugden, 1978). La especificaci6n del modelo considerado permite deducir como N distribuci6n de la variable ?" = ~ YJN, condicionada a las observacio- i=l nes x~, una t de Student con media gff, precisi6n Nh' a' h'2 + N22 b' N y grados de libertad a', siendo ~ = ~ xi/N. i=1 La funci6n de densidad de tal distribuci6n la representaremos por f(~12). 3. ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL Seleccionada una muestra sl de n unidades y observados los datos ~ -(xi;iesl), la media ff puede descomponerse en la forma Y, = [n~ + (N - n)~,. ]/N, donde 2~, = ~ xi/n iesl es un factor conocido y -/,'1 = ~ xi/(N--n) el valor de una variable g~;. iCsl Se comprueba que la distribuci6n de g~i condicionada a los datos ~1 es una t de Student de media precisi6n C~' l a' + nx~ 1 Is 6' +n (N - n)6" u" N-n+6" v" y grados de libertad u". Siendo 6" = 6' + n; u" = n; nf~,(~e~Sl __ ]~,)2 v" = v' + nS 2, + 6'+n y S~2,, la varianza de los datos 2~,. 75 TRABAJOS OE ESTADISTICA. Vol. 5. Nt~m. 2, 1990 La distribuci6n de la media Y" condicionada a los datos 2s, puede expresarse a trav6s de su funci6n de densidad t" f(YlY+') = Ja f(Y/2) "f(~s;12") d~,,~ (1) por lo que se trata de la integral del producto de dos densidades t de Student. Supongamos ahora que de entre las unidades que constituyen la muestra sz se ha seleccionado una muestra s 2 de tamafio m (m ~< n) y que sobre la misma se han observado los datos y~--(yl;ie $2). La funci6n de densidad de la variable YY, ~rs, 2 -- ir (N -- m) condicionada a los datos 2+, y y+~ puede expresarse mediante la integral f(y~,Jx~,, yJ = f(ys,Jx, yJ .f(x~,llxo~ ) dx~,, (2) donde f(~,,~/,2, ~+~) corresponde a una distribuei6n t de Student con media ~t"[(n -- m)~s,-,2 + (N -- n)2j, precisi6n (N - n)h" h"~s, 2 + (N -- m)~2~ y grados de libertad a". Siendo h" ~t"= + m~2 , h"= h' + m~s~ h' + m~ a rt b,, , a"=a'+n y b" =b'4 donde h' + mY~s2 (h'(Z (y, - Cx,)21xD + ( y+ y2/x,)m~s2 -- i~s2 iEs2 2-2 m Ys 2), ~,~ = Y+ x,lm, ~,2 = Y+ ydm; ~,,_+~ = Y+ xd(nm) icsl icsl i(~si ~s2 76 BASULTO SANTOS. J.. Y MURGUI IZQUIERO0. S. DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACION... Y Xs'~ = (n -- m)~_s2 + (N - n)~si)/(N - m). La distribuci6n de )7 condicionada al conjunto de todos los datos ~1 Y Ys2 se obtiene f/tcilmente teniendo en cuenta la descomposici6n )7 = (m)7~ + (N - m))7~)/N y la relaci6n (2). Como estimador de )7 puede adoptarse la media de la distribuci6n f()7/~,, yJ cuya expresi6n es (m)7s2 + ~"((n -- m)~,~-~2 + (N - n)#"))/N. Si se considera como distribuci6n inicial para los par~metros una noinformativa como f (p, 6, ~, h) oc 6- X.h- ~, la expresi6n anterior se reduce a 37~_ x~,, que es el estimador de raz6n propuesto por Cochran (1978). Xs 2 E1 error de la estimaci6n viene expresado por la varianza de la distribuci6n f()7/x~,, y,~). Su valor se obtiene operando por condicionalidad, siendo el resultado 1( b" -~ h"(a ~- 2)(h"(n - m)Ycsl_s~ + h"(N - n)#" + ((N - n)g" + + (n - m)~s,_J2) + (N - n) 2 e,,2 + h"(a" - 2) "Var (X~,Jx~,)), siendo v" N-n+c5" Var (X~,~/~x) = u" - 2 (N - n)~" 4. SELECCION DE LAS MUESTRAS Suponiendo fijados los tamafios muestrales n y m, faltaria por resolver el problema de c6mo seleccionar las unidades que constituyen sly s2. Puesto que el coste de observaci6n cl es fijo para todas las unidades de sl, un criterio 6til para decidir la elecci6n de la muestra consiste en minimizar el valor esperado de la varianza de f()7/~s,). Se comprueba que dicho valor esperado es constante para toda muestra Sl de tamafio 77 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Nbm. 2. 1990 n, por lo que dicho criterio es compatible con la selecci6n de s~ mediante un diseflo aleatorio simple. Razonando de igual manera con la muestra s 2 debe calcularse el valor esperado respecto de f(yJ~,) de la varianza de f(~/~,, Y~2). Su valor viene expresado por: k~ + k 2 ~, x i + k 2 i~sl _s2 donde ((N - Z X,) i~$z _$2 h' + ~. X i iEs2 Y kl N - n h,,ff, (N - n)2 ( b' ) _ N 2 + N 2 ~,2 + h'(a' - 2) Var (Y?sa/~, b ! k2 - N2(a ' -- 2)" Se observa que dicho valor esperado alcanza su minimo cuando la muestra s2 se forma con aquellas unidades de s~ con los valores de xi m~ts grandes. Esta elecci6n extrema, que es 6ptima, no es por otra parte robusta frente a violaciones en el modelo. Una forma de elecci6n alternativa que ofrece ciertas garantias de robustez es la que toma muestras <<equilibradas)> en el sentido que definen Royall y Herson (1973a) de que ~ = x~2. A la varianza de la distribuci6n f(~/~,, x~2) para este tipo de muestras las denotaremos pot Veq. 5. DETERMINACION DE LOS TAMAI~IOS MUESTRALES Si como sugieren los resultados establecidos en la secci6n 4 se decide seleccionar la muestra sl mediante un disefio aleatorio simple y la s 2 de forma que sea equilibrada, faltar~ por determinar los tamafios n y m de ambas muestras. Sea L = K Veq (Y/xs,, Ys2) + cl n + c2m + Co una funci6n de p6rdida en la que c o es un coste fijo y K una constante de proporcionalidad que permite medir el error de estimaci6n en t6rminos de coste monetario. Para terminar m se procedeHt a minimizar el valor esperado respecto 78 BASULTO SANTOS, J., Y MURGUI IZQUIERDO, S. DISE~O MUESTRAL EN OOS FASES SOBRE UNA POBLACION... de f(y~2/~). Considerando un valor elevado para N, dicho minimo se obtiene para: m -~- 0 si p~<0 np si 0 ~< ~< 1 P n si p>~l donde = (#"__ k~ /ab' " h')/n P \~ ~/ C 2 ' -- 2 ~-~," Para determinar el valor de n debe sustituirse el valor calculado para men la p6rdida esperada y de nuevo calcular el valor esperado en este caso respecto de los datos ~1. Desgraciadamente el procedimiento presenta dificultades analiticas importantes. Una soluci6n aproximada al problema se obtiene al imponer las restricci6n n = m. E1 valor 6ptimo es entonces: n = 2 + ~,2 + h'(a' - 2) c 1 + c2 6. DISCUSION E1 modelo de superpoblaci6n propuesto en la secci6n 2 puede no ser el m/ts adecuado para el estudio de cierta poblaci6n. En tal caso seria deseable disponer de recursos que permitieran una inferencia robusta frente alas posibles violaciones del modelo. En nuestro caso, si admitimos que el modelo de regresi6n propuesto no pasa por el origen, razonamientos anfilogos a los de la secci6n 3 permiten concluir que la media de Y conocidos los datos ~, y Y~2 es: y~ ~ x: ~- ~. yJx, i~82 ies2 E x:;1--m i6s2 79 TRABAJOS DE ESTADISTICA. Vol. 5. Ntim. 2, 1990 Es inmediato comprobar que ambos estimadores coinciden si se selecciona s2 de manera que sea <<equilibrada~. Esta es la raz6n por la que se ha optado por dicho disefio. Las conclusiones establecidas pueden extenderse fhcilmente a poblaciones estratificadas. Los modelos a utilizar entonces presentarian analogias con respecto a los estudiados por Royall y Herson (1973b) y Murgui (1984) para diseflos en una fase. E1 an~disis de disefios muestrales en dos fases mediante los modelos de superpoblaci6n ha sido anteriormente realizado por otros autores. Singh y Sedransk (1976) consideran una variable X que toma un n6mero finito de valores y Ericson (1967) y Basulto y Murgui (1982) particularizan a un caso en el que X s61o toma dos valores 6nicos. Resulta interesante por otro lado, la comparaci6n de los resultados aqui expuestos con los obtenidos por Murgui (1983) en el supuesto de que los valores x i, i= 1 .... ,N fuesen conocidos. REFERENCES BASULTO, J., y MURGUI, J. S. (1982): ~tDiseflo Muestral 6ptimo en el caso de no respuesta~, Trabajos de Estadlstica y de lnvestigaci6n Operativa, vol. 33, nfim. 2, pp. 3 a 15. COCHRAN, W. G. (1978): Sampling Techniques, Wiley, New York. DEGROOT, M. H. (1970): Optimal Statistical Decision, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York. ERICSON, W. A. (t967): ~Optimal sample design with non-response~, J. Amer. Statist. Ass. March, pp. 62 a 78. MURGUI, J. S. (1983): ~Estimadores de raz6n y de regresi6n en poblaciones finitas: modelos de superpoblaci6m~, Estadistica Espa~ola, n6m. 99, pp. 61 a 72. MURGUI, J. S. (1984): ~Un modelo de regresi6n para poblaciones finitas estratificadas~, Estadistica Espa~ola, nfim. 101. ROYALL, R. M., y HERSON, J. (1973a): ~Robust Estimation in finite populations b~, d. Amer. Statist. Ass., Vol. 68, pp. 880 a 889. ROYALL, R. M., y HERSON, J. (1973b): <<Robust estimation in fnite populations II: Stratifications on a size variable,s, J. Amer. Statist. Ass., vol. 68, pp. 890 a 893. 80 BASULTO SANTOS, J., Y MURGUI IZQUIERDO, S. DISEI~O MUESTRAL EN DOS FASES SOBRE UNA POBLACIOiV.,. SINGH, B., and SEDRANSK, K. (1976): <<A two phase sample design for estimating the finite population mean: post stratification)~, Technical report, nfim. 39, Statistical Science Division, Suny at Barffalo. SUGDEN, R. A. (1978): ~tExchangeability and the foundations of survey sampling)), Unpublished Ph.D. Thesis, University of Southampton. 81