In eg ación
en
álgeb as
de
Abel
po
Juan
A ias
de
Reyna
Ma ínez
(*)
PRESENTADO
POR EL
ACADÉMICO
D.
DARÍO
MARAVALL
CASÈSNOVÈS
1.
DEFINICIONES
El
obje o
del
p esen e abajo
es
comple a
mi
an e io comuni-
cación
(1),
en que
plan eábamos
la
equi alencia
de los
concep os
de
unción
di e enciable
y
analí ica
de inidos
en
álgeb as
de
Abel.
Necesi amos
in eg a
unciones
de inidas
en un
in e alo
de R y
con
alo es
en un
álgeb a
de
Abel
A.
Pod íamos usa
'a
in eg al
débil,
pe o
se ía necesa io
exigi
alguna condición adicional
a A.
Po eso
p e e imos usa
la
eo ía desa ollada
en
nues a esis. Esen-
cialmen e consis e és a
en la
eo ía desa ollada
en
Bou baki,
Fonc-
ions
d'une
a iable éelle, capí ulo
II,
pe o sus i uyendo
el
espa-
cio de
Banach
po un
espacio localmen e con exo.
.;
Llama emos a co di e enciable
en un
álgeb a
de
Abel
A a una
aplicación
y
:
[ l>
b~
->
A
con inua,
di e enciable
y al que
/:[«,&]->
u
sea
con inua. (Suponemos
po
an o
que
exis e
la
de i ada
a la de-
echa
en a y a la
izquie da
en b.)
Una
aplicación
y
'•
[a>
&]
->
A se
di á a co di e enciable
a
o-
zos si es
con inua
y
exis e
una
pa ición
del
in e alo
[a, b] al que
en
cada
siibin e alo
pa cial
la
es icción
de
sea
a co di e enciable.
(*)
Dep.
Teo ía
de
Funciones.
Uni .
de
Se illa
—
522 —
Sea A un
álgeb a
de
Abel
; / :
û
->
A, una
unción
con inua
de inida
en una
egión
U
de A ;
y,
un
a co di e enciable
a
ozos
•j?
: [a, b]
->
U.
En endemos
po
in eg al
de / a lo
la go
de y
J
O) à z
i
a
la
in eg al
»
J /
(y
(0)
/
(O
<
í-
a
In eg al
omada
en el
sen ido
de inido
en mi
esis, co .
de la
p op.
32
y
p op.
30.
A
pa i
de
aho a
odos
los
a cos
que
apa ezcan
en una
in eg al
s6
supond án
di e enciabks
a
ozos implíci amen e.
Las
p opiedades o dina ias
de la
in eg al
a lo
la go
de
a cos
son
álidas aquí.
Sea
<p
:
[a,
/3]
-»
[a, i]
una
aplicación c ecien e sob e
y
di e enciable
a
ozos.
En onces
(*)ds
=
jl(s}dz.
o
<?
Po
an o, desde nues o pun o
de
is a,
los dos
a cos
y
y Y ° ?
son
equi alen es.
Es
ácil
p oba
o malmen e
que
es o
es una
ela-
ción
de
equi alencia
y a
eces llama emos a cos
a los
elemen os
del
conjun o
cocien e. Podemos
así
siemp e conside a
que un
a co
es á
de inido
en el
in e alo
[O,
1].
Podemos
de ini
sin
di icul ad
el
concep o
de
a co opues o
a uno
áado.
Se
iene
en onces
(e)
d
z
----—
j"
/(*)<**
=
—
/
/
jsi
d ;
Bas a aplica
las
de iniciones
y los
esul ados
ya
p obados pa a
es e
ipo
de
in eg ales.
—
S23
— -
También
es
posible
de ini
la
suma
de
a cos
y se
ob iene
el
&-
sul ado
(s)di
= J
(3)de
+
J
(s)ds.
1l
+
Tí
Ti
l!
Usa emos
con
mucha
ecuencia
en
es e
"capí ulo
las
unciones
/
:
ß->
A
de inidas
en una
egión
del
álgeb a
de
Abel
A que
soi.
di e enciables
en
Û
y
e i ican
en
Û
las
condiciones
de
Cauchy-Rìe-
mann.
Aunque p oba emos
que
coinciden
con las
analí icas,
pa a
dis ingui las
mien as es e esul ado
no
es é
p obado
las
llama e-
mos
unciones
holomo as.
;
Hemos,
is o
que
oda
unción
analí ica
en Q es
holomo a
en Û.
Podemos
da ya una
condición
que
elaciona
el
concep o
de
unción
ho^mo a
con la
in eg ación.
PROPOSICIÓN
1.—Sea
A un
álgeb a-
de
Abel;
í :
ü,
->
A, una
aplicación
de inida,
en
una,
egión
Ü
de
A.
Las dos
condiciones
si-
guien es
son
equi alen es
si es
con inua
en
compac os.
a) es
la
di e encial
de
una
unción holomo a
F :
Q-ï
A.
b)
La
in eg al
de
í a lo
la go
de un
a co
en
Û
no
depende
mas
que de los
ex emos
de
y.
Además
se
iene
en ese
caso
si
y
es un
a co
de a
has a
b
(s)dg=F(b)
— F
(o).
T
En
p ime
luga ,
debemos acla a
que
cuando hablamos
de
apli-
caciones
di e enciabas
siemp e
se á
en el
sen ido
de inido
en
A ias
•de
Reyna
J.
( esis).
Al
deci
que
/
es la
di e encial
de F,
es amos
iden i icando
los
elemen os
de L A con los de A.
P obemos
que a)
=í>
b).
Supongamos
que y
:
[a>
§]
->
U
es
un
a co
di e enciable
a
ozos
al
que
y
(o .)
= a y
y
(?)
= b
.Bas a á
p oba
que
j (M)dg
=
F(b)-F(a).
pa a demos a
b).
Sabemos
que F
»
y
es
con inua
en
[a,
i]
y
p imi i a
de
/
(
(0)
/
(O
:
-
5^4
-
pues
sal o
en los
pun os donde
no es
di ei
enciable
y
<lue
son
en
núme o
ini o,
se
iene
:
D
(F o y) (í) (1) = D F
(y
(¿))
o D y (í) (1)
=
D F
[y
(í)]
(/
(í)).
Usando aho a
las
condiciones
de
Cauchy-Riemann
y la
hipó esis
«)
= /
(Y
(O)
Y'
(0-
Po
an °.
//«.
•)
d * = F
(7
(¿8))
— F (y
(a))
= F
( ).-'F
(a).
Po
úl imo
b)
=£>
a).
Tomemos
un
pun o
ijo
aC
ü.
Pa a odo
z €
u,
pues o
que Q es
egión,
exis e
un
a co
di e enciable
a
ozos
y
de
ex emos
ays.
Pongamos
F
(*)
-
/
/(-Od
z.
-/'<•>
F es una
aplicación
de Ü
en
A,
pues
la
in eg al
po la
hipó esis
no
depende
de la
elección
de
.
Debemos
p oba
que F es
holomo a
en
û.
Es
deci ,
que es di-
e enciable
en
odo pun o
de ü y
D
F
(6)»
=
/(*)*.
Sea
y
un
a co
de b a b +
-x,
e iden emen e
se
iene
F
(b +
*)
—F'(i)
=
(s)
d
z:
•-
Po
an o,
F(b+x)
—
F(b)
—
(b)j;
=
( i*)
—
(b))
d
s.
Conside ando
b
ijo,
debemos p oba
que la
aplicación
*
h-*
J
(/(*)-/(&))<**
1
• T
es
un
es o.
—
5*5
-
P obemos
que es
con inua
en
compac os
en b. Sea K un
com-
pac o
en A que
con enga
a b.
Tomemos
un
en o no
de O en A,
dado
po una
semino ma
p y un s > 0.
Debemos encon a
un en-
o no
U de b al que
b
+
x
<E
U
R
K
=>
P
(
j
(
(s)-
(b))
d
£|<
e.
Sea i un
en omo
de b
p0
(z — b)
<^
con enido
en
u.
A es ce-
ado
en A. Sea
K'
= Ã
!
K.
K'
es
compac o
en A
y
con iene
a
b
También
lo es
K
= { x + b | b + x
€
K', £
[O,
1
] } ;
po se la
imagen
de un
compac o
po una
aplicación con inua. Ade-
más,
K
O
à c K.
Si b +
'X
€
K
H
A,
podemos oma
en
luga
de Y
el
segmen o
b.,
b
+ x,
pues es á con enido
en
Ci.
Como
K es
compac o,
p
iene
un
máximo
en K, sea M.
Como
/ es
con inua
en
compac os,
exis e
un
en o no equilib ado
V de & al que
*
+ y € V n K
=>
p
(
(b +
y}
— /
(6))
<
«/M.
Sea
aho a
b
+ x
e
( n Ã) n
K,.
en onces
i
P(
(
(s)
-
/
(»)
d
z
|
=
p
| j
(
(b
+
x)
-
/
(è))
X
d
/].
T •
°
1
:
<
p(
(b
+
x) -
(&))
p
(x)
d .
e •
Usando
las
desigualdades an e io es, es o
es,
<
s.

—
Jï6
—
Veamos aho a
que lim
(l/í)
( x) — O
omando
el
lími e
cuan-
do
->
O y x
:€
K.
Usa emos
la
misma no ación
que
an es.
Si,
b + x
€
Ã, se
iene
i
i
(l/í)
( x) =
(l/í)
'
(b
+
£ x)- (Í,) xdè
=j
(í(b
+
£
x) —
(b))
x d
£.
a
o
Sea V
el
en o no equilib ado
de ô
de e minado como an es.
Exis e.A
al que
O
< i í | <
<z
y
6
+
JT£
K
=>
6
+ í
*€
V
Q
Ã-
En onces
si è + x € K y | < a
pa a odo
|
Ç
j
< l se
iene
b
+
£Í*<E
V
n L
Además
i
P((lj ) ( x})<j
P (b
+
£í*)-/(&))#OK£
<
e/M
• M =
e.
o
Con
es o
se
iene
F (b +
- )
= F (b)
+
(b)x
+
(x),
luego
F es
con inua
en
compac os
en
b.
Es o
ale pa a odo
b € £5,
luego
es
con inua
en
compac os
en
odo
Q.
Queda
así
e i icada
la
e ce a condición impues a
a los
es os,
c. q. d.
2.
TEOREMA
DE
CAUCHY
Comenzamos
po
una
obse ación sob e
la
demos ación
del úl-
imo eo ema.
Al
p oba
que b)
=[>
a),
sólo
liemos
necesi ado
pa -
e de la
hipó esis,
de
mane a
que de
hecho hemos p obado
que
b')
=í>
a),
donde
b')
és la
elación:
—
527 —
b') La
in eg al
de / a lo
la go
de una
poligonal
en
Û
no de-
pende
más que de los
ex emos
de
és a.
Na u almen e,
en endemos
po
poligonal
una
suma
de
segmen os.
Vamos
a
demos a
el
eo ema
de
Cauchy
pa a egiones con e-
xas.
El
camino
que
segui emos consis i á
en e que si / es
holo-
no a
en una
egión con exa
e i ica
b') y
usa en onces
la
p o-
posición
1
modi icada
como acabamos
de
indica .
El
p ime paso
•es,
na u almen e,
el
iángulo.
Si
a, b y c son
es elemen os
de un
álgeb a
de
Abel, en ende-
mos po
iángulo
de
é ices
a, b y c el
conjun o
de los
elemen os
•de
la
o ma
xa
+ yb
+
zc con x, y, s,
núme os eales posi i os
•o
nulos ales
que x + y + s = 1.
Todo
iángulo
es
e iden emen e
•compac o.
Si T = (a, b,
c)
es el
iángulo an e io , en endemos
po
Tao de
de T, ò T el
a co
(a, b) +
(b,
c)
+ (c, a),
donde
(a, b)
deno-
a el
segmen o
de a
has a
b.
PROPOSICIÓN
2.—Sea
: ü
->
A
una
unción
holomo a,
de ini-
da
en una
egión
£1 dei
álgeb a
de
Abel
A. Sea T un
iángulo
en
£i
(Te
u).
En onces
j
(a)
d z = 0.
ÔT
Supongamos,
po el
con a io,
j (z)ds^Q.
ÒT
3±xis e
en onces
una
semino ma
p al que
P
(
/*/«<**)
5*0.
õ
Sea T = (a, b, c).
Pongamos en onces
Tj
=
(a,
(a +
b)/2,
(c +
a)/2),
T,2
=
((a
+
6)/2,
b, (b +
0/2),
T3
=
((a
+
¿OA
(b +
0/2,
(c +
a)/2)
-
5*8
-
y
po
ùl imo
T4
=
((c
+
o)/2,
(b +
c)/2,
e.
Es
i ial p oba en onces
que
j
(*)d=
¡
(z)dg
+
(z)
d
s
+ I
(*)
d
z
+ j
(.
ò
T
òTj
ÒT2
bT3
ÒT4
Así, pues,
exis e
z
=
1, 2, 3, 4 al que
P
(
/"/(«)<**)
XV4)*
(
^/(*)
<**)
•
ò
,
ò
Sea uno de
ellos
T¡.
Pongamos
T¡ =
T1.
Po el
mismo
p oceso-
aplicado
a
T1
en
luga
de a T
ob enemos
T2
al que
pi
(z)
d
A
>(l/4)¿
(
(*)dz)
•
>
*'
/ V
»/
/
ò
T2
ò
TI
Ob enemos
así una
sucesión
T
ID
TI
ID
T2
^
...
;D
T"
=3
...
de
iángulos ales
que
P
(
/*
/
O)
d
*)
>
(1/4)"
í
|
J*
/
(*)
d
*
) •
ò
Í""
ò T
Usando
los
eo emas conocidos pa a aco a in eg ales, ob ene-
mos
pa a
la
in eg al
de una
unción
£
en un
iángulo
T = (a,
b,
c),
p
(
g
(2)
a'
í
j
<
(¿
(b — a) + p (c — b) + p (a —
c))
sup p (g
(z)).
O
T
Obse emos
que
pa a
T1
=
(a'',
V,
c )
se
iene
p
(b' -
a')
+ p (c' -
b')
+ p
(a'
— c')
---
(1/2)
(p
(b — a) + p (c — b) + p
(a
—
c)}-
-
529
-
Así,
pues,
si
llamamos
1(T)
^P(b-a)
+
p(c-b)
+
p(a-c)
se
iene
1
(T»)
=
(1/2)
1
(T<>-
i)
= ... =
(1/2»)
1
(T).
Como
los T™ son
compac os
y no
acíos, exis e
a € n
Tn,
sea
h
= /' (a) que
exis e, pues
/ es
holomo a
en
Û.
Sabemos
que
J
(/(<*)-
(*)(*-a))
d
*
= 0,
ÒT
pues
el
in eg ando admi e
una
p imi i a
en A.
Así,
pues,
(J/(z)d )<4«í(
Wdz}
=
4*¿(
J
(/(*)-/(«)-(*-«)/'W)
<**)
<
Ò
T õ T" õ
T"
<
4»
1
(T«)
sup
p
(
(s)
_ /
(a)
-
(0
_ a) /'
(a))
<
Z€T*
<
2"
i
(T)
sup
/>
(
(a)
- /
(a)
-
(2
-
a)
/'
(a)).
zeT*
Dado
s > O y el
compac o
T
•—•
a,
exis e
Í0
al que
l
í I
«o
y
-x
+
*>ÇT=>
P
((í/ )
( (a
+
x}
— / (a) —
x
/'
(a)))
<
e.
Po
an o,
si s €
T",
P
(
(s)
-/(„)-(*-
«)
/'
(a))
<-
í
e,
siemp e
que
exis a
a
€ T — a al que
a
+ x = z y [ í | <
0.
Sea
z 6
T
;
pongamos
k
(z)
= mi
{
(s —
a)/í
í
T — a y
í>0};
es o
de ine
una
unción
eal
en T.
-
536
-
PROPOSICIÓN
Q.—La
unción
exponencial
es un
homomo ismo
-en e,
el
g upo
adi i o
de A y el
g upo
mul iplica i o
A*
=
A —
—
íM,
de A.
Po la
p oposición
8
(cap.
I) se
iene pa a
s
y w
pe enecien es
a A,
eíz+wi
=
ez
ew.
Además, di ec amen e
de la
de inición
e°
=
1,
luego
ez
e-z
=
e°
= 1.
Es o
es,
ez
€ A*
pa a odo
z € A.
PROPOSICIÓN
7.—Si
A es un
álgeb a
de
Abei,
el
núcleo
del ho-
momo ismo
de inido
po la
unción
exponencial
es 2
ic
i Z.
La
unción
g
asociada
a la
exponencial según
la
p oposición
12
{cap.
I) y que
hace
conmu a i o
el
diag ama
exp
-*
C
«s
la
exponencial o dina ia.
Si
a
'€ A es al que
e"
=
1, se
iene
po
an o
<? pc°)
=
1.
Así,
puee,
<p
(a) € 2
-K
i Z. Si
a
j¿
2
-K
i k
pa a
odo
k,
es o
es, a
^
<
(a),
se
end ía
b = a —
«p
(a) al que b
T¿
O,
<p
(è)
= O y e* = 1.
Sólo
queda
e que si
<p
(b)
= O y
e*
= 1 se
iene
è
= 0.
.
Si
í?6
= 1, se
iene
b
+
í>2/2!
+
bs/3l
...
=0,
luego
b
(1 +
62/2!
+
¿>V3!
+
...)
= 0.
Como
9(1
+
6/2!
+
&V3Î.+
..)=!.
si
A es de
in eg idad
es
&
= 0.
Pe o es a demos ación
no
si e
cuando
A no es de
in eg idad. Da emos, pues,
una
demos ación
•di e en e.

—
537 —
Conside emos
las dos
se ies
de
po encias
S
= > '
*»-»/»!
J í
T
= V
(&»/»
!).
^j
•donde
60
=1,
^
=1/2,
bz
=
1/6,
63
=0,...
son los
nùme o
de
Be nouilli.
En
cualquie
àlgeb a
de
Abe',
S
ie-
Tie
adio
de
con e gencia
oo
y T
iene adio
2
i .
Además,
S T = 1.
Las dos
con e gen
en b.
Aplicando en onces
la
p oposición
8
(ca-
•pí ulo
I), se
iene
(1
+
6/2!
+
&V3!
+
..)T(6)
= 1.
.Mul iplicando
po b,
queda
b
= b l = (b + 2/2
'
+
Z>3/3
! +
...)
T
(b)
= 0.
An es
de
pasa
a
de ini
el
índice, debemos
es udia
las
p opie-
dades
de la
unción
í/s
en un
àlgeb a
de
Abel
A.
PROPOSICIÓN
8.—S'm
A
un
álgeb a
de
Abel;
u,
la
egión
ç UC-ÍO}).
La
aplicación
:
Ü
->
A
de inida
po se (z)
=
l/z,
w
analí ica
•en
ü,
con inua
y
holomo a
po
an o.
Si a €
Q,
su
desa ollo
en-
el
en omo
de
a.
es
(z) =
l/a
—
(l/a*)
(z — a) +
(l/a')
(z —
a)*
—
....
-
53*
-
àlido
pa a
<p(z
—a)
<
<p(a)|.
Na u almen e,
/
es à
bien
de inida,
pues
si
a'
a = 1 y
a"
a
=
!..
es
(«'
—
a")
a = 0 y
mul iplicando
po
a'
se
ob iene
a'
— a" =
(L
Y
si
a
€ ü
exis e
una
a',
pues
(a)
5¿
0.
El
adio
de la
se ie dada
es |
<p
(a) |,
pues o
que si p es una
se-
mino ma,
se
iene
lim
>
(I/a")
=
Pa
(VO
= !
V
(I/a)
| =
VI
<p
(o)|
y
bas a aplica
la
p oposición
7
(cap.
I).
Mul iplicando
la
se ie
po a + (z — a) se
ob iene
usando
la
p o-
posición
8
(cap.
I) :
: (a + (z —
a)-)
((I/a)
—
(I/a")
(s — a) +
(I/a»)
(«
_
a)"
+
...'=
1.
Así, pues,
la
se ie ale
I/Ä
siemp e
que
|
<p
(
—
a)
| < |
p
(a)
.
De
aquí
se
ob iene
que / es
analí ica, p oposición
13
(cap.
I),.
con inua
po la
p oposición
la
(cap.
I) y
holomo a
po la
p opo-
sición
16
(cap.
I).
.PROPOSICIÓN
9.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel
Y :
[a,
.§]
->
A un
a co
di e mciable
a
ozos
y
ce ado;
a € A, un
pun o
al que
pa e
odo
'€
[a, 8] sea
<P(Z)^<P
(y
00).
En onces
la
in eg al
•..
.
. ..
/V(z.-a)
•
es
un
múl iplo en e o
de
2^
i.
dz
-
539
—
Pues o
que
/(z
— o) es
con inua
y
el
a co
e i ica
<p
(Y M)
5¿
ç>
(»)
la
in eg al
es á
de inida.
Su
alo
es
¿J
V'/(*
-
o)
d * =
(y
(í)
-
a-i
/
(í)
d í.
La
unción
í
*(«).=
(y
W
—
a)-1
y'
W d
<-
«es-
p imi i a
de
(
(O
-
ß)-1
/
(í).
To
. an o,
-"(í)
(y
(í)
—
o)
•es
unción
con inua
en
[«,§].
Sal o
en el
núme o
ini o
de
pun os,
donde
no
es
de i able,
(?-*<'>
(y
(í)—a)
"Jo
es ; su
de i ada ale
-
e-*W
(y
(í) - )-i
y'
(í)
(y
(í)
_
a:)
+
«?-
*
( )
y (í) = 0.
Aplicando
el
eo ema
undamen al
del
cálculo
se
ob iene
que
e-*w
(y
(í)
—o)
•es
cons an e
:
e-
A
(«)
(y
(«)
— o) = í- *
C )
(y (í) _ a).
—
540
—
Además
*-*<»>
=
e-o
=
i.
De
aquí
que
como
y
(°0
— a es, po
hipó esis,
in e ib'e,
e»
in
=
( (i)_o)/( (a)
—a).
Finalmen e, como
Y
(°0
= ï
(§)
es
«^
( O
=
1-
Aplicando
la
p opo-
sición
7 se
iene
h
(¡3)
=
2
è
i
i
/»a a
algún en e o
k.
Bajo
las
condiciones
de la
p oposición
9,
llama emos índice
de y
espec o
de a, y lo
ep esen a emos
po n
(y,
a) al
núme o
en e o
n (y, a) =
(1/2
T«)
/*
O —
o)-i
d
s.
Pa a
el
cálculo
de los
índices
es muy
ú il
la
siguien e
p opo-
sición.
PROPOSICIÓN
10.—Sea
A un
álgeb a
de
Abel;
y : [a,
ß]
~>
A,
un-
a co
di e enciable
a
i osos
y
ce ado;
a€
A, al que
pa a
€
[a,
ßj
sea
(y
( )
¿¿--
«p
(a).
Se
iene en onces
n
(y,
a) = n (9 o 7,
<p
(a)).
En
e ec o,
como
n
(y,
«)
es
en e o,
se
iene
:
n (y, o) =
<p
(»
(y,
a))
=
(1/2
**)?>(
(z —
a)-1
d
z
=
$
=
(V2-i)ç(
/"
(y
(*)
-
«h1
/
(O
á
* ) =
ce
ß
=
J(>ï>
(ï
(0) —
<P
í«))-1
<P
(7'
(0) à i = n
(
o y,
<p
(a)),
a
Son
i iales algunas p opiedades
del
indice.
Po
ejemplo,
si
n
(y,
a)
es á
de inido,
ambién
lo
es á
n(—y,a)
=
—n
(y,
a).
—
54l
-
Si A es un
disco
en C, al que
pa a odo
í,
9
(y
(0)
€
A y 9 0) S A
se
iene
n
(Y,
a) = 0.
Sea
Y
un
a co
di e enciable
a
ozos
y
ce ado
en un
àlgeb a
de
Abel
A.
Llamamos egión de e minado
po Y a
cada
una de las
e-
giones
'ip"1
(G) en A,
siendo
G las
componen es conexas
en C
del
complemen o
de la
imagen
del
a co
9 °
Y-
Llama emos
egión
no-
aco ada, de e minada
po Y,
a
'?-1
(G), siendo
G la
egión
no
aco-
ada
de la
an e io men e ci adas.
Si Y es un
a co di e enciable
a
ozos
y
ce ado
en A, y û
una.
de las
egiones de e minadas
po
Y-
En onces
n (Y, s) es
cons an e
pa a
z
'€
ü y
ale
0 si Û es la
egión
no
aco ada de e minada
po
y-
PROPOSICIÓN
11.—Sea,
A un
álgeb a
de
Abel;
Q
=
cp-1
(G),
w
«c
egión
con exa
de A; :
U
->
A,
holomo a;
Y :
[<*,
ß]
~>
ß.
MWP
» eo
di e enciable
a
i osos
y
ce ado
en
Ci;
a €
U,
al que
9
(y
( ))
^
9
(a)
pa a
€ [a,
ß].
En onces
n
(y, a) (a) =
(1/2
*
ï)
(z) (z -
a)-i
d z.
T
Conside emos
la
unción
(/(s)-/(o))(a-o)-i
de inida
en
ç-1
(G
-
{
<p
(o)
}
) =
Q'
es
holomo a
en
ü'
y se
iene
lim
(z — a) F (z) = 0.
siendo
F (z) el
cocien e inc emen al.

-
542
-
•Como
Y
es á
en
ü',
se
iene
po la
p oposición
5 :
(1/2
x i) í
(
(s)
—
/
(a))
(z
-
o)-i
d
z
= 0.
T
-Así,
pues,
(V2
»
í)
J/
(2)
(s -
o)-i
d
s
=
(V2
¿)
J
/
(a)
(^
-
a)-i
d
Z
= /
(a)
n
(y,
a).
-
T
T
Si
ü„
es una de las
egiones de e minadas
po
y
y
ales
que
'•n
(Y>
a)
=1
si a '€
Û0.
Se
iene
/(s)
=
(1/2
,TÎ)
/
/(0«-¿0<H,
=
(1/2
*•
i)
í
i
pa a
,s"€
Û0.
En
pa icula
es o ocu e
si Y
es
una
ci cun e encia.
La
consecuencia
más
impo an e
de
es e esul ado
es la
demos-
ación
de la
p oposición
17 del
capí ulo
I.
PROPOSICIÓN
12.—Sea
G una
egión
de C ; ü =
'9"1
(G) la
e<-
..gión
co espondien e
en el
álgeb a
de
Abel
A; î :
û
->
A, una
un-
• ion
holomo -a
M a 6
û.
En onces
puede
ep esen a se
po
-una
-se ie
de1
po encias
en el
en o no
de a :
(z)
=
S
an
(z
-
a)n,
•cwyo
adío
í
mayo
o
igual
a
d
(9
(a),
[ G),
3;
<?«<?
coincide
con í en el
disco
de
adio
d
Op
(a),
[ G).
Obsé ese
que con
es o
se
demues a ambién de ini i amen e
la
"p oposición
12.
Aunque puede pa ece
que ya
hemos o mado
un
'Ci culo,
pues
la
p oposición
12 la
hemos usado
al
p oba
la
p opo-
-
543
-
sición
7 y
és a
pa a
la
ó mula
de la
in eg ai
de
Cauchy.
Pe o
debe
ene se
en
cuen a
que la
p oposición
12 es
i ial
pa a
la
unción
exponencial.
Sea b
€
Ü
al que
l
V
(i)
-
9
(a)
I
«í
(<p
(a).
[G).
Tomemos
un
en e
es os
dos
núme os
y sea
7
el
a co
a
+
es
n
'
*
pa a
;6
[0.,
1].
Se
iene
/ 00 =
(1/2
»
i)
l*/«)«-*)-1^,
T
cuando
|
(a)
—
9
(a)
| <
po la
p oposición
11.
Pe o
(5
-
o)^1
V(S
-
*)
=
V((5
-1)
-
(*
-
a))
= V
(-1)»
^_i
(A
—
o)"
uni o memen e
en C
pa a
ays
ijos.
Bas a ene
en
cuen a
que
sólo
conside amos
los
pun os
de la
o ma
Ç
= a +
e2*'
*,
donde
la
se ie
es
2
(
l)n
-
Cn+
1) e- 2 x
¡(R- -
1)
(2
__
0)n¡
que es una
se ie
de
po encia
de
adio
/|
9
(*)
-
<P
(«)
!
>
1
;
omada
en
e2*"
de
módulo unidad
y
usa
la
p oposición
11
(cap.
I).-
—
544
—
Al
mul iplica es a
se ie
po /
(Ç)
se
ob iene
una
se ie
que
con-
e ge
uni o memen e, pues
/ es
con inua
en
compac os.
Podemos en onces in eg a é mino
a
é mino
y se
ob iene
/
(,)
=
"V
(1/2
« i)
(--1>«
O-<*)"
/
(S)
d
í
= V
o,
(*
-
a)"
^—'
J
(
_
a)íi+J
.¿-J
(?
-
i)"
I
donde
a„
=
(1/2
i)
(-1)«
J'
/
(D
«
-
a)-c»H>
d
^.
El
desa ollo ob enido
pa a
/ (s)
ale
en b po
an o
pa a
odo
s del
disco
de
cen o
<p
(a) y
adio
d(c,(a),
[ G)
ya que los
coe icien es
dados
a„
no
pueden
de
hecho
depende
de
ya que son las
di e enciales sucesi as
de / que son
únicas.
O a
consecuencia impo an e
de
es e
esu' ado
es el
eo ema
de-
Mo e a.
PROPOSICIÓN
13.—Sea
Í2
una
egión
de un
álgeb a
de
Abel
A,"
ï
:
Q-^A,
al que
pa a odo a co
di e enciable
a
ozos
y
ce ado'
Y
en Û se
enga
^/(*)d*
=
0.
En onces
es
analí ica
en Û.
Po la
p oposición
1, / es la
di e encial
de una
unción
holomo -
a
F. Po la
p oposición
12, F es
analí ica,
luego
lo
es /.
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