Integración en álgebras de Abel

Integración en álgebras de Abel por Juan Arias de Reyna Martínez (*) PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. DARÍO MARAVALL CASÈSNOVÈS 1. DEFINICIONES El objeto del presente trabajo es completar mi anterior comunicación (1), en que planteábamos la equivalencia de los conceptos de función diferenciable y analítica definidos en álgebras de Abel. Necesitamos integrar funciones definidas en un intervalo de R y con valores en un álgebra de Abel A. Podríamos usar 'a integral débil, pero sería necesario exigir alguna condición adicional a A. Por eso preferimos usar la teoría desarrollada en nuestra tesis. Esencialmente consiste ésta en la teoría desarrollada en Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, capítulo II, pero sustituyendo el espacio de Banach por un espacio localmente convexo. .; Llamaremos arco diferenciable en un álgebra de Abel A a una aplicación y : [fl> b~\ -> A continua, diferenciable y tal que /:[«,&]-> u sea continua. (Suponemos por tanto que existe la derivada a la derecha en a y a la izquierda en b.) Una aplicación y '• [a> &] -> A se dirá arco diferenciable a trozos si es continua y existe una partición del intervalo [a, b] tal que en cada siibintervalo parcial la restricción de f sea arco diferenciable. (*) Dep. Teoría de Funciones. Univ. de Sevilla — 522 — Sea A un álgebra de Abel ; / : û -> A, una función continua definida en una región U de A ; y, un arco diferenciable a trozos •j? : [a, b] -> U. Entendemos por integral de / a lo largo de y J f O) à z i a la integral » J / (y (0) / (O <f í- a Integral tomada en el sentido definido en mi tesis, cor. de la prop. 32 y prop. 30. A partir de ahora todos los arcos que aparezcan en una integral s6 supondrán diferenciabks a trozos implícitamente. Las propiedades ordinarias de la integral a lo largo de arcos son válidas aquí. Sea <p : [a, /3] -» [a, i] una aplicación creciente sobre y diferenciable a trozos. Entonces ff(*)ds = jl(s}dz. f o <? Por tanto, desde nuestro punto de vista, los dos arcos y y Y ° ? son equivalentes. Es fácil probar formalmente que esto es una relación de equivalencia y a veces llamaremos arcos a los elementos del conjunto cociente. Podemos así siempre considerar que un arco está definido en el intervalo [O, 1]. Podemos definir sin dificultad el concepto de arco opuesto a uno áado. Se tiene entonces f f (e) d z ----— j" /(*)<** = — / / jsi d ; Basta aplicar las definiciones y los resultados ya probados para este tipo de integrales. — S23 — - También es posible definir la suma de arcos y se obtiene el r&- sultado f f(s)di = J f(3)de + J f(s)ds. 1l + Tí Ti l! Usaremos con mucha frecuencia en este "capítulo las funciones / : ß-> A definidas en una región del álgebra de Abel A que soi. diferenciables en Û y verifican en Û las condiciones de Cauchy-Rìe- mann. Aunque probaremos que coinciden con las analíticas, para distinguirlas mientras este resultado no esté probado las llamaremos funciones holomorfas. ; Hemos, visto que toda función analítica en Q es holomorfa en Û. Podemos dar ya una condición que relaciona el concepto de función ho^morfa con la integración. PROPOSICIÓN 1.—Sea A un álgebrade Abel; í : ü, -> A, una aplicación definida, en una, región Ü de A. Las dos condiciones siguientes son equivalentes si f es continua en compactos. a) f es la diferencial de una función holomorfa F : Q-ï A. b) La integral de í a lo largo de un arco en Û no depende mas que de los extremos de y. Además se tiene en ese caso si y es un arco de a hasta b f f(s)dg=F(b) — F (o). T En primer lugar, debemos aclarar que cuando hablamos de aplicaciones diferenciabas siempre será en el sentido definido en Arias •de Reyna J. (tesis). Al decir que / es la diferencial de F, estamos identificando los elementos de L A con los de A. Probemos que a) =í> b). Supongamos que y : [a> §] -> U es un arco diferenciable a trozos tal que y (ot.) = a y y (?) = b .Bastará probar que jf(M)dg = F(b)-F(a). t para demostrar b). Sabemos que F » y es continua en [a, fi] y primitiva de / (v (0) / (O : - 5^4 - pues salvo en los puntos donde no es difei enciable y <lue son en número finito, se tiene : D (F o y) (í) (1) = D F (y (¿)) o D y (í) (1) = D F [y (í)] (/ (í)). Usando ahora las condiciones de Cauchy-Riemann y la hipótesis «) = / (Y (O) Y' (0- Por tant°. //«. •) d * = F (7 (¿8)) — F (y (a)) = F (fr).-'F (a). Por último b) =£> a). Tomemos un punto fijo aC ü. Para todo z € u, puesto que Q es región, existe un arco diferenciable a trozos y de extremos ays. Pongamos F (*) - / /(-Od z. -/'<•> F es una aplicación de Ü en A, pues la integral por la hipótesis no depende de la elección de f. Debemos probar que F es holomorfa en û. Es decir, que es diferenciable en todo punto de ü y D F (6)» = /(*)*. Sea y un arco de b a b + -x, evidentemente se tiene F (b + *) —F'(i) = f f (s) d z: •- t Por tanto, F(b+x) — F(b) — f(b)j; = f (fi*) —f (b)) d s. t Considerando b fijo, debemos probar que la aplicación * h-* J (/(*)-/(&))<** 1 • T es un resto. — 5*5 - Probemos que es continua en compactos en b. Sea K un compacto en A que contenga a b. Tomemos un entorno de O en A, dado por una seminorma p y un s > 0. Debemos encontrar un entorno U de b tal que b + x <E U R K => P ( j (f (s)-f (b)) d £|< e. t Sea i un entomo de b p0 (z — b) <^ r contenido en u. A es cerrado en A. Sea K' = à f! K. K' es compacto en A y contiene a br También lo es K = { t x + b | b + x € K', t £ [O, 1 ] } ; por ser la imagen de un compacto por una aplicación continua. Además, K O à c K. Si b + 'X € K H A, podemos tomar en lugar de Y el segmento b., b + x, pues está contenido en Ci. Como K es compacto, p tiene un máximo en K, sea M. Como / es continua en compactos, existe un entorno equilibrado V de & tal que * + y € V n K => p (f (b + y} — / (6)) < «/M. Sea ahora b + x e (v n Ã) n K,. entonces i P( f (f (s) - / (») d z | = p | j (f (b + t x) - / (è)) X d /]. T • ° 1 : < fp(f (b + t x) - f (&)) p (x) d t. e • Usando las desigualdades anteriores, esto es, < s. — Jï6 — Veamos ahora que lim (l/í) r (t x) — O tomando el límite cuando t -> O y x :€ K. Usaremos la misma notación que antes. Si, b + t x € Ã, se tiene i i (l/í) r (t x) = (l/í) 'f f(b + £tx)-f(Í,)txdè =j (í(b + £ t x) — f (b)) x d £. a o Sea V el entorno equilibrado de ô determinado como antes. Existe.A tal que O < i í | < <z y 6 + JT£ K => 6 + í *€ V Q Ã- Entonces si è + x € K y | t \ < a para todo | Ç j < l se tiene b + £Í*<E V n L Además i P((ljt)r(tx})<j Ptf(b + £í*)-/(&))#OK£ < e/M • M = e. o Con esto se tiene F (b + -r) = F (b) + f(b)x + r (x), luego F es continua en compactos en b. Esto vale para todo b € £5, luego r es continua en compactos en todo Q. Queda así verificada la tercera condición impuesta a los restos, c. q. d. 2. TEOREMA DE CAUCHY Comenzamos por una observación sobre la demostración del último teorema. Al probar que b) =[> a), sólo liemos necesitado parte de la hipótesis, de manera que de hecho hemos probado que b') =í> a), donde b') és la relación: — 527 — b') La integral de / a lo largo de una poligonal en Û no depende más que de los extremos de ésta. Naturalmente, entendemos por poligonal una suma de segmentos. Vamos a demostrar el teorema de Cauchy para regiones convexas. El camino que seguiremos consistirá en ver que si / es holotnorfa en una región convexa verifica b') y usar entonces la proposición 1 modificada como acabamos de indicar. El primer paso •es, naturalmente, el triángulo. Si a, b y c son tres elementos de un álgebra de Abel, entendemos por triángulo de vértices a, b y c el conjunto de los elementos •de la forma xa + yb + zc con x, y, s, números reales positivos •o nulos tales que x + y + s = 1. Todo triángulo es evidentemente •compacto. Si T = (a, b, c) es el triángulo anterior, entendemos por Taorde de T, ò T el arco (a, b) + (b, c) + (c, a), donde (a, b) denota el segmento de a hasta b. PROPOSICIÓN 2.—Sea f : ü -> A una función holomorfa, definida en una región £1 dei álgebra de Abel A. Sea T un triángulo en £i (Te u). Entonces j f (a) d z = 0. ÔT Supongamos, por el contrario, jf(z)ds^Q. ÒT 3±xiste entonces una seminorma p tal que P ( /*/«<**) 5*0. õt Sea T = (a, b, c). Pongamos entonces Tj = (a, (a + b)/2, (c + a)/2), T,2 = ((a + 6)/2, b, (b + 0/2), T3 = ((a + ¿OA (b + 0/2, (c + a)/2) - 5*8 - y por ùltimo T4 = ((c + o)/2, (b + c)/2, e. Es trivial probar entonces que j t(*)d= ¡ t(z)dg + f f (z) d s + I f (*) d z + j f (. ò T òTj ÒT2 bT3 ÒT4 Así, pues, existe z = 1, 2, 3, 4 tal que P ( /"/(«)<**) XV4)* ( ^/(*) <**) • ò t, ò t Sea uno de ellos T¡. Pongamos T¡ = T1. Por el mismo procesoaplicado a T1 en lugar de a T obtenemos T2 tal que pi f f (z) d A >(l/4)¿ ( f f(*)dz) • > *' / V »/ / ò T2 ò TI Obtenemos así una sucesión T ID TI ID T2 ^ ... ;D T" =3 ... de triángulos tales que P ( /* / O) d *) > (1/4)" í | J* / (*) d * ) • ò Í"" ò T Usando los teoremas conocidos para acotar integrales, obtenemos para la integral de una función £ en un triángulo T = (a, b, c), p ( f g (2) a' í j < (¿ (b — a) + p (c — b) + p (a — c)) sup p (g (z)). O T Observemos que para T1 = (a'', V, cf) se tiene p (b' - a') + p (c' - b') + p (a' — c') --- (1/2) (p (b — a) + p (c — b) + p (a — c)}- - 529 - Así, pues, si llamamos 1(T) ^P(b-a) + p(c-b) + p(a-c) se tiene 1 (T») = (1/2) 1 (T<>- i) = ... = (1/2») 1 (T). Como los T™ son compactos y no vacíos, existe a € n Tn, sea h = /' (a) que existe, pues / es holomorfa en Û. Sabemos que J (/(<*)-f (*)(*-a)) d * = 0, ÒT pues el integrando admite una primitiva en A. Así, pues, f (J/(z)dr)<4«í( ffWdz} = 4*¿( J (/(*)-/(«)-(*-«)/'W) <**) < Ò T õ T" õ T" < 4» 1 (T«) sup p (f (s) _ / (a) - (0 _ a) /' (a)) < Z€T* < 2" i (T) sup /> (f (a) - / (a) - (2 - a) /' (a)). zeT* Dado s > O y el compacto T •—• a, existe Í0 tal que l í I «o y -x + *>ÇT=> P ((í/t) (f(a + t x} — / (a) — t x /' (a))) < e. Por tanto, si s € T", P (f (s) -/(„)-(*- «) /' (a)) <- í e, siempre que exista ar € T — a tal que a + t x = z y [ í | < t0. Sea z 6 T ; pongamos k (z) = mi {t (s — a)/í í T — a y í>0}; esto define una función real en T. - 536 - PROPOSICIÓN Q.—La función exponencial es un homomorfismo -entre, el grupo aditivo de A y el grupo multiplicativo A* = A — — íM, de A. Por la proposición 8 (cap. I) se tiene para s y w pertenecientes a A, eíz+wi = ez ew. Además, directamente de la definición e° = 1, luego ez e-z = e° = 1. Esto es, ez € A* para todo z € A. PROPOSICIÓN 7.—Si A es un álgebra de Abei, el núcleo del homomorfismo definido por la función exponencial es 2 ic i Z. La función g asociada a la exponencial según la proposición 12 {cap. I) y que hace conmutativo el diagrama exp -* C «s la exponencial ordinaria. Si a '€ A es tal que e" = 1, se tiene por tanto <?tpc°) = 1. Así, puee, <p (a) € 2 -K i Z. Si a j¿ 2 -K i k para todo k, esto es, a ^ <f (a), se tendría b = a — «p (a) tal que b T¿ O, <p (è) = O y e* = 1. Sólo queda ver que si <p (b) = O y e* = 1 se tiene è = 0. . Si í?6 = 1, se tiene b + í>2/2! + bs/3l ... =0, luego b (1 + 62/2! + ¿>V3! + ...) = 0. Como 9(1 + 6/2! + &V3Î.+ ..)=!. si A es de integridad es & = 0. Pero esta demostración no sirve cuando A no es de integridad. Daremos, pues, una demostración •diferente. — 537 — Consideremos las dos series de potencias S = > ' *»-»/»! Jfrí T = V (&»/» !). ^j •donde 60 =1, ^ =1/2, bz = 1/6, 63 =0,... son los nùmero de Bernouilli. En cualquier àlgebra de Abe', S tie- Tie radio de convergencia oo y T tiene radio 2 it. Además, S T = 1. Las dos convergen en b. Aplicando entonces la proposición 8 (ca- •pítulo I), se tiene (1 + 6/2! + &V3! + ..)T(6) = 1. .Multiplicando por b, queda b = b l = (b + ft2/2 ' + Z>3/3 ! + ...) T (b) = 0. Antes de pasar a definir el índice, debemos estudiar las propiedades de la función í/s en un àlgebra de Abel A. PROPOSICIÓN 8.—S'm A un álgebra de Abel; u, la región çrUC-ÍO}). La aplicación f : Ü -> A definida por ser f (z) = l/z, w analítica •en ü, continua y holomorfa por tanto. Si a € Q, su desarrollo enel entomo de a. es f (z) = l/a — (l/a*) (z — a) + (l/a') (z — a)* — .... - 53* - vàlido para <p(z —a) < <p(a)|. Naturalmente, / està bien definida, pues si a' a = 1 y a" a = !.. es («' — a") a = 0 y multiplicando por a' se obtiene a' — a" = (L Y si a € ü existe una a', pues v (a) 5¿ 0. El radio de la serie dada es | <p (a) |, puesto que si p es una seminorma, se tiene lim v> (I/a") = Pa (VO = ! V (I/a) | = VI <p (o)| y basta aplicar la proposición 7 (cap. I). Multiplicando la serie por a + (z — a) se obtiene usando la proposición 8 (cap. I) : : (a + (z — a)-) ((I/a) — (I/a") (s — a) + (I/a») (« _ a)" + ...'= 1. Así, pues, la serie vale I/Ä siempre que | <p ( — a) | < | tp (a) . De aquí se obtiene que / es analítica, proposición 13 (cap. I),. continua por la proposición la (cap. I) y holomorfa por la proposición 16 (cap. I). .PROPOSICIÓN 9.—Sea A un álgebra de Abel Y : [a, .§] -> A un arco difermciable a trozos y cerrado; a € A, un punto tal que parer todo t '€ [a, 8] sea <P(Z)^<P (y 00). Entonces la integral •.. . . .. /V(z.-a) •r es un múltiplo entero de 2^ i. dz - 539 — Puesto que \/(z — o) es continua y el arco verifica <p (Y M) 5¿ ç> (») la integral está definida. Su valor es ¿J f V'/(* - o) d * = f (y (í) - a-i / (í) d í. La función í *(«).= r (y W — a)-1 y' W d <- «esprimitiva de (r (O - ß)-1 / (í). Tor .tanto, r-"(í) (y (í) — o) •es función continua en [«,§]. Salvo en el número finito de puntos, donde f no es derivable, (?-*<'> (y (í)—a) "Jo es ; su derivada vale - e-*W (y (í) - ff)-i y' (í) (y (í) _ a:) + «?- * (t) y (í) = 0. Aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene que e-*w (y (í) —o) •es constante : e- A («) (y («) — o) = í- * Ct) (y (í) _ a). — 540 — Además *-*<»> = e-o = i. De aquí que como y (°0 — a es, por hipótesis, invertib'e, e» in = (v(i)_o)/(v(a) —a). Finalmente, como Y (°0 = ï (§) es «^ (fO = 1- Aplicando la proposición 7 se tiene h (¡3) = 2 è it i /»ara algún entero k. Bajo las condiciones de la proposición 9, llamaremos índice de y respecto de a, y lo representaremos por n (y, a) al número entero n (y, a) = (1/2 T«) /* O — o)-i d s. Para el cálculo de los índices es muy útil la siguiente proposición. PROPOSICIÓN 10.—Sea A un álgebra de Abel; y : [a, ß] ~> A, unarco diferenciable a irosos y cerrado; a€ A, tal que para t€ [a, ßj sea tf (y (t) ¿¿-- «p (a). Se tiene entonces n (y, a) = n (9 o 7, <p (a)). En efecto, como n (y, «) es entero, se tiene : n (y, o) = <p (» (y, a)) = (1/2 **)?>( f (z — a)-1 d z\ = $ = (V2-i)ç( /" (y (*) - «h1 / (O á * ) = ce ß = J(>ï> (ï (0) — <P í«))-1 <P (7' (0) à i = n (ff o y, <p (a)), a Son triviales algunas propiedades del indice. Por ejemplo, si n (y, a) está definido, también lo está n(—y,a) = —n (y, a). — 54l - Si A es un disco en C, tal que para todo í, 9 (y (0) € A y 9 0) S A se tiene n (Y, a) = 0. Sea Y un arco diferenciable a trozos y cerrado en un àlgebra de Abel A. Llamamos región determinado por Y a cada una de las regiones 'ip"1 (G) en A, siendo G las componentes conexas en C del complemento de la imagen del arco 9 ° Y- Llamaremos región noacotada, determinada por Y, a '?-1 (G), siendo G la región no acotada de la anteriormente citadas. Si Y es un arco diferenciable a trozos y cerrado en A, y û una. de las regiones determinadas por Y- Entonces n (Y, s) es constante para z '€ ü y vale 0 si Û es la región no acotada determinada por y- PROPOSICIÓN 11.—Sea, A un álgebra de Abel; Q = cp-1 (G), w «cr región convexa de A; f : U -> A, holomorfa; Y : [<*, ß] ~> ß. MWP »reo diferenciable a irosos y cerrado en Ci; a € U, tal que 9 (y (t)) ^ 9 (a) para t € [a, ß]. Entonces n (y, a) f (a) = (1/2 * ï) f f (z) (z - a)-i d z. T Consideremos la función (/(s)-/(o))(a-o)-i definida en ç-1 (G - { <p (o) } ) = Q' es holomorfa en ü' y se tiene lim (z — a) F (z) = 0. siendo F (z) el cociente incremental. - 542 - •Como Y está en ü', se tiene por la proposición 5 : (1/2 x i) í (f (s) — / (a)) (z - o)-i d z = 0. Tf -Así, pues, (V2 » í) J/ (2) (s - o)-i d s = (V2 ff ¿) J / (a) (^ - a)-i d Z = / (a) n (y, a). - T Tf Si ü„ es una de las regiones determinadas por y y tales que '•n (Y> a) =1 si a '€ Û0. Se tiene /(s) = (1/2 ,TÎ) / /(0«-¿0<H, = (1/2 *• i) í i para ,s"€ Û0. En particular esto ocurre si Y es una circunferencia. La consecuencia más importante de este resultado es la demostración de la proposición 17 del capítulo I. PROPOSICIÓN 12.—Sea G una región de C ; ü = '9"1 (G) la re<- ..gión correspondiente en el álgebra de Abel A; î : û -> A, una fun- •tion holomorf-a M a 6 û. Entonces puede representarse f por -una -serie de1 potencias en el entorno de a : f (z) = S an (z - a)n, •cwyo radío fí mayor o igual a d (9 (a), [ G), 3; <?«<? coincide con í en el disco de radio d Op (a), [ G). Obsérvese que con esto se demuestra también definitivamente la "proposición 12. Aunque puede parecer que ya hemos formado un 'Circulo, pues la proposición 12 la hemos usado al probar la propo- - 543 - sición 7 y ésta para la fórmula de la integrai de Cauchy. Pero debe tenerse en cuenta que la proposición 12 es trivial para la función exponencial. Sea b € Ü tal que l V (i) - 9 (a) I «í (<p (a). [G). Tomemos un r entre estos dos números y sea 7 el arco a + r es n ' * para t ;6 [0., 1]. Se tiene / 00 = (1/2 » i) l*/«)«-*)-1^, T cuando | v (a) — 9 (a) | < r por la proposición 11. Pero (5 - o)^1 V(S - *) = V((5 -1) - (* - a)) = V (-1)» ^_i (A — o)" uniformemente en C para ays fijos. Basta tener en cuenta que sólo consideramos los puntos de la forma Ç = a + r e2*' *, donde la serie es 2 ( l)n f- Cn+ 1) e- 2 x ¡(R-f- 1) t (2 __ 0)n¡ que es una serie de potencia de radio r/| 9 (*) - <P («) ! > 1 ; tomada en e2*" de módulo unidad y usar la proposición 11 (cap. I).- — 544 — Al multiplicar esta serie por / (Ç) se obtiene una serie que converge uniformemente, pues / es continua en compactos. Podemos entonces integrar término a término y se obtiene / (,) = "V (1/2 « i) f (--1>« O-<*)" / (S) d í = V o, (* - a)" ^—' J (t _ a)íi+J .¿-J (? - i)" I donde a„ = (1/2 r i) (-1)« J' / (D « - a)-c»H> d ^. El desarrollo obtenido para / (s) vale en b por tanto para todo s del disco de centro <p (a) y radio d(c,(a), [ G) ya que los coeficientes dados a„ no pueden de hecho depender de rf ya que son las diferenciales sucesivas de / que son únicas. Otra consecuencia importante de este resu'tado es el teorema de- Morera. PROPOSICIÓN 13.—Sea Í2 una región de un álgebra de Abel A," ï : Q-^A, tal que para todo arco diferenciable a trozos y cerrado' Y en Û se tenga ^/(*)d* = 0. Entonces f es analítica en Û. Por la proposición 1, / es la diferencial de una función holomorfa F. Por la proposición 12, F es analítica, luego lo es /. BIBLIOGRAFÍA ARIAS DE REYNA, J. : Diferenciación en espacios vectoriaìe-s topólog-icos. Tesis doctoral. Sevilla (1973). Prolongación de seminormas multiplicativas. Comunicación'. presentada en las II Jornadas matemáticas Hispano-Lusitanas (1973). ' ' '- ' — 545 - BouRBAKi: Topologie genérale. Chap. 2 y 3, tercera edición, Hermann, París. Topologie1 génénrale. 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