IMPEDANCIAS DINAMICAS
EN
ZAPATAS
RIGIDAS Y FLEXIBLES
SOBRE
MB-
DIOS VISCÓELASTICOS
J.J.
Beni o*,
M~
S.
Gómez~Le a**,
E.
Ala cón**
y
J.
Dominguez***
*
INITEC,
Mad id
**
Uni e sidad
Poli écnica
de
Mad id
***
Uni e sidad
de
Se illa
RESUMEN
Se
p esen an
aplicaciones
ecien es
del
Mé odo
de
los
Ele-
men os
de
Con o no
al
cálculo
de
impedancias
de
cimen aciones
en
e enos
iscoelás icos,
haciend~
especial
hincapié
en
el
~
amien o
de
medios
es a i icados
pa a
p oblemas
con
sime ía
de
e olución
y
en
la
o ma
de
a a
zapa as
lexibles.
INTRODUCCION
La
de e minación
de
la
espues a
de
cimen aciones
some idas
a
ca gas
dinámicas
cons i uye
un
p oblema
de
in e és
en
sí
mismo
pa a
el
cálculo
de
cimien os
de
máquinas
y
es
además
una
pa e
impo an e
den o
de
un
campo
~ás
gene al
que
se
conoce
como
in-
e acción
dinámica
suelo-es uc u a.
La
in e acción
dinámica
suelo-es uc u a
se
ocupa
de
la
co~
side ación
del
sis ema
suelo-es uc u a
como
un
odo
cuya
es-
pues a
dinámica
debe
se
de e minada.
No
puede
supone se
que
es-
uc u as
de
g an
esponsabilidad
que
se
~poyan
o
en ie an
en
el
suelo
se
encuen an
unidas
a
un
medio
inde o mable
ya
que
la
de o mabilidad
del
suelo,
no
sólo
es
e iden e,
sino
que
además
de
ella
depende
la
espues a
del
conjun o
y
po
an o
de
la
es-
uc u a
sob e
él
cimen ada.
El
p ime
p oblema
que
se
a ó
de~
o
de
lo
que
llamamos
in e acción
dinámica
suelo-es uc u a
es
el
de
los
cimien os
de
máquinas
some idas
a
solici aciones
diná-
micas.
Es
e iden e
aquí
la
impo ancia
de
la
de o mabilidad
del
suelo.
Los
edi icios
al
os
suje os
a
solici aciones
de
ien o
son
o o
ejemplo
de
p oblemas
donde
la
de o mabilidad
del
suelo
es
impo an e
y
dÓnde
la
exci ación
es
ex e na.
En
los
úl imos
ien e
anos
han
adqui ido
g an
impo ancia
los
p oblemas
en
los
que
la
exci ación
dinámica
p o iene
del
p opio
suelo,
no malmen-
e
un
mo imien o
sísmico.
En
odos
los
casos
an es
ci ados
es
de
g an
impo ancia
la
de e minación
de
la
impedancia
del
cimien o:
es
deci ,
la
ma iz
que
elaciona
el
ec o
de
ue zas
y
momen os
aplicados
al
ci-
mien o,
y
los
desplazamien os
y
gi os
que
en
él
se
p oducen.
Tan
209
o
las
ue z~s
como
los
desplazamien os
se
suponen
a mónicos
en
el
iempo
siendo
la
ma iz
de
impedancias
una
unción
de
la
e-
cuencia.
Pa a
el
cálculo
de
impedancias,
se
supone
con
ecuen-
cia
qu~el.
cciimmien o
es
un
sólido
ígido
y
sin
masa.
Una
ez
ob ~
nida
la
~z
de
impedancias
se
de e mina
la
espues a
de
la
es uc u a
y
la
masa
del
~imien o
colocadas
sob e
unos
• eso es
y
amo iguado es•
cuya
impedancia
es
la
calculada.
La
espues a
a
exci aciones
no
a mónicas
puede
ob ene se
median e·
la
ans oE
mada
de
Fou ie .
En
los
casos
en
que
la
igidez
del
cimien o
no
es
g ande,
debe
supone se
es e
como
un
sólido
de o mable,
aumen ando
el
nú-
me o
de
g ados
de
libe ad
de
la
ma iz
de
impedancias.
METODO
DE
LOS
ELEMENTOS
DE
CONTORNO
PARA
EL
CALCULO
DE
IMPEDAN-
CIAS
DE
CIMENTACIONES
El
Mé odo
de
los
Elemen os
de
Con o no
(MEC)
es
muy
adecua-
do
pa a
la
esolución
de
p oblemas
que
implican
medios
in ini os
o
semi-in ini os
como
es
el
caso
de
suelos.
La
o mulación
del
mé odo
en
elas odinámica
ue
desa ollada
en
1968
[ 1] y
desde
en onces
se
han
es udiado
nume osas
aplicaciones
empleando,
la
ans o mada
de
Laplace
[1,2],
ans o mada
de
Fou ie
[3]
o
~
bajando
en
el
dominio
del
iempo
[
4,
5]
•
El
MEC
ha
sido
empleado
ambién
pa a
el
cálculo
de
impedancias
de
cimen aciones
ígidas
en
casos
de
dos
.Y
es
dimensiones
[6,7].
En
es e
abajo
se
p esen an
algunas
aplicaciones
que
e-
cien emen e
han
sido
es udiadas
po
los
au o es
den o
del
cálc~
lo
de
impedancias
de
cimen aciones.
CIMENTACIONES CIRCULARES
Los
p oblemas
que
p esen an
sime ía
de
e olución
pueden
se
modelados
u ilizando
únicamen e
elemen os
monodimensionales.
En
el
ca$o
es á ico,
es o
puede
ealiza se
empleando
una
solu-
ción
undamen al
de
ipo
ca ga
anula
[a]
o
in eg ando
la
solu-
ción
de
la
ca ga
pun ual
en
es
dimensiones
no
sólo
sob e
la
linea
del
elemen o
sino
ambién
a
lo
la go
de
la
ci cun e encia.
En
el
caso
dinámico
es
la
segunda
de
las
opciones
la
única
que
esul a
ealizable
sin
excesi o
cos e
numé ico
ya
que
no
exis e
exp esión
explíci a
pa a
la
ca ga
anula
a mónica.
Cuando
las
condiciones
de
con o no
no
p esen an
sime ía
de
e olución,
el
p o~lema
puede
aún
a a se
como
bidimensional
desa ollando
desplazamien os
y
acciones
en
se ie
de
Fou ie
a
lo
la go
de
la
di ección
ci cun e encial
[9].
Po
ejemplo,
en
el
caso
de
cimen aciones
ci cula es
a
las
que
se
p esc ibe
un
desplazamien o
ho izon al
o
de
cabeceo
en
o no
a
un
eje
ho izo~
al,
pa a
el
cálculo
de
los
co espondien es
é minos
de
la
ma-
iz
de
impedancias,
los
desplazamien os
en
di ección
adial
y
e ical
a ían
como
cos
e y
los
desplazamien os
en
di ección
ci cun e encial
a ían
como
sen
e.
210
p1
1.
7•1
o3
Kg/m
3
El
l.
768
o6
N/m
2
"
0.3
p2
2 •
103
Kg/m3
E2
=
1.25
•
10
7
N/m
2
"2
=
0.25
111
111
(111
H/R
• l
1
--
Luco
N *
B.
E.M.
.e
M +
Chape!
~
' 1
,..,
N
N
~
•
Q:
111
111
ai
111
•
¡a.ll8
2.118 4.118 8.118
F" equency
HR/Cs
111
111
N
•
H/R
-l
11'1
.e
--
Luco
M * B.E.H.
~
' +
Chape!
,..,
o 1
a:
'
N
N
~
E
111
1-4
~
1
•••
118
2.118
4.88
&.118
F" equency
HR/Cs
Figu a
l.
Zapa a
,ci cula
sob e
suelo
compues o
de
dos
ma e iales.
211
o
o. '
o.
o
o
..•
o.~
0.0
o
-A
~
~~~
~
_.........,
-
--Soluc16nLUCON
~
*
-••. .c.-
.
1 1
1-
1 1 1 -
~
--
S. wj&nLUCON
-
~
w
~
"*
'"'""'""
...
c.c o -
-
1
..•
J
' /
-
./V
~
·~
-
''--*-~
~~
~
~~
•
/~
~
.-11
~
~
o.s
.
.
01
o.
•..
1.0
1.1
••
'··
•·•
o.•
o.e
•.o
1.2
·-~
·.
Figu a
2.
Zapa a
ci cula
sob e
suelo
es a i icado
con
cinco
ma e iales.
212
En
p oblemas
axisimé icos
la
p ecisión
de
la
in eg aci(m
numé ica
puede
se
inc emen ada
concen ando
pun os
de
in eg a-
ción
en
las
p oximidades
del
pun o
de
colocación,
lo
cual
puede
ealiza se
con
una
ans o mación
pa abólica
de
la
coo denada
ci cun e encial
[1~
e=
1!.
<n
+
ll
2
4
-1
< n < 1 (
1)
Se
ha
es udiado
una
zapa a
ígida
ci cula
sob e
un
semies-
pacio
elás ico
con
un
es a o
de
suelo
en
la
pa e
supe io .
Las
p opiedades
del
suelo
son
las
mismas
empleadas
po
Chapel
[11]
con
obje o
de
compa a
con
esul ados
ambién
ob enidos
median e
el
MEC.
En
la
igu a
1
se
indican
las
p opiedades
de
los
ma e i~
les
y
se
ep esen an,
en
unción
de
la
ecuencia
adimensional,
los
alo es
de
las
pa es
eal
e
imagina ia
de
la
impedancia
eE
ical
no malizada
espec o
911
alo
es á ico
de
la
impedancia
ho izon al.
El
modelo
de
elemen os
de
con o no
empleado
cons a
de
8
elemen os
consan es
( ensión
y
desplazamien os
cons an es)
bajo
la
zapa a,
7
en
la
supe icie
lib e
del
suelo
y 8
en
el
co~
o no
in e no
en e
el
es a o
de
suelo
y
la
base
ocosa.
Los
esul ados
son
compa ados
con
los
de
Chapel
[11]
y
Luco
[12],
y
como
puede
e se
exis e
buen
acue do
con
ellos,
en
pa icula
con
los
de
Luco.
En
la
igu a
2
se
mues a
la
disc e ización
empleada
pa a
el
cálculo
de
las
impedancias
de
una
zapa a
ci cula
en
la
supeE
icie
de
un
suelo
es a i icado
con
cinco
ma e iales
iscoelás-
icos
di e en es.
Las
p opiedades
de
los
ma e iales
y
o os
de a
lles
geomé icos
pueden
e se
en
[13].
Tan o
la
disc e izació;;
como
los
esul ados
mos ados
en
la
igu a
co esponden
a
una
ecuencia
adimensional
a0 =
1.4.
Los
alo es
de
las
pa es
eal
e
imagina ia
de
las
impedancias
ho izon al
y
e ical
son
compa-
ados·
con
o os
p esen ados
po
Luco
[12]
pa a
es e
mismo
p obl~
ma.
CIMENTACIONES FLEXIBLES
Se
ealiza
a
con inuación
un
análisis
de
la
espues a
diná-
mica
de
una
losa
lexible
si uada
sob e
el
semiespacio
.elás ico
homogéneo
idimensional.
En
el
p oceso
de
~álculo,
se
o ma
la
ma iz
de
igidez
dinámica
del
sis ema
suelo-cimen ación,
a
pa -
i
de
la
de
la
losa
ob enida
po
aplicación
del
Me odo
de
los
Elemen os
Fini os,
y
la
de
impedancias
del
e eno
calculada
me-
dian e
el
Mé odo
de
los
Elemen os
de
Con o no
en
el
dominio
de
la
ecuencia.
El
p oceso
seguido
en
la
o mación
de
la
ma iz
de
igidez
del
sis ema
(ZSIST(W))
puede
e se
esquemá icamen e
ep esen ado
en
la
igu a
3.
Como
se
explica á
más
adelan e,
la
ma iz
de
impedancias
213

MATRICES
DE
RIGIDEZ
Y MASA
DE
LA
LOSA
OETENCION
DE
LAS
"ATRICES
DE
RIGIDEZ
EL.EMENTALES.
K~
M;
l
MONTAJE
DE
LOS
TERMINO$
DE
LA
MATRIZ GLOBAL
DE
LA
LOSA
?;:~?,~
KL
ML
l
CONDENSACION
DE
LAS MATRICES
DE
RIGIDEZ
DE
LA LOSA
PARA
ELIMINAR
LOS
GIROS.
MATRIZ
DE
IMPEDANCIAS DEL TERRENO
DIICIIITIZACIOII
DIL
IUILO
I'AIIA
LA
o•TIIICION
DI
•u
IU
T
IIIZ
DI
IMI'IDAIICIAI.
AL
DAII
MOVIIIIIIMTO UNIDAD A CADA
UNO
DI
1L
LOS
IIIAIITIIIIINDD
NULOI
TODOI
LOI
D :IIIAI.
OITINCION
DE
LA
IIIATIIIZ
DI
IIII'IDAIICIAI
1'011
INTIIIIACIOII
DlL
Vo LOII
DI
Lo
TINIION
IOIIIE
IL
AIIIA
DI
CADA
ILIIIIIIITD.
~
~Zau
(w)
MO~'TAJE
DE
LA
MATRIZ
DE
IMPEDANCIAS
DEL
SISTEMA
SUI!LO-
CIMENTACION.
ZIITL
(W)•
l<cL( iJ
)+
z
..
111
(W)
Figu a
3.
Fo mación
de
la
ma iz
de
igidez
del
sis ema
suelo-cimien o.
214
del
e eno
(ZSU(W)),
se
ob iene
pa a
los
g ados
de
libe ad
eE
icales;
po
o a
pa e,
en
.la
ma iz
de
igidez
de
la
losa
se
han
conside ado
es
g ados
de
libe ad
po
nodo,
po
lo
que
se
ha
ealizado
una
condensación
median e
un
p oceso
es anda
de
Gauss,
ob eniéndose:
K'
- M w2
CL
CL
(
2)
Siendo:
KCL(
W)
la
ma iz
de
igidez
condensada
de
la
losa
en
unción
de
la
ecuencia
KCL
la
ma iz
de
igidez
condensada
de
la
losa
MCL
la
ma iz
de
masa
de
la
losa
w
la
ecuencia.
Siemp e
que
se
u ilice
la
misma
nume ación
pa a
los
modos
de
la
cimen ación
y
los
elemen os
de
la
supe icie
del
e eno,
la
ma iz
de
igidez
del
sis ema,
se á:
ZSIST(
W)
(
3)
/
Si
se
conside a
una
exci ación
en
el
dominio
de
la
ecuen-
cia
( F
SIST
(
w)),
pod emos
ob ene
los
desplazamien os,
sin
mas
que:
(
4)
A
con inuación,
se
p esen an
los
esul ados
OQ enidos
pa a
el
caso
de
una
losa
cuad ada
si uada
sob e
el
semiespacio
elás !
co
homogéneo
idimensional,
conside ando
un
módulo
de
Poisson
del
suelo
de
Vs
=
0.3,
una
disc e ización
de
la
losa
con
36
ele-
men os
(6x6),
lo
cual
supone
49
elemen os
pa a
la
in e ase
sue-
lo-cimen ación
( igu a
4),
y
pa a
el
caso
de
ca ga
pun ual
en
su
cen o.
En
la
igu a
5,
se
ha
ep esen ado
la
ampli ud
de
los
des-
plazamien os
e icales
en
es
pun os
de
una
losa
sin
masa,
pa-
a
el
caso
de
una
ca ga
de
ipo
senoidal
y
una
elación
de
igi-
deces
de
K =
0.004.
En
la
misma
igu a,
se
ecogen
los
esul a-
dos
ob enidos
po
Whi ake
y
Ch is iano
[14]
(
64
elemen os)
y
Beskos
y
Ka abalis
[15]
(36
elemen os).
En
la
igu a
6,
se
p esen an
los
esul ados
co espondien-
es
al
caso
an e io ,
pe o
cuando
la
elación
es
M =
0.5,
pudié~
dose
ap ecia
como
aumen a
la
ampli ud
de
la
espues a
pa a
e-
115
y
z
Figu a
4.
Disc e ización
de
losa
median e
elemen os
ini os
y
suelo
median e
elemen os
de
con o no.
cuencias
p óximas
a a0 =
2,
lo
que
pone
de
mani ies o
un
enóme-
no
de
esonancia
a
esas
ecuencias.
REFERENCIAS
l.
T.A.
C use
y
F.J.
Rizzo,
•A
di ec
o mula ion
o
he
gene-
al
ansien
elas odynamic
p oblem•.
In .
Jou n.
Ma h.
Anal.
Appl.,
Vol.
22,
244-259,
(
1968).
2.
G. D. Mano
lis
y D.
E.
Beskos,
•oynamic
s ess
concen a ion
s udies
by
bounda y
in eg als
and
Laplace
ans o m•.
~
Jou n.
Me h.
Eng.,
Vol.
17,
573-599,
(1981).
3.
S.
Kobayashi
y N.
Nishimu a,
•T ansien
s ess
analysis
o
unnels
and
ca e ns
o
a bi a y
shape
due
o
a elling
wa-
es•.
De elopmen s
in
BEM-2,
Edi :
Bane jee
y
Shaw,
Appl.
Sciences,
Lond es,
(1982).
·
4.
D.M.
Cole,
D.D.
Koslo
and
J.B.
Mins e ,
•A
nu~e i~al
boun-
da y
in eg al
equa ion
me hod
o
·elas odynamics
•.
Bull.
Seism.
Soc.
Ame,
68,
1331-1357,
(1978).
5.
G.D.
Manolis,
•A
Compa a i a
S udy
o
h ee
Bounda y
Elemen
Me hod
App oaches
o
P oblems
in
Elas odynamics•.
In .
Jou .
Num.
Me h.
Eng.,
Vol.
19,
73-91,
(198.3).
216
11
1.2
1.1
.9
7
6
·'
.4
o o
.4
.o
.4
I~ESKOS
Y KARABALIS(6x61
¡=::::=-------------o-..
__...-BEM
l6x6)
. 7--
0
0BTENI~~~~~~-;~;~~;~
---o
Y C
HRISTIANO
(8x
8)
y
z
. 2
-·-:4
.6
.a
¡:-
2
1.4
1.6
1.8
2 .
(o)
EN
EL
CENTRO
DE
LA
LOSA(I)
~=-------------~- -------
__
_L
WHITT~;~R
Y
CHRISTIANO
(
8x8)
~
BEM
(6x
61
BESkOS
Y
KARABALIS
(6x
61
!bl
EN
EL
CENTRO
DEL
LADO
DE
LA
LOSA(2)
1.2
1.4
1.6 1.8 2
2.2
2.4
2.6
2.8
3.
a o
C)
EN
LA
ESQUINA
DE
LA
LOSA
(3)
Figu a
5.
Ampli ud
del
desplazamien o
e ical
en
una
losa
cuad ada
sin
masa
pa a
K =
0.004
con
un
ca ga
pun ual
a mónica
en
su
en o no.
217