Impedancias dinámicas en zapatas rígidas y flexibles sobre medios viscoelásticos

IMPEDANCIAS DINAMICAS EN ZAPATAS RIGIDAS Y FLEXIBLES SOBRE MB- DIOS VISCÓELASTICOS J.J. Beni o*, M~ S. Gómez~Le a**, E. Ala cón** y J. Dominguez*** * INITEC, Mad id ** Uni e sidad Poli écnica de Mad id *** Uni e sidad de Se illa RESUMEN Se p esen an aplicaciones ecien es del Mé odo de los Ele- men os de Con o no al cálculo de impedancias de cimen aciones en e enos iscoelás icos, haciend~ especial hincapié en el ~ amien o de medios es a i icados pa a p oblemas con sime ía de e olución y en la o ma de a a zapa as lexibles. INTRODUCCION La de e minación de la espues a de cimen aciones some idas a ca gas dinámicas cons i uye un p oblema de in e és en sí mismo pa a el cálculo de cimien os de máquinas y es además una pa e impo an e den o de un campo ~ás gene al que se conoce como in- e acción dinámica suelo-es uc u a. La in e acción dinámica suelo-es uc u a se ocupa de la co~ side ación del sis ema suelo-es uc u a como un odo cuya es- pues a dinámica debe se de e minada. No puede supone se que es- uc u as de g an esponsabilidad que se ~poyan o en ie an en el suelo se encuen an unidas a un medio inde o mable ya que la de o mabilidad del suelo, no sólo es e iden e, sino que además de ella depende la espues a del conjun o y po an o de la es- uc u a sob e él cimen ada. El p ime p oblema que se a ó de~ o de lo que llamamos in e acción dinámica suelo-es uc u a es el de los cimien os de máquinas some idas a solici aciones diná- micas. Es e iden e aquí la impo ancia de la de o mabilidad del suelo. Los edi icios al os suje os a solici aciones de ien o son o o ejemplo de p oblemas donde la de o mabilidad del suelo es impo an e y dÓnde la exci ación es ex e na. En los úl imos ien e anos han adqui ido g an impo ancia los p oblemas en los que la exci ación dinámica p o iene del p opio suelo, no malmen- e un mo imien o sísmico. En odos los casos an es ci ados es de g an impo ancia la de e minación de la impedancia del cimien o: es deci , la ma iz que elaciona el ec o de ue zas y momen os aplicados al ci- mien o, y los desplazamien os y gi os que en él se p oducen. Tan 209 o las ue z~s como los desplazamien os se suponen a mónicos en el iempo siendo la ma iz de impedancias una unción de la e- cuencia. Pa a el cálculo de impedancias, se supone con ecuen- cia qu~el. cciimmien o es un sólido ígido y sin masa. Una ez ob ~ nida la ~z de impedancias se de e mina la espues a de la es uc u a y la masa del ~imien o colocadas sob e unos • eso es y amo iguado es• cuya impedancia es la calculada. La espues a a exci aciones no a mónicas puede ob ene se median e· la ans oE mada de Fou ie . En los casos en que la igidez del cimien o no es g ande, debe supone se es e como un sólido de o mable, aumen ando el nú- me o de g ados de libe ad de la ma iz de impedancias. METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA EL CALCULO DE IMPEDAN- CIAS DE CIMENTACIONES El Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC) es muy adecua- do pa a la esolución de p oblemas que implican medios in ini os o semi-in ini os como es el caso de suelos. La o mulación del mé odo en elas odinámica ue desa ollada en 1968 [ 1] y desde en onces se han es udiado nume osas aplicaciones empleando, la ans o mada de Laplace [1,2], ans o mada de Fou ie [3] o ~ bajando en el dominio del iempo [ 4, 5] • El MEC ha sido empleado ambién pa a el cálculo de impedancias de cimen aciones ígidas en casos de dos .Y es dimensiones [6,7]. En es e abajo se p esen an algunas aplicaciones que e- cien emen e han sido es udiadas po los au o es den o del cálc~ lo de impedancias de cimen aciones. CIMENTACIONES CIRCULARES Los p oblemas que p esen an sime ía de e olución pueden se modelados u ilizando únicamen e elemen os monodimensionales. En el ca$o es á ico, es o puede ealiza se empleando una solu- ción undamen al de ipo ca ga anula [a] o in eg ando la solu- ción de la ca ga pun ual en es dimensiones no sólo sob e la linea del elemen o sino ambién a lo la go de la ci cun e encia. En el caso dinámico es la segunda de las opciones la única que esul a ealizable sin excesi o cos e numé ico ya que no exis e exp esión explíci a pa a la ca ga anula a mónica. Cuando las condiciones de con o no no p esen an sime ía de e olución, el p o~lema puede aún a a se como bidimensional desa ollando desplazamien os y acciones en se ie de Fou ie a lo la go de la di ección ci cun e encial [9]. Po ejemplo, en el caso de cimen aciones ci cula es a las que se p esc ibe un desplazamien o ho izon al o de cabeceo en o no a un eje ho izo~ al, pa a el cálculo de los co espondien es é minos de la ma- iz de impedancias, los desplazamien os en di ección adial y e ical a ían como cos e y los desplazamien os en di ección ci cun e encial a ían como sen e. 210 p1 1. 7•1 o3 Kg/m 3 El l. 768 o6 N/m 2 " 0.3 p2 2 • 103 Kg/m3 E2 = 1.25 • 10 7 N/m 2 "2 = 0.25 111 111 (111 H/R • l 1 -- Luco N * B. E.M. .e M + Chape! ~ ' 1 ,.., N N ~ • Q: 111 111 ai 111 • ¡a.ll8 2.118 4.118 8.118 F" equency HR/Cs 111 111 N • H/R -l 11'1 .e -- Luco M * B.E.H. ~ ' + Chape! ,.., o 1 a: ' N N ~ E 111 1-4 ~ 1 ••• 118 2.118 4.88 &.118 F" equency HR/Cs Figu a l. Zapa a ,ci cula sob e suelo compues o de dos ma e iales. 211 o o. ' o. o o ..• o.~ 0.0 o -A ~ ~~~ ~ _........., - --Soluc16nLUCON ~ * -••. .c.- . 1 1 1- 1 1 1 - ~ -- S. wj&nLUCON - ~ w ~ "* '"'""'"" ... c.c o - - 1 ..• J ' / - ./V ~ ·~ - ''--*-~ ~~ ~ ~~ • /~ ~ .-11 ~ ~ o.s . . 01 o. •.. 1.0 1.1 •• '·· •·• o.• o.e •.o 1.2 ·-~ ·. Figu a 2. Zapa a ci cula sob e suelo es a i icado con cinco ma e iales. 212 En p oblemas axisimé icos la p ecisión de la in eg aci(m numé ica puede se inc emen ada concen ando pun os de in eg a- ción en las p oximidades del pun o de colocación, lo cual puede ealiza se con una ans o mación pa abólica de la coo denada ci cun e encial [1~ e= 1!. <n + ll 2 4 -1 < n < 1 ( 1) Se ha es udiado una zapa a ígida ci cula sob e un semies- pacio elás ico con un es a o de suelo en la pa e supe io . Las p opiedades del suelo son las mismas empleadas po Chapel [11] con obje o de compa a con esul ados ambién ob enidos median e el MEC. En la igu a 1 se indican las p opiedades de los ma e i~ les y se ep esen an, en unción de la ecuencia adimensional, los alo es de las pa es eal e imagina ia de la impedancia eE ical no malizada espec o 911 alo es á ico de la impedancia ho izon al. El modelo de elemen os de con o no empleado cons a de 8 elemen os consan es ( ensión y desplazamien os cons an es) bajo la zapa a, 7 en la supe icie lib e del suelo y 8 en el co~ o no in e no en e el es a o de suelo y la base ocosa. Los esul ados son compa ados con los de Chapel [11] y Luco [12], y como puede e se exis e buen acue do con ellos, en pa icula con los de Luco. En la igu a 2 se mues a la disc e ización empleada pa a el cálculo de las impedancias de una zapa a ci cula en la supeE icie de un suelo es a i icado con cinco ma e iales iscoelás- icos di e en es. Las p opiedades de los ma e iales y o os de a lles geomé icos pueden e se en [13]. Tan o la disc e izació;; como los esul ados mos ados en la igu a co esponden a una ecuencia adimensional a0 = 1.4. Los alo es de las pa es eal e imagina ia de las impedancias ho izon al y e ical son compa- ados· con o os p esen ados po Luco [12] pa a es e mismo p obl~ ma. CIMENTACIONES FLEXIBLES Se ealiza a con inuación un análisis de la espues a diná- mica de una losa lexible si uada sob e el semiespacio .elás ico homogéneo idimensional. En el p oceso de ~álculo, se o ma la ma iz de igidez dinámica del sis ema suelo-cimen ación, a pa - i de la de la losa ob enida po aplicación del Me odo de los Elemen os Fini os, y la de impedancias del e eno calculada me- dian e el Mé odo de los Elemen os de Con o no en el dominio de la ecuencia. El p oceso seguido en la o mación de la ma iz de igidez del sis ema (ZSIST(W)) puede e se esquemá icamen e ep esen ado en la igu a 3. Como se explica á más adelan e, la ma iz de impedancias 213 MATRICES DE RIGIDEZ Y MASA DE LA LOSA OETENCION DE LAS "ATRICES DE RIGIDEZ EL.EMENTALES. K~ M; l MONTAJE DE LOS TERMINO$ DE LA MATRIZ GLOBAL DE LA LOSA ?;:~?,~ KL ML l CONDENSACION DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ DE LA LOSA PARA ELIMINAR LOS GIROS. MATRIZ DE IMPEDANCIAS DEL TERRENO DIICIIITIZACIOII DIL IUILO I'AIIA LA o•TIIICION DI •u IU T IIIZ DI IMI'IDAIICIAI. AL DAII MOVIIIIIIMTO UNIDAD A CADA UNO DI 1L LOS IIIAIITIIIIINDD NULOI TODOI LOI D :IIIAI. OITINCION DE LA IIIATIIIZ DI IIII'IDAIICIAI 1'011 INTIIIIACIOII DlL Vo LOII DI Lo TINIION IOIIIE IL AIIIA DI CADA ILIIIIIIITD. ~ ~Zau (w) MO~'TAJE DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIAS DEL SISTEMA SUI!LO- CIMENTACION. ZIITL (W)• l<cL( iJ )+ z .. 111 (W) Figu a 3. Fo mación de la ma iz de igidez del sis ema suelo-cimien o. 214 del e eno (ZSU(W)), se ob iene pa a los g ados de libe ad eE icales; po o a pa e, en .la ma iz de igidez de la losa se han conside ado es g ados de libe ad po nodo, po lo que se ha ealizado una condensación median e un p oceso es anda de Gauss, ob eniéndose: K' - M w2 CL CL ( 2) Siendo: KCL( W) la ma iz de igidez condensada de la losa en unción de la ecuencia KCL la ma iz de igidez condensada de la losa MCL la ma iz de masa de la losa w la ecuencia. Siemp e que se u ilice la misma nume ación pa a los modos de la cimen ación y los elemen os de la supe icie del e eno, la ma iz de igidez del sis ema, se á: ZSIST( W) ( 3) / Si se conside a una exci ación en el dominio de la ecuen- cia ( F SIST ( w)), pod emos ob ene los desplazamien os, sin mas que: ( 4) A con inuación, se p esen an los esul ados OQ enidos pa a el caso de una losa cuad ada si uada sob e el semiespacio elás ! co homogéneo idimensional, conside ando un módulo de Poisson del suelo de Vs = 0.3, una disc e ización de la losa con 36 ele- men os (6x6), lo cual supone 49 elemen os pa a la in e ase sue- lo-cimen ación ( igu a 4), y pa a el caso de ca ga pun ual en su cen o. En la igu a 5, se ha ep esen ado la ampli ud de los des- plazamien os e icales en es pun os de una losa sin masa, pa- a el caso de una ca ga de ipo senoidal y una elación de igi- deces de K = 0.004. En la misma igu a, se ecogen los esul a- dos ob enidos po Whi ake y Ch is iano [14] ( 64 elemen os) y Beskos y Ka abalis [15] (36 elemen os). En la igu a 6, se p esen an los esul ados co espondien- es al caso an e io , pe o cuando la elación es M = 0.5, pudié~ dose ap ecia como aumen a la ampli ud de la espues a pa a e- 115 y z Figu a 4. Disc e ización de losa median e elemen os ini os y suelo median e elemen os de con o no. cuencias p óximas a a0 = 2, lo que pone de mani ies o un enóme- no de esonancia a esas ecuencias. REFERENCIAS l. T.A. C use y F.J. Rizzo, •A di ec o mula ion o he gene- al ansien elas odynamic p oblem•. In . Jou n. Ma h. Anal. Appl., Vol. 22, 244-259, ( 1968). 2. G. D. Mano lis y D. E. Beskos, •oynamic s ess concen a ion s udies by bounda y in eg als and Laplace ans o m•. ~ Jou n. Me h. Eng., Vol. 17, 573-599, (1981). 3. S. Kobayashi y N. Nishimu a, •T ansien s ess analysis o unnels and ca e ns o a bi a y shape due o a elling wa- es•. 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