1
Análisis de la es abilidad y de bi u caciones en un modelo dinámico aplicado a
la ges ión de una pesque ía
Vílchez Loba o, Mª Luisa
Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica, Uni e sidad de Huel a
Velasco Mo en e, F ancisco
Dp o. de Economía Aplicada I, Uni e sidad de Se illa
Ga cía del Hoyo, Juan J., Uni e sidad de Huel a
Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica, Uni e sidad de Huel a
Resumen
Es udiamos en es a comunicación la es abilidad de las soluciones de equilib io del
sis ema dinámico esul an e de aplica el P incipio del Máximo de Pon yagin a un modelo de
con ol óp imo pa a la ges ión de una pesque ía. Ve emos cómo puede habla se en un modelo de
es e ipo de la es abilidad condicional del pun o de silla. Conside ando la asa de descuen o social
como pa áme o del sis ema, se analizan las bi u caciones locales de codimensión uno, es deci ,
los cambios en la es abilidad de los equilib ios y/o la apa ición de nue os equilib ios u ó bi as
ce adas al conside a pequeñas a iaciones de dicho pa áme o. En es e con ex o, usamos el
Teo ema de Bi u cación de Hop pa a es ablece la exis encia, bajo de e minadas hipó esis, de
ayec o ias oscila o ias de ipo ciclo lími e.
2
1. Conocimien os p e ios
An es de plan ea el modelo a es udia , se ía con enien e hace un epaso de los
concep os ma emá icos básicos que amos a u iliza a lo la go del abajo. De inimos en p ime
luga los concep os de pun o ijo y es abilidad
1
.
Dado un sis ema dinámico en la o ma:
con x  n, : U  n  , U abie o, llamamos pun os ijos o pun os de equilib io del sis ema (1),
a aquéllos pun os z  U ales que (z) = 0.
El es udio de los pun os de equilib io es á ín imamen e ligado al de la es abilidad de las
ayec o ias del sis ema, pues en algún momen o pueden se a ac i os y a ae a las ayec o ias
con alo es iniciales p óximos a ellos haciendo que se man engan ce ca unas de o as. És a es la
idea undamen al del concep o de es abilidad. Una solución del sis ema (1) es es able si,
some ida a una pequeña pe u bación, el mo imien o esul an e no di ie e mucho del que se
ob iene sin pe u ba la ayec o ia. Se habla á de es abilidad asin ó ica si el e ec o de la
pe u bación es p og esi amen e eliminado con o me pasa el iempo.
La es abilidad de las soluciones de un sis ema dinámico se es udia median e los
mé odos debidos a Liapuno , uno de ellos basado en el es udio de la es abilidad de soluciones del
sis ema lineal asociado a (1) y o o, conocido como el mé odo di ec o de Liapuno
2
.
En la p ác ica se ecu e siemp e a la linealización del sis ema, que se log a de la
siguien e mane a.
1
Wiggins, S.(1990), p.6.
2
Con es e mé odo, la es abilidad se ga an iza bajo la hipó esis de exis encia de cie a unción ( unción de Liapuno )
la cual, en la p ác ica no siemp e es posible encon a .
)1()x( x 

3
Si x0 es un pun o de equilib io del sis ema (1), se conside a el cambio de a iable y = x-
x0 , con lo cual :
Desa ollando en se ie de Taylo en un en o no de x0 y, desp eciando los é minos no
lineales, ob enemos el sis ema lineal:
donde A es la ma iz jacobiana de en x0.
Po el eo ema de Ha man-G obman
3
, si A no iene au o alo es iguales a ce o o
imagina ios pu os (sis emas hipe bólicos), exis e un homeomo ismo
4
h de inido en algún
en o no de x0 que localmen e ans o ma ayec o ias del lujo no lineal en ayec o ias del lujo
lineal. Además es e homeomo ismo p ese a el sen ido de las ayec o ias y puede elegi se
ambién de o ma que p ese e la pa ame ización en el iempo.
En de ini i a, el compo amien o de un sis ema no lineal en un en o no de un equilib io
no hipe bólico, es cuali a i amen e simila al del sis ema lineal asociado. En pa icula , la
es abilidad (ines abilidad) asin ó ica del sis ema lineal p esupone la es abilidad ( ines abilidad)
asin ó ica del sis ema no lineal.
Po o a pa e, sabemos que la es uc u a o bi al de un sis ema lineal depende de los
au o alo es de la ma iz del sis ema, y de cómo sean és os depende en úl ima ins ancia la
3
Ve Guckenheime y Holmes (1983) pa a la p ueba.
4
Aplicación con inua con in e sa con inua.
)4()xy( )x( xy 0
 
)5(Ayy

4
es abilidad de las soluciones del sis ema no lineal. Así, las p opiedades sob e los au o alo es que
se aplican a los sis emas lineales y que clasi ican los pun os de equilib io en nodos, cen os,
ocos o pun os de silla, se aplican aho a con los au o alo es de la ma iz Jacobiana A,
ob eniéndose las mismas conclusiones excep o si uno o más de los au o alo es es nulo o
imagina io pu o (es deci , si el equilib io es hipe bólico). En dicho caso, es necesa io el es udio
del sis ema dinámico es ingido a la llamada a iedad cen o
5
y/o la educción del mismo a su
o ma no mal, écnicas que simpli ican el sis ema no lineal.
A la ho a de es udia la es abilidad de las soluciones de un sis ema dinámico, nos
in e esa á ambién sabe si, bajo pequeñas a iaciones de los pa áme os del mismo, se p oducen
cambios cuali a i os impo an es que a ec en a dicha es abilidad. Un sis ema dinámico se dice
es uc u almen e es able si las p opiedades dinámicas cuali a i as del sis ema pe sis en bajo
pequeñas a iaciones
6
de los pa áme os o de las o mas uncionales del mismo. En o as
palab as, pod íamos deci que un sis ema dinámico es es uc u almen e es able, si las ayec o ias
co espondien es a dos alo es p óximos de un pa áme o, pe manecen ce ca una de la o a.
Cen ándonos en el campo de la Economía, a la ho a de in e p e a el concep o de
es abilidad es uc u al, nos encon amos con a ios p oblemas. En p ime luga , si bien
ma emá icamen e hablando no hay ninguna di icul ad a la ho a de in e p e a el é mino
“pequeña” pe u bación (a a és de la no ma C1 ), en ciencias aplicadas como la Economía no se
abaja con a iaciones in ini esimales de los pa áme os, sino con a iaciones ini as. Pa a que el
5
El espacio ec o ial n puede exp esa se como suma di ec a de los subespacios Es, Eu y Ec gene ados
espec i amen e po los au o ec o es asociados a los au o alo es nega i os o con pa e eal nega i a, posi i os o con
pa e eal posi i a y nulos o imagina ios pu os. Es os subespacios son in a ian es, pues cualquie ayec o ia que
comience en alguno de ellos, pe manece á en él pa a siemp e. El eo ema de la a iedad in a ian e (Wiggins, 1990)
p ueba que en el sis ema dinámico o iginal, Es, Eu y Ec se dis o sionan en las llamadas a iedades es able, ines able y
cen o, espec i amen e, las cuales son angen es a los co espondien es subespacios en el pun o de equilib io y son
in a ian es bajo el lujo del sis ema. Ve Wiggins (1990) pa a un a amien o más exhaus i o de la cues ión.
5
concep o de es abilidad es uc u al uese en onces o malmen e co ec o, en cada caso hab ía que
de ini una no ma adecuada.
La Teo ía Económica encuen a o o p oblema que es mencionado ambién a
menudo en la li e a u a ma emá ica y de ciencias na u ales sob e la es abilidad es uc u al. Has a
aho a, en la de inición de es e úl imo concep o hemos dado po supues o que los sis emas
pe u bado y o iginal enían la misma dimensión. Sin emba go, los modelos económicos son
e a os abs ac os de enómenos eales y en la o mulación inicial de cada modelo sólamen e se
ienen en cuen a unas pocas a iables, siendo necesa io a eces a pos e io i la inclusión de
nue as a iables con el consiguien e aumen o en la dimensión del modelo. Es o puede implica
que el sis ema o iginal y el esul an e en dimensión mayo engan compo amien os dinámicos
cuali a i os muy dis in os (pudiendo p esen a incluso compo amien o caó ico
7
).
El es udio de la es abilidad es uc u al de un sis ema dinámico es el p ime paso en el
es udio de las bi u caciones.
Se dice que en un sis ema dinámico ocu e una bi u cación si el e a o de ases cambia su
es uc u a opológica cuando un pa áme o a ía. Se llama alo de bi u cación a aquél alo del
pa áme o a pa i del cual el sis ema dinámico es es uc u almen e ines able.
Los cambios a que se e ie e la de inición a ec an al núme o y/o es abilidad de los pun os
ijos u ó bi as ce adas. En sis emas bidimensionales pueden p esen a se a ios ipos de
bi u caciones, que se gene alizan pa a dimensiones mayo es, a sabe :
6
Es as pequeñas a iaciones o pe u baciones se exp esan ma emá icamen e en é minos de la no ma C1 : Dos
sis emas dinámicos es án p óximos si los campos ec o iales de ambos y sus de i adas p ime as es án p óximas.
7
Ve Lo enz (1989, p. 86).

6
a) Bi u cación nodo-silla: Es el mecanismo básico de c eación-des ucción de pun os
ijos. Con o me un pa áme o del sis ema c ece o dec ece, los pun os de equilib io del mismo se
ap oximan unos a o os, colisionan y desapa ecen. Después de ello siguen incluso eje ciendo su
in luencia sob e el lujo del sis ema a ayendo las ayec o ias hacia una egión “ an asma”.
b) Bi u cación ansc í ica: A medida que un pa áme o a ía, los pun os ijos se
ap oximan y colisionan, pe o no desapa ecen, sino que in e cambian su es abilidad.
c) Bi u cación “pi ch o k”: En es e ipo de bi u cación los pun os ijos ienden a
apa ece (caso supe c í ico) y desapa ece (caso subc í ico) en pa es simé icos.
d) Bi u cación de Hop : En es e ipo de bi u cación se p oduce una pé dida de
es abilidad debido a que los au o alo es complejos pasan de ene pa e eal nega i a, a ene
pa e eal posi i a, a a esando po an o el eje imagina io. Se dis inguen al igual que an es dos
ipos: supe c í ica y subc í ica. En el p ime o un pun o espi al es able cambia a espi al ines able
odeado po un pequeño ciclo lími e. El segundo caso es más d ás ico, pues después del alo de
bi u cación las ayec o ias deben sal a a una a ac o dis an e que puede se un pun o ijo, un
ciclo lími e, in ini o ó en dimensiones n 3 un a ac o caó ico (es, po ejemplo, el caso de
Lo enz).
A di e encia de los o os ipos de bi u cación que pueden su gi en sis emas de cualquie
dimensión, la bi u cación de Hop sólo puede da se en sis emas de dimensiones mayo es o
iguales que dos y bajo las hipó esis que apa ecen ecogidas en el Teo ema de Hop
8
, el cual
cons a de una pa e de exis encia donde se dan las condiciones su icien es pa a que exis a una
ó bi a ce ada y, una pa e de es abilidad con las condiciones su icien es pa a que el ciclo lími e
8
Hop , E. (1942)
7
sea es able. Exis en a ias e siones del eo ema. Recogemos aquí una e sión uncada de la
dada po Guckenheime y Holmes (1986) que puede lee se en Lo enz (1989, p.96).
El Teo ema se o mula pa a un sis ema n-dimensional de la o ma:
con x  n,   p y de clase C .
Teo ema (Hop (1942), pa e de exis encia). Supongamos que el sis ema (6) posee un único
pun o ijo x0 pa a el alo del pa áme o 0, es deci , (x0 , 0 ) = 0, con las siguien es
p opiedades:
i) La ma iz Jacobiana Dx (x0 , 0 ) iene un pa simple de au o alo es imagina ios
pu os y ningún o o au o alo con pa e eal ce o.
En onces, i) implica que exis e una cu a uni o me de pun os ijos (x(), ) e i icando
que x(0 ) = x0 . Los au o alo es () y
)(
, los cuales son imagina ios pu os en 0 , a ían
uni o men e con .
Si además,
ii)

)7(0d)(Re
d
d
0

en onces, exis en algunas soluciones pe iódicas bi u cándose a pa i de x0 pa a el sis ema (6)
cuando  = 0 y el pe íodo de dichas soluciones es ap oximadamen e igual a 2/0 (con 0 =
(0)/ i).
)6(),x( x 

8
Si bien es ablece la exis encia de una bi u cación de Hop esul a ela i amen e sencillo,
el de e mina la es abilidad del ciclo lími e esul an e y po an o el ipo de bi u cación que
p e alece (supe c í ica o subc í ica), no lo es an o. Pa a ello es necesa io el cálculo de cie o
coe icien e que se deduce de la o ma no mal
9
del sis ema o iginal. Los cálculos pa a ob ene la
o ma no mal esul an muy engo osos en la p ác ica, si bien Kuzne so (1997) ealiza un
elegan e desa ollo pa a el p oblema bidimensional en a iable compleja, lo que acili a la
ob ención del llamado p ime coe icien e de Liapuno l1(0) cuyo signo de e mina la es abilidad
del ciclo lími e esul an e (es able si l1(0) < 0 e ines able si l1(0) > 0).
2. Pun os de silla y ó bi as ce adas en modelos de c ecimien o económico óp imo
La aplicación del P incipio del Máximo a un p oblema de c ecimien o económico óp imo,
da luga a un sis ema dinámico de ecuaciones di e enciales ca ac e izado adicionalmen e po la
apa ición de un pun o de silla. Se suele habla en onces de es abilidad condicional pa a dicho
p oblema, en el sen ido de que las condiciones iniciales pueden elegi se de modo que se
conduzca el sis ema hacia la a iedad es able del pun o de silla, p oduciéndose po an o, un
ace camien o hacia el equilib io del sis ema. Es a “libe ad” pa a elegi las condiciones iniciales
es lo que ca ac e iza p ecisamen e a los p oblemas de con ol óp imo (g acias a la p esencia de
una a iable de con ol).
El p oblema de con ol (llamado ambién de op imización dinámica) más simple, consis e
en selecciona una unción (con ol) con inua a ozos u( ), 0   1 pa a
9
La o ma no mal de un sis ema que p esen e una bi u cación de Hop es un sis ema dinámico de la o ma







)xx(xxxx
)xx(xxxx 2
2
2
12212
2
2
2
11211


, que esul a se opológicamen e equi alen e al o iginal. Pa a el caso
bidimensional e po ejemplo,Guckenheime y Holmes (1986, p.152).
9
donde y g son unciones con inuamen e di e enciables. x( ) se llama a iable de es ado y la
ecuación (9), ecuación de es ado. Si exis e una unción u( ) que solucione es e p oblema, dicha
unción se llama un con ol óp imo. En gene al, un p oblema de con ol puede ene más de una
a iable de con ol y es ado, siendo el núme o de las p ime as independien e del de las segundas.
En los p oblemas de c ecimien o económico óp imo clásico, la unción es la u ilidad
social ( ambién llamada unción de la “ elicidad”), la cual p opo ciona la u ilidad social ne a
co espondien e al consumo pe cápi a en un ins an e de iempo dado. Se suele supone ambién
que los ni eles de u ilidad u u a se descuen an a azón de una asa cons an e igual a . Es e
descuen o se in oduce en el uncional (8) mul iplicando la unción po el ac o e-
Pa a es udia un p oblema de con ol exis en básicamen e dos mé odos: El P incipio del
Máximo, como ya hemos ci ado, y la P og amación Dinámica de Bellman, siendo el p ime o de
ellos el más u ilizado en la p ác ica. És e puede se conside ado como una ex ensión a la
op imización dinámica del mé odo de los mul iplicado es de Lag ange usado en los p oblemas de
op imización es á ica.
Es impo an e ene en cuen a que la p opiedad del pun o de silla que mues an los
p oblemas de con ol no es una p opiedad ma emá ica inhe en e a los mismos. En gene al, son
posibles ambién o os ipos de pun os de equilib io. Es más bien la na u aleza económica del
p oblema, como e emos, la que da luga a la apa ición del pun o de silla.
lib e) (xyx) (xcon
)9()) (u), (x, (g) (xasuje o
)8(d )) (u), (x, ( maximiza
100
1
0




16
Según Dockne (1985), los au o alo es de la ma iz Jacobiana del sis ema (23) exp esada
en un pun o de equilib io, ienen la siguien e exp esión:
donde K = B-2 siendo B la suma de los meno es diagonales de o den dos
17
de la ma iz J.
En onces se e i ican los siguien es esul ados:
Teo ema
18
.
1) K < 0 , 0 < de J  (K/2)2  i   , i, 1,2 > 0, 3,4 < 0
2) de J > (K/2)2 , de J > (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 < 0
3) de J < 0  1,2,4 > 0, 3 < 0 ó 1 > 0, 3 < 0, Re 2,4 > 0
4) de J > (K/2)2 , de J = (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 = 0
A la is a de (24) y del eo ema an e io , podemos obse a que, siendo de J > (K/2)2, se
e i ica:
17
B es po an o el coe icien e de g ado dos del polinomio ca ac e ís ico de J
18
Dockne e al (1991)
)24(Jde 4K
2
1
2
K
22
2
4,3,2,1 









)25(0Re
2
K
2
K
Jde Si 4,3
2
2








)26(0Re
2
K
2
K
Jde Si 4,3
2
2









17
En onces, como consecuencia de (25), (26) y (27), podemos conclui que los au o alo es
a a iesan el eje imagina io al pasa  de se  < 0 a se  < 0 , siendo
Es el p ime signo de que una bi u cación de Hop puede ocu i pa a el alo del
pa áme o  = 0 con la consiguien e apa ición de un ciclo lími e. El eo ema de Hop así lo
asegu a siemp e que se e i ique la condición (7) del eo ema.
Exis e en onces la posibilidad de que en un modelo de es e ipo puedan exis i ciclos
lími es, cuya es abilidad end á que de e mina se en cada caso median e las écnicas numé icas
ap opiadas. En la siguien e sección se es udia la es abilidad de las soluciones en un modelo
dinámico pa a la ges ión de una pesque ía y se a a á de de e mina la posibilidad de exis encia
de ciclos lími es a a és del eo ema de Hop .
6. Análisis dinámico de la pesque ía de chi la en la egión Su a lán ica española:
es abilidad y exis encia de ciclos lími es
Conside emos el modelo de con ol óp imo (15) lineal en los cos es analizado en la
sección 3. Vamos a in oduci en el uncional obje i o unos cos es de ajus e con exos
19
k =
k( ( )) donde ( ) a a se una nue a a iable de con ol de inida como:
19
Tal y como p oponen Feich inge y So ge (1986). La nue a a iable puede se in e p e ada como un cos e
egulado de la en ada y salida de pescado es en la pesque ía. S olle y, K.R.(1987) u iliza una unción análoga.
)27(0Re
2
K
2
K
Jde Si 4,3
2
2








)28(
2
K
Jde
K
2
0
18
El es ue zo de pesca E( ) (que en el modelo (15) e a el con ol) es conside ado aho a
como una a iable de es ado que se ige po la ecuación di e encial (29). La unción de u ilidad
W(x,E), inco po a ía la unción de cos es k( ) y queda ía en la o ma:
W(x( ), E( )) = pqE( )x( )- cE( )- k( ( )) (30)
Tend íamos aho a un p oblema de con ol óp imo consis en e en:
Vamos a conside a unos cos es de ajus e cuad á icos k( ) =  2 , con  > 0 y la unción
de c ecimien o na u al F(x) como en (14). Las condiciones necesa ias de op imalidad
20
del
P incipio del Máximo nos lle an al sis ema de ecuaciones di e enciales:
20
Hablamos de candida os a óp imos, pues no enemos ga an izada la su iciencia de las condiciones necesa ias
)29(
d
) (dE
) ( 
00
0
E)0(E,x)0(x
)31( E
qEx)x(Fxasuje o
d )) ( (k)E,x(W(emaximiza








19
El es udio dinámico de es e sis ema al y como p oponen Dockne y Feich inge (1991)
pasa po :
- Cálculo de los pun os de equilib io
- Cálculo de la ma iz Jacobiana en cada uno de ellos
- Cálculo de de J y K pa a de e mina la na u aleza del equilib io
Reco demos que es amos ambién in e esados en es udia la posibilidad de ciclos lími e
aplicando el eo ema de bi u cación de Hop . Sabemos que, si exis e, el alo de bi u cación 0
iene dado po (28) y que localmen e, a ambos lados de dicho alo , pueden su gi ciclos lími es.
Pa a de e mina la es abilidad de dichos ciclos, hab ía que es ingi el sis ema a la a iedad
cen o, y halla su o ma no mal, la cual exp esada em coo denadas pola es se á una exp esión
del ipo:
)32(
2
c
qx
2
p
qE)p(
L
x2
E
qEx
L
x
1 xx
1
111
























 
)33(
)(
)(
2
0
2
0







20
donde , ,  y  ienen que se calculadas a pa i de los pa áme os del modelo y  es la pa e
imagina ia de los au o alo es imagina ios pu os en el alo de bi u cación. Una condición
su icien e pa a que el ciclo lími e esul an e sea es able
21
, es que   0 y  < 0.
El cálculo de los pun os de equilib io del sis ema (32), así como el de la ma iz Jacobiana
en cada uno de ellos y la ob ención de de J y K, puede e ec ua se de o ma simbólica en unción
de odos los pa áme os del sis ema, pe o el pos e io es udio de la es abilidad y posibilidad de
ó bi as ce adas esul a inabo dable de es a mane a. Es necesa io en onces asigna unos alo es
numé icos a los pa áme os (excep o ). Tomando como e e encia los pa áme os biológicos y
económicos es imados pa a la pesque ía de bi al os y chi la su a lán ica en Ga cía, F. y Ga cía,
J.(1998, 2000), hemos asignado a los pa áme os del sis ema (32) los siguien es alo es:
q
L
p
c
0.456146
0.0000195
19226309K
148.5 p as/K
6138 p as/día pesca
Como ya dijimos, se ealiza el es udio dinámico en unción del pa áme o .
El sis ema iene dos pun os de equilib io que deno a emos po P1 y P2 cuyas
coo denadas, una ez asignados alo es a los pa áme os, esul an se unciones de . Sean, pa a
cada equilib io dichas coo denadas: P1 = (x1 , E1 , 1 , 1 ) y P2 = (x2 , E2 , 2 , 2 ) donde:
21
Ve Kuzne so (1997,p.90) o Wiggins (1990, p.220)



)34(
0
1.7223.1498.511023.11002.2
21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E
1021.71042.11019.51023.11002.240.7x
1
222
1
335626
1
561112212
1











21
y
Análisis del pun o P1
Si calculamos la ma iz Jacobiana de (32) en P1 como unción de  y hallamos su
de e minan e y el coe icien e K, puede comp oba se que: de J > 0 (Figu a 1) y K < 0 (Figu a 2)
,  > 0. Deducimos en onces que en el pun o P1 no a a exis i bi u cación de Hop , pues pa a
que ello sucedie a debía se K > 0. Además, ampoco an a exis i bi u caciones del ipo
ansc í ica ni nodo silla, pues una condición pa a ello es que exis a un au o alo simple igual a
ce o
22
, y en consecuencia debe ía se de J = 0.
Pa a de e mina la na u aleza de P1, hemos compa ado de J con (K/2)2 , pa a dis in os
alo es de , comp obando que, pa a   (0,1) se e i ica (Figu a 3) que (K/2)2- de J < 0, K < 0,
lo cual implica po el eo ema an e io que los au o alo es son odos complejos, dos de ellos con
pa e eal posi i a y dos con pa e eal nega i a. Po lo an o, P1 es un pun o de silla. En un
en o no de es e pun o, puede habla se en onces de es abilidad condicional, es deci , si las
condiciones iniciales son ales que es án sob e la a iedad es able, la ayec o ia co espondien e
del sis ema con e ge á hacia P1. En o o caso, se aleja á de él. La a iedad es able es de



)35(
0
1.7223.1498.511023.11002.2
21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E
1021.71042.11019.51023.11002.240.7x
2
222
2
335626
2
561112212
2











22
dimensión 2 y una ap oximación a a la misma end ía dada po el subespacio ec o ial gene ado
po los au o ec o es co espondien es a los au o alo es con Re  < 0.
Po ejemplo, pa a el alo del pa áme o  = 0.03 y  = 3, el pun o de equilib io P1 =
(1.01724107 ,1.10155104, 117.556, 0) y los au o alo es asociados son 1,2 = 0.36  0.30i y
3,4 = -0.33  0.30i.
Análisis del pun o P2
En un en o no del pun o P2 podemos habla de ayec o ias oscila o ias del ipo ciclo
lími e, pe o ocu e que un pun o como és e no se ía posible en un caso eal, pues la coo denada
x2 esul a se nega i a pa a odo alo de  > 0. No obs an e, ue a de un con ex o me amen e
económico las posibilidades dinámicas que o ece es e pun o son in e esan es. Puede
comp oba se que la ma iz Jacobiana de (32) e aluada en P2 iene de J > 0 (Figu a 4) y que el
coe icien e K es posi i o pa a odo  > 0. Además, (K/2)2- de J < 0 pa a   (0,1) (Figu a 5).
Exis e pues una bi u cación de Hop pa a el alo del pa áme o dado po (28), con la
consiguien e apa ición de un ciclo lími e. En la siguien e abla ecogemos algunos alo es de
bi u cación calculados pa a dis in os alo es de , así como el signo de la de i ada (d) de la pa e
eal del au o alo en cada uno de ellos.

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
1.5
0
6.15411
4.2517
3.4102
2.90949
2.56852
1.72859
1.3638
Signo(d)
+
+
+
+
+
-
-
22
Ve Wiggins (1990)
23
7. Conclusiones
El modelo es udiado p esen a dos equilib ios. El p ime o es un pun o de silla, el cual
a ae á a las ayec o ias del sis ema que comiencen en alo es iniciales que se si úen sob e la
a iedad es able. Se habla en onces de es abilidad condicional. El segundo, ue a de un con ex o
me amen e económico, es un equilib io en o no al cual pueden su gi ayec o ias oscila o ias
del ipo ciclo lími e, las cuales pod án se es ables y a ae a o as ayec o ias del sis ema que
comiencen en alo es iniciales p óximos a ellas. Se pone de mani ies o cómo un modelo de
con ol óp imo como (31) pod ía ene como solución óp ima una polí ica de ges ión del ecu so
cíclica.
Nues a in es igación se cen a ac ualmen e en encon a nue os modelos de ges ión que,
aplicados a la pesque ía en cues ión, exhiban ayec o ias cíclicas en o no a un equilib io que
pueda se ac ible en la p ác ica. Hemos pensado en conside a una unción de cap u as en la
o ma gene al de Cobb- Douglas: h( ) = qEx , con ,  > 0. Ello hace el es udio del sis ema
di e encial (32) más complicado, debido a que las no linealidades p esen es son más ue es que
las encon adas con la unción de cap u as (11) del modelo de Schae e .
7. Bibliog a ía
- Benhabib, J., Nishimu a, K. (1979), “ The Hop Bi u ca ion and he Exis ence and S abili y o Closed O bi s in
Mul isec o Models o Op imal Economic G ow h”, Jou nal o Economic Theo y 21, 421- 444.
- Ca igny, P., Vendi i, A. (1994), “Tu npike Theo y: Some New Resul s on he Saddle Poin P ope y o Equilib ia
and on he Exis ence o Endogenous Cycles”, Jou nal o Economic Dynamics and Con ol 5, 957- 974.
- Dockne , E. (1985), “ Local S abili y Analysis in Op imal Con ol P oblems Wi h Two S a e Va iables”, Op imal
Con ol Theo y and Economic Analysis 2, 89-103.
24
- Dockne , E., Feich inge , G. (1991), “On he Op imali y o Limi Cycles in Dynamic Economic Sys ems”, Jou nal
o Economics, 53, 1, 31-50.
- Feich inge , G., So ge , G. (1986), “ Op imal Oscilla ions in Con ol Models: How Can Cons an Demand Lead o
Cyclical P oduc ion?, Ope a ions Resea ch Le e s, 5, 6, 277-281.
- Feich inge , G., Kai ala, V., No ak, A.J. (1992), “S able Resou ce-Employmen Limi Cycles in an Op imally
Regula ed Fishe y”, En Dynamic Economic Models and Op imal Con ol. Feich inge , G. (ed). Else ie Science,
pp. 163- 184.
- Ga cía O daz, F., Ga cía del Hoyo, J.J. (1998), “Un modelo bioeconómico pa a la pesque ía de chamelea gallina
de la Región Su a lán ica española”. Es udios Ag osociales y Pesque os, nº 184, pp.183-211.
- Ga cía del Hoyo, J.J. (2000), “Análisis de la come cialización de bi al os y de la chi la su a lán ica”. Documen o
elabo ado po el g upo de In es igación MEMPES de la Uni e sidad de Huel a en colabo ación con la Di ección
Gene al de Pesca de la Conseje ía de Ag icul u a y Pesca de la Jun a de Andalucía.
- Guckenheime , J., Holmes, P.(1986), Nonlinea Oscilla ions, Dynamical Sys ems and Bi u ca ions o Vec o
Fields. Sp inge- Ve lag: New Yo k, Heidelbe g, Be lin.
- Ha l, P. F. (1987), “ A Simple P oo o he Mono onici y o he S a e T ajec o ies in Au onomous Con ol
P oblems”, Jou nal o Economic Theo y , 40.
- Hop , E. (1942), “ Abzweigung eine pe iodischen Losung on eine s a iona en Losung eines Di e en ial-
Sys ems”. Be ich e de Ma hema isc- Physikalischen Konoglich- Sachsischen Academie de Wissenscha en Leipzig
94, pp.1- 22.
- Kamien, M., Schwa z, N. (1991), Dynamic Op imiza ion, No h- Holland.
- Lo enz, H.W.(1989), Nonlinea Dynamical Economics and Chao ic Mo ion. Sp inge- Ve lag: New Yo k,
Heidelbe g, Be lin.
- Medio, A. (1987), “ Oscilla ions in Op imal G ow h Models”. Jou nal o Economic Beha io and O ganiza ion, 8,
413-427.
25
- Mon ucchio, L. (1992), “ Dynamical Sys ems ha Sol e Con inuous- Time Conca e Op imiza ion P oblems:
Any hing Goes”. En Benhabib, J. (ed): Cycles and Chaos in Economic Equilib ium. P ince on: P ince on Uni e si y
P ess.
- Schae e , M.B. (1954), “Some aspec s o he dynamics o popula ions impo an o he managemen o comme cial
ma ine ishe ies”. Bull. In e -Ame . T op. Tuna Comm. 1:25-56.
- S olle y, K. R. (1986), “Monopsony P ocessing in an Open- Access Fishe y”. Ma ine Resou ce Economics, Vol.3,
N. 4, pp. 331- 352.
- Wiggins, S.(1990), In oduc ion o Applied Nonlinea Dynamical Sys ems and Chaos. Sp inge - Ve lag: New
Yo k, Heidelbe g, Be lin.
8. Figu as
Figu a 1 Figu a 2
Figu a 3 Figu a 4