Análisis de la estabilidad y de bifurcaciones en un modelo dinámico aplicado a la gestión de una pesquería

1 Análisis de la es abilidad y de bi u caciones en un modelo dinámico aplicado a la ges ión de una pesque ía Vílchez Loba o, Mª Luisa Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica, Uni e sidad de Huel a Velasco Mo en e, F ancisco Dp o. de Economía Aplicada I, Uni e sidad de Se illa Ga cía del Hoyo, Juan J., Uni e sidad de Huel a Dp o. de Economía Gene al y Es adís ica, Uni e sidad de Huel a Resumen Es udiamos en es a comunicación la es abilidad de las soluciones de equilib io del sis ema dinámico esul an e de aplica el P incipio del Máximo de Pon yagin a un modelo de con ol óp imo pa a la ges ión de una pesque ía. Ve emos cómo puede habla se en un modelo de es e ipo de la es abilidad condicional del pun o de silla. Conside ando la asa de descuen o social como pa áme o del sis ema, se analizan las bi u caciones locales de codimensión uno, es deci , los cambios en la es abilidad de los equilib ios y/o la apa ición de nue os equilib ios u ó bi as ce adas al conside a pequeñas a iaciones de dicho pa áme o. En es e con ex o, usamos el Teo ema de Bi u cación de Hop pa a es ablece la exis encia, bajo de e minadas hipó esis, de ayec o ias oscila o ias de ipo ciclo lími e. 2 1. Conocimien os p e ios An es de plan ea el modelo a es udia , se ía con enien e hace un epaso de los concep os ma emá icos básicos que amos a u iliza a lo la go del abajo. De inimos en p ime luga los concep os de pun o ijo y es abilidad 1 . Dado un sis ema dinámico en la o ma: con x  n, : U  n  , U abie o, llamamos pun os ijos o pun os de equilib io del sis ema (1), a aquéllos pun os z  U ales que (z) = 0. El es udio de los pun os de equilib io es á ín imamen e ligado al de la es abilidad de las ayec o ias del sis ema, pues en algún momen o pueden se a ac i os y a ae a las ayec o ias con alo es iniciales p óximos a ellos haciendo que se man engan ce ca unas de o as. És a es la idea undamen al del concep o de es abilidad. Una solución del sis ema (1) es es able si, some ida a una pequeña pe u bación, el mo imien o esul an e no di ie e mucho del que se ob iene sin pe u ba la ayec o ia. Se habla á de es abilidad asin ó ica si el e ec o de la pe u bación es p og esi amen e eliminado con o me pasa el iempo. La es abilidad de las soluciones de un sis ema dinámico se es udia median e los mé odos debidos a Liapuno , uno de ellos basado en el es udio de la es abilidad de soluciones del sis ema lineal asociado a (1) y o o, conocido como el mé odo di ec o de Liapuno 2 . En la p ác ica se ecu e siemp e a la linealización del sis ema, que se log a de la siguien e mane a. 1 Wiggins, S.(1990), p.6. 2 Con es e mé odo, la es abilidad se ga an iza bajo la hipó esis de exis encia de cie a unción ( unción de Liapuno ) la cual, en la p ác ica no siemp e es posible encon a . )1()x( x   3 Si x0 es un pun o de equilib io del sis ema (1), se conside a el cambio de a iable y = x- x0 , con lo cual : Desa ollando en se ie de Taylo en un en o no de x0 y, desp eciando los é minos no lineales, ob enemos el sis ema lineal: donde A es la ma iz jacobiana de en x0. Po el eo ema de Ha man-G obman 3 , si A no iene au o alo es iguales a ce o o imagina ios pu os (sis emas hipe bólicos), exis e un homeomo ismo 4 h de inido en algún en o no de x0 que localmen e ans o ma ayec o ias del lujo no lineal en ayec o ias del lujo lineal. Además es e homeomo ismo p ese a el sen ido de las ayec o ias y puede elegi se ambién de o ma que p ese e la pa ame ización en el iempo. En de ini i a, el compo amien o de un sis ema no lineal en un en o no de un equilib io no hipe bólico, es cuali a i amen e simila al del sis ema lineal asociado. En pa icula , la es abilidad (ines abilidad) asin ó ica del sis ema lineal p esupone la es abilidad ( ines abilidad) asin ó ica del sis ema no lineal. Po o a pa e, sabemos que la es uc u a o bi al de un sis ema lineal depende de los au o alo es de la ma iz del sis ema, y de cómo sean és os depende en úl ima ins ancia la 3 Ve Guckenheime y Holmes (1983) pa a la p ueba. 4 Aplicación con inua con in e sa con inua. )4()xy( )x( xy 0   )5(Ayy  4 es abilidad de las soluciones del sis ema no lineal. Así, las p opiedades sob e los au o alo es que se aplican a los sis emas lineales y que clasi ican los pun os de equilib io en nodos, cen os, ocos o pun os de silla, se aplican aho a con los au o alo es de la ma iz Jacobiana A, ob eniéndose las mismas conclusiones excep o si uno o más de los au o alo es es nulo o imagina io pu o (es deci , si el equilib io es hipe bólico). En dicho caso, es necesa io el es udio del sis ema dinámico es ingido a la llamada a iedad cen o 5 y/o la educción del mismo a su o ma no mal, écnicas que simpli ican el sis ema no lineal. A la ho a de es udia la es abilidad de las soluciones de un sis ema dinámico, nos in e esa á ambién sabe si, bajo pequeñas a iaciones de los pa áme os del mismo, se p oducen cambios cuali a i os impo an es que a ec en a dicha es abilidad. Un sis ema dinámico se dice es uc u almen e es able si las p opiedades dinámicas cuali a i as del sis ema pe sis en bajo pequeñas a iaciones 6 de los pa áme os o de las o mas uncionales del mismo. En o as palab as, pod íamos deci que un sis ema dinámico es es uc u almen e es able, si las ayec o ias co espondien es a dos alo es p óximos de un pa áme o, pe manecen ce ca una de la o a. Cen ándonos en el campo de la Economía, a la ho a de in e p e a el concep o de es abilidad es uc u al, nos encon amos con a ios p oblemas. En p ime luga , si bien ma emá icamen e hablando no hay ninguna di icul ad a la ho a de in e p e a el é mino “pequeña” pe u bación (a a és de la no ma C1 ), en ciencias aplicadas como la Economía no se abaja con a iaciones in ini esimales de los pa áme os, sino con a iaciones ini as. Pa a que el 5 El espacio ec o ial n puede exp esa se como suma di ec a de los subespacios Es, Eu y Ec gene ados espec i amen e po los au o ec o es asociados a los au o alo es nega i os o con pa e eal nega i a, posi i os o con pa e eal posi i a y nulos o imagina ios pu os. Es os subespacios son in a ian es, pues cualquie ayec o ia que comience en alguno de ellos, pe manece á en él pa a siemp e. El eo ema de la a iedad in a ian e (Wiggins, 1990) p ueba que en el sis ema dinámico o iginal, Es, Eu y Ec se dis o sionan en las llamadas a iedades es able, ines able y cen o, espec i amen e, las cuales son angen es a los co espondien es subespacios en el pun o de equilib io y son in a ian es bajo el lujo del sis ema. Ve Wiggins (1990) pa a un a amien o más exhaus i o de la cues ión. 5 concep o de es abilidad es uc u al uese en onces o malmen e co ec o, en cada caso hab ía que de ini una no ma adecuada. La Teo ía Económica encuen a o o p oblema que es mencionado ambién a menudo en la li e a u a ma emá ica y de ciencias na u ales sob e la es abilidad es uc u al. Has a aho a, en la de inición de es e úl imo concep o hemos dado po supues o que los sis emas pe u bado y o iginal enían la misma dimensión. Sin emba go, los modelos económicos son e a os abs ac os de enómenos eales y en la o mulación inicial de cada modelo sólamen e se ienen en cuen a unas pocas a iables, siendo necesa io a eces a pos e io i la inclusión de nue as a iables con el consiguien e aumen o en la dimensión del modelo. Es o puede implica que el sis ema o iginal y el esul an e en dimensión mayo engan compo amien os dinámicos cuali a i os muy dis in os (pudiendo p esen a incluso compo amien o caó ico 7 ). El es udio de la es abilidad es uc u al de un sis ema dinámico es el p ime paso en el es udio de las bi u caciones. Se dice que en un sis ema dinámico ocu e una bi u cación si el e a o de ases cambia su es uc u a opológica cuando un pa áme o a ía. Se llama alo de bi u cación a aquél alo del pa áme o a pa i del cual el sis ema dinámico es es uc u almen e ines able. Los cambios a que se e ie e la de inición a ec an al núme o y/o es abilidad de los pun os ijos u ó bi as ce adas. En sis emas bidimensionales pueden p esen a se a ios ipos de bi u caciones, que se gene alizan pa a dimensiones mayo es, a sabe : 6 Es as pequeñas a iaciones o pe u baciones se exp esan ma emá icamen e en é minos de la no ma C1 : Dos sis emas dinámicos es án p óximos si los campos ec o iales de ambos y sus de i adas p ime as es án p óximas. 7 Ve Lo enz (1989, p. 86). 6 a) Bi u cación nodo-silla: Es el mecanismo básico de c eación-des ucción de pun os ijos. Con o me un pa áme o del sis ema c ece o dec ece, los pun os de equilib io del mismo se ap oximan unos a o os, colisionan y desapa ecen. Después de ello siguen incluso eje ciendo su in luencia sob e el lujo del sis ema a ayendo las ayec o ias hacia una egión “ an asma”. b) Bi u cación ansc í ica: A medida que un pa áme o a ía, los pun os ijos se ap oximan y colisionan, pe o no desapa ecen, sino que in e cambian su es abilidad. c) Bi u cación “pi ch o k”: En es e ipo de bi u cación los pun os ijos ienden a apa ece (caso supe c í ico) y desapa ece (caso subc í ico) en pa es simé icos. d) Bi u cación de Hop : En es e ipo de bi u cación se p oduce una pé dida de es abilidad debido a que los au o alo es complejos pasan de ene pa e eal nega i a, a ene pa e eal posi i a, a a esando po an o el eje imagina io. Se dis inguen al igual que an es dos ipos: supe c í ica y subc í ica. En el p ime o un pun o espi al es able cambia a espi al ines able odeado po un pequeño ciclo lími e. El segundo caso es más d ás ico, pues después del alo de bi u cación las ayec o ias deben sal a a una a ac o dis an e que puede se un pun o ijo, un ciclo lími e, in ini o ó en dimensiones n 3 un a ac o caó ico (es, po ejemplo, el caso de Lo enz). A di e encia de los o os ipos de bi u cación que pueden su gi en sis emas de cualquie dimensión, la bi u cación de Hop sólo puede da se en sis emas de dimensiones mayo es o iguales que dos y bajo las hipó esis que apa ecen ecogidas en el Teo ema de Hop 8 , el cual cons a de una pa e de exis encia donde se dan las condiciones su icien es pa a que exis a una ó bi a ce ada y, una pa e de es abilidad con las condiciones su icien es pa a que el ciclo lími e 8 Hop , E. (1942) 7 sea es able. Exis en a ias e siones del eo ema. Recogemos aquí una e sión uncada de la dada po Guckenheime y Holmes (1986) que puede lee se en Lo enz (1989, p.96). El Teo ema se o mula pa a un sis ema n-dimensional de la o ma: con x  n,   p y de clase C . Teo ema (Hop (1942), pa e de exis encia). Supongamos que el sis ema (6) posee un único pun o ijo x0 pa a el alo del pa áme o 0, es deci , (x0 , 0 ) = 0, con las siguien es p opiedades: i) La ma iz Jacobiana Dx (x0 , 0 ) iene un pa simple de au o alo es imagina ios pu os y ningún o o au o alo con pa e eal ce o. En onces, i) implica que exis e una cu a uni o me de pun os ijos (x(), ) e i icando que x(0 ) = x0 . Los au o alo es () y )( , los cuales son imagina ios pu os en 0 , a ían uni o men e con . Si además, ii)  )7(0d)(Re d d 0  en onces, exis en algunas soluciones pe iódicas bi u cándose a pa i de x0 pa a el sis ema (6) cuando  = 0 y el pe íodo de dichas soluciones es ap oximadamen e igual a 2/0 (con 0 = (0)/ i). )6(),x( x   8 Si bien es ablece la exis encia de una bi u cación de Hop esul a ela i amen e sencillo, el de e mina la es abilidad del ciclo lími e esul an e y po an o el ipo de bi u cación que p e alece (supe c í ica o subc í ica), no lo es an o. Pa a ello es necesa io el cálculo de cie o coe icien e que se deduce de la o ma no mal 9 del sis ema o iginal. Los cálculos pa a ob ene la o ma no mal esul an muy engo osos en la p ác ica, si bien Kuzne so (1997) ealiza un elegan e desa ollo pa a el p oblema bidimensional en a iable compleja, lo que acili a la ob ención del llamado p ime coe icien e de Liapuno l1(0) cuyo signo de e mina la es abilidad del ciclo lími e esul an e (es able si l1(0) < 0 e ines able si l1(0) > 0). 2. Pun os de silla y ó bi as ce adas en modelos de c ecimien o económico óp imo La aplicación del P incipio del Máximo a un p oblema de c ecimien o económico óp imo, da luga a un sis ema dinámico de ecuaciones di e enciales ca ac e izado adicionalmen e po la apa ición de un pun o de silla. Se suele habla en onces de es abilidad condicional pa a dicho p oblema, en el sen ido de que las condiciones iniciales pueden elegi se de modo que se conduzca el sis ema hacia la a iedad es able del pun o de silla, p oduciéndose po an o, un ace camien o hacia el equilib io del sis ema. Es a “libe ad” pa a elegi las condiciones iniciales es lo que ca ac e iza p ecisamen e a los p oblemas de con ol óp imo (g acias a la p esencia de una a iable de con ol). El p oblema de con ol (llamado ambién de op imización dinámica) más simple, consis e en selecciona una unción (con ol) con inua a ozos u( ), 0   1 pa a 9 La o ma no mal de un sis ema que p esen e una bi u cación de Hop es un sis ema dinámico de la o ma        )xx(xxxx )xx(xxxx 2 2 2 12212 2 2 2 11211   , que esul a se opológicamen e equi alen e al o iginal. Pa a el caso bidimensional e po ejemplo,Guckenheime y Holmes (1986, p.152). 9 donde y g son unciones con inuamen e di e enciables. x( ) se llama a iable de es ado y la ecuación (9), ecuación de es ado. Si exis e una unción u( ) que solucione es e p oblema, dicha unción se llama un con ol óp imo. En gene al, un p oblema de con ol puede ene más de una a iable de con ol y es ado, siendo el núme o de las p ime as independien e del de las segundas. En los p oblemas de c ecimien o económico óp imo clásico, la unción es la u ilidad social ( ambién llamada unción de la “ elicidad”), la cual p opo ciona la u ilidad social ne a co espondien e al consumo pe cápi a en un ins an e de iempo dado. Se suele supone ambién que los ni eles de u ilidad u u a se descuen an a azón de una asa cons an e igual a . Es e descuen o se in oduce en el uncional (8) mul iplicando la unción po el ac o e- Pa a es udia un p oblema de con ol exis en básicamen e dos mé odos: El P incipio del Máximo, como ya hemos ci ado, y la P og amación Dinámica de Bellman, siendo el p ime o de ellos el más u ilizado en la p ác ica. És e puede se conside ado como una ex ensión a la op imización dinámica del mé odo de los mul iplicado es de Lag ange usado en los p oblemas de op imización es á ica. Es impo an e ene en cuen a que la p opiedad del pun o de silla que mues an los p oblemas de con ol no es una p opiedad ma emá ica inhe en e a los mismos. En gene al, son posibles ambién o os ipos de pun os de equilib io. Es más bien la na u aleza económica del p oblema, como e emos, la que da luga a la apa ición del pun o de silla. lib e) (xyx) (xcon )9()) (u), (x, (g) (xasuje o )8(d )) (u), (x, ( maximiza 100 1 0     16 Según Dockne (1985), los au o alo es de la ma iz Jacobiana del sis ema (23) exp esada en un pun o de equilib io, ienen la siguien e exp esión: donde K = B-2 siendo B la suma de los meno es diagonales de o den dos 17 de la ma iz J. En onces se e i ican los siguien es esul ados: Teo ema 18 . 1) K < 0 , 0 < de J  (K/2)2  i   , i, 1,2 > 0, 3,4 < 0 2) de J > (K/2)2 , de J > (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 < 0 3) de J < 0  1,2,4 > 0, 3 < 0 ó 1 > 0, 3 < 0, Re 2,4 > 0 4) de J > (K/2)2 , de J = (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 = 0 A la is a de (24) y del eo ema an e io , podemos obse a que, siendo de J > (K/2)2, se e i ica: 17 B es po an o el coe icien e de g ado dos del polinomio ca ac e ís ico de J 18 Dockne e al (1991) )24(Jde 4K 2 1 2 K 22 2 4,3,2,1           )25(0Re 2 K 2 K Jde Si 4,3 2 2         )26(0Re 2 K 2 K Jde Si 4,3 2 2         17 En onces, como consecuencia de (25), (26) y (27), podemos conclui que los au o alo es a a iesan el eje imagina io al pasa  de se  < 0 a se  < 0 , siendo Es el p ime signo de que una bi u cación de Hop puede ocu i pa a el alo del pa áme o  = 0 con la consiguien e apa ición de un ciclo lími e. El eo ema de Hop así lo asegu a siemp e que se e i ique la condición (7) del eo ema. Exis e en onces la posibilidad de que en un modelo de es e ipo puedan exis i ciclos lími es, cuya es abilidad end á que de e mina se en cada caso median e las écnicas numé icas ap opiadas. En la siguien e sección se es udia la es abilidad de las soluciones en un modelo dinámico pa a la ges ión de una pesque ía y se a a á de de e mina la posibilidad de exis encia de ciclos lími es a a és del eo ema de Hop . 6. Análisis dinámico de la pesque ía de chi la en la egión Su a lán ica española: es abilidad y exis encia de ciclos lími es Conside emos el modelo de con ol óp imo (15) lineal en los cos es analizado en la sección 3. Vamos a in oduci en el uncional obje i o unos cos es de ajus e con exos 19 k = k( ( )) donde ( ) a a se una nue a a iable de con ol de inida como: 19 Tal y como p oponen Feich inge y So ge (1986). La nue a a iable puede se in e p e ada como un cos e egulado de la en ada y salida de pescado es en la pesque ía. S olle y, K.R.(1987) u iliza una unción análoga. )27(0Re 2 K 2 K Jde Si 4,3 2 2         )28( 2 K Jde K 2 0 18 El es ue zo de pesca E( ) (que en el modelo (15) e a el con ol) es conside ado aho a como una a iable de es ado que se ige po la ecuación di e encial (29). La unción de u ilidad W(x,E), inco po a ía la unción de cos es k( ) y queda ía en la o ma: W(x( ), E( )) = pqE( )x( )- cE( )- k( ( )) (30) Tend íamos aho a un p oblema de con ol óp imo consis en e en: Vamos a conside a unos cos es de ajus e cuad á icos k( ) =  2 , con  > 0 y la unción de c ecimien o na u al F(x) como en (14). Las condiciones necesa ias de op imalidad 20 del P incipio del Máximo nos lle an al sis ema de ecuaciones di e enciales: 20 Hablamos de candida os a óp imos, pues no enemos ga an izada la su iciencia de las condiciones necesa ias )29( d ) (dE ) (  00 0 E)0(E,x)0(x )31( E qEx)x(Fxasuje o d )) ( (k)E,x(W(emaximiza         19 El es udio dinámico de es e sis ema al y como p oponen Dockne y Feich inge (1991) pasa po : - Cálculo de los pun os de equilib io - Cálculo de la ma iz Jacobiana en cada uno de ellos - Cálculo de de J y K pa a de e mina la na u aleza del equilib io Reco demos que es amos ambién in e esados en es udia la posibilidad de ciclos lími e aplicando el eo ema de bi u cación de Hop . Sabemos que, si exis e, el alo de bi u cación 0 iene dado po (28) y que localmen e, a ambos lados de dicho alo , pueden su gi ciclos lími es. Pa a de e mina la es abilidad de dichos ciclos, hab ía que es ingi el sis ema a la a iedad cen o, y halla su o ma no mal, la cual exp esada em coo denadas pola es se á una exp esión del ipo: )32( 2 c qx 2 p qE)p( L x2 E qEx L x 1 xx 1 111                           )33( )( )( 2 0 2 0        20 donde , ,  y  ienen que se calculadas a pa i de los pa áme os del modelo y  es la pa e imagina ia de los au o alo es imagina ios pu os en el alo de bi u cación. Una condición su icien e pa a que el ciclo lími e esul an e sea es able 21 , es que   0 y  < 0. El cálculo de los pun os de equilib io del sis ema (32), así como el de la ma iz Jacobiana en cada uno de ellos y la ob ención de de J y K, puede e ec ua se de o ma simbólica en unción de odos los pa áme os del sis ema, pe o el pos e io es udio de la es abilidad y posibilidad de ó bi as ce adas esul a inabo dable de es a mane a. Es necesa io en onces asigna unos alo es numé icos a los pa áme os (excep o ). Tomando como e e encia los pa áme os biológicos y económicos es imados pa a la pesque ía de bi al os y chi la su a lán ica en Ga cía, F. y Ga cía, J.(1998, 2000), hemos asignado a los pa áme os del sis ema (32) los siguien es alo es: q L p c 0.456146 0.0000195 19226309K 148.5 p as/K 6138 p as/día pesca Como ya dijimos, se ealiza el es udio dinámico en unción del pa áme o . El sis ema iene dos pun os de equilib io que deno a emos po P1 y P2 cuyas coo denadas, una ez asignados alo es a los pa áme os, esul an se unciones de . Sean, pa a cada equilib io dichas coo denadas: P1 = (x1 , E1 , 1 , 1 ) y P2 = (x2 , E2 , 2 , 2 ) donde: 21 Ve Kuzne so (1997,p.90) o Wiggins (1990, p.220)    )34( 0 1.7223.1498.511023.11002.2 21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E 1021.71042.11019.51023.11002.240.7x 1 222 1 335626 1 561112212 1            21 y Análisis del pun o P1 Si calculamos la ma iz Jacobiana de (32) en P1 como unción de  y hallamos su de e minan e y el coe icien e K, puede comp oba se que: de J > 0 (Figu a 1) y K < 0 (Figu a 2) ,  > 0. Deducimos en onces que en el pun o P1 no a a exis i bi u cación de Hop , pues pa a que ello sucedie a debía se K > 0. Además, ampoco an a exis i bi u caciones del ipo ansc í ica ni nodo silla, pues una condición pa a ello es que exis a un au o alo simple igual a ce o 22 , y en consecuencia debe ía se de J = 0. Pa a de e mina la na u aleza de P1, hemos compa ado de J con (K/2)2 , pa a dis in os alo es de , comp obando que, pa a   (0,1) se e i ica (Figu a 3) que (K/2)2- de J < 0, K < 0, lo cual implica po el eo ema an e io que los au o alo es son odos complejos, dos de ellos con pa e eal posi i a y dos con pa e eal nega i a. Po lo an o, P1 es un pun o de silla. En un en o no de es e pun o, puede habla se en onces de es abilidad condicional, es deci , si las condiciones iniciales son ales que es án sob e la a iedad es able, la ayec o ia co espondien e del sis ema con e ge á hacia P1. En o o caso, se aleja á de él. La a iedad es able es de    )35( 0 1.7223.1498.511023.11002.2 21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E 1021.71042.11019.51023.11002.240.7x 2 222 2 335626 2 561112212 2           22 dimensión 2 y una ap oximación a a la misma end ía dada po el subespacio ec o ial gene ado po los au o ec o es co espondien es a los au o alo es con Re  < 0. Po ejemplo, pa a el alo del pa áme o  = 0.03 y  = 3, el pun o de equilib io P1 = (1.01724107 ,1.10155104, 117.556, 0) y los au o alo es asociados son 1,2 = 0.36  0.30i y 3,4 = -0.33  0.30i. Análisis del pun o P2 En un en o no del pun o P2 podemos habla de ayec o ias oscila o ias del ipo ciclo lími e, pe o ocu e que un pun o como és e no se ía posible en un caso eal, pues la coo denada x2 esul a se nega i a pa a odo alo de  > 0. No obs an e, ue a de un con ex o me amen e económico las posibilidades dinámicas que o ece es e pun o son in e esan es. Puede comp oba se que la ma iz Jacobiana de (32) e aluada en P2 iene de J > 0 (Figu a 4) y que el coe icien e K es posi i o pa a odo  > 0. Además, (K/2)2- de J < 0 pa a   (0,1) (Figu a 5). Exis e pues una bi u cación de Hop pa a el alo del pa áme o dado po (28), con la consiguien e apa ición de un ciclo lími e. En la siguien e abla ecogemos algunos alo es de bi u cación calculados pa a dis in os alo es de , así como el signo de la de i ada (d) de la pa e eal del au o alo en cada uno de ellos.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.5 0 6.15411 4.2517 3.4102 2.90949 2.56852 1.72859 1.3638 Signo(d) + + + + + - - 22 Ve Wiggins (1990) 23 7. Conclusiones El modelo es udiado p esen a dos equilib ios. El p ime o es un pun o de silla, el cual a ae á a las ayec o ias del sis ema que comiencen en alo es iniciales que se si úen sob e la a iedad es able. Se habla en onces de es abilidad condicional. El segundo, ue a de un con ex o me amen e económico, es un equilib io en o no al cual pueden su gi ayec o ias oscila o ias del ipo ciclo lími e, las cuales pod án se es ables y a ae a o as ayec o ias del sis ema que comiencen en alo es iniciales p óximos a ellas. Se pone de mani ies o cómo un modelo de con ol óp imo como (31) pod ía ene como solución óp ima una polí ica de ges ión del ecu so cíclica. Nues a in es igación se cen a ac ualmen e en encon a nue os modelos de ges ión que, aplicados a la pesque ía en cues ión, exhiban ayec o ias cíclicas en o no a un equilib io que pueda se ac ible en la p ác ica. Hemos pensado en conside a una unción de cap u as en la o ma gene al de Cobb- Douglas: h( ) = qEx , con ,  > 0. Ello hace el es udio del sis ema di e encial (32) más complicado, debido a que las no linealidades p esen es son más ue es que las encon adas con la unción de cap u as (11) del modelo de Schae e . 7. Bibliog a ía - Benhabib, J., Nishimu a, K. 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