Análisis de la estabilidad y de bifurcaciones en un modelo dinámico aplicado a la gestión de una pesquería

1 Análisis de la estabilidad y de bifurcaciones en un modelo dinámico aplicado a la gestión de una pesquería Vílchez Lobato, Mª Luisa Dpto. de Economía General y Estadística, Universidad de Huelva Velasco Morente, Francisco Dpto. de Economía Aplicada I, Universidad de Sevilla García del Hoyo, Juan J., Universidad de Huelva Dpto. de Economía General y Estadística, Universidad de Huelva Resumen Estudiamos en esta comunicación la estabilidad de las soluciones de equilibrio del sistema dinámico resultante de aplicar el Principio del Máximo de Pontryagin a un modelo de control óptimo para la gestión de una pesquería. Veremos cómo puede hablarse en un modelo de este tipo de la estabilidad condicional del punto de silla. Considerando la tasa de descuento social como parámetro del sistema, se analizan las bifurcaciones locales de codimensión uno, es decir, los cambios en la estabilidad de los equilibrios y/o la aparición de nuevos equilibrios u órbitas cerradas al considerar pequeñas variaciones de dicho parámetro. En este contexto, usamos el Teorema de Bifurcación de Hopf para establecer la existencia, bajo determinadas hipótesis, de trayectorias oscilatorias de tipo ciclo límite. 2 1. Conocimientos previos Antes de plantear el modelo a estudiar, sería conveniente hacer un repaso de los conceptos matemáticos básicos que vamos a utilizar a lo largo del trabajo. Definimos en primer lugar los conceptos de punto fijo y estabilidad 1 . Dado un sistema dinámico en la forma: con x  n, f: U  n  , U abierto, llamamos puntos fijos o puntos de equilibrio del sistema (1), a aquéllos puntos z  U tales que f(z) = 0. El estudio de los puntos de equilibrio está íntimamente ligado al de la estabilidad de las trayectorias del sistema, pues en algún momento pueden ser atractivos y atraer a las trayectorias con valores iniciales próximos a ellos haciendo que se mantengan cerca unas de otras. Ésta es la idea fundamental del concepto de estabilidad. Una solución del sistema (1) es estable si, sometida a una pequeña perturbación, el movimiento resultante no difiere mucho del que se obtiene sin perturbar la trayectoria. Se hablará de estabilidad asintótica si el efecto de la perturbación es progresivamente eliminado conforme pasa el tiempo. La estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico se estudia mediante los métodos debidos a Liapunov, uno de ellos basado en el estudio de la estabilidad de soluciones del sistema lineal asociado a (1) y otro, conocido como el método directo de Liapunov 2 . En la práctica se recurre siempre a la linealización del sistema, que se logra de la siguiente manera. 1 Wiggins, S.(1990), p.6. 2 Con este método, la estabilidad se garantiza bajo la hipótesis de existencia de cierta función (función de Liapunov) la cual, en la práctica no siempre es posible encontrar. )1()x(fx   3 Si x0 es un punto de equilibrio del sistema (1), se considera el cambio de variable y = xx0 , con lo cual : Desarrollando f en serie de Taylor en un entorno de x0 y, despreciando los términos no lineales, obtenemos el sistema lineal: donde A es la matriz jacobiana de f en x0. Por el teorema de Hartman-Grobman 3 , si A no tiene autovalores iguales a cero o imaginarios puros (sistemas hiperbólicos), existe un homeomorfismo 4 h definido en algún entorno de x0 que localmente transforma trayectorias del flujo no lineal en trayectorias del flujo lineal. Además este homeomorfismo preserva el sentido de las trayectorias y puede elegirse también de forma que preserve la parametrización en el tiempo. En definitiva, el comportamiento de un sistema no lineal en un entorno de un equilibrio no hiperbólico, es cualitativamente similar al del sistema lineal asociado. En particular, la estabilidad (inestabilidad) asintótica del sistema lineal presupone la estabilidad ( inestabilidad) asintótica del sistema no lineal. Por otra parte, sabemos que la estructura orbital de un sistema lineal depende de los autovalores de la matriz del sistema, y de cómo sean éstos depende en última instancia la 3 Ver Guckenheimer y Holmes (1983) para la prueba. 4 Aplicación continua con inversa continua. )4()xy(f)x(fxy 0   )5(Ayy  4 estabilidad de las soluciones del sistema no lineal. Así, las propiedades sobre los autovalores que se aplican a los sistemas lineales y que clasifican los puntos de equilibrio en nodos, centros, focos o puntos de silla, se aplican ahora con los autovalores de la matriz Jacobiana A, obteniéndose las mismas conclusiones excepto si uno o más de los autovalores es nulo o imaginario puro (es decir, si el equilibrio es hiperbólico). En dicho caso, es necesario el estudio del sistema dinámico restringido a la llamada variedad centro 5 y/o la reducción del mismo a su forma normal, técnicas que simplifican el sistema no lineal. A la hora de estudiar la estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico, nos interesará también saber si, bajo pequeñas variaciones de los parámetros del mismo, se producen cambios cualitativos importantes que afecten a dicha estabilidad. Un sistema dinámico se dice estructuralmente estable si las propiedades dinámicas cualitativas del sistema persisten bajo pequeñas variaciones 6 de los parámetros o de las formas funcionales del mismo. En otras palabras, podríamos decir que un sistema dinámico es estructuralmente estable, si las trayectorias correspondientes a dos valores próximos de un parámetro, permanecen cerca una de la otra. Centrándonos en el campo de la Economía, a la hora de interpretar el concepto de estabilidad estructural, nos encontramos con varios problemas. En primer lugar, si bien matemáticamente hablando no hay ninguna dificultad a la hora de interpretar el término “pequeña” perturbación (a través de la norma C1 ), en ciencias aplicadas como la Economía no se trabaja con variaciones infinitesimales de los parámetros, sino con variaciones finitas. Para que el 5 El espacio vectorial n puede expresarse como suma directa de los subespacios Es, Eu y Ec generados respectivamente por los autovectores asociados a los autovalores negativos o con parte real negativa, positivos o con parte real positiva y nulos o imaginarios puros. Estos subespacios son invariantes, pues cualquier trayectoria que comience en alguno de ellos, permanecerá en él para siempre. El teorema de la variedad invariante (Wiggins, 1990) prueba que en el sistema dinámico original, Es, Eu y Ec se distorsionan en las llamadas variedades estable, inestable y centro, respectivamente, las cuales son tangentes a los correspondientes subespacios en el punto de equilibrio y son invariantes bajo el flujo del sistema. Ver Wiggins (1990) para un tratamiento más exhaustivo de la cuestión. 5 concepto de estabilidad estructural fuese entonces formalmente correcto, en cada caso habría que definir una norma adecuada. La Teoría Económica encuentra otro problema que es mencionado también a menudo en la literatura matemática y de ciencias naturales sobre la estabilidad estructural. Hasta ahora, en la definición de este último concepto hemos dado por supuesto que los sistemas perturbado y original tenían la misma dimensión. Sin embargo, los modelos económicos son retratos abstractos de fenómenos reales y en la formulación inicial de cada modelo sólamente se tienen en cuenta unas pocas variables, siendo necesario a veces a posteriori la inclusión de nuevas variables con el consiguiente aumento en la dimensión del modelo. Esto puede implicar que el sistema original y el resultante en dimensión mayor tengan comportamientos dinámicos cualitativos muy distintos (pudiendo presentar incluso comportamiento caótico 7 ). El estudio de la estabilidad estructural de un sistema dinámico es el primer paso en el estudio de las bifurcaciones. Se dice que en un sistema dinámico ocurre una bifurcación si el retrato de fases cambia su estructura topológica cuando un parámetro varía. Se llama valor de bifurcación a aquél valor del parámetro a partir del cual el sistema dinámico es estructuralmente inestable. Los cambios a que se refiere la definición afectan al número y/o estabilidad de los puntos fijos u órbitas cerradas. En sistemas bidimensionales pueden presentarse varios tipos de bifurcaciones, que se generalizan para dimensiones mayores, a saber: 6 Estas pequeñas variaciones o perturbaciones se expresan matemáticamente en términos de la norma C1 : Dos sistemas dinámicos están próximos si los campos vectoriales de ambos y sus derivadas primeras están próximas. 7 Ver Lorenz (1989, p. 86). 6 a) Bifurcación nodo-silla: Es el mecanismo básico de creación-destrucción de puntos fijos. Conforme un parámetro del sistema crece o decrece, los puntos de equilibrio del mismo se aproximan unos a otros, colisionan y desaparecen. Después de ello siguen incluso ejerciendo su influencia sobre el flujo del sistema atrayendo las trayectorias hacia una región “fantasma”. b) Bifurcación transcrítica: A medida que un parámetro varía, los puntos fijos se aproximan y colisionan, pero no desaparecen, sino que intercambian su estabilidad. c) Bifurcación “pitchfork”: En este tipo de bifurcación los puntos fijos tienden a aparecer (caso supercrítico) y desaparecer (caso subcrítico) en pares simétricos. d) Bifurcación de Hopf: En este tipo de bifurcación se produce una pérdida de estabilidad debido a que los autovalores complejos pasan de tener parte real negativa, a tener parte real positiva, atravesando por tanto el eje imaginario. Se distinguen al igual que antes dos tipos: supercrítica y subcrítica. En el primero un punto espiral estable cambia a espiral inestable rodeado por un pequeño ciclo límite. El segundo caso es más drástico, pues después del valor de bifurcación las trayectorias deben saltar a una atractor distante que puede ser un punto fijo, un ciclo límite, infinito ó en dimensiones n 3 un atractor caótico (es, por ejemplo, el caso de Lorenz). A diferencia de los otros tipos de bifurcación que pueden surgir en sistemas de cualquier dimensión, la bifurcación de Hopf sólo puede darse en sistemas de dimensiones mayores o iguales que dos y bajo las hipótesis que aparecen recogidas en el Teorema de Hopf 8 , el cual consta de una parte de existencia donde se dan las condiciones suficientes para que exista una órbita cerrada y, una parte de estabilidad con las condiciones suficientes para que el ciclo límite 8 Hopf, E. (1942) 7 sea estable. Existen varias versiones del teorema. Recogemos aquí una versión truncada de la dada por Guckenheimer y Holmes (1986) que puede leerse en Lorenz (1989, p.96). El Teorema se formula para un sistema n-dimensional de la forma: con x  n,   p y f de clase Cr . Teorema (Hopf (1942), parte de existencia). Supongamos que el sistema (6) posee un único punto fijo x0 para el valor del parámetro 0, es decir, f(x0 , 0 ) = 0, con las siguientes propiedades: i) La matriz Jacobiana Dx f(x0 , 0 ) tiene un par simple de autovalores imaginarios puros y ningún otro autovalor con parte real cero. Entonces, i) implica que existe una curva uniforme de puntos fijos (x(), ) verificando que x(0 ) = x0 . Los autovalores () y )( , los cuales son imaginarios puros en 0 , varían uniformente con . Si además, ii)  )7(0d)(Re d d 0  entonces, existen algunas soluciones periódicas bifurcándose a partir de x0 para el sistema (6) cuando  = 0 y el período de dichas soluciones es aproximadamente igual a 2/0 (con 0 = (0)/ i). )6(),x(fx   8 Si bien establecer la existencia de una bifurcación de Hopf resulta relativamente sencillo, el determinar la estabilidad del ciclo límite resultante y por tanto el tipo de bifurcación que prevalece (supercrítica o subcrítica), no lo es tanto. Para ello es necesario el cálculo de cierto coeficiente que se deduce de la forma normal 9 del sistema original. Los cálculos para obtener la forma normal resultan muy engorrosos en la práctica, si bien Kuznetsov (1997) realiza un elegante desarrollo para el problema bidimensional en variable compleja, lo que facilita la obtención del llamado primer coeficiente de Liapunov l1(0) cuyo signo determina la estabilidad del ciclo límite resultante (estable si l1(0) < 0 e inestable si l1(0) > 0). 2. Puntos de silla y órbitas cerradas en modelos de crecimiento económico óptimo La aplicación del Principio del Máximo a un problema de crecimiento económico óptimo, da lugar a un sistema dinámico de ecuaciones diferenciales caracterizado tradicionalmente por la aparición de un punto de silla. Se suele hablar entonces de estabilidad condicional para dicho problema, en el sentido de que las condiciones iniciales pueden elegirse de modo que se conduzca el sistema hacia la variedad estable del punto de silla, produciéndose por tanto, un acercamiento hacia el equilibrio del sistema. Esta “libertad” para elegir las condiciones iniciales es lo que caracteriza precisamente a los problemas de control óptimo (gracias a la presencia de una variable de control). El problema de control (llamado también de optimización dinámica) más simple, consiste en seleccionar una función (control) continua a trozos u(t), t0  t  t1 para 9 La forma normal de un sistema que presente una bifurcación de Hopf es un sistema dinámico de la forma        )xx(xxxx )xx(xxxx 2 2 2 12212 2 2 2 11211   , que resulta ser topológicamente equivalente al original. Para el caso bidimensional ver por ejemplo,Guckenheimer y Holmes (1986, p.152). 9 donde f y g son funciones continuamente diferenciables. x(t) se llama variable de estado y la ecuación (9), ecuación de estado. Si existe una función u(t) que solucione este problema, dicha función se llama un control óptimo. En general, un problema de control puede tener más de una variable de control y estado, siendo el número de las primeras independiente del de las segundas. En los problemas de crecimiento económico óptimo clásico, la función f es la utilidad social (también llamada función de la “felicidad”), la cual proporciona la utilidad social neta correspondiente al consumo per cápita en un instante de tiempo dado. Se suele suponer también que los niveles de utilidad futura se descuentan a razón de una tasa constante igual a . Este descuento se introduce en el funcional (8) multiplicando la función f por el factor e-t Para estudiar un problema de control existen básicamente dos métodos: El Principio del Máximo, como ya hemos citado, y la Programación Dinámica de Bellman, siendo el primero de ellos el más utilizado en la práctica. Éste puede ser considerado como una extensión a la optimización dinámica del método de los multiplicadores de Lagrange usado en los problemas de optimización estática. Es importante tener en cuenta que la propiedad del punto de silla que muestran los problemas de control no es una propiedad matemática inherente a los mismos. En general, son posibles también otros tipos de puntos de equilibrio. Es más bien la naturaleza económica del problema, como veremos, la que da lugar a la aparición del punto de silla. libre)t(xyx)t(xcon )9())t(u),t(x,t(g)t(xasujeto )8(dt))t(u),t(x,t(fmaximizar 100 1 t 0 t     16 Según Dockner(1985), los autovalores de la matriz Jacobiana del sistema (23) expresada en un punto de equilibrio, tienen la siguiente expresión: donde K = B-2 siendo B la suma de los menores diagonales de orden dos 17 de la matriz J. Entonces se verifican los siguientes resultados: Teorema 18 . 1) K < 0 , 0 < det J  (K/2)2  i   , i, 1,2 > 0, 3,4 < 0 2) det J > (K/2)2 , det J > (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 < 0 3) det J < 0  1,2,4 > 0, 3 < 0 ó 1 > 0, 3 < 0, Re 2,4 > 0 4) det J > (K/2)2 , det J = (K/2)2 + 2 K/2  i   , i, Re 1,2 > 0, Re 3,4 = 0 A la vista de (24) y del teorema anterior, podemos observar que, siendo det J > (K/2)2, se verifica: 17 B es por tanto el coeficiente de grado dos del polinomio característico de J 18 Dockner et al (1991) )24(Jdet4K 2 1 2 K 22 2 4,3,2,1           )25(0Re 2 K 2 K JdetSi 4,3 2 2         )26(0Re 2 K 2 K JdetSi 4,3 2 2         17 Entonces, como consecuencia de (25), (26) y (27), podemos concluir que los autovalores atraviesan el eje imaginario al pasar  de ser  < 0 a ser  < 0 , siendo Es el primer signo de que una bifurcación de Hopf puede ocurrir para el valor del parámetro  = 0 con la consiguiente aparición de un ciclo límite. El teorema de Hopf así lo asegura siempre que se verifique la condición (7) del teorema. Existe entonces la posibilidad de que en un modelo de este tipo puedan existir ciclos límites, cuya estabilidad tendrá que determinarse en cada caso mediante las técnicas numéricas apropiadas. En la siguiente sección se estudia la estabilidad de las soluciones en un modelo dinámico para la gestión de una pesquería y se tratará de determinar la posibilidad de existencia de ciclos límites a través del teorema de Hopf. 6. Análisis dinámico de la pesquería de chirla en la región Suratlántica española: estabilidad y existencia de ciclos límites Consideremos el modelo de control óptimo (15) lineal en los costes analizado en la sección 3. Vamos a introducir en el funcional objetivo unos costes de ajuste convexos 19 k = k(v(t)) donde v(t) va a ser una nueva variable de control definida como: 19 Tal y como proponen Feichtinger y Sorger (1986). La nueva variable v puede ser interpretada como un coste regulador de la entrada y salida de pescadores en la pesquería. Stollery, K.R.(1987) utiliza una función análoga. )27(0Re 2 K 2 K JdetSi 4,3 2 2         )28( 2 K Jdet K 2 0 18 El esfuerzo de pesca E(t) (que en el modelo (15) era el control) es considerado ahora como una variable de estado que se rige por la ecuación diferencial (29). La función de utilidad W(x,E), incorporaría la función de costes k(v) y quedaría en la forma: W(x(t), E(t)) = pqE(t)x(t)- cE(t)- k(v(t)) (30) Tendríamos ahora un problema de control óptimo consistente en: Vamos a considerar unos costes de ajuste cuadráticos k(v) = v2 , con  > 0 y la función de crecimiento natural F(x) como en (14). Las condiciones necesarias de optimalidad 20 del Principio del Máximo nos llevan al sistema de ecuaciones diferenciales: 20 Hablamos de candidatos a óptimos, pues no tenemos garantizada la suficiencia de las condiciones necesarias )29( dt )t(dE )t(v  00 0 t v E)0(E,x)0(x )31(vE qEx)x(Fxasujeto dt))t(v(k)E,x(W(emaximizar         19 El estudio dinámico de este sistema tal y como proponen Dockner y Feichtinger(1991) pasa por: - Cálculo de los puntos de equilibrio - Cálculo de la matriz Jacobiana en cada uno de ellos - Cálculo de det J y K para determinar la naturaleza del equilibrio Recordemos que estamos también interesados en estudiar la posibilidad de ciclos límite aplicando el teorema de bifurcación de Hopf. Sabemos que, si existe, el valor de bifurcación 0 viene dado por (28) y que localmente, a ambos lados de dicho valor, pueden surgir ciclos límites. Para determinar la estabilidad de dichos ciclos, habría que restringir el sistema a la variedad centro, y hallar su forma normal, la cual expresada em coordenadas polares será una expresión del tipo: )32( 2 c qx 2 p vv qE)p( L rx2 r vE qEx L x 1rxx 1 111                           )33( )( )( 2 0 2 0        20 donde , ,  y  tienen que ser calculadas a partir de los parámetros del modelo y  es la parte imaginaria de los autovalores imaginarios puros en el valor de bifurcación. Una condición suficiente para que el ciclo límite resultante sea estable 21 , es que   0 y  < 0. El cálculo de los puntos de equilibrio del sistema (32), así como el de la matriz Jacobiana en cada uno de ellos y la obtención de det J y K, puede efectuarse de forma simbólica en función de todos los parámetros del sistema, pero el posterior estudio de la estabilidad y posibilidad de órbitas cerradas resulta inabordable de esta manera. Es necesario entonces asignar unos valores numéricos a los parámetros (excepto ). Tomando como referencia los parámetros biológicos y económicos estimados para la pesquería de bivalvos y chirla suratlántica en García, F. y García, J.(1998, 2000), hemos asignado a los parámetros del sistema (32) los siguientes valores: r q L p c 0.456146 0.0000195 19226309K 148.5 ptas/K 6138 ptas/día pesca Como ya dijimos, se realiza el estudio dinámico en función del parámetro . El sistema tiene dos puntos de equilibrio que denotaremos por P1 y P2 cuyas coordenadas, una vez asignados valores a los parámetros, resultan ser funciones de . Sean, para cada equilibrio dichas coordenadas: P1 = (x1 , E1 , 1 , v1 ) y P2 = (x2 , E2 , 2 , v2 ) donde: 21 Ver Kuznetsov (1997,p.90) o Wiggins (1990, p.220)    )34( 0v 1.7223.1498.511023.11002.2 21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E 1021.71042.11019.51023.11002.240.7x 1 222 1 335626 1 561112212 1            21 y Análisis del punto P1 Si calculamos la matriz Jacobiana de (32) en P1 como función de  y hallamos su determinante y el coeficiente K, puede comprobarse que: det J > 0 (Figura 1) y K < 0 (Figura 2) ,  > 0. Deducimos entonces que en el punto P1 no va a existir bifurcación de Hopf, pues para que ello sucediera debía ser K > 0. Además, tampoco van a existir bifurcaciones del tipo transcrítica ni nodo silla, pues una condición para ello es que exista un autovalor simple igual a cero 22 , y en consecuencia debería ser det J = 0. Para determinar la naturaleza de P1, hemos comparado det J con (K/2)2 , para distintos valores de , comprobando que, para   (0,1) se verifica (Figura 3) que (K/2)2- det J < 0, K < 0, lo cual implica por el teorema anterior que los autovalores son todos complejos, dos de ellos con parte real positiva y dos con parte real negativa. Por lo tanto, P1 es un punto de silla. En un entorno de este punto, puede hablarse entonces de estabilidad condicional, es decir, si las condiciones iniciales son tales que están sobre la variedad estable, la trayectoria correspondiente del sistema convergerá hacia P1. En otro caso, se alejará de él. La variedad estable es de    )35( 0v 1.7223.1498.511023.11002.2 21.5 1087.11042.11019.51023.11002.29E 1021.71042.11019.51023.11002.240.7x 2 222 2 335626 2 561112212 2           22 dimensión 2 y una aproximación a a la misma vendría dada por el subespacio vectorial generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con Re  < 0. Por ejemplo, para el valor del parámetro  = 0.03 y  = 3, el punto de equilibrio P1 = (1.01724107 ,1.10155104, 117.556, 0) y los autovalores asociados son 1,2 = 0.36  0.30i y 3,4 = -0.33  0.30i. Análisis del punto P2 En un entorno del punto P2 podemos hablar de trayectorias oscilatorias del tipo ciclo límite, pero ocurre que un punto como éste no sería posible en un caso real, pues la coordenada x2 resulta ser negativa para todo valor de  > 0. No obstante, fuera de un contexto meramente económico las posibilidades dinámicas que ofrece este punto son interesantes. Puede comprobarse que la matriz Jacobiana de (32) evaluada en P2 tiene det J > 0 (Figura 4) y que el coeficiente K es positivo para todo  > 0. Además, (K/2)2- det J < 0 para   (0,1) (Figura 5). Existe pues una bifurcación de Hopf para el valor del parámetro dado por (28), con la consiguiente aparición de un ciclo límite. En la siguiente tabla recogemos algunos valores de bifurcación calculados para distintos valores de , así como el signo de la derivada (d) de la parte real del autovalor en cada uno de ellos.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.5 0 6.15411 4.2517 3.4102 2.90949 2.56852 1.72859 1.3638 Signo(d) + + + + + - - 22 Ver Wiggins (1990) 23 7. Conclusiones El modelo estudiado presenta dos equilibrios. El primero es un punto de silla, el cual atraerá a las trayectorias del sistema que comiencen en valores iniciales que se sitúen sobre la variedad estable. Se habla entonces de estabilidad condicional. El segundo, fuera de un contexto meramente económico, es un equilibrio en torno al cual pueden surgir trayectorias oscilatorias del tipo ciclo límite, las cuales podrán ser estables y atraer a otras trayectorias del sistema que comiencen en valores iniciales próximos a ellas. Se pone de manifiesto cómo un modelo de control óptimo como (31) podría tener como solución óptima una política de gestión del recurso cíclica. Nuestra investigación se centra actualmente en encontrar nuevos modelos de gestión que, aplicados a la pesquería en cuestión, exhiban trayectorias cíclicas en torno a un equilibrio que pueda ser factible en la práctica. Hemos pensado en considerar una función de capturas en la forma general de Cobb- Douglas: h(t) = qEx , con ,  > 0. Ello hace el estudio del sistema diferencial (32) más complicado, debido a que las no linealidades presentes son más fuertes que las encontradas con la función de capturas (11) del modelo de Schaefer. 7. 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