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EL USO DEL METOOO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO EN EL CALCULO DINAM!CO
DE PROBLEMAS AXILSIMETRICOS.
S.7.S. !e genie cs : ! s: ial s :e Las Pal=as
: a !ei :en o s;n ( a i a 3a a ), 35017 as ?al=as :e .:.
s.:-.s. C.e ::1geni ·::s : d !s": !al s .:!e
Se i:la
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2ei:-:.a ) e cedes s/n, 410 2 Se illa.
Resumen.. -S : o je i'lc je es:a
:os a la ::exi i:i:!ad
:!e: d o:!o !e :os E:e=en os :e Co o no
pa a a c :!a e: ci:: :o :!e :as
:.=pe:!ancias !:.ni=icas :!e ci en aciones
!gidas
- R
•'-Q·-'a :!e e o:ución
e= e i:!as en :ed:.:s omogénecs y
es: a i ica:!os. A!e=as :!e p esen a :a
c = :aci n !esa c::a:!a. el =, o:!o se
e: me ac:. :1es
!e a : :.es:.o
cie ::s aspec :s !es
co=pc amien:o y
:a :.n:: encia e :os di e en es
ac:c es s: e :as i=pe:!ancias
.::. á. icas :á:as · =·:'!l.J:
: 1ice je
a=c ig a=:en c y ig:dez e!a i a ¿9
:a ase pa a e. caso !e
es: a:i icadcs e :ipc i:apa. Les
es ::a:!cs c en::!cs se ::=pa an con
:es :!e :: es a :c es.
1 • I
NTR.OOUCCI ON
n :es J:::.=:s a?.cs. el Mé cco je
:os E:e=en cs :!e :en o no se ha
i::zad pa a el cálc lc de las
: pedancias :iná icas de ci=en aciones
!¡idas con a iada ipclogia y
s s!e . aias en !i e en es odelcs da
e eno. as p i e as aplicacicnes del
mé odo da an e : ales e la decada
a . e:- .::,1, pa!"'a =.imen- acicnes
ec a gula es s :ª an semiespacio
ho :cgeneo. A!a!"'=.:in a al ••• ,/2/
a a en a: =is o p oblema median e un
ódelo bidi=ensional. Abascal /3/
ex endió el es u:!io al caso ¿9
:i=en aciones caad adas. con m6celos i
y idimensionales y den o del p ime o
de al:cs :on e=pl6 e enos con
es a i icación cualquie a. Cano /4/;
Ala cón. Dominguez y Gomez-Le a /5/
aplica ón el M.E.c. a cimen aciones
supe iciales i¡idas axilsim, icas en
suelos hcmogéneos y es a i icados
91
Abs ac: .- The obje i e o his papa
is o show he lexibili y o he
B.E.M. e calcula ion o he dynamic
impedances c axisymme ic igid
:ounda ions in homogeneucs and laye ed
media.
3eside in oducing he below
c mula ion he e hod is applied o
he case oí hemisphe ical ounda ion in
c de o show ca ain aspec s o i s
beha io and he in luenca o di e en
ac c s upen dynamical impedances such
as in a nal soil damping and ela i a
igidi y o he base in he case o wo
l
aye ed media.
T e esul s a e co pa ed wi h hose
o! c he au ho s.
-
ho izon almen e. Empe ado y Dominguez.
16/ y /7/, ex ienden !a o mulaci6n
an e io a ci en aciones embebidas en
e enos del mismo ipo que les au o es
an e io es. Todas es as publicaciones
abo dan el p oblema suponiendo que la
exci ación es a mónica y p esen an
?alo es de las impedancias en unción
de la ecuencia.
El Mé odo de los Elemen os de
Con o no esul a muy adecuado pa a la
esolución de es e ipo de p oblemas ya
ue po una pa e pe mi e el es udio
del mismo con sólo disc e iza su
supe icie educiendose su dimensión en
un o den y po o a los medios no
aco ados, como el suelo, .o p ecisan
con o no de cie e ya que se sa is acen
las condiciones de adiación y
egula idad. ?a a abo da es e ipo de
p oblemas se han u ilizado o os
mé odos analí icos, semianalí icos y
numé icos, con alguno de los cuales se
1':
Domi
:-.g
:.;ez,
J
e
l
I·'
,.'
'
o
"
.l
...
,
compa a á.
El uso del M.s.c. pa a p oblemas
axilsimé iccs p esen a cie as
en ajas ya que ccn el:cs an solo se á
necesa io disc e iza la linea
··z 3e la supe icie de
6ene a ..
: _
e cluc on. Pa a p oblemas es á icos
ue ile ada acabo ao Ke manidis /8/ Y
C use /9/. Es os u o es u ilizan la
solución undamen al co espondien e a
una ca ga anula que se exp esa en
!u .ción de i . eg ales el{p icas o
unciones de Legend e que hacen su
in eg ación as an e ediosa. n el
caso dinámico es aciona io se hace aun
as di icil el canejc de la solución
undamen al anula pues -conduce
in eg ales sc e una linea in ini a
:unciones de Hankel. Ss e hecho
a
lle ado al uso de la solución
undamen al idimensional, exp esada
en = c Cenadas ci!{ d icas pa a !as
aplicaciones dinámicas e p cb:emas con
si=e ia de e olución /4/,;5/,/5/,/7;.
En es e a iculo se mues a la
apllcación del S odo y la u!ación
desa ollada en /5/ a p oblemas
axilsi=é icos en los que los con o nos
no sen supe icies exclusi amen e
no males a los ejes adial y e ical
al como el cálculo de las i=pedancias
di .ámicas !e na cimen ación
semies é ica sob e un edio homogéneo o
es a i icado.
2. FORM JLACIOH DEL PROBLEMA
:,a ecuación :ásica del M.E.C. puede
esc ibi se en su o ma =as
pa a n p oblema dinámico
!i e .siones co o:
conocida
en es
(p;• (p)+J !CP,q) (q)d = 'p.q):Cq)d
. ( 1
)
donde las •:a iables ienen el
signi icado habi ual.
Si la sol ción undamen al y las
a iables en el con o no son exp esadas
en coo denadas ci!: .d icas median e las
ma ices de gi o L y L', exp esadas
po :
L= [
cose -se .e
o
)
sene cose
o
.
a=e(q)
o
e l (2a)
y
L
'= (
cose'-sene'
o
]
sene' cose'
o
.
e'=e'(p)
o o
( 2b)
X
C
= L'T X L
T
X
¡¡
C,
l!.
T
( 2c)
Los pun os p y q son los pun os de
colocación y de obse ación. LLa nando a
las a iables del con o no en
92
coo denadas
puede pone cil{ ¿ icas u
c
y
la ecuación báSica =c o:
.,e
..,
se
Dado que el pun o
ijo, p ede c a se
exp esiones de les
solución undamen al
de colccaci6n pes
como a'=O y las
e .so es :e la
quedan :
-U s+U e
U i2
-u
s+U c
:u 22
-u
s+U c
3 32
donde c=cos8 y s=sene
( 4 )
Cuando las condiciones de con o no
son axilsimé icas. odas las a iables
son i .dependien es de la coo denada e.
Si se disc g iza el con o no de la
sección me idiana en segmen os
ec ili .eos sob e los que se supone un
alo cons an e de las a iables la
ecuación (3) puede esc ibi se como:
c
(p )
c
( p )+ ¡ = , { :
J q !
c
pd, q d e }
=
( 5 )
Las in eg ales de es a ecuación
pueden ealiza se median e una doble
cuad a u a de Gauss excep o en el caso
en que los pun os pi q coinciden. que
se e ec ua analí icamen e en el plano
p-z y numé icamen e según 8, esul ando
la exp esión:
que pe mi e, una ez impues as las
condiciones de con o no. esol e un
sis ema de ecuaciones algeb aico que
p opo ciona á los alo es de las
incógni as sob e el con o no. Cuando
és as no ienen sime ía de e olución
el p oblema puede se esuel o median e
la descomposición del mismo en
p oblemas planos desacoplados en e si
a a és de un desa ollo en
se ie
de
Fou ie de las condiciones de con o no
a lo la go de la coo denada
cicun e encial e. /10/, de la o ma:
u = ( u• cosna+u' senne)
/:=o
np n,
• Q
u=)( cosna+u senn9)
z ... :-:z
n=o
( 7)
?a a cada odo de
:a se ie
?Uede
esc ibi se n s s ema :e ecuaciones. ya
d:.sc e izad so e sl ·::on o no, 1el
=is=c ipo q e e! :s> con !a :i e e .cia
e q·'e
1
--
s .--·e"' 'en•<>s •e ' "'lU"'""--;a H
;_ G ;e ; i;; ;;;¡a i; ia ·; e¡;; i6n
:e la soluc:.6!l '..;. damen a.l pc :de ada
po uncio::es sen :9 e ces :"":9,
3.
lo
la go je :a c=c denada ci cun e encial:
es deci :
( 8 )
3. IMPEDAHCIA DINAMICA DE CIME TACIONES
SEMI ESFElU CAS EN UN SUELO HOMOGENEO
!n ap:icaci6n ¿9 odo :o an e io
sea na ci:en ació . semies é ica sin
:asa sc!!ada a n se=iespacio homog6neo
isccelás ico !e jensidad p. :6dulo de
igidez : ans7e sal p. :ód lo ¿9
?oissc e : :ica ie o¡ i¡uamien c
'
l
isccsc
;
siendc e: :ódu:o co=?lejo
u
c
-u! · 1=,'
-• ' -
"'i;. l.
'
El es adio se ::e a a. ca o :edian e
na disc e ización el pe de la que
se =uss a e :a ::1.-:
A
(µ'V' p '�)
Fig.-1 Disc e izacidn del :cn:o nc
?a a el cálculo de las impedancias
co espondien es a los =c imien cs de
o sión y e ical, desacolplados en e
si, es su icien e p esc ibi n Yalo
uni a io de los :s nos en la i e ase
ci nien o suelo y ensinas nulas en la
supe icie lib e. La impedancia se
ob iene edian e la in eg ación de las
ensiones esul an es en los elemen os
si uados en la in e ase. En el caso de
las impedancias co espondien es a los
mo imien os ho izon al y cabeceo, es
necesa io ene en cuen a el desa ollo
en se ie de Fou ie (7) educido a un
solo é mino. n::.
En las igu as 2a y b, se ues an,
en l
i .ea cen
inua. las pa es eal e
ima¡ina i a de las i=pedanci as
co espondien es a algunos ce les
mo imien os de sólido ígido an e io es
pa a una cimen ación semies é ica de
93
adio uniodad y so e un sem:espacio
cuyas ca ac e is icas mecánicas se .:
= =l. =0.25 y =5%
en e a la ! ec encia a.di ens¡cnal
a.o=w lc
,.
en '..ln ango que a desde ce o
has a seis. En.las ismas g á icas se
incluyen las cu as ob enijas ?O Luce
y Wong /ll/, u ilizando na scl ci6 .
undamen al co espondien e a una ca ga
pun ual a mónica ac uando sob e un
semiespacio. pa a un medio de iden icas
ca ac e is :cas ecánicas y con n
amo iguamien o del 1%; asimismo. a
e ec os de na mejo compa ación, se .a
incluido, - · - . na ex apolaci6n de
:es mismos pa a un amo iguamien o del
5%. Les esul adcs que se p esen an se
han ob enido con 62 elemen os de
con o no axilsimé icos diez de ei!cs
en la in e ase y el es o en la
supe icie lib e, man eniendose s s
amaños espec i os in e io es a A/5 y
A/4. La dis ancia A de supe icie lib e
disc e izada es de A lSR.
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Fig .-2a Impedancia Ve ical
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apa en e en e
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undamen al:::en e en :a pa e eal !e la
i=:pedanc.ia.. Es-;o es 3.ebi:!o a la
ex apolación eal:.zada a in de
cok.pa a es l ad s =e i:.s in o ín ice
da amo iguamien o y se pone de
mani ies o en :a :.g.-3. en !a q e sa
mues an les esu::ados ob enidos po
al
M.E.C.
y una solución exac a
ob enida po Luco. - ll/ y ,·:2; pa a !a
i:::pedancia de :o s on, en la :¡ ... e se
obse a la co:.ncidencia de a=bas
g á icas en odo el ango de
ecuencias es udia!Q.
La solució . ¿91
M.E.C.
on sime ia
de e olucién p esen a pa a a:o es del
amo iguamien o :ajos una oscilación de
los alo es ¿a las impedancias a
ecuencias ed as y al as, que se
inc emen a a med da que disminuye el
alo del pa áme o. A !:.n de e i a
es a oscilacidn ndeseada se ensaya en
di e sos ipos de disc e izaciones.
94
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Ench.6 .. 5,:
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Fig .-3 Impedancia de To sión
cimen aci6n semies é i:a en n
semiespacio.
·,a iandose ani:o el amaño de 1-::s
elemn os como el alo de la dis ancia
A. Es o uso de mani ies o la g an
in luenci de la can idad de suelo
lib e disc e izada lo que puede indica
:a exis encia en el módelo de ondas
elás icas dis in as de las P y S, ales
como las de Rayleigh adn cuando no
as en ecogidas implici amen e en la
o mulación i=plemen ada. El hecho de
u iliza un amo iguamien o cal o den
del 5% no es una limi ación
excesi amen e impo an e ya que la
p ac ica o alidad de los ma e iales
sales son amo iguados.
4. SUELO ESTRATIFICADO
Cuando el e eno no puede se
modelado co ec amen e po un
semiespacio homogéneo de idc
a
las
a ác 9 is icas inhe en es al mismo.
es a os de po encias y ma e iales
di e en es o bien in e esa simula una
igidización p og esi a con la
p o undidad, es con enien e dispone de
mé odos que pe mi an el empleo de.es os
modelos de sue10.
A con inuación se p esen a la
aplicación del
M.E.C.
axilsimé ico al
cálculo de las impedancias de
cimen aciones semies é icas en medios
bicapa. En es e caso se ecu e a
disc e iza la in e ase en e es a os
po medio de elemen os de con o no
además de los necesa ios pa a modela
el semiespacio homogéneo.
El es a o supe io s asien a sob e
un medio de o mable mas ígido. El
pa áme o que cob a impo ancia es la
igidez ela i a de ambos es a os, Res
que es á dado po la elación de las
elocidades de p opagación de las ondas
s.
Rcs:Cs2/Cs,. Se p esen an a
con inuación. Fig 4a y 4b, las
impedancias co espondien es alos
mo imien os e ical y de o sión de
una cimen ación semies é ica embebida
en un es a o de ca ac e is icas
iden icas a las del semiespacio
del ejemplo an e io y con una po encia
ela i a H/R:2, s'..ls en ado sob e un
semiespacio cuya igidez ans e sal se
a ia lo necesa io pa a ob ene unos
a.lc;e
ce Rcs:2,4.100. es e Úl i o
e o de simula una :ase ígida
lizada en les modelos de E.F.
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Fig .-4a :mpedancia Ve ical. medio
bicapa
En las igu as se han incluido las
g á icas ob enidas pa a el semiespacio,
no malizadas po la igidez es á ica a
e ec os de compa ación debido a que los
au o es no han encon ado en la
li e a u a esul ados eq i alen es ccn
los que pode con as a .
Del análisis de las igu as se puede
a i ma que el compo amien o de la
cimen ación en es e caso di ie e
no ablemen e del ue p esen a en el
apa ado an e io . La impedancia
co espondien e al mo imien o de sólido
ígido e ical p esen a una ma c da
a iación con la ecuencia. an o en
su pa e eal como en la .imagina ia,
con picos y alles asociados a las
di e en es ecuencias p opias del
es a o. Los alo es del coe icien e de.
95
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--- Rcs•2
--- Rcs-4
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4.111
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Ro • W
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H/R•2
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Rcs•2
Rcs•'4
Rcs•l00
Semiespac1o
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J.11
4. 811
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1.01
Ro • ¡.¡
*
R / Cs
ig .-4b !mpeda. cia de To sión. medio
bicapa
amo iguamien o oma alo es in e io es
a los del semiespacío, c eciendo es os
a medida que dec ece
Res,
lo que indica
una mayo ex acción de ene gía del
modelo cuan o más de o mable es la
base. En cuan o a la
pa e
eal se
obse a como se inc emen a el alo
abso'lu o de los picos y un mejo ajus e
de los mismos a las ecuencias ci adas
a medida que se inc emen a el alo de
Rc:s. ?a a el alo in e io de és e
úl imo pa áme o se obse a como. en la
pa e eal de la impedancia. apa ecen
unas oscilaciones las cuales no pueden
asocia se a ninguna ecuencia p opia
je es a o co espondien e a las ondas
Pos Y que ienden a desapa ece cuando
se inc emen a la igidez de la base lo
::¡ue hace pensa de nue o la exis encia
den o del modelo de ondas dis in as a
las ya mencionadas que in luyen en el
compo amien o de la cimen ación.
La impedancia de o sión p esen a
una a iación muy
sua e
con la
ecuencia supe poniendose an o la
pa e eal
como la
imagina ia
sob e la
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C!I
C!I
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H/R•2 1
¡ á!ica d : iliedio homogéneo siendo po
ello i :-ele an e la in luencia de la
i¡idez ela i a ya que pa a es e ipo
de o imien o an solo in luyen las
o .das SH..
5. CONCLUSIONES
Es a co unicacié . p e ende mos a
la po encia
y
!lexibilidad del Me odo
de !os S!emen os de Con o no con
sime ía de e olución a la esolucién
de algunos p oblemas elas cdinámicos y
en pa icula
se
ha aplicado al cálculo
de las i:pedancias dinámicas de
cimen acic .es semies é icas embebidas
en suelos an o homogéneos como
es a"i icajos, es e mismo mé odo había
sido u ilizado p e iamen e /7/ pa a el
case de cimen aciones cilínd icas.
Los ss:.;::ados ob enidos se han
co pa adc 2a :s!ac o iamen e con les de
c:,cs a:.; o es que emplean ilié cdos de
esolución di e en es. Se ha incluido
n es udie de la in luencia de la
igidez ela i a del semi
espacio
sopo e. : mé odo p opues o p esen a
no o:s an e cie as limi:acicnes en
c:.;an o al [::dice de a o iguamien o a
iliza accnsejandose no baja ¿e un
alo en o no a un 3 5 pa a las
apl:.cacio es p ac icas del mis=o.
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