El uso del método de los elementos de contorno en el cálculo dinámico de problemas axilsimétricos

U -:,... < 10 5 °"+ . o U"'S°•lo-4 ' _ + ' : •JO•lo- 5 :- 4 J --l.J:.. "'- .20 30 F1gu a 1 -=¡-"·- o l'..,_+. A 6 ., . + 1'....h, a 1.. 10 20 30 F1gu a 2 10 .2.0 F1gu a 3 l .IJ. ,h· o.o . l> ZD F1gu a 4 3 ·blO o so l5. & 21. 21..&. D ..s-----is- Jo 40 ---- ,..- !Jo 90 6.- BIBLIOGRAFIA 1.- Lo e, A.E.H. "The P opaga ion o wa e- mo 1on 1n an lso oplc Elas 1c Sol1d Med1um". P oc. London í1a hema lcal S0c1e y, Se les 2, 1. 1904. 2.- C use, T.A. y Rizzo, F.J. "A Di ec Fo mula 1on o he Gene al T asien Elas odynam1c P oblem I". ln e na ional Jou nal o Ma hema lcal Analys1s and Aplica ions, Vol. 22, pp. 244-259, 1968. 3.- Manol1s, G.D. y Beskos, O.E. "Dynamic S ess Concen a ion S udies by Bounda y In eg al and Laplace T ans o m". ln e na ional Jou nal o Nume ical Me hods in Enginee ing, Vol. 17, pp. 573-599, 1981. 4.- Niwa, Y., Kobayash1, S. y Fukui, T. "Apl1ca ions o he In eg al Equa 1on Me hod o So ne Geomechanlcal P oblems". 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VII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA MECANICA Año VI Vol. m EL USO DEL METOOO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO EN EL CALCULO DINAM!CO DE PROBLEMAS AXILSIMETRICOS. S.7.S. !e genie cs : ! s: ial s :e Las Pal=as : a !ei :en o s;n ( a i a 3a a ), 35017 as ?al=as :e .:. s.:-.s. C.e ::1geni ·::s : d !s": !al s .:!e Se i:la :,.,;en:.:!a 2ei:-:.a ) e cedes s/n, 410 2 Se illa. Resumen.. -S : o je i'lc je es:a :os a la ::exi i:i:!ad :!e: d o:!o !e :os E:e=en os :e Co o no pa a a c :!a e: ci:: :o :!e :as :.=pe:!ancias !:.ni=icas :!e ci en aciones !gidas - R •'-Q·-'a :!e e o:ución e= e i:!as en :ed:.:s omogénecs y es: a i ica:!os. A!e=as :!e p esen a :a c = :aci n !esa c::a:!a. el =, o:!o se e: me ac:. :1es !e a : :.es:.o cie ::s aspec :s !es co=pc amien:o y :a :.n:: encia e :os di e en es ac:c es s: e :as i=pe:!ancias .::. á. icas :á:as · =·:'!l.J: : 1ice je a=c ig a=:en c y ig:dez e!a i a ¿9 :a ase pa a e. caso !e es: a:i icadcs e :ipc i:apa. Les es ::a:!cs c en::!cs se ::=pa an con :es :!e :: es a :c es. 1 • I NTR.OOUCCI ON n :es J:::.=:s a?.cs. el Mé cco je :os E:e=en cs :!e :en o no se ha i::zad pa a el cálc lc de las : pedancias :iná icas de ci=en aciones !¡idas con a iada ipclogia y s s!e . aias en !i e en es odelcs da e eno. as p i e as aplicacicnes del mé odo da an e : ales e la decada a . e:- .::,1, pa!"'a =.imen- acicnes ec a gula es s :ª an semiespacio ho :cgeneo. A!a!"'=.:in a al ••• ,/2/ a a en a: =is o p oblema median e un ódelo bidi=ensional. Abascal /3/ ex endió el es u:!io al caso ¿9 :i=en aciones caad adas. con m6celos i y idimensionales y den o del p ime o de al:cs :on e=pl6 e enos con es a i icación cualquie a. Cano /4/; Ala cón. Dominguez y Gomez-Le a /5/ aplica ón el M.E.c. a cimen aciones supe iciales i¡idas axilsim, icas en suelos hcmogéneos y es a i icados 91 Abs ac: .- The obje i e o his papa is o show he lexibili y o he B.E.M. e calcula ion o he dynamic impedances c axisymme ic igid :ounda ions in homogeneucs and laye ed media. 3eside in oducing he below c mula ion he e hod is applied o he case oí hemisphe ical ounda ion in c de o show ca ain aspec s o i s beha io and he in luenca o di e en ac c s upen dynamical impedances such as in a nal soil damping and ela i a igidi y o he base in he case o wo l aye ed media. T e esul s a e co pa ed wi h hose o! c he au ho s. - ho izon almen e. Empe ado y Dominguez. 16/ y /7/, ex ienden !a o mulaci6n an e io a ci en aciones embebidas en e enos del mismo ipo que les au o es an e io es. Todas es as publicaciones abo dan el p oblema suponiendo que la exci ación es a mónica y p esen an ?alo es de las impedancias en unción de la ecuencia. El Mé odo de los Elemen os de Con o no esul a muy adecuado pa a la esolución de es e ipo de p oblemas ya ue po una pa e pe mi e el es udio del mismo con sólo disc e iza su supe icie educiendose su dimensión en un o den y po o a los medios no aco ados, como el suelo, .o p ecisan con o no de cie e ya que se sa is acen las condiciones de adiación y egula idad. ?a a abo da es e ipo de p oblemas se han u ilizado o os mé odos analí icos, semianalí icos y numé icos, con alguno de los cuales se 1': Domi :-.g :.;ez, J e l I·' ,.' ' o " .l ... , compa a á. El uso del M.s.c. pa a p oblemas axilsimé iccs p esen a cie as en ajas ya que ccn el:cs an solo se á necesa io disc e iza la linea ··z 3e la supe icie de 6ene a .. : _ e cluc on. Pa a p oblemas es á icos ue ile ada acabo ao Ke manidis /8/ Y C use /9/. Es os u o es u ilizan la solución undamen al co espondien e a una ca ga anula que se exp esa en !u .ción de i . eg ales el{p icas o unciones de Legend e que hacen su in eg ación as an e ediosa. n el caso dinámico es aciona io se hace aun as di icil el canejc de la solución undamen al anula pues -conduce in eg ales sc e una linea in ini a :unciones de Hankel. Ss e hecho a lle ado al uso de la solución undamen al idimensional, exp esada en = c Cenadas ci!{ d icas pa a !as aplicaciones dinámicas e p cb:emas con si=e ia de e olución /4/,;5/,/5/,/7;. En es e a iculo se mues a la apllcación del S odo y la u!ación desa ollada en /5/ a p oblemas axilsi=é icos en los que los con o nos no sen supe icies exclusi amen e no males a los ejes adial y e ical al como el cálculo de las i=pedancias di .ámicas !e na cimen ación semies é ica sob e un edio homogéneo o es a i icado. 2. FORM JLACIOH DEL PROBLEMA :,a ecuación :ásica del M.E.C. puede esc ibi se en su o ma =as pa a n p oblema dinámico !i e .siones co o: conocida en es (p;• (p)+J !CP,q) (q)d = 'p.q):Cq)d . ( 1 ) donde las •:a iables ienen el signi icado habi ual. Si la sol ción undamen al y las a iables en el con o no son exp esadas en coo denadas ci!: .d icas median e las ma ices de gi o L y L', exp esadas po : L= [ cose -se .e o ) sene cose o . a=e(q) o e l (2a) y L '= ( cose'-sene' o ] sene' cose' o . e'=e'(p) o o ( 2b) X C = L'T X L T X ¡¡ C, l!. T ( 2c) Los pun os p y q son los pun os de colocación y de obse ación. LLa nando a las a iables del con o no en 92 coo denadas puede pone cil{ ¿ icas u c y la ecuación báSica =c o: .,e .., se Dado que el pun o ijo, p ede c a se exp esiones de les solución undamen al de colccaci6n pes como a'=O y las e .so es :e la quedan : -U s+U e U i2 -u s+U c :u 22 -u s+U c 3 32 donde c=cos8 y s=sene ( 4 ) Cuando las condiciones de con o no son axilsimé icas. odas las a iables son i .dependien es de la coo denada e. Si se disc g iza el con o no de la sección me idiana en segmen os ec ili .eos sob e los que se supone un alo cons an e de las a iables la ecuación (3) puede esc ibi se como: c (p ) c ( p )+ ¡ = , { : J q ! c pd, q d e } = ( 5 ) Las in eg ales de es a ecuación pueden ealiza se median e una doble cuad a u a de Gauss excep o en el caso en que los pun os pi q coinciden. que se e ec ua analí icamen e en el plano p-z y numé icamen e según 8, esul ando la exp esión: que pe mi e, una ez impues as las condiciones de con o no. esol e un sis ema de ecuaciones algeb aico que p opo ciona á los alo es de las incógni as sob e el con o no. Cuando és as no ienen sime ía de e olución el p oblema puede se esuel o median e la descomposición del mismo en p oblemas planos desacoplados en e si a a és de un desa ollo en se ie de Fou ie de las condiciones de con o no a lo la go de la coo denada cicun e encial e. /10/, de la o ma: u = ( u• cosna+u' senne) /:=o np n, • Q u=)( cosna+u senn9) z ... :-:z n=o ( 7) ?a a cada odo de :a se ie ?Uede esc ibi se n s s ema :e ecuaciones. ya d:.sc e izad so e sl ·::on o no, 1el =is=c ipo q e e! :s> con !a :i e e .cia e q·'e 1 -- s .--·e"' 'en•<>s •e ' "'lU"'""--;a H ;_ G ;e ; i;; ;;;¡a i; ia ·; e¡;; i6n :e la soluc:.6!l '..;. damen a.l pc :de ada po uncio::es sen :9 e ces :"":9, 3. lo la go je :a c=c denada ci cun e encial: es deci : ( 8 ) 3. IMPEDAHCIA DINAMICA DE CIME TACIONES SEMI ESFElU CAS EN UN SUELO HOMOGENEO !n ap:icaci6n ¿9 odo :o an e io sea na ci:en ació . semies é ica sin :asa sc!!ada a n se=iespacio homog6neo isccelás ico !e jensidad p. :6dulo de igidez : ans7e sal p. :ód lo ¿9 ?oissc e : :ica ie o¡ i¡uamien c ' l isccsc ; siendc e: :ódu:o co=?lejo u c -u! · 1=,' -• ' - "'i;. l. ' El es adio se ::e a a. ca o :edian e na disc e ización el pe de la que se =uss a e :a ::1.-: A (µ'V' p '�) Fig.-1 Disc e izacidn del :cn:o nc ?a a el cálculo de las impedancias co espondien es a los =c imien cs de o sión y e ical, desacolplados en e si, es su icien e p esc ibi n Yalo uni a io de los :s nos en la i e ase ci nien o suelo y ensinas nulas en la supe icie lib e. La impedancia se ob iene edian e la in eg ación de las ensiones esul an es en los elemen os si uados en la in e ase. En el caso de las impedancias co espondien es a los mo imien os ho izon al y cabeceo, es necesa io ene en cuen a el desa ollo en se ie de Fou ie (7) educido a un solo é mino. n::. En las igu as 2a y b, se ues an, en l i .ea cen inua. las pa es eal e ima¡ina i a de las i=pedanci as co espondien es a algunos ce les mo imien os de sólido ígido an e io es pa a una cimen ación semies é ica de 93 adio uniodad y so e un sem:espacio cuyas ca ac e is icas mecánicas se .: = =l. =0.25 y =5% en e a la ! ec encia a.di ens¡cnal a.o=w lc ,. en '..ln ango que a desde ce o has a seis. En.las ismas g á icas se incluyen las cu as ob enijas ?O Luce y Wong /ll/, u ilizando na scl ci6 . undamen al co espondien e a una ca ga pun ual a mónica ac uando sob e un semiespacio. pa a un medio de iden icas ca ac e is :cas ecánicas y con n amo iguamien o del 1%; asimismo. a e ec os de na mejo compa ación, se .a incluido, - · - . na ex apolaci6n de :es mismos pa a un amo iguamien o del 5%. Les esul adcs que se p esen an se han ob enido con 62 elemen os de con o no axilsimé icos diez de ei!cs en la in e ase y el es o en la supe icie lib e, man eniendose s s amaños espec i os in e io es a A/5 y A/4. La dis ancia A de supe icie lib e disc e izada es de A lSR. ..... ci:: * <., ' > a: * ci:: * ., ' > u .... .. " .. .. .. ..; N "' .. N " '.'.:! " .. .. .. " .. i a.ea 1 · -- -- l ·-.........:., ---------1 ·,........... ! ........... ___ -- N.E:.C. MX --Luco l l¡an9 !•lX - • - Lu o l Mong !•SX 1. 1118 2.118 Ao - w ·-- ·-·--· l ----- ·--¡ J.1118 4.aa 5. ª" 6.ae * R / Cs ! J __ -- ---j N.(.C. a-5% Lu :o l Mon 5•U Lu•o l Won9 4•5% a.u 1.H 2.H J.aa "'·ª" 5 ·ª" Ao • W * R / Cs Fig .-2a Impedancia Ve ical cimen ación semies é ica en un semiespacio homogéneo ¡ l ¡ i ¡ 6. Bll 1 a j e [ J c+U s e u 12 U : U c+U s - .u. 22 J c+U s 3j, 32 u 1 13 u ZJI u 3lil ( 6) 21T J 0 U q~c s:n ne p1 qJ~e 2 TT O U q ~e · =::s ne pd q]de SI ~ al L l ._ "' .. .. > e, ~ " ~ ! o .. .. > GI "! /·-! (? /) L - l!I ,.... .. .. (T1 * * o:: * c., "' ' :,-. - - .. -=- ------·-·-·-·-. l.. "' 1 .; M.(.C. &•S . Luco l Mong a• I . Luco l W.,ng a-s . ,i e.ea l. 00 2. 00 l.00 • ·ªª 5 .a0 6.00 Ro - w * R / Cs "' - o,·. "' o .. l a: "' ¡ "' l ¡.-, .. "' "' * o:: 1. * .. c., ' ¡ - l.. / l.. ¡ M. E.C. a•S7. u N luc:a Mung a . Luco l ijong a•si .. ¡ .. l .; a.0e 1 ·ª" l.ª" J.00 1.ae ,.ee 6.H Ro - w * R / Cs :· i .i .-2b !:::¡:,sd.a::.ci a. =- Ca. s-:.90 ·:.:..::9!"l ac:.::; se::::. s:9 i=a 9!": ·..¡:,. ;e:::iespa:::.:: :::::-: gé::e- Cc:::c puede o se a se 9n las :.¡u as apa en e en e a n cs , ::!:s !:.s: epan. undamen al:::en e en :a pa e eal !e la i=:pedanc.ia.. Es-;o es 3.ebi:!o a la ex apolación eal:.zada a in de cok.pa a es l ad s =e i:.s in o ín ice da amo iguamien o y se pone de mani ies o en :a :.g.-3. en !a q e sa mues an les esu::ados ob enidos po al M.E.C. y una solución exac a ob enida po Luco. - ll/ y ,·:2; pa a !a i:::pedancia de :o s on, en la :¡ ... e se obse a la co:.ncidencia de a=bas g á icas en odo el ango de ecuencias es udia!Q. La solució . ¿91 M.E.C. on sime ia de e olucién p esen a pa a a:o es del amo iguamien o :ajos una oscilación de los alo es ¿a las impedancias a ecuencias ed as y al as, que se inc emen a a med da que disminuye el alo del pa áme o. A !:.n de e i a es a oscilacidn ndeseada se ensaya en di e sos ipos de disc e izaciones. 94 "' e o .... .. '- "' o G "O cD l<I "' u e "' .... "O Ench.6 .. 5,: 11.E.C.8•5Z Luco y Hong (ex . al 8•5:o -..;;:::: K /µR 3 -....;;:::::::""!_ - =-·=----..J --- "' e H (SI 0 2 3 4 Ao ªW*R/Cs 5 6 Fig .-3 Impedancia de To sión cimen aci6n semies é i:a en n semiespacio. ·,a iandose ani:o el amaño de 1-::s elemn os como el alo de la dis ancia A. Es o uso de mani ies o la g an in luenci de la can idad de suelo lib e disc e izada lo que puede indica :a exis encia en el módelo de ondas elás icas dis in as de las P y S, ales como las de Rayleigh adn cuando no as en ecogidas implici amen e en la o mulación i=plemen ada. El hecho de u iliza un amo iguamien o cal o den del 5% no es una limi ación excesi amen e impo an e ya que la p ac ica o alidad de los ma e iales sales son amo iguados. 4. SUELO ESTRATIFICADO Cuando el e eno no puede se modelado co ec amen e po un semiespacio homogéneo de idc a las a ác 9 is icas inhe en es al mismo. es a os de po encias y ma e iales di e en es o bien in e esa simula una igidización p og esi a con la p o undidad, es con enien e dispone de mé odos que pe mi an el empleo de.es os modelos de sue10. A con inuación se p esen a la aplicación del M.E.C. axilsimé ico al cálculo de las impedancias de cimen aciones semies é icas en medios bicapa. En es e caso se ecu e a disc e iza la in e ase en e es a os po medio de elemen os de con o no además de los necesa ios pa a modela el semiespacio homogéneo. El es a o supe io s asien a sob e un medio de o mable mas ígido. El pa áme o que cob a impo ancia es la igidez ela i a de ambos es a os, Res que es á dado po la elación de las elocidades de p opagación de las ondas s. Rcs:Cs2/Cs,. Se p esen an a con inuación. Fig 4a y 4b, las impedancias co espondien es alos mo imien os e ical y de o sión de una cimen ación semies é ica embebida en un es a o de ca ac e is icas iden icas a las del semiespacio del ejemplo an e io y con una po encia ela i a H/R:2, s'..ls en ado sob e un semiespacio cuya igidez ans e sal se a ia lo necesa io pa a ob ene unos a.lc;e ce Rcs:2,4.100. es e Úl i o e o de simula una :ase ígida lizada en les modelos de E.F. con :iuy ,...., ... ., :,:: ' > > :X:: .... 1 - • "! 1 ,¡ • "! 1 1 • .. • • o • a: "' * ! ' • > ., > u .... : • ., ob u 1.08 --- cs-2 --- Rcs-4 Rcs•l00 --- Se:nlespaclo .H 2.11 l,11 4.11 Ao -l,,j * R / Cs , ... .... '-·-------H/R•2 ---------- - ;;:---·-....._ -- :::;:;.---· --===: ;:::::;·-· . /,. •:::,,...././ --...__. Rcs-2 Rcs•4 Rcs•!00 Semlespaclo .... 1.11 Z.11 J.81 4.H , ... •••• Ao • l,,j * R / Cs Fig .-4a :mpedancia Ve ical. medio bicapa En las igu as se han incluido las g á icas ob enidas pa a el semiespacio, no malizadas po la igidez es á ica a e ec os de compa ación debido a que los au o es no han encon ado en la li e a u a esul ados eq i alen es ccn los que pode con as a . Del análisis de las igu as se puede a i ma que el compo amien o de la cimen ación en es e caso di ie e no ablemen e del ue p esen a en el apa ado an e io . La impedancia co espondien e al mo imien o de sólido ígido e ical p esen a una ma c da a iación con la ecuencia. an o en su pa e eal como en la .imagina ia, con picos y alles asociados a las di e en es ecuencias p opias del es a o. Los alo es del coe icien e de. 95 • " • ,...., .. .. ., :X:: : ' oi .. ... :X:: .. ,.., o a: * .. " ::.:: ' .. u .... • " • 1 ..; :i 1 i • "! 1 1 1 • - ------J --- Rcs•2 --- Rcs-4 -·- Rcs•l00 --- Semlespaclo .... l,U Z.lll l.01 4.111 , ... •••• Ro • W * R / Cs H/R•2 -- Rcs•2 Rcs•'4 Rcs•l00 Semiespac1o .... 1.11 , ... J.11 4. 811 ,.ea 1.01 Ro • ¡.¡ * R / Cs ig .-4b !mpeda. cia de To sión. medio bicapa amo iguamien o oma alo es in e io es a los del semiespacío, c eciendo es os a medida que dec ece Res, lo que indica una mayo ex acción de ene gía del modelo cuan o más de o mable es la base. En cuan o a la pa e eal se obse a como se inc emen a el alo abso'lu o de los picos y un mejo ajus e de los mismos a las ecuencias ci adas a medida que se inc emen a el alo de Rc:s. ?a a el alo in e io de és e úl imo pa áme o se obse a como. en la pa e eal de la impedancia. apa ecen unas oscilaciones las cuales no pueden asocia se a ninguna ecuencia p opia je es a o co espondien e a las ondas Pos Y que ienden a desapa ece cuando se inc emen a la igidez de la base lo ::¡ue hace pensa de nue o la exis encia den o del modelo de ondas dis in as a las ya mencionadas que in luyen en el compo amien o de la cimen ación. La impedancia de o sión p esen a una a iación muy sua e con la ecuencia supe poniendose an o la pa e eal como la imagina ia sob e la "' "' "' C!I C!I "' ------ -~ ..... , ----------1 1 l -- 1- CSI .. .. i j s j ' 1 : j ' H/R•2 1 ¡ á!ica d : iliedio homogéneo siendo po ello i :-ele an e la in luencia de la i¡idez ela i a ya que pa a es e ipo de o imien o an solo in luyen las o .das SH.. 5. CONCLUSIONES Es a co unicacié . p e ende mos a la po encia y !lexibilidad del Me odo de !os S!emen os de Con o no con sime ía de e olución a la esolucién de algunos p oblemas elas cdinámicos y en pa icula se ha aplicado al cálculo de las i:pedancias dinámicas de cimen acic .es semies é icas embebidas en suelos an o homogéneos como es a"i icajos, es e mismo mé odo había sido u ilizado p e iamen e /7/ pa a el case de cimen aciones cilínd icas. Los ss:.;::ados ob enidos se han co pa adc 2a :s!ac o iamen e con les de c:,cs a:.; o es que emplean ilié cdos de esolución di e en es. Se ha incluido n es udie de la in luencia de la igidez ela i a del semi espacio sopo e. : mé odo p opues o p esen a no o:s an e cie as limi:acicnes en c:.;an o al [::dice de a o iguamien o a iliza accnsejandose no baja ¿e un alo en o no a un 3 5 pa a las apl:.cacio es p ac icas del mis=o. 6, REFERENC: . S :ouinguez. J.,"Oyna:nic S i nes o Rec angula F"c1... =.a ions·•.. Resea ch epo R78-20, Oep . Ci il !ng .. M.I.T., Camb :.dge, )iass .. :.· 78 2. Ala cón, E., Dominguez. ;. y Del caño. F.. ''Dynamic S i ! .ess o Fou::da' icns' 1 , sw :)e el·.:p .:en in s.::. - ., Ed i : c. 3 ebbi a. CML ?ubl ica ions, 1980. 3. Abasca.l. :? .. , ''Es":udi ¿9 Dinám:.ccs en In e acción P oblemas suelo- de les es uc u a po el Mé cdc !lamen os de Con o no", Tesis Doc o al. lJni•:. de Se illa, 1984 4, Cano, J.J .• "Calculo de impedancias :iina:nica.s :oa zapa as ci cula es ígidas en e enos es a i icados con amo iguamien o his e é ico", Tesis Doc o al. Uni . Pol. Valencia. 1985. s. Gcmez- e a. s., Dcminguez. 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